\(\blacktriangleright\) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng này (tức là nó là góc \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\blacktriangleright\) Để tìm góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)), bạn cần:
Bước 1: Từ một điểm \(A\in a\) vẽ đường vuông góc \(AO\) với mặt phẳng \(\phi\) (\(O\) là đáy của đường vuông góc);
Bước 2: khi đó \(BO\) là hình chiếu của mặt phẳng nghiêng \(AB\) lên mặt phẳng \(\phi\) ;
Bước 3: Khi đó góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\phi\) bằng \(\angle ABO\) .
Nhiệm vụ 1 #2850
Cấp độ nhiệm vụ: Khó hơn Kỳ thi Thống nhất
Đường thẳng \(l\) cắt mặt phẳng \(\alpha\) . Trên đường thẳng \(l\) đoạn \(AB=25\) được đánh dấu và người ta biết rằng hình chiếu của đoạn này lên mặt phẳng \(\alpha\) bằng \(24\) . Tìm sin của góc giữa đường thẳng \(l\) và mặt phẳng \(\alpha\)
Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh:
Đặt \(A_1B_1=24\) là hình chiếu của \(AB\) lên mặt phẳng \(\alpha\), có nghĩa là \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Vì hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nằm trong cùng một mặt phẳng nên \(A_1ABB_1\) – hình thang chữ nhật. Hãy làm \(AH\perp BB_1\) . Sau đó \(AH=A_1B_1=24\) . Do đó, theo định lý Pytago \ Ta cũng lưu ý rằng góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó, do đó góc mong muốn là góc giữa \(AB\) và \(A_1B_1 \) . Vì \(AH\parallel A_1B_1\) , nên góc giữa \(AB\) và \(A_1B_1\) bằng góc giữa \(AB\) và \(AH\) .
Sau đó \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]
Đáp án: 0,28
Nhiệm vụ 2 #2851
Cấp độ nhiệm vụ: Khó hơn Kỳ thi Thống nhất
\(ABC\) – tam giác đều với cạnh \(3\) , \(O\) là một điểm nằm bên ngoài mặt phẳng của tam giác và \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Tìm góc tạo bởi các đường thẳng \(OA, OB, OC\) với mặt phẳng của tam giác. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Chúng ta vẽ đường vuông góc \(OH\) với mặt phẳng của tam giác.
Hãy xem xét \(\tam giác OAH, \tam giác OBH, \tam giác OCH\). Chúng có hình chữ nhật, bằng nhau về chân và cạnh huyền. Do đó, \(AH=BH=CH\) . Điều này có nghĩa là \(H\) là một điểm nằm ở cùng khoảng cách với các đỉnh của tam giác \(ABC\) . Do đó, \(H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp nó. Vì \(\tam giác ABC\) đúng nên \(H\) là giao điểm của các đường trung tuyến (chúng cũng là đường cao và đường phân giác).
Vì góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng này, và \(AH\) là hình chiếu của \(AO\) lên mặt phẳng của tam giác, nên góc giữa \( AO\) và mặt phẳng của tam giác bằng \( \angle OAH\) .
Do đó, hãy để \(AA_1\) là trung vị trong \(\tam giác ABC\) , \
Vì các đường trung tuyến được chia cho điểm giao nhau theo tỷ lệ \(2:1\) , tính từ đỉnh, sau đó \ Sau đó từ hình chữ nhật \(\tam giác OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
Lưu ý rằng từ đẳng thức của các tam giác \(OAH, OBH, OCH\) suy ra rằng \(\góc OAH=\góc OBH=\góc OCH=60^\circ\).
Đáp án: 60
Nhiệm vụ 3 #2852
Cấp độ nhiệm vụ: Khó hơn Kỳ thi Thống nhất
Đường thẳng \(l\) vuông góc với mặt phẳng \(\pi\) . Đường thẳng \(p\) không nằm trong mặt phẳng \(\pi\) và không song song với nó, cũng không song song với đường thẳng \(l\). Tìm tổng các góc giữa các đường thẳng \(p\) và \(l\) và giữa đường thẳng \(p\) và mặt phẳng \(\pi\) . Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Nó xuất phát từ điều kiện đường thẳng \(p\) cắt mặt phẳng \(\pi\) . Đặt \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
Khi đó \(\angle POL\) là góc giữa các đường \(p\) và \(l\) .
Vì góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa một đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng này, nên \(\angle OPL\) là góc giữa \(p\) và \(\pi\) . Lưu ý rằng \(\tam giác OPL\) là hình chữ nhật với \(\angle L=90^\circ\) . Vì tổng các góc nhọn tam giác vuông bằng \(90^\circ\) , sau đó \(\góc POL+\góc OPL=90^\circ\).
Bình luận.
Nếu đường thẳng \(p\) không cắt đường \(l\) thì ta vẽ một đường thẳng \(p"\song song p\) cắt \(l\). Khi đó, góc giữa đường thẳng \(p\ ) và \(l\ ) sẽ bằng góc giữa \(p"\) và \(l\) . Tương tự, góc giữa \(p\) và \(\pi\) sẽ bằng góc giữa \(p"\) và \(\pi\). Và đối với đường thẳng \(p"\) thì giải pháp trước đó đã đúng.
Đáp án: 90
Nhiệm vụ 4 #2905
Cấp độ nhiệm vụ: Khó hơn Kỳ thi Thống nhất
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – khối. Điểm \(N\) là trung điểm của cạnh \(BB_1\) và điểm \(M\) là trung điểm của đoạn \(BD\) . Tìm \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , trong đó \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng chứa \(MN\) và mặt phẳng \((A_1B_1C_1D_1)\) . Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
\(NM\) – đường giữa trong tam giác \(DBB_1\) , thì \(NM \parallel B_1D\) và \(\alpha\) bằng góc giữa \(B_1D\) và mặt phẳng \((A_1B_1C_1D_1)\) .
Vì \(DD_1\) vuông góc với mặt phẳng \(A_1B_1C_1D_1\) , nên \(B_1D_1\) là hình chiếu của \(B_1D\) lên mặt phẳng \((A_1B_1C_1D_1)\) và góc giữa \(B_1D\) ) và mặt phẳng \( (A_1B_1C_1D_1)\) là góc giữa \(B_1D\) và \(B_1D_1\) .
Gọi cạnh của hình lập phương là \(x\), sau đó theo định lý Pythagore \ Trong tam giác \(B_1D_1D\) tiếp tuyến của góc giữa \(B_1D\) và \(B_1D_1\) bằng \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), Ở đâu \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
Đáp án: 0,5
Nhiệm vụ 5 #2906
Cấp độ nhiệm vụ: Khó hơn Kỳ thi Thống nhất
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – khối. Điểm \(N\) là trung điểm của cạnh \(BB_1\) và điểm \(M\) chia đoạn \(BD\) theo tỷ lệ \(1:2\), tính từ đỉnh \(B\) . Tìm \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , trong đó \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng chứa \(MN\) và mặt phẳng \((ABC)\) . Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Vì \(NB\) là một phần của \(BB_1\) và \(BB_1\perp (ABC)\) , nên \(NB\perp (ABC)\) cũng vậy. Do đó, \(BM\) là hình chiếu của \(NM\) lên mặt phẳng \((ABC)\) . Điều này có nghĩa là góc \(\alpha\) bằng \(\angle NMB\) .
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng \(x\) . Sau đó \(NB=0.5x\) . Theo định lý Pythagore \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Vì theo điều kiện \(BM:MD=1:2\) , nên \(BM=\frac13BD\) , do đó, \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
Sau đó từ hình chữ nhật \(\tam giác NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]
Trả lời: 8
Nhiệm vụ 6 #2907
Cấp độ nhiệm vụ: Khó hơn Kỳ thi Thống nhất
\(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) bằng bao nhiêu nếu \(\alpha\) là góc nghiêng của đường chéo của hình lập phương với một trong các mặt của nó?
