Theo định nghĩa của nó. Và logarit của số b dựa trên MỘTđược định nghĩa là số mũ mà một số phải được nâng lên Mộtđể có được số b(logarit chỉ tồn tại với số dương).
Từ công thức này suy ra rằng việc tính toán x=log a b, tương đương với việc giải phương trình a x = b. Ví dụ, log 2 8 = 3 bởi vì 8 = 2 3 . Công thức logarit có thể chứng minh rằng nếu b=a c, thì logarit của số b dựa trên Một bằng Với. Cũng rõ ràng là chủ đề logarit có liên quan chặt chẽ đến chủ đề lũy thừa của một số.
Với logarit, cũng như với bất kỳ số nào, bạn có thể làm các phép tính cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách có thể. Nhưng do logarit không hoàn toàn là những con số thông thường nên các quy tắc đặc biệt riêng của chúng được áp dụng ở đây, được gọi là thuộc tính chính.
Cộng và trừ logarit.
Hãy lấy hai logarit với trên cùng một cơ sở: ghi lại x Và đăng nhập một y. Sau đó có thể thực hiện các phép tính cộng và trừ:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
đăng nhập một(x 1 . x 2 . x 3 ... xk) = ghi lại x 1 + ghi lại x 2 + ghi lại x 3 + ... + log a x k.
Từ định lý logarit thương Có thể thu được thêm một tính chất nữa của logarit. Người ta biết rằng nhật ký Một 1= 0, do đó
nhật ký Một 1 /b= nhật ký Một 1 - nhật ký một b= - nhật ký một b.
Điều này có nghĩa là có sự bình đẳng:
log a 1 / b = - log a b.
Logarit của hai số nghịch đảo vì lý do tương tự sẽ chỉ khác nhau ở dấu hiệu. Vì thế:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.
Trọng tâm của bài viết này là logarit. Ở đây chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa của logarit, chỉ ra chỉ định được chấp nhận, chúng tôi sẽ đưa ra ví dụ về logarit và nói về logarit tự nhiên và thập phân. Sau đó chúng ta sẽ xem xét đồng nhất thức logarit cơ bản.
Điều hướng trang.
Định nghĩa logarit
Khái niệm logarit nảy sinh khi giải một bài toán theo một nghĩa nào đó nghịch đảo, khi bạn cần tìm số mũ bằng cách giá trị đã biết mức độ và cơ sở đã biết.
Nhưng lời nói đầu đã đủ rồi, đã đến lúc trả lời câu hỏi logarit là gì? Hãy đưa ra định nghĩa tương ứng.
Sự định nghĩa.
Logarit của b theo cơ số a, trong đó a>0, a≠1 và b>0 là số mũ mà bạn cần nâng số a lên để có kết quả là b.
Ở giai đoạn này, chúng tôi lưu ý rằng từ được nói “logarit” sẽ ngay lập tức đặt ra hai câu hỏi tiếp theo: “số nào” và “trên cơ sở nào”. Nói cách khác, đơn giản là không có logarit mà chỉ có logarit của một số theo cơ số nào đó.
Hãy vào ngay ký hiệu logarit: logarit của một số b cơ số a thường được ký hiệu là log a b. Logarit của một số b cơ số e và logarit cơ số 10 có các ký hiệu đặc biệt riêng lần lượt là lnb và logb, nghĩa là chúng không viết log e b mà là lnb, không phải log 10 b mà là lgb.
Bây giờ chúng ta có thể cho: .
Và những kỷ lục 
không có ý nghĩa gì, vì trong số đầu tiên có số âm dưới dấu logarit, trong số thứ hai có số âm ở cơ số và ở số thứ ba có số âm dưới dấu logarit và một đơn vị trong căn cứ.
