Làm cách nào để chèn công thức toán học vào trang web?
Nếu bạn cần thêm một hoặc hai công thức toán học vào một trang web thì cách dễ nhất để thực hiện việc này được mô tả trong bài viết: các công thức toán học dễ dàng được chèn vào trang web dưới dạng hình ảnh được Wolfram Alpha tự động tạo ra . Ngoài sự đơn giản, phương pháp phổ quát này sẽ giúp cải thiện khả năng hiển thị của trang web trong các công cụ tìm kiếm. Nó đã hoạt động được một thời gian dài (và tôi nghĩ nó sẽ hoạt động mãi mãi), nhưng đã lỗi thời về mặt đạo đức.
Nếu bạn thường xuyên sử dụng các công thức toán học trên trang web của mình thì tôi khuyên bạn nên sử dụng MathJax - một thư viện JavaScript đặc biệt hiển thị ký hiệu toán học trong trình duyệt web bằng cách sử dụng đánh dấu MathML, LaTeX hoặc ASCIIMathML.
Có hai cách để bắt đầu sử dụng MathJax: (1) sử dụng một mã đơn giản, bạn có thể nhanh chóng kết nối tập lệnh MathJax với trang web của mình, tập lệnh này sẽ được tải tự động từ máy chủ từ xa vào đúng thời điểm (danh sách máy chủ); (2) tải tập lệnh MathJax từ máy chủ từ xa về máy chủ của bạn và kết nối nó với tất cả các trang trên trang web của bạn. Phương pháp thứ hai - phức tạp hơn và tốn thời gian hơn - sẽ tăng tốc độ tải các trang trên trang web của bạn và nếu máy chủ MathJax gốc tạm thời không khả dụng vì lý do nào đó, điều này sẽ không ảnh hưởng đến trang web của bạn theo bất kỳ cách nào. Bất chấp những ưu điểm này, tôi đã chọn phương pháp đầu tiên vì nó đơn giản hơn, nhanh hơn và không yêu cầu kỹ năng kỹ thuật. Hãy làm theo ví dụ của tôi và chỉ trong 5 phút, bạn sẽ có thể sử dụng tất cả các tính năng của MathJax trên trang web của mình.
Bạn có thể kết nối tập lệnh thư viện MathJax từ máy chủ từ xa bằng hai tùy chọn mã được lấy từ trang web MathJax chính hoặc trên trang tài liệu:
Một trong các tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và/hoặc ngay sau thẻ. Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản MathJax mới nhất. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn chèn mã thứ hai, các trang sẽ tải chậm hơn nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật MathJax.
Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, thêm tiện ích được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải xuống được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích đó gần hơn vào đầu mẫu (nhân tiện, điều này hoàn toàn không cần thiết vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Thế thôi. Bây giờ hãy tìm hiểu cú pháp đánh dấu của MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng chèn các công thức toán học vào các trang web trên trang web của mình.
Bất kỳ fractal nào cũng được xây dựng theo một quy tắc nhất định, được áp dụng nhất quán không giới hạn số lần. Mỗi lần như vậy được gọi là một lần lặp.
Thuật toán lặp để xây dựng một miếng bọt biển Menger khá đơn giản: khối ban đầu có cạnh 1 được chia bởi các mặt phẳng song song với các mặt của nó thành 27 khối bằng nhau. Một khối trung tâm và 6 khối liền kề dọc theo các mặt sẽ bị loại bỏ khỏi nó. Kết quả là một bộ gồm 20 khối nhỏ hơn còn lại. Làm tương tự với mỗi khối này, chúng ta có được một bộ gồm 400 khối nhỏ hơn. Tiếp tục quá trình này không ngừng, chúng ta có được một miếng bọt biển Menger.
Trên thực tế, để tính diện tích của một hình, bạn không cần nhiều kiến thức về tích phân bất định và xác định. Nhiệm vụ “tính diện tích bằng tích phân xác định” luôn liên quan đến việc xây dựng một hình vẽ, vì vậy kiến thức và kỹ năng xây dựng hình vẽ của bạn sẽ là một câu hỏi cấp bách hơn nhiều. Về vấn đề này, sẽ rất hữu ích nếu bạn làm mới trí nhớ của mình về đồ thị của các hàm cơ bản cơ bản và ít nhất có thể xây dựng một đường thẳng và hyperbol.
