Nếu trong biểu thức \(\sqrt(x-2)\) giá trị của biến là \(0\), quy tắc bị vi phạm: biểu thức căn thức không được âm. Điều này có nghĩa là ở đây \(x\) không thể là \(0\), cũng như \(1, -3, -52.7\), v.v. Nghĩa là, x phải lớn hơn hoặc bằng 2 và ODZ sẽ là: \(x\geq2\);
Nhưng trong biểu thức \(4x+1\) chúng ta có thể thay thế bất kỳ số nào thay cho X và không có quy tắc nào bị phá vỡ. Do đó, phạm vi giá trị được chấp nhận ở đây là toàn bộ trục số. Trong những trường hợp như vậy, DZ không được ghi lại, vì nó không chứa thông tin hữu ích.
Bạn có thể tìm thấy tất cả các quy tắc phải được tuân theo.
ODZ trong phương trình
Điều quan trọng là phải nhớ về phạm vi giá trị có thể chấp nhận được khi quyết định và, bởi vì Ở đó, chúng ta chỉ đang tìm kiếm giá trị của các biến và có thể vô tình tìm thấy những giá trị vi phạm các quy tắc toán học.
Để hiểu tầm quan trọng của ODZ, hãy so sánh hai nghiệm của phương trình: có ODZ và không có ODZ.
Ví dụ:
Giải phương trình
Giải pháp
:
| Không có ODZ: | Với ODZ: | |
| \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | |
| ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\) | ||
| \(x^2-x=12\) | \(x^2-x=12\) | |
| \(x^2-x-12=0\) | \(x^2-x-12=0\) | |
| \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | |
| \(x_1=\)\(=4\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\) | |
| \(x_1=\)\(=-3\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2·1)\)\(=-3\) - không đủ điều kiện cho ODZ | |
| Trả lời : \(4; -3\) | Trả lời : \(4\) |
Bạn có thấy sự khác biệt không? Trong giải pháp đầu tiên, chúng tôi đã có một câu trả lời sai, thêm ! Tại sao lại sai? Hãy thử thay thế nó vào phương trình ban đầu.
\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)
Bạn thấy đấy, chúng ta đã thu được những biểu thức không thể tính toán được, vô nghĩa ở cả bên trái và bên phải (xét cho cùng, bạn không thể chia cho số 0). Và thực tế là chúng giống nhau không còn đóng vai trò gì nữa vì những giá trị này không tồn tại. Do đó, “\(-3\)” là một gốc không liên quan, không phù hợp và phạm vi giá trị có thể chấp nhận được sẽ bảo vệ chúng ta khỏi những lỗi nghiêm trọng như vậy.
Đó là lý do tại sao bạn sẽ nhận được điểm D cho giải pháp đầu tiên và điểm A cho giải pháp thứ hai. Và đây không phải là những lời ngụy biện nhàm chán của giáo viên, bởi việc không tính đến ODS không phải là chuyện vặt mà là một sai lầm rất cụ thể, giống như việc quên dấu hoặc sử dụng sai công thức. Rốt cuộc, câu trả lời cuối cùng là sai!
Việc tìm khoảng giá trị có thể chấp nhận được thường dẫn đến việc phải giải hoặc lập phương trình nên bạn phải có khả năng thực hiện tốt.
Ví dụ : Tìm miền biểu thức \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)
Giải pháp : Có hai gốc trong biểu thức, một trong số đó nằm ở mẫu số. Bất cứ ai không nhớ những hạn chế được áp dụng trong trường hợp này là... Ai còn nhớ thì ghi lại rằng biểu thức dưới gốc thứ nhất lớn hơn hoặc bằng 0, và dưới gốc thứ hai thì lớn hơn 0. Bạn có hiểu tại sao những hạn chế lại như vậy không?
Trả lời : \((-2;2,5]\)Bất kỳ biểu thức nào có biến đều có phạm vi giá trị hợp lệ riêng, nơi nó tồn tại. ODZ phải luôn được tính đến khi đưa ra quyết định. Nếu nó vắng mặt, bạn có thể nhận được một kết quả không chính xác.
Bài viết này sẽ chỉ ra cách tìm ODZ chính xác và sử dụng các ví dụ. Tầm quan trọng của việc chỉ ra DZ khi đưa ra quyết định cũng sẽ được thảo luận.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Giá trị biến hợp lệ và không hợp lệ
Định nghĩa này liên quan đến các giá trị được phép của biến. Khi chúng tôi giới thiệu định nghĩa, hãy xem nó sẽ dẫn đến kết quả gì.
Bắt đầu từ lớp 7 chúng ta bắt đầu làm việc với các con số và biểu thức số. Định nghĩa ban đầu với các biến sẽ chuyển sang ý nghĩa của biểu thức với các biến được chọn.
Khi có các biểu thức với các biến được chọn, một số biến có thể không thỏa mãn. Ví dụ: một biểu thức có dạng 1: a, nếu a = 0 thì nó vô nghĩa vì không thể chia cho 0. Nghĩa là, biểu thức phải có các giá trị phù hợp trong mọi trường hợp và sẽ đưa ra câu trả lời. Nói cách khác, chúng có ý nghĩa với các biến hiện có.
Định nghĩa 1
Nếu có một biểu thức chứa các biến thì nó chỉ có ý nghĩa nếu giá trị có thể được tính bằng cách thay thế chúng.
Định nghĩa 2
Nếu có một biểu thức với các biến, thì sẽ không có ý nghĩa gì khi thay thế chúng, giá trị không thể tính được.
Nghĩa là, điều này ngụ ý một định nghĩa hoàn chỉnh
Định nghĩa 3
Các biến được chấp nhận hiện có là những giá trị mà biểu thức có ý nghĩa. Và nếu nó không có ý nghĩa thì chúng được coi là không thể chấp nhận được.
Để làm rõ điều trên: nếu có nhiều hơn một biến thì có thể có một cặp giá trị phù hợp.
Ví dụ 1
Ví dụ, hãy xem xét một biểu thức có dạng 1 x - y + z, trong đó có ba biến. Ngược lại, bạn có thể viết nó dưới dạng x = 0, y = 1, z = 2, trong khi một mục khác có dạng (0, 1, 2). Các giá trị này được gọi là hợp lệ, có nghĩa là có thể tìm thấy giá trị của biểu thức. Chúng ta có được 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Từ đó ta thấy (1, 1, 2) không thể chấp nhận được. Sự thay thế dẫn đến chia cho 0, nghĩa là 1 1 - 2 + 1 = 1 0.
ODZ là gì?
Phạm vi giá trị chấp nhận được – yếu tố quan trọng khi tính toán biểu thức đại số. Vì vậy, cần chú ý đến điều này khi thực hiện tính toán.
Định nghĩa 4
khu vực ODZ là tập hợp các giá trị được phép cho một biểu thức nhất định.
Hãy xem xét một biểu thức ví dụ.
Ví dụ 2
Nếu chúng ta có biểu thức có dạng 5 z - 3 thì ODZ có dạng (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Đây là phạm vi các giá trị hợp lệ thỏa mãn biến z cho một biểu thức nhất định.
Nếu có các biểu thức có dạng z x - y thì rõ ràng x ≠ y, z nhận bất kỳ giá trị nào. Đây được gọi là biểu thức ODZ. Nó phải được tính đến để không bị chia cho 0 khi thay thế.
Phạm vi giá trị cho phép và phạm vi định nghĩa có cùng ý nghĩa. Chỉ cái thứ hai trong số chúng được sử dụng cho các biểu thức và cái thứ nhất được sử dụng cho các phương trình hoặc bất đẳng thức. Với sự trợ giúp của DL, biểu thức hoặc bất đẳng thức sẽ có ý nghĩa. Miền định nghĩa của hàm số trùng với khoảng giá trị cho phép của biến x đối với biểu thức f(x).
Làm thế nào để tìm ODZ? Ví dụ, giải pháp
Tìm ODZ có nghĩa là tìm tất cả các giá trị hợp lệ phù hợp cho hàm đã cho hoặc sự bất bình đẳng. Việc không đáp ứng các điều kiện này có thể dẫn đến kết quả không chính xác. Vì tìm ODZ Thường cần phải thực hiện các phép biến đổi trong một biểu thức nhất định.
Có những biểu thức mà việc tính toán của chúng là không thể:
- nếu có phép chia cho số 0;
- lấy căn của số âm;
- sự hiện diện của chỉ báo số nguyên âm – chỉ dành cho số dương;
- tính logarit của số âm;
- miền định nghĩa tiếp tuyến π 2 + π · k, k ∈ Z và cotang π · k, k ∈ Z;
- tìm giá trị arcsine và arccosine của một số cho giá trị không thuộc [ - 1 ; 1].
Tất cả điều này cho thấy tầm quan trọng của việc có ODZ.
Ví dụ 3
Tìm biểu thức ODZ x 3 + 2 x y − 4 .
