Ví dụ: dãy \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... là một cấp số cộng vì mỗi phần tử tiếp theo khác với cái trước ba (có thể thu được từ cái trước bằng cách thêm ba):

Trong tiến trình này, hiệu \(d\) là dương (bằng \(3\)) và do đó mỗi số hạng tiếp theo sẽ lớn hơn số hạng trước. Những tiến triển như vậy được gọi là tăng dần.

Tuy nhiên, \(d\) cũng có thể số âm. Ví dụ, V cấp số cộng\(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... chênh lệch lũy tiến \(d\) bằng âm sáu.

Và trong trường hợp này, mỗi phần tử tiếp theo sẽ nhỏ hơn phần tử trước. Những tiến triển này được gọi là giảm dần.

Ký hiệu cấp số cộng

Sự tiến triển được biểu thị bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Các số tạo thành một cấp số cộng được gọi là thành viên(hoặc phần tử).

Chúng được ký hiệu bằng cùng một chữ cái như một cấp số cộng, nhưng có chỉ số bằng số của phần tử theo thứ tự.

Ví dụ: cấp số cộng \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) bao gồm các phần tử \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) v.v.

Nói cách khác, đối với cấp số cộng \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Giải các bài toán cấp số cộng

Về nguyên tắc, thông tin được trình bày ở trên đã đủ để giải hầu hết mọi bài toán cấp số cộng (bao gồm cả những bài toán được cung cấp tại OGE).

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện \(b_1=7; d=4\). Tìm \(b_5\).
Giải pháp:

Trả lời: \(b_5=23\)

Ví dụ (OGE). Ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng đã cho: \(62; 49; 36…\) Tìm giá trị của số hạng âm đầu tiên của cấp số cộng này..
Giải pháp:

	Chúng ta được cho các phần tử đầu tiên của dãy và biết rằng đó là một cấp số cộng. Nghĩa là, mỗi phần tử khác với phần tử lân cận của nó cùng một số. Chúng ta hãy tìm ra cái nào bằng cách trừ phần tử trước khỏi phần tử tiếp theo: \(d=49-62=-13\).
	Bây giờ chúng ta có thể khôi phục tiến trình của mình về phần tử (phủ định đầu tiên) mà chúng ta cần.
	Sẵn sàng. Bạn có thể viết một câu trả lời.

Trả lời: \(-3\)

Ví dụ (OGE). Cho một số phần tử liên tiếp của một cấp số cộng: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tìm giá trị của phần tử được chỉ định bởi chữ cái \(x\).
Giải pháp:

	Để tìm \(x\), chúng ta cần biết phần tử tiếp theo khác phần tử trước đó bao nhiêu, hay nói cách khác là sự khác biệt cấp số nhân. Hãy tìm nó từ hai phần tử lân cận đã biết: \(d=12.5-10=2.5\).
	Và bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy những gì chúng ta đang tìm kiếm: \(x=5+2.5=7.5\).
	Sẵn sàng. Bạn có thể viết một câu trả lời.

Trả lời: \(7,5\).

Ví dụ (OGE). Cấp tiến số học được đưa ra các điều kiện sau: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tìm tổng của sáu số hạng đầu tiên của cấp số này.
Giải pháp:

Chúng ta cần tìm tổng của sáu số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Nhưng chúng ta không biết ý nghĩa của chúng; chúng ta chỉ được cung cấp yếu tố đầu tiên. Do đó, trước tiên chúng tôi tính toán từng giá trị một, sử dụng những gì được cung cấp cho chúng tôi: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Và sau khi tính toán sáu phần tử chúng ta cần, chúng ta tìm được tổng của chúng.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Số tiền cần thiết đã được tìm thấy.

Trả lời: \(S_6=9\).

Ví dụ (OGE). Trong cấp số cộng \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Tìm sự khác biệt của sự tiến triển này.
Giải pháp:

Trả lời: \(d=7\).

Các công thức quan trọng của cấp số cộng

Như bạn có thể thấy, nhiều vấn đề về cấp số cộng có thể được giải quyết đơn giản bằng cách hiểu điều chính - rằng cấp số cộng là một chuỗi số và mỗi phần tử tiếp theo trong chuỗi này thu được bằng cách cộng cùng một số với số trước đó ( sự khác biệt của sự tiến triển).

