Các phương pháp bình phương nhanh. Bình phương một số trong Microsoft Excel

* bình phương lên tới hàng trăm

Để không vô tình bình phương tất cả các số bằng công thức, bạn cần đơn giản hóa nhiệm vụ của mình càng nhiều càng tốt bằng các quy tắc sau.

Quy tắc 1 (cắt 10 số)

Đối với các số tận cùng bằng 0.
Nếu một số có tận cùng bằng 0 thì việc nhân nó không khó hơn một số có một chữ số. Bạn chỉ cần thêm một vài số không.
70 * 70 = 4900.
Đánh dấu màu đỏ trong bảng.

Quy tắc 2 (cắt 10 số)

Đối với các số tận cùng bằng 5.
Để bình phương một số có hai chữ số tận cùng bằng 5, bạn cần nhân chữ số đầu tiên (x) với (x+1) và thêm “25” vào kết quả.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Được đánh dấu màu xanh lá cây trong bảng.

Quy tắc 3 (cắt 8 số)

Cho các số từ 40 đến 50.
XX * XX = 1500 + 100 * chữ số thứ hai + (10 - chữ số thứ hai)^2
Đủ cứng rồi phải không? Hãy xem một ví dụ:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Trong bảng chúng được đánh dấu bằng màu cam nhạt.

Quy tắc 4 (cắt 8 số)

Cho các số từ 50 đến 60.
XX * XX = 2500 + 100 * chữ số thứ hai + (chữ số thứ hai)^2
Nó cũng khá khó hiểu. Hãy xem một ví dụ:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Trong bảng chúng được đánh dấu bằng màu cam đậm.

Quy tắc 5 (cắt 8 số)

Cho các số từ 90 đến 100.
XX * XX = 8000+ 200 * chữ số thứ hai + (10 - chữ số thứ hai)^2
Tương tự như quy tắc 3, nhưng có hệ số khác. Hãy xem một ví dụ:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Trong bảng chúng được đánh dấu bằng màu cam đậm.

Quy tắc số 6 (cắt 32 số)

Bạn cần phải ghi nhớ các bình phương của các số đến 40. Nghe có vẻ điên rồ và khó khăn nhưng thực tế hầu hết mọi người đều biết các bình phương đến 20. 25, 30, 35 và 40 tuân theo công thức. Và chỉ còn lại 16 cặp số. Chúng có thể được ghi nhớ bằng cách sử dụng kỹ thuật ghi nhớ (điều mà tôi cũng muốn nói đến sau) hoặc bằng bất kỳ phương tiện nào khác. Giống như bảng cửu chương :)
Được đánh dấu màu xanh trong bảng.

Bạn có thể nhớ tất cả các quy tắc, hoặc bạn có thể nhớ có chọn lọc, trong mọi trường hợp, tất cả các số từ 1 đến 100 đều tuân theo hai công thức. Các quy tắc sẽ giúp tính toán nhanh hơn 70% các lựa chọn mà không cần sử dụng các công thức này. Đây là hai công thức:

Công thức (còn 24 ngày)

Cho các số từ 25 đến 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Ví dụ:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Cho các số từ 50 đến 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Ví dụ:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Tất nhiên, đừng quên công thức thông thường để khai triển bình phương của một tổng (trường hợp đặc biệt của nhị thức Newton):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

CẬP NHẬT
Các sản phẩm có số gần 100 và đặc biệt là bình phương của chúng cũng có thể được tính bằng nguyên tắc “bất lợi của 100”:

Nói bằng chữ: từ số đầu tiên, chúng ta trừ “nhược điểm” của số thứ hai đến một trăm và gán tích “nhược điểm” có hai chữ số.

Đối với hình vuông, nó thậm chí còn đơn giản hơn.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(từ sieover)

Bình phương có thể không phải là điều hữu ích nhất trong trang trại. Bạn sẽ không nhớ ngay trường hợp cần bình phương một số. Nhưng khả năng thao tác nhanh với các con số và áp dụng các quy tắc thích hợp cho từng con số sẽ phát triển hoàn hảo trí nhớ và “khả năng tính toán” của não bạn.

