Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Hướng dẫn

Để tìm khoảng cách từ điểmĐẾN máy bay sử dụng các phương pháp mô tả: chọn trên máy bayđiểm tùy ý; vẽ hai đường thẳng đi qua nó (nằm trong máy bay); khôi phục vuông góc với máy bayđi qua điểm này (dựng một đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng cắt nhau); vẽ đường thẳng song song với đường vuông góc dựng qua một điểm cho trước; tìm khoảng cách giữa giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng và điểm đã cho.

Nếu vị trí điểmđược cho bởi tọa độ ba chiều của nó và vị trí máy bay– phương trình tuyến tính, sau đó tìm khoảng cách từ máy bayĐẾN điểm, sử dụng các phương pháp hình học giải tích: chỉ ra tọa độ điểm lần lượt qua x, y, z (x – hoành độ, y – tọa độ, z – áp dụng); ký hiệu là A, B, C, D các phương trình máy bay(A – tham số tại trục hoành, B – tại , C – tại ứng dụng, D – số hạng tự do); tính khoảng cách từ điểmĐẾN máy bay theo công thức:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,trong đó s là khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng,|| - giá trị tuyệt đối (hoặc mô-đun).

Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa điểm A có tọa độ (2, 3, -1) và mặt phẳng cho bởi phương trình: 7x-6y-6z+20=0. Giải: x=2,y. =3,z =-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. Thay các giá trị này vào giá trị trên, bạn nhận được: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Trả lời: Khoảng cách từ điểmĐẾN máy bay bằng 2 (đơn vị tùy ý).

Mẹo 2: Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Xác định khoảng cách từ điểmĐẾN máy bay- một trong những nhiệm vụ chung của việc đo mặt phẳng trường học. Như đã biết, nhỏ nhất khoảng cách từ điểmĐẾN máy bay sẽ có một đường vuông góc được vẽ từ đây điểmđến đây máy bay. Do đó, độ dài đường vuông góc này được lấy bằng khoảng cách từ điểmĐẾN máy bay.

Bạn sẽ cần

• phương trình mặt phẳng

Hướng dẫn

Giả sử phần song song đầu tiên của f1 được cho bởi phương trình y=kx+b1. Chuyển biểu thức sang dạng tổng quát, bạn nhận được kx-y+b1=0, tức là A=k, B=-1. Bình thường của nó sẽ là n=(k, -1).
Bây giờ theo một trục hoành tùy ý của điểm x1 trên f1. Khi đó tọa độ của nó là y1=kx1+b1.
Cho phương trình giây của đường thẳng song song f2 có dạng:
y=kx+b2 (1),
trong đó k giống nhau cho cả hai dòng, do tính song song của chúng.

Tiếp theo, bạn cần lập phương trình chính tắc của đường thẳng vuông góc với cả f2 và f1, chứa điểm M (x1, y1). Trong trường hợp này, giả sử x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). Kết quả là, bạn sẽ nhận được sự bình đẳng sau:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Giải hệ phương trình gồm các biểu thức (1) và (2), bạn sẽ tìm được điểm thứ hai xác định khoảng cách cần thiết giữa các điểm song song N(x2, y2). Bản thân khoảng cách được yêu cầu sẽ bằng d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Ví dụ. Giả sử phương trình các đường thẳng song song trên mặt phẳng f1 – y=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Lấy một điểm tùy ý x1=1 trên f1. Khi đó y1=3. Do đó, điểm đầu tiên sẽ có tọa độ M (1,3). Phương trình vuông góc tổng quát (3):
(x-1)/2 = -y+3 hoặc y=-(1/2)x+5/2.
Thay giá trị y này vào (1), bạn nhận được:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
Đáy thứ hai của đường vuông góc tại điểm có tọa độ N (-1, 3). Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song sẽ là:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Nguồn:

• Sự phát triển của thể thao ở Nga

Đỉnh của bất kỳ hình hình học phẳng hoặc ba chiều nào đều được xác định duy nhất bởi tọa độ của nó trong không gian. Theo cách tương tự, bất kỳ điểm tùy ý nào trong cùng một hệ tọa độ đều có thể được xác định duy nhất và điều này giúp tính khoảng cách giữa điểm tùy ý này và đỉnh của hình.

Bạn sẽ cần

• - giấy;
• - bút hoặc bút chì;
• - máy tính.

Hướng dẫn

Hãy rút gọn bài toán về việc tìm độ dài đoạn thẳng giữa hai điểm, nếu biết tọa độ của điểm xác định trong bài toán và các đỉnh của hình hình học. Độ dài này có thể được tính bằng định lý Pythagore liên quan đến hình chiếu của một đoạn trên trục tọa độ - nó sẽ bằng căn bậc hai của tổng bình phương độ dài của tất cả các hình chiếu. Ví dụ: đặt điểm A(X₁;Y₁;Z₁) và đỉnh C của bất kỳ hình hình học nào có tọa độ (X₂;Y₂;Z₂) được cho trong hệ tọa độ ba chiều. Khi đó, độ dài hình chiếu của đoạn giữa chúng lên các trục tọa độ có thể là X₁-X₂, Y₁-Y₂ và Z₁-Z₂, và độ dài của đoạn là √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂ )²+(Z₁-Z₂)² ). Ví dụ: nếu tọa độ của điểm là A(5;9;1) và các đỉnh là C(7;8;10), thì khoảng cách giữa chúng sẽ bằng √((5-7)²+ (9-8)2+(1- 10)2) = √(-22+12+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Đầu tiên hãy tính tọa độ của đỉnh nếu chúng không được biểu diễn rõ ràng trong điều kiện bài toán. Phương pháp cụ thể phụ thuộc vào loại hình và các tham số bổ sung đã biết. Ví dụ: nếu đã biết tọa độ ba chiều của ba đỉnh A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) và C(X₃;Y₃;Z₃), thì tọa độ của đỉnh thứ tư của nó (ngược lại) đến đỉnh B) sẽ là (X₃+X₂ -X₁;Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁). Sau khi xác định tọa độ của đỉnh bị thiếu, việc tính khoảng cách giữa đỉnh đó và một điểm tùy ý sẽ lại được quy về việc xác định độ dài đoạn giữa hai điểm này trong một hệ tọa độ nhất định - thực hiện việc này theo cách tương tự như được mô tả trong phần bước trước đó. Ví dụ: đối với đỉnh của hình bình hành được mô tả ở bước này và điểm E có tọa độ (X₄;Y₄;Z₄), công thức tính khoảng cách từ bước trước có thể như sau: √((X₃+X₂-X₁- X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁- Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).

Để tính toán thực tế, bạn có thể sử dụng, chẳng hạn như tính toán được tích hợp trong công cụ tìm kiếm Google. Vì vậy, để tính giá trị bằng công thức thu được ở bước trước, đối với các điểm có tọa độ A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), nhập truy vấn tìm kiếm sau: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Công cụ tìm kiếm sẽ tính toán và hiển thị kết quả phép tính (5.19615242).

Video về chủ đề

Sự hồi phục vuông gócĐẾN máy bay là một trong những bài toán quan trọng trong hình học; nó làm cơ sở cho nhiều định lý và chứng minh. Để dựng một đường thẳng vuông góc máy bay, bạn cần thực hiện tuần tự một số bước.

Bạn sẽ cần

• - mặt phẳng đã cho;
• - điểm mà bạn muốn vẽ đường vuông góc;
• - la bàn;
• - cái thước kẻ;
• - bút chì.

Hãy xem xét thuật toán giải bài toán số 3.

1. Từ điểm P vẽ đường thẳng t vuông góc với mặt phẳng α (mặt phẳng α là mặt phẳng của hình dựng ở bài toán số 1); (·)PÎt; t ^ α (xem ví dụ 5.1).

2. Xác định giao điểm (điểm T) của đường vuông góc với mặt phẳng α; t ∩ α = (·) T (xem ví dụ 5.2).

3. Xác định giá trị thực tế │PT│ của khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng (xem ví dụ 5.3).

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn từng điểm của thuật toán trên bằng các ví dụ sau.

Ví dụ 5.1. Từ điểm P vẽ đường thẳng t vuông góc với mặt phẳng α xác định bởi ba điểm α (ABC), (Hình 5.1).

Từ định lý về sự vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng, người ta biết rằng nếu một đường thẳng t ^ α thì trên sơ đồ hình chiếu ngang t 1 của nó vuông góc với hình chiếu của mặt phẳng ngang cùng tên, tức là t 1^h 1, và hình chiếu chính diện t 2 của nó vuông góc với hình chiếu chính diện cùng tên thì có t 2^f 2. Vì vậy, việc giải quyết vấn đề phải bắt đầu bằng việc xây dựng mặt phẳng ngang và mặt trước α, nếu chúng không nằm trong mặt phẳng đã cho. Trong trường hợp này, cần nhớ rằng việc xây dựng bất kỳ phương ngang nào cũng phải bắt đầu bằng hình chiếu chính diện, vì hình chiếu chính diện h 2 của phương ngang h luôn song song với trục OX (h 2 ││OX). Và việc xây dựng bất kỳ mặt trước nào đều bắt đầu bằng hình chiếu ngang f 1 của mặt trước f, phải song song với trục OX (f 1 ││OX). Vì vậy, trong hình. 5.1, qua điểm C kẻ đường ngang C-1 (C 2 -1 2; C 1 -1 1), và qua điểm A kẻ đường thẳng A-2 phía trước (A 1 -2 1; A 2 -2 2). Hình chiếu trực diện t 2 của đường vuông góc mong muốn t đi qua điểm P 2 vuông góc với A 2 -2 2 và hình chiếu ngang t 1 đi qua điểm P 1 vuông góc với C 1 -1 1.

Ví dụ 5.2. Xác định giao điểm của đường vuông góc t với mặt phẳng α (tức là xác định đáy của đường vuông góc).

Giả sử mặt phẳng α được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau α (h ∩ f). Đường thẳng t vuông góc với mặt phẳng α, vì t 1^f 1, và

t 2^f 2 . Để tìm được đáy của đường vuông góc, cần thực hiện các phép dựng sau:

1. tÎb (b – mặt phẳng chiếu phụ). Nếu b là mặt phẳng chiếu nằm ngang thì hình chiếu suy biến ngang của nó (vết ngang b 1) trùng với hình chiếu ngang t 1 của đường thẳng t, tức là b 1 ≡t 1. Nếu b là mặt phẳng chiếu phía trước thì hình chiếu phía trước suy biến của nó (vết trán b 2) trùng với hình chiếu phía trước t 2 của đường thẳng t, tức là b 2 ≡ t 2. Trong ví dụ này, mặt phẳng chiếu phía trước được sử dụng (xem Hình 5.2).

2. α ∩ b = 1-2 – giao tuyến của hai mặt phẳng;

3. xác định điểm T - đáy của đường vuông góc; (·)T= t ∩ 1-2.

Ví dụ 5.3. Xác định khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm P tới mặt phẳng được xác định bằng độ dài đoạn vuông góc PT. Đường thẳng PT chiếm vị trí tổng quát trong không gian nên cách xác định giá trị tự nhiên của một đoạn xem trang 7, 8 (Hình 3.4 và 3.5).

Sơ đồ giải bài toán số 3 bằng cách xác định khoảng cách từ điểm P đến một hình phẳng, cụ thể là đến mặt phẳng của hình vuông được dựng theo các điều kiện đã cho*, được thể hiện trên Hình 2. 5.3. Cần nhớ lại rằng các hình chiếu của điểm P phải được dựng theo tọa độ đã cho (xem phần bài tập của bạn).

6. CÁC LỰA CHỌN NHIỆM VỤ VÀ VÍ DỤ VỀ HIỆU SUẤT CÔNG VIỆC

Điều kiện thực hiện nhiệm vụ và tọa độ các điểm được cho trong Bảng 6.1.

CÁC LỰA CHỌN NHIỆM VỤ 148

Đại học Kỹ thuật Hàng hải Bang St. Petersburg

Phòng hỗ trợ thông tin và đồ họa máy tính

BÀI 4

NHIỆM VỤ THỰC HÀNH SỐ 4

Máy bay.

Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

1. Xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chiếu.

Để tìm khoảng cách thực tế từ một điểm đến một mặt phẳng, bạn cần:

· Từ một điểm hạ thấp đường vuông góc với mặt phẳng;

· tìm giao điểm của đường vuông góc với mặt phẳng;

· xác định kích thước thực tế của một đoạn, điểm đầu là điểm đã cho và điểm cuối là giao điểm tìm được.