Giải pháp
Bất kỳ số nào cũng có thể được lập phương. Biểu thức này không có phân số nên giá trị của x và y có thể là bất kỳ giá trị nào. Nghĩa là, ODZ là số bất kỳ.
Trả lời: x và y – bất kỳ giá trị nào.
Ví dụ 4
Tìm ODZ của biểu thức 1 3 - x + 1 0.
Giải pháp
Có thể thấy rằng có một phân số có mẫu số bằng 0. Điều này có nghĩa là với bất kỳ giá trị nào của x, chúng ta sẽ được chia cho 0. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức này được coi là không xác định, nghĩa là nó không có bất kỳ trách nhiệm pháp lý bổ sung nào.
Trả lời: ∅ .
Ví dụ 5
Tìm ODZ của biểu thức đã cho x + 2 · y + 3 - 5 · x.
Giải pháp
Sự hiện diện của căn bậc hai có nghĩa là biểu thức này phải lớn hơn hoặc bằng 0. Tại giá trị âm nó không có ý nghĩa Điều này có nghĩa là cần phải viết bất đẳng thức dạng x + 2 · y + 3 ≥ 0. Đó là, đây là phạm vi mong muốn của các giá trị có thể chấp nhận được.
Trả lời: tập hợp x và y, trong đó x + 2 y + 3 ≥ 0.
Ví dụ 6
Xác định biểu thức ODZ có dạng 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .
Giải pháp
Theo điều kiện, chúng ta có một phân số nên mẫu số của nó không được bằng 0. Chúng ta nhận được x + 1 - 1 ≠ 0. Biểu thức căn thức luôn có ý nghĩa khi lớn hơn hoặc bằng 0, tức là x + 1 ≥ 0. Vì nó có logarit nên biểu thức của nó phải hoàn toàn dương, nghĩa là x 2 + 3 > 0. Cơ số của logarit cũng phải có giá trị dương và khác 1 thì ta cộng các điều kiện x + 8 > 0 và x + 8 ≠ 1. Theo đó, ODZ mong muốn sẽ có dạng:
x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1
Nói cách khác, nó được gọi là hệ bất đẳng thức một biến. Lời giải sẽ dẫn đến ký hiệu ODZ sau [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .
Trả lời: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)
Tại sao điều quan trọng là phải xem xét DPD khi thúc đẩy sự thay đổi?
Trong quá trình chuyển đổi danh tính, điều quan trọng là phải tìm ODZ. Có những trường hợp không tồn tại ODZ. Để hiểu liệu một biểu thức đã cho có nghiệm hay không, bạn cần so sánh VA của các biến của biểu thức ban đầu và VA của biểu thức kết quả.
Chuyển đổi nhận dạng:
- có thể không ảnh hưởng đến DL;
- có thể dẫn đến việc mở rộng hoặc bổ sung DZ;
- có thể thu hẹp DZ.
Hãy xem một ví dụ.
Ví dụ 7
Nếu chúng ta có biểu thức có dạng x 2 + x + 3 · x thì ODZ của nó được xác định trên toàn bộ miền định nghĩa. Ngay cả khi đưa điều khoản tương tự và sự đơn giản hóa biểu thức ODZ không thay đổi.
Ví dụ 8
Nếu chúng ta lấy ví dụ về biểu thức x + 3 x − 3 x, thì mọi thứ sẽ khác. Chúng ta có một biểu thức phân số. Và chúng ta biết rằng việc chia cho 0 là không thể chấp nhận được. Khi đó ODZ có dạng (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Có thể thấy số 0 không phải là nghiệm nên ta thêm nó bằng dấu ngoặc đơn.
Hãy xem xét một ví dụ với sự hiện diện của một biểu thức căn bản.
Ví dụ 9
Nếu có x - 1 · x - 3, thì bạn nên chú ý đến ODZ, vì nó phải được viết dưới dạng bất đẳng thức (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Có thể giải bằng phương pháp khoảng, khi đó ta thấy ODZ sẽ có dạng (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞). Sau khi biến đổi x - 1 · x - 3 và áp dụng tính chất nghiệm, ta có thể bổ sung ODZ và viết được mọi bất phương trình dưới dạng hệ bất phương trình dạng x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Khi giải ra ta thấy [ 3 , + ∞) . Điều này có nghĩa là ODZ được viết hoàn toàn như sau: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .
Phải tránh những biến đổi làm thu hẹp DZ.
Ví dụ 10
Hãy xem xét một ví dụ về biểu thức x - 1 · x - 3, khi x = - 1. Khi thay thế, ta được - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Nếu chúng ta biến đổi biểu thức này và đưa nó về dạng x - 1 · x - 3, thì khi tính toán, chúng ta thấy rằng 2 - 1 · 2 - 3 biểu thức này vô nghĩa, vì biểu thức căn thức không được âm.
Nên tuân thủ chuyển đổi danh tính, mà ODZ sẽ không thay đổi.
Nếu có những ví dụ mở rộng về nó thì nó sẽ được thêm vào DL.
Ví dụ 11
Hãy xem ví dụ về một phân số có dạng x x 3 + x. Nếu chúng ta hủy x, thì chúng ta nhận được 1 x 2 + 1. Sau đó ODZ mở rộng và trở thành (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Hơn nữa, khi tính toán, chúng ta đã làm việc với phân số tối giản thứ hai.
Với sự hiện diện của logarit, tình hình hơi khác một chút.
Ví dụ 12
Nếu có biểu thức dạng ln x + ln (x + 3) thì nó được thay thế bằng ln (x · (x + 3)), dựa trên tính chất của logarit. Từ đây chúng ta có thể thấy ODZ từ (0 , + ∞) đến (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Vì vậy đối với định nghĩa ADL ln(x · (x + 3)) cần thực hiện các phép tính trên ODZ, tức là tập hợp (0 , + ∞).
Khi giải, luôn phải chú ý đến cấu trúc và kiểu biểu thức mà điều kiện đã cho. Tại vị trí chính xác khu vực xác định kết quả sẽ là tích cực.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Một chức năng là một mô hình. Hãy định nghĩa X là tập hợp các giá trị của một biến độc lập // độc lập có nghĩa là bất kỳ.
Hàm là một quy tắc mà với mỗi giá trị của một biến độc lập từ tập X, người ta có thể tìm thấy một giá trị duy nhất của biến phụ thuộc. // tức là với mọi x đều có một y.
Từ định nghĩa suy ra có hai khái niệm - độc lập một biến (mà chúng ta biểu thị là x và có thể nhận bất kỳ giá trị nào) và một biến phụ thuộc (mà chúng ta biểu thị là y hoặc f(x) và được tính từ hàm khi chúng ta thay thế x).
VÍ DỤ y=5+x
1. Độc lập là x, tức là lấy giá trị bất kỳ, đặt x=3
2. Bây giờ hãy tính y, có nghĩa là y=5+x=5+3=8. (y phụ thuộc vào x, vì ta thay x nào cũng bằng y)
Họ nói rằng biến y phụ thuộc hàm số vào biến x và điều này được biểu thị như sau: y = f(x).
VÍ DỤ.
1.y=1/x. (gọi là cường điệu)
2. y=x^2. (gọi là parabol)
3.y=3x+7. (gọi là đường thẳng)
4. y= √ x. (gọi là nhánh parabol)
Biến độc lập (mà chúng ta ký hiệu là x) được gọi là đối số hàm.
Miền chức năng
Tập hợp tất cả các giá trị mà đối số hàm lấy được gọi là miền của hàm và được ký hiệu là D(f) hoặc D(y).
Xét D(y) cho 1.,2.,3.,4.
1. D (у)= (∞; 0) và (0;+∞) // toàn bộ số thực, ngoại trừ số không.
2. D (y)= (∞; +∞)//tất cả số thực
3. D (y)= (∞; +∞)//tất cả số thực
4. D(y)= - ∞; + ∞[ .
Ví dụ 1. Tìm miền xác định của hàm số y = 2 .
Giải pháp. Miền định nghĩa của hàm không được chỉ định, có nghĩa là theo định nghĩa trên, miền định nghĩa tự nhiên được ngụ ý. Sự biểu lộ f(x) = 2 được xác định cho mọi giá trị thực x, kể từ đây, chức năng nàyđược xác định trên toàn bộ tập hợp R số thực.
Do đó, trong hình vẽ trên, trục số được tô bóng từ âm vô cực đến cộng vô cực.
Vùng định nghĩa gốc N bằng cấp
Trong trường hợp hàm số được cho bởi công thức và N- số tự nhiên:
Ví dụ 2. Tìm miền xác định của hàm số .
Giải pháp. Như sau định nghĩa, nghiệm của bậc chẵn có ý nghĩa nếu biểu thức căn thức không âm, nghĩa là nếu - 1 ≤ x 1. Do đó, miền định nghĩa của hàm này là [- 1; 1].
