Định lý 1. Tổng góc đối diện tứ giác nội tiếp bằng 180°.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O (Hình 412). Cần chứng minh ∠A + ∠C = 180° và ∠B + ∠D = 180°.
∠A, nội tiếp trong đường tròn O, có số đo 1 / 2 \(\breve(BCD)\).
∠C, như được ghi trong cùng một vòng tròn, đo 1 / 2 \(\breve(BAD)\).
Do đó, tổng các góc A và C được đo bằng tổng nửa cung BCD và BAD, tổng cộng các cung này tạo thành một đường tròn, tức là. có 360°.
Do đó ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
Người ta chứng minh tương tự rằng ∠B + ∠D = 180°. Tuy nhiên, điều này có thể được suy luận theo một cách khác. Chúng tôi biết rằng số tiền góc bên trong của một tứ giác lồi là 360°. Tổng các góc A và C bằng 180°, nghĩa là tổng hai góc còn lại của tứ giác cũng bằng 180°.
Định lý 2 (nghịch đảo). Nếu trong một tứ giác tổng hai góc đối diện bằng nhau 180° , thì có thể mô tả một đường tròn bao quanh một tứ giác như vậy.
Cho tổng các góc đối diện của tứ giác ABCD bằng 180°, gọi là
∠A + ∠C = 180° và ∠B + ∠D = 180° (Hình 412).
Hãy để chúng tôi chứng minh rằng một hình tròn có thể được mô tả xung quanh một tứ giác như vậy.
Bằng chứng. Qua 3 đỉnh bất kỳ của tứ giác này, bạn có thể vẽ một đường tròn, ví dụ qua các điểm A, B và C. Điểm D sẽ nằm ở đâu?
Điểm D chỉ có thể chiếm một trong ba tiếp theo các vị trí: ở trong vòng tròn, ở ngoài vòng tròn, ở trên chu vi của vòng tròn.
Giả sử rằng đỉnh nằm trong đường tròn và ở vị trí D' (Hình 413). Khi đó tứ giác ABCD' ta có:
∠B + ∠D' = 2 d.
Tiếp tục cạnh AD' cắt đường tròn tại điểm E và nối hai điểm E và C, ta thu được tứ giác nội tiếp ABCE, trong đó theo định lý trực tiếp
∠B + ∠E = 2 d.
Từ hai đẳng thức này suy ra:
∠D' = 2 d- ∠B;
∠E = 2 d- ∠B;
nhưng điều này không thể xảy ra, vì ∠D', nằm ngoài so với tam giác CD'E, phải lớn hơn góc E. Do đó, điểm D không thể nằm trong đường tròn.
Người ta cũng chứng minh được rằng đỉnh D không thể chiếm vị trí D” bên ngoài đường tròn (Hình 414).
Cần phải thừa nhận rằng đỉnh D phải nằm trên chu vi của đường tròn, tức là trùng với điểm E, nghĩa là có thể mô tả một đường tròn xung quanh tứ giác ABCD.
Hậu quả.
1. Một vòng tròn có thể được mô tả xung quanh bất kỳ hình chữ nhật nào.
2. Xung quanh hình thang cân có thể mô tả một vòng tròn.
Trong cả hai trường hợp, tổng các góc đối diện là 180°.
Định lý 3. Trong tứ giác được mô tả, tổng các mặt đối diệnđều bình đẳng. Giả sử tứ giác ABCD xung quanh một đường tròn (Hình 415), nghĩa là các cạnh AB, BC, CD và DA của nó tiếp xúc với đường tròn này.
Cần chứng minh AB + CD = AD + BC. Ta hãy ký hiệu các điểm tiếp tuyến bằng các chữ cái M, N, K, P. Dựa vào tính chất của các tiếp tuyến vẽ đường tròn từ một điểm, ta có:
Chúng ta hãy cộng các đẳng thức này theo từng số hạng. Chúng tôi nhận được:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
tức là AB + CD = AD + BC, đây là điều cần chứng minh.
Vật liệu khácMột tứ giác nội tiếp trong một đường tròn (có bài toán). Chúng tôi tiếp tục xem xét các nhiệm vụ có trong Kỳ thi Thống nhất về môn toán. Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải quyết một số vấn đề bằng cách sử dụng các tính chất của góc nội tiếp. Lý thuyết đã được trình bày chi tiết. Trong bài viết này, việc giải quyết vấn đề về cơ bản là áp dụng ngay tính chất của góc nội tiếp, tức là đây là những nhiệm vụ gần như chỉ thực hiện bằng một hành động. Ở đây bạn cần suy nghĩ một chút; quá trình đưa ra quyết định không phải lúc nào cũng rõ ràng ngay lập tức.
Áp dụng: định lý về tổng các góc của một tam giác, tính chất của một góc nội tiếp, tính chất của tứ giác nội tiếp trong đường tròn. Thông tin thêm về sau.
*Tính chất này đã được trình bày rồi nhưng theo cách hiểu khác. Vì thế:
Của cải:
Tứ giác nội tiếp là tứ giác có các đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.
Một tứ giác có thể nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng các góc đối diện của nó bằng 180 độ.
Nghĩa là, nếu chúng ta là một tứ giác như vậy thì tổng các góc đối diện của nó bằng 180 độ.
Hãy xem xét các nhiệm vụ:
27870. Trong một đường tròn có tâm ồ A.C. Và BD- đường kính. Góc trung tâm AOD bằng 110 0. Tìm góc nội tiếp ACB. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Tam giác Bhệ điều hành cân, bởi vì HĐH=OB(đây là bán kính). Biết rằng tổng các góc của một tam giác là 180 độ. Xét ∠BOC và ∠AOD:
Kể từ đây
Các góc ở đáy tam giác cân bằng nhau, tức là
Một cách khác:
Góc AOB là góc ở tâm của góc nội tiếp ACB.Theo tính chất góc nội tiếp trong đường tròn
Tổng các góc liền kề bằng 180 0, có nghĩa là
Như vậy
Đáp án: 35
27871. Góc A của tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn bằng 58 0. Tìm góc C của tứ giác này. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Ở đây chỉ cần nhớ lại tính chất của một tứ giác như vậy là đủ. Biết rằng tổng các góc đối diện của nó bằng 180 độ nên góc C sẽ bằng
Cách thứ hai:
Hãy xây dựng OB và OD.
Theo tính chất của góc nội tiếp thì độ lớn của cung BCD bằng
2∙58 0 = 116 0
Do đó, độ lớn của cung BAD sẽ bằng
360 0 – 116 0 = 244 0
Theo tính chất của góc nội tiếp, góc C sẽ nhỏ hơn hai lần, tức là 122 0.
Đáp án: 122
27872. Các cạnh của một tứ giác ABCD AB, BC, đĩa CD Và QUẢNG CÁO phụ thuộc các cung của đường tròn ngoại tiếp, các giá trị độ tương ứng bằng 95 0, 49 0, 71 0, 145 0. Tìm góc B tứ giác này. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Hãy xây dựng bán kính AO, OD, OC:
Giá trị độ của cung AD bằng 145 0, giá trị độ của cung CD bằng 71 0, nghĩa là giá trị độ của cung ADC bằng 145 0 + 71 0 = 216 0.
Theo tính chất của góc nội tiếp thì góc B nhỏ hơn 2 lần góc ở tâm tương ứng với cung ADC, nghĩa là
Đáp án: 108
27874. tứ giác ABCDđược ghi trong một vòng tròn. Góc ABC bằng 105 0, góc CAD bằng 35 0 . Tìm góc ABD. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Nhiệm vụ này có thể đầy thách thức. Không thể ngay lập tức nhìn thấy rõ ràng tiến triển của quyết định. Chúng ta hãy nhớ lại những gì đã biết về một tứ giác nội tiếp: tổng các góc đối diện của nó bằng 180 độ. Hãy tìm
TRÊN ngay bây giờ chúng tôi đã tìm thấy góc có thể được xác định ngay lập tức bởi tài sản đã biết. Nếu có thể tìm thấy bất kỳ giá trị nào, hãy làm điều đó, nó sẽ có ích. Chúng tôi hành động theo nguyên tắc “chúng tôi tìm thấy những gì có thể tìm thấy dựa trên các giá trị nhất định”.
Các góc nội tiếp ABD và ACD cùng chung một cung nên chúng bằng nhau, tức là
Đáp án: 70
27875. tứ giác ABCDđược ghi trong một vòng tròn. Góc ABD bằng 75 0, góc CAD bằng 35 0 . Tìm góc ABC. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Được biết, các góc nội tiếp nằm trên cùng một cung và các góc nằm cùng phía với cung đó thì bằng nhau. Kể từ đây
Trong tam giác ACD có hai góc đã biết, ta tìm được góc thứ ba:
Tôi muốn lưu ý rằng điều quan trọng cần nhớ là thuộc tính được chỉ định và bạn sẽ giải quyết được vấn đề mà không gặp vấn đề gì. Tất nhiên, có thể xây dựng một giải pháp không hoàn toàn chính xác. Ví dụ: trong bài toán 27876 cho quyết định độc lập một quyết định “dài hạn” hoặc, như người ta cũng nói, được đưa ra. Sẽ không sao nếu bạn giải quyết vấn đề theo cách tương tự.
Điều quan trọng là bạn phải nhớ và áp dụng lý thuyết và cuối cùng GIẢI QUYẾT nhiệm vụ.
Trong phần này chúng ta sẽ tiếp tục xem xét các nhiệm vụ, mời các bạn vào blog!
Thế thôi. Chúc bạn may mắn!
Trân trọng, Alexander Krutitskikh
Ủy ban hỏi giám đốc một trường học nông thôn đơn giản:
- Vì lý do gì mà các con bạn đều nói: khi nào chúng đến, khi nào chúng đi?
“Ai biết được, có lẽ họ đã quá quen với điều đó rồi!”
P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.
Một tứ giác được nội tiếp trong một đường tròn nếu tất cả các đỉnh của nó nằm trên đường tròn. Một vòng tròn như vậy được bao quanh một hình tứ giác.
Cũng như không phải mọi tứ giác đều có thể mô tả được xung quanh một đường tròn, không phải mọi tứ giác đều có thể nội tiếp được trong một đường tròn.
Một tứ giác lồi nội tiếp trong một đường tròn có tính chất là các góc đối diện của nó cộng lại bằng 180°. Vì vậy, nếu cho tứ giác ABCD có góc A đối diện với góc C và góc B đối diện với góc D thì ∠A + ∠C = 180° và ∠B + ∠D = 180°.
Nói chung, nếu một cặp góc đối diện của một tứ giác cộng lại bằng 180° thì cặp góc còn lại sẽ có tổng bằng nhau. Điều này xuất phát từ thực tế là tứ giác lồi tổng các góc luôn bằng 360°. Đổi lại, thực tế này xuất phát từ thực tế là đa giác lồi tổng các góc được xác định theo công thức 180° * (n – 2), trong đó n là số góc (hoặc số cạnh).
Bạn có thể chứng minh tính chất của một tứ giác nội tiếp như sau. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O. Ta cần chứng minh rằng ∠B + ∠D = 180°.
Góc B nội tiếp trong đường tròn. Như đã biết, một góc như vậy bằng một nửa cung mà nó nằm trên đó. TRONG trong trường hợp này góc B được hỗ trợ bởi cung ADC, nghĩa là ∠B = ½◡ADC. (Vì cung bằng góc giữa các bán kính tạo thành nó nên chúng ta có thể viết rằng ∠B = ½∠AOC, vùng bên trong chứa điểm D.)
Mặt khác, góc D của tứ giác nằm trên cung ABC, tức là ∠D = ½◡ABC.
Vì các cạnh của góc B và D cắt đường tròn tại cùng một điểm (A và C) nên chúng chia đường tròn thành hai cung - ◡ADC và ◡ABC. Bởi vì vòng tròn đầy đủ cộng lại bằng 360° thì ◡ADC + ◡ABC = 360°.
Do đó, đã thu được các đẳng thức sau:
∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°
Hãy biểu thị tổng các góc:
∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
Hãy đặt ½ trong ngoặc:
∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)
Hãy thay thế tổng của các cung bằng giá trị số của chúng:
∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°
Chúng ta thấy rằng tổng các góc đối diện của một tứ giác nội tiếp là 180°. Đây là điều cần phải được chứng minh.
Việc một tứ giác nội tiếp có tính chất này (tổng các góc đối diện là 180°) không có nghĩa là bất kỳ tứ giác nào có tổng các góc đối diện là 180° đều có thể nội tiếp được trong một đường tròn. Mặc dù trên thực tế điều này là đúng. Sự thật này gọi điện bài kiểm tra tứ giác nội tiếp và được công thức như sau: nếu tổng các góc đối diện của một tứ giác lồi là 180° thì có thể mô tả một đường tròn xung quanh nó (hoặc nội tiếp trong một đường tròn).
Bạn có thể chứng minh phép thử cho một tứ giác nội tiếp bằng phản chứng. Cho tứ giác ABCD có các góc đối diện B và D có tổng bằng 180°. Trong trường hợp này góc D không nằm trên đường tròn. Khi đó lấy điểm E trên đường thẳng chứa đoạn CD sao cho nó nằm trên đường tròn. Kết quả là một tứ giác nội tiếp ABCE. Tứ giác này có các góc B và E đối diện nhau, có nghĩa là chúng cộng lại bằng 180°. Điều này suy ra từ tính chất của một tứ giác nội tiếp.
Hóa ra ∠B + ∠D = 180° và ∠B + ∠E = 180°. Tuy nhiên, góc D của tứ giác ABCD đối với tam giác AED là góc ngoài nên lớn hơn góc E của tam giác này. Như vậy, chúng ta đã đi đến một mâu thuẫn. Điều này có nghĩa là nếu tổng các góc đối diện của một tứ giác cộng lại bằng 180° thì nó luôn có thể nội tiếp một đường tròn.
Đề tài: “Vòng tròn mô tả xung quanh đa giác đều» được thảo luận chi tiết trong chương trình giảng dạy ở trường. Mặc dù vậy, các công việc liên quan đến phần này phép đo mặt phẳng gây ra những khó khăn nhất định cho nhiều học sinh trung học. Đồng thời, nắm rõ nguyên lý của giải pháp Các vấn đề về Kỳ thi Thống nhất với một vòng tròn được mô tả xung quanh một đa giác, sinh viên tốt nghiệp ở bất kỳ cấp độ đào tạo nào cũng phải có.
Làm thế nào để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất?
Để Bài tập thi của Nhà nước thống nhất về chủ đề “Một vòng tròn ngoại tiếp một đa giác đều” không gây khó khăn gì cho học sinh, cùng học với cổng giáo dục “Shkolkovo”. Với chúng tôi bạn có thể lặp lại tài liệu lý thuyết về các chủ đề gây khó khăn cho bạn. Các định lý và công thức trước đây có vẻ khá phức tạp nay được trình bày một cách dễ hiểu và dễ tiếp cận.
Để làm mới trí nhớ của bạn về các định nghĩa và khái niệm cơ bản về góc và tâm của đường tròn ngoại tiếp một đa giác, cũng như các định lý liên quan đến độ dài các đoạn, sinh viên tốt nghiệp chỉ cần vào phần “Trợ giúp Lý thuyết”. Ở đây chúng tôi đã đăng tài liệu do đội ngũ nhân viên giàu kinh nghiệm của chúng tôi biên soạn dành riêng cho sinh viên có cấp độ khác nhau sự chuẩn bị.
Để củng cố kiến thức đã học, học sinh THPT có thể luyện tập làm bài tập. TRÊN cổng thông tin giáo dục"Shkolkovo" trong phần "Danh mục" trình bày một cơ sở dữ liệu lớn về các nhiệm vụ có độ phức tạp khác nhau để đạt được mức tối đa chuẩn bị hiệu quảđến Kỳ thi Thống nhất. Mỗi nhiệm vụ trên trang web đều chứa một thuật toán giải và câu trả lời đúng. Cơ sở dữ liệu bài tập Shkolkovo được cập nhật và bổ sung thường xuyên.
Học sinh đến từ Moscow và các nước khác thực hành hoàn thành nhiệm vụ trên trang web của chúng tôi các thành phố của Nga có thể được thực hiện trực tuyến. Nếu cần, bất kỳ bài tập nào cũng có thể được lưu vào phần “Yêu thích”. Trong tương lai, bạn có thể quay lại nhiệm vụ này và, ví dụ, thảo luận về thuật toán để giải quyết nó với giáo viên trường học hoặc một gia sư.
Khóa học video “Nhận điểm A” bao gồm tất cả các chủ đề bạn cần đạt được hoàn thành thành công Kỳ thi thống nhất cấp bang môn toán đạt 60-65 điểm. Hoàn toàn mọi vấn đề 1-13 Hồ sơ thi thống nhất bang trong toán học. Cũng thích hợp để vượt qua Kỳ thi Thống nhất Cơ bản về toán học. Nếu bạn muốn vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 90-100 điểm, bạn cần phải giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!
Khóa luyện thi Kỳ thi Thống nhất dành cho lớp 10-11 cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải Phần 1 của Kỳ thi Thống nhất môn toán (12 bài đầu) và Bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất, và cả học sinh 100 điểm lẫn sinh viên nhân văn đều không thể làm được nếu không có chúng.
Tất cả lý thuyết cần thiết. Cách nhanh chóng giải pháp, cạm bẫy và bí mật của Kỳ thi Thống nhất. Tất cả các nhiệm vụ hiện tại của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của Kỳ thi Thống nhất năm 2018.
Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi bài 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng.
Hàng trăm nhiệm vụ thi Thống nhất. Vấn đề về từ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích tất cả các loại nhiệm vụ Kiểm tra Nhà nước Thống nhất. Lập thể. Các giải pháp phức tạp, bảng ghi nhớ hữu ích, phát triển trí tưởng tượng không gian. Lượng giác từ đầu đến bài 13. Hiểu thay vì nhồi nhét. Giải thích trực quan khái niệm phức tạp. Đại số. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Cơ sở giải quyết nhiệm vụ phức tạp 2 phần của Kỳ thi Thống nhất.