Góc mong muốn sẽ trùng với góc giữa đường chéo của hình lập phương và đường chéo của bất kỳ mặt nào của nó, bởi vì V. trong trường hợp nàyđường chéo của hình lập phương sẽ nghiêng, đường chéo của mặt sẽ là hình chiếu của mặt nghiêng này lên mặt phẳng. Do đó, góc mong muốn sẽ bằng, chẳng hạn như góc \(C_1AC\) . Nếu chúng ta biểu thị cạnh của hình lập phương là \(x\), thì \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), thì bình phương cotang của góc mong muốn: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Trả lời: 2
Nhiệm vụ 7 #2849
Cấp độ nhiệm vụ: Khó hơn Kỳ thi Thống nhất
\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
Theo định lý Pythagore \
Kể từ đây, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\] Vì \(OH\perp (ABC)\), nên \(OH\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào tính từ mặt phẳng này, có nghĩa là \(\tam giác OAH\) là hình chữ nhật. Sau đó \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]
Đáp án: 0,4
Sẽ rất hữu ích cho học sinh trung học chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất môn toán học cách giải các bài tập trong phần “Hình học trong không gian”, trong đó bạn cần tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Kinh nghiệm quá khứ cho thấy rằng nhiệm vụ tương tự gây ra những khó khăn nhất định cho sinh viên tốt nghiệp. Đồng thời, biết lý thuyết cơ bản và học sinh trung học ở bất kỳ trình độ đào tạo nào cũng phải hiểu cách tìm góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng. Chỉ trong trường hợp này họ mới có thể tin tưởng vào việc nhận được điểm kha khá.
Các sắc thái chính
Giống như các hình lập thể khác Nhiệm vụ kiểm tra nhà nước thống nhất, bài toán cần tìm góc, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể giải bằng hai phương pháp: hình học và đại số. Học sinh có thể chọn tùy chọn thuận tiện nhất cho mình. Theo phương pháp hình học, phải được tìm thấy trên một đường thẳng điểm thích hợp, hạ đường vuông góc từ nó xuống mặt phẳng và dựng hình chiếu. Sau này, sinh viên tốt nghiệp sẽ chỉ phải áp dụng cơ bản kiến thức lý thuyết và giải bài toán phẳng tính góc. Phương pháp đại số liên quan đến việc giới thiệu một hệ tọa độ để tìm số lượng mong muốn. Cần xác định tọa độ của hai điểm trên đường thẳng, soạn đúng phương trình của mặt phẳng và giải.
Chuẩn bị hiệu quả với Shkolkovo
Để làm cho các lớp học trở nên dễ dàng và đồng đều nhiệm vụ khó khăn không gây ra bất kỳ khó khăn nào, hãy chọn cổng thông tin giáo dục. Đây là tất cả các tài liệu cần thiết cho hoàn thành thành công kiểm tra chứng nhận. Cái đúng thông tin cơ bản bạn sẽ tìm thấy trong phần “Thông tin lý thuyết”. Và để thực hành hoàn thành nhiệm vụ, chỉ cần vào “Danh mục” trên cổng toán học của chúng tôi. Phần này chứa nhiều lựa chọn bài tập mức độ khác nhau sự phức tạp. Nhiệm vụ mới xuất hiện thường xuyên trong Danh mục.
Thực hiện các nhiệm vụ tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hoặc trên, học sinh Nga có thể trực tuyến khi đang ở Moscow hoặc một thành phố khác. Nếu học sinh muốn, bất kỳ bài tập nào cũng có thể được lưu vào mục “Yêu thích”. Điều này sẽ cho phép bạn nhanh chóng tìm thấy nó nếu cần thiết và thảo luận về tiến trình giải quyết nó với giáo viên.
Bài viết bắt đầu bằng việc định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn cách tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp tọa độ. Các giải pháp cho các ví dụ và vấn đề sẽ được thảo luận chi tiết.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Đầu tiên, cần nhắc lại khái niệm đường thẳng trong không gian và khái niệm mặt phẳng. Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, một số định nghĩa phụ trợ. Chúng ta hãy xem xét các định nghĩa này một cách chi tiết.
Định nghĩa 1
Một đường thẳng và một mặt phẳng cắt nhau trong trường hợp họ có một điểm chung, tức là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Một đường thẳng cắt một mặt phẳng có thể vuông góc với mặt phẳng đó.
Định nghĩa 2
Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này.
Định nghĩa 3
Hình chiếu điểm M lên mặt phẳngγ là điểm nếu nó nằm trong vì mặt phẳng đã cho, hoặc là giao điểm của mặt phẳng với đường thẳng vuông góc với mặt phẳngγ đi qua điểm M với điều kiện là nó không thuộc mặt phẳng γ.
Định nghĩa 4
Hình chiếu của đường thẳng a lên mặt phẳngγ là tập hợp các hình chiếu của tất cả các điểm của một đường thẳng cho trước lên mặt phẳng.
