Cho một đường thẳng L và một điểm A trên mặt phẳng. Chúng ta vẽ đường vuông góc từ điểm A đến đường thẳng L (Hình 1.8, a). Khi đó đáy của nó (điểm O) được gọi là hình chiếu trực giao của điểm A lên đường thẳng L. Nếu đường thẳng L và điểm A tồn tại trong không gian thì trong trường hợp này hình chiếu trực giao của điểm A lên đường thẳng L là điểm O của giao điểm của đường thẳng L với mặt phẳng vuông góc với nó đi qua điểm A (Hình 1.8) , b). Nếu điểm A nằm trên đường thẳng L thì nó trùng với hình chiếu trực giao của nó lên L.
Đối với vectơ - AB (trên mặt phẳng hoặc trong không gian), bạn có thể dựng các hình chiếu trực giao lên đường thẳng L của nó bắt đầu và kết thúc(Hình 1.9). Vectơ O A O B nối các hình chiếu O A và O B nằm trên đường thẳng L được gọi là Hình chiếu trực giao của vectơ AB lên đường thẳng L.
Đường thẳng có một trong hai hướng có thể xác định được gọi là trục. Hướng đã chọn trên trục được biểu thị bằng một mũi tên ở đầu trục tương ứng. Hình chiếu trực giao O A O B của vectơ AB lên trục l có thể mô tả đầy đủ chiều dài vectơ O A O B , gán dấu cho nó,
cho biết hướng của vectơ. Nếu hướng O A O B trùng với hướng cho trước của trục thì lấy dấu cộng, nếu hướng của vectơ ngược với hướng của trục thì lấy dấu trừ. Độ dài của vectơ O A O B với dấu xác định hướng của vectơ này được gọi là Hình chiếu trực giao của vectơ AB lên trục l và biểu thị pr l a.
Chúng ta hãy lưu ý rằng hình chiếu trực giao của vectơ lên một trục là một số, trong khi hình chiếu trực giao của vectơ lên một đường thẳng là một vectơ. Để một vectơ tương ứng với một số làm hình chiếu của nó thì phải chọn một trong hai hướng có thể có trên đường thẳng.
Mọi vectơ khác không l xác định duy nhất trục: nó có thể được coi là nằm trên một đường thẳng nhất định và xác định hướng trên nó. Hình chiếu trực giao của một vectơ lên một trục như vậy được gọi là hình chiếu trực giao của vectơ này lên hướng vectơ l.
Góc giữa hướng của hai vectơ khác 0 được gọi là góc giữa các vectơ này. Góc có thể thay đổi từ 0 đến π. Các giá trị cực trị 0 và π tương ứng các vectơ thẳng hàng, tương ứng một chiều và ngược chiều. Nếu ít nhất một trong hai vectơ là không, thì góc giữa các vectơ đó không được xác định. Tuy nhiên, thật thuận tiện khi giả sử rằng trong trường hợp này góc có giá trị tùy ý. Do đó, vectơ 0 thẳng hàng với bất kỳ vectơ nào khác, về mặt hình thức tương ứng với góc 0 (hoặc π). Giá trị cụ thể được gán cho góc giữa vectơ 0 và một số vectơ khác được chọn dựa trên tình huống.
Định lý 1.1. Hình chiếu trực giao của vectơ a lên hướng của vectơ khác 0 l bằng chiều dài |a| nhân với cosin của góc φ giữa vectơ a và l, tức là.
pr l = a|a| vì
góc giữa vectơ a và l ở đâu
◄ Đặt vectơ l nằm trên đường thẳng L và điểm đầu của nó là điểm A. Hãy căn chỉnh phần đầu của vectơ a với điểm A và đặt điểm cuối của nó là điểm B (Hình 1.10). Hãy dựng một hình chiếu trực giao C của điểm B lên đường thẳng L. Khi đó vectơ AC là hình chiếu trực giao của vectơ a = AB lên đường thẳng L.
Nếu góc φ giữa vectơ a và l là nhọn (như trên hình 1.10, a) thì điểm cuối của vectơ l và điểm C nằm về một phía của điểm A. Trong trường hợp này, hình chiếu của a lên phương của vectơ l bằng độ dài |AC| = |AB| chân cosφ AC của tam giác ABC.
