Nhân vật, bị giới hạn bởi lịch trình Hàm không âm liên tục $f(x)$ trên đoạn $$ và các đường thẳng $y=0, \ x=a$ và $x=b$ được gọi là hình thang cong.
Diện tích tương ứng hình thang congđược tính theo công thức:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Chúng ta sẽ chia bài toán có điều kiện để tìm diện tích hình thang cong thành các loại $4$. Chúng ta hãy xem xét từng loại chi tiết hơn.
Loại I: hình thang cong được xác định rõ ràng. Sau đó áp dụng ngay công thức (*).
Ví dụ: tìm diện tích của một hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị của hàm $y=4-(x-2)^(2)$ và các đường $y=0, \ x=1$ và $x =3$.
Hãy vẽ hình thang cong này.
Sử dụng công thức (*), chúng ta tìm được diện tích của hình thang cong này.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (đơn vị$^(2)$).
Loại II: hình thang cong được xác định ngầm. Trong trường hợp này, các đường thẳng $x=a, \ x=b$ thường không được chỉ định hoặc chỉ định một phần. Trong trường hợp này, bạn cần tìm giao điểm của các hàm $y=f(x)$ và $y=0$. Những điểm này sẽ là điểm $a$ và $b$.
Ví dụ: tìm diện tích của một hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm $y=1-x^(2)$ và $y=0$.
Hãy tìm các giao điểm. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng vế phải của hàm số.
Do đó, $a=-1$ và $b=1$. Hãy vẽ hình thang cong này.
Hãy tìm diện tích của hình thang cong này.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (đơn vị$^(2)$).
Loại III: diện tích của hình bị giới hạn bởi giao điểm của hai hàm không âm liên tục. Hình này sẽ không phải là hình thang cong, nghĩa là bạn không thể tính diện tích của nó bằng công thức (*). Làm thế nào điều này có thể được? Hóa ra diện tích của hình này có thể được tìm thấy là sự khác biệt giữa diện tích của các hình thang cong được giới hạn bởi hàm trên và $y=0$ ($S_(uf)$), và hàm dưới và $y =0$ ($S_(lf)$), trong đó vai trò của $x=a, \ x=b$ được thực hiện bởi tọa độ $x$ của các điểm giao nhau của các hàm này, tức là.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Điều quan trọng nhất khi tính toán những diện tích như vậy là không được “bỏ lỡ” việc lựa chọn hàm trên và hàm dưới.
Ví dụ: tìm diện tích của một hình được giới hạn bởi các hàm $y=x^(2)$ và $y=x+6$.
Hãy tìm giao điểm của các đồ thị này:
Theo định lý Vieta thì
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Nghĩa là, $a=-2,\b=3$. Hãy vẽ một hình:
Do đó, hàm trên là $y=x+6$, và hàm dưới là $y=x^(2)$. Tiếp theo, chúng ta tìm $S_(uf)$ và $S_(lf)$ bằng công thức (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 0,5$ (đơn vị$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (đơn vị$^(2)$).
Hãy thay thế những gì chúng tôi tìm thấy vào (**) và nhận được:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (đơn vị$^(2)$).
Loại IV: diện tích hình, chức năng giới hạn(s) không thỏa mãn điều kiện không âm.Để tìm diện tích của hình như vậy, bạn cần đối xứng qua trục $Ox$ ( nói cách khác,đặt “điểm trừ” trước các chức năng) hiển thị diện tích và sử dụng các phương pháp nêu ở loại I – III để tìm diện tích của khu vực hiển thị. Khu vực này sẽ là khu vực cần thiết. Đầu tiên, bạn có thể phải tìm các giao điểm của đồ thị hàm số.
Ví dụ: tìm diện tích của một hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm $y=x^(2)-1$ và $y=0$.
Hãy tìm giao điểm của đồ thị hàm số:
những thứ kia. $a=-1$, và $b=1$. Hãy vẽ diện tích.
Hãy hiển thị diện tích một cách đối xứng:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Kết quả là một hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị của hàm $y=1-x^(2)$ và $y=0$. Đây là bài toán tìm hình thang cong loại thứ hai. Chúng tôi đã giải quyết nó rồi. Câu trả lời là: $S= 1\frac(1)(3)$ (đơn vị $^(2)$). Điều này có nghĩa là diện tích của hình thang cong cần thiết bằng:
$S=1\frac(1)(3)$ (đơn vị$^(2)$).
Cần tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng, 
,
và đường cong 
.
Hãy chia đoạn 
dotmina 
đoạn cơ bản, độ dài 
đoạn thứ 
. Hãy khôi phục các đường vuông góc từ các điểm phân chia của đoạn đến giao điểm với đường cong 
, cho phép 
. Kết quả là chúng tôi nhận được 
hình thang cơ bản, tổng diện tích của chúng rõ ràng bằng tổng của một hình thang cong đã cho.
Chúng ta hãy xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên mỗi khoảng cơ bản ở khoảng đầu tiên; 
, vào ngày thứ hai 
và vân vân. Hãy tính số tiền
Tổng đầu tiên biểu thị diện tích của tất cả các mô tả, tổng thứ hai là diện tích của tất cả các hình chữ nhật được ghi trong một hình thang cong.
Rõ ràng là tổng đầu tiên cho giá trị gần đúng của diện tích hình thang “thừa”, tổng thứ hai - “thiếu”. Tổng đầu tiên được gọi là tổng Darboux trên, tổng thứ hai – tương ứng là tổng Darboux dưới. Vậy diện tích hình thang cong là 
thỏa mãn bất đẳng thức 
. Chúng ta hãy tìm hiểu xem tổng Darboux hoạt động như thế nào khi số điểm phân vùng của đoạn tăng lên 
. Đặt số lượng điểm phân vùng tăng thêm một và đặt nó ở giữa khoảng 
.
Bây giờ con số giống như 
hình chữ nhật nội tiếp và ngoại tiếp tăng thêm một. Chúng ta hãy xem xét tổng Darboux thấp hơn đã thay đổi như thế nào. Thay vì hình vuông 
thứ hình chữ nhật nội tiếp, bằng 
ta được tổng diện tích của hai hình chữ nhật 
, vì chiều dài 
không thể ít hơn 
giá trị nhỏ nhất của hàm số tại 
. Ở phía bên kia, 
, bởi vì 
không thể có nhiều hơn 
giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng . Vì vậy, việc thêm các điểm mới để phân chia một đoạn sẽ làm tăng giá trị của tổng Darboux dưới và giảm tổng Darboux trên. Trong trường hợp này, tổng Darboux thấp hơn, với bất kỳ sự gia tăng nào về số lượng điểm phân vùng, không thể vượt quá giá trị của bất kỳ tổng trên nào, vì tổng diện tích của các hình chữ nhật được mô tả luôn bằng nhiều hơn số tiền
diện tích các hình chữ nhật nội tiếp trong một hình thang cong.
Do đó, chuỗi tổng Darboux thấp hơn tăng theo số điểm phân vùng của đoạn và bị chặn từ trên xuống theo định lý nổi tiếng, nó có giới hạn. Giới hạn này là diện tích của một hình thang cong cho trước.
Tương tự, chuỗi các tổng Darboux trên giảm khi số lượng điểm phân chia của khoảng tăng dần và bị giới hạn từ bên dưới bởi bất kỳ tổng Darboux nào thấp hơn, nghĩa là nó cũng có giới hạn và nó cũng bằng diện tích của đường cong hình thang. 
Vì vậy, để tính diện tích hình thang cong chỉ cần 
các phân vùng của khoảng, xác định tổng Darboux dưới hoặc trên, sau đó tính toán 
.
, hoặc Tuy nhiên, giải pháp như vậy cho vấn đề giả định trước bất kỳ, tùy ý số lượng lớn 
phân vùng
, tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm trên mỗi khoảng cơ bản, đây là một công việc tốn rất nhiều công sức.
Một giải pháp đơn giản hơn thu được bằng cách sử dụng tổng tích phân Riemann, đó là 
một số điểm của mỗi khoảng cơ bản, đó là 
. Do đó, tổng tích phân Riemann là tổng diện tích của tất cả các hình chữ nhật có thể có, và 
. Như đã trình bày ở trên, giới hạn của tổng Darboux trên và dưới bằng nhau và bằng diện tích của hình thang cong. Sử dụng một trong các tính chất của giới hạn của hàm (quy tắc hai cảnh sát), chúng ta thu được điều đó cho bất kỳ phân vùng nào của phân đoạn 
và chọn điểm 
Diện tích của hình thang cong có thể được tính bằng công thức 
.
Trở lại Tiến lên
Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm công việc này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.
Từ khóa: tích phân, hình thang cong, diện tích các hình được giới hạn bởi hoa huệ
Thiết bị: bảng viết, máy tính, máy chiếu đa phương tiện
Loại bài học: bài giảng
Mục tiêu bài học:
- giáo dục:định hình văn hóa lao động trí óc, tạo hoàn cảnh thành công cho mỗi học sinh, tạo động lực học tập tích cực; phát triển khả năng nói và lắng nghe người khác.
- đang phát triển: hình thành tư duy độc lập của học sinh trong việc vận dụng kiến thức vào tình huống khác nhau, khả năng phân tích và rút ra kết luận, sự phát triển của logic, phát triển khả năng đặt câu hỏi một cách chính xác và tìm câu trả lời cho chúng. Nâng cao việc hình thành kỹ năng tính toán, tính toán, phát triển tư duy của học sinh trong quá trình hoàn thành nhiệm vụ đề ra, phát triển văn hóa thuật toán.
- giáo dục: xây dựng khái niệm về hình thang cong, tích phân, nắm vững kỹ năng tính diện tích hình phẳng
Phương pháp giảng dạy: giải thích và minh họa.
Tiến độ bài học
Ở các lớp trước chúng ta đã học cách tính diện tích các hình có ranh giới là các đường đứt nét. Trong toán học, có những phương pháp cho phép bạn tính diện tích các hình được giới hạn bởi các đường cong. Những hình như vậy được gọi là hình thang cong và diện tích của chúng được tính bằng cách sử dụng nguyên hàm.
Đường cong hình thang ( trượt 1)
Hình thang cong là hình được giới hạn bởi đồ thị của hàm số, ( sh.m.), thẳng x = một Và x = b và trục x
Các loại hình thang cong ( trượt 2)
Chúng tôi đang xem xét nhiều loạiđường cong hình thang và chú ý: một trong các đường thẳng suy biến thành một điểm, đường thẳng đóng vai trò làm hàm giới hạn
Diện tích hình thang cong (slide 3)
Chúng ta hãy sửa đầu bên trái của khoảng MỘT, và cái đúng X chúng ta sẽ thay đổi, tức là chúng ta di chuyển bức tường bên phải của hình thang cong và thu được một hình thay đổi. Diện tích của một hình thang có đường cong thay đổi giới hạn bởi đồ thị của hàm số là nguyên hàm F cho chức năng f
Và trên đoạn [ Một; b] diện tích của hình thang cong được hình thành bởi hàm f, bằng với mức tăng của nguyên hàm của hàm số này:
Nhiệm vụ 1:
Tìm diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số: f(x) = x 2 và thẳng y = 0, x = 1, x = 2.
Giải pháp: ( theo thuật toán slide 3)
Hãy vẽ đồ thị của hàm số và đường thẳng
Chúng ta hãy tìm một trong hàm phản đạo hàm f(x) = x 2 :
Trượt tự kiểm tra
tích phân
Xét một hình thang cong được xác định bởi hàm f trên đoạn [ Một; b]. Hãy chia đoạn này thành nhiều phần. Diện tích của toàn bộ hình thang sẽ được chia thành tổng diện tích của các hình thang cong nhỏ hơn. ( trang trình bày 5). Mỗi hình thang như vậy có thể được coi là một hình chữ nhật. Tổng diện tích của các hình chữ nhật này cho một ý tưởng gần đúng về toàn bộ diện tích của hình thang cong. Chúng ta chia đoạn càng nhỏ [ Một; b] thì chúng ta tính diện tích càng chính xác.
Chúng ta hãy viết những lập luận này dưới dạng công thức.
Chia đoạn [ Một; b] thành n phần theo dấu chấm x 0 = a, x1,…, xn = b. Chiều dài k- th biểu thị bằng xk = xk – xk-1. Hãy tính một khoản
Về mặt hình học, tổng này biểu thị diện tích của hình được tô bóng trong hình ( sh.m.)
Tổng có dạng được gọi là tổng nguyên của hàm f. (sh.m.)
Tổng tích phân cho giá trị gần đúng của diện tích. Giá trị chính xác thu được bằng cách đi đến giới hạn. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang tinh chỉnh phân vùng của phân đoạn [ Một; b] sao cho độ dài của tất cả các đoạn nhỏ có xu hướng bằng không. Khi đó diện tích của hình tạo thành sẽ tiếp cận diện tích của hình thang cong. Chúng ta có thể nói rằng diện tích của hình thang cong bằng giới hạn của tổng tích phân, Sc.t. (sh.m.) hoặc tích phân, tức là
Sự định nghĩa:
Tích phân của một hàm f(x) từ MộtĐẾN b gọi là giới hạn của tổng tích phân
= (sh.m.)
Công thức Newton-Leibniz.
Chúng ta nhớ rằng giới hạn của tổng tích phân bằng diện tích của hình thang cong, nghĩa là chúng ta có thể viết:
Sc.t. = (sh.m.)
Mặt khác, diện tích hình thang cong được tính theo công thức
S k.t. (sh.m.)
So sánh các công thức này, chúng ta nhận được:
= (sh.m.)Sự đẳng thức này được gọi là công thức Newton-Leibniz.
Để dễ tính toán, công thức được viết dưới dạng:
= = (sh.m.)Nhiệm vụ: (sh.m.)
1. Tính tích phân bằng công thức Newton-Leibniz: ( kiểm tra slide 5)
2. Soạn tích phân theo hình vẽ ( kiểm tra slide 6)
3. Tìm diện tích của hình, giới hạn bởi dòng: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Trang trình bày 7)
Tìm diện tích của các hình phẳng ( trượt 8)
Làm thế nào để tìm diện tích của các hình không phải là hình thang cong?
Cho hai hàm, đồ thị mà bạn nhìn thấy trên slide . (sh.m.) Tìm diện tích của hình được tô bóng . (sh.m.). Hình đang xét có phải là hình thang cong không? Làm thế nào bạn có thể tìm thấy diện tích của nó bằng cách sử dụng tính chất cộng diện tích? Hãy xem xét hai hình thang cong và trừ diện tích của hình kia khỏi diện tích của một trong số chúng ( sh.m.)
Hãy tạo một thuật toán tìm khu vực bằng cách sử dụng hoạt ảnh trên một slide:
- Hàm đồ thị
- Chiếu các điểm giao nhau của đồ thị lên trục x
- Tô màu hình thu được khi các đồ thị giao nhau
- Tìm các hình thang cong có giao điểm hoặc giao điểm là hình đã cho.
- Tính diện tích của mỗi người trong số họ
- Tìm hiệu hoặc tổng diện tích
Bài tập miệng: Cách tính diện tích của một hình được tô bóng (kể bằng hình ảnh động, trang 8 và 9)
bài tập về nhà: Hãy đọc qua các ghi chú, Số 353 (a), Số 364 (a).
Tài liệu tham khảo
- Đại số và sự khởi đầu của phân tích: sách giáo khoa cho lớp 9-11 của trường (ca) buổi tối / ed. G.D. Glaser. - M: Khai sáng, 1983.
- Bashmak M.I. Đại số và sự khởi đầu của phân tích: sách giáo khoa lớp 10-11 trung học cơ sở / Bashmkov M.I. - M: Khai sáng, 1991.
- Bashmak M.I. Toán học: Sách giáo khoa dành cho người mới bắt đầu học. và thứ Tư giáo sư giáo dục / M.I. Bashmak. - M: Học viện, 2010.
- Kolmogorov A.N. Đại số và khởi đầu phân tích: sách giáo khoa lớp 10-11. tổ chức giáo dục / A.N. - M: Giáo dục, 2010.
- Ostrovsky S.L. Làm thế nào để trình bày một bài học?/ S.L. Ostrovsky. – M.: ngày 01 tháng 9 năm 2010.
Ví dụ 1 . Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 và x = 2
Hãy dựng một hình (xem hình) Ta dựng đường thẳng x + 2y – 4 = 0 sử dụng hai điểm A(4;0) và B(0;2). Biểu diễn y qua x, ta được y = -0,5x + 2. Sử dụng công thức (1), trong đó f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, ta tìm được
S = = [-0,25=11,25 dặm vuông. đơn vị
Ví dụ 2. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 và y = 0.
Giải pháp. Hãy xây dựng hình.
Vẽ đường thẳng x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Vẽ đường thẳng x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Hãy tìm giao điểm của các đường thẳng bằng cách giải hệ phương trình:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Để tính diện tích cần tìm, ta chia tam giác AMC thành hai tam giác AMN và NMC, vì khi x thay đổi từ A thành N thì diện tích bị giới hạn bởi một đường thẳng và khi x thay đổi từ N thành C - bởi một đường thẳng
Cho tam giác AMN ta có: ; y = 0,5x + 2, tức là f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
Đối với tam giác NMC ta có: y = - x + 5, tức là f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Bằng cách tính diện tích mỗi tam giác và cộng kết quả, chúng ta thấy:
vuông. đơn vị
vuông. đơn vị
9 + 4, 5 = 13,5 mét vuông đơn vị Kiểm tra: = 0,5AC = 0,5 mét vuông. đơn vị
Ví dụ 3. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
TRONG trong trường hợp này bạn cần tính diện tích hình thang cong, bị giới hạn bởi một parabol y = x 2 , các đường thẳng x = 2 và x = 3 và trục Ox (xem hình) Áp dụng công thức (1) ta tìm được diện tích hình thang cong
= = 6 mét vuông. đơn vị
Ví dụ 4. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng: y = - x 2 + 4 và y = 0
Hãy xây dựng hình. Diện tích cần tìm nằm giữa parabol y = - x 2 + 4 và trục Sửu.
Hãy tìm giao điểm của parabol với trục Ox. Giả sử y = 0, ta tìm được x = Vì hình này đối xứng qua trục Oy nên ta tính diện tích hình nằm bên phải trục Oy và nhân đôi kết quả thu được: = +4x]sq. đơn vị 2 = 2 mét vuông đơn vị
Ví dụ 5. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Ở đây bạn cần tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi nhánh trên của parabol 2 = x, trục Ox và các đường thẳng x = 1 и x = 4 (xem hình)
Theo công thức (1), trong đó f(x) = a = 1 và b = 4, ta có = (= đơn vị vuông.
Ví dụ 6 . Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng: y = sinx, y = 0, x = 0, x=.
Diện tích cần thiết được giới hạn bởi nửa sóng của hình sin và trục Ox (xem hình).
Ta có - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 mét vuông. đơn vị
Ví dụ 7. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng: y = - 6x, y = 0 và x = 4.
Hình nằm dưới trục Ox (xem hình).
Do đó, chúng ta tìm diện tích của nó bằng công thức (3)
= =
Ví dụ 8. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng: y = và x = 2. Xây dựng đường cong y = từ các điểm (xem hình). Do đó, chúng ta tìm diện tích của hình bằng công thức (4)
Ví dụ 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Ở đây bạn cần tính diện tích, giới hạn bởi một vòng tròn X 2 + y 2 = r 2 , tức là diện tích của một hình tròn có bán kính r với tâm là gốc tọa độ. Hãy tìm phần thứ tư của diện tích này bằng cách lấy giới hạn tích phân từ 0
trước; chúng tôi có: 1 = = [
Kể từ đây, 1 =
Ví dụ 10. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng: y= x 2 và y = 2x
Hình này bị giới hạn bởi parabol y=x 2 và đường thẳng y = 2x (xem hình) Để xác định giao điểm của các đường thẳng đã cho, ta giải hệ phương trình: x 2 – 2x = 0 x = 0 và x = 2
Sử dụng công thức (5) để tìm diện tích, chúng ta thu được
= }