Bây giờ hãy nói về quy tắc đọc logarit. Ký hiệu log a b được đọc là "logarit của b cơ số a". Ví dụ, log 2 3 là logarit của ba cơ số 2 và là logarit của hai phẩy hai phần ba cơ số 2 Căn bậc hai trong số năm. Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên, và ký hiệu lnb đọc là "logarit tự nhiên của b". Ví dụ, ln7 là logarit tự nhiên của 7 và chúng ta sẽ đọc nó là logarit tự nhiên của pi. Logarit cơ số 10 còn có một tên đặc biệt - logarit thập phân và lgb được đọc là "logarit thập phân của b". Ví dụ: lg1 là logarit thập phân của một và lg2,75 là logarit thập phân của hai phẩy bảy năm phần trăm.
Cần xem xét riêng các điều kiện a>0, a≠1 và b>0, theo đó định nghĩa logarit được đưa ra. Hãy để chúng tôi giải thích những hạn chế này đến từ đâu. Một đẳng thức có dạng được gọi là , theo trực tiếp từ định nghĩa logarit đã cho ở trên, sẽ giúp chúng ta thực hiện điều này.
Hãy bắt đầu với a≠1. Vì một lũy thừa bất kỳ bằng một nên đẳng thức chỉ có thể đúng khi b=1, nhưng log 1 1 có thể là bất kỳ số thực. Để tránh sự mơ hồ này, giả sử a≠1.
Hãy chứng minh tính đúng đắn của điều kiện a>0. Với a=0, theo định nghĩa của logarit, chúng ta sẽ có đẳng thức, điều này chỉ có thể xảy ra với b=0. Nhưng khi đó log 0 0 có thể là bất kỳ số thực nào khác 0, vì 0 mũ bất kỳ lũy thừa nào khác 0 đều bằng 0. Điều kiện a≠0 cho phép chúng ta tránh được sự mơ hồ này. Và khi một<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и ирchỉ số hợp lý chỉ được xác định cho các cơ sở không âm. Vì vậy, điều kiện a>0 được chấp nhận.
Cuối cùng, điều kiện b>0 suy ra từ bất đẳng thức a>0, vì , và giá trị của lũy thừa có cơ số dương a luôn dương.
Để kết luận điểm này, giả sử rằng định nghĩa đã nêu của logarit cho phép bạn chỉ ra ngay giá trị của logarit khi số dưới dấu logarit là lũy thừa cơ số nhất định. Thật vậy, định nghĩa logarit cho phép chúng ta phát biểu rằng nếu b=a p thì logarit của số b cơ số a sẽ bằng p. Nghĩa là, log đẳng thức a a p = p là đúng. Ví dụ, chúng ta biết rằng 2 3 =8, khi đó log 2 8=3. Chúng tôi sẽ nói nhiều hơn về điều này trong bài viết.
Như bạn đã biết, khi nhân các biểu thức với lũy thừa, số mũ của chúng luôn cộng lại (a b *a c = a b+c). Định luật toán học này được Archimedes rút ra và sau đó, vào thế kỷ thứ 8, nhà toán học Virasen đã tạo ra một bảng gồm các số mũ nguyên. Họ là những người đã phục vụ cho mở thêm logarit. Ví dụ về cách sử dụng hàm này có thể được tìm thấy ở hầu hết mọi nơi mà bạn cần đơn giản hóa phép nhân rườm rà bằng phép cộng đơn giản. Nếu bạn dành 10 phút để đọc bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích cho bạn logarit là gì và cách sử dụng chúng. Bằng ngôn ngữ đơn giản và dễ tiếp cận.
Định nghĩa trong toán học
Logarit là một biểu thức có dạng sau: log a b=c, nghĩa là logarit của bất kỳ số không âm(nghĩa là bất kỳ số dương nào) “b” theo cơ số “a” của nó được coi là lũy thừa của “c” mà cơ số “a” phải được nâng lên để cuối cùng thu được giá trị “b”. Hãy phân tích logarit bằng các ví dụ, giả sử có nhật ký biểu thức 2 8. Làm thế nào để tìm câu trả lời? Rất đơn giản, bạn cần tìm lũy thừa sao cho từ 2 đến lũy thừa cần tìm bạn được 8. Sau khi thực hiện một số phép tính trong đầu, chúng ta sẽ có được số 3! Và điều đó đúng, vì 2 lũy thừa 3 cho kết quả là 8.
Các loại logarit
Đối với nhiều học sinh, sinh viên, chủ đề này có vẻ phức tạp và khó hiểu, nhưng trên thực tế, logarit không quá đáng sợ, điều quan trọng chính là hiểu ý nghĩa chung của chúng, ghi nhớ các tính chất và một số quy tắc của chúng. Có ba loài riêng lẻ biểu thức logarit:
- Logarit tự nhiên ln a, trong đó cơ số là số Euler (e = 2,7).
- Số thập phân a, trong đó cơ số là 10.
- Logarit của số b bất kỳ cơ số a>1.
Mỗi người trong số họ được quyết định một cách chuẩn mực, bao gồm đơn giản hóa, rút gọn và rút gọn tiếp theo thành một logarit bằng cách sử dụng các định lý logarit. Để có được giá trị chính xác của logarit, bạn nên nhớ các thuộc tính của chúng và chuỗi hành động khi giải chúng.
Quy tắc và một số hạn chế
Trong toán học, có một số ràng buộc quy tắc được chấp nhận như một tiên đề, nghĩa là chúng không phải là đối tượng để thảo luận và là sự thật. Ví dụ, không thể chia các số cho 0 và cũng không thể rút ra nghiệm chẵn từ số âm. Logarit cũng có các quy tắc riêng, theo đó bạn có thể dễ dàng học cách làm việc ngay cả với các biểu thức logarit dài và có dung lượng lớn:
- Cơ số “a” phải luôn lớn hơn 0 và không bằng 1, nếu không biểu thức sẽ mất ý nghĩa, vì “1” và “0” ở mọi mức độ luôn bằng giá trị của chúng;
- nếu a > 0 thì a b >0, hóa ra “c” cũng phải lớn hơn 0.
Làm thế nào để giải logarit?
Ví dụ: nhiệm vụ được giao là tìm câu trả lời cho phương trình 10 x = 100. Điều này rất dễ, bạn cần chọn lũy thừa bằng cách nâng số mười lên mà chúng ta nhận được 100. Tất nhiên, đây là 10 2 = 100.
Bây giờ hãy biểu diễn biểu thức này dưới dạng logarit. Chúng ta nhận được log 10 100 = 2. Khi giải logarit, tất cả các hành động trên thực tế đều hội tụ để tìm ra mức độ cần thiết phải đưa cơ số của logarit để có được số đã cho.
Để xác định chính xác giá trị mức độ không xác định bạn cần học cách làm việc với bảng độ. Nó trông như thế này:
Như bạn có thể thấy, một số số mũ có thể được đoán bằng trực giác nếu bạn có đầu óc kỹ thuật và kiến thức về bảng cửu chương. Tuy nhiên đối với giá trị lớn bạn sẽ cần một bảng độ. Nó có thể được sử dụng ngay cả bởi những người không biết gì về phức tạp chủ đề toán học. Cột bên trái chứa các số (cơ số a), hàng số trên cùng là giá trị lũy thừa c mà số a được nâng lên. Tại giao điểm, các ô chứa các giá trị số là đáp án (a c =b). Ví dụ: hãy lấy ô đầu tiên có số 10 và bình phương nó, chúng ta nhận được giá trị 100, được biểu thị tại giao điểm của hai ô của chúng ta. Mọi thứ đơn giản và dễ dàng đến mức ngay cả những người theo chủ nghĩa nhân văn chân chính nhất cũng sẽ hiểu được!
Phương trình và bất đẳng thức
Hóa ra trong những điều kiện nhất định số mũ là logarit. Vì vậy, bất kỳ toán học nào biểu thức số có thể được viết dưới dạng phương trình logarit. Ví dụ, 3 4 =81 có thể được viết dưới dạng logarit cơ số 3 của 81 bằng bốn (log 3 81 = 4). Vì quyền lực tiêu cực các quy tắc đều giống nhau: 2 -5 = 1/32 chúng ta viết nó dưới dạng logarit, chúng ta nhận được log 2 (1/32) = -5. Một trong những phần hấp dẫn nhất của toán học là chủ đề “logarit”. Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ và nghiệm của các phương trình dưới đây, ngay sau khi nghiên cứu tính chất của chúng. Bây giờ chúng ta hãy xem bất đẳng thức trông như thế nào và cách phân biệt chúng với các phương trình.
Cho biểu thức có dạng sau: log 2 (x-1) > 3 - đó là bất đẳng thức logarit, vì giá trị chưa biết "x" nằm dưới dấu logarit. Và cũng trong biểu thức, hai đại lượng được so sánh: logarit của số mong muốn theo cơ số hai lớn hơn số ba.
Sự khác biệt quan trọng nhất giữa phương trình logarit và bất đẳng thức là phương trình chứa logarit (ví dụ - logarit 2 x = √9) bao hàm một hoặc nhiều câu trả lời cụ thể Giá trị kiểu số, trong khi khi giải bất đẳng thức được xác định là vùng giá trị chấp nhận được và các điểm dừng của hàm này. Kết quả là, đáp án không phải là một tập hợp đơn giản các số riêng lẻ, như trong đáp án của một phương trình, mà là chuỗi liên tục hoặc một bộ số.
Các định lý cơ bản về logarit
Khi giải các nhiệm vụ cơ bản là tìm các giá trị của logarit, các thuộc tính của nó có thể không được biết. Tuy nhiên, khi nói đến phương trình logarit hay bất đẳng thức, trước hết cần hiểu rõ và vận dụng vào thực tế tất cả các tính chất cơ bản của logarit. Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về phương trình sau; trước tiên chúng ta hãy xem xét từng thuộc tính chi tiết hơn.
- Danh tính chính trông như thế này: a logaB =B. Nó chỉ áp dụng khi a lớn hơn 0, không bằng 1 và B lớn hơn 0.
- Logarit của sản phẩm có thể được biểu diễn dưới dạng công thức sau: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Trong trường hợp này điều kiện tiên quyết là: d, s 1 và s 2 > 0; a≠1. Bạn có thể đưa ra bằng chứng cho công thức logarit này kèm theo ví dụ và cách giải. Giả sử log a s 1 = f 1 và log a s 2 = f 2, khi đó a f1 = s 1, a f2 = s 2. Ta thu được s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (tính chất của độ ), và sau đó theo định nghĩa: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, đây là điều cần phải chứng minh.
- Logarit của thương số có dạng như sau: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Định lý ở dạng công thức đảm nhận lượt xem tiếp theo: log a q b n = n/q log a b.
Công thức này được gọi là “tính chất của bậc logarit”. Nó giống với các đặc tính của các mức độ thông thường, và không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì toàn bộ toán học đều dựa trên các định đề tự nhiên. Hãy nhìn vào bằng chứng.
Cho log a b = t thì ra a t = b. Nếu chúng ta nâng cả hai phần lên lũy thừa m: a tn = b n ;
nhưng vì a tn = (a q) nt/q = b n, do đó log a q b n = (n*t)/t, nên log a q b n = n/q log a b. Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ về các vấn đề và sự bất bình đẳng
Các loại bài toán phổ biến nhất về logarit là ví dụ về phương trình và bất đẳng thức. Chúng được tìm thấy trong hầu hết các cuốn sách có vấn đề và cũng được đưa vào trong phần bắt buộc các kỳ thi toán. Để được nhận vào đại học hoặc đậu kỳ thi tuyển sinh trong toán học bạn cần biết cách giải những bài toán như vậy một cách chính xác.
Thật không may, không có một kế hoạch hay kế hoạch nào để giải quyết và xác định giá trị không xác định Không có cái gọi là logarit, nhưng bạn có thể áp dụng nó cho mọi bất đẳng thức toán học hoặc phương trình logarit. quy tắc nhất định. Trước hết, bạn nên tìm hiểu xem biểu thức có thể được đơn giản hóa hay dẫn đến Nhìn tổng thể. Đơn giản hóa những cái dài biểu thức logarit có thể nếu bạn sử dụng thuộc tính của họ một cách chính xác. Hãy làm quen với họ một cách nhanh chóng.