Nhân tiện, tôi nghĩ tất cả độc giả của Habra đều biết rằng 64^2 = 4096 và 32^2 = 1024.
Nhiều bình phương số được ghi nhớ ở cấp độ kết hợp. Ví dụ, tôi dễ dàng nhớ 88^2 = 7744 vì những con số giống nhau. Mỗi người có lẽ sẽ có những đặc điểm riêng.

Lần đầu tiên tôi tìm thấy hai công thức độc đáo trong cuốn sách “13 bước dẫn đến chủ nghĩa tinh thần”, vốn không liên quan nhiều đến toán học. Thực tế là trước đây (có lẽ ngay cả bây giờ) khả năng tính toán độc đáo là một trong những con số trong phép thuật sân khấu: một pháp sư sẽ kể một câu chuyện về cách anh ta nhận được siêu năng lực và để chứng minh điều này, ngay lập tức bình phương các số lên đến một trăm. Cuốn sách còn trình bày các phương pháp xây dựng khối lập phương, phương pháp trừ căn và căn bậc ba.

Nếu chủ đề đếm nhanh thú vị thì mình sẽ viết thêm.
Vui lòng viết nhận xét về lỗi và sửa chữa trong PM, cảm ơn trước.

Bình phương các số có ba chữ số là một kỳ công ấn tượng về phép thuật tinh thần. Giống như bình phương một số có hai chữ số bao gồm việc làm tròn số đó lên hoặc xuống để có bội số của 10, bình phương số có ba chữ số yêu cầu làm tròn số đó lên hoặc xuống để có bội số của 100. Hãy bình phương số 193.

Bằng cách làm tròn 193 thành 200 (yếu tố thứ hai trở thành 186), bài toán 3 x 3 trở thành một bài toán 3 x 1 đơn giản hơn, vì 200 x 186 chỉ là 2 x 186 = 372 với hai số 0 ở cuối. Gần như đã sẵn sàng! Bây giờ tất cả những gì bạn phải làm là cộng 7 2 = 49 và nhận được câu trả lời - 37.249.

Hãy thử bình phương 706.

Khi làm tròn số 706 lên 700, bạn cũng phải đổi số tương tự lên 6 để được 712.

Vì 712 x 7 = 4984 (một bài toán 3 x 1 đơn giản), 712 x 700 = 498.400 Cộng 6 2 = 36 sẽ được 498.436.

Các ví dụ cuối cùng không đáng sợ lắm vì chúng không liên quan đến phép cộng. Ngoài ra, bạn còn biết thuộc lòng 6 2 và 7 2 bằng bao nhiêu. Việc bình phương một số cách bội số của 100 lớn hơn 10 đơn vị sẽ khó hơn nhiều. Hãy thử sức mình ở 314 2.

Trong ví dụ này, 314 giảm 14 để làm tròn thành 300 và tăng 14 lên 328. Nhân 328 x 3 = 984 và thêm hai số 0 ở cuối để được 98.400, sau đó cộng bình phương của 14. Nếu bạn chợt nghĩ đến điều đó. (nhờ trí nhớ hoặc tính toán nhanh) mà 14 2 = 196 thì bạn đang ở trạng thái tốt. Tiếp theo, bạn chỉ cần cộng 98.400 + 196 để có kết quả cuối cùng là 98.596.

Nếu bạn cần thời gian để đếm 14 2, hãy lặp lại "98.400" vài lần trước khi tiếp tục. Nếu không, bạn có thể tính 14 2 = 196 và quên mất số bạn cần cộng tích vào.

Nếu muốn gây ấn tượng với khán giả, bạn có thể nói to "279.000" trước khi tìm được 292. Nhưng cách đó không có tác dụng với mọi vấn đề bạn giải quyết.

