Hãy áp dụng một vectơ hướng dẫn
đến mức
. Khoảng cách từ điểm
đến một đường thẳng là chiều cao của hình bình hành dựng trên vectơ Và
. Hãy tìm diện tích hình bình hành bằng tích chéo:

Ở phía bên kia, . Từ sự bằng nhau của vế phải của hai quan hệ cuối cùng suy ra rằng

. (3.27)

3.10. hình elip

Sự định nghĩa. hình elip là một bề mặt bậc hai, trong một số hệ tọa độ được xác định bởi phương trình

. (3.28)

Phương trình (3.28) được gọi là phương trình chính tắc của ellipsoid.

Từ phương trình (3.28), suy ra rằng các mặt phẳng tọa độ là các mặt phẳng đối xứng của hình elip, và gốc tọa độ là tâm đối xứng. số
được gọi là các bán trục của ellipsoid và biểu thị độ dài các đoạn từ gốc đến giao điểm của ellipsoid với các trục tọa độ. Hình elip là một bề mặt giới hạn được bao bọc trong một đường ống song song
,
,
.

Chúng ta hãy thiết lập dạng hình học của ellipsoid. Để làm điều này, chúng ta hãy tìm ra hình dạng của các đường giao nhau của các mặt phẳng của nó song song với các trục tọa độ.

Để cụ thể, hãy xem xét các đường giao nhau của hình elip với các mặt phẳng
, song song với mặt phẳng
. Phương trình hình chiếu đường giao nhau lên mặt phẳng
thu được từ (3.28) nếu chúng ta đặt vào nó
. Phương trình của hình chiếu này là

. (3.29)

Nếu như
, khi đó (3.29) là phương trình của một elip ảo và giao điểm của elipsoid với mặt phẳng
KHÔNG. Nó theo sau đó
. Nếu như
, thì đường thẳng (3.29) suy biến thành điểm, tức là mặt phẳng
chạm vào hình elip tại các điểm
Và
. Nếu như
, Cái đó
và bạn có thể giới thiệu ký hiệu

,
. (3.30)

Khi đó phương trình (3.29) có dạng

, (3.31)

tức là chiếu lên một mặt phẳng
giao tuyến của elip và mặt phẳng
là một hình elip có bán trục, được xác định bởi các đẳng thức (3.30). Vì đường giao nhau của bề mặt với các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ là một hình chiếu được “nâng” lên một độ cao , thì bản thân đường giao nhau là một hình elip.

Khi giảm giá trị trục trục Và tăng và đạt giá trị lớn nhất tại
, tức là trong phần của ellipsoid theo mặt phẳng tọa độ
thu được hình elip lớn nhất có bán trục
Và
.

Ý tưởng về hình elip có thể đạt được theo cách khác. Hãy xem xét trên máy bay
họ các hình elip (3.31) có bán trục Và , được xác định bởi quan hệ (3.30) và tùy thuộc vào . Mỗi hình elip như vậy là một đường mức, nghĩa là một đường tại mỗi điểm có giá trị giống nhau. “Nâng” từng hình elip lên một độ cao , chúng ta có được một cái nhìn không gian của hình elip.

Một hình ảnh tương tự thu được khi một bề mặt nhất định được cắt bởi các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ
Và
.

Như vậy, hình elip là một mặt hình elip khép kín. Trong trường hợp
Ellipsoid là một hình cầu.

Đường giao nhau của một hình elip với bất kỳ mặt phẳng nào là một hình elip, vì đường thẳng đó là đường giới hạn bậc hai và đường giới hạn duy nhất của bậc hai là hình elip.

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn e-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục tố tụng, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ ở Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

GÓC GIỮA MÁY BAY

Xét hai mặt phẳng α 1 và α 2, được xác định tương ứng bởi các phương trình:

Dưới góc giữa hai mặt phẳng chúng ta sẽ hiểu một trong góc nhị diệnđược hình thành bởi những mặt phẳng này. Rõ ràng là góc giữa các vectơ pháp tuyến và các mặt phẳng α 1 và α 2 bằng một trong các góc nhị diện liền kề được chỉ định hoặc . Đó là lý do tại sao . Bởi vì Và , Cái đó

.

Ví dụ. Xác định góc giữa các mặt phẳng x+2y-3z+4=0 và 2 x+3y+z+8=0.

Điều kiện song song của hai mặt phẳng.

Hai mặt phẳng α 1 và α 2 song song khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng song song và do đó .

Vì vậy, hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi các hệ số của tọa độ tương ứng tỷ lệ thuận:

hoặc

Điều kiện vuông góc của mặt phẳng.

Rõ ràng là hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc, và do đó, hoặc .

Như vậy, .

Ví dụ.

TUYỆT VỜI TRONG KHÔNG GIAN.

PHƯƠNG TIỆN Vectơ CHO ĐƯỜNG DÂY.

PHƯƠNG TIỆN TRỰC TIẾP THAM SỐ

Vị trí của một đường thẳng trong không gian được xác định hoàn toàn bằng cách xác định bất kỳ điểm cố định nào của nó M 1 và một vectơ song song với đường thẳng này.

Vectơ song song với một đường thẳng được gọi là hướng dẫn vectơ của đường này.

Vậy hãy để đường thẳng tôiđi qua một điểm M 1 (x 1 , y 1 , z 1), nằm trên đường thẳng song song với vectơ .