Hình thang cong là một hình phẳng giới hạn bởi một trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên một đoạn không đổi dấu trên khoảng này. Hãy để hình này được xác định không thấp hơn trục x:
Khi đó diện tích của hình thang cong bằng số tích phân xác định. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt.
Từ quan điểm hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH.
Nghĩa là, một tích phân nhất định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một hình nhất định. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Tích phân xác định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (ai muốn có thể vẽ) và bản thân tích phân xác định bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.
Ví dụ 1
Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Điểm đầu tiên và quan trọng nhất trong quyết định là vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng ĐÚNG.
Khi xây dựng một bản vẽ, tôi khuyên bạn nên thực hiện theo thứ tự sau: đầu tiên, tốt hơn là dựng tất cả các đường thẳng (nếu có) và chỉ sau đó - parabol, hyperbol và đồ thị của các hàm khác. Sẽ có lợi hơn khi xây dựng đồ thị của các hàm theo từng điểm.
Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ hình (lưu ý rằng phương trình xác định trục):
Trên đoạn thẳng, đồ thị của hàm số nằm phía trên trục nên:
Trả lời:
Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. Trong trường hợp này, “bằng mắt” chúng ta đếm số ô trong bản vẽ - à, sẽ có khoảng 9 ô, điều đó có vẻ đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.
Ví dụ 3
Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng và trục tọa độ.
Giải: Hãy vẽ hình:
Nếu hình thang cong nằm dưới trục (hoặc ít nhất không cao hơn trục đã cho), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:
Trong trường hợp này:
Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ:
1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định đơn giản mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.
2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng tích phân xác định thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao điểm trừ xuất hiện trong công thức vừa thảo luận.
Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và nửa dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất ở trường, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.
Ví dụ 4
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , .
Giải pháp: Đầu tiên bạn cần vẽ một bản vẽ. Nói chung, khi dựng hình trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích. Chúng ta giải phương trình:
Điều này có nghĩa là giới hạn tích phân dưới là , giới hạn tích phân trên là .
Tốt hơn hết, nếu có thể, không nên sử dụng phương pháp này.
Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn khi xây dựng từng đường nét một và các giới hạn của sự tích hợp “tự mình trở nên rõ ràng”. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.
Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: sẽ hợp lý hơn nếu trước tiên xây dựng một đường thẳng và sau đó là một parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:
Và bây giờ là công thức làm việc: Nếu trên một đoạn thẳng, một hàm liên tục nào đó lớn hơn hoặc bằng một hàm liên tục nào đó, thì có thể tìm thấy diện tích của hình bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm và đường thẳng này bằng công thức: 
Ở đây bạn không còn cần phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hay bên dưới trục, và nói một cách đại khái, điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN (so với biểu đồ khác) và biểu đồ nào DƯỚI ĐÂY.
Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó cần phải trừ đi
Giải pháp hoàn chỉnh có thể trông như thế này:
Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol ở trên và một đường thẳng ở dưới.
Trên đoạn thẳng theo công thức tương ứng:
Trả lời:
Ví dụ 4
Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng , , , .
Giải pháp: Đầu tiên chúng ta hãy vẽ:
Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam (hãy xem kỹ điều kiện - hình đó bị giới hạn như thế nào!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý nên thường xuyên xảy ra “trục trặc” khiến bạn cần tìm diện tích của hình được tô xanh!
Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ nó tính diện tích của một hình bằng cách sử dụng hai tích phân xác định.
Thật sự :
1) Trên đoạn thẳng phía trên trục có đồ thị đường thẳng;
2) Trên đoạn thẳng phía trên trục có đồ thị của một hyperbol.
Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:
Hãy chuyển sang xem xét các ứng dụng của phép tính tích phân. Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét bài toán điển hình và phổ biến nhất là tính diện tích của hình phẳng bằng tích phân xác định. Cuối cùng, hãy để tất cả những người tìm kiếm ý nghĩa trong toán học cao cấp tìm thấy nó. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một biểu đồ dacha bằng cách sử dụng các hàm cơ bản và tìm diện tích của nó bằng tích phân xác định.
Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:
1) Hiểu tích phân không xác định ít nhất ở mức độ trung cấp. Vì vậy, trước tiên các bạn ngu nên làm quen với bài học của Thầy.
2) Áp dụng được công thức Newton-Leibniz và tính tích phân xác định. Bạn có thể thiết lập mối quan hệ thân thiện nồng ấm với tích phân xác định trên trang Tích phân xác định. Ví dụ về các giải pháp. Nhiệm vụ “tính diện tích bằng tích phân xác định” luôn liên quan đến việc xây dựng một hình vẽ, vì vậy kiến thức và kỹ năng xây dựng hình vẽ của bạn cũng sẽ là một vấn đề quan trọng. Tối thiểu, bạn cần có khả năng dựng một đường thẳng, parabol và hyperbol.
Hãy bắt đầu với một hình thang cong. Hình thang cong là một hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số nào đó y = f(x), trục CON BÒ ĐỰC và dòng x = Một; x = b.
Diện tích của hình thang cong bằng số tích phân xác định
Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. Trong bài Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp chúng ta đã nói rằng tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nêu ra một sự thật hữu ích khác. Theo quan điểm hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH. Nghĩa là, một tích phân nhất định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một hình nhất định. Xét tích phân xác định
tích phân
xác định một đường cong trên mặt phẳng (có thể vẽ nó nếu muốn) và bản thân tích phân xác định bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.
Ví dụ 1
, , , .
Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Điểm quan trọng nhất trong quyết định là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng ĐÚNG.
Khi xây dựng một bản vẽ, tôi khuyên bạn nên thực hiện theo thứ tự sau: đầu tiên, tốt hơn là dựng tất cả các đường thẳng (nếu có) và chỉ sau đó – parabol, hyperbol và đồ thị của các hàm khác. Kỹ thuật xây dựng theo điểm có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản. Ở đó bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích cho bài học của chúng ta - cách xây dựng nhanh một hình parabol.
Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ (lưu ý rằng phương trình y= 0 chỉ định trục CON BÒ ĐỰC):
Chúng ta sẽ không tô bóng hình thang cong; ở đây rõ ràng chúng ta đang nói đến khu vực nào. Giải pháp tiếp tục như thế này:
Trên đoạn [-2; 1] đồ thị hàm số y = x 2 + 2 nằm phía trên trục CON BÒ ĐỰC, Đó là lý do tại sao:
Trả lời: .
Ai gặp khó khăn khi tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz
,
tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ về các giải pháp. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. Trong trường hợp này, chúng tôi đếm số lượng ô trong bản vẽ "bằng mắt" - à, sẽ có khoảng 9 ô, điều đó có vẻ đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.
Ví dụ 2
Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng xy = 4, x = 2, x= 4 và trục CON BÒ ĐỰC.
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.
Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trục CON BÒ ĐỰC?
Ví dụ 3
Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng y = bán tại, x= 1 và trục tọa độ.
Giải: Hãy vẽ hình:
Nếu một hình thang cong nằm hoàn toàn dưới trục CON BÒ ĐỰC, thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:
Trong trường hợp này:
.
Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ:
1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định đơn giản mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.
2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng tích phân xác định thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao điểm trừ xuất hiện trong công thức vừa thảo luận.
Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và nửa dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất ở trường, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.
Ví dụ 4
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 2x – x 2 , y = -x.
Giải pháp: Đầu tiên bạn cần vẽ một bản vẽ. Khi xây dựng hình vẽ trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol y = 2x – x 2 và thẳng y = -x. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích. Chúng ta giải phương trình:
Điều này có nghĩa là giới hạn dưới của tích hợp Một= 0, giới hạn trên của tích phân b= 3. Việc xây dựng các đường từng điểm một thường có lợi hơn và nhanh hơn và các giới hạn của sự tích hợp “tự chúng” trở nên rõ ràng. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ). Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: sẽ hợp lý hơn nếu trước tiên xây dựng một đường thẳng và sau đó là một parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:
Chúng ta hãy nhắc lại rằng khi xây dựng theo chiều điểm, các giới hạn tích phân thường được xác định một cách “tự động”.
Và bây giờ là công thức làm việc:
Nếu trên đoạn [ Một; b] một số hàm liên tục f(x) lớn hơn hoặc bằng một số hàm liên tục g(x), thì có thể tìm diện tích của hình tương ứng bằng công thức:
Ở đây bạn không còn cần phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hay bên dưới trục, mà điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN (so với biểu đồ khác) và biểu đồ nào DƯỚI ĐÂY.
Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó từ 2 x – x 2 phải bị trừ – x.
Giải pháp hoàn chỉnh có thể trông như thế này:
Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol y = 2x – x 2 trên cùng và thẳng y = -x dưới.
Trên đoạn 2 x – x 2 ≥ -x. Theo công thức tương ứng:
Trả lời: .
Trong thực tế, công thức trường học tính diện tích hình thang cong trong nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ số 3) là trường hợp đặc biệt của công thức
.
Bởi vì trục CON BÒ ĐỰCđược cho bởi phương trình y= 0 và đồ thị của hàm số g(x) nằm phía dưới trục CON BÒ ĐỰC, Cái đó
.
Và bây giờ là một vài ví dụ cho giải pháp của riêng bạn
Ví dụ 5
Ví dụ 6
Tìm diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
Khi giải các bài toán liên quan đến tính diện tích bằng tích phân xác định, đôi khi xảy ra một sự cố hài hước. Bản vẽ đã hoàn thành chính xác, các phép tính cũng đúng nhưng do bất cẩn... đã phát hiện ra diện tích của hình sai.
Ví dụ 7
Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bức tranh:
Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam (hãy xem kỹ điều kiện - hình đó bị giới hạn như thế nào!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý nên người ta thường quyết định cần tìm diện tích của hình được tô xanh!
Ví dụ này cũng hữu ích vì nó tính diện tích của một hình bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Thật sự:
1) Trên đoạn [-1; 1] phía trên trục CON BÒ ĐỰCđồ thị nằm thẳng y = x+1;
2) Trên đoạn phía trên trục CON BÒ ĐỰCđồ thị của một hyperbol nằm y = (2/x).
Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:
Trả lời:
Ví dụ 8
Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
Hãy trình bày các phương trình ở dạng “trường học”
và vẽ từng điểm một:
Từ bản vẽ, rõ ràng giới hạn trên của chúng tôi là “tốt”: b = 1.
Nhưng giới hạn dưới là gì?! Rõ ràng đây không phải là số nguyên, nhưng nó là gì?
Có lẽ, Một=(-1/3)? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, có thể hóa ra là như vậy Một=(-1/4). Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xây dựng biểu đồ không chính xác?
Trong những trường hợp như vậy, bạn phải dành thêm thời gian và làm rõ các giới hạn của việc tích hợp một cách phân tích.
Hãy tìm giao điểm của đồ thị
Để làm điều này, chúng ta giải phương trình:
.
Kể từ đây, Một=(-1/3).
Giải pháp tiếp theo là tầm thường. Điều chính là không bị nhầm lẫn giữa sự thay thế và dấu hiệu. Các tính toán ở đây không phải là đơn giản nhất. Trên phân khúc
, 
,
theo công thức tương ứng:
Để kết thúc bài học, chúng ta hãy xem xét hai nhiệm vụ khó khăn hơn.
Ví dụ 9
Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
Giải pháp: Hãy mô tả hình này trong bản vẽ.
Để xây dựng một bản vẽ từng điểm, bạn cần biết hình dạng của hình sin. Nói chung, sẽ rất hữu ích khi biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản cũng như một số giá trị sin. Chúng có thể được tìm thấy trong bảng giá trị của các hàm lượng giác. Trong một số trường hợp (ví dụ, trong trường hợp này), có thể xây dựng một bản vẽ sơ đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân về cơ bản phải được hiển thị chính xác.
Không có vấn đề gì với các giới hạn tích hợp ở đây; chúng tuân theo điều kiện:
– “x” thay đổi từ 0 thành “pi”. Hãy đưa ra quyết định tiếp theo:
Trên một đoạn, đồ thị của hàm số y= tội lỗi 3 x nằm phía trên trục CON BÒ ĐỰC, Đó là lý do tại sao:
(1) Bạn có thể xem cách tích phân sin và cosin theo lũy thừa lẻ trong bài Tích phân của hàm lượng giác. Chúng tôi véo một xoang.
(2) Ta sử dụng đẳng thức lượng giác chính ở dạng
(3) Hãy thay đổi biến t= cos x, thì: nằm phía trên trục, do đó:
.