Ví dụ: thử bình phương 636.

Bây giờ bộ não của bạn đang thực sự hoạt động phải không?

Hãy nhớ lặp lại “403.200” cho chính mình nhiều lần khi bình phương 36 theo cách thông thường để được 1296. Phần khó nhất là cộng 1296 + 403.200 mỗi lần, từ trái sang phải, bạn sẽ có kết quả là 404.496. Tôi hứa rằng một khi bạn đã quen hơn với việc bình phương số có hai chữ số, các bài toán với số có ba chữ số sẽ trở nên dễ dàng hơn nhiều.

Đây là một ví dụ thậm chí còn phức tạp hơn: 863 2 .

Vấn đề đầu tiên là quyết định số nào sẽ nhân. Không còn nghi ngờ gì nữa, một trong số chúng sẽ là 900, và cái còn lại sẽ hơn 800. Nhưng cái nào? Điều này có thể được tính theo hai cách.

1. Cách khó: hiệu giữa 863 và 900 là 37 (bù 63), trừ 37 từ 863 và nhận 826.

2. Cách dễ dàng: nhân đôi số 63, chúng ta có 126, bây giờ chúng ta cộng hai chữ số cuối của số này với số 800, cuối cùng sẽ được 826.

Đây là cách hoạt động dễ dàng. Vì cả hai số đều có cùng hiệu với số 863 nên tổng của chúng phải bằng hai lần số 863, tức là 1726. Một số là 900, nghĩa là số còn lại sẽ bằng 826.

Sau đó chúng tôi thực hiện các tính toán sau.

Nếu bạn gặp khó khăn khi nhớ số 743.400 sau khi bình phương số 37, đừng lo lắng. Trong các chương tiếp theo, bạn sẽ học hệ thống ghi nhớ và học cách ghi nhớ những con số đó.

Hãy thử sức mình với nhiệm vụ khó khăn nhất từ trước đến nay - bình phương số 359.

Để có 318, hãy trừ 41 (phần bù 59) từ 359 hoặc nhân 2 x 59 = 118 và sử dụng hai chữ số cuối. Tiếp theo, nhân 400 x 318 = 127.200. Cộng 412 = 1681 vào số này sẽ có tổng số là 128.881. Nếu bạn làm đúng mọi thứ ngay lần đầu tiên thì bạn thật tuyệt!

Hãy kết thúc phần này bằng một nhiệm vụ lớn nhưng dễ dàng: tính 987 2 .

BÀI TẬP: S bình phương có ba chữ số

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

Phía sau cánh cửa số 1 có gì?

Một câu chuyện toán học vô vị khiến mọi người bối rối vào năm 1991 là bài viết của Marilyn Savant - người phụ nữ có chỉ số IQ cao nhất thế giới (được ghi vào Sách kỷ lục Guinness) - trên tạp chí Parade. Nghịch lý này được gọi là bài toán Monty Hall, và nó diễn ra như sau.

Bạn đang tham gia chương trình Let's Make a Deal của Monty Hall. Người chủ trì cho bạn cơ hội chọn một trong ba cửa, sau một cửa là giải thưởng lớn, sau hai cửa còn lại là dê. Giả sử bạn chọn cánh cửa số 2. Nhưng trước khi cho thấy điều gì ẩn giấu đằng sau cánh cửa này, Monty đã mở cánh cửa số 3. Có một con dê. Bây giờ, theo cách trêu chọc của mình, Monty hỏi bạn: bạn muốn mở cánh cửa số 2 hay mạo hiểm nhìn thấy thứ đằng sau cánh cửa số 1? Bạn nên làm gì? Giả sử Monty sẽ cho bạn biết giải thưởng chính không ở đâu, anh ấy sẽ luôn mở một trong những cánh cửa “an ủi”. Điều này khiến bạn phải lựa chọn: một cửa có giải thưởng lớn và cửa còn lại có giải khuyến khích. Bây giờ cơ hội của bạn là 50/50 phải không?