Tuy nhiên, đôi khi có những tình huống quyết định “trực diện” lại rất bất tiện. Ví dụ, hãy tưởng tượng rằng trong ví dụ đầu tiên, chúng ta không cần tìm phần tử thứ năm \(b_5\), mà là phần tử thứ ba trăm tám mươi sáu \(b_(386)\). Chúng ta có nên cộng bốn \(385\) lần không? Hoặc hãy tưởng tượng rằng trong ví dụ áp chót, bạn cần tìm tổng của 73 phần tử đầu tiên. Bạn sẽ mệt mỏi khi đếm...

Vì vậy, trong những trường hợp như vậy, họ không giải quyết mọi việc một cách “trực tiếp” mà sử dụng các công thức đặc biệt rút ra từ cấp số cộng. Và những cái chính là công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên.

Công thức của số hạng thứ \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), trong đó \(a_1\) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân;
\(n\) – số phần tử được yêu cầu;
\(a_n\) – số hạng của cấp số nhân \(n\).

Công thức này cho phép chúng ta nhanh chóng tìm thấy ngay cả phần tử thứ ba trăm hoặc phần triệu, chỉ biết phần tử đầu tiên và sự khác biệt của cấp số nhân.

Ví dụ. Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Tìm \(b_(246)\).
Giải pháp:

Trả lời: \(b_(246)=1850\).

Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), trong đó

\(a_n\) – số hạng tổng hợp cuối cùng;

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện \(a_n=3.4n-0.6\). Tìm tổng các số hạng \(25\) đầu tiên của cấp số này.
Giải pháp:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Để tính tổng của 25 số hạng đầu tiên, chúng ta cần biết giá trị của số hạng thứ nhất và 25 số hạng. Sự tiến triển của chúng tôi được đưa ra bởi công thức của số hạng thứ n tùy thuộc vào số của nó (để biết thêm chi tiết, xem). Hãy tính phần tử đầu tiên bằng cách thay thế một phần tử cho \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Bây giờ chúng ta hãy tìm số hạng thứ 25 bằng cách thay thế 25 thay vì \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Chà, bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tính toán số tiền cần thiết.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Câu trả lời đã sẵn sàng.

Trả lời: \(S_(25)=1090\).

Đối với tổng \(n\) của các số hạng đầu tiên, bạn có thể nhận được một công thức khác: bạn chỉ cần \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) thay vì \(a_n\) thay thế công thức cho nó \(a_n=a_1+(n-1)d\). Chúng tôi nhận được:

Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), trong đó

\(S_n\) – tổng yêu cầu của \(n\) phần tử đầu tiên;
\(a_1\) – số hạng tổng hợp đầu tiên;
\(d\) – chênh lệch tiến triển;
\(n\) – tổng số phần tử.

Ví dụ. Tìm tổng các số hạng \(33\)-ex đầu tiên của cấp số cộng: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Giải pháp:

Trả lời: \(S_(33)=-231\).

Các vấn đề cấp số cộng phức tạp hơn

Bây giờ bạn có tất cả mọi thứ thông tin cần thiếtđể giải hầu hết mọi bài toán cấp số cộng. Hãy kết thúc chủ đề bằng cách xem xét các vấn đề mà bạn không chỉ cần áp dụng công thức mà còn phải suy nghĩ một chút (trong toán học, điều này có thể hữu ích ☺)