.
Lưu ý: lưu ý cách lấy tích phân của lập phương tiếp tuyến; một hệ quả tất yếu của đồng nhất thức lượng giác cơ bản được sử dụng ở đây;
.
Trong bài viết này, bạn sẽ học cách tìm diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường bằng cách sử dụng các phép tính tích phân. Lần đầu tiên chúng ta gặp phải việc xây dựng một bài toán như vậy ở trường trung học, khi chúng ta vừa hoàn thành việc nghiên cứu tích phân xác định và đã đến lúc bắt đầu giải thích hình học các kiến thức thu được trong thực tế.
Vậy để giải thành công bài toán tìm diện tích hình bằng tích phân cần những gì:
- Khả năng thực hiện các bản vẽ có thẩm quyền;
- Khả năng giải tích phân xác định bằng công thức Newton-Leibniz nổi tiếng;
- Khả năng “nhìn thấy” một lựa chọn giải pháp có lợi hơn - tức là. hiểu làm thế nào sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện tích hợp trong trường hợp này hay trường hợp khác? Dọc theo trục x (OX) hay trục y (OY)?
- Chà, chúng ta sẽ ở đâu nếu không có các phép tính chính xác?) Điều này bao gồm việc hiểu cách giải loại tích phân khác đó và các phép tính số chính xác.
Thuật toán giải bài toán tính diện tích hình giới hạn bởi đường thẳng:
1. Chúng tôi xây dựng một bản vẽ. Nên thực hiện việc này trên một tờ giấy ca rô, trên quy mô lớn. Chúng tôi ký tên của hàm này bằng bút chì phía trên mỗi biểu đồ. Việc ký các biểu đồ được thực hiện chỉ để thuận tiện cho việc tính toán tiếp theo. Sau khi nhận được biểu đồ của hình mong muốn, trong hầu hết các trường hợp, bạn sẽ thấy ngay giới hạn tích phân nào sẽ được sử dụng. Vì vậy, chúng tôi giải quyết vấn đề bằng đồ họa. Tuy nhiên, điều đó xảy ra là các giá trị của giới hạn là phân số hoặc không hợp lý. Do đó, bạn có thể thực hiện các phép tính bổ sung, chuyển sang bước hai.
2. Nếu các giới hạn tích phân không được xác định rõ ràng, thì chúng ta tìm các điểm giao nhau của các đồ thị với nhau và xem liệu nghiệm đồ thị của chúng ta có trùng với nghiệm phân tích hay không.
3. Tiếp theo, bạn cần phân tích bản vẽ. Tùy thuộc vào cách sắp xếp đồ thị hàm số mà có những cách tiếp cận khác nhau để tìm diện tích của hình. Chúng ta hãy xem các ví dụ khác nhau về cách tìm diện tích của một hình bằng tích phân.
3.1.
Phiên bản cổ điển và đơn giản nhất của bài toán là khi bạn cần tìm diện tích hình thang cong. Hình thang cong là gì? Đây là một hình phẳng được giới hạn bởi trục x (y = 0), các đường thẳng x = a, x = b và bất kỳ đường cong nào liên tục trong khoảng từ a đến b. Hơn nữa, con số này không âm và nằm không dưới trục x. Trong trường hợp này, diện tích của hình thang cong bằng số với một tích phân nhất định, được tính bằng công thức Newton-Leibniz: Ví dụ 1
y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Hình đó được giới hạn bởi những đường nào? Chúng ta có một parabol y = x2 - 3x + 3, nằm phía trên trục OX, nó không âm, bởi vì mọi điểm của parabol này đều có giá trị dương. Tiếp theo, cho các đường thẳng x = 1 và x = 3 chạy song song với trục của op-amp và là các đường ranh giới của hình bên trái và bên phải. Vâng, y = 0, cũng là trục x, giới hạn hình từ bên dưới. Hình kết quả được tô bóng, như có thể thấy từ hình bên trái. Trong trường hợp này, bạn có thể bắt đầu giải quyết vấn đề ngay lập tức. Trước mắt chúng ta là một ví dụ đơn giản về hình thang cong, sau đó chúng ta giải bằng công thức Newton-Leibniz.