Từ đó ta thu được hình chiếu của một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng γ có một điểm giao nhau. Ta thấy hình chiếu của đường thẳng a là đường thẳng thuộc mặt phẳng γ và đi qua giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng. Chúng ta hãy nhìn vào hình dưới đây.
TRÊN ngay bây giờ chúng tôi có mọi thứ thông tin cần thiết và dữ liệu để xây dựng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa 5
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng góc giữa đường thẳng này và hình chiếu của nó lên mặt phẳng này được gọi là và đường thẳng không vuông góc với nó.
Định nghĩa góc nêu trên giúp rút ra kết luận rằng góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau, tức là một đường thẳng cho trước và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Điều này có nghĩa là góc giữa chúng sẽ luôn nhọn. Chúng ta hãy nhìn vào hình ảnh dưới đây.
Góc nằm giữa một đường thẳng và một mặt phẳng được coi là góc vuông, nghĩa là bằng 90 độ, nhưng góc nằm giữa các đường thẳng song song không được xác định. Có những trường hợp giá trị của nó được lấy bằng 0.
Bài toán cần tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có nhiều cách giải. Quá trình của giải pháp tự nó phụ thuộc vào dữ liệu có sẵn về điều kiện. Những người bạn đồng hành thường xuyên của lời giải là các dấu hiệu tương tự hoặc bằng nhau của các hình, cosin, sin, tiếp tuyến của các góc. Có thể tìm góc bằng phương pháp tọa độ. Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn.
Nếu ở không gian ba chiềuđược giới thiệu hệ thống hình chữ nhật tọa độ O x y z thì xác định đường thẳng a trong đó cắt mặt phẳng γ tại điểm M và không vuông góc với mặt phẳng. Cần tìm góc α nằm giữa một đường thẳng cho trước và mặt phẳng.
Trước tiên, bạn cần áp dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp tọa độ. Sau đó, chúng tôi nhận được những điều sau đây.
Trong hệ tọa độ O x y z xác định đường thẳng a tương ứng với các phương trình của đường thẳng trong không gian và vectơ chỉ hướng của đường thẳng trong không gian đối với mặt phẳng γ tương ứng với phương trình của mặt phẳng và pháp tuyến; vectơ của mặt phẳng. Khi đó a → = (a x , a y , a z) là vectơ chỉ phương của đường thẳng a đã cho, và n → (n x , n y , n z) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng γ. Giả sử ta có tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng a và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng γ thì phương trình của chúng đã biết, tức là chúng được xác định theo điều kiện, khi đó ta xác định được các vectơ a → và n → dựa trên phương trình.
Để tính góc, cần biến đổi công thức để thu được giá trị của góc này bằng cách sử dụng tọa độ sẵn có của vectơ chỉ hướng của đường thẳng và vectơ pháp tuyến.
Cần vẽ các vectơ a → và n →, bắt đầu từ giao điểm của đường thẳng a với mặt phẳng γ. Có 4 lựa chọn về vị trí của các vectơ này so với các đường thẳng và mặt phẳng cho trước. Nhìn vào hình dưới đây, cho thấy tất cả 4 biến thể.
Từ đây chúng ta thu được góc giữa các vectơ a → và n → được ký hiệu là a → , n → ^ và là góc nhọn, khi đó góc α mong muốn nằm giữa đường thẳng và mặt phẳng được bù, nghĩa là chúng ta thu được một biểu thức có dạng a → , n → ^ = 90° - α. Khi, theo điều kiện, a →, n → ^ > 90 ° thì ta có a →, n → ^ = 90 ° + α.
Từ đây chúng ta có cosin góc bằng nhau bằng nhau thì các đẳng thức cuối cùng được viết dưới dạng hệ
cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
Cần sử dụng các công thức rút gọn để đơn giản biểu thức. Khi đó ta nhận được đẳng thức gõ cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°
Sau khi thực hiện các phép biến đổi, hệ thống thu được loại tội lỗiα = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
Từ đây ta suy ra sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng mô đun cosin của góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho.
Phần tìm góc tạo bởi hai vectơ cho thấy góc này nhận giá trị sản phẩm chấm vectơ và tích của các độ dài này. Quá trình tính sin của góc thu được khi giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng được thực hiện theo công thức
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Điều này có nghĩa là công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với tọa độ vectơ chỉ hướng của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sau khi biến đổi có dạng
α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Có thể tìm cosin với một sin đã biết bằng cách áp dụng cơ bản nhận dạng lượng giác. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tạo thành góc nhọn. Điều này cho thấy giá trị của nó sẽ là số dương, và tính toán của nó được thực hiện từ công thức cosα = 1 - sin α.
Hãy giải quyết một số ví dụ tương tựđể cố định vật liệu.
Ví dụ 1
Tìm góc, sin, cosin của góc tạo bởi đường thẳng x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 và mặt phẳng 2 x + z - 1 = 0.
Giải pháp
Để thu được tọa độ của vectơ chỉ phương cần xét phương trình chính tắc thẳng trong không gian. Khi đó ta có a → = (3, - 2, 6) là vectơ chỉ phương của đường thẳng x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.
Để tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến, cần xét phương trình tổng quát các mặt phẳng, vì sự hiện diện của chúng được xác định bởi các hệ số có sẵn ở phía trước các biến của phương trình. Khi đó chúng ta thấy rằng đối với mặt phẳng 2 x + z - 1 = 0 vectơ pháp tuyến có dạng n → = (2, 0, 1).
Cần tiến hành tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Để làm được điều này cần thay tọa độ của các vectơ a → và b → thành công thức đã cho. Chúng ta nhận được một biểu thức có dạng
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
Từ đây chúng ta tìm thấy giá trị của cosin và giá trị của góc. Chúng tôi nhận được:
cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
Trả lời: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = arc cos 101 7 5 = arc sin 12 7 5.
Ví dụ 2
Có một hình chóp được xây dựng bằng cách sử dụng các giá trị của các vectơ A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1. Tìm góc giữa đường thẳng A D và mặt phẳng A B C.
Giải pháp
Để tính được góc mong muốn cần phải có tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. đối với đường thẳng A D vectơ chỉ phương có tọa độ A D → = 4, 1, 1.
Vectơ pháp tuyến n → , máy bay A B C là vuông góc với vectơ A B → và A C → . Điều này suy ra rằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A B C có thể được coi là sản phẩm vector vectơ A B → và A C → . Chúng tôi tính toán điều này bằng công thức và nhận được:
n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )
Cần thay tọa độ các vectơ để tính được góc mong muốn, được hình thành bởi giao điểm thẳng và phẳng. chúng ta nhận được một biểu thức có dạng:
α = arc sin A D → , n → ^ A D → · n → = arc sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2
Trả lời: a r c sin 23 21 2 .
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Góc a giữa đường thẳng l và mặt phẳng 6 có thể được xác định thông qua góc bổ sung p giữa một đường thẳng l cho trước và đường vuông góc n với một mặt phẳng cho trước vẽ từ bất kỳ điểm nào trên đường thẳng (Hình 144). Góc P bù cho góc mong muốn a đến 90°. Sau khi xác định giá trị thực của góc P bằng cách quay mặt phẳng của góc tạo bởi đường thẳng l và đường vuông góc và xung quanh đường thẳng thì vẫn phải bù cho góc vuông. Góc bổ sung này sẽ cho giá trị thực của góc a giữa đường thẳng l và mặt phẳng 0.
27. Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Giá trị thực góc nhị diện- giữa hai mặt phẳng Q và l. - có thể được xác định bằng cách thay thế mặt phẳng chiếu để biến cạnh của góc nhị diện thành đường chiếu (bài toán 1 và 2), hoặc nếu cạnh không được chỉ định, như góc giữa hai đường vuông góc n1 và n2 được vẽ thành các mặt phẳng này từ một điểm M tùy ý của không gian B mặt phẳng vuông góc tại điểm M ta thu được hai góc phẳng a và P tương ứng bằng hai góc thẳng của hai mặt phẳng này. các góc liền kề(lưỡng diện) được hình thành bởi các mặt phẳng q và l. Đã xác định được giá trị thực của các góc giữa đường vuông góc n1 và n2 bằng cách quay quanh đường thẳng cùng mức, từ đó xác định được góc tuyến tính góc nhị diện tạo bởi mặt phẳng q và l.
Những đường cong. Điểm đặc biệt của đường cong.