Nhưng không! Khả năng bạn chọn đúng lần đầu vẫn là 1 trên 3. Khả năng trúng giải lớn ở sau cửa kia tăng lên 2/3, vì xác suất cộng lại phải bằng 1.

Vì vậy, bằng cách thay đổi lựa chọn của mình, bạn sẽ nhân đôi cơ hội chiến thắng! (Vấn đề giả định rằng Monty sẽ luôn cung cấp cho người chơi một lựa chọn mới bằng cách hiển thị một cửa "không thắng" và khi lựa chọn đầu tiên của bạn đúng, sẽ mở ngẫu nhiên cửa "không thắng".) Hãy nghĩ về một trò chơi. với mười cửa. Sau lựa chọn đầu tiên của bạn, hãy để người dẫn chương trình mở tám cánh cửa “không thắng”. Đây là nơi mà bản năng của bạn rất có thể sẽ thay đổi cánh cửa. Mọi người thường mắc sai lầm khi nghĩ rằng nếu Monty Hall không biết giải thưởng chính ở đâu và mở cánh cửa số 3, trong đó có một con dê (mặc dù có thể có giải thưởng), thì cửa số 1 có 50% cơ hội nhận được giải thưởng. là người đúng đắn. Lý luận như vậy đi ngược lại với lẽ thường, vậy mà Marilyn Savant lại nhận được hàng đống thư (nhiều từ các nhà khoa học, thậm chí cả các nhà toán học) nói với cô rằng lẽ ra cô không nên viết về toán học. Tất nhiên, tất cả những người này đã sai.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét bình phương của một nhị thức và áp dụng quan điểm số học, chúng ta sẽ nói về bình phương của tổng, tức là (a + b) 2 và bình phương của hiệu của hai số, tức là (a - b )2.

Vì (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

thì ta tìm được: (a + b) ∙ (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2, tức là

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Sẽ rất hữu ích khi nhớ kết quả này cả ở dạng đẳng thức mô tả ở trên và bằng chữ: bình phương của tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất cộng với tích của hai với số thứ nhất và số thứ hai số đó cộng với bình phương của số thứ hai.

Biết kết quả này ta có thể viết ngay, ví dụ:

(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
(3ab + 1) 2 = 9a 2 b 2 + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Hãy xem ví dụ thứ hai trong số này. Chúng ta cần bình phương tổng của hai số: số thứ nhất là 3ab, số thứ hai là 1. Kết quả phải là: 1) bình phương của số thứ nhất, tức là (3ab) 2, bằng 9a 2b 2; 2) tích của hai với số thứ nhất và số thứ hai, tức là 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) bình phương của số thứ 2, tức là 1² = 1 - tất cả ba số hạng này phải được cộng lại với nhau.

Chúng ta cũng thu được công thức tính bình phương hiệu của hai số, tức là cho (a – b)²:

(a – b) 2 = (a – b) (a – b) = a 2 – ab – ab + b 2 = a 2 – 2ab + b 2.

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2,

tức là bình phương của hiệu của hai số bằng bình phương của số thứ nhất, trừ tích của hai với số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Biết được kết quả này, chúng ta có thể thực hiện ngay việc bình phương các nhị thức, theo quan điểm số học, biểu thị hiệu của hai số.

(m – n) 2 = m 2 – 2mn + n 2
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, v.v.

Hãy giải thích ví dụ thứ 2. Ở đây ta viết trong ngoặc sự khác biệt của hai số: số thứ nhất là 5ab 3 và số thứ hai là 3a 2 b. Kết quả phải là: 1) bình phương của số thứ nhất, tức là (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) tích của hai với số thứ nhất và số thứ hai, tức là 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 và 3) bình phương của số thứ hai, tức là (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Số hạng thứ nhất và thứ ba phải được tính bằng dấu cộng, và số hạng thứ 2 có dấu trừ, chúng ta được 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Để giải thích ví dụ thứ 4, chúng ta chỉ lưu ý rằng 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... số mũ phải nhân với 2 và 2) tích của 2 với số thứ nhất và số thứ 2 = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Nếu chúng ta theo quan điểm của đại số, thì cả hai đẳng thức: 1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 và 2) (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 đều biểu thị cùng một điều, cụ thể là: bình phương của nhị thức bằng bình phương của số hạng thứ nhất, cộng với tích của số (+2) với số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai, cộng với bình phương của số hạng thứ hai. Điều này rõ ràng vì đẳng thức của chúng ta có thể được viết lại thành:

1) (a + b) 2 = (+a) 2 + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b) 2
2) (a – b) 2 = (+a) 2 + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b) 2

Trong một số trường hợp, sẽ thuận tiện hơn khi diễn giải các đẳng thức thu được theo cách này:

(–4a – 3b)2 = (–4a) 2 + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b) 2

Ở đây chúng ta bình phương một nhị thức có số hạng đầu tiên = –4a và số hạng thứ hai = –3b. Tiếp theo chúng ta nhận được (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² và cuối cùng:

(–4a – 3b) 2 = 6a 2 + 24ab + 9b 2

Cũng có thể thu thập và ghi nhớ công thức bình phương của một tam thức, tứ thức hoặc bất kỳ đa thức nào nói chung. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không làm điều này, vì chúng ta hiếm khi cần sử dụng các công thức này và nếu cần bình phương bất kỳ đa thức nào (trừ nhị thức), chúng ta sẽ quy vấn đề về phép nhân. Ví dụ:

31. Chúng ta hãy áp dụng 3 đẳng thức thu được, đó là:

(a + b) (a – b) = a2 – b2
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

đến số học.

Giả sử nó là 41 ∙ 39. Sau đó, chúng ta có thể biểu diễn giá trị này dưới dạng (40 + 1) (40 – 1) và rút gọn vấn đề về đẳng thức đầu tiên - chúng ta nhận được 40² – 1 hoặc 1600 – 1 = 1599. Nhờ điều này, thật dễ dàng để thực hiện các phép nhân như 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69, v.v.

Đặt nó là 41 ∙ 41; nó giống như 41² hoặc (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Ngoài ra, 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Nếu bạn cần 37 ∙ 37, thì số này bằng (40 – 3)2 = 1600 – 240 + 9 = 1369. Những phép nhân như vậy (hoặc bình phương số có hai chữ số) rất dễ thực hiện, với một số kỹ năng, trong đầu bạn.

* bình phương lên tới hàng trăm

Để không vô tình bình phương tất cả các số bằng công thức, bạn cần đơn giản hóa nhiệm vụ của mình càng nhiều càng tốt bằng các quy tắc sau.

Quy tắc 1 (cắt 10 số)

Quy tắc 2 (cắt 10 số)

Quy tắc 3 (cắt 8 số)

Quy tắc 4 (cắt 8 số)

Quy tắc 5 (cắt 8 số)

Quy tắc số 6 (cắt 32 số)

Công thức (còn lại 24 chữ số)

Cho các số từ 25 đến 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Ví dụ:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Cho các số từ 50 đến 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

Ví dụ:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Tất nhiên, đừng quên công thức thông thường để khai triển bình phương của một tổng (trường hợp đặc biệt của nhị thức Newton):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Bình phương có thể không phải là điều hữu ích nhất trong trang trại. Bạn sẽ không nhớ ngay trường hợp cần bình phương một số. Nhưng khả năng thao tác nhanh chóng với các con số và áp dụng các quy tắc thích hợp cho từng con số sẽ phát triển hoàn hảo trí nhớ và “khả năng tính toán” của não bạn.

Nếu chủ đề đếm nhanh thú vị thì mình sẽ viết thêm.
Vui lòng viết nhận xét về lỗi và sửa chữa trong PM, cảm ơn trước.

Hôm nay chúng ta sẽ học cách bình phương nhanh các biểu thức lớn mà không cần máy tính. Nói chung, ý tôi là những con số nằm trong khoảng từ mười đến một trăm. Các biểu thức lớn cực kỳ hiếm gặp trong các bài toán thực tế và bạn đã biết cách đếm các giá trị nhỏ hơn 10 vì đây là bảng nhân thông thường. Tài liệu trong bài học hôm nay sẽ hữu ích cho những học sinh khá có kinh nghiệm, vì đơn giản là những học sinh mới bắt đầu sẽ không đánh giá cao tốc độ và hiệu quả của kỹ thuật này.

Đầu tiên, hãy tìm hiểu những gì chúng ta đang nói chung. Để làm ví dụ, tôi đề xuất xây dựng một biểu thức số tùy ý, như chúng ta thường làm. Giả sử là 34. Chúng ta nâng nó lên bằng cách nhân nó với chính nó với một cột:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 là hình vuông 34.

Vấn đề với phương pháp này có thể được mô tả ở hai điểm:

1) nó yêu cầu tài liệu bằng văn bản;

2) Rất dễ mắc sai sót trong quá trình tính toán.

Hôm nay chúng ta sẽ học cách nhân nhanh mà không cần máy tính, bằng miệng và hầu như không mắc lỗi.

Vì vậy, hãy bắt đầu. Để làm việc, chúng ta cần công thức tính bình phương của tổng và hiệu. Hãy viết chúng ra:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Điều này mang lại cho chúng ta điều gì? Thực tế là bất kỳ giá trị nào trong phạm vi từ 10 đến 100 đều có thể được biểu diễn dưới dạng số $a$, chia hết cho 10 và số $b$, là số dư của phép chia cho 10.

Ví dụ: 28 có thể được biểu diễn như sau:

\[\begin(căn chỉnh)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(căn chỉnh)\]

Chúng tôi trình bày các ví dụ còn lại theo cách tương tự:

\[\begin(căn chỉnh)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(căn chỉnh)\]

\[\begin(căn chỉnh)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(căn chỉnh)\]

\[\begin(căn chỉnh)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(căn chỉnh)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]

\[\begin(căn chỉnh)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(căn chỉnh)\]

\[\begin(căn chỉnh)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(căn chỉnh)\]

\[\begin(căn chỉnh)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(căn chỉnh)\]

Ý tưởng này cho chúng ta biết điều gì? Thực tế là với tổng hoặc hiệu, chúng ta có thể áp dụng các phép tính được mô tả ở trên. Tất nhiên, để rút ngắn phép tính, với mỗi phần tử bạn nên chọn biểu thức có số hạng thứ hai nhỏ nhất. Ví dụ: từ các tùy chọn $20+8$ và $30-2$, bạn nên chọn tùy chọn $30-2$.

Tương tự ta chọn phương án cho các ví dụ còn lại:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

Tại sao chúng ta phải cố gắng rút gọn số hạng thứ hai khi nhân nhanh? Đó là tất cả về các tính toán ban đầu của bình phương của tổng và hiệu. Thực tế là số hạng $2ab$ có dấu cộng hoặc dấu trừ là số hạng khó tính nhất khi giải các bài toán thực tế. Và nếu thừa số $a$ là bội số của 10 luôn được nhân dễ dàng thì với thừa số $b$ là một số từ một đến mười, nhiều học sinh thường xuyên gặp khó khăn.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Vì vậy, trong ba phút, chúng tôi đã nhân tám ví dụ. Đó là ít hơn 25 giây cho mỗi biểu thức. Trên thực tế, sau một chút luyện tập, bạn sẽ còn đếm nhanh hơn nữa. Bạn sẽ mất không quá năm đến sáu giây để tính bất kỳ biểu thức có hai chữ số nào.