3.2. Trong đoạn 3.1 trước, chúng ta đã xem xét trường hợp hình thang cong nằm phía trên trục x. Bây giờ hãy xem xét trường hợp các điều kiện của bài toán giống nhau, ngoại trừ hàm số nằm dưới trục x. Một điểm trừ được thêm vào công thức Newton-Leibniz tiêu chuẩn. Chúng tôi sẽ xem xét cách giải quyết vấn đề như vậy dưới đây.
Trong ví dụ này, chúng ta có một parabol y = x2 + 6x + 2, bắt nguồn từ dưới trục OX, các đường thẳng x = -4, x = -1, y = 0. Ở đây y = 0 giới hạn con số mong muốn từ phía trên. Các đường thẳng x = -4 và x = -1 là các ranh giới trong đó tích phân xác định sẽ được tính. Nguyên lý giải bài toán tìm diện tích hình gần như hoàn toàn trùng khớp với ví dụ số 1. Điểm khác biệt duy nhất là hàm số đã cho không dương và cũng liên tục trên đoạn [-4; -1]. Ý bạn là không tích cực? Như có thể thấy trên hình, hình nằm trong x đã cho chỉ có tọa độ “âm”, đây là điều chúng ta cần nhìn và ghi nhớ khi giải bài toán. Chúng ta tìm diện tích của hình bằng công thức Newton-Leibniz, chỉ có dấu trừ ở đầu.
Bài viết chưa được hoàn thành.
Trong phần trước, dành cho việc phân tích ý nghĩa hình học của tích phân xác định, chúng ta đã nhận được một số công thức tính diện tích của hình thang cong:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x đối với hàm liên tục và không âm y = f (x) trên khoảng [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x đối với hàm số liên tục và không dương y = f (x) trên khoảng [ a ; b] .
Những công thức này có thể áp dụng để giải các bài toán tương đối đơn giản. Trong thực tế, chúng ta thường phải làm việc với những số liệu phức tạp hơn. Về vấn đề này, chúng tôi sẽ dành phần này để phân tích các thuật toán tính diện tích của các hình bị giới hạn bởi các hàm ở dạng rõ ràng, tức là. như y = f(x) hoặc x = g(y).
Định lýCho các hàm số y = f 1 (x) và y = f 2 (x) xác định và liên tục trên khoảng [ a ; b ] , và f 1 (x) ≤ f 2 (x) với mọi giá trị x từ [ a ; b] . Khi đó công thức tính diện tích hình G giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b, y = f 1 (x) và y = f 2 (x) sẽ có dạng S(G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Công thức tương tự sẽ áp dụng cho diện tích hình giới hạn bởi các đường y = c, y = d, x = g 1 (y) và x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Bằng chứng
Hãy xem xét ba trường hợp mà công thức sẽ hợp lệ.
Trong trường hợp đầu tiên, có tính đến tính chất cộng diện tích, tổng diện tích của hình G ban đầu và hình thang cong G1 bằng diện tích của hình G2. Điều này có nghĩa là
Do đó, S(G) = S(G 2) - S(G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Chúng ta có thể thực hiện phép chuyển đổi cuối cùng bằng cách sử dụng tính chất thứ ba của tích phân xác định.
Trong trường hợp thứ hai, đẳng thức đúng: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Hình minh họa đồ họa sẽ trông như sau:
Nếu cả hai hàm số đều không dương, ta có: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2(x) - f 1(x)) d x . Hình minh họa đồ họa sẽ trông như sau:
Chúng ta hãy chuyển sang xét trường hợp tổng quát khi y = f 1 (x) và y = f 2 (x) cắt trục O x.
Ta ký hiệu các giao điểm là x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Những điểm này chia đoạn [a; b ] thành n phần x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, trong đó α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Kể từ đây,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Chúng ta có thể thực hiện phép chuyển đổi cuối cùng bằng cách sử dụng tính chất thứ năm của tích phân xác định.
Hãy minh họa trường hợp tổng quát trên đồ thị.
Công thức S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x có thể coi là đã được chứng minh.
Bây giờ chúng ta chuyển sang phân tích các ví dụ tính diện tích các hình bị giới hạn bởi các đường thẳng y = f(x) và x = g(y).
Chúng ta sẽ bắt đầu xem xét bất kỳ ví dụ nào bằng cách xây dựng một biểu đồ. Hình ảnh sẽ cho phép chúng ta biểu diễn các hình dạng phức tạp dưới dạng sự kết hợp của các hình dạng đơn giản hơn. Nếu việc xây dựng đồ thị và hình trên chúng gây khó khăn cho bạn, bạn có thể nghiên cứu phần về các hàm cơ bản cơ bản, phép biến đổi hình học của đồ thị hàm số, cũng như xây dựng đồ thị khi nghiên cứu hàm số.
Ví dụ 1
Cần xác định diện tích của hình được giới hạn bởi parabol y = - x 2 + 6 x - 5 và các đường thẳng y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Giải pháp
Hãy vẽ các đường trên đồ thị trong hệ tọa độ Descartes.
Trên đoạn [ 1 ; 4 ] đồ thị của parabol y = - x 2 + 6 x - 5 nằm phía trên đường thẳng y = - 1 3 x - 1 2. Về vấn đề này, để có được câu trả lời, chúng tôi sử dụng công thức thu được trước đó, cũng như phương pháp tính tích phân xác định bằng công thức Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Đáp án: S(G) = 13
Hãy xem xét một ví dụ phức tạp hơn.
Ví dụ 2
Cần tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường thẳng y = x + 2, y = x, x = 7.
Giải pháp
Trong trường hợp này, chúng ta chỉ có một đường thẳng nằm song song với trục x. Đây là x = 7. Điều này đòi hỏi chúng ta phải tự mình tìm ra giới hạn thứ hai của sự tích hợp.
Chúng ta hãy xây dựng một biểu đồ và vẽ trên đó các dòng được đưa ra trong báo cáo vấn đề.
Có đồ thị trước mắt, chúng ta có thể dễ dàng xác định giới hạn dưới của tích phân sẽ là hoành độ giao điểm của đồ thị của đường thẳng y = x và bán parabol y = x + 2. Để tìm hoành độ chúng ta sử dụng các đẳng thức:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Suy ra trục hoành của giao điểm là x = 2.
Chúng tôi lưu ý bạn rằng trong ví dụ chung trong hình vẽ, các đường y = x + 2, y = x cắt nhau tại điểm (2; 2), do đó những tính toán chi tiết như vậy có vẻ không cần thiết. Chúng tôi chỉ cung cấp giải pháp chi tiết như vậy ở đây vì trong những trường hợp phức tạp hơn, giải pháp có thể không quá rõ ràng. Điều này có nghĩa là tốt hơn hết bạn nên tính toán tọa độ giao điểm của các đường bằng phương pháp phân tích.
Trên khoảng [ 2 ; 7] đồ thị của hàm số y = x nằm phía trên đồ thị của hàm số y = x + 2. Hãy áp dụng công thức tính diện tích:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Đáp án: S(G) = 59 6
Ví dụ 3
Cần tính diện tích của hình bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm y = 1 x và y = - x 2 + 4 x - 2.
Giải pháp
Hãy vẽ các đường trên biểu đồ.
Hãy xác định giới hạn của sự tích hợp. Để làm điều này, chúng ta xác định tọa độ các điểm giao nhau của các đường thẳng bằng cách đánh đồng các biểu thức 1 x và - x 2 + 4 x - 2. Với điều kiện x khác 0, đẳng thức 1 x = - x 2 + 4 x - 2 trở thành tương đương với phương trình bậc ba - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 với hệ số nguyên. Để làm mới trí nhớ của bạn về thuật toán giải các phương trình như vậy, chúng ta có thể tham khảo phần “Giải phương trình bậc ba”.
Căn nguyên của phương trình này là x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Chia biểu thức - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 cho nhị thức x - 1, ta được: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Chúng ta có thể tìm các nghiệm còn lại từ phương trình x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3-13 2 ≈ - 0 . 3
Chúng tôi đã tìm thấy khoảng x ∈ 1; 3 + 13 2, trong đó hình G nằm phía trên đường màu xanh và phía dưới đường màu đỏ. Điều này giúp chúng ta xác định được diện tích của hình:
S(G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Đáp án: S(G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Ví dụ 4
Cần tính diện tích của hình bị giới hạn bởi các đường cong y = x 3, y = - log 2 x + 1 và trục hoành.
Giải pháp
Hãy vẽ tất cả các đường trên biểu đồ. Chúng ta có thể lấy đồ thị của hàm số y = - log 2 x + 1 từ đồ thị y = log 2 x nếu chúng ta đặt nó đối xứng qua trục x và di chuyển nó lên một đơn vị. Phương trình của trục x là y = 0.
Chúng ta hãy đánh dấu các điểm giao nhau của các đường.
Như có thể thấy trên hình, đồ thị của các hàm y = x 3 và y = 0 cắt nhau tại điểm (0; 0). Điều này xảy ra vì x = 0 là nghiệm thực duy nhất của phương trình x 3 = 0.
x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình - log 2 x + 1 = 0, do đó đồ thị của hàm số y = - log 2 x + 1 và y = 0 cắt nhau tại điểm (2; 0).
x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình x 3 = - log 2 x + 1 . Về vấn đề này, đồ thị của các hàm y = x 3 và y = - log 2 x + 1 cắt nhau tại điểm (1; 1). Phát biểu cuối cùng có thể không rõ ràng, nhưng phương trình x 3 = - log 2 x + 1 không thể có nhiều hơn một nghiệm, vì hàm y = x 3 tăng nghiêm ngặt và hàm y = - log 2 x + 1 là giảm nghiêm trọng.
Giải pháp tiếp theo bao gồm một số tùy chọn.
Tùy chọn số 1
Chúng ta có thể tưởng tượng hình G là tổng của hai hình thang cong nằm phía trên trục x, hình thang đầu tiên nằm bên dưới đường giữa của đoạn x ∈ 0; 1 và điểm thứ hai nằm dưới đường màu đỏ trên đoạn x ∈ 1; 2. Điều này có nghĩa là diện tích sẽ bằng S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Phương án số 2
Hình G có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai hình, hình đầu tiên nằm phía trên trục x và bên dưới đường màu xanh lam trên đoạn x ∈ 0; 2 và điểm thứ hai giữa đường màu đỏ và màu xanh lam trên đoạn x ∈ 1; 2. Điều này cho phép chúng ta tìm được diện tích như sau:
S(G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Trong trường hợp này, để tìm diện tích bạn sẽ phải sử dụng công thức có dạng S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Trong thực tế, các đường bao quanh hình có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của đối số y.
Giải phương trình y = x 3 và - log 2 x + 1 đối với x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Chúng tôi nhận được diện tích cần thiết:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Đáp án: S(G) = 1 ln 2 - 1 4
Ví dụ 5
Cần tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường thẳng y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Giải pháp
Với một đường màu đỏ, chúng ta vẽ đường được xác định bởi hàm y = x. Chúng ta vẽ đường y = - 1 2 x + 4 màu xanh lam và đường y = 2 3 x - 3 màu đen.
Hãy đánh dấu các điểm giao nhau.
Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x và y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kiểm tra: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 không phải là nghiệm của phương trình x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 là nghiệm của phương trình ⇒ (4; 2) giao điểm i y = x và y = - 1 2 x + 4
Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x và y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kiểm tra: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 là nghiệm của phương trình ⇒ (9 ; 3) điểm a s y = x và y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Phương trình vô nghiệm
Hãy tìm giao điểm của hai đường thẳng y = - 1 2 x + 4 và y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) giao điểm y = - 1 2 x + 4 và y = 2 3 x - 3
Phương pháp số 1
Chúng ta hãy tưởng tượng diện tích của hình mong muốn là tổng diện tích của các hình riêng lẻ.
Khi đó diện tích của hình là:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Phương pháp số 2
Diện tích của hình ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai hình khác.
Sau đó, chúng ta giải phương trình đường thẳng so với x và chỉ sau đó chúng ta áp dụng công thức tính diện tích của hình.
y = x ⇒ x = y 2 đường màu đỏ y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 đường màu đen y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Vậy diện tích là:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Như bạn có thể thấy, các giá trị đều giống nhau.
Đáp án: S(G) = 11 3
Kết quảĐể tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường thẳng cho trước, chúng ta cần dựng các đường thẳng trên mặt phẳng, tìm giao điểm của chúng và áp dụng công thức tính diện tích. Trong phần này, chúng tôi đã xem xét các biến thể phổ biến nhất của nhiệm vụ.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter