Xin chào, Các bạn thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ xem xét nhiệm vụ ở phần C. Đây là một hệ gồm hai phương trình. Các phương trình khá đặc biệt. Ở đây có sin và cosin, và cũng có nghiệm. Cần có khả năng giải các bài toán bậc hai và đơn giản. Trong nhiệm vụ được trình bày, họ giải pháp chi tiết chưa được trình bày, bạn đã có thể thực hiện việc này. Sử dụng các liên kết được cung cấp, bạn có thể xem lý thuyết liên quan và các nhiệm vụ thực tế.

Khó khăn chính trong ví dụ tương tự là cần phải so sánh các lời giải thu được với miền định nghĩa đã tìm được; ở đây người ta dễ mắc sai lầm do không chú ý.

Nghiệm của hệ luôn là một cặp số x và y, được viết là (x;y).Hãy chắc chắn kiểm tra sau khi nhận được câu trả lời.Có ba cách được trình bày cho bạn, không, không phải cách, mà là ba cách lý luận mà bạn có thể thực hiện. Cá nhân tôi thì người thứ ba là gần gũi nhất với tôi. Hãy bắt đầu:

Giải hệ phương trình:

CÁCH ĐẦU TIÊN!

Hãy tìm miền định nghĩa của phương trình. Được biết, biểu thức căn thức có ý nghĩa không âm:

Xét phương trình đầu tiên:

1. Nó bằng 0 tại x = 2 hoặc x = 4, nhưng 4 radian không thuộc định nghĩa của biểu thức (3).

*Một góc 4 radian (229,188 0) nằm ở phần tư thứ ba, trong đó giá trị sin là âm. Đó là lý do tại sao

Tất cả những gì còn lại là nghiệm x = 2.

Xét phương trình thứ hai cho x = 2.

Tại giá trị này của x, biểu thức 2 – y – y 2 phải bằng 0, vì

Hãy giải 2 – y – y 2 = 0, ta được y = – 2 hoặc y = 1.

Lưu ý rằng với y = – 2 nghiệm của cos y không có nghiệm.

*Một góc –2 radian (– 114,549 0) nằm ở phần tư thứ ba và trong đó giá trị cosine là âm.

Do đó chỉ còn lại y = 1.

Như vậy nghiệm của hệ sẽ là cặp (2;1).

2. Phương trình thứ nhất cũng bằng 0 tại cos y = 0, tức là tại

Nhưng xét đến miền tìm được của định nghĩa (2), chúng ta thu được:

Hãy xem xét phương trình thứ hai cho y này.

Biểu thức 2 – y – y 2 với y = – Pi/2 không bằng 0, nghĩa là để nó có nghiệm thì phải thỏa mãn điều kiện sau:

Chúng tôi quyết định:

Có tính đến miền tìm thấy của định nghĩa (1), chúng tôi có được rằng

Như vậy, giải pháp cho hệ thống là một cặp nữa:

CÁCH THỨ HAI!

Hãy tìm miền định nghĩa của biểu thức:

Được biết, biểu thức dưới gốc có ý nghĩa không tiêu cực.
Giải bất đẳng thức 6x – x 2 + 8 ≥ 0, ta được 2 ≤ x ≤ 4 (2 và 4 là radian).

Xét trường hợp 1:

Đặt x = 2 hoặc x = 4.

Nếu x = 4 thì sin x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Xét sin x ≠ 0, hóa ra trong trường hợp này trong phương trình thứ hai của hệ 2 – y – y 2 = 0.

Giải phương trình ta tìm được y = – 2 hoặc y = 1.

Phân tích các giá trị thu được, chúng ta có thể nói rằng x = 4 và y = – 2 không phải là nghiệm vì chúng ta nhận được sin x< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Có thể thấy rằng x = 2 và y = 1 đều nằm trong miền định nghĩa.

Vì vậy, nghiệm là cặp (2;1).

Hãy xem xét trường hợp 2:

Hãy để bây giờ 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Dựa trên điều này, chúng ta có thể kết luận rằng trong phương trình đầu tiên cos y phải là bằng 0.

Giải phương trình, ta được:

Trong phương trình thứ hai, khi tìm miền định nghĩa của biểu thức:

Chúng tôi nhận được:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2  y  1

Trong tất cả các nghiệm của phương trình cos y = 0, điều kiện này chỉ được thỏa mãn bởi:

Tại giá trị đã cho y, biểu thức 2 – y – y 2 ≠ 0. Do đó, trong phương trình thứ hai sin x sẽ bằng 0, ta có:

Trong tất cả các nghiệm của phương trình này, khoảng 2< х < 4 принадлежит только

Điều này có nghĩa là nghiệm của hệ sẽ là một cặp khác:

*Chúng tôi không tìm thấy miền định nghĩa cho tất cả các biểu thức trong hệ thống cùng một lúc, chúng tôi đã xem xét biểu thức từ phương trình đầu tiên (2 trường hợp) và sau đó, trong quá trình đó, chúng tôi xác định được sự tương ứng của các nghiệm tìm được với khu vực thành lập các định nghĩa. Theo tôi, nó không thuận tiện lắm, hóa ra có phần khó hiểu.

CÁCH THỨ BA!

Nó tương tự như cái đầu tiên, nhưng có những khác biệt. Ngoài ra, vùng định nghĩa cho các biểu thức được tìm thấy đầu tiên. Sau đó, phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai được giải riêng biệt và tìm ra nghiệm của hệ.

Hãy tìm miền định nghĩa. Được biết, biểu thức căn thức có ý nghĩa không âm:

Giải bất đẳng thức 6x – x 2 + 8 ≥ 0 ta được 2 ≤ x 4 (1).

Giá trị 2 và 4 là radian, 1 radian như chúng ta đã biết ≈ 57,297 0

Theo độ, chúng ta có thể viết xấp xỉ 114,549 0 ≤ x 229,188 0.

Giải bất đẳng thức 2 – y – y 2 ≥ 0 ta được – 2 ≤ y ≤ 1 (2).

Bằng độ chúng ta có thể viết – 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0 .

Quyết định tội lỗi bất bình đẳng x ≥ 0 ta được điều đó

Giải bất đẳng thức cos y ≥ 0 ta thu được

Được biết, tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng 0 (và các thừa số khác không mất ý nghĩa).

Xét phương trình đầu tiên:

Có nghĩa

Giải pháp cho cos y = 0 là:

Giải pháp 6x – x 2 + 8 = 0 là x = 2 và x = 4.

Xét phương trình thứ hai:

Có nghĩa

Giải pháp cho sin x = 0 là:

Nghiệm của phương trình 2 – y – y 2 = 0 là y = – 2 hoặc y = 1.

