Quá trình giải tích phân trong khoa học gọi là toán học được gọi là tích phân. Sử dụng tích hợp chúng ta có thể tìm thấy một số đại lượng vật lý: diện tích, thể tích, khối lượng của vật thể và nhiều hơn nữa.
Tích phân có thể không xác định hoặc xác định. Hãy xem xét dạng tích phân xác định và cố gắng hiểu nó ý nghĩa vật lý. Nó được biểu diễn dưới dạng này: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Tính năng đặc biệt viết tích phân xác định của tích phân không xác định là có giới hạn tích phân của a và b. Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu lý do tại sao chúng cần thiết và ý nghĩa thực sự của chúng. tích phân xác định. TRONG ý nghĩa hình học một tích phân như vậy bằng diện tích một hình được giới hạn bởi đường cong f(x), đường thẳng a và b và trục Ox.
Từ Hình 1, rõ ràng tích phân xác định có cùng diện tích được tô bóng xám. Hãy kiểm tra điều này bằng một ví dụ đơn giản. Chúng ta hãy tìm diện tích của hình trong hình bên dưới bằng cách sử dụng phép tích phân, sau đó tính theo cách thông thường là nhân chiều dài với chiều rộng.
Từ Hình 2, rõ ràng rằng $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Bây giờ chúng ta thay chúng vào định nghĩa của tích phân, chúng ta thu được $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Hãy thực hiện kiểm tra theo cách thông thường. Trong trường hợp của chúng tôi, chiều dài = 3, chiều rộng của hình = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Nếu có thể hãy xem, mọi thứ đều hoàn toàn phù hợp.
Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để giải tích phân không xác định và ý nghĩa của chúng là gì? Giải các tích phân đó là tìm các hàm phản đạo hàm. Quá trình này trái ngược với việc phái sinh. Để tìm nguyên hàm, bạn có thể sử dụng sự trợ giúp của chúng tôi trong việc giải các bài toán trong toán học hoặc bạn cần ghi nhớ độc lập các tính chất của tích phân và bảng tích phân đơn giản nhất hàm cơ bản. Tìm thấy nó như thế này $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ là nguyên hàm của $ f(x), C = const $.
Để giải tích phân, bạn cần lấy tích phân hàm $ f(x) $ trên một biến. Nếu hàm ở dạng bảng thì câu trả lời được viết ở dạng thích hợp. Nếu không, thì quá trình này sẽ đi xuống để có được chức năng bảng từ hàm $ f(x) $ thông qua các phép biến đổi toán học phức tạp. Đối với điều này có nhiều phương pháp khác nhau và các tính chất mà chúng ta sẽ xem xét thêm.
Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy tạo một thuật toán để giải tích phân cho hình nộm?
Thuật toán tính tích phân
- Hãy cùng tìm hiểu tích phân xác định hay không.
- Nếu không xác định được thì bạn cần tìm hàm phản đạo hàm$ F(x) $ từ số nguyên $ f(x) $ sử dụng các phép biến đổi toán học dẫn đến dạng bảng của hàm $ f(x) $.
- Nếu được xác định, thì bạn cần thực hiện bước 2, sau đó thay các giới hạn $ a $ và $ b $ vào hàm nguyên hàm $ F(x) $. Bạn sẽ biết nên sử dụng công thức nào để thực hiện điều này trong bài viết “Công thức Newton-Leibniz”.
Ví dụ về giải pháp
Như vậy, bạn đã học được cách giải tích phân cho người giả, các ví dụ về giải tích phân đã được sắp xếp. Chúng tôi đã học được ý nghĩa vật lý và hình học của chúng. Các phương pháp giải quyết sẽ được mô tả trong các bài viết khác.
Trước đây chúng tôi hàm đã cho, được hướng dẫn bởi công thức khác nhau và các quy tắc, tìm thấy đạo hàm của nó. Đạo hàm có nhiều công dụng: đó là tốc độ chuyển động (hay nói chung hơn là tốc độ của bất kỳ quá trình nào); độ dốc tiếp tuyến với đồ thị của hàm số; bằng cách sử dụng đạo hàm, bạn có thể kiểm tra hàm số về tính đơn điệu và cực trị; nó giúp giải quyết các vấn đề tối ưu hóa.
Nhưng cùng với bài toán tìm vận tốc theo định luật chuyển động đã biết còn có vấn đề nghịch đảo- vấn đề khôi phục quy luật chuyển động từ một tốc độ đã biết. Hãy xem xét một trong những vấn đề này.
Ví dụ 1. Một chất điểm chuyển động thẳng đều thì vận tốc của nó tại thời điểm t được cho bởi công thức v=gt. Tìm định luật chuyển động.
Giải pháp. Đặt s = s(t) là quy luật chuyển động mong muốn. Biết rằng s"(t) = v(t). Nghĩa là để giải bài toán cần chọn hàm số s = s(t), đạo hàm của hàm này bằng gt. Không khó đoán rằng \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Trả lời: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Hãy để chúng tôi lưu ý ngay rằng ví dụ được giải quyết chính xác, nhưng không đầy đủ. Chúng ta có \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Trong thực tế, bài toán có vô số nghiệm: mọi hàm có dạng \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), trong đó C là hằng số tùy ý, có thể đóng vai trò là định luật của chuyển động, vì \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Để làm cho bài toán cụ thể hơn, chúng ta cần khắc phục tình huống ban đầu: chỉ ra tọa độ của một điểm chuyển động tại một thời điểm nào đó, ví dụ tại thời điểm t = 0. Nếu, giả sử, s(0) = s 0, thì từ đẳng thức s(t) = (gt 2)/2 + C ta được: s(0) = 0 + C, tức là C = s 0. Bây giờ định luật chuyển động được xác định duy nhất: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Trong toán học, các phép toán nghịch đảo được gán tên khác nhau, đưa ra các ký hiệu đặc biệt, ví dụ: bình phương (x 2) và lấy căn bậc hai (\(\sqrt(x)\)), sin (sin x) và arcsine (arcsin x), v.v. Quá trình tìm đạo hàm đối với một hàm số đã cho được gọi là sự khác biệt và phép toán nghịch đảo, tức là quá trình tìm hàm từ một đạo hàm đã cho, là hội nhập.
Bản thân thuật ngữ “phái sinh” có thể được chứng minh là “trong đời sống hàng ngày”: hàm y = f(x) “tạo ra” tính năng mới y" = f"(x). Hàm y = f(x) đóng vai trò là “mẹ”, nhưng các nhà toán học, một cách tự nhiên, không gọi nó là “mẹ” hay “nhà sản xuất”; họ nói rằng nó đúng như vậy, liên quan đến hàm y" = f"( x), hình ảnh chính hoặc nguyên thủy.
Sự định nghĩa. Hàm y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm y = f(x) trên khoảng X nếu đẳng thức F"(x) = f(x) đúng với \(x \in X\)
Trong thực tế, khoảng X thường không được xác định cụ thể mà được ngụ ý (như miền tự nhiên của định nghĩa hàm số).
Hãy đưa ra ví dụ.
1) Hàm số y = x 2 là nguyên hàm của hàm số y = 2x, vì với mọi x thì đẳng thức (x 2)" = 2x đều đúng
2) Hàm số y = x 3 là nguyên hàm của hàm số y = 3x 2, vì với mọi x đẳng thức (x 3)" = 3x 2 đều đúng
3) Hàm số y = sin(x) là nguyên hàm của hàm y = cos(x), vì với mọi x đẳng thức (sin(x))" = cos(x) đều đúng
Khi tìm nguyên hàm cũng như đạo hàm, không chỉ sử dụng công thức mà còn sử dụng một số quy tắc. Chúng liên quan trực tiếp đến các quy tắc tương ứng để tính đạo hàm.
Ta biết rằng đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm của nó. Quy tắc này tạo ra quy tắc tương ứng để tìm nguyên hàm.
Quy tắc 1. Nguyên hàm của một tổng bằng tổng của các nguyên hàm.
Chúng tôi biết điều đó yếu tố không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu đạo hàm. Quy tắc này tạo ra quy tắc tương ứng để tìm nguyên hàm.
Quy tắc 2. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x), thì kF(x) là nguyên hàm của kf(x).
Định lý 1. Nếu y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x), thì nguyên hàm của hàm y = f(kx + m) là hàm \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Định lý 2. Nếu y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x) trên khoảng X, thì hàm y = f(x) có vô số nguyên hàm và chúng đều có dạng y = F(x) + C
Phương pháp tích hợp
Phương pháp thay thế biến (phương pháp thay thế)
Phương pháp tích phân bằng cách thay thế liên quan đến việc đưa ra một biến tích hợp mới (nghĩa là thay thế). Trong trường hợp này, tích phân đã cho được rút gọn thành tích phân mới, dạng tích phân dạng bảng hoặc có thể rút gọn về tích phân đó. Phương pháp phổ biến không có sự lựa chọn thay thế. Khả năng xác định chính xác sự thay thế có được thông qua thực hành.
Cần phải tính tích phân \(\textstyle \int F(x)dx \). Hãy thay thế \(x= \varphi(t) \) trong đó \(\varphi(t) \) là một hàm có đạo hàm liên tục.
Khi đó \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) và dựa trên tính chất bất biến của công thức tích phân cho tích phân không xác định, chúng ta thu được công thức tích phân bằng cách thay thế:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Tích hợp các biểu thức có dạng \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Nếu m lẻ, m > 0 thì sẽ thuận tiện hơn khi thay thế sin x = t.
Nếu n lẻ, n > 0 thì sẽ thuận tiện hơn khi thay thế cos x = t.
Nếu n và m chẵn thì việc thay thế tg x = t sẽ thuận tiện hơn.
Tích hợp theo bộ phận
Tích phân từng phần - áp dụng công thức tích phân sau:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
hoặc:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Bảng tích phân bất định (nguyên hàm) của một số hàm số
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Tìm một tích phân bất định (một tập hợp các nguyên hàm hoặc “phản đạo hàm”) có nghĩa là xây dựng lại một hàm số từ đạo hàm đã biết của hàm số này. Tập hợp nguyên hàm được khôi phục F(x) + VỚI cho chức năng f(x) có tính đến hằng số tích phân C. Theo tốc độ di chuyển điểm vật chất(đạo hàm) quy luật vận động của điểm này (phản đạo hàm) có thể được phục hồi; theo gia tốc chuyển động của một điểm - tốc độ của nó và quy luật chuyển động. Như bạn có thể thấy, tích phân là một lĩnh vực rộng lớn cho các hoạt động của Sherlock Holmes trong ngành vật lý. Và trong kinh tế học, nhiều khái niệm được thể hiện thông qua hàm số và đạo hàm của chúng, do đó, chẳng hạn, có thể khôi phục khối lượng sản phẩm sản xuất ra tại thời điểm tương ứng bằng cách sử dụng năng suất lao động tại một thời điểm nhất định (đạo hàm).
Việc tìm tích phân không xác định đòi hỏi một số lượng khá nhỏ các công thức tích phân cơ bản. Nhưng quá trình tìm ra nó khó khăn hơn nhiều so với việc chỉ áp dụng những công thức này. Tất cả sự phức tạp không liên quan đến tích phân, mà liên quan đến việc đưa biểu thức tích phân về dạng giúp có thể tìm tích phân không xác định bằng cách sử dụng các công thức cơ bản được đề cập ở trên. Điều này có nghĩa là để bắt đầu thực hành tích hợp, bạn cần kích hoạt những gì bạn đã học trong trường trung học kỹ năng chuyển đổi biểu hiện.
Chúng ta sẽ học cách tìm tích phân bằng cách sử dụng tính chất và bảng tích phân không xác định từ bài học về các khái niệm cơ bản của chủ đề này (mở trong một cửa sổ mới).
Có nhiều phương pháp để tìm tích phân, trong đó phương pháp thay thế biến Và phương pháp tích phân từng phần- bộ dành cho quý ông bắt buộc dành cho tất cả những người đã vượt qua thành công môn toán cao hơn. Tuy nhiên, sẽ hữu ích và thú vị hơn khi bắt đầu nắm vững phép tích phân bằng phương pháp khai triển, dựa trên hai định lý sau đây về các tính chất của tích phân không xác định mà chúng tôi lặp lại ở đây để thuận tiện.
Định lý 3. Hệ số không đổi trong tích phân có thể được lấy ra khỏi dấu của tích phân không xác định, tức là
Định lý 4. Tích phân không xác định của một tổng đại số số hữu hạn chức năng bằng nhau tổng đại số tích phân không xác định của các hàm này, tức là
(2)
Ngoài ra, quy tắc sau có thể hữu ích trong tích phân: nếu biểu thức của số nguyên chứa một thừa số không đổi thì biểu thức của nguyên hàm được nhân với nghịch đảo của thừa số hằng, đó là
(3)
Vì bài học này là bài học giới thiệu cách giải các bài toán tích phân, điều quan trọng cần lưu ý là hai điều đã giai đoạn đầu, hoặc một lát sau chúng có thể làm bạn ngạc nhiên. Điều đáng ngạc nhiên là vì tích phân là phép toán nghịch đảo của vi phân và tích phân bất định có thể được gọi một cách đúng đắn là “phản đạo hàm”.
Điều đầu tiên bạn không nên ngạc nhiên khi tích hợp. Trong bảng tích phân có những công thức không có sự tương tự giữa các công thức trong bảng đạo hàm . Cái này công thức sau:
Tuy nhiên, bạn có thể đảm bảo rằng đạo hàm của các biểu thức ở vế phải của các công thức này trùng với các tích phân tương ứng.
Điều thứ hai không có gì đáng ngạc nhiên khi tích hợp. Mặc dù đạo hàm của bất kỳ hàm cơ bản nào cũng là một hàm cơ bản, Tích phân bất định của một số hàm cơ bản không còn là hàm cơ bản . Ví dụ về các tích phân như vậy có thể là như sau:
Để phát triển các kỹ thuật tích phân, các kỹ năng sau sẽ hữu ích: rút gọn phân số, chia đa thức ở tử số của một phân số cho một đơn thức ở mẫu số (để lấy tổng của các tích phân không xác định), chuyển căn thức thành lũy thừa, nhân một đơn thức với một đa thức, nâng lên lũy thừa. Những kỹ năng này cần thiết cho các phép biến đổi của tích phân, dẫn đến tổng của các tích phân có trong bảng tích phân.
Tìm các tích phân không xác định cùng nhau
Ví dụ 1. Tìm tích phân không xác định
.
Giải pháp. Chúng ta thấy trong mẫu số của tích phân một đa thức trong đó x bình phương. Đây là một dấu hiệu gần như chắc chắn rằng bạn có thể áp dụng tích phân bảng 21 (với kết quả là arctang). Chúng ta lấy thừa số hai ra khỏi mẫu số (có một tính chất như vậy của tích phân - hệ số không đổi có thể được lấy ra ngoài dấu của tích phân; nó đã được đề cập ở trên như Định lý 3). Kết quả của tất cả điều này:
Bây giờ mẫu số là tổng bình phương, có nghĩa là chúng ta có thể áp dụng tích phân bảng đã đề cập. Cuối cùng chúng ta nhận được câu trả lời:
.
Ví dụ 2. Tìm tích phân không xác định
Giải pháp. Chúng ta lại áp dụng Định lý 3 - tính chất của tích phân, trên cơ sở đó hệ số không đổi có thể được rút ra khỏi dấu của tích phân:
Chúng ta áp dụng công thức 7 từ bảng tích phân (biến lũy thừa) cho hàm tích phân:
.
Chúng tôi giảm các phân số kết quả và chúng tôi có câu trả lời cuối cùng:
Ví dụ 3. Tìm tích phân không xác định
Giải pháp. Áp dụng Định lý 4 đầu tiên và sau đó là Định lý 3 cho các tính chất, chúng ta tìm thấy tích phân này là tổng của ba tích phân:
Cả ba tích phân thu được đều ở dạng bảng. Chúng ta sử dụng công thức (7) từ bảng tích phân cho N = 1/2, N= 2 và N= 1/5, và sau đó
kết hợp cả ba hằng số tùy ý đã được đưa vào khi tìm ba tích phân. Do đó, trong các tình huống tương tự, chỉ nên đưa ra một hằng số tích phân tùy ý.
Ví dụ 4. Tìm tích phân không xác định
Giải pháp. Khi mẫu số của số nguyên chứa đơn thức, chúng ta có thể chia tử số cho số hạng mẫu số cho số hạng. Tích phân ban đầu chuyển thành tổng của hai tích phân:
.
Để áp dụng tích phân bảng, chúng ta biến đổi căn nguyên thành lũy thừa và đây là câu trả lời cuối cùng:
Chúng ta tiếp tục tìm các tích phân không xác định cùng nhau
Ví dụ 7. Tìm tích phân không xác định
Giải pháp. Nếu chúng ta biến đổi tích phân bằng cách bình phương nhị thức và chia tử số cho số hạng mẫu số cho số hạng thì tích phân ban đầu sẽ trở thành tổng của ba tích phân.
Trình bày các phương pháp tính tích phân không xác định. Các phương pháp tích phân chính được xem xét, bao gồm tích phân tổng và hiệu, đặt hằng số bên ngoài dấu tích phân, thay thế một biến và tích phân từng phần. Cũng được xem xét phương pháp đặc biệt và các kỹ thuật tích phân phân số, căn bậc ba, lượng giác và hàm số mũ.
Nguyên hàm và tích phân không xác định
Nguyên hàm F(x) của hàm f(x) là một hàm có đạo hàm bằng f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Ở đâu Δ
- khoảng thời gian thực hiện phương trình đã cho.
Tập hợp tất cả các nguyên hàm được gọi là tích phân bất định:
,
trong đó C là hằng số độc lập với biến x.
Các công thức và phương pháp tích phân cơ bản
Bảng tích phân
Mục tiêu cuối cùng tính tích phân không xác định - bằng các phép biến đổi, biến tích phân đã cho thành biểu thức chứa tích phân dạng bảng hoặc tích phân đơn giản nhất.
Xem bảng tích phân >>>
Quy tắc tích phân tổng (vi phân)
Di chuyển hằng số ra ngoài dấu tích phân
Cho c là một hằng số độc lập với x.
Sau đó, nó có thể được đưa ra khỏi dấu tích phân:
Thay thế biến
.
Cho x là hàm của biến t, x = φ(t), khi đó
.
Hoặc ngược lại, t = φ(x) ,
Bằng cách thay đổi biến, bạn không chỉ có thể tính các tích phân đơn giản mà còn đơn giản hóa việc tính các tích phân phức tạp hơn.
Quy tắc tích hợp theo bộ phận
Tích hợp các phân số (hàm số hữu tỷ)
Hãy giới thiệu ký hiệu. Cho P k(x), Q m(x), R n(x) lần lượt biểu thị các đa thức bậc k, m, n đối với biến x. Chúng ta hãy xem xét một tích phân bao gồm một phần của đa thức (được gọi là):
hàm hợp lý
.
Nếu k ≥ n thì trước tiên bạn cần chọn toàn bộ phần của phân số:
Tích phân của đa thức S k-n (x) được tính bằng bảng tích phân.
Tích phân còn lại:< n
.
, tôi ở đâu
Để tính toán nó, số nguyên phải được phân tách thành các phân số đơn giản.
Để làm điều này, bạn cần tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Sử dụng các nghiệm thu được, bạn cần biểu diễn mẫu số dưới dạng tích của các thừa số:
Q n(x) = s(x-a) n a(x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Ở đây s là hệ số của x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....
Sau đó, chia phân số thành dạng đơn giản nhất:
Tích hợp, chúng ta có được một biểu thức bao gồm nhiều hơn tích phân đơn giản.
Tích phân có dạng
được rút gọn thành thay thế dạng bảng t = x - a.
Xét tích phân:
Hãy biến đổi tử số:
.
Thay thế vào tích phân, chúng ta thu được biểu thức bao gồm hai tích phân:
,
.
Cái đầu tiên, bằng cách thay thế t = x 2 + ex + f, được rút gọn thành dạng bảng.
Thứ hai, theo công thức rút gọn:
được rút gọn về tích phân
Hãy giảm mẫu số của nó thành tổng bình phương:
.
Khi đó bằng cách thay thế, tích phân
cũng được lập bảng.
Tích hợp các chức năng vô tỷ
Hãy giới thiệu ký hiệu. Gọi R(u 1, u 2, ..., u n) là hàm số hữu tỷ của các biến u 1, u 2, ..., u n.
,
Đó là
trong đó P, Q là các đa thức trong các biến u 1, u 2, ..., u n.
Sự bất hợp lý tuyến tính phân số
,
Xét tích phân có dạng: Ở đâu - số hữu tỉ
, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - số nguyên. Hãy để n - mẫu số chung
các số r 1, ..., r s.
.
Khi đó tích phân được rút gọn thành tích phân của các hàm hữu tỉ bằng cách thay thế:
Xét tích phân:
,
Tích phân từ nhị thức vi phân trong đó m, n, p là các số hữu tỉ, a, b -.
số thực
Những tích phân như vậy quy về tích phân của các hàm hữu tỷ trong ba trường hợp.
1) Nếu p là số nguyên. Thay x = t N, trong đó N là mẫu số chung của phân số m và n.
2) Nếu - một số nguyên. Thay thế a x n + b = t M, trong đó M là mẫu số của số p.
3) Nếu - một số nguyên. Thay thế a + b x - n = t M, trong đó M là mẫu số của số p.
Nếu không có số nào trong ba số là số nguyên thì theo định lý Chebyshev, tích phân loại này không thể biểu diễn bằng tổ hợp hữu hạn của các hàm cơ bản.
;
.
Trong một số trường hợp, trước tiên việc giảm tích phân thành các giá trị m và p thuận tiện hơn là điều hữu ích đầu tiên.
Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các công thức rút gọn:
,
Tích phân chứa căn bậc hai của tam thức vuông
Ở đây ta xét tích phân có dạng:
Sự thay thế Euler
Những tích phân như vậy có thể quy về tích phân của các hàm hữu tỷ của một trong ba phép thế Euler:
, với a > 0; , với c > 0 ;.
, trong đó x 1 là nghiệm của phương trình a x 2 + b x + c = 0.
Nếu phương trình này có
Trong hầu hết các trường hợp, phép thế Euler dẫn đến tính toán lâu hơn so với phương pháp trực tiếp. Sử dụng phương pháp trực tiếp, tích phân được rút gọn về một trong các dạng liệt kê dưới đây.
Loại I
Tích phân có dạng:
,
trong đó Pn(x) là đa thức bậc n.
Các tích phân như vậy được tìm bằng phương pháp hệ số không chắc chắn, sử dụng danh tính:
Vi phân phương trình này và đánh đồng vế trái và vế phải, ta tìm được hệ số A i.
Loại II
Tích phân có dạng:
,
trong đó P m(x) là đa thức bậc m.
Thay thế t = (x - α) -1 tích phân này được rút gọn về loại trước đó. Nếu m ≥ n thì phân số phải có phần nguyên.
loại III
Loại thứ ba và phức tạp nhất:
.
Ở đây bạn cần thực hiện thay thế:
.
Khi đó tích phân sẽ có dạng:
.
Tiếp theo, các hằng số α, β phải được chọn sao cho các hệ số của t bằng 0:
B = 0, B 1 = 0.
Khi đó tích phân phân hủy thành tổng của tích phân hai loại:
;
,
được tích hợp tương ứng bằng cách thay thế:
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .
Trường hợp chung
Tích hợp các hàm siêu việt (lượng giác và hàm mũ)
Chúng ta hãy lưu ý trước rằng những phương pháp có thể áp dụng cho hàm lượng giác, cũng áp dụng cho hàm hyperbol. Vì lý do này, chúng ta sẽ không xem xét việc tích hợp các hàm hyperbol một cách riêng biệt.
Tích phân các hàm lượng giác hữu tỉ của cos x và sin x
Xét tích phân của các hàm lượng giác có dạng:
,
trong đó R là hàm hữu tỷ. Điều này cũng có thể bao gồm tiếp tuyến và cotang, cần được chuyển đổi bằng sin và cos.
Khi tích hợp các chức năng như vậy, sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ ba quy tắc:
1) nếu R( cos x, sin x) nhân với -1 từ sự thay đổi dấu trước một trong các đại lượng vì x hoặc tội lỗi x, thì sẽ rất hữu ích khi biểu thị phần còn lại bằng t.
2) nếu R( cos x, sin x) không thay đổi do đổi dấu tại thời điểm trước đó vì x Và tội lỗi x, thì sẽ rất hữu ích nếu đặt tg x = t hoặc cái nôi x = t.
3) sự thay thế trong mọi trường hợp dẫn đến tích phân của phần hợp lý. Thật không may, sự thay thế này dẫn đến việc tính toán lâu hơn những lần trước, nếu có.
Tích các hàm lũy thừa của cos x và sin x
Sự bất hợp lý tuyến tính phân số
Nếu m và n là số hữu tỉ thì một trong các phép thế t = tội lỗi x hoặc t = vì x tích phân được rút gọn thành tích phân của nhị thức vi phân.
Nếu m và n là số nguyên thì tích phân được tính bằng tích phân từng phần. Điều này tạo ra các công thức rút gọn sau:
;
;
;
.
Tích hợp theo bộ phận
Ứng dụng công thức Euler
Nếu tích phân là tuyến tính đối với một trong các hàm
vì rìu hoặc sinax, thì sẽ thuận tiện khi áp dụng công thức Euler:
e iax = cos rìu + isin rìu(trong đó tôi 2 = - 1
),
thay thế chức năng này bằng và iax và làm nổi bật cái thật (khi thay thế vì rìu) hoặc phần ảo (khi thay thế sinax) từ kết quả thu được.
Văn học đã qua sử dụng:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Tuyển tập các bài toán trên toán cao hơn, “Lan”, 2003.
Giải tích phân - nhiệm vụ dễ dàng, nhưng chỉ dành cho một số ít được chọn. Bài viết này dành cho những ai muốn tìm hiểu về tích phân nhưng chưa biết hoặc gần như không biết gì về chúng. Tích hợp... Tại sao lại cần thiết? Làm thế nào để tính toán nó? Điều gì là chắc chắn và tích phân không xác định S? Nếu cách sử dụng duy nhất mà bạn biết đối với tích phân là sử dụng móc móc có hình dạng giống như biểu tượng tích phân để lấy thứ gì đó hữu ích ở những nơi khó tiếp cận, thì xin chào mừng bạn! Tìm hiểu cách giải tích phân và tại sao bạn không thể làm được nếu không có nó.
Chúng ta nghiên cứu khái niệm “tích phân”
Tích hợp đã được biết đến vào năm Ai Cập cổ đại. Tất nhiên là không có trong hình thức hiện đại, nhưng vẫn vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã viết nhiều sách về chủ đề này. Đặc biệt là họ nổi bật Newton Và Leibniz , nhưng bản chất của sự vật vẫn không thay đổi. Làm thế nào để hiểu tích phân từ đầu? Không đời nào! Để hiểu chủ đề này bạn vẫn cần kiến thức cơ bảnđiều cơ bản phân tích toán học. Đây là thông tin cơ bản mà bạn sẽ tìm thấy trên blog của chúng tôi.
