Khi xã hội phát triển và hoạt động sản xuất trở nên phức tạp hơn, toán học cũng phát triển. Chuyển động từ đơn giản đến phức tạp. Từ kế toán thông thường bằng phương pháp cộng và trừ, với lặp đi lặp lại nhiều lần, đã đưa ra khái niệm về phép nhân và phép chia. Việc rút gọn phép tính lặp lại của phép nhân đã trở thành khái niệm lũy thừa. Các bảng đầu tiên về sự phụ thuộc của các số vào cơ số và số mũ được nhà toán học Ấn Độ Varasena biên soạn vào thế kỷ thứ 8. Từ chúng, bạn có thể đếm thời gian xuất hiện logarit.
phác họa lịch sử
Sự hồi sinh của châu Âu vào thế kỷ 16 cũng kích thích sự phát triển của cơ học. T cần một khối lượng tính toán lớn liên quan đến phép nhân và chia số có nhiều chữ số. Những chiếc bàn cổ có tác dụng tuyệt vời. Họ đã có thể thay thế các phép toán phức tạp bằng các phép toán đơn giản hơn - phép cộng và phép trừ. Bước tiến lớn Công trình của nhà toán học Michael Stiefel, xuất bản năm 1544, dẫn đầu, trong đó ông hiện thực hóa ý tưởng của nhiều nhà toán học. Điều này cho phép sử dụng các bảng không chỉ cho các mức độ ở dạng số nguyên tố, mà còn cho những cái hợp lý tùy ý.
Năm 1614, John Napier, người Scotland, phát triển những ý tưởng này, lần đầu tiên giới thiệu thuật ngữ mới"logarit của một số." Mới bảng phức tạpđể tính logarit của sin và cos, cũng như tiếp tuyến. Điều này làm giảm đáng kể công việc của các nhà thiên văn học.
Các bảng mới bắt đầu xuất hiện và được các nhà khoa học sử dụng thành công trong suốt ba thế kỷ. Rất nhiều thời gian trôi qua trước khi phép tính mới trong đại số có được dạng hoàn chỉnh. Định nghĩa của logarit đã được đưa ra và các tính chất của nó đã được nghiên cứu.
Chỉ đến thế kỷ 20, với sự ra đời của máy tính và máy tính, loài người mới từ bỏ những chiếc bàn cổ đã hoạt động thành công trong suốt thế kỷ 13.
Ngày nay chúng ta gọi logarit của b theo cơ số a là số x là lũy thừa của a lập b. Điều này được viết dưới dạng công thức: x = log a(b).
Ví dụ: log 3(9) sẽ bằng 2. Điều này là hiển nhiên nếu bạn làm theo định nghĩa. Nếu chúng ta nâng 3 lên lũy thừa của 2, chúng ta sẽ có 9.
Do đó, định nghĩa được xây dựng chỉ đặt ra một hạn chế: các số a và b phải là số thực.
Các loại logarit
Định nghĩa cổ điển được gọi là logarit thực và thực tế là nghiệm của phương trình a x = b. Phương án a = 1 nằm ở ranh giới và không được quan tâm. Chú ý: 1 lũy thừa bất kỳ đều bằng 1.
Giá trị thực của logarit chỉ được xác định khi cơ số và đối số lớn hơn 0 và cơ số không được bằng 1.
Vị trí đặc biệt trong lĩnh vực toán học chơi logarit, sẽ được đặt tên tùy thuộc vào kích thước cơ số của chúng:
Quy tắc và hạn chế
Thuộc tính cơ bản của logarit là quy tắc: logarit của tích bằng tổng logarit. log abp = log a(b) + log a(p).
Là một biến thể của câu lệnh này sẽ có: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), hàm thương bằng hiệu của các hàm.
Từ hai quy tắc trước dễ dàng thấy rằng: log a(b p) = p * log a(b).
Các tài sản khác bao gồm:
Bình luận. Đừng mắc một lỗi thông thường - logarit của tổng không phải là bằng tổng logarit.
Trong nhiều thế kỷ, hoạt động tìm logarit là một công việc khá tốn thời gian. Các nhà toán học đã sử dụng công thức nổi tiếng lý thuyết logarit của khai triển đa thức:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), trong đó n - số tự nhiên lớn hơn 1, quyết định độ chính xác của phép tính.
Logarit với các cơ số khác được tính bằng định lý về sự chuyển đổi từ cơ số này sang cơ số khác và tính chất logarit của tích.
Vì phương pháp này tốn rất nhiều công sức và khi quyết định vấn đề thực tế khó thực hiện, chúng tôi đã sử dụng các bảng logarit được biên dịch sẵn, giúp tăng tốc đáng kể mọi công việc.
Trong một số trường hợp, đồ thị logarit được thiết kế đặc biệt đã được sử dụng, mang lại độ chính xác kém hơn nhưng tăng tốc đáng kể việc tìm kiếm giá trị mong muốn. Đường cong của hàm số y = log a(x), được xây dựng trên nhiều điểm, cho phép bạn sử dụng thước thông thường để tìm giá trị của hàm tại bất kỳ điểm nào khác. kỹ sư lâu rồiĐối với những mục đích này, cái gọi là giấy biểu đồ đã được sử dụng.
Vào thế kỷ 17, các điều kiện tính toán tương tự phụ trợ đầu tiên xuất hiện, thế kỷ 19 có được một cái nhìn hoàn thiện. Thiết bị thành công nhất được gọi là thước trượt. Bất chấp sự đơn giản của thiết bị, vẻ ngoài của nó đã đẩy nhanh đáng kể quá trình tính toán kỹ thuật và điều này rất khó để đánh giá quá cao. Hiện nay có rất ít người biết đến thiết bị này.
Sự ra đời của máy tính và máy tính đã khiến việc sử dụng bất kỳ thiết bị nào khác trở nên vô nghĩa.
Phương trình và bất đẳng thức
Để giải quyết các phương trình khác nhau và bất đẳng thức sử dụng logarit, các công thức sau được sử dụng:
- Chuyển từ cơ số này sang cơ số khác: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Như một hệ quả của lựa chọn trước đó: log a(b) = 1 / log b(a).
Để giải bất đẳng thức, cần biết:
- Giá trị của logarit sẽ chỉ dương nếu cơ số và đối số đều lớn hơn hoặc nhỏ hơn một; nếu ít nhất một điều kiện bị vi phạm thì giá trị logarit sẽ âm.
- Nếu hàm logarit được áp dụng cho vế phải và vế trái của một bất đẳng thức và cơ số của logarit lớn hơn 1 thì dấu của bất đẳng thức được giữ nguyên; V. nếu không thì anh ấy đang thay đổi.
Vấn đề mẫu
Hãy xem xét một số tùy chọn để sử dụng logarit và các thuộc tính của chúng. Ví dụ khi giải phương trình:
Hãy xem xét lựa chọn đặt logarit theo lũy thừa:
- Bài 3. Tính 25^log 5(3). Giải pháp: trong điều kiện của bài toán, mục nhập tương tự như sau (5^2)^log5(3) hoặc 5^(2 * log 5(3)). Hãy viết nó theo cách khác: 5^log 5(3*2), hoặc bình phương của một số làm đối số của hàm có thể được viết dưới dạng bình phương của chính hàm đó (5^log 5(3))^2. Sử dụng tính chất của logarit, biểu thức này bằng 3^2. Trả lời: theo kết quả tính toán, chúng tôi nhận được 9.
Ứng dụng thực tế
Là một công cụ toán học thuần túy, có vẻ như còn lâu mới cuộc sống thực logarit đột nhiên thu được giá trị lớnđể mô tả đồ vật thế giới thực. Thật khó để tìm thấy một khoa học mà nó không được sử dụng. Điều này hoàn toàn áp dụng không chỉ cho lĩnh vực tự nhiên mà còn cho các lĩnh vực tri thức nhân đạo.
Sự phụ thuộc logarit
Dưới đây là một số ví dụ về sự phụ thuộc số:
Cơ học và vật lý
Trong lịch sử, cơ học và vật lý luôn phát triển bằng cách sử dụng phương pháp toán học nghiên cứu, đồng thời là động lực cho sự phát triển của toán học, bao gồm cả logarit. Lý thuyết của hầu hết các định luật vật lý được viết bằng ngôn ngữ toán học. Hãy chỉ đưa ra hai ví dụ về mô tả định luật vật lý sử dụng logarit.
Giải bài toán tính toán như thế này kích thước phức tạp Làm thế nào tốc độ của tên lửa có thể được xác định bằng cách áp dụng công thức Tsiolkovsky, công thức đặt nền tảng cho lý thuyết thám hiểm không gian:
V = I * ln (M1/M2), trong đó
- V – tốc độ cuối cùng phi cơ.
- I – xung riêng của động cơ.
- M1 – khối lượng ban đầu của tên lửa.
- M 2 – khối lượng cuối cùng.
Khác ví dụ quan trọng - điều này được sử dụng trong công thức của một nhà khoa học vĩ đại khác Max Planck, dùng để đánh giá trạng thái cân bằng trong nhiệt động lực học.
S = k * ln (Ω), trong đó
- S - tính chất nhiệt động.
- k – hằng số Boltzmann.
- Ω là trọng số thống kê của các trạng thái khác nhau.
Hoá học
Ít rõ ràng hơn là việc sử dụng các công thức hóa học có chứa tỷ lệ logarit. Hãy chỉ đưa ra hai ví dụ:
- Phương trình Nernst, điều kiện của thế oxy hóa khử của môi trường liên quan đến hoạt động của các chất và hằng số cân bằng.
- Việc tính toán các hằng số như chỉ số tự phân và độ axit của dung dịch cũng không thể thực hiện được nếu không có chức năng của chúng tôi.
Tâm lý học và sinh học
Và không rõ tâm lý học có liên quan gì đến nó. Hóa ra sức mạnh của cảm giác được mô tả rõ ràng bởi chức năng này như mối quan hệ nghịch đảo giá trị cường độ kích thích xuống giá trị cường độ thấp hơn.
Sau những ví dụ trên, không còn gì ngạc nhiên khi chủ đề logarit được sử dụng rộng rãi trong sinh học. Toàn bộ tập sách có thể được viết về các dạng sinh học tương ứng với các đường xoắn ốc logarit.
Các khu vực khác
Dường như sự tồn tại của thế giới là không thể nếu không có mối liên hệ với chức năng này và nó chi phối mọi quy luật. Đặc biệt khi các quy luật tự nhiên có liên quan đến cấp số nhân. Bạn nên truy cập trang web MatProfi và có rất nhiều ví dụ như vậy trong các lĩnh vực hoạt động sau:
Danh sách có thể là vô tận. Nắm vững các nguyên tắc cơ bản của chức năng này, bạn có thể lao vào thế giới của trí tuệ vô hạn.
Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu logarit. Trong bài viết này chúng ta sẽ nói về tính logarit, quá trình này được gọi là logarit. Đầu tiên chúng ta sẽ hiểu cách tính logarit theo định nghĩa. Tiếp theo, chúng ta hãy xem cách tìm thấy các giá trị logarit bằng cách sử dụng các thuộc tính của chúng. Sau này, chúng ta sẽ tập trung vào việc tính logarit ban đầu đặt giá trị logarit khác. Cuối cùng, hãy tìm hiểu cách sử dụng bảng logarit. Toàn bộ lý thuyết được cung cấp các ví dụ với các giải pháp chi tiết.
Điều hướng trang.
Tính logarit theo định nghĩa
Trong những trường hợp đơn giản nhất có thể thực hiện khá nhanh chóng và dễ dàng tìm logarit theo định nghĩa. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn quá trình này xảy ra như thế nào.
Bản chất của nó là biểu diễn số b dưới dạng a c, từ đó, theo định nghĩa logarit, số c là giá trị của logarit. Nghĩa là, theo định nghĩa, chuỗi đẳng thức sau đây tương ứng với việc tìm logarit: log a b=log a a c =c.
Vì vậy, việc tính logarit theo định nghĩa là tìm một số c sao cho a c = b và bản thân số c là giá trị mong muốn của logarit.
Có tính đến thông tin trong các đoạn trước, khi số dưới dấu logarit được cho bởi một lũy thừa nhất định của cơ số logarit, thì bạn có thể chỉ ra ngay logarit bằng bao nhiêu - nó bằng chỉ sốđộ. Hãy chỉ ra giải pháp cho các ví dụ.
Ví dụ.
Tìm log 2 2 −3, đồng thời tính logarit tự nhiên của số e 5,3.
Giải pháp.
Định nghĩa của logarit cho phép chúng ta nói ngay rằng log 2 2 −3 =−3. Thật vậy, số dưới dấu logarit bằng cơ số 2 lũy thừa −3.
Tương tự, ta tìm logarit thứ hai: lne 5.3 =5.3.
Trả lời:
log 2 2 −3 =−3 và lne 5,3 =5,3.
Nếu số b dưới dấu logarit không được chỉ định là lũy thừa cơ số của logarit, thì bạn cần xem xét cẩn thận xem liệu có thể đưa ra cách biểu diễn số b dưới dạng a c hay không. Thường cách biểu diễn này khá rõ ràng, nhất là khi số dưới dấu logarit bằng cơ số lũy thừa 1, hoặc 2, hoặc 3,...
Ví dụ.
Tính logarit log 5 25 , và .
Giải pháp.
Dễ dàng thấy rằng 25=5 2, điều này cho phép bạn tính logarit đầu tiên: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Hãy chuyển sang tính logarit thứ hai. Số có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 7: 
(xem nếu cần thiết). Kể từ đây, 
.
Hãy viết lại logarit thứ ba trong mẫu sau. Bây giờ bạn có thể thấy điều đó 
, từ đó chúng ta kết luận rằng 
. Do đó, theo định nghĩa logarit 
.
Tóm lại, lời giải có thể được viết như sau: .
Trả lời:
log 5 25=2 , 
Và .
Khi có một số tự nhiên đủ lớn dưới dấu logarit, việc mở rộng nó thành thừa số nguyên tố. Nó thường giúp biểu diễn một số như một số lũy thừa của cơ số logarit và do đó tính toán logarit này theo định nghĩa.
Ví dụ.
Tìm giá trị của logarit.
Giải pháp.
Một số thuộc tính của logarit cho phép bạn xác định ngay giá trị của logarit. Những tính chất này bao gồm tính chất logarit của một đơn vị và tính chất logarit của một số, bằng với cơ sở: log 1 1=log a a 0 =0 và log a a=log a a 1 =1 . Nghĩa là, khi dưới dấu logarit có số 1 hoặc số a bằng cơ số của logarit, thì trong những trường hợp này, logarit lần lượt bằng 0 và 1.
Ví dụ.
Logarit và log10 bằng nhau là gì?
Giải pháp.
Vì , thì từ định nghĩa logarit nó suy ra 
.
Trong ví dụ thứ hai, số 10 dưới dấu logarit trùng với cơ số của nó, do đó logarit thập phân của 10 bằng một, nghĩa là log10=lg10 1 =1.
Trả lời:
VÀ lg10=1 .
Lưu ý rằng việc tính logarit theo định nghĩa (mà chúng ta đã thảo luận ở phần đoạn trước) ngụ ý việc sử dụng log đẳng thức a a p = p, đây là một trong những tính chất của logarit.
Trong thực tế, khi một số dưới dấu logarit và cơ số của logarit dễ dàng được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một số nhất định thì sẽ rất thuận tiện khi sử dụng công thức 
, tương ứng với một trong các tính chất của logarit. Hãy xem xét một ví dụ về tìm logarit, minh họa việc sử dụng công thức này.
Ví dụ.
Tính logarit.
Giải pháp.
Trả lời:
.
Các thuộc tính của logarit không được đề cập ở trên cũng được sử dụng trong tính toán, nhưng chúng ta sẽ nói về điều này trong các đoạn văn sau.
Tìm logarit thông qua các logarit đã biết khác
Thông tin trong đoạn này tiếp tục chủ đề sử dụng các tính chất của logarit khi tính toán chúng. Nhưng ở đây, điểm khác biệt chính là các tính chất của logarit được sử dụng để biểu thị logarit ban đầu theo một logarit khác, giá trị của logarit này đã được biết. Hãy đưa ra một ví dụ để làm rõ. Giả sử chúng ta biết rằng log 2 3≈1.584963, sau đó chúng ta có thể tìm thấy, chẳng hạn như log 2 6 bằng cách thực hiện một phép biến đổi nhỏ bằng cách sử dụng các thuộc tính của logarit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Trong ví dụ trên, chúng ta chỉ cần sử dụng tính chất logarit của tích là đủ. Tuy nhiên, thường xuyên hơn, cần phải sử dụng kho tính chất logarit rộng hơn để tính logarit ban đầu thông qua các giá trị đã cho.
Ví dụ.
Tính logarit của 27 cơ số 60 nếu bạn biết log 60 2=a và log 60 5=b.
Giải pháp.
Vì vậy chúng ta cần tìm log 60 27 . Dễ dàng thấy rằng 27 = 3 3 , và logarit ban đầu, do tính chất logarit lũy thừa, có thể viết lại thành 3·log 60 3 .
Bây giờ chúng ta hãy xem cách biểu diễn log 60 3 theo logarit đã biết. Tính chất logarit của một số bằng cơ số cho phép chúng ta viết logarit đẳng thức 60 60=1. Mặt khác, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Như vậy, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Kể từ đây, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Cuối cùng, chúng ta tính logarit ban đầu: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Trả lời:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Riêng biệt, điều đáng nói là ý nghĩa của công thức chuyển sang cơ số mới của logarit dạng 
. Nó cho phép bạn chuyển từ logarit với bất kỳ cơ số nào sang logarit với một cơ số cụ thể, các giá trị đã biết hoặc có thể tìm thấy chúng. Thông thường, từ logarit ban đầu, sử dụng công thức chuyển tiếp, họ chuyển sang logarit ở một trong các cơ số 2, e hoặc 10, vì đối với các cơ số này có các bảng logarit cho phép tính giá trị của chúng với một mức độ nhất định sự chính xác. TRONG điểm tiếp theo chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách thực hiện.
Bảng logarit và công dụng của chúng
Để tính toán gần đúng các giá trị logarit có thể được sử dụng bảng logarit. Bảng logarit cơ số 2 được sử dụng phổ biến nhất là bảng logarit tự nhiên và bảng logarit thập phân. Khi làm việc ở hệ thập phânĐối với phép tính, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng bảng logarit dựa trên cơ số mười. Với sự giúp đỡ của nó, chúng ta sẽ học cách tìm các giá trị của logarit.
Bảng được trình bày cho phép bạn tìm các giá trị logarit thập phân của các số từ 1.000 đến 9.999 (với ba chữ số thập phân) với độ chính xác đến một phần mười nghìn. Chúng ta sẽ phân tích nguyên tắc tìm giá trị logarit bằng bảng logarit thập phân thành ví dụ cụ thể– nó rõ ràng hơn theo cách đó. Hãy tìm log1.256.
Ở cột bên trái của bảng logarit thập phân, chúng ta tìm thấy hai chữ số đầu tiên của số 1.256, tức là chúng ta tìm thấy 1,2 (số này được khoanh tròn màu xanh lam cho rõ ràng). Chúng ta tìm chữ số thứ ba của 1,256 (chữ số 5) ở chữ số đầu tiên hoặc dòng cuối cùngở bên trái của dòng đôi (số này được khoanh tròn màu đỏ). Chữ số thứ tư của số ban đầu 1.256 (chữ số 6) nằm ở dòng đầu tiên hoặc dòng cuối cùng bên phải của dòng kép (số này được khoanh tròn bằng đường màu xanh lá cây). Bây giờ chúng ta tìm các số trong các ô của bảng logarit tại giao điểm của hàng được đánh dấu và các cột được đánh dấu (các số này được đánh dấu quả cam). Tổng các số được đánh dấu sẽ cho giá trị mong muốn logarit thập phân chính xác đến chữ số thập phân thứ tư, nghĩa là log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Có thể sử dụng bảng trên để tìm giá trị logarit thập phân của các số có nhiều hơn ba chữ số sau dấu thập phân, cũng như các giá trị vượt quá phạm vi từ 1 đến 9,999? Vâng, bạn có thể. Hãy cho thấy cách thực hiện điều này bằng một ví dụ.
Hãy tính lg102.76332. Đầu tiên bạn cần viết ra số trong mẫu chuẩn : 102,76332=1,0276332·10 2. Sau đó, phần định trị sẽ được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, chúng ta có 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, trong khi logarit thập phân ban đầu xấp xỉ bằng logarit số kết quả, tức là chúng ta lấy log102.76332≈lg1.028·10 2. Bây giờ chúng ta áp dụng các tính chất của logarit: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Cuối cùng, chúng ta tìm thấy giá trị của logarit lg1.028 từ bảng logarit thập phân lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kết quả là toàn bộ quá trình tính logarit trông như thế này: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Tóm lại, điều đáng chú ý là bằng cách sử dụng bảng logarit thập phân, bạn có thể tính giá trị gần đúng của bất kỳ logarit nào. Để làm điều này, chỉ cần sử dụng công thức chuyển đổi để chuyển sang logarit thập phân, tìm giá trị của chúng trong bảng và thực hiện các phép tính còn lại.
Ví dụ: hãy tính log 2 3 . Theo công thức chuyển logarit sang cơ số mới, ta có . Từ bảng logarit thập phân, chúng ta tìm thấy log3≈0,4771 và log2≈0,3010. Như vậy, 
.
Tài liệu tham khảo.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các môn khác Đại số và khởi đầu của giải tích: Sách giáo khoa lớp 10 - 11 cơ sở giáo dục phổ thông.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán (sổ tay dành cho học sinh vào các trường kỹ thuật).
Theo tỷ lệ
Có thể đặt nhiệm vụ tìm bất kỳ số nào trong ba số từ hai số đã cho còn lại. Nếu a và sau đó cho N, chúng được tìm bằng lũy thừa. Nếu N và sau đó a được cho bằng cách lấy căn bậc x (hoặc nâng nó lên lũy thừa). Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi cho a và N, chúng ta cần tìm x.
Cho số N dương: số a dương và không bằng 1: .
Sự định nghĩa. Logarit của số N cơ số a là số mũ mà a phải được nâng lên để thu được số N; logarit được ký hiệu là
Do đó, trong đẳng thức (26.1) số mũ được tìm thấy dưới dạng logarit của N cơ số a. bài viết
có cùng một ý nghĩa. Đẳng thức (26.1) đôi khi được gọi là đồng nhất thức chính của lý thuyết logarit; trong thực tế nó thể hiện định nghĩa của khái niệm logarit. Qua định nghĩa này Cơ số của logarit a luôn dương và khác với đơn vị; số logarit N là dương. Số âm và số 0 không có logarit. Có thể chứng minh rằng bất kỳ số nào có cơ số cho trước đều có logarit được xác định rõ ràng. Do đó đòi hỏi phải có sự bình đẳng. Lưu ý rằng điều kiện là cần thiết ở đây; nếu không, kết luận sẽ không hợp lý vì đẳng thức đúng với mọi giá trị của x và y.
Ví dụ 1. Tìm
Giải pháp. Để có được một số, bạn phải nâng cơ số 2 lên lũy thừa Do đó.
Bạn có thể ghi chú khi giải các ví dụ đó theo mẫu sau:
Ví dụ 2. Tìm .
Giải pháp. chúng tôi có
Trong ví dụ 1 và 2, chúng ta dễ dàng tìm được logarit mong muốn bằng cách biểu diễn số logarit dưới dạng lũy thừa cơ số với chỉ số hợp lý. TRONG trường hợp chung, ví dụ, v.v., điều này không thể thực hiện được vì logarit có ý nghĩa phi lý. Chúng ta hãy chú ý đến một vấn đề liên quan đến tuyên bố này. Trong đoạn 12 chúng tôi đã đưa ra khái niệm về khả năng xác định bất kỳ bằng cấp thậtđược cho số dương. Điều này là cần thiết cho việc giới thiệu logarit, nói chung, có thể là số vô tỷ.
Hãy xem xét một số tính chất của logarit.
Tính chất 1. Nếu số và cơ số bằng nhau thì logarit bằng 1, và ngược lại, nếu logarit bằng 1 thì số và cơ số bằng nhau.
Bằng chứng. Hãy để Theo định nghĩa của logarit chúng ta có và từ đó
Ngược lại, đặt Then theo định nghĩa
Tính chất 2. Logarit của một cơ số bất kỳ bằng 0.
Bằng chứng. Theo định nghĩa logarit ( không độ mọi cơ số dương đều bằng một, xem (10.1)). Từ đây
Q.E.D.
Mệnh đề ngược lại cũng đúng: nếu , thì N = 1. Thật vậy, ta có .
Trước khi xây dựng tính chất tiếp theo của logarit, chúng ta hãy đồng ý rằng hai số a và b nằm cùng một phía của số thứ ba c nếu cả hai đều lớn hơn c hoặc nhỏ hơn c. Nếu một trong các số này lớn hơn c và số kia nhỏ hơn c thì chúng ta nói rằng chúng nằm dọc các mặt khác nhau từ làng
Tính chất 3. Nếu số và cơ số nằm cùng một phía thì logarit là dương; Nếu số và cơ số nằm đối diện nhau thì logarit âm.
Chứng minh tính chất 3 dựa trên thực tế là lũy thừa của a lớn hơn một nếu cơ số lớn hơn một và số mũ dương hoặc cơ số nhỏ hơn một và số mũ âm. Một lũy thừa nhỏ hơn một nếu cơ số lớn hơn một và số mũ âm hoặc cơ số nhỏ hơn một và số mũ dương.
Có bốn trường hợp cần xem xét:
Chúng tôi sẽ giới hạn ở việc phân tích phần đầu tiên; người đọc sẽ tự mình xem xét phần còn lại.
Giả sử trong đẳng thức số mũ có thể không âm cũng không thể bằng 0, do đó, nó dương, tức là, như yêu cầu phải chứng minh.
Ví dụ 3. Tìm logarit nào dưới đây dương, logarit nào âm:
Giải: a) Vì số 15 và cơ số 12 nằm cùng một phía;
b) vì 1000 và 2 nằm ở một bên của đơn vị; trong trường hợp này, việc cơ số lớn hơn số logarit không quan trọng;
c) vì 3.1 và 0.8 nằm ở hai phía đối lập nhau của sự thống nhất;
G); Tại sao?
d) ; Tại sao?
Các tính chất sau 4-6 thường được gọi là quy tắc logarit: chúng cho phép, khi biết logarit của một số số, tìm logarit của tích, thương và bậc của từng số đó.
Thuộc tính 4 (quy tắc logarit tích số). Logarit của tích một số số dương bằng cơ sở này bằng tổng logarit của các số này cùng cơ số.
Bằng chứng. Giả sử các số đã cho là số dương.
Đối với logarit của tích của chúng, chúng ta viết đẳng thức (26.1) xác định logarit:
Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy
So sánh số mũ thứ nhất và số mũ biểu thức cuối cùng, chúng ta thu được đẳng thức cần thiết:
Lưu ý rằng điều kiện là cần thiết; logarit của tích hai số âm có ý nghĩa, nhưng trong trường hợp này chúng tôi nhận được
Nói chung, nếu tích của một số thừa số là dương thì logarit của nó bằng tổng logarit của các giá trị tuyệt đối của các thừa số này.
Tính chất 5 (quy tắc lấy logarit của thương). Logarit của thương số dương bằng hiệu giữa logarit của số bị chia và số chia, lấy về cùng một cơ số. Bằng chứng. Chúng tôi liên tục tìm thấy
Q.E.D.
Thuộc tính 6 (quy tắc logarit lũy thừa). Logarit lũy thừa của một số dương bất kỳ đều bằng logarit của số đó nhân với số mũ.
Bằng chứng. Chúng ta hãy viết lại đẳng thức chính (26.1) cho số đó:
Q.E.D.
Kết quả. Logarit của căn của một số dương bằng logarit của căn chia cho số mũ của căn:
Tính giá trị của hệ quả này có thể được chứng minh bằng cách tưởng tượng cách thức và cách sử dụng tính chất 6.
Ví dụ 4. Lấy logarit cơ số a:
a) (giả sử tất cả các giá trị b, c, d, e đều dương);
b) (giả sử rằng ).
Giải pháp, a) Thật thuận tiện khi đi đến biểu hiện này thành lũy thừa phân số:
Dựa trên các đẳng thức (26.5)-(26.7) bây giờ chúng ta có thể viết:
Chúng tôi nhận thấy rằng các phép tính đơn giản hơn được thực hiện trên logarit của các số so với chính các số: khi nhân các số, logarit của chúng được cộng, khi chia, chúng bị trừ, v.v.
Đó là lý do tại sao logarit được sử dụng trong thực hành tính toán (xem đoạn 29).
Tác dụng nghịch đảo của logarit được gọi là thế năng, cụ thể là: thế năng là hành động mà chính số đó được tìm thấy từ logarit đã cho của một số. Về cơ bản, hiệu điện thế không phải là bất kỳ hành động đặc biệt nào: nó liên quan đến việc nâng cơ số lên lũy thừa (bằng logarit của một số). Thuật ngữ "thế năng" có thể được coi là đồng nghĩa với thuật ngữ "lũy thừa".
Khi nhân thế phải sử dụng các quy tắc nghịch đảo với quy tắc logarit: thay tổng logarit bằng logarit của tích, thay logarit bằng logarit của thương, v.v. Đặc biệt, nếu có thừa số đứng trước của dấu logarit thì trong quá trình thế năng nó phải được chuyển sang bậc mũ dưới dấu logarit.
Ví dụ 5. Tìm N nếu biết rằng
Giải pháp. Liên quan đến quy tắc điện thế vừa nêu, chúng ta sẽ chuyển các thừa số 2/3 và 1/3 đứng trước dấu logarit ở vế phải của đẳng thức này thành số mũ dưới dấu của các logarit này; chúng tôi nhận được
Bây giờ chúng ta thay hiệu logarit bằng logarit của thương:
để thu được phân số cuối cùng trong chuỗi đẳng thức này, chúng ta đã loại bỏ phân số trước khỏi tính vô tỉ trong mẫu số (phần 25).
Tính chất 7. Nếu cơ số lớn hơn một thì số lớn hơn có logarit lớn hơn (và số nhỏ hơn có số nhỏ hơn), nếu cơ số nhỏ hơn 1 thì số lớn hơn có logarit nhỏ hơn (và số nhỏ hơn có logarit lớn hơn).
Tính chất này cũng được xây dựng như một quy tắc để tính logarit của bất đẳng thức, cả hai vế của chúng đều dương:
Khi lấy logarit của bất đẳng thức về cơ số, lớn hơn một, dấu của bất đẳng thức được giữ nguyên và khi lấy logarit cơ số nhỏ hơn 1 thì dấu của bất đẳng thức thay đổi theo chiều ngược lại (xem thêm đoạn 80).
Chứng minh dựa trên tính chất 5 và 3. Xét trường hợp If , then và lấy logarit, ta thu được
(a và N/M nằm cùng một phía thống nhất). Từ đây
Trường hợp a sau, bạn đọc tự tìm hiểu.
Hôm nay chúng ta sẽ nói về công thức logarit và đưa ra chỉ dẫn ví dụ giải pháp.
Bản thân chúng bao hàm các mẫu giải pháp theo các tính chất cơ bản của logarit. Trước khi áp dụng các công thức logarit để giải, chúng tôi xin nhắc bạn về tất cả các tính chất:
Bây giờ, dựa trên các công thức (tính chất) này, chúng tôi sẽ chỉ ra ví dụ về giải logarit.
Ví dụ về giải logarit dựa trên công thức.
logarit số dương b cơ số a (ký hiệu là log a b) là số mũ mà a phải được nâng lên để có b, với b > 0, a > 0 và 1.
Theo định nghĩa về nhật ký a b = x, tương đương với a x = b, vậy log a a x = x.
Logarit, ví dụ:
log 2 8 = 3, bởi vì 2 3 = 8
log 7 49 = 2, bởi vì 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, bởi vì 5 -1 = 1/5
Logarit thập phân- đây là logarit thông thường, cơ số là 10. Nó được ký hiệu là lg.
log 10 100 = 2, bởi vì 10 2 = 100
logarit tự nhiên- cũng là logarit logarit thông thường, nhưng với cơ số e (e = 2,71828... - số vô tỉ). Ký hiệu là ln.
Nên ghi nhớ các công thức hoặc tính chất của logarit, vì sau này chúng ta sẽ cần đến chúng khi giải logarit, phương trình logarit và sự bất bình đẳng. Hãy cùng giải lại từng công thức bằng các ví dụ.
- Khái niệm cơ bản nhận dạng logarit
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logarit của tích bằng tổng các logarit
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Logarit của thương bằng hiệu của logarit
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Tính chất lũy thừa của số logarit và cơ số của logarit
Số mũ của số logarit log a b m = mlog a b
Số mũ cơ số của logarit log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
nếu m = n, chúng ta nhận được log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Chuyển sang nền tảng mới
log a b = log c b/log c a,nếu c = b, chúng ta nhận được log b b = 1
thì log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Như bạn có thể thấy, các công thức tính logarit không phức tạp như vẻ ngoài của chúng. Bây giờ, sau khi xem xét các ví dụ về giải logarit, chúng ta có thể chuyển sang phương trình logarit. Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về giải phương trình logarit chi tiết hơn trong bài viết: "". Đừng bỏ lỡ nó!
Nếu bạn vẫn còn thắc mắc về giải pháp, hãy viết chúng trong phần bình luận cho bài viết.
Lưu ý: chúng tôi quyết định chọn một lớp học khác và đi du học như một lựa chọn.
Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách. Nhưng vì logarit không chính xác số thường xuyên, có những quy tắc ở đây, được gọi là thuộc tính chính.
Bạn chắc chắn cần phải biết những quy tắc này - không có chúng thì không một vấn đề nghiêm trọng nào có thể được giải quyết. bài toán logarit. Ngoài ra, có rất ít trong số đó - bạn có thể học mọi thứ trong một ngày. Vì vậy, hãy bắt đầu.
Cộng và trừ logarit
Xét hai logarit có cùng cơ số: log Một x và đăng nhập Một y. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:
- nhật ký Một x+ nhật ký Một y= nhật ký Một (x · y);
- nhật ký Một x− nhật ký Một y= nhật ký Một (x : y).
Vì vậy, tổng logarit bằng logarit của tích và hiệu bằng logarit của thương. Xin lưu ý: điểm mấu chốtĐây - căn cứ giống hệt nhau. Nếu các lý do khác nhau, các quy tắc này không có tác dụng!
Những công thức này sẽ giúp bạn tính toán biểu thức logarit ngay cả khi các phần riêng lẻ của nó không được tính (xem bài “Logarit là gì”). Hãy xem các ví dụ và thấy:
Nhật ký 6 4 + log 6 9.
Vì logarit có cùng cơ số nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 2 48 − log 2 3.
Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 3 135 − log 3 5.
Một lần nữa các cơ sở đều giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ logarit “xấu”, không được tính riêng. Nhưng sau khi biến đổi, chúng trở nên khá số bình thường. Nhiều người được xây dựng trên thực tế này kiểm tra. Điều khiển thì sao? biểu thức tương tựở mức độ nghiêm trọng nhất (đôi khi hầu như không có thay đổi) đều được đưa ra trong Kỳ thi Thống nhất.
Trích xuất số mũ từ logarit
Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút. Điều gì sẽ xảy ra nếu cơ số hoặc đối số của logarit là lũy thừa? Khi đó số mũ của bậc này có thể được lấy ra khỏi dấu logarit theo các quy tắc sau:
Thật dễ dàng để nhận thấy rằng quy tắc cuối cùng theo sau hai cái đầu tiên. Nhưng dù sao thì tốt hơn hết bạn nên nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ làm giảm đáng kể số lượng phép tính.
Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu tuân thủ ODZ của logarit: Một > 0, Một ≠ 1, x> 0. Và một điều nữa: học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại, tức là. Bạn có thể nhập các số trước dấu logarit vào chính logarit. Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.
Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 7 49 6 .
Hãy loại bỏ mức độ trong đối số bằng công thức đầu tiên:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
[Chú thích cho hình ảnh]
Lưu ý rằng mẫu số chứa logarit, cơ số và đối số của nó là lũy thừa chính xác: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Chúng tôi có:
[Chú thích cho hình ảnh] tôi nghĩ để ví dụ cuối cùng yêu cầu làm rõ. Logarit đã đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Chúng tôi đã trình bày cơ sở và lập luận của logarit ở đó dưới dạng lũy thừa và loại bỏ số mũ - chúng tôi nhận được phân số “ba tầng”.
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phần chính. Tử số và mẫu số chứa cùng một số: log 2 7. Vì log 2 7 ≠ 0, chúng ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ vẫn ở mẫu số. Theo các quy tắc số học, bốn số có thể được chuyển sang tử số, đó là điều đã được thực hiện. Kết quả là câu trả lời: 2.
Chuyển sang nền tảng mới
Nói về các quy tắc cộng và trừ logarit, tôi đặc biệt nhấn mạnh rằng chúng chỉ hoạt động với cùng một cơ số. Nếu lý do khác nhau thì sao? Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng không phải là lũy thừa chính xác của cùng một số?
Các công thức để chuyển sang một nền tảng mới sẽ được giải cứu. Chúng ta hãy phát biểu chúng dưới dạng một định lý:
Cho logarit Một x. Sau đó với bất kỳ số nào c như vậy c> 0 và c≠ 1, đẳng thức đúng:
[Chú thích cho hình ảnh]
Đặc biệt, nếu chúng ta đặt c = x, chúng tôi nhận được:
[Chú thích cho hình ảnh]
Từ công thức thứ hai, theo đó cơ số và đối số của logarit có thể hoán đổi cho nhau, nhưng trong trường hợp này toàn bộ biểu thức bị "lật", tức là logarit xuất hiện ở mẫu số.
Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong thông thường biểu thức số. Có thể đánh giá mức độ thuận tiện của chúng chỉ khi giải các phương trình logarit và bất đẳng thức.
Tuy nhiên, có những vấn đề không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển sang nền tảng mới. Chúng ta hãy xem xét một vài trong số này:
Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 5 16 log 2 25.
Lưu ý rằng các đối số của cả hai logarit đều chứa lũy thừa chính xác. Hãy lấy ra các chỉ tiêu: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Bây giờ hãy “đảo ngược” logarit thứ hai:
[Chú thích cho hình ảnh]Vì tích không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số nên chúng ta bình tĩnh nhân 4 và 2 rồi xử lý logarit.
Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 9 100 lg 3.
Cơ số và đối số của logarit thứ nhất là lũy thừa chính xác. Hãy viết điều này ra và loại bỏ các chỉ số:
[Chú thích cho hình ảnh]Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:
[Chú thích cho hình ảnh]Nhận dạng logarit cơ bản
Thông thường trong quá trình giải cần biểu diễn một số dưới dạng logarit của một cơ số cho trước. Trong trường hợp này, các công thức sau sẽ giúp chúng ta:
Trong trường hợp đầu tiên, số N trở thành một dấu hiệu cho thấy mức độ đứng trong lập luận. Con số N có thể hoàn toàn là bất cứ thứ gì, vì nó chỉ là giá trị logarit.
Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Đó là cái gọi là: đẳng thức logarit cơ bản.
Thực tế, điều gì sẽ xảy ra nếu số b nâng lên sức mạnh đến mức số lượng b với sức mạnh này cho số Một? Đúng vậy: bạn nhận được số tương tự Một. Hãy đọc kỹ đoạn này một lần nữa - nhiều người mắc kẹt ở đó.
Giống như các công thức chuyển sang cơ số mới, đẳng thức logarit cơ bản đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.
Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
[Chú thích cho hình ảnh]
Lưu ý rằng log 25 64 = log 5 8 - chỉ cần lấy bình phương từ cơ số và đối số của logarit. Xét quy tắc nhân lũy thừa với cơ sở giống nhau, chúng tôi nhận được:
[Chú thích cho hình ảnh]Nếu ai chưa biết thì đây là một nhiệm vụ có thật trong Kỳ thi Thống nhất :)
Đơn vị logarit và logarit số 0
Để kết luận, tôi sẽ đưa ra hai danh tính khó có thể được gọi là thuộc tính - đúng hơn, chúng là hệ quả của định nghĩa logarit. Họ liên tục xuất hiện trong các vấn đề và đáng ngạc nhiên là họ còn tạo ra vấn đề ngay cả đối với những học sinh “nâng cao”.
- nhật ký Một Một= 1 là đơn vị logarit. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit theo cơ số bất kỳ Một từ chính cơ sở này bằng một.
- nhật ký Một 1 = 0 là logarit bằng 0. Căn cứ Một có thể là bất cứ thứ gì, nhưng nếu đối số chứa một thì logarit sẽ bằng 0! Bởi vì Một 0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.
Đó là tất cả tài sản. Hãy chắc chắn thực hành áp dụng chúng vào thực tế! Tải cheat sheet ở đầu bài, in ra và giải các bài toán.