Nếu góc φ tù (xem hình 1.10, b) thì điểm cuối của vectơ l và điểm C nằm đối diện với điểm A. Điều này có nghĩa là các vectơ AC và l có hướng ngược nhau và hình chiếu của vectơ a bằng - |AC| . Trong tam giác ABC, góc ψ kề cạnh AC bằng π - φ nên |AC| = |AB| cos(π - φ) = - |AB| cosφ.
Nếu φ = π/2 hoặc a = 0 thì điểm C trùng với điểm A và vectơ AC là vectơ 0. Tuy nhiên, cosπ/2 = 0, do đó, trong trường hợp này định lý cũng đúng.
Định lý 1.2. Hình chiếu trực giao của tổng các vectơ lên hướng của một vectơ khác 0 bằng tổng các hình chiếu trực giao của chúng lên hướng của vectơ này và khi nhân một vectơ với một số, hình chiếu trực giao của nó lên hướng của một vectơ khác 0 được nhân với cùng một số:
pr l (a + b) = pr l a + pr l b, pr l (λa) - λpr l a.
◄ Chứng minh từ hình 2. 1.11. Trong trường hợp thể hiện trong hình. 1.11, a, ta có pr l a = |AB|, pr l b = -|BC|, pr l (a + b) = |AC| = |AB| - |BC|. Trong trường hợp thể hiện trong hình. 1.11, b, pr la a = |AB| và nếu λ > 0, pr l (λa) = |AE| = λ|AB|. Các phương án còn lại (điểm C không thuộc đoạn AB trong trường hợp a, λ 0 trong trường hợp b) được xem xét tương tự.
Như đã đề cập ở trên, phép chiếu trực giao là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song. Với phép chiếu trực giao, các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.
Bộ máy chiếu như vậy bao gồm một mặt phẳng chiếu.
Để có được hình chiếu trực giao của điểm A, một tia chiếu phải được vẽ qua điểm đó vuông góc với P1. Điểm A1 được gọi là hình chiếu trực giao hoặc hình chữ nhật của điểm A.
Để có được một hình chiếu chính tả A 1 B 1đoạn AB, lên máy bay P 1, cần thiết thông qua điểm MỘT Và TRONG vẽ các đường thẳng vuông góc P 1. Khi các đường hình chiếu giao nhau với một mặt phẳng P 1 bạn sẽ nhận được các phép chiếu trực giao A 1 Và B 1điểm MỘT Và TRONG. Bằng cách kết nối các hình chiếu trực giao A 1 Và B 1 chúng ta có được một hình chiếu trực giao A 1 B 1đoạn AB.
Tất cả các tính chất của phép chiếu song song cũng đúng đối với phép chiếu trực giao. Tuy nhiên, các hình chiếu trực giao có một số tính chất khác.
Tính chất của phép chiếu trực giao:
1. Chiều dài của đoạn thẳng bằng chiều dài hình chiếu của đoạn đó chia cho cosin góc nghiêng của đoạn đó với mặt phẳng chiếu.
Hãy đi một đường thẳng AB và xây dựng hình chiếu trực giao của nó A 1 B 1 lên máy bay P 1. Nếu bạn vẽ một đường thẳng AC || A 1 B 1, thì từ tam giác ABC nó theo sau đó |AC| : |AB| = vì một hoặc |AB| = |A 1 B 1 | :vì một, bởi vì |A 1 B 1 | = |AC|.
2. Ngoài ra, đối với phép chiếu trực giao sẽ đúng Định lý hình chiếu góc vuông:
Định lý: Nếu ít nhất một cạnh của góc vuông song song với mặt phẳng chiếu và cạnh kia không vuông góc với nó thì góc đó được chiếu lên mặt phẳng này với kích thước đầy đủ.
