Toán học là môn khoa học xây dựng nên thế giới. Cả nhà khoa học và người bình thường - không ai có thể làm được nếu không có nó. Đầu tiên, trẻ nhỏ được dạy đếm, sau đó cộng, trừ, nhân và chia; ở trường cấp hai, các ký hiệu chữ cái phát huy tác dụng, và ở trường trung học chúng không còn có thể tránh được nữa.
Nhưng hôm nay chúng ta sẽ nói về nền tảng của toàn bộ toán học đã biết. Về một cộng đồng các con số được gọi là “giới hạn dãy số”.
Trình tự là gì và giới hạn của chúng ở đâu?
Ý nghĩa của từ “trình tự” không khó giải thích. Đây là sự sắp xếp những thứ mà ai đó hoặc thứ gì đó được đặt theo một thứ tự hoặc hàng đợi nhất định. Ví dụ: hàng đợi mua vé vào sở thú là một chuỗi. Và chỉ có thể có một! Ví dụ: nếu bạn nhìn vào hàng đợi ở cửa hàng, đây là một chuỗi. Và nếu một người trong hàng đợi này đột nhiên rời đi, thì đây là một hàng đợi khác, một thứ tự khác.
Từ “giới hạn” cũng dễ hiểu - đó là sự kết thúc của một điều gì đó. Tuy nhiên, trong toán học, giới hạn của dãy số là những giá trị trên trục số mà dãy số hướng tới. Tại sao nó phấn đấu mà không kết thúc? Rất đơn giản, trục số không có điểm kết thúc và hầu hết các chuỗi, giống như tia, chỉ có điểm bắt đầu và trông như thế này:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Do đó, định nghĩa của dãy là một hàm của đối số tự nhiên. Nói một cách đơn giản hơn, đây là một chuỗi các thành viên của một tập hợp nhất định.
Dãy số được cấu tạo như thế nào?
Một ví dụ đơn giản về dãy số có thể trông như sau: 1, 2, 3, 4, …n…
Trong hầu hết các trường hợp, vì mục đích thực tế, các chuỗi được xây dựng từ các con số và mỗi thành viên tiếp theo của chuỗi, hãy ký hiệu là X, có tên riêng. Ví dụ:
x 1 là thành viên đầu tiên của dãy;
x 2 là số hạng thứ hai của dãy;
x 3 là số hạng thứ ba;
x n là số hạng thứ n.
Trong các phương pháp thực tế, trình tự được đưa ra bởi một công thức chung trong đó có một biến nhất định. Ví dụ:
X n = 3n thì dãy số đó sẽ có dạng như sau:
Điều cần nhớ là khi viết trình tự nói chung, bạn có thể sử dụng bất kỳ chữ cái Latinh nào, không chỉ X. Ví dụ: y, z, k, v.v.
Cấp số cộng là một phần của dãy
Trước khi tìm kiếm giới hạn của dãy số, bạn nên tìm hiểu sâu hơn về khái niệm dãy số mà mọi người đều gặp phải khi còn học cấp hai. Cấp số cộng là một dãy số trong đó hiệu giữa các số hạng liền kề là không đổi.
Bài toán: “Cho a 1 = 15 và bậc tiến triển của dãy số d = 4. Hãy xây dựng 4 số hạng đầu tiên của dãy này"
Giải: a 1 = 15 (theo điều kiện) là số hạng đầu tiên của cấp số cộng (chuỗi số).
và 2 = 15+4=19 là số hạng thứ hai của cấp số nhân.
và 3 =19+4=23 là số hạng thứ ba.
và 4 =23+4=27 là số hạng thứ tư.
Tuy nhiên, sử dụng phương pháp này khó đạt được giá trị lớn, chẳng hạn lên tới 125. . Đặc biệt đối với những trường hợp như vậy, người ta đã rút ra một công thức thuận tiện cho việc thực hành: a n = a 1 + d(n-1). Trong trường hợp này, 125 =15+4(125-1)=511.
Các loại trình tự
Hầu hết các cảnh đều dài vô tận, đáng để bạn ghi nhớ suốt đời. Có hai loại dãy số thú vị. Giá trị đầu tiên được tính theo công thức a n =(-1) n. Các nhà toán học thường gọi chuỗi này là flasher. Tại sao? Hãy kiểm tra dãy số của nó.
1, 1, -1, 1, -1, 1, v.v. Với ví dụ như thế này, có thể thấy rõ rằng các số trong dãy có thể dễ dàng lặp lại.
Trình tự giai thừa. Thật dễ dàng để đoán - công thức xác định chuỗi có chứa giai thừa. Ví dụ: a n = (n+1)!
Sau đó, trình tự sẽ trông như thế này:
a 2 = 1x2x3 = 6;
và 3 = 1x2x3x4 = 24, v.v.