Nhưng đó không phải là tất cả. Đối với những người mà kỹ thuật hiển thị dường như không đủ nhanh và đủ thú vị, tôi đề xuất một phương pháp nhân thậm chí còn nhanh hơn, tuy nhiên, phương pháp này không hiệu quả với tất cả các nhiệm vụ mà chỉ dành cho những nhiệm vụ khác nhau một từ bội số của 10. Trong bài học của chúng ta có bốn giá trị như vậy: 51, 21, 81 và 39.

Nó có vẻ nhanh hơn nhiều; chúng ta đã đếm chúng theo đúng nghĩa đen trong vài dòng. Nhưng trên thực tế, có thể tăng tốc và việc này được thực hiện như sau. Chúng tôi viết ra giá trị là bội số của mười, giá trị gần nhất với giá trị chúng tôi cần. Ví dụ: hãy lấy 51. Do đó, để bắt đầu, hãy xây dựng năm mươi:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Bội số của mười dễ bình phương hơn nhiều. Và bây giờ chúng ta chỉ cần thêm năm mươi và 51 vào biểu thức ban đầu. Câu trả lời sẽ giống nhau:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Và như vậy với tất cả các số khác nhau một.

Nếu giá trị chúng ta đang tìm kiếm lớn hơn giá trị chúng ta đang đếm thì chúng ta sẽ cộng các số vào bình phương thu được. Nếu số mong muốn nhỏ hơn, như trong trường hợp 39, thì khi thực hiện hành động, bạn cần trừ giá trị khỏi hình vuông. Hãy thực hành mà không cần sử dụng máy tính:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Như bạn có thể thấy, trong mọi trường hợp, câu trả lời đều giống nhau. Hơn nữa, kỹ thuật này có thể áp dụng cho bất kỳ giá trị liền kề nào. Ví dụ:

\[\begin(căn chỉnh)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(căn chỉnh)\]

Đồng thời, chúng ta không cần phải nhớ cách tính bình phương của tổng và hiệu mà sử dụng máy tính. Tốc độ làm việc không thể khen ngợi. Vì vậy, hãy ghi nhớ, thực hành và vận dụng vào thực tế.

Điểm chính

Sử dụng kỹ thuật này, bạn có thể dễ dàng nhân bất kỳ số tự nhiên nào từ 10 đến 100. Hơn nữa, tất cả các phép tính đều được thực hiện bằng miệng, không cần máy tính và thậm chí không cần giấy!

Đầu tiên, hãy nhớ bình phương của các giá trị là bội số của 10:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(căn chỉnh)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(căn chỉnh)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(căn chỉnh)\]

Làm thế nào để đếm nhanh hơn

Nhưng đó không phải là tất cả! Bằng cách sử dụng các biểu thức này, bạn có thể lập tức bình phương các số “liền kề” với các số tham chiếu. Ví dụ: chúng ta biết 152 (giá trị tham chiếu), nhưng chúng ta cần tìm 142 (một số liền kề nhỏ hơn giá trị tham chiếu một đơn vị). Hãy viết nó ra:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(căn chỉnh)\]

Xin lưu ý: không có chủ nghĩa thần bí! Bình phương của các số khác nhau 1 thực sự thu được bằng cách nhân các số tham chiếu với chính chúng bằng cách trừ hoặc cộng hai giá trị:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(căn chỉnh)\]

Tại sao điều này lại xảy ra? Hãy viết công thức tính bình phương của tổng (và hiệu). Đặt $n$ là giá trị tham chiếu của chúng tôi. Sau đó, chúng được tính như thế này:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- đây là công thức.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]

- một công thức tương tự cho các số lớn hơn 1.

Tôi hy vọng kỹ thuật này sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian trong tất cả các bài kiểm tra và bài kiểm tra toán có tính chất cao. Và đó là tất cả đối với tôi. Thấy bạn!