Bây giờ, tính đến miền định nghĩa, hãy phân tích

giá trị thu được:

Vì 114.549 0 ≤ x 229.188 0 nên phân khúc này chỉ có một nghiệm duy nhất của phương trình sin x = 0, đây là x = Pi.

Vì – 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0 nên đoạn này chỉ chứa một nghiệm của phương trình cos y = 0, đây là

Xét các nghiệm x = 2 và x = 4.

Phải!

Như vậy nghiệm của hệ sẽ là hai cặp số:

*Ở đây, có tính đến miền định nghĩa được tìm thấy, chúng tôi đã loại trừ tất cả các giá trị thu được không thuộc về miền đó và sau đó xem xét tất cả các tùy chọn cho các cặp có thể có. Tiếp theo, chúng tôi đã kiểm tra xem giải pháp nào trong số đó là giải pháp cho hệ thống.

Tôi khuyến nghị ngay khi bắt đầu giải phương trình, bất phương trình và hệ của chúng, nếu có nghiệm, logarit, hàm lượng giác, hãy nhớ tìm miền định nghĩa. Tất nhiên, có những ví dụ dễ giải quyết ngay lập tức và sau đó chỉ cần kiểm tra lời giải, nhưng đây chỉ là thiểu số tương đối.

Thế thôi. Chúc bạn may mắn!

Việc giải phương trình lượng giác và hệ phương trình lượng giác dựa trên việc giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Chúng ta hãy nhớ lại các công thức cơ bản để giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Giải phương trình dạng sin(x) = a.

Khi |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

Đối với |a|>1 không có giải pháp nào.

Giải phương trình dạng cos(x) = a.

Khi |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

Đối với |a|>1 không có giải pháp nào.

Giải phương trình có dạng tg(x) = a.

x = arctan(a) + π*k, trong đó k thuộc Z.

Giải phương trình dạng cotg(x) = a.

x = arcctg(a)+ π*k, trong đó k thuộc Z.

Một số trường hợp thường gặp:

sin(x) =1; x = π/2 +2* π*k, trong đó k thuộc Z.

sin(x) = 0; x = π*k, trong đó k thuộc Z.

sin(x) = -1; x = - π/2 +2* π*k, trong đó k thuộc Z.

cos(x) = 1; x = 2* π*k, trong đó k thuộc Z.

cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, trong đó k thuộc Z.

cos(x) = -1; x = π+2* π*k, trong đó k thuộc Z.

Hãy xem xét một vài ví dụ:

Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0.

Các phương trình loại này được giải bằng cách rút gọn chúng thành phương trình bậc hai bằng cách thay đổi một biến.

Đặt y = sin(x). Sau đó chúng tôi nhận được,

2*y^2 + y - 1 = 0.

Chúng tôi giải phương trình uvadratic thu được bằng một trong các phương pháp đã biết.

y1 = 1/2, y2 = -1.

Do đó, chúng ta thu được hai phương trình lượng giác đơn giản có thể giải bằng các công thức đã chỉ ra ở trên.

sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, với bất kỳ toàn bộ K.

sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, trong đó n thuộc Z.

Ví dụ 2. Giải phương trình 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0.

Sử dụng đẳng thức lượng giác cơ bản, chúng ta thay thế (sin(x))^2 bằng 1 - (cos(x))^2

Chúng ta thu được phương trình bậc hai cho cos(x):

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) - 4 = 0.

Chúng tôi giới thiệu phép thay thế y=cos(x).

6*y^2 - 5*y - 4 = 0.

Chúng ta giải phương trình bậc hai thu được y1 = -1/2, y2 = 1(1/3).

Vì y = cos(x), và cosine không thể nhiều hơn một, ta được một phương trình lượng giác đơn giản.

x = ±2*pi/3+2*pi*k, với mọi số nguyên k.

Ví dụ 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

Hãy giới thiệu biến y = tan(x). Khi đó 1/y = cot(x). chúng tôi nhận được

Nhân với y không bằng 0, ta thu được phương trình bậc hai.

y^2 – 3*y + 2 = 0.

Hãy giải quyết nó:

tg(x) = 2, x = arctan(2)+pi*k, với mọi số nguyên k.

tg(x) = 1, x = arctan(1) + pi*k, pi/4 +pi*k, với mọi số nguyên k.

Ví dụ 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

Phương trình này có thể rút gọn thành phương trình bậc hai bằng cách chia cho (cos(x))^2 hoặc (sin(x))^2. Khi chia cho (cos(x)^2 ta được

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, với mọi số nguyên n

tan(x) = 1/3, x = arctan(1/3) + pi*k, với mọi số nguyên k.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

( sin(x) = 2*sin(y)

Từ phương trình bánh mì ong chúng ta biểu thị y,

Sau đó, chúng ta nhận được, 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5* pi /3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

Bài học 54-55. Hệ phương trình lượng giác (tùy chọn)

09.07.2015 9098 895

Mục tiêu: xem xét nhiều nhất hệ thống điển hình các phương trình lượng giác và phương pháp giải.

I. Truyền đạt chủ đề và mục đích bài học

II. Sự lặp lại và củng cố các tài liệu được đề cập

1. Trả lời các câu hỏi về bài tập về nhà(phân tích các vấn đề chưa được giải quyết).

2. Giám sát quá trình đồng hóa vật liệu (công việc độc lập).

Tùy chọn 1

Giải bất đẳng thức:

Tùy chọn 2

Giải bất đẳng thức:

III. Học tài liệu mới

Trong các kỳ thi, hệ phương trình lượng giác ít phổ biến hơn nhiều so với các phương trình lượng giác và bất đẳng thức. Không có sự phân loại rõ ràng về hệ phương trình lượng giác. Vì vậy, chúng tôi sẽ chia chúng thành các nhóm một cách có điều kiện và xem xét cách giải quyết những vấn đề này.

1. Các hệ phương trình đơn giản nhất

Chúng bao gồm các hệ thống trong đó một trong các phương trình là tuyến tính hoặc các phương trình của hệ thống có thể được giải độc lập với nhau.

Ví dụ 1

Hãy giải hệ phương trình

Vì phương trình đầu tiên là tuyến tính nên chúng ta biểu thị biến từ nóvà thay vào phương trình thứ hai:Chúng tôi sử dụng công thức rút gọn và đồng nhất thức lượng giác chính. Chúng ta thu được phương trình hoặc Hãy giới thiệu một biến mới t = tội lỗi bạn. Ta có phương trình bậc hai 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, có nghiệm t 1 = 1/3 và t 2 = 2 (không phù hợp vì tội lỗi y ≤ 1). Hãy quay lại ẩn số cũ và nhận được phương trình tội lỗi = 1/3, nghiệm của aiBây giờ thật dễ dàng để tìm thấy những điều chưa biết:Vậy hệ phương trình có nghiệm trong đó n ∈ Z.

Ví dụ 2

Hãy giải hệ phương trình

Các phương trình của hệ thống là độc lập. Vì vậy, chúng ta có thể viết ra nghiệm của từng phương trình. Chúng tôi nhận được:Chúng ta cộng và trừ các phương trình của hệ phương trình tuyến tính này theo từng số hạng và tìm:Ở đâu

Xin lưu ý rằng do tính độc lập của các phương trình nên khi tìm x - y và x + y, phải xác định các số nguyên khác nhau n và k. Nếu thay vì k cũng đã được cung cấp N , thì các giải pháp sẽ như sau:Trong trường hợp này, vô số nghiệm sẽ bị mất và ngoài ra, mối liên hệ giữa các biến sẽ xuất hiện. x và y: x = 3y (điều này không xảy ra trong thực tế). Ví dụ, thật dễ dàng để kiểm tra rằng hệ thống này có nghiệm x = 5π và y = n (theo công thức thu được) mà khi k = n không thể tìm thấy. Vì vậy hãy cẩn thận.

2. Hệ thống gõ

Những hệ thống như vậy được đơn giản hóa đến mức đơn giản nhất bằng cách cộng và trừ các phương trình. Trong trường hợp này chúng ta thu được hệ thốnghoặc Hãy lưu ý một hạn chế rõ ràng: Và Bản thân giải pháp của các hệ thống như vậy không gây ra bất kỳ khó khăn nào.

Ví dụ 3

Hãy giải hệ phương trình

Trước tiên chúng ta hãy biến đổi phương trình thứ hai của hệ bằng cách sử dụng đẳng thức Chúng tôi nhận được: Hãy thay thế phương trình đầu tiên vào tử số của phân số này:và bày tỏ Bây giờ ta có hệ phương trìnhHãy cộng và trừ các phương trình này. Chúng tôi có: hoặcHãy để chúng tôi viết ra các giải pháp cho hệ thống đơn giản nhất này:Cộng và trừ những thứ này phương trình tuyến tính, chúng tôi tìm thấy:

3. Hệ thống gõ

Những hệ thống như vậy có thể được coi là đơn giản nhất và được giải quyết tương ứng. Tuy nhiên, có một cách giải khác: quy đổi tổng các hàm lượng giác thành tích và sử dụng phương trình còn lại.

Ví dụ 4

Hãy giải hệ phương trình

Đầu tiên, chúng ta biến đổi phương trình đầu tiên bằng cách sử dụng công thức tính tổng các sin của các góc. Chúng tôi nhận được:Áp dụng phương trình thứ hai, ta có:Ở đâu Hãy viết các nghiệm của phương trình này:Xét phương trình thứ hai của hệ này, ta thu được hệ phương trình tuyến tínhTừ hệ thống này chúng tôi tìm thấy Thật thuận tiện khi viết các giải pháp như vậy trong nhiều hơn hình thức hợp lý. Đối với các dấu hiệu trên, chúng ta có:cho các dấu hiệu thấp hơn -

4. Hệ thống gõ

Trước hết, cần thu được một phương trình chỉ chứa một ẩn số. Để làm điều này, ví dụ, chúng ta hãy biểu diễn từ một phương trình sin y, từ người khác - cos bạn. Hãy bình phương các tỷ lệ này và cộng chúng lại. Khi đó chúng ta thu được một phương trình lượng giác chứa ẩn số x. Hãy giải phương trình này. Sau đó, sử dụng bất kỳ phương trình nào của hệ này, chúng ta thu được phương trình tìm ẩn y.

Ví dụ 5

Hãy giải hệ phương trình

Hãy viết hệ thống dưới dạngBình phương mỗi phương trình của hệ và nhận được:Hãy cộng các phương trình của hệ này: hoặc Sử dụng đẳng thức lượng giác cơ bản, ta viết phương trình dưới dạng hoặc Giải pháp cho phương trình này cos x = 1/2 (khi đó ) và cos x = 1/4 (từ đó ), trong đó n, k ∈ Z . Xem xét mối liên hệ giữa những điều chưa biết cos y = 1 – 3 cos x, ta được: với cos x = 1/2 cos y = -1/2; với cos x = 1/4 cos y = 1/4. Cần phải nhớ rằng khi giải một hệ phương trình, việc bình phương được thực hiện và thao tác này có thể dẫn đến sự xuất hiện của các nghiệm ngoại lai. Vì vậy, cần phải tính đến phương trình đầu tiên của hệ này, từ đó suy ra các đại lượng tội lỗi x và tội lỗi y phải có cùng dấu.

Khi tính đến điều này, chúng ta thu được nghiệm của hệ phương trình nàyVà trong đó n, m, k, l ∈ Z . Trong trường hợp này, đối với x và y chưa biết, dấu trên hoặc dấu dưới được chọn đồng thời.

Trong trường hợp đặc biệthệ thống có thể được giải bằng cách chuyển đổi tổng (hoặc hiệu) của các hàm lượng giác thành tích và sau đó chia số hạng của phương trình cho số hạng.

Ví dụ 6

Hãy giải hệ phương trình

Trong mỗi phương trình, ta biến tổng và hiệu của các hàm số thành tích rồi chia mỗi phương trình cho 2. Ta được:Vì không có một thừa số nào ở vế trái của phương trình bằng 0 nên chúng ta chia số hạng của phương trình cho số hạng (ví dụ: số thứ hai cho số hạng thứ nhất). Chúng tôi nhận được:Ở đâu Hãy thay thế giá trị tìm thấyví dụ, trong phương trình đầu tiên:Chúng ta hãy tính đến điều đó Sau đó Ở đâu

Ta thu được hệ phương trình tuyến tínhBằng cách cộng và trừ các phương trình của hệ thống này, chúng tôi tìm thấyVà trong đó n, k ∈ Z.

5. Hệ thống được giải bằng cách thay thế ẩn số

Nếu hệ thống chỉ chứa hai hàm lượng giác hoặc có thể rút gọn về dạng này thì việc sử dụng phép thay thế ẩn số sẽ thuận tiện hơn.

Ví dụ 7

Hãy giải hệ phương trình

Vì hệ thống này chỉ bao gồm hai hàm lượng giác nên chúng tôi đưa ra các biến mới a = tan x và b = sin bạn. Ta thu được hệ phương trình đại sốTừ phương trình đầu tiên chúng ta biểu thị a = b + 3 và thay vào số thứ hai:hoặc Các nghiệm của phương trình bậc hai này b 1 = 1 và b 2 = -4. Các giá trị tương ứng là a1 = 4 và a2 = -1. Hãy quay trở lại những ẩn số cũ. Ta thu được hai hệ phương trình lượng giác đơn giản:

a) quyết định của cô ấy trong đó n, k ∈ Z.

b) không có giải pháp, bởi vì tội lỗi y ≥ -1.

Ví dụ 8

Hãy giải hệ phương trình

Chúng ta hãy biến đổi phương trình thứ hai của hệ thống để nó chỉ chứa các hàm sin x và cos bạn. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng các công thức giảm. Chúng tôi nhận được:(Ở đâu ) Và (Sau đó ). Phương trình thứ hai của hệ có dạng: hoặc Ta thu được hệ phương trình lượng giácHãy giới thiệu các biến mới a = sin x và b = cos bạn. Ta có hệ phương trình đối xứng giải pháp duy nhất cái mà a = b = 1/2. Hãy quay trở lại những ẩn số cũ và nhận được hệ thống đơn giản nhất phương trình lượng giác giải pháp trong đó trong đó n, k ∈ Z.

6. Các hệ thống có đặc điểm của phương trình là quan trọng

Hầu như khi giải bất kỳ hệ phương trình nào, một hoặc một số tính năng của nó đều được sử dụng. Đặc biệt, một trong những kỹ thuật chung nghiệm của hệ là những phép biến đổi giống hệt nhau giúp ta có thể thu được phương trình chỉ chứa một ẩn số. Tất nhiên, việc lựa chọn các phép biến đổi được xác định bởi đặc thù của các phương trình hệ thống.

Ví dụ 9

Hãy giải hệ thống

Chúng ta hãy chú ý đến vế trái của các phương trình, ví dụ nhưBằng cách sử dụng các công thức rút gọn, chúng ta biến nó thành một hàm có đối số π/4 + x. Chúng tôi nhận được:Khi đó hệ phương trình có dạng:Để loại bỏ biến x, chúng ta nhân số hạng của phương trình với số hạng và nhận được:hoặc 1 = sin 3 2у, từ đó sin 2у = 1. Ta tìm được Và Sẽ thuận tiện hơn khi xem xét riêng các trường hợp giá trị chẵn và lẻ N. Với n chẵn (n = 2 k, trong đó k ∈ Z) Khi đó từ phương trình đầu tiên của hệ này ta thu được:trong đó m ∈ Z. Đối với số lẻ Khi đó từ phương trình đầu tiên ta có:Vì vậy, hệ thống này có giải pháp

Như trong trường hợp của các phương trình, thường có các hệ phương trình trong đó tính chất giới hạn của hàm sin và cosin đóng một vai trò quan trọng.

Ví dụ 10

Hãy giải hệ phương trình

Trước hết, chúng ta biến đổi phương trình đầu tiên của hệ thống:hoặc hoặc hoặc hoặc Có tính đến tính chất hạn chế của hàm sin, chúng ta thấy rằng bên trái phương trình không nhỏ hơn 2 và vế phải không lớn hơn 2. Do đó phương trình như vậy tương đương với điều kiện sin 2 2x = 1 và sin 2 y = 1.

Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng sin 2 y = 1 - cos 2 z hoặc sin 2 y = sin 2 z, rồi sin 2 z = 1. Ta thu được hệ phương trình lượng giác đơn giảnÁp dụng công thức rút gọn bậc, ta viết hệ dưới dạnghoặc Sau đó

Tất nhiên, khi giải các hệ phương trình lượng giác khác cũng cần chú ý đến đặc điểm của các phương trình này.

Tải tài liệu

Xem tập tin có thể tải xuống để biết toàn bộ nội dung của tài liệu.
Trang này chỉ chứa một phần của tài liệu.

bảng điểm

1 I. V. Ykovlev Tài liệu toán học MathUs.ru Hệ phương trình lượng giác Trong bài viết này chúng tôi xét hệ lượng giác của hai phương trình có hai ẩn số. Chúng tôi sẽ nghiên cứu ngay các phương pháp giải các hệ thống như vậy và các kỹ thuật đặc biệt khác nhau tại ví dụ cụ thể. Có thể xảy ra trường hợp một trong các phương trình của hệ chứa các hàm lượng giác của các ẩn số x và y, trong khi phương trình còn lại là tuyến tính theo x và y. Trong trường hợp này, chúng ta hành động theo cách hiển nhiên: chúng ta biểu thị một trong những ẩn số từ một phương trình tuyến tính và thay thế nó vào một phương trình khác của hệ. Bài toán 1. Giải hệ: x + y =, sin x + sin y = 1. Giải. Từ phương trình đầu tiên, chúng ta biểu thị y qua x: và thay nó vào phương trình thứ hai: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Kết quả là phương trình lượng giác đơn giản nhất cho x. Ta viết nghiệm của nó dưới dạng hai chuỗi: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Việc còn lại là tìm các giá trị tương ứng của y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Như mọi khi với hệ phương trình, đáp án được đưa ra dưới dạng danh sách các cặp x; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Lưu ý x và y liên hệ với nhau thông qua tham số nguyên n. Cụ thể là, nếu +n xuất hiện trong biểu thức của x, thì n sẽ tự động xuất hiện trong biểu thức của y và với cùng n. Đây là hệ quả của mối quan hệ “cứng” giữa x và y, được cho bởi phương trình x + y =. Nhiệm vụ. Giải hệ: cos x + cos y = 1, x y =. Giải pháp. Ở đây, trước tiên nên biến đổi phương trình đầu tiên của hệ: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Như vậy, hệ của chúng ta tương đương với hệ sau: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Thay x y = vào phương trình đầu tiên: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Kết quả ta được hệ: x + y = n, x y =. Chúng ta cộng các phương trình này, chia cho và tìm x; trừ số thứ hai từ phương trình đầu tiên, chia cho và tìm y: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Trong một số trường hợp, hệ lượng giác có thể được rút gọn thành hệ phương trình đại số bằng cách đổi biến thích hợp. Nhiệm vụ. Giải hệ: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Giải. Phép thay u = sin x, v = cos y dẫn đến hệ đại số cho u và v: u + v = 1, u v = 1. Bạn có thể dễ dàng tự giải hệ này. Nghiệm duy nhất: u = 1, v = 0. Phép thế ngược dẫn đến hai phương trình lượng giác đơn giản nhất: sin x = 1, cos y = 0, do đó + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Bây giờ bản ghi phản hồi chứa hai tham số nguyên k và n. Sự khác biệt từ nhiệm vụ trước đó là trong hệ thống này không có mối liên hệ “cứng nhắc” nào giữa x và y, chẳng hạn như ở dạng phương trình tuyến tính), do đó x và y còn hơn thế nữa ở mức độ lớn hơnđộc lập với nhau.

3V trong trường hợp này Sẽ là sai lầm nếu chỉ sử dụng một tham số nguyên n, viết đáp án là + n;) + n. Điều này sẽ dẫn đến mất mát số vô hạn 5 giải pháp hệ thống Ví dụ nghiệm sẽ bị mất;) phát sinh tại k = 1 và n = 0. Bài 4. Giải hệ: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Giải pháp. Đầu tiên chúng ta biến đổi phương trình thứ hai: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Bây giờ chúng ta thực hiện thay thế: u = sin x, v = sin y. Ta được hệ: u + v = 1, u + 4v = 1. Các nghiệm của hệ này có hai cặp: u 1 = 0, v 1 = 1/ và u = /, v = 1/6. Tất cả những gì còn lại là thực hiện phép thay thế ngược: sin x = 0, sin x = sin y = 1 hoặc, sin y = 1 6, và viết ra câu trả lời. k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Bài toán 5. Giải hệ: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Giải. Ở đây, để có được một hệ đại số, bạn còn phải làm việc nhiều hơn nữa. Chúng ta viết phương trình đầu tiên của hệ dưới dạng: Trong phương trình thứ hai, chúng ta có: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Do đó, phương trình ban đầu hệ tương đương với hệ: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 Thay thế u = cos x y, v = cos x + y và thu được hệ đại số: uv = 1, u v = 4. Các nghiệm của hệ này là hai cặp: u 1 = 1, v 1 = 1/ và u = 1, v = 1/. Cặp thứ nhất cho hệ: x y = 1, = k, Do đó cos x y cos x + y Cặp thứ hai cho hệ: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + nk, n Z). = ± + nk). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Do đó x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể quy hệ phương trình lượng giác về hệ phương trình đại số. Trong một số trường hợp, cần phải sử dụng nhiều kỹ thuật đặc biệt khác nhau. Đôi khi có thể đơn giản hóa hệ thống bằng cách cộng hoặc trừ các phương trình. Bài 6. Giải hệ: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Giải. Cộng và trừ các phương trình này, chúng ta nhận được hệ thống tương đương: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. Và hệ này lần lượt tương đương với sự kết hợp của hai hệ: x + y = + k, x + y = x y = + k, hoặc 6 + n x y =nk,nZ). 4

5 Do đó x = + k + n), x = + k + n), y = hoặc + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Đôi khi bạn có thể tìm ra lời giải bằng cách nhân các phương trình với nhau. Bài 7. Giải hệ: tg x = sin y, ctg x = cos y. Giải pháp. Chúng ta hãy nhớ lại rằng nhân các phương trình của một hệ với nhau có nghĩa là viết một phương trình có dạng “tích của vế trái bằng tích của vế phải”. Phương trình thu được sẽ là hệ quả của hệ ban đầu, tức là mọi nghiệm của hệ ban đầu đều thỏa mãn phương trình thu được). Trong trường hợp này, nhân các phương trình của hệ sẽ dẫn đến phương trình: 1 = sin y cos y = sin y, từ đó y = /4 + n n Z). Thật bất tiện khi thay y ở dạng này vào hệ; tốt hơn là chia nó thành hai chuỗi: y 1 = 4 + n. Thay y 1 vào phương trình đầu tiên của hệ: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Dễ dàng thấy rằng việc thay y 1 vào phương trình thứ hai của hệ sẽ dẫn đến kết quả tương tự. Bây giờ chúng ta thay thế y: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Đôi khi chia các phương trình cho nhau sẽ dẫn đến kết quả. Bài 8. Giải hệ: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Giải pháp. Hãy biến đổi: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Chúng ta hãy tạm đưa ra các ký hiệu sau: α = x + y, β = x y. Khi đó hệ thu được sẽ được viết lại dưới dạng: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Rõ ràng là cos β 0. Sau đó, chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, chúng ta thu được phương trình tg α =, đây là hệ quả của hệ. Chúng ta có: α = + n n Z), và một lần nữa, với mục đích thay thế tiếp vào hệ thống), chúng ta sẽ thuận tiện chia tập hợp kết quả thành hai chuỗi: α 1 = + n, α = 4 + n. Thay α 1 vào bất kỳ phương trình nào của hệ sẽ dẫn đến phương trình: cos β = 1 β 1 = k k Z). Tương tự, thay α vào bất kỳ phương trình nào của hệ sẽ thu được phương trình: cos β = 1 β = + k k Z). Vì vậy, chúng ta có: nghĩa là, trong đó α 1 = + n, β 1 = k hoặc α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y hoặc + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = hoặc + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Trong một số trường hợp, đồng nhất thức lượng giác cơ bản có ích. Bài 9. Giải hệ: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Giải pháp. Hãy bình phương cả hai vế của mỗi phương trình: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Hãy cộng các phương trình thu được: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, từ đó sin y = 0 và y = n n Z). Đây là hệ quả của hệ thống ban đầu; nghĩa là với mọi cặp x; y), là nghiệm của hệ, số thứ hai của cặp này sẽ có dạng n với một số nguyên n. Ta chia y thành hai chuỗi: y 1 = n, y = + n. Chúng ta thay y 1 vào hệ ban đầu: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Giải của hệ này là chuỗi sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). Xin lưu ý rằng bây giờ việc thay y 1 vào một trong các phương trình của hệ là không đủ. Thay y 1 vào phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ sẽ dẫn đến hệ hai các phương trình khác nhau tương đối với x.) Tương tự, chúng ta thay y vào hệ ban đầu: Do đó sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z).)) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Đôi khi, trong quá trình biến đổi, có thể thu được một mối quan hệ đơn giản giữa các ẩn số và biểu diễn từ mối quan hệ này một ẩn số theo một ẩn số khác. Bài 10. Giải hệ: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Giải. Trong phương trình thứ hai của hệ, ta biến đổi tích kép của sin thành hiệu của cosin: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Từ đây ta biểu diễn y theo x: y = x + n, 7

8 và thay vào phương trình thứ nhất của hệ: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Phần còn lại là tầm thường. Chúng ta nhận được: cos x = 1, từ đó x = ± Vẫn phải tìm y từ hệ thức thu được ở trên: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Tất nhiên, các bài toán đang xem xét không bao gồm toàn bộ các hệ phương trình lượng giác. Bất cứ lúc nào hoàn cảnh khó khănđòi hỏi sự khéo léo, được phát triển chỉ bằng cách thực hành giải quyết nhiệm vụ khác nhau. Tất cả các đáp án đều giả định rằng k, n Z. Bài toán 1. Giải hệ: x + y =, cos x cos y = 1. b) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n); b) n; N). Giải hệ: x + y = 4, tg x tan y = 1 b) 6. x y = 5, sin x = sin y. arctan 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n); b) + n; 6 + n). Giải hệ: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n); b) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Giải hệ: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. b) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; b) 1) k 4 + k; + n) 5. Giải hệ: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; N) ; b) arctan 5 + k; arctan 1 + n), arctan 1 + k; arctan 5 + n) 6. Giải hệ: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. b) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n) ; b) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Giải hệ: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Giải hệ: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + kn)) ; b) ± + k + n); ± + k n)) 9. Giải hệ: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. b) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; b)) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Giải hệ: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4+n),+k; + n) 11. Giải hệ :) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. k; 4+n),+k; 4 + n) 1. Giải hệ: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Giải hệ: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Giải hệ: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Giải hệ: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Giải hệ: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. b) cot x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; N); b)) 4 + k ; n, + k; + n) 10

11 17. “Phystech”, 010) Giải hệ phương trình 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. Đại học quốc gia Mátxcơva, bản sao. dành cho người nước ngoài gr-n, 01) Giải hệ phương trình: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6+n),+n; n), + n; 6n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Tìm tất cả các giải pháp của hệ thống phương trình tội lỗi x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, trong đó xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. Đại học quốc gia Moscow, địa lý. f-t, 005) Giải hệ phương trình 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. Đại học quốc gia Mátxcơva, Khoa Nhà nước. control, 005) Giải hệ phương trình sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Giải hệ phương trình 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x tội lỗi y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11

12. MIPT, 199) Giải hệ phương trình tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctan 4+n, arccos 4+k); + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Giải hệ phương trình sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) Giải hệ phương trình sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. MIPT, 1997) Giải hệ phương trình 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, n Z 1

I. V. Ykovlev Tài liệu về toán học MathUs.ru Các bài toán Minimax trong lượng giác Bảng này thảo luận về các phương trình giải trong đó sử dụng các ước lượng về vế phải và vế trái. Để trở thành

I. V. Ykovlev Tài liệu về toán học MathUs.ru phương trình lượng giác với mô-đun Tờ rơi này dành cho các phương trình lượng giác, trong đó các hàm lượng giác của một đại lượng chưa biết chứa

Công việc thực tế: Giải phương trình lượng giác nhiều loại Nhà phát triển: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko Mục đích công việc: 1) Lặp lại các công thức lượng giác đối số kép, công thức cộng,

I V Ykovlev Tài liệu về toán học MathUsru Bất đẳng thức lượng giác Giả sử người đọc có thể giải được những bài toán đơn giản nhất bất đẳng thức lượng giác Chúng tôi đang chuyển sang nhiều hơn nữa nhiệm vụ phức tạp Nhiệm vụ

I. V. Ykovlev Tài liệu về toán học MathUs.ru Các phép biến đổi và tính toán lượng giác Các bài toán liên quan đến phép biến đổi và tính toán lượng giác, theo quy luật, không phức tạp và do đó không thường xuyên

Nội dung I V Ykovlev Tài liệu toán học MathUsru phương trình vô tỉ và hệ thống 1 Kế toán hàng gia dụng 1 Các phép biến đổi tương đương 3 Đổi biến 6 4 Phép nhân liên hợp 7 5 Hệ phương trình

I. V. Ykovlev Tài liệu về toán học MathUs.ru Các phương trình lượng giác đơn giản nhất Chúng ta bắt đầu nghiên cứu các phương trình lượng giác chủ đề trung tâm toàn bộ phần lượng giác. Hãy để một

Cơ quan quản lý giáo dục Lãnh thổ Krasnoyarsk Krasnoyarsk đại học tiểu bang Trường khoa học tự nhiên tương ứng tại Đại học bang Krasnoyarsk Toán học: Học phần lớp 0 Phần giáo dục và phương pháp/ Bao gồm:

Bất biến và các vấn đề với tham số G.I. Falin, A.I. Falin Lomonosov Đại học quốc gia Moscow http://mech.math.msu.su/ falin 1 Giới thiệu B toán học hiện đại vai trò quan trọng chơi khái niệm bất biến, tức là tính bất biến

I. V. Ykovlev Tài liệu toán học MthUs.ru Nghiên cứu các hàm lượng giác Nhớ lại rằng hàm fx) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T 0 sao cho mọi x thuộc miền định nghĩa

Chủ đề 14" phương trình đại số và hệ thống phương trình phi tuyến» Đa thức bậc n là đa thức có dạng P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + an n, trong đó a 0, a 1, a n-1, an n số đã cho, một 0,

I. V. Ykovlev Tài liệu toán học MathUs.ru Bài toán đào tạo Tính đối xứng trong các bài toán có tham số 1. (MSU, Khoa khoa học đất, 001) Với giá trị nào của b thì phương trình có đúng một nghiệm? tân b = log

Bộ Khoa học và Giáo dục Liên Bang NgaĐại học Trắc địa và Bản đồ quốc gia Moscow T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. SỔ TAY TOÁN HỌC CHO NGƯỜI ĐĂNG KÝ.

Bài đại số lớp 10 Chủ đề bài học: Các phương pháp giải phương trình lượng giác Mục đích của bài học: Khái quát hóa, hệ thống hóa kiến ​​thức của học sinh về chủ đề này. Mục tiêu bài học: 1) Giáo dục - Mở rộng và đào sâu

Ví dụ về các giải pháp thử nghiệm của L.I. Terekhina, I.I. Sửa 1 Kiểm tra 1 đại số tuyến tính Quyết định phương trình ma trận((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Trước tiên chúng ta hãy nhân các ma trận với

Tích hợp các hàm lượng giác Tích hợp tích các hàm sin và cosin của các đối số khác nhau Công thức lượng giác k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k)

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga Moscow Viện Vật lý và Công nghệ(đại học công lập) Bán thời gian trường thể chất và kỹ thuật TOÁN HỌC Chuyển đổi nhận dạng. Giải pháp

Phương trình vô tỉ và bất đẳng thức Nội dung Phương trình vô tỉ Phương pháp nâng cả hai vế của phương trình lên cùng lũy ​​thừa Bài tập Bài tập Bài tập Thay thế một phương trình vô tỉ bằng một phương trình hỗn hợp

Bộ Giáo dục Cộng hòa Belarus Bang Molodechno trường bách khoa Bài thực hành: Giải phương trình lượng giác rút gọn một cách đơn giản nhất. Nhà phát triển: I.

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC LIÊN BANG NGA ĐẠI HỌC BANG TOMSK Khoa Toán ứng dụng và Điều khiển học Khoa Lý thuyết xác suất và thống kê toán học GIỚI HẠN Phương pháp luận

lớp 10, cấp độ cơ bản Nhiệm vụ 1 Phương án 0 (minh họa, kèm lời giải) Thư từ trường toán 009/010 năm học 1 Biểu diễn biểu thức dưới dạng đa thức chế độ xem chuẩn và tìm anh ấy

Bài giảng “Tích phân không xác định” Biên soạn bởi: Bài giảng VPBelkin Tích phân không xác định Các khái niệm cơ bản Tính chất của tích phân bất định 3 Bảng nguyên hàm cơ bản 3 4 Ví dụ điển hình 3 5 Động vật nguyên sinh

4. Lượng giác Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng để đưa ra các định nghĩa chặt chẽ về hàm lượng giác. Thoạt nhìn có lẽ chúng sẽ có vẻ khá lạ lùng; tuy nhiên, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một số

Chủ đề GIỚI HẠN CỦA HÀM Số A gọi là giới hạn của hàm số y = f), với x tiến tới vô cùng, nếu với mọi số ε> dù nhỏ đến đâu cũng tồn tại một số dương s sao cho với mọi >S,

Cơ quan liên bang Tiểu bang theo trình độ học vấn cơ sở giáo dục cao hơn giáo dục nghề nghiệp Bang Ukhta đại học kỹ thuật(USTU) CHỨC NĂNG GIỚI HẠN Phương pháp luận

KHÔNG DEMIDOV CƠ BẢN CỦA TRIGONOMETRY Hướng dẫn học cho công dân nước ngoài Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga Giáo dục Nhà nước Liên bang tổ chức ngân sách chuyên nghiệp cao hơn

Chủ đề 1 Số thực và hành động với chúng 4 giờ 11 Phát triển khái niệm về số 1 Ban đầu, người ta chỉ hiểu các con số số tự nhiên, đủ để đếm các mục riêng lẻ Nhiều

Giải phương trình lượng giác Giải phương trình lượng giác Mục tiêu: Làm quen với các loại phương trình lượng giác Làm quen với các phương pháp giải phương trình. Phát triển kỹ năng ứng dụng

I. V. Ykovlev Tài liệu toán học MathUs.ru Tính đối xứng trong các bài toán có tham số Tính đối xứng là một trong khái niệm chính toán học và vật lý. Bạn có quen với đối xứng hình học số liệu và nói chung là khác nhau

Bài kiểm tra. Cho ma trận A, B và D. Tìm AB 9D nếu: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Nhân ma trận A 3 và B 3. Kết quả sẽ là C có kích thước 3 3, gồm các phần tử

Bài 13: Phân loại tứ giác trên mặt phẳng Ural đại học liên bang, Viện Toán học và khoa học máy tính, Khoa Đại số và Toán rời rạc Nhận xét giới thiệu Trong ba phần trước

Lớp học. Một lũy thừa với số mũ thực tùy ý và các tính chất của nó. Chức năng nguồn, các tính chất, đồ thị của nó.. Nhắc lại các tính chất của bậc c chỉ số hợp lý. a a a a a cho thời gian tự nhiên

Lớp 8.3, Toán (sách giáo khoa Makarychev) năm học 2016-2017 Chủ đề học phần 5 “ căn bậc hai. Bằng cấp có chỉ số nguyên” Bài kiểm tra kiểm tra phần lý thuyết và thực hành. CHỦ ĐỀ Biết Có thể biết

Khoa Toán cao cấp VSTU-VGASU, PGS.TS. Sedaev A.A. 06 ĐƯỢC SẢN XUẤT?.. từ đầu?.. CHO C H A Y N I K O V?... ĐIỀU NÀY KHÔNG ĐƠN GIẢN Thưa quý độc giả. Nếu bạn gặp nhu cầu tìm

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga Khoa NGHIÊN CỨU QUỐC GIA TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN SỰ TIỂU BANG MOSCOW cơ học ứng dụng và các nhà toán học KHÁC BIỆT THÔNG THƯỜNG

Chủ đề: Sự biến đổi biểu thức lượng giác Xét ODZ trong các phương trình lượng giác Ôn luyện thi Thống nhất (nhiệm vụ 9; ; 8) Định nghĩa: Miền định nghĩa của phương trình f g hoặc miền giá trị chấp nhận được

Mátxcơva viện hàng không(quốc gia trường đại học nghiên cứu) Phòng " Toán cao cấp“Giới hạn hàm số phái sinh nhiều biến Hướng dẫn và các lựa chọn kiểm tra

Chương 4 Giới hạn của hàm số 4 1 KHÁI NIỆM VỀ GIỚI HẠN CỦA Hàm số Chương này tập trung trình bày khái niệm về giới hạn của hàm số. Nó xác định giới hạn của hàm số ở vô cùng và sau đó là giới hạn tại một điểm, giới hạn

Chủ đề 7 Hạng ma trận Cơ sở phụ Định lý về hạng ma trận và các hệ quả của nó Hệ m phương trình tuyến tính chưa ẩn Định lý Kronecker-Capelli Hệ thống cơ bản giải pháp hệ thống đồng nhất tuyến tính

Chủ đề 1-8: Số phức A. Ya. Ovsyannikov Viện Toán học và Khoa học Máy tính Đại học Liên bang Ural Khoa Đại số và Toán rời rạc đại số và hình học cơ học (1 học kỳ)

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHÂN TÍCH TOÁN HỌC Các khái niệm có thể được mô tả nhưng không thể được xác định một cách chặt chẽ, vì bất kỳ nỗ lực nào nhằm đưa ra một định nghĩa chặt chẽ chắc chắn sẽ dẫn đến việc thay thế khái niệm đã được xác định bằng nó

Phương pháp tách biến (phương pháp Fourier) Nguyên tắc chung phương pháp tách biến Đối với phương trình vi phân từng phần đơn giản nhất, việc tách biến là việc tìm nghiệm chỉ có dạng trong t. u(x,t

64 Đại số lớp 7 (5 giờ mỗi tuần, 175 giờ) Thành phần đại số (3 giờ mỗi tuần) 105 giờ và thành phần Hình học (2 giờ mỗi tuần) 70 giờ Đã sử dụng đồ dùng dạy học: 1. Arefieva, I. G. Đại số: sách giáo khoa. trợ cấp

Bộ Giáo dục Liên bang Nga Đại học Dầu khí Quốc gia Nga mang tên IM Gubkin VI Ivanov Hướng dẫn nghiên cứu chủ đề “PHƯƠNG TIỆN KHÁC BIỆT” (dành cho sinh viên)

Bài học thực hành Chủ đề: Hàm Miền định nghĩa và tập giá trị của hàm Mục tiêu: Phát triển kỹ năng tìm miền định nghĩa của hàm và tính các giá trị từng phần của hàm Hoàn thành

GIẢI PHÁP CHO NHIỆM VỤ TÙY CHỌN 0 Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng các giải pháp cho nhiệm vụ chỉ từ một phần được gửi để thử nghiệm.