Vùng tô bóng của trục số trong hình vẽ trên là miền định nghĩa của hàm này.
Miền chức năng quyền lực
Miền của hàm lũy thừa với số mũ nguyên
Nếu như Một- dương thì miền định nghĩa của hàm số là tập hợp tất cả các số thực, đó là ]- ∞; + ∞[ ;
Nếu như Một- âm thì miền định nghĩa của hàm số là tập hợp ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , tức là toàn bộ dãy số ngoại trừ số 0.
Trong hình vẽ tương ứng ở trên, toàn bộ trục số được tô bóng và điểm tương ứng với số 0 bị đục lỗ (nó không nằm trong miền định nghĩa của hàm).
Ví dụ 3. Tìm miền xác định của hàm số .
Giải pháp. Học kỳ đầu tiên toàn bộ bằng cấp x bằng 3 và bậc của x trong số hạng thứ hai có thể được biểu diễn dưới dạng một - cũng là số nguyên. Do đó, miền định nghĩa của hàm này là toàn bộ trục số, tức là ]- ∞; + ∞[ .
Miền của hàm lũy thừa với số mũ phân số
Trường hợp hàm số được tính theo công thức:
nếu dương thì miền định nghĩa của hàm là tập 0; + ∞[ .
Ví dụ 4. Tìm miền xác định của hàm số .
Giải pháp. Cả hai số hạng trong biểu thức hàm đều là chức năng điện với số mũ phân số dương. Do đó, miền định nghĩa của hàm này là tập hợp - ∞; + ∞[ .
Miền hàm số mũ và logarit
Miền của hàm số mũ
Trong trường hợp hàm được cho bằng công thức thì miền định nghĩa của hàm là toàn bộ trục số, tức là ] - ∞; + ∞[ .
Miền của hàm logarit
Hàm logarit được xác định với điều kiện đối số của nó là dương, nghĩa là miền định nghĩa của nó là tập hợp ]0; + ∞[ .
Hãy tự tìm miền xác định của hàm số rồi xem cách giải
Miền hàm lượng giác
Miền chức năng y= cos( x) - cũng nhiều R số thực.
Miền chức năng y= tg( x) - bộ R
số thực khác với số 
.
Miền chức năng y= ctg( x) - bộ R số thực, ngoại trừ số.
Ví dụ 8. Tìm miền xác định của hàm số .
Giải pháp. Chức năng bên ngoài - logarit thập phân và miền định nghĩa của nó tuân theo các điều kiện của miền định nghĩa hàm logarit không hề. Tức là lập luận của cô ấy phải tích cực. Đối số ở đây là sin của "x". Xoay một chiếc la bàn tưởng tượng quanh một vòng tròn, chúng ta thấy rằng điều kiện sin x> 0 bị vi phạm với “x” bằng 0, "pi", hai, nhân với "pi" và nói chung tương đương với sản phẩm pi và bất kỳ số nguyên chẵn hoặc lẻ nào.
Do đó, miền định nghĩa của hàm này được cho bởi biểu thức
,
Ở đâu k- một số nguyên.
Miền định nghĩa hàm lượng giác nghịch đảo
Miền chức năng y= arcsin( x) - đặt [-1; 1].
Miền chức năng y= arccos( x) - cũng là tập [-1; 1].
Miền chức năng y= arctan( x) - bộ R số thực.
Miền chức năng y= arcctg( x) - cũng nhiều R số thực.
Ví dụ 9. Tìm miền xác định của hàm số .
Giải pháp. Hãy giải bất đẳng thức:
Do đó, chúng ta thu được miền định nghĩa của hàm này - đoạn [- 4; 4].
Ví dụ 10. Tìm miền xác định của hàm số
.
Giải pháp. Hãy giải hai bất đẳng thức:
Giải bất đẳng thức thứ nhất:
Giải bất đẳng thức thứ hai:
Vì vậy, chúng ta có được miền định nghĩa của hàm này - đoạn.
phạm vi phân số
Nếu chức năng được đưa ra biểu thức phân số, trong đó biến nằm trong mẫu số của phân số thì miền định nghĩa của hàm số là tập hợp R số thực, ngoại trừ những số này x, tại đó mẫu số của phân số trở thành 0.
Ví dụ 11. Tìm miền xác định của hàm số .
Giải pháp. Bằng cách giải đẳng thức của mẫu số của phân số về 0, chúng ta tìm được miền định nghĩa của hàm này - tập hợp ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .