Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm trên một đoạn. Làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong vùng đóng bị chặn? Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
Thông thường trong vật lý và toán học bạn cần tìm giá trị nhỏ nhất chức năng. Bây giờ chúng tôi sẽ cho bạn biết làm thế nào để làm điều này.
Tìm trên một đoạn đã cho các điểm tại đó đạo hàm bằng 0, cũng như tất cả các điểm tới hạn. Sau đó tìm ra các giá trị của hàm tại các điểm này, tức là giải phương trình trong đó x bằng 0. Tìm giá trị nào nhỏ nhất.
Xác định giá trị của hàm điểm cuối. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số tại các điểm đó.
So sánh dữ liệu thu được với giá trị thấp nhất. Số kết quả nhỏ hơn sẽ là giá trị nhỏ nhất của hàm.
Lưu ý rằng nếu một hàm trên một đoạn không có điểm nhỏ nhất, điều này có nghĩa là trong một phân đoạn nhất định nó tăng hoặc giảm. Do đó, giá trị nhỏ nhất phải được tính trên các phân đoạn hữu hạn của hàm.
Trong tất cả các trường hợp khác, giá trị của hàm được tính theo thuật toán đã chỉ định. Tại mỗi điểm của thuật toán, bạn sẽ cần giải một bài toán đơn giản phương trình tuyến tính với một gốc. Giải phương trình bằng hình ảnh để tránh sai sót.
Làm cách nào để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm trên đoạn nửa mở? Trong khoảng thời gian nửa mở hoặc mở của hàm số, cần tìm giá trị nhỏ nhất như sau. Tại các điểm cuối của giá trị hàm, tính giới hạn một phía của hàm. Nói cách khác, giải một phương trình trong đó các điểm xu hướng được cho bởi các giá trị a+0 và b+0, trong đó a và b là tên điểm quan trọng.
Bây giờ bạn đã biết cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Điều chính là thực hiện tất cả các phép tính một cách chính xác, chính xác và không có lỗi.
Trong bài viết này tôi sẽ nói về cách áp dụng kỹ năng tìm kiếm vào nghiên cứu hàm số: tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của nó. Và sau đó chúng ta sẽ giải một số bài toán từ Nhiệm vụ B15 từ Ngân hàng mở nhiệm vụ cho .
Như thường lệ, trước tiên chúng ta hãy nhớ lại lý thuyết.
Khi bắt đầu bất kỳ nghiên cứu nào về hàm số, chúng ta thấy nó
Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm, bạn cần kiểm tra xem hàm tăng và giảm ở khoảng nào.
Để làm điều này, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số và kiểm tra các khoảng dấu không đổi của nó, tức là các khoảng mà đạo hàm giữ nguyên dấu của nó.
Các khoảng mà đạo hàm của hàm số dương là các khoảng tăng của hàm số.
Các khoảng mà đạo hàm của hàm số âm là các khoảng của hàm số giảm.
1. Cùng giải bài B15 (số 245184)
Để giải quyết nó, chúng ta sẽ làm theo thuật toán sau:
Tôi giải thích giải pháp chi tiết cho nhiệm vụ này trong VIDEO HƯỚNG DẪN:
Trình duyệt của bạn có thể không được hỗ trợ. Để sử dụng huấn luyện viên " Giờ thi thống nhất của bang", hãy thử tải xuống Firefox
2. Cùng giải bài B15 (số 282862)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên phân khúc
Rõ ràng là hàm nhận giá trị lớn nhất trên đoạn tại điểm cực đại, tại x=2. Hãy tìm giá trị của hàm tại thời điểm này:
Trả lời: 5
3. Cùng giải bài B15 (số 245180):
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
1. tiêu đề="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. Bởi vì theo miền định nghĩa của hàm gốc title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. Tử số bằng 0 Tại . Hãy kiểm tra xem nó có thuộc về không hàm ODZ. Để làm điều này, hãy kiểm tra xem điều kiện title="4-2x-x^2>0"> при .!}
Tiêu đề="4-2(-1)-((-1))^2>0">,
điều này có nghĩa là điểm thuộc về hàm ODZ
Hãy xét dấu của đạo hàm bên phải và bên trái của điểm:
Ta thấy hàm số nhận giá trị lớn nhất tại điểm . Bây giờ hãy tìm giá trị của hàm tại:
Nhận xét 1. Lưu ý rằng trong bài toán này chúng ta không tìm được miền định nghĩa của hàm số: chúng ta chỉ sửa các ràng buộc và kiểm tra xem điểm mà đạo hàm bằng 0 có thuộc miền định nghĩa của hàm số hay không. Điều này hóa ra là đủ cho nhiệm vụ này. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Nó phụ thuộc vào nhiệm vụ.
Lưu ý 2. Khi nghiên cứu hành vi hàm phức tạp bạn có thể sử dụng quy tắc này:
nếu hàm ngoài của hàm phức tăng thì hàm đó lấy giá trị lớn nhất tại cùng điểm mà tại đó chức năng nội tại nhận giá trị lớn nhất. Điều này tuân theo định nghĩa về hàm tăng: hàm tăng trong khoảng I nếu giá trị lớn hơn của đối số trong khoảng này tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.
nếu hàm ngoài của hàm phức giảm thì hàm đó sẽ lấy giá trị lớn nhất tại cùng điểm mà hàm trong có giá trị nhỏ nhất . Điều này tuân theo định nghĩa về hàm giảm: hàm giảm trong khoảng I nếu giá trị lớn hơn của đối số trong khoảng này tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm
Trong ví dụ của chúng tôi, hàm bên ngoài tăng trong toàn bộ miền định nghĩa. Dưới dấu logarit có biểu thức - tam thức bậc hai, với hệ số dẫn đầu âm, có giá trị lớn nhất tại điểm . Tiếp theo, chúng ta thay giá trị này của x vào phương trình của hàm và tìm giá trị lớn nhất của nó.
Thuật toán tiêu chuẩn để giải các bài toán như vậy bao gồm, sau khi tìm các số 0 của hàm, xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng. Sau đó, tính toán các giá trị tại các điểm tối đa (hoặc tối thiểu) tìm thấy và tại ranh giới của khoảng, tùy thuộc vào câu hỏi nào trong điều kiện.
Tôi khuyên bạn nên làm mọi việc khác đi một chút. Tại sao? Tôi đã viết về điều này.
Tôi đề xuất giải quyết các vấn đề như sau:
1. Tìm đạo hàm. 2. Tìm các số 0 của đạo hàm. 3. Xác định xem chúng thuộc về ai khoảng thời gian này. 4. Ta tính các giá trị của hàm tại các ranh giới của khoảng và các điểm của bước 3. 5. Chúng ta rút ra kết luận (trả lời câu hỏi đặt ra).
Khi giải các ví dụ đã trình bày, lời giải chưa được xem xét chi tiết phương trình bậc hai, bạn phải có khả năng làm được điều này. Họ cũng nên biết.
Hãy xem xét các ví dụ:
77422. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x 3 –3x+4 trên đoạn [–2;0].
Hãy tìm các số 0 của đạo hàm:
Điểm x = –1 thuộc khoảng được chỉ định trong điều kiện.
Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm –2, –1 và 0:
Giá trị lớn nhất của hàm số là 6.
Đáp án: 6
77425. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y = x 3 – 3x 2 + 2 trên đoạn thẳng.
Khoảng được chỉ định trong điều kiện chứa điểm x = 2.
Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm 1, 2 và 4:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2.
Trả lời: –2
77426. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 – 6x 2 trên đoạn [–3;3].
Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
Hãy tìm các số 0 của đạo hàm:
Điểm x = 0 thuộc khoảng được chỉ định trong điều kiện.
Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm –3, 0 và 3:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.
Trả lời: 0
77429. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y = x 3 – 2x 2 + x +3 trên đoạn thẳng.
Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
3x2 – 4x + 1 = 0
Chúng ta có được các nghiệm: x 1 = 1 x 1 = 1/3.
Khoảng được chỉ định trong điều kiện chỉ chứa x = 1.
Hãy tìm giá trị của hàm tại điểm 1 và 4:
Chúng tôi thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm là 3.
Trả lời: 3
77430. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 + 2x 2 + x + 3 trên đoạn [– 4; –1].
Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
Hãy tìm các số 0 của đạo hàm và giải phương trình bậc hai:
3x2 + 4x + 1 = 0
Hãy lấy gốc rễ:
Căn x = –1 thuộc khoảng được chỉ định trong điều kiện.