57(07) D DG Demyanov TÍCH HỢP KHÔNG XÁC ĐỊNH Sổ tay giáo dục và tham khảo Chelyabinsk 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG Tích phân không xác định: Cẩm nang giáo dục và tham khảo / Biên tập bởi SA Ufimtsev Chelyabinsk: Nhà xuất bản

Lớp Phystech 0, 0, nghiệm của vé cos x cosx Giải phương trình = cos x sin x Đáp án x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Giải Có hai trường hợp có thể xảy ra cos x cos x sin x sin x a) cos x 0 Khi đó = = tan x = x =

CÔNG THỨC TRIGONOMETRIC Giải phương trình lượng giác và bất phương trình thành công, chứng minh nhận thức lượng giác và giải pháp cho các vấn đề tính toán phần lớn được xác định bởi kiến ​​thức cơ bản

Bài 14 Số phức. LODU với hệ số không đổi. 14.1 Số phức số phứcđược gọi là biểu thức có dạng z = x+iy, trong đó x R. Có sự tương ứng một-một giữa tập hợp

Câu hỏi: Những số nào được gọi là số tự nhiên? Trả lời Số tự nhiên là số dùng để đếm. Lớp và hạng trong ký hiệu số là gì? Các số được gọi khi cộng là gì? Hình thành một phụ âm

A A KIRSANOV SỐ PHỨC PSKOV BBK 57 K45 Được xuất bản theo quyết định của khoa đại số và hình học, và hội đồng biên tập và xuất bản của PSPI được đặt theo tên của SM Kirov Người phản biện: Medvedeva IN, ứng cử viên vật lý và toán học, phó giáo sư

bài giảng phương trình vi phân-thứ tự (DU-) Chế độ xem chung phương trình vi phân bậc n sẽ được viết: (n) F, = 0 () Phương trình vi phân bậc n (n =) sẽ có dạng F(,) = 0 Phương trình tương tự

PHƯƠNG PHÁP KHÁC Khabarovsk 01 CƠ QUAN GIÁO DỤC LIÊN BANG Cơ quan giáo dục ngân sách nhà nước về giáo dục đại học chuyên nghiệp "Bang Thái Bình Dương

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga Đại học Kiến trúc và Xây dựng bang St. Petersburg V B SMIRNOVA, L E MOROZOVA PHƯƠNG TIỆN KHÁC ĐỊNH THÔNG THƯỜNG Giáo dục

TOÁN, lớp Đáp án và tiêu chí, Tháng 4 Tùy chọn/bài tập TRẢ LỜI B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44,7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( log ;) + n, 8 49 8,7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Điều kiện bài toán 1 Sân khấu thành phố lớp 8 1. Trên bảng viết hai số. Một trong số chúng đã tăng gấp 6 lần và số còn lại giảm vào năm 2015, trong khi tổng các con số không thay đổi. Tìm ít nhất một cặp trong số này

Tích phân bất định Giới thiệu Định nghĩa Hàm F() được gọi là nguyên hàm của một hàm f() nếu F() f(), hoặc tương tự, df f d Chức năng này f() có thể có các nguyên hàm khác nhau,

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow Phương trình vô tỉ và bất đẳng thức Hướng dẫn phương pháp về việc chuẩn bị cho Thế vận hội Biên soạn bởi: Parkevich Egor Vadimovich Moscow 04 Giới thiệu Trong tác phẩm này, chúng ta sẽ xem xét

CƠ SỞ VỀ TÍNH TOÁN Vectơ Một vectơ được gọi là đặc tính định lượng, không chỉ có giá trị số, mà còn cả hướng Đôi khi người ta nói rằng vectơ là hệ vectơ phân đoạn có hướng.

Phương trình hàm mũ. Các phương pháp giải quyết. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Phương trình hàm mũ là phương trình chỉ chứa một biến ở số mũ. Chúng ta hãy xem xét một số loại phương trình hàm mũ,

MAV(S)OU "TsO 1" Toán lớp 1 Bài kiểm tra lượng giác 1, Bảng, kiểm tra, kiểm tra Giáo viên Nemova N.M. Trình độ đầu tiên năm học 15 Ghi chú giải thích. Được cho tài liệu giáo khoa dự định

Nguyên hàm và tích phân bất định Các khái niệm và công thức cơ bản 1. Định nghĩa nguyên hàm và tích phân bất định. Sự định nghĩa. Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng

BÀI THỰC HÀNH Tích phân các phân số hữu tỉ Một phân số hữu tỉ là một phân số có dạng P Q, trong đó P và Q là các đa thức Phân số hữu tỉđược gọi là đúng nếu bậc của đa thức P nhỏ hơn bậc

I. V. Ykovlev Tài liệu về toán học MthUs.ru Bài báo được viết với sự cộng tác của A. G. Malkova Các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Bài viết trước tập trung vào ý chính của việc giải các bài toán lượng giác đơn giản nhất

Chủ đề Tích phân bất định Các phương pháp tích phân cơ bản Tích phân từng phần Cho u và v là hai hàm khả vi của cùng một đối số Biết rằng d(u v) udv vdu (77) Lấy từ cả hai

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga Viện Vật lý và Công nghệ Moscow (Đại học Bang) Trường Đại học Vật lý và Công nghệ TOÁN HỌC phương trình bậc hai Nhiệm vụ của 8

Bài toán một bước với số nguyên (formal) trang 1 09/06/2012 1) Giải bất đẳng thức: x 7 17. 2) Nhân 612 với 100000. 3) Sự khác biệt giữa các số 661 và 752 là gì? 4) So sánh các biểu thức: 54 6 và 7.

BÀI N Phương trình vi phân bậc cao, phương pháp giải Bài toán Cauchy Phương trình vi phân tuyến tính bậc cao hơn Phương trình tuyến tính thuần nhất Phương trình vi phân bậc cao,