Khi quyết định phương trình logarit, chúng ta nên xác định loại logarit mà chúng ta có: một biểu thức ví dụ có thể chứa logarit tự nhiên hoặc logarit thập phân.
Dưới đây là ví dụ ln100, ln1026. Lời giải của họ tóm lại là họ cần xác định lũy thừa mà cơ số 10 sẽ lần lượt bằng 100 và 1026. Đối với giải pháp logarit tự nhiên cần áp dụng nhận dạng logarit hoặc tài sản của họ. Hãy xem giải pháp với các ví dụ bài toán logarit các loại khác nhau.
Cách sử dụng công thức logarit: Với ví dụ và cách giải
Vì vậy, chúng ta hãy xem các ví dụ về việc sử dụng các định lý cơ bản về logarit.
- Thuộc tính logarit của sản phẩm có thể được sử dụng trong các nhiệm vụ cần mở rộng tầm quan trọng lớn số b thành các thừa số đơn giản hơn. Ví dụ: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Câu trả lời là 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - như bạn có thể thấy, bằng cách sử dụng thuộc tính thứ tư của lũy thừa logarit, chúng ta đã giải được một biểu thức có vẻ phức tạp và không thể giải được. Bạn chỉ cần phân tích cơ số rồi lấy các giá trị số mũ ra khỏi dấu của logarit.
Bài tập từ kỳ thi quốc gia thống nhất
Logarit thường được tìm thấy trong kỳ thi tuyển sinh, đặc biệt là rất nhiều bài toán logarit trong kỳ thi Thống Nhất ( Kỳ thi quốc dành cho tất cả học sinh đã ra trường). Thông thường, những nhiệm vụ này không chỉ có ở phần A (phần thi dễ nhất của kỳ thi) mà còn có ở phần C (những nhiệm vụ phức tạp và đồ sộ nhất). Đề thi yêu cầu kiến thức chính xác và hoàn chỉnh về chủ đề “Logarit tự nhiên”.
Ví dụ và giải pháp cho vấn đề được lấy từ chính thức Tùy chọn bài kiểm tra trạng thái thống nhất. Hãy xem những nhiệm vụ như vậy được giải quyết như thế nào.
Cho log 2 (2x-1) = 4. Giải:
hãy viết lại biểu thức, đơn giản hóa nó một chút log 2 (2x-1) = 2 2, theo định nghĩa của logarit, chúng ta có 2x-1 = 2 4, do đó 2x = 17; x = 8,5.
- Tốt nhất nên quy tất cả các logarit về cùng một cơ số để việc giải không rườm rà, khó hiểu.
- Tất cả các biểu thức dưới dấu logarit đều được biểu thị là dương, do đó, khi số mũ của một biểu thức nằm dưới dấu logarit và làm cơ số của nó được lấy làm số nhân thì biểu thức còn lại dưới logarit phải dương.
1.1. Xác định số mũ cho số mũ nguyên
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N lần
1.2. Không độ.
Theo định nghĩa, người ta thường chấp nhận rằng không độ mọi số đều bằng 1:1.3. Mức độ tiêu cực.
X -N = 1/XN1.4. Sức mạnh phân số, gốc.
X 1/N = N nghiệm của X.Ví dụ: X 1/2 = √X.
1.5. Công thức cộng lũy thừa.
X (N+M) = X N *X M1.6.Công thức trừ lũy thừa.
X (N-M) = X N /X M1.7. Công thức nhân lũy thừa.
X N*M = (X N) M1.8. Công thức nâng lũy thừa của một phân số.
(X/Y) N = XN /Y N2. Số e.
Giá trị của số e bằng giới hạn sau:E = lim(1+1/N), khi N → ∞.
Với độ chính xác 17 chữ số, số e là 2,71828182845904512.
3. Đẳng thức Euler.
Đẳng thức này kết nối năm số có vai trò đặc biệt trong toán học: 0, 1, e, pi, đơn vị ảo.E (i*pi) + 1 = 0
4. Hàm mũ exp(x)
exp(x) = e x5. Đạo hàm của hàm số mũ
Hàm số mũ có tài sản đáng chú ý: Đạo hàm của một hàm số bằng chính hàm số mũ:(exp(x))" = exp(x)
6. Lôgarit.
6.1. Định nghĩa hàm logarit
Nếu x = b y thì logarit là hàm sốY = Log b(x).
Logarit cho biết một số phải tăng lũy thừa bao nhiêu - cơ số của logarit (b) để thu được một số cho trước (X). Hàm logarit được xác định cho X lớn hơn 0.
Ví dụ: Log 10 (100) = 2.
6.2. Logarit thập phân
Đây là logarit cơ số 10:Y = Log 10 (x) .
Ký hiệu là Log(x): Log(x) = Log 10 (x).
Ví dụ sử dụng logarit thập phân- decibel.
6.3. decibel
Mục được đánh dấu trên một trang riêng Decibel6.4. logarit nhị phân
Đây là logarit cơ số 2:Y = Log 2 (x).
Ký hiệu là Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. logarit tự nhiên
Đây là logarit cơ số e:Y = Log e(x) .
Ký hiệu là Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Logarit tự nhiên - chức năng trái ngược theo cấp số nhân hàm exp(X).
6.6. Điểm đặc trưng
Lô-ga(1) = 0Đăng nhập a (a) = 1
6.7. Công thức logarit tích
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Công thức tính logarit của thương
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Công thức logarit lũy thừa
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Công thức chuyển đổi sang logarit có cơ số khác
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Ví dụ:
Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Công thức hữu ích trong cuộc sống
Thường có vấn đề về chuyển đổi thể tích thành diện tích hoặc chiều dài và vấn đề nghịch đảo- Chuyển đổi diện tích sang thể tích. Ví dụ: các tấm ván được bán theo hình khối (mét khối) và chúng ta cần tính toán diện tích bức tường có thể được bao phủ bởi các tấm ván chứa trong đó. một khối lượng nhất định, xem cách tính bảng, hình lập phương có bao nhiêu bảng. Hoặc nếu biết kích thước của bức tường thì bạn cần tính số viên gạch, xem cách tính gạch.
Được phép sử dụng tài liệu trang web với điều kiện là có cài đặt liên kết hoạt động tới nguồn.
Liên quan đến
Có thể đặt nhiệm vụ tìm bất kỳ số nào trong ba số từ hai số đã cho còn lại. Nếu a và sau đó cho N, chúng được tìm bằng lũy thừa. Nếu N và sau đó a được cho bằng cách lấy căn bậc x (hoặc nâng nó lên lũy thừa). Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi cho a và N, chúng ta cần tìm x.
Cho số N dương: số a dương và không bằng 1: .
Sự định nghĩa. Logarit của số N cơ số a là số mũ mà a phải được nâng lên để thu được số N; logarit được ký hiệu là
Do đó, trong đẳng thức (26.1) số mũ được tìm thấy dưới dạng logarit của N cơ số a. bài viết
có đồng nghĩa. Đẳng thức (26.1) đôi khi được gọi là đồng nhất thức chính của lý thuyết logarit; trong thực tế nó thể hiện định nghĩa của khái niệm logarit. Qua định nghĩa này Cơ số của logarit a luôn dương và khác với đơn vị; số logarit N là dương. Số âm và số 0 không có logarit. Có thể chứng minh rằng bất kỳ số nào có cơ số cho trước đều có logarit được xác định rõ ràng. Do đó đòi hỏi phải có sự bình đẳng. Lưu ý rằng điều kiện thiết yếu ở đây là nếu không thì kết luận sẽ không hợp lý vì đẳng thức đúng với mọi giá trị của x và y.
Ví dụ 1. Tìm
Giải pháp. Để có được một số, bạn phải nâng cơ số 2 lên lũy thừa Do đó.
Bạn có thể ghi chú khi giải các ví dụ đó theo mẫu sau:
Ví dụ 2. Tìm .
Giải pháp. Chúng ta có
Trong ví dụ 1 và 2, chúng ta dễ dàng tìm được logarit mong muốn bằng cách biểu diễn số logarit dưới dạng lũy thừa cơ số với số mũ hữu tỉ. TRONG trường hợp chung, ví dụ, v.v., điều này không thể thực hiện được vì logarit có ý nghĩa phi lý. Chúng ta hãy chú ý đến một vấn đề liên quan đến tuyên bố này. Trong đoạn 12, chúng tôi đã đưa ra khái niệm về khả năng xác định bất kỳ mức độ thực tế nào của một vấn đề nhất định. số dương. Điều này là cần thiết cho việc giới thiệu logarit, nói chung, có thể là số vô tỷ.
Hãy xem xét một số tính chất của logarit.
Tính chất 1. Nếu số và cơ số bằng nhau thì logarit bằng một, và ngược lại, nếu logarit bằng 1 thì số và cơ số bằng nhau.
Bằng chứng. Hãy để Theo định nghĩa của logarit chúng ta có và từ đó
Ngược lại, đặt Then theo định nghĩa
Tính chất 2. Logarit của một cơ số bất kỳ đều bằng 0.
Bằng chứng. Theo định nghĩa của logarit (lũy thừa 0 của bất kỳ cơ số dương nào cũng bằng một, xem (10.1)). Từ đây
Q.E.D.
Mệnh đề ngược lại cũng đúng: nếu , thì N = 1. Thật vậy, ta có .
Trước khi xây dựng tính chất tiếp theo của logarit, chúng ta hãy đồng ý rằng hai số a và b nằm cùng một phía của số thứ ba c nếu cả hai đều lớn hơn c hoặc nhỏ hơn c. Nếu một trong các số này lớn hơn c và số kia nhỏ hơn c thì chúng ta nói rằng chúng nằm dọc các mặt khác nhau từ làng
Tính chất 3. Nếu số và cơ số nằm cùng một phía thì logarit là dương; Nếu số và cơ số nằm đối diện nhau thì logarit âm.
Chứng minh tính chất 3 dựa trên thực tế là lũy thừa của a lớn hơn một nếu cơ số lớn hơn một và số mũ dương hoặc cơ số nhỏ hơn một và số mũ âm. Một lũy thừa nhỏ hơn một nếu cơ số lớn hơn một và số mũ âm hoặc cơ số nhỏ hơn một và số mũ dương.
Có bốn trường hợp cần xem xét:
Chúng tôi sẽ giới hạn ở việc phân tích phần đầu tiên; người đọc sẽ tự mình xem xét phần còn lại.
Giả sử trong đẳng thức số mũ có thể không âm cũng không thể bằng 0, do đó, nó dương, tức là, như yêu cầu phải chứng minh.
Ví dụ 3. Tìm logarit nào dưới đây dương, logarit nào âm:
Giải: a) Vì số 15 và cơ số 12 nằm cùng một phía;
b) vì 1000 và 2 nằm ở một bên của đơn vị; trong trường hợp này, việc cơ số lớn hơn số logarit không quan trọng;
c) vì 3.1 và 0.8 nằm ở hai phía đối diện của sự thống nhất;
G); Tại sao?
d) ; Tại sao?
Các tính chất sau 4-6 thường được gọi là quy tắc logarit: chúng cho phép, khi biết logarit của một số số, tìm logarit của tích, thương và bậc của từng số đó.
Thuộc tính 4 (quy tắc logarit tích số). Logarit của tích một số số dương bằng cơ sở này bằng tổng logarit của các số này về cùng một cơ số.
Bằng chứng. Giả sử các số đã cho là số dương.
Đối với logarit của tích của chúng, chúng ta viết đẳng thức (26.1) xác định logarit:
Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy
So sánh số mũ thứ nhất và số mũ biểu thức cuối cùng, chúng ta thu được đẳng thức cần thiết:
Lưu ý rằng điều kiện là cần thiết; logarit của tích hai số âm có ý nghĩa, nhưng trong trường hợp này chúng ta nhận được
Nói chung, nếu tích của một số thừa số là dương thì logarit của nó bằng tổng logarit của các giá trị tuyệt đối của các thừa số này.
Tính chất 5 (quy tắc lấy logarit của thương). Logarit của thương số dương bằng hiệu giữa logarit của số bị chia và số chia, lấy về cùng một cơ số. Bằng chứng. Chúng tôi liên tục tìm thấy
Q.E.D.
Thuộc tính 6 (quy tắc logarit lũy thừa). Logarit lũy thừa của một số dương bằng logarit số này nhân với số mũ.
Bằng chứng. Chúng ta hãy viết lại đẳng thức chính (26.1) cho số đó:
Q.E.D.
Kết quả. Logarit của căn của một số dương bằng logarit của căn chia cho số mũ của căn:
Tính giá trị của hệ quả này có thể được chứng minh bằng cách tưởng tượng cách thức và cách sử dụng tính chất 6.
Ví dụ 4. Lấy logarit cơ số a:
a) (giả sử tất cả các giá trị b, c, d, e đều dương);
b) (giả sử rằng ).
Giải pháp, a) Thật thuận tiện khi đi đến biểu hiện này thành lũy thừa phân số:
Dựa trên các đẳng thức (26.5)-(26.7), bây giờ chúng ta có thể viết:
Chúng tôi nhận thấy rằng các phép toán đơn giản hơn được thực hiện trên logarit của các số so với chính các số: khi nhân các số, logarit của chúng được cộng, khi chia, chúng bị trừ, v.v.
Đó là lý do tại sao logarit được sử dụng trong thực hành tính toán (xem đoạn 29).
Tác dụng nghịch đảo của logarit được gọi là thế năng, cụ thể là: thế năng là hành động mà chính số đó được tìm thấy từ logarit đã cho của một số. Về cơ bản, tăng cường sức mạnh không phải là bất kỳ hành động đặc biệt nào: nó liên quan đến việc nâng cơ sở lên thành quyền lực ( bằng logarit số). Thuật ngữ "thế năng" có thể được coi là đồng nghĩa với thuật ngữ "lũy thừa".
Khi nhân thế phải sử dụng các quy tắc nghịch đảo với quy tắc logarit: thay tổng logarit bằng logarit của tích, thay logarit bằng logarit của thương, v.v. Đặc biệt, nếu có thừa số đứng trước của dấu logarit thì trong quá trình thế năng nó phải được chuyển sang bậc số mũ dưới dấu logarit.
Ví dụ 5. Tìm N nếu biết rằng
Giải pháp. Liên quan đến quy tắc điện thế vừa nêu, chúng ta sẽ chuyển các thừa số 2/3 và 1/3 đứng trước dấu logarit ở vế phải của đẳng thức này thành số mũ dưới dấu của các logarit này; chúng tôi nhận được
Bây giờ chúng ta thay hiệu logarit bằng logarit của thương:
để thu được phân số cuối cùng trong chuỗi đẳng thức này, chúng ta đã loại bỏ phân số trước khỏi tính vô tỷ ở mẫu số (mệnh đề 25).
Tính chất 7. Nếu cơ số lớn hơn một thì số lớn hơn có logarit lớn hơn (và số nhỏ hơn có số nhỏ hơn), nếu cơ số nhỏ hơn 1 thì số lớn hơn có logarit nhỏ hơn (và số nhỏ hơn có logarit lớn hơn).
Tính chất này cũng được xây dựng như một quy tắc để tính logarit của bất đẳng thức, cả hai vế của chúng đều dương:
Khi lấy logarit của bất đẳng thức về cơ số, lớn hơn một, dấu của bất đẳng thức được giữ nguyên và khi lấy logarit cơ số nhỏ hơn 1 thì dấu của bất đẳng thức thay đổi theo chiều ngược lại (xem thêm đoạn 80).
Chứng minh dựa trên tính chất 5 và 3. Xét trường hợp If , then và lấy logarit, ta thu được
(a và N/M nằm cùng một phía thống nhất). Từ đây
Trường hợp a sau, bạn đọc tự tìm hiểu.