Tích phân không xác định
Hãy để chúng tôi có một số chức năng f(x) .
Hàm tích phân không xác định f(x) chức năng này được gọi là F(x) , đạo hàm của nó bằng hàm f(x) .
Nói cách khác, tích phân là đạo hàm ngược hoặc nguyên hàm. Nhân tiện, hãy đọc về cách thực hiện trong bài viết của chúng tôi.
Nguyên hàm tồn tại cho tất cả mọi người hàm liên tục. Ngoài ra, một dấu hằng số thường được thêm vào nguyên hàm, vì đạo hàm của các hàm khác nhau một hằng số trùng nhau. Quá trình tìm tích phân được gọi là tích phân.
Ví dụ đơn giản:
Để không phải liên tục tính toán nguyên hàm của các hàm cơ bản, nên đặt chúng vào bảng và sử dụng các giá trị có sẵn:
tích phân xác định
Khi xử lý khái niệm tích phân, chúng ta đang xử lý các đại lượng vô cùng nhỏ. Tích phân sẽ giúp tính diện tích hình, khối lượng của vật không đồng nhất, quãng đường đi được tại chuyển động không đều con đường và nhiều hơn nữa. Cần nhớ rằng tích phân là một tổng vô hạn số lượng lớn thuật ngữ vô cùng nhỏ.
Ví dụ, hãy tưởng tượng một đồ thị của một số hàm. Cách tìm diện tích của một hình, bị giới hạn bởi lịch trình chức năng?
Sử dụng tích phân! Hãy phá vỡ nó hình thang cong, bị giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số, thành các đoạn nhỏ vô hạn. Bằng cách này, hình sẽ được chia thành các cột mỏng. Tổng diện tích các cột sẽ là diện tích hình thang. Nhưng hãy nhớ rằng việc tính toán như vậy sẽ cho kết quả gần đúng. Tuy nhiên, các đoạn càng nhỏ và hẹp thì phép tính càng chính xác. Nếu chúng ta giảm chúng đến mức độ dài có xu hướng bằng 0, thì tổng diện tích của các đoạn sẽ có xu hướng bằng diện tích của hình. Đây là một tích phân xác định, được viết như sau:
Điểm a và b được gọi là giới hạn tích phân.
Bari Alibasov và nhóm "Tích hợp"
Nhân tiện! Đối với độc giả của chúng tôi hiện có giảm giá 10% cho
Quy tắc tính tích phân cho người giả
Tính chất của tích phân không xác định
Làm thế nào để giải quyết tích phân không xác định? Ở đây chúng ta sẽ xem xét các tính chất của tích phân không xác định, sẽ hữu ích khi giải các ví dụ.
- Đạo hàm của tích phân bằng tích phân:
- Hằng số có thể được rút ra từ dấu tích phân:
- Tích phân của tổng bằng tổng tích phân. Điều này cũng đúng với sự khác biệt:
Tính chất của tích phân xác định
- tuyến tính:
- Dấu của tích phân thay đổi nếu đổi chỗ các giới hạn tích phân:
- Tại bất kìđiểm Một, b Và Với:
Chúng ta đã biết rằng tích phân xác định là giới hạn của một tổng. Nhưng làm thế nào để có được ý nghĩa cụ thể khi giải một ví dụ? Đối với điều này có công thức Newton-Leibniz:
Ví dụ về giải tích phân
Dưới đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về việc tìm tích phân không xác định. Chúng tôi mời bạn tự mình tìm ra những điểm phức tạp của giải pháp và nếu có điều gì chưa rõ ràng, hãy đặt câu hỏi trong phần bình luận.
Để củng cố tài liệu, hãy xem video về cách giải tích phân trong thực tế. Đừng thất vọng nếu tích phân không được đưa ra ngay lập tức. Hãy hỏi và họ sẽ cho bạn biết mọi thứ họ biết về cách tính tích phân. Với sự giúp đỡ của chúng tôi, bất kỳ gấp ba hoặc tích phân đường trên một bề mặt khép kín, bạn sẽ có thể làm được điều đó.