Ví dụ (OGE). Tìm tổng của tất cả các số hạng âm của cấp số nhân: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Giải pháp:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Nhiệm vụ này rất giống với nhiệm vụ trước. Chúng ta bắt đầu giải quyết vấn đề tương tự: đầu tiên chúng ta tìm \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Bây giờ tôi muốn thay thế \(d\) vào công thức tính tổng... và ở đây xuất hiện một sắc thái nhỏ - chúng tôi không biết \(n\). Nói cách khác, chúng tôi không biết sẽ cần thêm bao nhiêu thuật ngữ. Làm thế nào để tìm hiểu? Hãy suy nghĩ. Chúng tôi sẽ ngừng thêm các phần tử khi đạt đến phần tử dương đầu tiên. Tức là bạn cần tìm ra số lượng của phần tử này. Làm sao? Hãy viết ra công thức tính bất kỳ phần tử nào của cấp số cộng: \(a_n=a_1+(n-1)d\) cho trường hợp của chúng ta.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Chúng ta cần \(a_n\) lớn hơn 0. Hãy cùng tìm hiểu xem \(n\) điều này sẽ xảy ra như thế nào.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Chúng tôi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Ta chuyển trừ một, không quên đổi dấu
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Hãy tính toán...
\(n>65,333…\)		...và hóa ra phần tử dương đầu tiên sẽ có số \(66\). Theo đó, số âm cuối cùng có \(n=65\). Để đề phòng, hãy kiểm tra điều này.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Vì vậy, chúng ta cần thêm các phần tử \(65\) đầu tiên.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Câu trả lời đã sẵn sàng.

Trả lời: \(S_(65)=-630.5\).

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Tìm tổng từ phần tử \(26\)th đến phần tử \(42\).
Giải pháp:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Trong bài toán này, bạn cũng cần tìm tổng các phần tử, nhưng không bắt đầu từ phần tử đầu tiên mà từ phần tử thứ \(26\). Đối với trường hợp như vậy, chúng tôi không có công thức. Làm thế nào để quyết định? Thật dễ dàng - để tính tổng từ thứ \(26\) đến \(42\)th, trước tiên bạn phải tìm tổng từ thứ \(1\)th đến \(42\)th, sau đó trừ đi từ đó tính tổng từ thứ nhất đến thứ \(25\)th (xem hình).
	Đối với tiến trình của chúng tôi \(a_1=-33\) và sự khác biệt \(d=4\) (xét cho cùng, chúng tôi thêm bốn phần tử vào phần tử trước để tìm phần tử tiếp theo). Biết điều này hãy tìm tổng phần tử \(42\)-y đầu tiên.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Bây giờ là tổng của các phần tử \(25\) đầu tiên.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Và cuối cùng, chúng tôi tính toán câu trả lời.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Trả lời: \(S=1683\).

Đối với cấp số cộng, có một số công thức nữa mà chúng tôi không xem xét trong bài viết này do tính hữu ích thực tế thấp của chúng. Tuy nhiên, bạn có thể dễ dàng tìm thấy chúng.

Cấp độ đầu vào

Tiến trình số học. Lý thuyết chi tiết với các ví dụ (2019)

Dãy số

Vì vậy, hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:
Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích (trong trường hợp của chúng tôi là có số đó). Cho dù chúng ta viết bao nhiêu số, chúng ta luôn có thể nói số nào là số đầu tiên, số nào là số hai, v.v. cho đến số cuối cùng, tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về dãy số:

Dãy số
Ví dụ: đối với trình tự của chúng tôi:

Số được gán chỉ dành riêng cho một số trong dãy. Nói cách khác, không có số thứ ba trong dãy. Số thứ hai (như số thứ) luôn giống nhau.
Số kèm theo số gọi là số hạng thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của thành viên này: .

Trong trường hợp của chúng tôi:

Hãy nói rằng chúng ta có dãy số, trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Ví dụ:

vân vân.
Dãy số này được gọi là cấp số cộng.
Thuật ngữ "sự tiến bộ" được tác giả La Mã Boethius giới thiệu vào thế kỷ thứ 6 và được hiểu theo nghĩa rộng hơn. theo nghĩa rộng, giống như một dãy số vô hạn. Cái tên "số học" được chuyển từ lý thuyết về tỷ lệ liên tục được người Hy Lạp cổ đại nghiên cứu.

Đây là một dãy số, mỗi phần tử của nó bằng dãy số trước đó được cộng vào cùng một số. Con số này được gọi là hiệu của cấp số cộng và được chỉ định.

Cố gắng xác định dãy số nào là cấp số cộng và dãy số nào không:

Một)
b)
c)
d)

Hiểu rồi? Hãy so sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là cấp số cộng - b, c.
không phải là cấp số cộng - a, d.