Ta tìm các giá trị của hàm tại các điểm –4, –1, –1/3 và 1:
Chúng tôi thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm là 3.
Trả lời: 3
77433. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y = x 3 – x 2 – 40x +3 trên đoạn thẳng.
Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
Hãy tìm các số 0 của đạo hàm và giải phương trình bậc hai:
3x2 – 2x – 40 = 0
Hãy lấy gốc rễ:
Khoảng được chỉ định trong điều kiện chứa nghiệm x = 4.
Tìm giá trị hàm số tại điểm 0 và 4:
Chúng tôi thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm là –109.
Trả lời: –109
Hãy xem xét cách xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm không có đạo hàm. Cách tiếp cận này có thể được sử dụng nếu bạn có vấn đề lớn. Nguyên tắc rất đơn giản - chúng ta thay thế tất cả các giá trị nguyên từ khoảng vào hàm (thực tế là trong tất cả các nguyên mẫu như vậy, câu trả lời là một số nguyên).
77437. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y=7+12x–x 3 trên đoạn [–2;2].
Thay điểm từ –2 thành 2:
Xem giải pháp
77434. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 trên đoạn [–2;0].
Thế thôi. Chúc bạn may mắn!
Trân trọng, Alexander Krutitskikh.
P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.
Tuyên bố vấn đề 2:
Cho một hàm được xác định và liên tục trên một khoảng nhất định. Bạn cần tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm trên khoảng này.
Cơ sở lý thuyết. Định lý (Định lý Weierstrass thứ hai):
Nếu một hàm được xác định và liên tục trong một khoảng đóng thì nó sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu trong khoảng này.
Hàm có thể đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng cách điểm nội bộ khoảng cách hoặc tại ranh giới của nó. Hãy minh họa tất cả các tùy chọn có thể.
Giải thích: 1) Hàm số đạt giá trị lớn nhất ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị nhỏ nhất của nó ở biên phải của khoảng tại điểm . 2) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm (đây là điểm cực đại) và giá trị nhỏ nhất của nó tại ranh giới bên phải của khoảng tại điểm. 3) Hàm đạt giá trị cực đại ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị cực tiểu tại điểm (đây là điểm cực tiểu). 4) Hàm không đổi trên khoảng, tức là nó đạt giá trị tối thiểu và tối đa tại bất kỳ điểm nào trong khoảng và giá trị tối thiểu và tối đa bằng nhau. 5) Hàm đạt giá trị cực đại tại điểm và giá trị cực tiểu tại điểm (mặc dù thực tế là hàm có cả cực đại và cực tiểu trên khoảng này). 6) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại một điểm (đây là điểm tối đa) và giá trị tối thiểu tại một điểm (đây là điểm tối thiểu). Bình luận:
“Tối đa” và “giá trị tối đa” là những thứ khác nhau. Điều này xuất phát từ định nghĩa về mức tối đa và sự hiểu biết trực quan về cụm từ “giá trị tối đa”.
Thuật toán giải bài toán 2.
4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.
Ví dụ 4:
Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên phân khúc. Giải pháp: 1) Tìm đạo hàm của hàm số. 2) Tìm điểm dừng (và các điểm nghi là cực trị) bằng cách giải phương trình. Hãy chú ý đến những điểm tại đó không có đạo hàm hữu hạn hai mặt. 3) Tính các giá trị của hàm số tại các điểm dừng và tại các biên của khoảng.
4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.
Hàm trên đoạn này đạt giá trị lớn nhất tại điểm có tọa độ.
Hàm trên đoạn này đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có tọa độ .
Bạn có thể xác minh tính đúng đắn của các phép tính bằng cách nhìn vào biểu đồ của hàm đang nghiên cứu.
Bình luận: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm tối đa và giá trị tối thiểu tại ranh giới của đoạn.
Một trường hợp đặc biệt.
Giả sử chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị tối thiểu một hàm nào đó trên một khoảng. Sau khi hoàn thành điểm đầu tiên của thuật toán, tức là. tính đạo hàm, chẳng hạn, rõ ràng là chỉ cần giá trị âm trên toàn bộ phân khúc được xem xét. Hãy nhớ rằng nếu đạo hàm âm thì hàm số giảm. Chúng tôi nhận thấy rằng hàm này giảm trên toàn bộ phân khúc. Tình huống này được thể hiện ở biểu đồ số 1 ở đầu bài viết.