Hãy xem xét điểm tùy ý M(x,y,z) trên một đường thẳng. Từ hình vẽ rõ ràng rằng .

Các vectơ và vectơ thẳng hàng nên tồn tại số đó t, cái gì , số nhân ở đâu t có thể chấp nhận bất kỳ giá trị số tùy theo vị trí của điểm M trên một đường thẳng. Nhân tố tđược gọi là một tham số. Đã chỉ định các vectơ bán kính của điểm M 1 và M tương ứng, thông qua và , chúng tôi có được . Phương trình này được gọi là vectơ phương trình của một đường thẳng. Nó cho thấy rằng với mỗi giá trị tham số t tương ứng với vectơ bán kính của một số điểm M, nằm trên một đường thẳng.

Hãy viết phương trình này dưới dạng tọa độ. Lưu ý rằng, và từ đây

Các phương trình kết quả được gọi là tham số các phương trình của đường thẳng.

Khi thay đổi một tham số t tọa độ thay đổi x, y Và z và thời kỳ M chuyển động theo đường thẳng.

PHƯƠNG TIỆN CHÍNH HÃNG CỦA TRỰC TIẾP

Cho phép M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – một điểm nằm trên một đường thẳng tôi, Và là vectơ chỉ phương của nó. Chúng ta hãy lại lấy một điểm tùy ý trên đường thẳng M(x,y,z) và xét vectơ .

Rõ ràng là các vectơ cũng thẳng hàng nên tọa độ tương ứng của chúng phải tỉ lệ, do đó,

– kinh điển các phương trình của đường thẳng.

Lưu ý 1. Lưu ý rằng các phương trình chính tắc của đường thẳng có thể thu được từ các phương trình tham số bằng cách loại bỏ tham số t. Thật vậy, từ các phương trình tham số chúng ta thu được hoặc .

Ví dụ. Viết phương trình của đường thẳng ở dạng tham số.

Hãy biểu thị , từ đây x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Lưu ý 2. Cho đường thẳng vuông góc với một trong trục tọa độ, ví dụ như trục Con bò đực. Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc Con bò đực, kể từ đây, tôi=0. Do đó, phương trình tham số của đường thẳng sẽ có dạng

Loại trừ tham số khỏi phương trình t, ta thu được phương trình của đường thẳng có dạng

Tuy nhiên, trong trường hợp này cũng vậy, chúng ta đồng ý viết chính thức các phương trình chính tắc của đường thẳng dưới dạng . Do đó, nếu mẫu số của một trong các phân số bằng 0, điều này có nghĩa là đường thẳng vuông góc với trục tọa độ tương ứng.

Tương tự như vậy, phương trình chính tắc tương ứng với một đường thẳng vuông góc với các trục Con bò đực Và Ôi hoặc song song với trục Oz.

Ví dụ.

PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG NHƯ ĐƯỜNG GIANG GIAO NHẬN CỦA HAI MẶT BẰNG

Qua mỗi đường thẳng trong không gian có vô số mặt phẳng. Bất kỳ hai trong số chúng, giao nhau, xác định nó trong không gian. Do đó, phương trình của hai mặt phẳng bất kỳ, được xem xét cùng nhau, biểu diễn phương trình của đường thẳng này.

Nói chung, cả hai đều không mặt phẳng song song, được cho bởi phương trình tổng quát

xác định đường thẳng giao nhau của chúng. Những phương trình này được gọi là phương trình tổng quát trực tiếp.

Ví dụ.

Xây dựng một đường thẳng cho bởi các phương trình

Để dựng một đường thẳng, chỉ cần tìm hai điểm bất kỳ của nó là đủ. Cách dễ nhất là chọn các điểm giao nhau của đường thẳng với mặt phẳng tọa độ. Ví dụ: giao điểm với mặt phẳng xOy chúng ta thu được từ các phương trình của đường thẳng, giả sử z= 0:

Giải được hệ này ta tìm được điểm M 1 (1;2;0).

Tương tự, giả sử y= 0 ta được giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng xOz:

Từ các phương trình tổng quát của đường thẳng người ta có thể đi đến phương trình chính tắc hoặc phương trình tham số. Để làm được điều này bạn cần phải tìm một số điểm M 1 trên đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng.

tọa độ điểm M 1, chúng ta thu được từ hệ phương trình này, cho một trong các tọa độ một giá trị tùy ý. Để tìm vectơ chỉ phương, lưu ý rằng vectơ này phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến Và . Do đó, ngoài vectơ chỉ phương của đường thẳng tôi bạn có thể lấy nó sản phẩm vector vectơ pháp tuyến:

.

Ví dụ. Chỉ huy phương trình tổng quát trực tiếp sang dạng kinh điển.

Hãy tìm một điểm nằm trên một đường thẳng. Để làm điều này, chúng tôi chọn tùy ý một trong các tọa độ, ví dụ: y= 0 và giải hệ phương trình:

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng xác định đường thẳng có tọa độ Do đó, vectơ chỉ phương sẽ thẳng

. Kể từ đây, tôi: .

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG

Góc giữa các dòng trong không gian chúng ta sẽ gọi bất kỳ các góc liền kề, được tạo bởi hai đường thẳng vẽ qua một điểm tùy ý song song với dữ liệu.

Cho hai dòng trong không gian:

Hiển nhiên, góc φ giữa các đường thẳng có thể coi là góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng và . Vì , khi đó sử dụng công thức tính cosin của góc giữa các vectơ ta được