Hãy quay trở lại sự tiến triển nhất định() và cố gắng tìm giá trị của phần tử thứ của nó. tồn tại hai cách để tìm thấy nó.

1. Phương pháp

Chúng ta có thể cộng số cấp số vào giá trị trước đó cho đến khi đạt đến số hạng thứ của cấp số nhân. Thật tốt là chúng ta không có nhiều điều để tóm tắt - chỉ có ba giá trị:

Vì vậy, số hạng thứ của cấp số cộng được mô tả bằng.

2. Phương pháp

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta cần tìm giá trị của số hạng thứ của cấp số nhân? Việc tính tổng sẽ khiến chúng ta mất hơn một giờ và thực tế là chúng ta sẽ không mắc lỗi khi cộng các số.
Tất nhiên, các nhà toán học đã nghĩ ra một cách mà không cần thiết phải cộng hiệu của một cấp số cộng với giá trị trước đó. Hãy nhìn kỹ hơn vào bức tranh được vẽ... Chắc chắn bạn đã nhận thấy một khuôn mẫu nào đó, cụ thể là:

Ví dụ: hãy xem giá trị của số hạng thứ của cấp số cộng này bao gồm những gì:


Nói cách khác:

Hãy thử tự mình tìm giá trị của một phần tử của một cấp số cộng nhất định theo cách này.

Bạn đã tính toán chưa? So sánh ghi chú của bạn với câu trả lời:

Xin lưu ý rằng bạn nhận được số chính xác giống như trong phương pháp trước, khi chúng tôi thêm tuần tự các số hạng của cấp số cộng vào giá trị trước đó.
Hãy thử "phi nhân cách hóa" công thức này- hãy đưa cô ấy đến cái nhìn tổng quát và chúng tôi nhận được:

Phương trình cấp tiến số học.

Cấp số cộng có thể tăng hoặc giảm.

Tăng dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Giảm dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Công thức dẫn xuất được sử dụng để tính các số hạng theo cả số hạng tăng và giảm của cấp số cộng.
Hãy kiểm tra điều này trong thực tế.
Chúng ta được cho một cấp số cộng bao gồm những con số sau đây: Hãy kiểm tra xem số thứ của cấp số cộng này sẽ là bao nhiêu nếu chúng ta sử dụng công thức để tính nó:

Kể từ đó:

Vì vậy, chúng tôi tin rằng công thức hoạt động theo cả cấp số cộng giảm và tăng.
Hãy cố gắng tự tìm số hạng thứ và thứ của cấp số cộng này.

Hãy so sánh kết quả:

Thuộc tính cấp số cộng

Hãy phức tạp hóa vấn đề - chúng ta sẽ rút ra tính chất của cấp số cộng.
Giả sử chúng ta được đưa ra điều kiện sau:
- lũy tiến số học, tìm giá trị.
Dễ thôi, bạn nói và bắt đầu đếm theo công thức bạn đã biết:

À, vậy thì:

Hoàn toàn đúng. Hóa ra trước tiên chúng ta tìm, sau đó cộng nó vào số đầu tiên và có được thứ chúng ta đang tìm. Nếu cấp số được biểu thị bằng các giá trị nhỏ thì không có gì phức tạp, nhưng nếu chúng ta được cho các số trong điều kiện thì sao? Đồng ý, có khả năng xảy ra sai sót trong tính toán.
Bây giờ hãy nghĩ xem liệu có thể giải quyết vấn đề này trong một bước bằng cách sử dụng bất kỳ công thức nào không? Tất nhiên là có, và đó là những gì chúng tôi sẽ cố gắng đưa ra ngay bây giờ.

Chúng ta hãy biểu thị số hạng cần thiết của cấp số cộng vì công thức tìm nó đã được chúng ta biết - đây chính là công thức mà chúng ta đã rút ra lúc đầu:
, Sau đó:

• số hạng trước đó của tiến trình là:
• Số hạng tiếp theo của tiến trình là:

Hãy tổng hợp các điều khoản trước và sau của tiến trình:

Hóa ra tổng của các số hạng trước và sau của cấp số nhân là giá trị kép của số hạng cấp số nằm giữa chúng. Nói cách khác, để tìm giá trị của một số hạng lũy ​​tiến với các giá trị liền trước và các giá trị kế tiếp đã biết, bạn cần cộng chúng lại và chia cho.

Đúng vậy, chúng ta có cùng số. Hãy bảo đảm vật liệu. Tự mình tính toán giá trị cho sự tiến triển, nó không khó chút nào.

Làm tốt! Bạn biết hầu hết mọi thứ về sự tiến triển! Vẫn còn phải tìm ra một công thức duy nhất, mà theo truyền thuyết, đã được một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, “vua của các nhà toán học” - Karl Gauss dễ dàng suy luận ra cho chính mình...

Khi Carl Gauss 9 tuổi, một giáo viên đang bận kiểm tra bài làm của học sinh các lớp khác đã hỏi bài tập sau trong lớp: “Tính tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến (theo các nguồn khác đến) bao gồm hết”. Hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của giáo viên khi một phút sau một trong những học sinh của ông (đây là Karl Gauss) đã đưa ra câu trả lời đúng cho bài tập, trong khi hầu hết các bạn cùng lớp của kẻ liều mạng sau khi tính toán lâu dài đều nhận được kết quả sai...

Carl Gauss thời trẻ đã nhận thấy một khuôn mẫu nhất định mà bạn cũng có thể dễ dàng nhận thấy.
Giả sử chúng ta có một cấp số cộng bao gồm các số hạng -th: Chúng ta cần tìm tổng các số hạng này của cấp số cộng. Tất nhiên, chúng ta có thể tính tổng tất cả các giá trị theo cách thủ công, nhưng nếu nhiệm vụ yêu cầu tìm tổng các số hạng của nó, như Gauss đang tìm kiếm thì sao?

Hãy để chúng tôi mô tả sự tiến triển được đưa ra cho chúng tôi. Hãy xem kỹ các con số được đánh dấu và thử thực hiện các phép toán khác nhau với chúng.


Bạn đã thử nó chưa? Bạn đã nhận thấy điều gì? Phải! Tổng của chúng bằng nhau

Bây giờ hãy cho tôi biết, có tổng cộng bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình đưa ra cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa số đó.
Dựa vào thực tế là tổng của hai số hạng của một cấp số cộng bằng nhau và các cặp tương tự bằng nhau, ta có được điều đó tổng số tiền bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Trong một số bài toán, chúng ta không biết số hạng thứ nhưng chúng ta biết sự khác biệt của cấp số nhân. Hãy thử thay công thức của số hạng thứ vào công thức tính tổng.
Bạn đã nhận được gì?

Làm tốt! Bây giờ chúng ta quay trở lại bài toán đã đặt ra cho Carl Gauss: tự tính xem tổng các số bắt đầu từ số th bằng bao nhiêu và tổng các số bắt đầu từ số th bằng bao nhiêu.

Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss nhận thấy rằng tổng các số hạng bằng nhau và tổng các số hạng bằng nhau. Đó là điều bạn quyết định à?

Trên thực tế, công thức tính tổng các số hạng của một cấp số cộng đã được chứng minh bởi nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Diophantus vào thế kỷ thứ 3 và trong suốt thời gian này. những người hóm hỉnhđã sử dụng đầy đủ các tính chất của cấp số cộng.
Ví dụ, hãy tưởng tượng Ai Cập cổ đại và nhiều nhất xây dựng quy mô lớn thời điểm đó - việc xây dựng một kim tự tháp... Bức tranh cho thấy một mặt của nó.

Bạn nói sự tiến triển ở đây là ở đâu? Hãy quan sát cẩn thận và tìm ra mẫu số lượng khối cát ở mỗi hàng của bức tường kim tự tháp.


Tại sao không phải là một cấp số cộng? Tính xem cần bao nhiêu khối để xây một bức tường nếu gạch khối được đặt ở chân tường. Tôi hy vọng bạn sẽ không đếm khi di chuyển ngón tay trên màn hình, bạn có nhớ công thức cuối cùng và mọi điều chúng ta đã nói về cấp số cộng không?

TRONG trong trường hợp này sự tiến triển trông giống như như sau: .
Sự khác biệt cấp tiến số học.
Số số hạng của một cấp số cộng.
Hãy thay thế dữ liệu của chúng tôi vào các công thức cuối cùng (tính số khối theo 2 cách).

Phương pháp 1.

Phương pháp 2.

Và bây giờ bạn có thể tính toán trên màn hình: so sánh các giá trị thu được với số khối có trong kim tự tháp của chúng ta. Hiểu rồi? Làm tốt lắm, bạn đã nắm vững tổng các số hạng thứ n của một cấp số cộng.
Tất nhiên, bạn không thể xây dựng một kim tự tháp từ các khối ở chân đế, nhưng từ? Hãy thử tính xem cần bao nhiêu viên gạch cát để xây một bức tường với điều kiện này.
Bạn đã quản lý được chưa?
Câu trả lời đúng là khối:

Đào tạo

Nhiệm vụ:

1. Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần squat lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong một tuần nếu cô ấy tập squat trong buổi tập đầu tiên?
2. Tổng của tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu?
3. Khi lưu trữ nhật ký, người ghi nhật ký sẽ xếp chúng theo cách sao cho mỗi nhật ký lớp trên cùng chứa ít nhật ký hơn nhật ký trước đó. Có bao nhiêu khúc gỗ trong một khối xây, nếu nền của khối xây là khúc gỗ?

Câu trả lời:

1. Hãy xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
   (tuần = ngày).

   Trả lời: Trong hai tuần, Masha nên tập squat mỗi ngày một lần.

2. Đầu tiên số lẻ, số cuối cùng
   Sự khác biệt cấp tiến số học.
   Tuy nhiên, số lượng số lẻ trong đó là một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm số hạng thứ của một cấp số cộng:

   Số có chứa số lẻ.
   Hãy thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:

   Trả lời: Tổng của tất cả các số lẻ chứa trong đó bằng nhau.

3. Chúng ta hãy nhớ lại vấn đề về kim tự tháp. Đối với trường hợp của chúng tôi, a , vì mỗi lớp trên cùng bị giảm đi một bản ghi, nên tổng cộng có một loạt các lớp.
   Hãy thay thế dữ liệu vào công thức:

   Trả lời: Có những khúc gỗ trong khối xây.

Hãy tóm tắt lại

1. - một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề bằng nhau và bằng nhau. Nó có thể tăng hoặc giảm.
2. Tìm công thức Số hạng thứ của một cấp số cộng được viết theo công thức - , trong đó là số lượng các số trong cấp số cộng.
3. Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng- - số lượng các số đang tiến triển ở đâu.
4. Tổng các số hạng của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:
   
   , số lượng giá trị ở đâu.

TIẾN BỘ SỐ HỌC. CẤP TRUNG CẤP

Dãy số

Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích. Nhưng chúng ta luôn có thể nói cái nào là thứ nhất, cái nào là thứ hai, v.v., tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về một dãy số.

Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Nói cách khác, mỗi số có thể được liên kết với một số tự nhiên nhất định và một số duy nhất. Và chúng ta sẽ không gán số này cho bất kỳ số nào khác trong bộ này.

Số có số được gọi là thành viên thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của thành viên này: .

Sẽ rất thuận tiện nếu số hạng thứ của dãy có thể được xác định bằng một công thức nào đó. Ví dụ, công thức

đặt trình tự:

Và công thức là trình tự sau:

Ví dụ: một cấp số cộng là một dãy (số hạng đầu tiên ở đây bằng nhau và hiệu là). Hoặc (, sự khác biệt).

Công thức số hạng thứ n

Chúng tôi gọi một công thức là hồi quy, trong đó, để tìm ra số hạng thứ, bạn cần biết số hạng trước đó hoặc một số số hạng trước đó:

Ví dụ, để tìm số hạng thứ của cấp số cộng sử dụng công thức này, chúng ta sẽ phải tính số hạng trước đó. Ví dụ, hãy để nó. Sau đó:

Chà, bây giờ bạn đã rõ công thức là gì chưa?

Trong mỗi dòng chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Cái nào? Rất đơn giản: đây là số thành viên hiện tại trừ đi:

Bây giờ thuận tiện hơn nhiều phải không? Chúng tôi kiểm tra:

Hãy tự mình quyết định:

Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ một trăm.

Giải pháp:

Số hạng đầu tiên bằng nhau. Sự khác biệt là gì? Đây là những gì:

(Đây là lý do tại sao nó được gọi là hiệu vì nó bằng hiệu của các số hạng liên tiếp của cấp số).

Vì vậy, công thức:

Khi đó số hạng thứ trăm bằng:

Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là bao nhiêu?

Theo truyền thuyết, nhà toán học vĩ đại Karl Gauss, khi còn là một cậu bé 9 tuổi, đã tính được số tiền này trong vài phút. Ông nhận thấy rằng tổng của số đầu tiên và số cuối cùng bằng nhau, tổng của số thứ hai và số áp chót bằng nhau, tổng của số thứ ba và số thứ 3 tính từ cuối bằng nhau, v.v. Tổng cộng có bao nhiêu cặp như vậy? Đúng vậy, chính xác là một nửa số lượng của tất cả các số. Vì thế,

Công thức chung tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả số có hai chữ số, bội số.

Giải pháp:

Con số đầu tiên như vậy là thế này. Mỗi cái tiếp theo có được bằng cách thêm vào ngày trước đó. Vì vậy, những con số chúng ta quan tâm tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên và hiệu.

Công thức của số hạng thứ cho tiến trình này:

Có bao nhiêu số hạng trong dãy số nếu tất cả chúng đều phải có hai chữ số?

Rất dễ dàng: .

Số hạng cuối cùng của quá trình tiến triển sẽ bằng nhau. Khi đó tổng:

Trả lời: .

Bây giờ hãy tự quyết định:

1. Mỗi ngày vận động viên chạy được nhiều mét hơn ngày hôm trước. Anh ấy sẽ chạy tổng cộng bao nhiêu km trong một tuần nếu vào ngày đầu tiên anh ấy chạy km m?
2. Một người đi xe đạp mỗi ngày đi được nhiều km hơn ngày hôm trước. Ngày đầu tiên anh ấy đi được km. Anh ta cần phải đi bao nhiêu ngày để đi được một km? Anh ta sẽ đi được bao nhiêu km trong ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
3. Giá tủ lạnh ở cửa hàng mỗi năm đều giảm một lượng như nhau. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được rao bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.

Câu trả lời:

1. Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của tiến trình này:
   .
   Trả lời:
2. Ở đây nó được đưa ra: , phải được tìm thấy.
   Rõ ràng, bạn cần sử dụng công thức tính tổng tương tự như trong bài toán trước:
   .
   Thay thế các giá trị:

   Root rõ ràng là không phù hợp nên câu trả lời là.
   Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày cuối cùng bằng công thức của số hạng thứ:
   (km).
   Trả lời:

3. Được cho: . Tìm thấy: .
   Nó không thể đơn giản hơn:
   (chà xát).
   Trả lời:

TIẾN BỘ SỐ HỌC. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Đây là một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.

Cấp số cộng có thể tăng () và giảm ().

Ví dụ:

Công thức tìm số hạng thứ n của cấp số cộng

được viết theo công thức, ở đâu là số cấp số nhân.

Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng

Nó cho phép bạn dễ dàng tìm thấy một số hạng của một cấp số nếu đã biết các số hạng lân cận của nó - số lượng các số trong cấp số đó ở đâu.

Tổng các số hạng của một cấp số cộng

Có hai cách để tìm số tiền:

Số lượng giá trị ở đâu.

Số lượng giá trị ở đâu.

Phương châm của bài học của chúng ta sẽ là câu nói của nhà toán học người Nga V.P. Ermkova: “Trong toán học, người ta không nên nhớ các công thức mà nên nhớ các quá trình tư duy.”

Tiến độ bài học

Tuyên bố về vấn đề

Trên bảng là một bức chân dung của Gauss. Một giáo viên hoặc học sinh được giao nhiệm vụ chuẩn bị trước một thông điệp nói rằng khi Gauss ở trường, giáo viên yêu cầu học sinh cộng tất cả các thông tin lại với nhau. số tự nhiên từ 1 đến 100. Little Gauss đã giải được bài toán này trong một phút.

Câu hỏi . Gauss đã có được câu trả lời như thế nào?

Tìm giải pháp

Học sinh nêu giả thiết, sau đó tóm tắt: nhận ra các tổng là 1 + 100, 2 + 99, v.v. bằng nhau, Gauss nhân 101 với 50, tức là với số tổng như vậy. Nói cách khác, ông nhận thấy một khuôn mẫu vốn có của cấp số cộng.

Đạo hàm của công thức tính tổng N số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Viết chủ đề của bài học lên bảng và vào vở. Học sinh cùng giáo viên viết kết luận của công thức:

Cho phép Một 1 ; Một 2 ; Một 3 ; Một 4 ; ...; MỘT – 2 ; MỘT – 1 ; MỘT- tiến trình số học.

Hợp nhất sơ cấp

1. Sử dụng công thức (1), ta giải bài toán Gauss:

2. Sử dụng công thức (1), giải bài toán bằng miệng (ghi điều kiện lên bảng hoặc mã số dương), ( MỘT) - cấp số cộng:

MỘT) Một 1 = 2, Một 10 = 20. S 10 - ?

b) Một 1 = –5, Một 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) Một 1 = –2, Một 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) Một 1 = –5, Một 11 = 5. S 11 - ?

3. Hoàn thành nhiệm vụ.

Được cho: ( MỘT) - cấp số cộng;

Một 1 = 3, Một 60 = 57.

Tìm thấy: S 60 .

Giải pháp. Hãy sử dụng công thức tính tổng N số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Trả lời: 1800.

Câu hỏi bổ sung. Có bao nhiêu loại vấn đề khác nhau có thể được giải quyết bằng công thức này?

Trả lời. Bốn loại nhiệm vụ:

Tìm số tiền Sn;

Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng Một 1 ;

Tìm thấy N hạng thứ của cấp số cộng MỘT;

Tìm số hạng của một cấp số cộng.

4. Hoàn thành nhiệm vụ: Số 369(b).

Tìm tổng của sáu mươi số hạng đầu tiên của cấp số cộng ( MỘT), Nếu như Một 1 = –10,5, Một 60 = 51,5.

Giải pháp.

Trả lời: 1230.

Câu hỏi bổ sung. Viết công thức N hạng thứ của một cấp số cộng.

Trả lời: MỘT = Một 1 + d(N – 1).

5. Tính công thức chín số hạng đầu tiên của cấp số cộng ( b n),
Nếu như b 1 = –17, d = 6.

Có thể tính ngay bằng công thức được không?

Không, vì số hạng thứ chín chưa được biết.

Làm thế nào để tìm thấy nó?

Theo công thức N hạng thứ của một cấp số cộng.

Giải pháp. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Trả lời: 63.

Câu hỏi. Có thể tìm được tổng mà không cần tính số hạng thứ chín của cấp số không?

Tuyên bố về vấn đề

Vấn đề: lấy công thức tính tổng N số hạng đầu tiên của cấp số cộng, biết số hạng đầu tiên và hiệu của nó d.

(Học sinh ghi công thức lên bảng.)

Chúng tôi sẽ quyết định số 371(a) về công thức mới (2):

Chúng ta hãy thiết lập bằng lời các công thức (2) ( điều kiện của bài toán được viết trên bảng).

(MỘT

1. Một 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. Một 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Tìm hiểu từ học sinh những câu hỏi chưa rõ ràng.

Làm việc độc lập

Tùy chọn 1

Được cho: (MỘT) - cấp số cộng.

1. Một 1 = –3, Một 6 = 21. S 6 - ?

2. Một 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Tùy chọn 2

Được cho: (MỘT) - cấp số cộng.

1.Một 1 = 2, Một 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.Một 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Học sinh trao đổi vở và kiểm tra lời giải của nhau.

Tóm tắt việc học tài liệu dựa trên kết quả làm việc độc lập.