Bằng chứng:
Cho một góc vuông ABC, theo điều kiện có một đường thẳng BC AB Và Mặt Trời || mặt phẳng chiếu P 1. Bằng cách xây dựng nó là thẳng Mặt trời tới chùm tia chiếu BB 1. Vì thế, thẳng Mặt trời lên máy bay b (АВхВВ1), vì nó là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng này. Theo điều kiện, thẳng B 1 C 1 || Mặt trời, do đó cũng đến mặt phẳng b, tức là, và trực tiếp A 1 B 1 chiếc máy bay này. Do đó góc giữa các đường A 1 B 1 Và B 1 C 1 bằng 90°, đó là điều cần chứng minh.
Phép chiếu trực giao cung cấp sự đơn giản cho các cấu trúc hình học khi xác định các hình chiếu trực giao của các điểm, cũng như khả năng bảo toàn hình dạng và kích thước của hình chiếu trên các hình chiếu. Những ưu điểm này đã đảm bảo rằng phép chiếu trực giao được sử dụng rộng rãi trong bản vẽ kỹ thuật.
Các phương pháp chiếu được xem xét giúp giải quyết vấn đề trực tiếp của hình học mô tả, tức là xây dựng một bản vẽ phẳng từ bản gốc. Các hình chiếu lên một mặt phẳng thu được theo cách này đưa ra một ý tưởng không đầy đủ về vật thể, hình dạng và vị trí của nó trong không gian, tức là một hình vẽ như vậy không có tính chất đảo ngược.
Để có được một bản vẽ có thể đảo ngược, tức là bổ sung bản vẽ thể hiện đầy đủ hình dạng, kích thước, vị trí của bản gốc trong không gian; Tùy thuộc vào tiện ích bổ sung, có nhiều loại bản vẽ khác nhau.
- Sơ đồ Monge hoặc các hình chiếu trực giao. Bản chất của phương pháp chiếu trực giao (hình chữ nhật) là bản gốc được chiếu trực giao lên 2 hoặc 3 mặt phẳng chiếu trực giao với nhau, sau đó kết hợp chúng với mặt phẳng vẽ.
- Bản vẽ Axonometric. Bản chất của một bản vẽ đo trục là trước tiên bản gốc được liên kết chặt chẽ với hệ tọa độ Descartes. OXYZ, chiếu trực giao nó lên một trong các mặt phẳng chiếu OXY, hoặc OXZ. Sau đó, bằng phép chiếu song song, người ta tìm được hình chiếu song song của cấu trúc thu được: trục tọa độ OX, OY, OZ, hình chiếu thứ cấp và bản gốc.
- Bản vẽ phối cảnh. Khi xây dựng một bản vẽ phối cảnh, đầu tiên người ta xây dựng một hình chiếu trực giao, sau đó trên mặt phẳng hình ảnh, hình chiếu trung tâm của hình chiếu chính tả được xây dựng trước đó và bản gốc được tìm thấy.
- Các phép chiếu có dấu số, v.v.Để có được các hình chiếu có dấu số, bản gốc được chiếu trực giao lên mặt phẳng mức 0 và khoảng cách từ các điểm ban đầu đến mặt phẳng này được chỉ định.
Chúng ta hãy tìm hiểu chi tiết hơn về nghiên cứu các hình chiếu hình chữ nhật và bản vẽ trục đo.
Phép chiếu trực giao là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song, khi hướng chiếu S vuông góc (trực giao) với mặt phẳng chiếu S 1 (Hình 1.11).
Cơm. 1.11. Hình chiếu trực giao của một góc vuông
Phép chiếu trực giao được sử dụng rộng rãi trong thực hành kỹ thuật để mô tả các hình hình học trên một mặt phẳng, vì nó có một số ưu điểm so với phép chiếu tâm và song song (xiên), bao gồm:
a) tính đơn giản của cấu trúc đồ họa để xác định hình chiếu trực giao của các điểm;
b) khả năng, trong những điều kiện nhất định, bảo toàn hình dạng và kích thước của hình chiếu trên hình chiếu.
Những ưu điểm này đã đảm bảo cho việc sử dụng rộng rãi phép chiếu trực giao trong công nghệ, đặc biệt là trong việc lập các bản vẽ cơ khí.
Đối với phép chiếu trực giao, tất cả chín thuộc tính bất biến được thảo luận ở trên đều hợp lệ. Ngoài ra, cần lưu ý thêm một tính chất bất biến thứ mười, chỉ có giá trị đối với phép chiếu trực giao.