Một dãy được xác định bởi một cấp số cộng được gọi là giảm vô hạn nếu bất đẳng thức -1 được thỏa mãn với mọi số hạng của nó và 3 = - 1/8, v.v. Thậm chí còn có một chuỗi bao gồm cùng một số. Vì vậy, n = 6 bao gồm vô số số sáu. Giới hạn dãy đã tồn tại từ lâu trong toán học. Tất nhiên, họ xứng đáng có được thiết kế có thẩm quyền của riêng mình. Vì vậy, đã đến lúc tìm hiểu định nghĩa về giới hạn dãy. Trước tiên, hãy xem xét giới hạn của hàm tuyến tính một cách chi tiết: Thật dễ hiểu khi định nghĩa giới hạn của một dãy có thể được phát biểu như sau: đó là một con số nhất định mà tất cả các thành viên của dãy đều tiệm cận một cách vô hạn. Một ví dụ đơn giản: a x = 4x+1. Sau đó, trình tự sẽ trông như thế này. 5, 9, 13, 17, 21…x… Do đó, chuỗi này sẽ tăng vô hạn, nghĩa là giới hạn của nó bằng vô cùng là x→∞, và nó phải được viết như sau: Nếu chúng ta lấy một dãy tương tự, nhưng x tiến tới 1, chúng ta nhận được: Và dãy số sẽ như thế này: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, v.v. Mỗi lần bạn cần thay số gần một (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Từ loạt bài này rõ ràng giới hạn của hàm số là năm. Từ phần này, cần nhớ giới hạn của dãy số là gì, định nghĩa và phương pháp giải các bài toán đơn giản. Sau khi xem xét giới hạn của dãy số, định nghĩa và ví dụ của nó, bạn có thể chuyển sang một chủ đề phức tạp hơn. Tuyệt đối tất cả các giới hạn của dãy có thể được hình thành bằng một công thức, công thức này thường được phân tích trong học kỳ đầu tiên. Vậy tập hợp các chữ cái, mô-đun và dấu bất đẳng thức này có ý nghĩa gì? ∀ là một bộ định lượng phổ quát, thay thế các cụm từ “cho tất cả”, “cho mọi thứ”, v.v. ∃ là một bộ lượng hóa tồn tại, trong trường hợp này nó có nghĩa là có một giá trị N nào đó thuộc tập hợp số tự nhiên. Một thanh dọc dài theo sau N có nghĩa là tập hợp N đã cho là “sao cho”. Trong thực tế, nó có thể có nghĩa là “như vậy”, “như vậy”, v.v. Để củng cố tài liệu, hãy đọc to công thức. Phương pháp tìm giới hạn của dãy đã được thảo luận ở trên, mặc dù dễ sử dụng nhưng lại không hợp lý trong thực tế. Hãy thử tìm giới hạn cho hàm này: Nếu chúng ta thay thế các giá trị khác nhau của “x” (tăng dần: 10, 100, 1000, v.v.), thì chúng ta nhận được ∞ ở tử số nhưng cũng nhận được ∞ ở mẫu số. Điều này dẫn đến một phần khá kỳ lạ: Nhưng điều này có thực sự như vậy? Việc tính giới hạn của một dãy số trong trường hợp này có vẻ khá dễ dàng. Có thể để nguyên mọi thứ vì câu trả lời đã sẵn sàng và nó đã được nhận trong những điều kiện hợp lý, nhưng có một cách khác dành riêng cho những trường hợp như vậy. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm bậc cao nhất của tử số của phân số - đây là 1, vì x có thể được biểu diễn dưới dạng x 1. Bây giờ chúng ta hãy tìm mức độ cao nhất trong mẫu số. Cũng 1. Hãy chia cả tử số và mẫu số cho biến ở mức độ cao nhất. Trong trường hợp này, chia phân số cho x 1. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị mà mỗi số hạng chứa một biến có xu hướng hướng tới. Trong trường hợp này, phân số được xem xét. Khi x→∞, giá trị của mỗi phân số có xu hướng bằng 0. Khi gửi tác phẩm của mình bằng văn bản, bạn nên ghi chú thích cuối trang sau: Điều này dẫn đến biểu thức sau: Tất nhiên, các phân số chứa x không trở thành số 0! Nhưng giá trị của chúng quá nhỏ nên hoàn toàn được phép không tính đến nó trong tính toán. Thực tế, x sẽ không bao giờ bằng 0 trong trường hợp này, vì bạn không thể chia cho 0. Giả sử giáo sư có sẵn một chuỗi phức tạp, rõ ràng là được đưa ra bởi một công thức phức tạp không kém. Giáo sư đã tìm ra câu trả lời nhưng liệu nó có đúng không? Rốt cuộc, tất cả mọi người đều phạm sai lầm. Auguste Cauchy đã từng nghĩ ra một cách tuyệt vời để chứng minh giới hạn của dãy số. Phương pháp của ông được gọi là thao túng khu phố. Giả sử có một điểm a nhất định, lân cận của nó theo cả hai hướng trên trục số bằng ε (“epsilon”). Vì biến cuối cùng là khoảng cách nên giá trị của nó luôn dương. Bây giờ hãy xác định một số dãy x n và giả sử rằng số hạng thứ mười của dãy (x 10) nằm trong lân cận của a. Làm thế nào chúng ta có thể viết sự thật này bằng ngôn ngữ toán học? Giả sử x 10 nằm bên phải điểm a thì khoảng cách x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Bây giờ là lúc giải thích công thức đã thảo luận ở trên trong thực tế. Công bằng mà nói một số nhất định là điểm cuối của một dãy nếu với bất kỳ giới hạn nào của nó, bất đẳng thức ε>0 được thỏa mãn và toàn bộ vùng lân cận có số tự nhiên N riêng của nó, sao cho tất cả các thành viên của dãy có số cao hơn sẽ nằm trong dãy |x n - a|< ε. Với kiến thức như vậy, thật dễ dàng để giải các giới hạn dãy, chứng minh hoặc bác bỏ câu trả lời có sẵn. Các định lý về giới hạn của dãy là một thành phần quan trọng của lý thuyết, nếu không có nó thì không thể thực hành được. Chỉ có bốn định lý chính, việc ghi nhớ định lý nào có thể giúp cho việc giải hoặc chứng minh dễ dàng hơn nhiều: Đôi khi bạn cần giải một bài toán nghịch đảo, để chứng minh giới hạn cho trước của một dãy số. Hãy xem một ví dụ. Chứng minh rằng giới hạn của dãy cho bởi công thức bằng 0. Theo quy tắc đã thảo luận ở trên, với bất kỳ dãy nào, bất đẳng thức |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Chúng ta hãy biểu diễn n thông qua “epsilon” để chứng tỏ sự tồn tại của một số nhất định và chứng minh sự tồn tại của giới hạn của dãy. Tại thời điểm này, điều quan trọng cần nhớ là “epsilon” và “en” là các số dương và không bằng 0. Bây giờ có thể tiếp tục những biến đổi sâu hơn bằng cách sử dụng kiến thức về bất đẳng thức đã học được ở trường trung học. Làm sao hóa ra n > -3 + 1/ε. Vì cần nhớ rằng chúng ta đang nói về số tự nhiên nên kết quả có thể được làm tròn bằng cách đặt trong ngoặc vuông. Do đó, người ta đã chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của vùng lân cận “epsilon” của điểm a = 0, sẽ tìm thấy một giá trị sao cho bất đẳng thức ban đầu được thỏa mãn. Từ đây chúng ta có thể nói một cách an toàn rằng số a là giới hạn của một dãy cho trước. Q.E.D. Phương pháp thuận tiện này có thể được sử dụng để chứng minh giới hạn của một dãy số, bất kể thoạt nhìn nó phức tạp đến mức nào. Điều chính là không hoảng sợ khi nhìn thấy nhiệm vụ. Sự tồn tại của giới hạn nhất quán là không cần thiết trong thực tế. Bạn có thể dễ dàng bắt gặp những dãy số thực sự không có hồi kết. Ví dụ: cùng một “đèn nhấp nháy” x n = (-1) n. Rõ ràng là một dãy chỉ gồm hai chữ số, lặp đi lặp lại theo chu kỳ, không thể có giới hạn. Câu chuyện tương tự được lặp lại với các chuỗi bao gồm một số, số phân số, không chắc chắn về bất kỳ thứ tự nào trong quá trình tính toán (0/0, ∞/∞, ∞/0, v.v.). Tuy nhiên, cần nhớ rằng tính toán sai cũng có thể xảy ra. Đôi khi việc kiểm tra kỹ lời giải của riêng bạn sẽ giúp bạn tìm ra giới hạn trình tự. Một số ví dụ về trình tự và phương pháp giải chúng đã được thảo luận ở trên và bây giờ chúng ta hãy thử lấy một trường hợp cụ thể hơn và gọi nó là “chuỗi đơn điệu”. Định nghĩa: bất kỳ dãy nào cũng có thể được gọi là tăng đơn điệu nếu bất đẳng thức nghiêm ngặt x n đúng với nó< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn +1. Cùng với hai điều kiện này còn có những bất đẳng thức không chặt chẽ tương tự. Theo đó, x n ≤ x n +1 (chuỗi không giảm) và x n ≥ x n +1 (chuỗi không tăng). Nhưng sẽ dễ hiểu điều này hơn bằng các ví dụ. Dãy số theo công thức x n = 2+n tạo thành dãy số sau: 4, 5, 6, v.v. Đây là một dãy số tăng đơn điệu. Và nếu lấy x n =1/n, chúng ta sẽ có chuỗi: 1/3, ¼, 1/5, v.v. Đây là một dãy số giảm dần đơn điệu. Dãy số bị chặn là dãy có giới hạn. Dãy số hội tụ là dãy số có giới hạn vô cùng nhỏ. Vì vậy, giới hạn của một dãy bị chặn là số thực hoặc số phức bất kỳ. Hãy nhớ rằng chỉ có thể có một giới hạn. Giới hạn của dãy hội tụ là một đại lượng vô cùng nhỏ (thực hoặc phức). Nếu bạn vẽ sơ đồ trình tự thì đến một điểm nào đó nó sẽ có vẻ hội tụ, có xu hướng biến thành một giá trị nhất định. Do đó có tên - dãy hội tụ. Có thể có hoặc không có giới hạn cho trình tự như vậy. Đầu tiên, sẽ rất hữu ích khi hiểu khi nào nó tồn tại; từ đây bạn có thể bắt đầu chứng minh sự vắng mặt của giới hạn. Trong số các chuỗi đơn điệu, có sự hội tụ và phân kỳ. Hội tụ là một dãy được hình thành bởi tập x và có giới hạn thực hoặc giới hạn phức trong tập hợp này. Phân kỳ là một chuỗi không có giới hạn trong tập hợp của nó (không thực cũng không phức). Hơn nữa, chuỗi hội tụ nếu trong biểu diễn hình học, giới hạn trên và giới hạn dưới của nó hội tụ. Giới hạn của chuỗi hội tụ có thể bằng 0 trong nhiều trường hợp, vì bất kỳ chuỗi vô hạn nào cũng có giới hạn đã biết (không). Cho dù bạn chọn chuỗi hội tụ nào thì chúng đều bị chặn, nhưng không phải tất cả các chuỗi bị chặn đều hội tụ. Tổng, hiệu, tích của hai dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ. Tuy nhiên, thương cũng có thể hội tụ nếu nó được xác định! Giới hạn chuỗi cũng quan trọng (trong hầu hết các trường hợp) như các chữ số và số: 1, 2, 15, 24, 362, v.v. Hóa ra một số thao tác có thể được thực hiện với các giới hạn. Đầu tiên, giống như chữ số và số, giới hạn của bất kỳ chuỗi nào cũng có thể được cộng và trừ. Dựa vào định lý thứ ba về giới hạn của dãy, đẳng thức sau đây có giá trị: giới hạn của tổng các dãy bằng tổng các giới hạn của chúng. Thứ hai, dựa vào định lý thứ tư về giới hạn của dãy, đẳng thức sau đây đúng: giới hạn tích của số dãy thứ n bằng tích giới hạn của chúng. Điều tương tự cũng đúng đối với phép chia: giới hạn thương của hai dãy bằng thương của giới hạn của chúng, với điều kiện giới hạn đó không bằng 0. Xét cho cùng, nếu giới hạn của dãy bằng 0 thì sẽ xảy ra phép chia cho 0, điều này là không thể. Có vẻ như giới hạn của dãy số đã được thảo luận chi tiết, nhưng các cụm từ như số “vô cùng nhỏ” và “vô cùng lớn” được nhắc đến nhiều lần. Rõ ràng, nếu có một dãy 1/x, trong đó x→∞, thì phân số đó là vô cùng nhỏ, và nếu cùng một dãy, nhưng giới hạn tiến tới 0 (x→0), thì phân số đó trở thành một giá trị vô cùng lớn. Và số lượng như vậy có những đặc điểm riêng. Các tính chất của giới hạn của dãy có giá trị lớn hoặc nhỏ bất kỳ như sau: Trên thực tế, việc tính giới hạn của dãy không quá khó nếu bạn biết một thuật toán đơn giản. Nhưng giới hạn của sự nhất quán là một chủ đề đòi hỏi sự quan tâm và kiên trì tối đa. Tất nhiên, chỉ cần nắm được bản chất của giải pháp cho những biểu hiện như vậy là đủ. Bắt đầu từ việc nhỏ, bạn có thể đạt được những đỉnh cao lớn theo thời gian. Trong bài học này chúng ta sẽ học được rất nhiều điều thú vị từ cuộc sống của các thành viên của một cộng đồng lớn mang tên Vkontakte dãy số. Chủ đề đang được xem xét không chỉ liên quan đến quá trình phân tích toán học mà còn liên quan đến những điều cơ bản toán học rời rạc. Ngoài ra, tài liệu sẽ được yêu cầu để thành thạo các phần khác của tòa tháp, đặc biệt là trong quá trình nghiên cứu. dãy số Và loạt chức năng. Bạn có thể nói một cách sáo rỗng rằng điều này quan trọng, bạn có thể nói khích lệ rằng nó đơn giản, bạn có thể nói nhiều cụm từ thông dụng hơn, nhưng hôm nay là tuần đầu tiên đi học, lười biếng một cách bất thường, nên viết đoạn đầu tiên tôi thấy bứt rứt lắm =) Tôi Tôi đã lưu hồ sơ vào lòng và chuẩn bị đi ngủ thì đột nhiên... đầu tôi bừng sáng ý tưởng về một lời tỏ tình chân thành, khiến tâm hồn tôi nhẹ nhõm vô cùng và thôi thúc tôi tiếp tục gõ ngón tay trên bàn phím. . Hãy cùng tạm gác lại những ký ức mùa hè và nhìn vào thế giới hấp dẫn và tích cực này của mạng xã hội mới: Đầu tiên, chúng ta hãy nghĩ về chính từ đó: trình tự là gì? Trình tự là khi một cái gì đó theo sau một cái gì đó. Ví dụ: một chuỗi hành động, một chuỗi các mùa. Hoặc khi có người ở phía sau ai đó. Ví dụ: dãy người xếp hàng, dãy voi trên đường đến hố tưới nước. Hãy để chúng tôi làm rõ ngay các tính năng đặc trưng của trình tự. Trước hết, thành viên chuỗiđược đặt chặt chẽ theo một trình tự nhất định. Vì vậy, nếu hai người trong hàng đợi được đổi chỗ cho nhau thì điều này sẽ là khác tiếp theo. Thứ hai, mọi người thành viên chuỗi Bạn có thể chỉ định một số sê-ri: Điều này cũng tương tự với những con số. Cho phép cho mỗi người giá trị tự nhiên theo một quy tắc nào đó trùng với một số thực. Sau đó, họ nói rằng một chuỗi số được đưa ra. Đúng vậy, trong các bài toán, không giống như các tình huống trong cuộc sống, dãy số hầu như luôn chứa vô số những con số. Trong đó: Trong thực tế, trình tự thường được đưa ra công thức thuật ngữ chung, Ví dụ: Do đó, bản ghi xác định duy nhất tất cả các thành viên của chuỗi - đây là quy tắc (công thức) theo đó các giá trị tự nhiên Dãy số lẻ dương: Một trình tự phổ biến khác: Như nhiều người có thể đã nhận thấy, biến “en” đóng vai trò như một loại bộ đếm. Trên thực tế, chúng ta đã giải quyết các dãy số ở trường cấp hai. Xin hãy nhớ cấp số cộng. Tôi sẽ không viết lại định nghĩa; hãy đề cập đến bản chất bằng một ví dụ cụ thể. Đặt - là số hạng đầu tiên, và - bước chân cấp số cộng. Sau đó: Ghi chú
: trong một công thức truy hồi, mỗi số hạng tiếp theo được biểu diễn dưới dạng số hạng trước đó hoặc thậm chí dưới dạng toàn bộ các số hạng trước đó. Công thức thu được ít được sử dụng trong thực tế - để có được, chẳng hạn như, bạn cần phải xem qua tất cả các thuật ngữ trước đó. Và trong toán học, người ta đã tìm ra một biểu thức thuận tiện hơn cho số hạng thứ n của cấp số cộng: Thay số tự nhiên vào công thức và kiểm tra tính đúng đắn của dãy số được xây dựng ở trên. Tính toán tương tự có thể được thực hiện cho cấp số nhân, số hạng thứ n được tính theo công thức , số hạng đầu tiên ở đâu và - mẫu số sự tiến triển. Trong các bài toán, số hạng đầu tiên thường bằng một. sự tiến triển thiết lập trình tự Tôi hy vọng mọi người biết rằng –1 lũy thừa lẻ bằng –1, và lũy thừa chẵn – một. Sự tiến hóa được gọi là giảm vô hạn, if (hai trường hợp cuối). Hãy thêm hai người bạn mới vào danh sách của chúng ta, một trong số họ vừa gõ vào ma trận của màn hình: Trình tự trong thuật ngữ toán học được gọi là “chớp mắt”: Như vậy, các thành viên trong chuỗi có thể được lặp lại. Vì vậy, trong ví dụ đang xem xét, dãy bao gồm hai số xen kẽ vô hạn. Liệu có xảy ra trường hợp một dãy bao gồm các số giống hệt nhau không? Chắc chắn. Ví dụ: nó đặt vô số “ba”. Đối với người có thẩm mỹ, có trường hợp “en” vẫn xuất hiện chính thức trong công thức: Hãy mời một người bạn đơn giản nhảy: Điều gì xảy ra khi "en" tăng lên vô cùng? Hiển nhiên, các thành viên của dãy sẽ là vô cùng gần gũi tiếp cận số không. Đây là giới hạn của chuỗi này, được viết như sau: Nếu giới hạn của dãy bằng 0 thì nó được gọi là vô cùng nhỏ. Trong lý thuyết phân tích toán học, nó được đưa ra định nghĩa chặt chẽ về giới hạn chuỗi thông qua cái gọi là vùng lân cận epsilon. Bài viết tiếp theo sẽ dành cho định nghĩa này, nhưng bây giờ chúng ta hãy xem ý nghĩa của nó: Chúng ta hãy mô tả trên trục số các số hạng của dãy và tính đối xứng lân cận đối với 0 (giới hạn): Trình tự cũng vô cùng nhỏ: với điểm khác biệt là các thành viên của nó không nhảy tới nhảy lui mà chỉ tiếp cận giới hạn từ bên phải. Đương nhiên, giới hạn có thể bằng bất kỳ số hữu hạn nào khác, một ví dụ cơ bản: Ở đây phân số có xu hướng bằng 0 và theo đó, giới hạn bằng “hai”. Nếu trình tự có một giới hạn hữu hạn, thì nó được gọi là hội tụ(đặc biệt, vô cùng nhỏ Tại ). Nếu không thì - khác nhau, trong trường hợp này, có thể có hai lựa chọn: hoặc giới hạn hoàn toàn không tồn tại hoặc giới hạn là vô hạn. Trong trường hợp sau, chuỗi được gọi vô cùng lớn. Hãy phi nước đại qua các ví dụ của đoạn đầu tiên: trình tự Một cấp số cộng với số hạng và bước đầu tiên cũng vô cùng lớn: Nhân tiện, bất kỳ cấp số cộng nào cũng phân kỳ, ngoại trừ trường hợp có bước 0 - khi . Giới hạn của dãy như vậy tồn tại và trùng với số hạng đầu tiên. Các trình tự có số phận tương tự: Bất kỳ tiến trình hình học giảm vô hạn nào, như đã rõ từ tên, vô cùng nhỏ: Nếu mẫu số của cấp số nhân là , thì dãy số này lớn vô cùng: Ví dụ: nếu giới hạn hoàn toàn không tồn tại, vì các thành viên không ngừng nhảy tới “cộng vô cực” hoặc “trừ vô cực”. Và lẽ thường và các định lý của Matan cho thấy rằng nếu có điều gì đó đang phấn đấu ở đâu đó thì đây là nơi duy nhất được trân trọng. Sau một chút tiết lộ Giai thừa là vô cùng lớn sự liên tiếp: Hơn nữa, nó đang phát triển nhảy vọt nên là một số có hơn 100 chữ số (chữ số)! Tại sao chính xác là 70? Trên đó, chiếc máy tính vi mô kỹ thuật của tôi cầu xin sự thương xót. Với phát bắn điều khiển, mọi thứ phức tạp hơn một chút và chúng ta vừa đi đến phần thực hành của bài giảng, trong đó chúng ta sẽ phân tích các ví dụ chiến đấu: Nhưng bây giờ bạn cần có khả năng giải các giới hạn của hàm, ít nhất là ở mức độ của hai bài học cơ bản: Hạn mức. Ví dụ về giải pháp Và Giới hạn tuyệt vời. Vì nhiều phương pháp giải sẽ giống nhau. Tuy nhiên, trước hết, hãy phân tích sự khác biệt cơ bản giữa giới hạn của dãy và giới hạn của hàm: Trong giới hạn của dãy, biến “động” “en” có thể có xu hướng chỉ đến "cộng vô cùng"- Hướng tới tăng số lượng tự nhiên Tiếp theo rời rạc(không liên tục), nghĩa là nó bao gồm các thành viên riêng lẻ bị cô lập. Một, hai, ba, bốn, năm, chú thỏ ra ngoài đi dạo. Đối số của một hàm được đặc trưng bởi tính liên tục, tức là “X” trơn tru, không có sự cố, có xu hướng về giá trị này hoặc giá trị khác. Và theo đó, các giá trị của hàm cũng sẽ liên tục tiến đến giới hạn của chúng. Bởi vì sự rời rạc trong các trình tự có những thứ đặc trưng riêng, chẳng hạn như giai thừa, “đèn nhấp nháy”, tiến trình, v.v. Và bây giờ tôi sẽ cố gắng phân tích các giới hạn dành riêng cho chuỗi. Hãy bắt đầu với sự tiến triển: ví dụ 1 Tìm giới hạn của dãy Giải pháp: một cái gì đó tương tự như một cấp số nhân giảm vô hạn, nhưng thực sự có phải vậy không? Để rõ ràng, hãy viết ra một vài thuật ngữ đầu tiên: Kể từ đó chúng ta đang nói về số lượng số hạng của cấp số nhân giảm vô hạn, được tính theo công thức. Chúng tôi đưa ra quyết định: Chúng tôi sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân giảm vô hạn: . Trong trường hợp này: – số hạng đầu tiên, – mẫu số của cấp số nhân. Ví dụ 2 Viết bốn số hạng đầu tiên của dãy và tìm giới hạn của nó Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Để loại bỏ sự không chắc chắn trong tử số, bạn sẽ cần áp dụng công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của cấp số cộng: Vì bên trong dãy số "en" luôn có xu hướng "cộng vô cùng", nên không có gì đáng ngạc nhiên khi độ bất định là một trong những dãy số phổ biến nhất. Hoặc có thể một cái gì đó phức tạp hơn như Từ quan điểm hình thức, sự khác biệt sẽ chỉ nằm ở một chữ cái - “x” ở đây và “en” ở đây. Ngoài ra, sự không chắc chắn trong các chuỗi là khá phổ biến. Cách giải giới hạn như Để hiểu giới hạn, tham khảo Ví dụ số 7 của bài học Giới hạn tuyệt vời(giới hạn đáng chú ý thứ hai cũng đúng cho trường hợp rời rạc). Giải pháp sẽ lại giống như một bản sao với một chữ cái khác nhau. Bốn ví dụ tiếp theo (Số 3-6) cũng có tính “hai mặt”, nhưng trong thực tế vì lý do nào đó chúng mang tính chất giới hạn trình tự hơn là giới hạn hàm: Ví dụ 3 Tìm giới hạn của dãy Giải pháp: đầu tiên là giải pháp hoàn chỉnh, sau đó là nhận xét từng bước: (1) Ở tử số, chúng ta sử dụng công thức hai lần. (2) Chúng tôi trình bày các số hạng tương tự ở tử số. (3) Để loại bỏ sự không chắc chắn, hãy chia tử số và mẫu số cho (“en” ở mức độ cao nhất). Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp. Ví dụ 4 Tìm giới hạn của dãy Đây là ví dụ để bạn tự giải nhé công thức nhân rút gọn giúp đỡ. Trong vòng s biểu thị Dãy số sử dụng phương pháp tương tự để chia tử số và mẫu số: Ví dụ 5 Tìm giới hạn của dãy Giải pháp Hãy sắp xếp nó theo cùng một sơ đồ: Nhân tiện, một định lý tương tự cũng đúng đối với các hàm: tích của một hàm bị chặn và một hàm vô cùng nhỏ là một hàm vô cùng nhỏ. Ví dụ 9 Tìm giới hạn của dãy Hàm a n =f(n) của đối số tự nhiên n(n=1; 2; 3; 4;...) được gọi là dãy số. Số a 1; một 2 ; một 3 ; a 4 ;…, tạo thành một dãy, được gọi là các phần tử của một dãy số. Vậy a 1 = f (1); a 2 = f(2); a 3 =f(3); a 4 =f(4);… Vì vậy, các thành viên của chuỗi được chỉ định bằng các chữ cái chỉ chỉ số - số sê-ri của các thành viên: a 1 ; một 2 ; một 3 ; a 4 ;…, do đó, a 1 là thành viên đầu tiên của dãy; a 2 là số hạng thứ hai của dãy; số 3 là thành viên thứ ba của dãy; số 4 là số hạng thứ tư của dãy, v.v. Tóm lại, dãy số được viết như sau: a n =f(n) hoặc (an). Có những cách sau để xác định một dãy số: 1)
Phương pháp bằng lời nói. Biểu thị một mẫu hoặc quy tắc sắp xếp các thành viên của một chuỗi, được mô tả bằng lời. Ví dụ 1. Viết dãy số không âm là bội số của 5. Giải pháp. Vì tất cả các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 đều chia hết cho 5 nên dãy số sẽ được viết như sau: 0; 5; 10; 15; 20; 25; ... Ví dụ 2. Cho dãy: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Hãy hỏi nó bằng lời nói. Giải pháp. Chúng tôi nhận thấy rằng 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Ta kết luận: cho một dãy gồm các số tự nhiên bình phương. 2)
Phương pháp phân tích. Trình tự được cho bởi công thức của số hạng thứ n: a n = f (n). Sử dụng công thức này, bạn có thể tìm thấy bất kỳ thành viên nào của chuỗi. Ví dụ 3. Biểu thức số hạng thứ k của dãy số đã biết: a k = 3+2·(k+1). Tính bốn số hạng đầu tiên của dãy này. a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7; a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9; a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11; a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13. Ví dụ 4. Xác định quy tắc soạn dãy số có một số phần tử đầu tiên và biểu diễn số hạng tổng quát của dãy bằng công thức đơn giản hơn: 1; 3; 5; 7; 9; ... . Giải pháp. Chúng tôi nhận thấy rằng chúng tôi được cung cấp một chuỗi các số lẻ. Bất kỳ số lẻ nào cũng có thể viết dưới dạng: 2k-1, trong đó k là số tự nhiên, tức là k=1; 2; 3; 4; ... . Trả lời: ak = 2k-1. 3)
Phương pháp tái phát. Trình tự cũng được đưa ra bởi một công thức, nhưng không phải bởi một công thức thuật ngữ tổng quát, công thức này chỉ phụ thuộc vào số của thuật ngữ. Một công thức được chỉ định theo đó mỗi thuật ngữ tiếp theo được tìm thấy thông qua các thuật ngữ trước đó. Trong trường hợp phương pháp xác định hàm lặp lại, một hoặc một số thành viên đầu tiên của chuỗi luôn được chỉ định bổ sung. Ví dụ 5. Viết bốn số hạng đầu tiên của dãy (an ), nếu a 1 = 7; một n+1 = 5+a n . a 2 =5+a 1 =5+7=12; a 3 =5+a 2 =5+12=17; a 4 =5+a 3 =5+17=22. Trả lời: 7; 12; 17; 22; ... . Ví dụ 6. Viết năm số hạng đầu tiên của dãy (b n), nếu b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 . b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1; b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5; b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Đáp án: -2; 3; -1; 5; 3; ... . 4)
Phương pháp đồ họa. Chuỗi số được đưa ra bởi một biểu đồ, biểu thị các điểm bị cô lập. Trục hoành các điểm này là số tự nhiên: n=1; 2; 3; 4; ... . Pháp lệnh là giá trị của các thành viên trong dãy: a 1 ; một 2 ; một 3 ; là 4 ;… . Ví dụ 7. Viết tất cả năm số hạng của dãy số cho bằng đồ thị. Mỗi điểm trong mặt phẳng tọa độ này có tọa độ (n; a n). Hãy viết tọa độ các điểm đã đánh dấu theo thứ tự tăng dần của hoành độ n. Ta có: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7). Do đó, a 1 = -3; a 2 = 1; một 3 = 4; a 4 = 6; một 5 = 7. Trả lời: -3; 1; 4; 6; 7. Dãy số được coi là hàm số (trong ví dụ 7) được cho trên tập hợp năm số tự nhiên đầu tiên (n=1; 2; 3; 4; 5), do đó, là dãy số hữu hạn(gồm 5 thành viên). Nếu một dãy số dưới dạng hàm được cho trên toàn bộ tập hợp số tự nhiên thì dãy đó sẽ là một dãy số vô hạn.Xác định giới hạn trình tự
Ký hiệu chung cho giới hạn của trình tự
Sự không chắc chắn và chắc chắn của giới hạn
Một khu phố là gì?
Định lý
Bằng chứng về trình tự
Hoặc có lẽ anh ấy không có ở đó?
Trình tự đơn điệu
Giới hạn của dãy hội tụ và bị chặn
Giới hạn của dãy đơn điệu
Các hành động khác nhau có giới hạn
Tính chất của đại lượng dãy
Dãy số.
Làm sao ?Khái niệm về dãy số
gọi điện thành viên đầu tiên trình tự;
– thành viên thứ hai trình tự;
– thành viên thứ ba trình tự;
…
– thứ n hoặc thành viên chung trình tự;
…
– dãy số chẵn dương: 
các con số được khớp. Do đó, trình tự này thường được biểu thị ngắn gọn bằng một thuật ngữ chung và thay vì “x”, các chữ cái Latinh khác có thể được sử dụng, ví dụ:
- số hạng thứ hai của cấp số nhân này;
- số hạng thứ ba của cấp số nhân này;
- thứ tư; 
- thứ năm;
…
Và hiển nhiên số hạng thứ n đã cho tái diễn công thức
. Trong trường hợp của chúng ta: 
;
sự tiến triển 
thiết lập trình tự;
sự tiến triển 
thiết lập trình tự 
;
sự tiến triển 
thiết lập trình tự 
.
Bây giờ hãy véo vùng màu xanh lam bằng các cạnh của lòng bàn tay và bắt đầu giảm nó, kéo nó về phía giới hạn (điểm màu đỏ). Một số là giới hạn của một chuỗi nếu CHO BẤT KỲ vùng lân cận nào được chọn trước (nhỏ như bạn muốn) sẽ ở bên trong nó vô số các thành viên của chuỗi và BÊN NGOÀI nó - chỉ cuối cùng số lượng thành viên (hoặc không có thành viên nào cả). Nghĩa là, vùng lân cận epsilon có thể cực nhỏ, thậm chí còn nhỏ hơn, nhưng “đuôi vô hạn” của chuỗi sớm hay muộn cũng phải đầy đủđi vào khu vực.
là vô cùng lớn, khi các thành viên của họ tự tin tiến tới “cộng vô cực”: 
Rõ ràng là "đèn nhấp nháy" là nguyên nhân dẫn đến việc ném không thể kiểm soát được, nhân tiện, nó tự chuyển hướng.
Thật vậy, đối với một dãy thì dễ dàng chọn một lân cận mà chỉ kẹp số –1. Kết quả là, vô số thành viên chuỗi (“cộng thêm”) sẽ vẫn ở bên ngoài vùng lân cận này. Nhưng theo định nghĩa, “đuôi vô hạn” của dãy tại một thời điểm nhất định (số tự nhiên) phải đầy đủđi vào BẤT KỲ vùng lân cận nào trong giới hạn của bạn. Kết luận: bầu trời là giới hạn.
.
Trong giới hạn của hàm, “x” có thể được định hướng ở bất cứ đâu – tới “cộng/trừ vô cực” hoặc tới một số thực tùy ý.
, ở đâu là số hạng đầu tiên và a là số hạng thứ n của cấp số nhân.
Và nhiều ví dụ được giải theo cách tương tự như hàm giới hạn!
? Tham khảo Ví dụ số 3 của bài viết Các phương pháp giải giới hạn.
Kỹ thuật này giống nhau - tử số và mẫu số phải được chia cho “en” ở mức cao nhất.
có thể được tìm thấy trong Ví dụ số 11-13 của cùng một bài viết.