Hàm giảm trên đoạn, tức là nó không có điểm cực trị. Từ hình ảnh, bạn có thể thấy hàm sẽ lấy giá trị nhỏ nhất ở ranh giới bên phải của đoạn và giá trị lớn nhất ở bên trái. nếu đạo hàm trên đoạn này dương ở mọi nơi thì hàm số sẽ tăng. Giá trị nhỏ nhất nằm ở viền trái của đoạn, giá trị lớn nhất nằm ở viền bên phải.
Trong thực tế, việc sử dụng đạo hàm để tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là khá phổ biến. Chúng tôi thực hiện hành động này khi chúng tôi tìm ra cách giảm thiểu chi phí, tăng lợi nhuận, tính toán tải tối ưu cho sản xuất, v.v., tức là trong trường hợp chúng tôi cần xác định giá trị tối ưu của một tham số. Để giải những bài toán như vậy một cách chính xác, bạn cần hiểu rõ giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm là gì.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Thông thường, chúng tôi xác định các giá trị này trong một khoảng x nhất định, do đó có thể tương ứng với toàn bộ miền của hàm hoặc một phần của nó. Nó có thể giống như một đoạn [a; b ] , và khoảng mở (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), khoảng vô hạn (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) hoặc khoảng vô hạn - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
Trong tài liệu này, chúng tôi sẽ cho bạn biết cách tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm được xác định rõ ràng với một biến y=f(x) y = f (x) .
Các định nghĩa cơ bản
Hãy bắt đầu, như mọi khi, với việc xây dựng các định nghĩa cơ bản.
Định nghĩa 1
Giá trị lớn nhất của hàm y = f (x) trên một khoảng x nhất định là giá trị m a x y = f (x 0) x ∈ X, mà với mọi giá trị x x ∈ X, x ≠ x 0 thì bất đẳng thức f (x) ≤ f(x) hợp lệ 0) .
Định nghĩa 2
Giá trị nhỏ nhất của hàm y = f (x) trên một khoảng x nhất định là giá trị m i n x ∈ X y = f (x 0), mà với mọi giá trị x ∈ X, x ≠ x 0 thì bất đẳng thức f(X f (x) ≥ f(x 0) .
Những định nghĩa này khá rõ ràng. Đơn giản hơn nữa, chúng ta có thể nói điều này: giá trị lớn nhất của một hàm là giá trị lớn nhất của nó. giá trị lớn trên một khoảng đã biết tại trục hoành x 0 và nhỏ nhất là giá trị được chấp nhận nhỏ nhất trên cùng một khoảng tại x 0.
Định nghĩa 3
Điểm dừng là những giá trị của một đối số hàm mà tại đó đạo hàm của nó trở thành 0.
Tại sao chúng ta cần biết điểm dừng là gì? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần nhớ định lý Fermat. Từ đó, điểm dừng là điểm mà cực trị của hàm khả vi nằm (tức là cực tiểu hoặc cực đại cục bộ của nó). Do đó, hàm sẽ lấy giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất trong một khoảng nhất định một cách chính xác tại một trong các điểm dừng.
Một hàm cũng có thể nhận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại những điểm mà tại đó hàm đó được xác định và đạo hàm bậc nhất của nó không tồn tại.
Câu hỏi đầu tiên đặt ra khi nghiên cứu chủ đề này: trong mọi trường hợp, chúng ta có thể xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trong một khoảng nhất định không? Không, chúng ta không thể làm điều này khi ranh giới của một khoảng nhất định trùng với ranh giới của miền định nghĩa hoặc nếu chúng ta đang xử lý một khoảng vô hạn. Điều cũng xảy ra là một hàm số trong một phân đoạn nhất định hoặc ở vô cùng sẽ có giá trị vô cùng nhỏ hoặc vô cùng giá trị lớn. Trong những trường hợp này, không thể xác định giá trị lớn nhất và/hoặc nhỏ nhất.
Những điểm này sẽ trở nên rõ ràng hơn sau khi được mô tả trên biểu đồ:
Hình đầu tiên cho chúng ta thấy hàm lấy các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (m a x y và m i n y) tại các điểm đứng yên nằm trên đoạn [ - 6 ; 6].
Chúng ta hãy xem xét chi tiết trường hợp được chỉ ra trong biểu đồ thứ hai. Hãy thay đổi giá trị của phân đoạn thành [ 1 ; 6 ] và chúng ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm sẽ đạt được tại điểm có hoành độ ở ranh giới bên phải của khoảng và giá trị nhỏ nhất tại điểm cố định.
Trong hình thứ ba, hoành độ của các điểm biểu thị các điểm biên của đoạn [ - 3 ; 2]. Chúng tương ứng với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm nhất định.
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào bức tranh thứ tư. Trong đó hàm số lấy m a x y (giá trị lớn nhất) và m i n y (giá trị nhỏ nhất) tại các điểm dừng trên khoảng mở (- 6 ; 6) .
Nếu chúng ta lấy khoảng [ 1 ; 6), thì chúng ta có thể nói rằng giá trị nhỏ nhất của hàm trên nó sẽ đạt được tại một điểm đứng yên. Giá trị lớn nhất sẽ không được chúng ta biết đến. Hàm có thể lấy giá trị lớn nhất tại x bằng 6 nếu x = 6 thuộc khoảng. Đây chính xác là trường hợp được hiển thị trong biểu đồ 5.
Trên biểu đồ 6 giá trị thấp nhất chức năng nàyđạt được ở ranh giới bên phải của khoảng (- 3; 2 ] và chúng ta không thể đưa ra kết luận chắc chắn về giá trị lớn nhất.
Trong Hình 7, chúng ta thấy hàm số sẽ có m a xy tại một điểm đứng yên có hoành độ bằng 1. Hàm số sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại ranh giới của khoảng c bên phải. Ở âm vô cực, các giá trị hàm sẽ tiệm cận y = 3.
Nếu lấy khoảng x ∈ 2 ; + ∞ , thì chúng ta sẽ thấy hàm đã cho sẽ không nhận giá trị nhỏ nhất cũng như giá trị lớn nhất trên nó. Nếu x tiến tới 2 thì các giá trị của hàm sẽ có xu hướng âm vô cực, vì đường thẳng x = 2 là một tiệm cận đứng. Nếu trục hoành có xu hướng cộng vô cùng thì các giá trị của hàm sẽ tiệm cận y = 3. Đây chính xác là trường hợp được minh họa trong Hình 8.
Trong đoạn này, chúng tôi sẽ trình bày chuỗi các hành động cần thực hiện để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm trên một phân đoạn nhất định.
Đầu tiên, chúng ta hãy tìm miền định nghĩa của hàm. Hãy kiểm tra xem phân đoạn được chỉ định trong điều kiện có được bao gồm trong đó hay không.
Bây giờ hãy tính các điểm chứa trong đoạn này mà tại đó đạo hàm bậc nhất không tồn tại. Thông thường chúng có thể được tìm thấy trong các hàm có đối số được viết dưới dấu mô đun hoặc trong chức năng điện, số mũ của nó là một số hữu tỉ.
Tiếp theo, hãy tìm xem những điểm dừng nào rơi vào đoạn đã cho. Để làm điều này, bạn cần tính đạo hàm của hàm, sau đó đánh đồng nó với 0 và giải phương trình thu được, sau đó chọn các nghiệm thích hợp. Nếu chúng ta không nhận được một điểm cố định nào hoặc chúng không rơi vào đoạn đã cho thì chúng ta sẽ chuyển sang bước tiếp theo.
Chúng tôi xác định hàm sẽ lấy những giá trị nào tại các điểm dừng cho trước (nếu có) hoặc tại các điểm mà đạo hàm bậc nhất không tồn tại (nếu có) hoặc chúng tôi tính các giá trị cho x = a và x = b.
5. Chúng ta có một số giá trị hàm, từ đó chúng ta cần chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Đây sẽ là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm mà chúng ta cần tìm.
Hãy xem cách áp dụng chính xác thuật toán này khi giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1
Tình trạng:đã cho hàm y = x 3 + 4 x 2. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó trên các đoạn [ 1 ; 4 ] và [ - 4 ; - 1] .
Giải pháp:
Hãy bắt đầu bằng việc tìm miền định nghĩa của một hàm số nhất định. Trong trường hợp này, nó sẽ là tập hợp tất cả các số thực ngoại trừ 0. Nói cách khác, D(y): x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Cả hai phân đoạn được chỉ định trong điều kiện sẽ nằm trong vùng định nghĩa.
Bây giờ chúng ta tính đạo hàm của hàm theo quy tắc phân số:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Chúng ta đã biết rằng đạo hàm của hàm số sẽ tồn tại ở mọi điểm của đoạn thẳng [ 1 ; 4 ] và [ - 4 ; - 1] .
Bây giờ chúng ta cần xác định điểm dừng của hàm số. Hãy làm điều này bằng phương trình x 3 - 8 x 3 = 0. Anh ấy chỉ có một gốc thật, bằng 2. Nó sẽ là điểm dừng của hàm số và sẽ rơi vào đoạn đầu tiên [1; 4].
Chúng ta hãy tính các giá trị của hàm ở cuối đoạn đầu tiên và tại thời điểm này, tức là. với x = 1, x = 2 và x = 4:
Ta tìm được giá trị lớn nhất của hàm m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sẽ đạt được tại x = 1, và m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y(2) = 3 – tại x = 2.
Đoạn thứ hai không bao gồm một điểm dừng duy nhất, vì vậy chúng ta chỉ cần tính các giá trị hàm ở hai đầu của đoạn đã cho:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Điều này có nghĩa là m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Trả lời:Đối với đoạn [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y(2) = 3 , cho đoạn [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Xem hình ảnh:
Trước khi bạn học phương pháp này, chúng tôi khuyên bạn nên xem lại cách tính chính xác giới hạn một phía và giới hạn ở vô cùng, cũng như tìm hiểu các phương pháp cơ bản để tìm chúng. Để tìm giá trị lớn nhất và/hoặc nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng mở hoặc vô hạn, hãy thực hiện tuần tự các bước sau.
Trước tiên, bạn cần kiểm tra xem khoảng đã cho có phải là tập con của miền định nghĩa của hàm này hay không.
Chúng ta hãy xác định tất cả các điểm nằm trong khoảng cần thiết và tại đó đạo hàm bậc nhất không tồn tại. Chúng thường xuất hiện trong các hàm trong đó đối số được đặt trong dấu môđun và trong các hàm lũy thừa có phân số. chỉ số hợp lý. Nếu thiếu những điểm này thì bạn có thể tiến hành bước tiếp theo.
Bây giờ hãy xác định những điểm dừng nào sẽ nằm trong khoảng đã cho. Đầu tiên, chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0, giải phương trình và chọn các nghiệm thích hợp. Nếu chúng ta không có một điểm dừng duy nhất hoặc chúng không nằm trong khoảng thời gian đã chỉ định, thì chúng ta sẽ ngay lập tức tiến hành các hành động tiếp theo. Chúng được xác định bởi loại khoảng thời gian.
Nếu khoảng có dạng [ a ; b) thì ta cần tính giá trị của hàm số tại điểm x = a và một chiều giới hạn lim x → b - 0 f(x) .
Nếu khoảng có dạng (a;b] thì ta cần tính giá trị của hàm số tại điểm x = b và giới hạn một phía lim x → a + 0 f(x).
Nếu khoảng có dạng (a ; b) thì ta cần tính giới hạn một phía lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) .
Nếu khoảng có dạng [ a ; + ∞), thì ta cần tính giá trị tại điểm x = a và giới hạn tại cộng vô cực lim x → + ∞ f(x) .
Nếu khoảng có dạng (- ∞ ; b ] , ta tính giá trị tại điểm x = b và giới hạn tại âm vô cực lim x → - ∞ f (x) .
Nếu - ∞ ; b , khi đó ta xét giới hạn một phía lim x → b - 0 f(x) và giới hạn tại âm vô cực lim x → - ∞ f(x)
Nếu - ∞; + ∞ , khi đó ta xét các giới hạn của âm và cộng vô cực lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x).
Cuối cùng, bạn cần rút ra kết luận dựa trên các giá trị và giới hạn của hàm thu được. Có rất nhiều lựa chọn có sẵn ở đây. Vì vậy, nếu giới hạn một phía bằng âm vô cực hoặc cộng vô cùng, thì rõ ràng là không thể nói gì về giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm. Dưới đây chúng ta sẽ xem xét một ví dụ điển hình. Mô tả chi tiết sẽ giúp bạn hiểu những gì là gì. Nếu cần, bạn có thể quay lại Hình 4 - 8 trong phần đầu của tài liệu.
Ví dụ 2
Điều kiện: hàm số đã cho y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó trong các khoảng - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .
Giải pháp
Trước hết, chúng ta tìm miền định nghĩa của hàm. Mẫu số của phân số chứa tam thức bậc hai, không được chuyển về 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D(y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Chúng ta đã thu được miền định nghĩa của hàm chứa tất cả các khoảng được chỉ định trong điều kiện.
Bây giờ hãy phân biệt hàm và nhận:
y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Do đó, đạo hàm của một hàm tồn tại trong toàn bộ phạm vi định nghĩa của nó.
Hãy chuyển sang tìm điểm dừng. Đạo hàm của hàm số trở thành 0 tại x = - 1 2 . Đây là điểm dừng nằm trong các khoảng (- 3 ; 1 ] và (- 3 ; 2) .
Hãy tính giá trị của hàm tại x = - 4 cho khoảng (- ∞ ; - 4 ], cũng như giới hạn ở âm vô cực:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Vì 3 e 1 6 - 4 > - 1, điều đó có nghĩa là m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Điều này không cho phép chúng ta xác định duy nhất giá trị nhỏ nhất của Chúng ta chỉ có thể kết luận rằng có một ràng buộc bên dưới - 1, vì chính giá trị này mà hàm tiến tới tiệm cận ở âm vô cực.
Điểm đặc biệt của khoảng thứ hai là không có một điểm dừng nào và không có một ranh giới chặt chẽ nào trong đó. Do đó, chúng ta sẽ không thể tính được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm. Đã xác định giới hạn ở âm vô cực và khi đối số có xu hướng - 3 ở vế trái, chúng ta chỉ nhận được một khoảng giá trị:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Điều này có nghĩa là các giá trị của hàm sẽ nằm trong khoảng - 1; +∞
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trong khoảng thứ ba, ta xác định giá trị của hàm số tại điểm dừng x = - 1 2 nếu x = 1. Chúng ta cũng sẽ cần biết giới hạn một phía cho trường hợp đối số có xu hướng - 3 ở vế phải:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Hóa ra hàm số sẽ lấy giá trị lớn nhất tại một điểm dừng m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Còn giá trị nhỏ nhất thì chúng ta không thể xác định được. Mọi thứ chúng ta đều biết , là sự có mặt của giới hạn dưới - 4 .
Đối với khoảng (- 3 ; 2), lấy kết quả của phép tính trước đó và một lần nữa tính giới hạn một phía bằng bao nhiêu khi tiến tới 2 ở vế trái:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
Điều này có nghĩa là m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 và không thể xác định được giá trị nhỏ nhất và các giá trị của hàm bị giới hạn từ bên dưới bởi số - 4 .
Dựa trên những gì chúng ta có được trong hai phép tính trước, chúng ta có thể nói rằng trên khoảng [ 1 ; 2) hàm số sẽ lấy giá trị lớn nhất tại x = 1, nhưng không thể tìm được giá trị nhỏ nhất.
Trong khoảng (2 ; + ∞), hàm sẽ không đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, tức là. nó sẽ lấy các giá trị từ khoảng - 1 ; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Sau khi tính giá trị của hàm số sẽ bằng bao nhiêu tại x = 4, chúng ta tìm ra rằng m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , và hàm số đã cho tại điểm cộng vô cùng sẽ tiệm cận đường thẳng y = - 1 .
Hãy so sánh kết quả chúng ta thu được trong mỗi phép tính với đồ thị của hàm số đã cho. Trong hình, các tiệm cận được thể hiện bằng các đường chấm chấm.
Đó là tất cả những gì chúng tôi muốn nói với bạn về việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm. Chuỗi hành động mà chúng tôi đưa ra sẽ giúp bạn thực hiện các phép tính cần thiết một cách nhanh chóng và đơn giản nhất có thể. Nhưng hãy nhớ rằng trước tiên, việc tìm ra khoảng thời gian nào hàm sẽ giảm và khoảng thời gian nào nó sẽ tăng thường rất hữu ích, sau đó bạn có thể rút ra kết luận sâu hơn. Bằng cách này, bạn có thể xác định chính xác hơn các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm và chứng minh kết quả thu được.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
trên phân khúc
. Tiếp theo, chúng ta thay giá trị này của x vào phương trình của hàm 
trên phân khúc. 