10. Nếu có ít nhất một cạnh của góc vuông song song với mặt phẳng chiếu thì góc vuông được chiếu lên mặt phẳng chiếu này mà không bị biến dạng (Hình 1.11)
Trong hình. Hình 1.11 thể hiện góc vuông ABD có hai cạnh song song với mặt phẳng chiếu 1. Theo tính chất bất biến 9.2, góc này được chiếu lên mặt phẳng 1 mà không bị biến dạng, tức là A 1 B 1 D 1 =90.
Lấy một điểm C tùy ý trên tia chiếu DD 1, khi đó ABC sẽ thẳng, vì ABBB 1 DD 1 .
Hình chiếu của góc vuông ABC này chỉ có một cạnh AB song song với mặt phẳng hình chiếu 1 sẽ là góc vuông A 1 B 1 D 1.
Nói về các hình hình học và các hình chiếu của chúng, cần nhớ rằng hình chiếu của một hình là tập hợp các hình chiếu của tất cả các điểm của nó.
1.6. Hệ thống ba mặt phẳng chiếu. Epure Monge.
Tất cả các hình hình học không gian có thể được định hướng tương ứng với hệ trục tọa độ hình chữ nhật Descartes - một hệ gồm ba mặt phẳng tọa độ vuông góc với nhau (Hình 1.12).
Cơm. 1.12. Hình ảnh hệ thống chiếu ba mặt phẳng
Các mặt phẳng tọa độ này được chỉ định:
mặt phẳng chiếu ngang - 1;
mặt phẳng phía trước của hình chiếu - 2;
mặt phẳng chiếu biên dạng - 3.
Các đường giao nhau của các mặt phẳng này tạo thành các trục tọa độ: trục hoành – X; trục tọa độ – Y; trục ứng dụng – Z. Điểm O của giao điểm của các trục tọa độ được lấy làm gốc tọa độ và được ký hiệu bằng chữ O. Xét chiều dương của các trục: đối với trục x - ở bên trái gốc tọa độ , đối với trục Y - hướng về người xem từ mặt phẳng 2, đối với trục z - hướng lên từ mặt phẳng 1; hướng ngược nhau được coi là tiêu cực.
Để đơn giản hóa lý luận sâu hơn, chúng ta sẽ chỉ xem xét phần không gian nằm ở bên trái mặt phẳng biên dạng của hình chiếu 3.
Với giả định này, ba mặt phẳng tọa độ của các hình chiếu tạo thành bốn góc không gian - quãng tám (trong trường hợp chung - 8 quãng tám).
Từ hình. 1.12 có thể thấy trục x X chia mặt phẳng ngang của các hình chiếu 1 thành hai phần: nửa trước 1 (trục X và Y) và nửa sau 1 (trục X và - Y).
Trục X chia mặt phẳng phía trước của hình chiếu 2 cũng thành hai phần: nửa trên 2 (trục X và Z) và nửa dưới 2 (trục X và - Z).
Trục tọa độ Y và trục Z ứng dụng chia mặt phẳng biên dạng của các hình chiếu 3 thành bốn phần:
tầng trên mặt tiền 3 (trục Y và Z)
tầng trên phía sau 3 (trục -Y và Z)
tầng trước phía dưới 3 (trục Y và –Z)
tầng dưới phía sau thứ 3 (trục – Y và –Z)
Để thu được mô hình phẳng (hai chiều) của các mặt phẳng chiếu tọa độ không gian, các mặt phẳng ngang 1 và mặt cắt 3 được kết hợp với mặt trước 2 theo thứ tự được hiển thị bằng các mũi tên trong Hình. 1.12.
P 
Trong trường hợp này, mặt phẳng chiếu ngang 1 quay quanh trục X một góc 90, và mặt phẳng chiếu hình 3 cũng quay quanh trục Z một góc 90 (hướng quay như hình 1.12).
Sự kết hợp của ba mặt phẳng chiếu thu được theo cách này (Hình 1.13) là mô hình phẳng của hệ thống ba không gian
ĐẾN
Cơm. 1.13.
các mặt phẳng tọa độ.
Để xây dựng mô hình phẳng của một hình hình học không gian, mỗi điểm của nó được chiếu trực giao lên các mặt phẳng chiếu 1, 2 và 3, sau đó được kết hợp thành một mặt phẳng. Mô hình phẳng của hình học không gian thu được theo cách này được gọi là sơ đồ Monge.
Thứ tự xây dựng sơ đồ của một điểm nằm trong quãng tám đầu tiên.
Trong hình. Hình 1.13 biểu diễn một điểm không gian A, tọa độ của nó (x, y, z) biểu thị khoảng cách mà điểm đó cách xa mặt phẳng chiếu. 
D
Để có được hình chiếu trực giao của điểm A, cần hạ đường vuông góc từ điểm này lên mặt phẳng chiếu.
Giao điểm của các đường vuông góc này với các mặt phẳng chiếu tạo thành hình chiếu của điểm A:
A 1 – hình chiếu ngang của điểm;
Hình 2 – hình chiếu chính diện của điểm;
MỘT
3 – hình chiếu biên dạng của một điểm.
Trong hình. 1.14 Các mặt phẳng chiếu 1 và 3 được kết hợp với mặt phẳng vẽ (với mặt phẳng chiếu 2), đồng thời cùng với chúng kết hợp với mặt phẳng vẽ và các hình chiếu của điểm A (A 1, A 2, A 3) và do đó mô hình phẳng của các mặt phẳng tọa độ thu được các hình chiếu và mô hình phẳng của điểm không gian A - sơ đồ của nó.
Vị trí các hình chiếu của điểm A trên sơ đồ được xác định duy nhất bởi ba tọa độ của nó (Hình 1.14).
MỘT 1 MỘT 2 Trong hình. 1.13 và hình. 1.14 cũng rõ ràng rằng trong sơ đồ, các hình chiếu ngang và hình chiếu chính diện của các điểm nằm trên cùng một đường vuông góc với trục X, cũng như các hình chiếu chính diện và hình chiếu - trên cùng một đường vuông góc với trục Z: 2 MỘT 3 X, A.
Z
Từ hình 1.12, rõ ràng là các điểm nằm trong các quãng tám khác nhau có dấu tọa độ nhất định.
Bảng hiển thị dấu tọa độ của các điểm nằm trong các quãng tám khác nhau
|
Bảng ký hiệu tọa độ |
|||
Ký hiệu tọa độ
Câu hỏi để tự kiểm soát
Bản chất của phép chiếu trung tâm là gì và các tính chất chính của nó là gì?
Bản chất của phép chiếu song song là gì và các tính chất chính của nó là gì?
Bản chất của phép chiếu trực giao (hình chữ nhật) là gì?
Định lý hình chiếu góc vuông được xây dựng như thế nào?
Nhiệm vụ tương tự:
Cạnh AB của hình thoi ABCD bằng a, một góc bằng 60 độ. Vẽ một mặt phẳng alpha qua cạnh AB cách điểm D một khoảng a/2.
a) tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng alpha.
b) Hiển thị trên hình vẽ góc lưỡng diện tuyến tính DABM. M thuộc về alpha.
c) Tìm sin của góc giữa mặt phẳng hình thoi và mặt phẳng alpha.
Cạnh AB của hình thoi ABCD bằng a, một góc bằng 60 độ. Vẽ một mặt phẳng alpha đi qua cạnh AB cách điểm D một khoảng a/2. a) Tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng alpha. b) Hiển thị trên hình vẽ góc lưỡng diện tuyến tính DABM. M thuộc về alpha. c) Tìm sin của góc giữa mặt phẳng hình thoi và mặt phẳng alpha.
Cạnh AB của hình thoi ABCD bằng a và một góc của nó bằng 60 độ. Vẽ một mặt phẳng alpha qua cạnh AB cách điểm D một khoảng a2.
a) Tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng alpha.
b) Cho trên hình vẽ góc tuyến tính của góc nhị diện DABM, M thuộc pl. alpha.
c) Tìm sin của góc giữa mặt phẳng hình thoi và mặt phẳng alpha.
Hãy xem xét một chiếc máy bay P và đường thẳng cắt nó . Cho phép MỘT - một điểm tùy ý trong không gian. Hãy vẽ một đường thẳng đi qua điểm này , song song với đường thẳng . Cho phép . chấm gọi là hình chiếu của một điểm MỘT lên máy bay P với thiết kế song song dọc theo một đường thẳng nhất định . Máy bay P , trên đó các điểm trong không gian được chiếu lên được gọi là mặt phẳng chiếu.
p - mặt phẳng chiếu;
- thiết kế trực tiếp; ;
; ; ;
Thiết kế trực giao là trường hợp đặc biệt của thiết kế song song. Thiết kế trực giao là thiết kế song song trong đó đường thiết kế vuông góc với mặt phẳng chiếu. Thiết kế trực giao được sử dụng rộng rãi trong bản vẽ kỹ thuật, trong đó một hình được chiếu lên ba mặt phẳng - ngang và hai mặt phẳng dọc.
Sự định nghĩa:
Hình chiếu trực giao của một điểm M lên máy bay P gọi là cơ sở M 1 vuông góc MM 1, rơi khỏi điểm M lên máy bay P.
chỉ định: , 
, .
Sự định nghĩa: Hình chiếu trực giao của một hình F lên máy bay P là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là hình chiếu trực giao của tập hợp các điểm của hình F lên máy bay P.
Thiết kế trực giao, là trường hợp đặc biệt của thiết kế song song, có các tính chất giống nhau:
p - mặt phẳng chiếu;
- thiết kế trực tiếp; ;
1) ;
2) , .
- Hình chiếu của các đường thẳng song song là song song.
DIỆN TÍCH CHIẾU CỦA HÌNH PHẲNG
Định lý: Diện tích hình chiếu của đa giác phẳng lên một mặt phẳng nhất định bằng diện tích của đa giác được chiếu nhân với cosin của góc giữa mặt phẳng của đa giác và mặt phẳng chiếu.
Giai đoạn 1: Hình chiếu là tam giác ABC có cạnh AC nằm trong mặt phẳng chiếu a (song song với mặt phẳng chiếu a).
Được cho:
Chứng minh:
Bằng chứng:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Theo định lý ba đường vuông góc;
ВD – chiều cao; B 1D – chiều cao;
5. – góc tuyến tính của góc nhị diện;
6. ; ; ; 
;
Giai đoạn 2: Hình chiếu là tam giác ABC, không có cạnh nào nằm trong mặt phẳng chiếu a và không song song với tam giác đó.
Được cho:
Chứng minh:
Bằng chứng:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(giai đoạn 1);
5. ; ; ;
(giai đoạn 1);
Giai đoạn: Hình được thiết kế là một đa giác tùy ý.
Bằng chứng:
Đa giác được chia bởi các đường chéo vẽ từ một đỉnh thành một số hữu hạn các hình tam giác, với mỗi hình tam giác đó, định lý đều đúng. Do đó, định lý cũng đúng với tổng diện tích của tất cả các tam giác có mặt phẳng tạo thành một góc với mặt phẳng chiếu.
Bình luận: Định lý đã được chứng minh là đúng cho mọi hình phẳng giới hạn bởi một đường cong khép kín.
Bài tập:
1. Tìm diện tích tam giác có mặt phẳng nghiêng với mặt phẳng chiếu một góc, nếu hình chiếu của nó là tam giác đều cạnh a.
2. Tìm diện tích của một tam giác có mặt phẳng nghiêng với mặt phẳng hình chiếu một góc , nếu hình chiếu của nó là tam giác cân có cạnh 10 cm và đáy 12 cm.
3. Tìm diện tích hình tam giác có mặt phẳng nghiêng với mặt phẳng chiếu một góc , nếu hình chiếu của nó là tam giác có các cạnh 9, 10 và 17 cm.
4. Tính diện tích hình thang, mặt phẳng nghiêng với mặt phẳng chiếu một góc , nếu hình chiếu của nó là hình thang cân, có đáy lớn là 44 cm, cạnh 17 cm và đường chéo là 39 cm.
5. Tính diện tích hình chiếu của hình lục giác đều có cạnh 8 cm, mặt phẳng nghiêng với mặt phẳng hình chiếu một góc.
6. Một hình thoi có cạnh 12 cm và một góc nhọn tạo thành một góc với một mặt phẳng cho trước. Tính diện tích hình chiếu của hình thoi lên mặt phẳng này.
7. Một hình thoi có cạnh 20 cm và đường chéo 32 cm tạo thành một góc với một mặt phẳng cho trước. Tính diện tích hình chiếu của hình thoi lên mặt phẳng này.
8. Hình chiếu của tán cây lên mặt phẳng nằm ngang là hình chữ nhật có các cạnh và . Tìm diện tích tán cây nếu các mặt bên là hình chữ nhật bằng nhau nghiêng một góc với mặt phẳng ngang, phần giữa của tán là hình vuông song song với mặt phẳng chiếu.
11. Bài tập về chủ đề “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian”:
Các cạnh của tam giác bằng 20 cm, 65 cm, 75 cm Tính từ đỉnh của góc lớn hơn của tam giác, vẽ một đường vuông góc bằng 60 cm đến mặt phẳng của nó. cạnh lớn hơn của tam giác.
2. Từ một điểm cách mặt phẳng một khoảng cm, vẽ hai hình vuông góc với mặt phẳng bằng , và giữa chúng là một góc vuông. Tìm khoảng cách giữa các giao điểm của các mặt phẳng nghiêng.
3. Cạnh của một tam giác đều là 12 cm. Điểm M được chọn sao cho các đoạn nối điểm M với tất cả các đỉnh của tam giác tạo thành các góc với mặt phẳng của nó. Tìm khoảng cách từ điểm M đến các đỉnh và các cạnh của tam giác.
4. Một mặt phẳng được vẽ qua cạnh hình vuông hợp với đường chéo của hình vuông. Tìm góc để hai cạnh của hình vuông nghiêng với mặt phẳng.
5. Chân của tam giác vuông cân nghiêng với mặt phẳng đi qua cạnh huyền một góc . Chứng minh rằng góc giữa mặt phẳng a và mặt phẳng của tam giác bằng .
6. Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng của tam giác ABC và DBC bằng . Tìm AD nếu AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Đề thi trắc nghiệm chủ đề “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian”
1. Liệt kê các khái niệm cơ bản của phép đo lập thể. Xây dựng các tiên đề của phép lập thể.
2. Chứng minh hệ quả từ các tiên đề.
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian là gì? Nêu định nghĩa về các đường chéo, song song và chéo.
4. Chứng minh dấu của đường xiên.
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng là gì? Nêu định nghĩa về đường thẳng cắt nhau, đường thẳng song song và mặt phẳng.
6. Chứng minh dấu song song giữa đường thẳng và mặt phẳng.
7. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng là gì?
8. Xác định các mặt phẳng song song. Chứng minh dấu hiệu hai mặt phẳng song song. Phát biểu các định lý về mặt phẳng song song.
9. Xác định góc giữa các đường thẳng.
10. Chứng minh dấu vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
11. Xác định đáy của đường vuông góc, đáy của một đường nghiêng, hình chiếu của một đường nghiêng lên một mặt phẳng. Xây dựng tính chất của đường vuông góc và đường nghiêng rơi xuống mặt phẳng từ một điểm.
12. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
13. Chứng minh định lý về ba đường vuông góc.
14. Nêu định nghĩa góc nhị diện, góc thẳng của góc nhị diện.
15. Chứng minh dấu vuông góc của hai mặt phẳng.
16. Xác định khoảng cách giữa hai điểm khác nhau.
17. Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
18. Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
19. Xác định khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó.
20. Xác định khoảng cách giữa các mặt phẳng song song.
21. Xác định khoảng cách giữa các đường giao nhau.
22. Xác định hình chiếu trực giao của một điểm lên mặt phẳng.
23. Xác định hình chiếu trực giao của một hình lên mặt phẳng.
24. Xây dựng tính chất của hình chiếu lên mặt phẳng.
25. Xây dựng và chứng minh định lý về diện tích hình chiếu của đa giác phẳng.