TRÊN bản vẽ phức tạp của một đường cong, các điểm đặc biệt của nó, bao gồm các điểm uốn, điểm quay lại, điểm đứt và điểm nút, cũng là những điểm đặc biệt trên hình chiếu của nó. Điều này được giải thích bởi thực tế là điểm số ít các đường cong được nối với các tiếp tuyến tại các điểm này.
Nếu mặt phẳng của đường cong chiếm vị trí hình chiếu (Hình 2). MỘT), thì một hình chiếu của đường cong này có dạng một đường thẳng.
Đối với một đường cong không gian, tất cả các hình chiếu của nó đều là các đường cong (Hình 2). b).
Để xác định từ bản vẽ đường cong nào được cho (mặt phẳng hoặc không gian), cần phải tìm hiểu xem tất cả các điểm của đường cong có thuộc cùng một mặt phẳng hay không. Được chỉ định trong hình. bđường cong có tính chất không gian, vì điểm Dđường cong không thuộc mặt phẳng được xác định bởi ba điểm khác A, B Và Eđường cong này.
Hình tròn - một đường cong phẳng bậc hai, hình chiếu trực giao của nó có thể là hình tròn và hình elip
Đường xoắn ốc hình trụ (xoắn ốc) là một đường cong không gian biểu thị quỹ đạo của một điểm thực hiện chuyển động xoắn ốc. 
29. Đường cong phẳng và không gian.
Xem câu hỏi 28
30. Vẽ bề mặt phức tạp. Quy định cơ bản.
Bề mặt là tập hợp các vị trí tuần tự của các đường chuyển động trong không gian. Đường này có thể thẳng hoặc cong và được gọi là máy phát điện các bề mặt. Nếu đường sinh là một đường cong thì nó có thể có hằng số hoặc chế độ xem biến. Máy phát điện di chuyển dọc theo hướng dẫn,đại diện cho các dòng có hướng khác với máy phát điện. Các đường dẫn thiết lập quy luật chuyển động cho máy phát điện. Khi di chuyển máy phát điện dọc theo các hướng dẫn, một khung bề mặt (Hình 84), là một tập hợp nhiều vị trí liên tiếp của các đường sinh và đường dẫn. Kiểm tra khung, người ta có thể tin chắc rằng các máy phát điện tôi và hướng dẫn T có thể hoán đổi nhưng bề mặt vẫn giữ nguyên.
Bất kỳ bề mặt nào cũng có thể thu được bằng nhiều cách khác nhau.
Tùy thuộc vào hình dạng của máy phát điện, tất cả các bề mặt có thể được chia thành cai trị, có một đường thẳng sinh sinh và không bị cai trị, có một đường cong hình thành.
Các bề mặt có thể phát triển bao gồm các bề mặt của tất cả các bề mặt khối đa diện, hình trụ, hình nón và thân. Tất cả các bề mặt khác đều không thể phát triển được. Các bề mặt không có quy tắc có thể có một đường sinh có hình dạng không đổi (bề mặt quay và bề mặt hình ống) và một đường sinh có hình dạng thay đổi (bề mặt kênh và khung).
Một bề mặt trong một bản vẽ phức tạp được xác định bằng các hình chiếu của phần hình học của định thức của nó, biểu thị phương pháp xây dựng các thành phần của nó. Trong bản vẽ một bề mặt, đối với bất kỳ điểm nào trong không gian, câu hỏi liệu nó có thuộc về một bề mặt nhất định hay không đã được giải quyết một cách rõ ràng. Việc xác định bằng đồ họa các phần tử của định thức bề mặt đảm bảo khả năng đảo ngược của bản vẽ, nhưng không làm cho nó trở nên trực quan. Để rõ ràng, họ dùng đến việc xây dựng các hình chiếu của một khung sinh khá dày đặc và xây dựng các đường phác thảo của bề mặt (Hình 86). Khi chiếu mặt Q lên mặt phẳng chiếu, các tia chiếu chạm vào mặt Q tại các điểm tạo thành một đường thẳng nhất định trên đó tôi, được gọi là đường viềnđường kẻ. Hình chiếu của đường đồng mức được gọi là tiểu luận các bề mặt. Trong một bản vẽ phức tạp, bất kỳ bề mặt nào cũng có: P 1 - đường viền ngang, trên P 2 - đường viền phía trước, trên P 3 - đường viền mặt cắt của bề mặt. Bản phác thảo bao gồm, ngoài các hình chiếu của đường đồng mức, còn có các hình chiếu của các đường cắt.
Khái niệm hình chiếu của một hình lên mặt phẳng
Để giới thiệu khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, trước tiên bạn cần hiểu khái niệm đó là hình chiếu của một hình tùy ý lên mặt phẳng.
Định nghĩa 1
Giả sử chúng ta được cho một điểm tùy ý $A$. Điểm $A_1$ được gọi là hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $\alpha $ nếu nó là đáy của đường vuông góc kẻ từ điểm $A$ lên mặt phẳng $\alpha $ (Hình 1).
Hình 1. Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng
Định nghĩa 2
Cho chúng ta một con số tùy ý $F$. Hình $F_1$ được gọi là hình chiếu của hình $F$ lên mặt phẳng $\alpha $, bao gồm các hình chiếu của tất cả các điểm của hình $F$ lên mặt phẳng $\alpha $ (Hình 2).
Hình 2. Hình chiếu của một hình lên mặt phẳng
Định lý 1
Hình chiếu không vuông góc với mặt phẳng của đường thẳng là đường thẳng.
Bằng chứng.
Cho chúng ta một mặt phẳng $\alpha $ và một đường thẳng $d$ cắt nó, không vuông góc với nó. Chúng ta hãy chọn một điểm $M$ trên đường thẳng $d$ và vẽ hình chiếu $H$ của nó lên mặt phẳng $\alpha $. Qua đường thẳng $(MH)$ ta vẽ mặt phẳng $\beta $. Rõ ràng, mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng $\alpha $. Cho chúng cắt nhau dọc theo đường thẳng $m$. Hãy xem xét điểm tùy ý$M_1$ của đường thẳng $d$ và vẽ qua nó đường thẳng $(M_1H_1$) song song với đường thẳng $(MH)$ (Hình 3).
Hình 3.
Vì mặt phẳng $\beta $ vuông góc với mặt phẳng $\alpha $ nên $M_1H_1$ vuông góc với đường thẳng $m$, tức là điểm $H_1$ là hình chiếu của điểm $M_1$ lên mặt phẳng $\alpha $. Do việc chọn điểm $M_1$ là tùy ý nên tất cả các điểm của đường thẳng $d$ đều được chiếu lên đường thẳng $m$.
Lập luận theo cách tương tự. TRONG thứ tự ngược lại, chúng ta sẽ thu được rằng mỗi điểm trên đường thẳng $m$ là hình chiếu của một điểm nào đó trên đường thẳng $d$.
Điều này có nghĩa là dòng $d$ được chiếu lên dòng $m$.
Định lý đã được chứng minh.
Khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa 3
Góc giữa một đường thẳng cắt một mặt phẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng này được gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Hình 4).
Hình 4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hãy ghi lại một vài ghi chú ở đây.
Lưu ý 1
Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Khi đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là $90^\circ$.
Lưu ý 2
Nếu đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng. Khi đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là $0^\circ$.
Vấn đề mẫu
Ví dụ 1
Cho hình bình hành $ABCD$ và một điểm $M$ không nằm trong mặt phẳng của hình bình hành. Chứng minh rằng các tam giác $AMB$ và $MBC$ là vuông nếu điểm $B$ là hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng hình bình hành.
Bằng chứng.
Chúng ta hãy mô tả tình trạng vấn đề trong hình (Hình 5).
Hình 5.
Vì điểm $B$ là hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng $(ABC)$, nên đường thẳng $(MB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Theo Nhận xét 1, ta thấy góc giữa đường thẳng $(MB)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $90^\circ$. Kể từ đây
\[\góc MBC=MBA=(90)^0\]
Điều này có nghĩa là tam giác $AMB$ và $MBC$ là tam giác vuông.
Ví dụ 2
Cho một mặt phẳng $\alpha $. Một đoạn được vẽ một góc $\varphi $ so với mặt phẳng này, phần đầu của đoạn này nằm trong mặt phẳng này. Hình chiếu của đoạn này bằng một nửa kích thước của đoạn đó. Tìm giá trị của $\varphi$.
Giải pháp.
Hãy xem xét Hình 6.
Hình 6.
Theo điều kiện, ta có
Vì tam giác $BCD$ là vuông nên theo định nghĩa của cosin
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]