Một chiếc máy bay có thể chiếm không gian tổng quan Và riêng tư chức vụ. Dưới riêng tưđề cập đến vị trí mà mặt phẳng vuông góc lên mặt phẳng chiếu - mặt phẳng như vậy gọi là hình chiếu. Tính năng chính của vị trí chiếu: một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chiếu nếu nó đi qua đường chiếu. Trong trường hợp này, một trong các hình chiếu của mặt phẳng là một đường thẳng - nó được gọi là theo sau máy bay.

Nếu mặt phẳng đang chiếu thì dễ dàng xác định được khoảng cách thực tế từ điểm đến mặt phẳng. Hãy chứng minh điều này bằng ví dụ xác định khoảng cách từ một điểm TRONG tới mặt phẳng chiếu phía trước được chỉ định tiếp theo Q2 trên máy bay P2(Hình 1).

Máy bay Q vuông góc với mặt phẳng phía trước của hình chiếu, do đó, bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với nó sẽ song song với mặt phẳng P2. Và sau đó là một góc vuông với mặt phẳng P2 sẽ được chiếu mà không bị biến dạng và có thể từ điểm B2 vẽ vuông góc với đường Q2 . Phân đoạn VKở một vị trí cụ thể trong đó hình chiếu phía trước V2K2 bằng giá trị thực của khoảng cách yêu cầu.

Hình.1. Xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chiếu.

2. Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng tổng quát.

Nếu mặt phẳng chiếm vị trí chung thì phải chuyển nó sang vị trí hình chiếu. Để thực hiện điều này, một đường thẳng của một vị trí cụ thể được vẽ trong đó (song song với một trong các mặt phẳng chiếu), đường thẳng này có thể được chuyển đến vị trí chiếu bằng cách sử dụng một phép biến đổi bản vẽ.

Đường thẳng song song với mặt phẳng P1,được gọi là mặt phẳng ngang và được ký hiệu bằng chữ cái h. Đường thẳng song song với mặt phẳng trước của hình chiếu P2, được gọi là mặt trước của mặt phẳng và được ký hiệu bằng chữ cái f.Dòng h Và fđược gọi là đường chính của máy bay. Giải pháp cho vấn đề này được thể hiện trong ví dụ sau (Hình 2).

Điều kiện ban đầu: tam giác ABC xác định mặt phẳng. M- một điểm nằm ngoài mặt phẳng. Một mặt phẳng nhất định chiếm một vị trí tổng quát. Để di chuyển nó đến vị trí chiếu, hãy thực hiện các bước sau. Bật chế độ ORTO (ORTHO), sử dụng lệnh Phân đoạn (Đường kẻ) – vẽ bất kỳ đường ngang nào cắt hình chiếu phía trước của tam giác А2В2С2 tại hai điểm. Hình chiếu của đường ngang đi qua các điểm này được biểu thị h2 . Tiếp theo, một hình chiếu ngang được xây dựng h1 .

Dòng chính h có thể được chuyển thành vị trí hình chiếu trong đó mặt phẳng đã cho cũng trở thành hình chiếu. Để làm được điều này cần phải xoay các hình chiếu ngang của tất cả các điểm (tứ giác phụ ABCM) đến một vị trí mới tại đó đường thẳng h1 sẽ chiếm vị trí thẳng đứng vuông góc với trục X. Thật thuận tiện khi thực hiện các công trình này bằng cách sử dụng truyền song song mặt phẳng (bản sao của hình chiếu được đặt trên một khoảng trống trên màn hình).

Kết quả là hình chiếu trực diện mới của mặt phẳng sẽ trông giống như một đường thẳng (vết phẳng) A2*B2*. Bây giờ từ điểm M2* bạn có thể vẽ một đường vuông góc với đường của mặt phẳng. Hình chiếu phía trước mới M2*K2* = MK những thứ kia. là khoảng cách cần thiết từ điểm Mđến một mặt phẳng nhất định ABC.

Tiếp theo, cần xây dựng các phép chiếu khoảng cách ở điều kiện ban đầu. Để làm điều này từ điểm M1 vẽ một đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng h1 , và trên đó nên được hoãn lại từ điểm M1 một đoạn có kích thước bằng nhau M1*K1*.Để xây dựng hình chiếu trực diện của một điểm K2 từ điểm K1 một đường liên lạc theo chiều dọc được vẽ ra, và từ điểm K2* nằm ngang. Kết quả của việc xây dựng được thể hiện trong Hình 2.

NHIỆM VỤ SỐ 4. Tìm khoảng cách thực sự từ một điểm M vào mặt phẳng xác định bởi tam giác ABC. Đưa ra câu trả lời bằng mm (Bảng 1)

Bảng 1

Lựa chọn	Điểm A			Điểm B
Lựa chọn	Điểm C			điểm M

Kiểm tra và hoàn thành NHIỆM VỤ số 4.

Xác định khoảng cách giữa: 1 - điểm và mặt phẳng; 2 - thẳng và phẳng; 3 - mặt phẳng; 4 - các đường thẳng cắt nhau được xem xét cùng nhau, vì thuật toán giải cho tất cả các bài toán này về cơ bản là giống nhau và bao gồm các cấu trúc hình học cần được thực hiện để xác định khoảng cách giữa một điểm A cho trước và mặt phẳng α. Nếu có sự khác biệt thì chỉ nằm ở chỗ trong trường hợp 2 và 3, trước khi bắt đầu giải bài toán, bạn nên đánh dấu một điểm A tùy ý trên đường thẳng m (trường hợp 2) hoặc mặt phẳng β (trường hợp 3). khoảng cách giữa các đường giao nhau, trước tiên chúng ta đặt chúng trong các mặt phẳng song song α và β rồi xác định khoảng cách giữa các mặt phẳng này.

Chúng ta hãy xem xét từng trường hợp giải quyết vấn đề đã lưu ý.

1. Xác định khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được xác định bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một điểm đến mặt phẳng.

Do đó, giải pháp cho vấn đề này bao gồm việc thực hiện tuần tự các thao tác đồ họa sau:

1) từ điểm A chúng ta hạ đường vuông góc với mặt phẳng α (Hình 269);

2) tìm giao điểm M của đường vuông góc này với mặt phẳng M = a ∩ α;

3) xác định độ dài của đoạn.

Nếu mặt phẳng α ở vị trí tổng quát thì để hạ đường vuông góc lên mặt phẳng này, trước tiên cần xác định hướng của các hình chiếu ngang và hình chiếu trực diện của mặt phẳng này. Việc tìm điểm giao nhau của đường vuông góc này với mặt phẳng cũng đòi hỏi các công thức hình học bổ sung.

Giải pháp cho vấn đề này được đơn giản hóa nếu mặt phẳng α chiếm một vị trí cụ thể so với các mặt phẳng chiếu. Trong trường hợp này, cả phép chiếu đường vuông góc và việc tìm điểm giao nhau của nó với mặt phẳng đều được thực hiện mà không cần bất kỳ công trình phụ trợ bổ sung nào.

VÍ DỤ 1. Xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng chiếu chính diện α (Hình 270).

GIẢI PHÁP. Qua A" ta vẽ hình chiếu ngang của đường vuông góc l" ⊥ h 0α, và qua A" - hình chiếu trực diện của nó l" ⊥ f 0α. Chúng ta đánh dấu điểm M" = l" ∩ f 0α . Kể từ sáng || π 2 thì [A" M"] == |AM| = đ.

Từ ví dụ đã xem xét, có thể thấy rõ vấn đề được giải quyết đơn giản như thế nào khi mặt phẳng chiếm vị trí hình chiếu. Do đó, nếu một mặt phẳng vị trí chung được chỉ định trong dữ liệu nguồn thì trước khi tiến hành giải pháp, mặt phẳng đó phải được di chuyển đến vị trí vuông góc với bất kỳ mặt phẳng chiếu nào.

VÍ DỤ 2. Xác định khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng xác định bởi ΔАВС (Hình 271).

1. Chúng ta chuyển mặt phẳng ΔАВС đến vị trí hình chiếu *. Để làm điều này, chúng ta chuyển từ hệ xπ 2 /π 1 sang x 1 π 3 /π 1: hướng của trục x 1 mới được chọn vuông góc với hình chiếu ngang của mặt phẳng ngang của tam giác.

2. Chiếu ΔABC lên mặt phẳng mới π 3 (mặt phẳng ΔABC được chiếu lên π 3, trong [ C " 1 B " 1 ]).

3. Chiếu điểm K lên cùng một mặt phẳng (K" → K" 1).

4. Qua điểm K” 1 vẽ (K” 1 M” 1)⊥ đoạn [C” 1 B” 1]. Khoảng cách cần tìm d = |K” 1 M” 1 |

Giải pháp cho vấn đề này được đơn giản hóa nếu mặt phẳng được xác định bằng các vết, vì không cần phải vẽ hình chiếu của các đường mức.

VÍ DỤ 3. Xác định khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng α được chỉ định bởi các đường ray (Hình 272).

* Cách hợp lý nhất để chuyển mặt phẳng tam giác về vị trí chiếu là thay thế các mặt phẳng chiếu, vì trong trường hợp này chỉ cần dựng một hình chiếu phụ là đủ.

GIẢI PHÁP. Chúng ta thay mặt phẳng π 1 bằng mặt phẳng π 3, để làm điều này, chúng ta vẽ một trục mới x 1 ⊥ f 0α. Trên h 0α, chúng ta đánh dấu một điểm tùy ý 1" và xác định hình chiếu ngang mới của nó trên mặt phẳng π 3 (1" 1). Qua các điểm X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) và 1" 1 ta vẽ h 0α 1. Ta xác định được hình chiếu ngang mới của điểm K → K" 1. Từ điểm K" 1 ta hạ đường vuông góc với h 0α 1 và đánh dấu giao điểm của nó với h 0α 1 - M" 1. Độ dài của đoạn K" 1 M" 1 sẽ cho biết khoảng cách cần thiết.

2. Xác định khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng được xác định bởi độ dài của đoạn vuông góc rơi từ một điểm tùy ý của đường thẳng lên mặt phẳng (xem Hình 248).

Vì vậy, lời giải bài toán xác định khoảng cách giữa đường thẳng m và mặt phẳng α không khác gì các ví dụ đã trình bày ở đoạn 1 về xác định khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng (xem hình 270 ... 272). Là một điểm, bạn có thể lấy bất kỳ điểm nào thuộc đường thẳng m.

3. Xác định khoảng cách giữa các mặt phẳng.

Khoảng cách giữa các mặt phẳng được xác định bởi kích thước của đoạn vuông góc rơi từ một điểm lấy trên mặt phẳng này sang mặt phẳng khác.

Từ định nghĩa này suy ra rằng thuật toán giải bài toán tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng α và β khác với thuật toán tương tự giải bài toán xác định khoảng cách giữa đường thẳng m và mặt phẳng α chỉ trong đường thẳng m phải thuộc mặt phẳng α , tức là để xác định khoảng cách giữa các mặt phẳng α và β như sau:

1) lấy đường thẳng m trong mặt phẳng α;

2) chọn một điểm A tùy ý trên đường thẳng m;

3) từ điểm A hạ đường vuông góc l xuống mặt phẳng β;

4) xác định điểm M - giao điểm của đường vuông góc l với mặt phẳng β;

5) xác định kích thước của phân khúc.

Trong thực tế, nên sử dụng một thuật toán giải khác, thuật toán này chỉ khác với thuật toán đã cho ở chỗ, trước khi tiến hành bước đầu tiên, các mặt phẳng phải được chuyển đến vị trí hình chiếu.

Việc đưa thao tác bổ sung này vào thuật toán sẽ đơn giản hóa việc thực hiện tất cả các điểm khác mà không có ngoại lệ, điều này cuối cùng dẫn đến một giải pháp đơn giản hơn.

VÍ DỤ 1. Xác định khoảng cách giữa các mặt phẳng α và β (Hình 273).

GIẢI PHÁP. Chúng ta chuyển từ hệ xπ 2 /π 1 sang x 1 π 1 /π 3. Đối với mặt phẳng mới π 3, các mặt phẳng α và β chiếm vị trí hình chiếu, do đó khoảng cách giữa các vết trực diện mới f 0α 1 và f 0β 1 là khoảng cách mong muốn.

Trong thực hành kỹ thuật, người ta thường phải giải bài toán dựng một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước và cách xa mặt phẳng đó một khoảng cho trước. Ví dụ 2 dưới đây minh họa giải pháp cho vấn đề như vậy.

VÍ DỤ 2. Cần dựng các hình chiếu của mặt phẳng β song song với mặt phẳng cho trước α (m || n), nếu biết khoảng cách giữa chúng là d (Hình 274).

1. Trong mặt phẳng α ta vẽ các đường ngang h (1, 3) tùy ý và các đường thẳng f (1,2).

2. Từ điểm 1, chúng ta khôi phục l vuông góc với mặt phẳng α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Trên đường vuông góc l ta đánh dấu một điểm A tùy ý.

4. Xác định độ dài của đoạn - (vị trí biểu thị trên sơ đồ hướng không bị biến dạng về mặt đo lường của đường thẳng l).

5. Vẽ đoạn = d trên đường thẳng (1"A 0) từ điểm 1".

6. Đánh dấu trên các hình chiếu l” và l” các điểm B” và B”, tương ứng với điểm B 0.

7. Qua điểm B vẽ mặt phẳng β (h 1 ∩ f 1). Đến β || α thì phải thỏa mãn điều kiện h 1 || h và f 1 || f.

4. Xác định khoảng cách giữa các đường giao nhau.

Khoảng cách giữa các đường giao nhau được xác định bằng độ dài đường vuông góc giữa các mặt phẳng song song chứa các đường giao nhau.

Để vẽ các mặt phẳng song song α và β qua các đường thẳng cắt nhau m và f, chỉ cần vẽ qua điểm A (A ∈ m) một đường thẳng p song song với đường thẳng f và qua điểm B (B ∈ f) là đủ. một đường thẳng k song song với đường thẳng m . Các đường giao nhau m và p, f và k xác định các mặt phẳng song song với nhau α và β (xem Hình 248, e). Khoảng cách giữa các mặt phẳng α và β bằng khoảng cách cần thiết giữa các đường giao nhau m và f.

Một cách khác có thể được đề xuất để xác định khoảng cách giữa các đường giao nhau, đó là thực tế là bằng cách sử dụng một số phương pháp chuyển đổi hình chiếu trực giao, một trong các đường giao nhau được chuyển đến vị trí hình chiếu. Trong trường hợp này, một hình chiếu của đường thẳng suy biến thành một điểm. Khoảng cách giữa hình chiếu mới của các đường giao nhau (điểm A” 2 và đoạn C” 2 D” 2) là khoảng cách yêu cầu.

Trong hình. Hình 275 đưa ra lời giải cho bài toán xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b cho trước các đoạn [AB] và [CD]. Giải pháp được thực hiện theo trình tự sau:

1. Chuyển một trong các đường chéo (a) đến vị trí song song với mặt phẳng π 3; Để làm được điều này, họ chuyển từ hệ mặt phẳng chiếu xπ 2 /π 1 sang hệ x 1 π 1 /π 3 mới, trục x 1 song song với hình chiếu ngang của đường thẳng a. Xác định a" 1 [A" 1 B" 1 ] và b" 1.

2. Thay mặt phẳng π 1 bằng mặt phẳng π 4, ta dịch đường thẳng

và đến vị trí a" 2, vuông góc với mặt phẳng π 4 (trục x 2 mới được vẽ vuông góc với a" 1).

3. Dựng hình chiếu ngang mới của đường thẳng b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Khoảng cách từ điểm A” 2 đến đường thẳng C” 2 D” 2 (đoạn (A” 2 M” 2 ] (là khoảng cách bắt buộc.

Cần lưu ý rằng việc chuyển một trong các đường giao nhau sang vị trí hình chiếu không gì khác hơn là việc chuyển các mặt phẳng song song, trong đó các đường a và b có thể được bao bọc, sang vị trí hình chiếu.

Trên thực tế, bằng cách di chuyển đường thẳng a đến vị trí vuông góc với mặt phẳng π 4, chúng ta đảm bảo rằng mọi mặt phẳng chứa đường thẳng a đều vuông góc với mặt phẳng π 4, kể cả mặt phẳng α được xác định bởi các đường thẳng a và m (a ∩ m, m | | Nếu bây giờ chúng ta vẽ một đường thẳng n, song song với a và cắt đường thẳng b, thì chúng ta thu được mặt phẳng β, là mặt phẳng thứ hai của sự song song, chứa các đường thẳng giao nhau a và b. Vì β || α, thì β ⊥ π 4 .