Bằng cấp và các tính chất của nó. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Từ số mũ nguyên của số a, sự chuyển đổi sang số mũ hữu tỷ tự gợi ý. Dưới đây chúng ta sẽ định nghĩa một độ với số mũ hữu tỷ và chúng ta sẽ làm điều này theo cách mà tất cả các tính chất của một độ với số mũ nguyên được bảo toàn. Điều này là cần thiết vì số nguyên là một phần của số hữu tỷ.

Được biết, tập hợp số hữu tỷ bao gồm các số nguyên và phân số, mỗi phân số có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thông thường dương hoặc âm. Chúng ta đã định nghĩa một độ với số mũ nguyên trong đoạn trước, do đó, để hoàn thành định nghĩa về độ với số mũ hữu tỷ, chúng ta cần đưa ra ý nghĩa cho độ của số Một với một chỉ số phân số m/n, Ở đâu tôi là một số nguyên và N- tự nhiên. Hãy làm điều này.

Hãy xem xét một mức độ với số mũ phân số có dạng . Để đặc tính quyền lực vẫn có hiệu lực, sự bình đẳng phải được giữ nguyên . Nếu chúng ta tính đến đẳng thức thu được và cách chúng ta xác định căn bậc n của bậc, thì việc chấp nhận là hợp lý, với điều kiện là đã cho tôi, N Và Một cách diễn đạt có ý nghĩa.

Có thể dễ dàng kiểm tra xem tất cả các thuộc tính của một độ có số mũ nguyên đều hợp lệ (điều này được thực hiện trong phần thuộc tính của một độ có số mũ hữu tỷ).

Suy luận trên cho phép chúng ta đưa ra nhận xét sau Phần kết luận: nếu được tôi, N Và Một biểu thức có ý nghĩa thì lũy thừa của con số Một với một chỉ số phân số m/n gọi là gốc N mức độ của Mộtở một mức độ nào đó tôi.

Tuyên bố này đưa chúng ta đến gần hơn với định nghĩa về mức độ với số mũ phân số. Tất cả những gì còn lại là mô tả những gì tôi, N Và Một cách diễn đạt có ý nghĩa. Tùy thuộc vào những hạn chế áp đặt lên tôi, N Và Một Có hai cách tiếp cận chính.

1. Cách dễ nhất là áp đặt một hạn chế đối với Một, đã chấp nhận a ≥0 tích cực tôi Và a>0 cho tiêu cực tôi(từ khi nào m<0 bằng cấp 0 m không được xác định). Sau đó, chúng ta nhận được định nghĩa sau đây về mức độ với số mũ phân số.

Sự định nghĩa.

Sức mạnh của một số dương Một với một chỉ số phân số m/n , Ở đâu tôi- toàn bộ, và N– một số tự nhiên, gọi là căn số N-thứ của số Mộtở một mức độ nào đó tôi, tức là, .



lũy thừa phân số của 0 cũng được xác định với lưu ý duy nhất là chỉ báo phải dương.

Sự định nghĩa.

lũy thừa của số 0 với số mũ dương phân số m/n , Ở đâu tôi là số nguyên dương và N– số tự nhiên, được định nghĩa là .
Khi chưa xác định được bậc, tức là bậc của số 0 với số mũ âm phân số không có ý nghĩa.

Cần lưu ý rằng với định nghĩa về độ có số mũ phân số này, có một lưu ý: đối với một số số âm Một và một số tôi Và N biểu thức có ý nghĩa, nhưng chúng tôi đã loại bỏ những trường hợp này bằng cách đưa ra điều kiện a ≥0. Ví dụ: các mục có ý nghĩa hoặc , và định nghĩa nêu trên buộc chúng ta phải nói rằng lũy ​​thừa có số mũ phân số có dạng không có ý nghĩa, vì cơ số không được âm.

2. Một cách khác để xác định bậc bằng số mũ phân số m/n bao gồm việc xem xét riêng biệt số mũ chẵn và số lẻ của nghiệm. Cách tiếp cận này yêu cầu một điều kiện bổ sung: lũy thừa của số Một, số mũ của nó là phân số thông thường có thể rút gọn, được coi là lũy thừa của số Một, chỉ số của nó là phân số tối giản tương ứng (tầm quan trọng của điều kiện này sẽ được giải thích bên dưới). Nghĩa là, nếu m/n là một phân số tối giản nên với mọi số tự nhiên kđộ được thay thế sơ bộ bằng .

Thậm chí N và tích cực tôi biểu thức có ý nghĩa đối với mọi số không âm Một(gốc chẵn của số âm không có ý nghĩa), đối với số âm tôi con số Một vẫn phải khác 0 (nếu không sẽ có phép chia cho 0). Và thật kỳ lạ N và tích cực tôi con số Một có thể là bất kỳ (căn số lẻ được xác định cho bất kỳ số thực nào) và đối với số âm tôi con số Một phải khác 0 (để không chia cho 0).

Lý do trên dẫn chúng ta đến định nghĩa về mức độ có số mũ phân số.

Sự định nghĩa.

Cho phép m/n- phân số không thể giảm được, tôi- toàn bộ, và N- số tự nhiên Đối với bất kỳ phân số có thể rút gọn nào, độ được thay thế bằng . Sức mạnh của số Một với số mũ phân số tối giản m/n- cái này là dành cho

o bất kỳ số thực nào Một, hoàn toàn tích cực tôi và tự nhiên kỳ lạ N, Ví dụ, ;

o mọi số thực khác 0 Một, số nguyên âm tôi và kỳ quặc N, Ví dụ, ;

o bất kỳ số không âm nào Một, hoàn toàn tích cực tôi và thậm chí N, Ví dụ, ;

o bất kỳ tích cực nào Một, số nguyên âm tôi và thậm chí N, Ví dụ, ;

o trong các trường hợp khác, mức độ có chỉ số phân số không được xác định, ví dụ như mức độ không được xác định .a chúng tôi không gắn bất kỳ ý nghĩa nào vào mục nhập; chúng tôi xác định lũy thừa của số 0 cho số mũ phân số dương m/n Làm sao , đối với số mũ phân số âm, lũy thừa của số 0 không được xác định.

Để kết thúc đoạn này, chúng ta hãy chú ý đến thực tế là số mũ phân số có thể được viết dưới dạng phân số thập phân hoặc hỗn số, ví dụ: . Để tính giá trị của các biểu thức thuộc loại này, bạn cần viết số mũ dưới dạng phân số thông thường, sau đó sử dụng định nghĩa của số mũ với số mũ phân số. Đối với các ví dụ trên chúng ta có Và

Video bài học “Số mũ có số mũ hữu tỉ” chứa tài liệu giáo dục trực quan để dạy bài học về chủ đề này. Bài học video chứa thông tin về khái niệm độ với số mũ hợp lý, các tính chất của độ đó, cũng như các ví dụ mô tả việc sử dụng tài liệu giáo dục để giải quyết các vấn đề thực tế. Mục đích của bài học video này là trình bày rõ ràng và rõ ràng tài liệu giáo dục, tạo điều kiện cho học sinh phát triển và ghi nhớ tài liệu đó, đồng thời phát triển khả năng giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng các khái niệm đã học.

Ưu điểm chính của bài học video là khả năng thực hiện các phép biến đổi và tính toán một cách trực quan, khả năng sử dụng hiệu ứng hoạt hình để nâng cao hiệu quả học tập. Đệm bằng giọng nói giúp phát triển lời nói toán học chính xác, đồng thời giúp giáo viên có thể thay thế lời giải thích, giúp giáo viên rảnh tay để thực hiện công việc cá nhân.

Bài học video bắt đầu bằng việc giới thiệu chủ đề. Khi kết nối việc nghiên cứu một chủ đề mới với tài liệu đã nghiên cứu trước đó, nên nhớ rằng n √a được ký hiệu khác là 1/n cho n tự nhiên và a dương. Biểu diễn n-root này được hiển thị trên màn hình. Tiếp theo, đề xuất xem xét biểu thức a m/n có nghĩa là gì, trong đó a là một số dương và m/n là một phân số nào đó. Định nghĩa về một độ với số mũ hữu tỉ là a m/n = n √a m được đưa ra, được tô sáng trong khung. Cần lưu ý rằng n có thể là số tự nhiên và m có thể là số nguyên.

Sau khi xác định một mức độ bằng số mũ hữu tỷ, ý nghĩa của nó được bộc lộ qua các ví dụ: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Nó cũng đưa ra một ví dụ trong đó lũy thừa biểu thị bằng số thập phân được chuyển đổi thành phân số để biểu diễn dưới dạng nghiệm: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 và một ví dụ với lũy thừa âm: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Điểm đặc biệt của trường hợp đặc biệt khi cơ số bằng 0 được biểu thị riêng. Cần lưu ý rằng mức độ này chỉ có ý nghĩa với số mũ phân số dương. Trong trường hợp này, giá trị của nó bằng 0: 0 m/n = 0.

Một đặc điểm khác của bậc có số mũ hữu tỷ được lưu ý - rằng bậc có số mũ phân số không thể được xem xét bằng số mũ phân số. Ví dụ về ký hiệu sai của độ được đưa ra: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Tiếp theo trong bài học video, chúng ta thảo luận về các tính chất của độ với số mũ hữu tỷ. Cần lưu ý rằng các tính chất của một bậc có số mũ nguyên cũng sẽ có giá trị đối với một bậc có số mũ hữu tỉ. Đề xuất thu hồi danh sách các thuộc tính cũng hợp lệ trong trường hợp này:

  1. Khi nhân các lũy thừa có cùng cơ số, số mũ của chúng cộng lại: a p a q = a p+q.
  2. Phép chia độ có cùng cơ số được rút gọn thành một độ với cơ số cho trước và hiệu số mũ: a p:a q =a p-q.
  3. Nếu chúng ta nâng độ lên một lũy thừa nhất định thì chúng ta sẽ có một độ với cơ số cho trước và tích các số mũ: (a p) q = a pq.

Tất cả các tính chất này đều đúng với lũy thừa có số mũ hữu tỉ p, q và cơ số dương a>0. Ngoài ra, các phép biến đổi độ khi mở ngoặc đơn vẫn đúng:

  1. (ab) p = a p b p - nâng lên lũy thừa nào đó với số mũ hữu tỉ, tích của hai số được quy về tích của các số, mỗi số được nâng lên một lũy thừa nhất định.
  2. (a/b) p =a p /b p - việc nâng một phân số lên lũy thừa với số mũ hữu tỉ sẽ được rút gọn thành một phân số có tử số và mẫu số được nâng lên một lũy thừa nhất định.

Video hướng dẫn thảo luận về cách giải các ví dụ sử dụng các thuộc tính đã xem xét của lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Ví dụ đầu tiên yêu cầu bạn tìm giá trị của một biểu thức chứa biến x theo lũy thừa phân số: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Bất chấp sự phức tạp của biểu thức, việc sử dụng các thuộc tính của lũy thừa có thể được giải quyết khá đơn giản. Việc giải quyết vấn đề bắt đầu bằng việc đơn giản hóa biểu thức, trong đó sử dụng quy tắc nâng lũy ​​thừa với số mũ hợp lý lên lũy thừa, cũng như nhân các lũy thừa có cùng cơ số. Sau khi thay thế giá trị đã cho x=8 vào biểu thức đơn giản x 1/3 +48, ​​​​bạn dễ dàng nhận được giá trị - 50.

Trong ví dụ thứ hai, bạn cần rút gọn một phân số có tử số và mẫu số chứa lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Sử dụng các tính chất của độ, chúng ta rút ra từ hiệu x 1/3, hệ số này sau đó được giảm ở tử số và mẫu số, đồng thời sử dụng công thức tính hiệu bình phương, tử số được phân tích thành nhân tử, giúp giảm thêm các giá trị giống hệt nhau các thừa số ở tử số và mẫu số. Kết quả của những phép biến đổi như vậy là phân số ngắn x 1/4 +3.

Có thể sử dụng video bài học “Số mũ có số mũ hữu tỉ” thay cho việc giáo viên giải thích chủ đề bài học mới. Sách hướng dẫn này cũng chứa đầy đủ thông tin để học sinh có thể tự học. Tài liệu này cũng có thể hữu ích cho việc học từ xa.

MBOU "Sidorskaya"

trường trung học cơ sở"

Xây dựng kế hoạch bài học mở

trong đại số lớp 11 về chủ đề:

Đã chuẩn bị và thực hiện

giáo viên toán

Ishakova E.F.

Đề cương bài học mở môn đại số lớp 11.

Chủ thể : “Một mức độ với số mũ hợp lý.”

Loại bài học : Học tài liệu mới

Mục tiêu bài học:

    Giới thiệu cho học sinh khái niệm về độ có số mũ hữu tỉ và các tính chất cơ bản của nó, dựa trên tài liệu đã học trước đó (độ có số mũ nguyên).

    Phát triển kỹ năng tính toán, khả năng chuyển đổi và so sánh các số với số mũ hữu tỉ.

    Phát triển năng lực toán học và niềm đam mê toán học cho học sinh.

Thiết bị : Thẻ bài tập, học sinh trình bày theo mức độ với chỉ số nguyên, giáo viên trình bày theo mức độ với chỉ báo hợp lý, máy tính xách tay, máy chiếu đa phương tiện, màn hình.

Tiến độ bài học:

    Thời điểm tổ chức

Kiểm tra mức độ nắm vững chủ đề được đề cập bằng cách sử dụng thẻ nhiệm vụ riêng lẻ.

Nhiệm vụ số 1.

=2;

B) =x + 5;

Giải hệ phương trình vô tỉ: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Nhiệm vụ số 2.

Giải phương trình vô tỉ: = - 3;

B) = x - 2;

Giải hệ phương trình vô tỉ: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Truyền đạt chủ đề và mục tiêu của bài học.

Chủ đề bài học hôm nay của chúng ta là “ Sức mạnh với số mũ hợp lý».

    Giải thích về tài liệu mới bằng cách sử dụng ví dụ về tài liệu đã nghiên cứu trước đó.

Bạn đã quen thuộc với khái niệm bậc với số mũ là số nguyên. Ai sẽ giúp tôi nhớ đến họ?

Sự lặp lại bằng cách sử dụng cách trình bày " Bậc có số mũ là số nguyên».

Với mọi số a, b và mọi số nguyên m và n, các đẳng thức đều đúng:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 = a ;

a 0 = 1(a ≠ 0) Hôm nay chúng ta sẽ khái quát khái niệm lũy thừa của một số và giải thích ý nghĩa của các biểu thức có số mũ phân số. Hãy giới thiệu sự định nghĩa

độ với số mũ hữu tỉ (Bài trình bày “Bằng với số mũ hữu tỉ”): > Sức mạnh của một 0 với số mũ hữu tỷ = r tôi , Ở đâu N là một số nguyên và N > - tự nhiên ( tôi .

1), được gọi là số = Vì vậy, theo định nghĩa, chúng ta có được điều đó .

tôi

Hãy thử áp dụng định nghĩa này khi hoàn thành một nhiệm vụ.

VÍ DỤ số 1

Tôi trình bày biểu thức dưới dạng gốc của một số: MỘT) B) .

TRONG)

II Biểu diễn biểu thức dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ hữu tỉ:

Tôi trình bày biểu thức dưới dạng gốc của một số: 2 MỘT) B) 5 .

Sức mạnh của 0 chỉ được xác định cho số mũ dương.

0 r= 0 với bất kỳ r> 0.

Sử dụng định nghĩa này, Nhà bạn sẽ hoàn thành #428 và #429.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng với định nghĩa về độ với số mũ hữu tỉ được xây dựng ở trên, các tính chất cơ bản của độ được bảo toàn, điều này đúng với bất kỳ số mũ nào.

Đối với mọi số hữu tỷ r và s và mọi số dương a và b, các đẳng thức sau đây có giá trị:

1 0 . Một r Một S = một r+s ;

VÍ DỤ: *

2 0 . a r: a s =a r-s ;

VÍ DỤ: :

3 0 . (a r ) s =a r ;

VÍ DỤ: ( -2/3

4 0 . ( bụng) r = Một r b r ; 5 0 . ( = .

VÍ DỤ: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

VÍ DỤ về việc sử dụng nhiều thuộc tính cùng một lúc: * : .

    Phút giáo dục thể chất.

Chúng ta đặt bút lên bàn, duỗi thẳng lưng, lúc này chúng ta đưa tay về phía trước muốn chạm vào bảng. Bây giờ chúng ta đã nâng nó lên và nghiêng sang phải, trái, tiến, lùi. Bạn đã cho tôi xem đôi tay của bạn, bây giờ hãy cho tôi thấy ngón tay của bạn có thể nhảy như thế nào.

    Làm việc trên vật liệu

Chúng ta hãy lưu ý thêm hai tính chất của độ với số mũ hữu tỷ:

6 0 . Cho phép r là số hữu tỉ và 0< a < b . Тогда

Một r < b r Tại r> 0,

Một r < b r Tại r< 0.

7 0 . Với mọi số hữu tỉr Và S từ sự bất bình đẳng r> S nó theo sau đó

Một r> một r với a > 1,

Một r < а r lúc 0< а < 1.

VÍ DỤ: So sánh các số:

VÀ ; 2 300 và 3 200 .

    Tóm tắt bài học:

Hôm nay trong bài học chúng ta ôn lại các tính chất của một cấp với số mũ nguyên, tìm hiểu định nghĩa và các tính chất cơ bản của cấp với số mũ hữu tỉ và xem xét ứng dụng của tài liệu lý thuyết này vào thực tế khi làm bài tập. Tôi muốn các bạn chú ý đến một thực tế là chủ đề “Bằng cấp với số mũ hợp lý” là bắt buộc trong các nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Khi chuẩn bị bài tập về nhà ( Số 428 và số 429

Sức mạnh với số mũ hợp lý

Khasyanova TG,

giáo viên dạy toán

Tài liệu được trình bày sẽ hữu ích cho giáo viên dạy toán khi nghiên cứu chủ đề “Số mũ với số mũ hữu tỉ”.

Mục đích của tài liệu được trình bày: bộc lộ kinh nghiệm của tôi khi thực hiện một bài học về chủ đề “Bằng cấp với số mũ hữu tỉ” của chương trình làm việc của bộ môn “Toán học”.

Phương pháp tiến hành bài học tương ứng với loại bài - bài học nghiên cứu và củng cố bước đầu kiến ​​\u200b\u200bthức mới. Kiến thức, kỹ năng cơ bản được cập nhật trên cơ sở kinh nghiệm đã tích lũy được trước đó; ghi nhớ cơ bản, củng cố và áp dụng thông tin mới. Việc củng cố và áp dụng tài liệu mới diễn ra dưới hình thức giải các bài toán mà tôi đã thử nghiệm với mức độ phức tạp khác nhau, mang lại kết quả tích cực trong việc nắm vững chủ đề.

Khi bắt đầu bài học, tôi đặt ra cho học sinh những mục tiêu sau: giáo dục, phát triển, giáo dục. Trong giờ học tôi đã sử dụng nhiều phương pháp hoạt động khác nhau: trực diện, cá nhân, cặp đôi, độc lập, kiểm tra. Các nhiệm vụ được phân biệt hóa và có thể xác định được mức độ tiếp thu kiến ​​thức ở mỗi giai đoạn của bài học. Khối lượng và độ phức tạp của nhiệm vụ tương ứng với đặc điểm lứa tuổi của học sinh. Theo kinh nghiệm của tôi, bài tập về nhà, tương tự như những bài toán được giải trong lớp, cho phép bạn củng cố kiến ​​​​thức và kỹ năng thu được một cách đáng tin cậy. Vào cuối bài học, việc phản ánh được thực hiện và đánh giá bài làm của từng học sinh.

Các mục tiêu đã đạt được. Học sinh nghiên cứu khái niệm và tính chất của bằng cấp với số mũ hữu tỷ và học cách sử dụng các tính chất này khi giải các bài toán thực tế. Đối với bài làm độc lập, điểm sẽ được công bố ở buổi học tiếp theo.

Tôi tin rằng phương pháp tôi sử dụng để dạy toán có thể được các giáo viên dạy toán sử dụng.

Đề tài bài học: lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Mục tiêu của bài học:

Xác định mức độ nắm vững tổ hợp kiến ​​thức, kỹ năng của học sinh và trên cơ sở đó áp dụng một số giải pháp nhằm cải tiến quá trình giáo dục.

Mục tiêu bài học:

giáo dục: hình thành cho học sinh kiến ​​thức mới về các khái niệm, quy tắc, định luật cơ bản để xác định độ bằng chỉ tiêu hợp lý, khả năng vận dụng độc lập kiến ​​thức trong điều kiện chuẩn, điều kiện sửa đổi và không chuẩn;

đang phát triển: suy nghĩ logic và phát huy khả năng sáng tạo;

nâng cao: phát triển niềm yêu thích với toán học, bổ sung vốn từ vựng của bạn bằng các thuật ngữ mới và thu thập thêm thông tin về thế giới xung quanh bạn. Rèn luyện tính kiên nhẫn, kiên trì và khả năng vượt qua khó khăn.

    Thời điểm tổ chức

    Cập nhật kiến ​​thức tham khảo

    Khi nhân các lũy thừa có cùng cơ số thì cộng số mũ nhưng cơ số vẫn giữ nguyên:

Ví dụ,

2. Khi chia độ có cùng cơ số thì số mũ của các cấp bị trừ nhưng cơ số vẫn giữ nguyên:


Ví dụ,

3. Khi nâng một độ lên lũy thừa, số mũ được nhân lên nhưng cơ số vẫn giữ nguyên:


Ví dụ,

4. Bậc của tích bằng tích các bậc của các yếu tố:

Ví dụ,

5. Bậc của thương bằng thương của bậc của số bị chia và số chia:


Ví dụ,

Bài tập có lời giải

Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Giải pháp:

Trong trường hợp này, không có tính chất nào của một độ với số mũ tự nhiên có thể được áp dụng một cách rõ ràng, vì tất cả các độ đều có cơ sở khác nhau. Hãy viết một số lũy thừa dưới một dạng khác:

(bậc của tích bằng tích các bậc của các yếu tố);


(khi nhân lũy thừa cùng cơ số thì cộng các lũy thừa nhưng cơ số giữ nguyên; khi nhân một bậc lên lũy thừa thì các số mũ được nhân nhưng cơ số giữ nguyên).

Sau đó chúng tôi nhận được:

Trong ví dụ này, bốn thuộc tính đầu tiên của độ với số mũ tự nhiên đã được sử dụng.

Căn bậc hai số học
là số không âm có bình phương bằngMột,
. Tại
- sự biểu lộ
không được xác định, bởi vì không có số thực nào có bình phương bằng số âmMột.

Chính tả toán học(8-10 phút.)

    Lựa chọn

II. Lựa chọn

1.Tìm giá trị của biểu thức

MỘT)

b)

1.Tìm giá trị của biểu thức

MỘT)

b)

2. Tính toán

MỘT)

b)

TRONG)

2. Tính toán

MỘT)

b)

V)

Tự kiểm tra(trên bảng ve áo):

Ma trận phản hồi:

№ tùy chọn/nhiệm vụ

Vấn đề 1

Vấn đề 2

Tùy chọn 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

V)

Tùy chọn 2

a) 1,5

b)

MỘT)

b)

c) 4

II. Hình thành kiến ​​thức mới

Chúng ta hãy xem xét biểu thức có ý nghĩa gì, ở đâu - số dương– số phân số và m-số nguyên, n-tự nhiên (n>1)

Định nghĩa: lũy thừa của a’0 với số mũ hữu tỉr = , Vì vậy, theo định nghĩa, chúng ta có được điều đó-trọn, N-tự nhiên ( N>1) số đó được gọi.

Vì thế:

Ví dụ:

Ghi chú:

1. Với mọi số dương a và mọi số hữu tỉ r một cách tích cực.

2. Khi nào
sức mạnh hợp lý của một sốMộtkhông xác định.

Biểu thức như
không có ý nghĩa.

3.Nếu một phân số dương là
.

Nếu như phân số thì số âm -không có ý nghĩa

Ví dụ: - vô nghĩa.

Chúng ta hãy xem xét các tính chất của một mức độ với số mũ hợp lý.

Cho a >0, b>0; r, s - bất kỳ số hữu tỉ nào. Khi đó một mức độ với số mũ hữu tỉ bất kỳ có các tính chất sau:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Hợp nhất. Hình thành các kỹ năng và khả năng mới.

Thẻ nhiệm vụ hoạt động theo nhóm nhỏ dưới dạng bài kiểm tra.

Cấp độ đầu vào

Bằng cấp và các tính chất của nó. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Tại sao cần bằng cấp? Bạn sẽ cần chúng ở đâu? Tại sao bạn nên dành thời gian để nghiên cứu chúng?

Để tìm hiểu mọi thứ về bằng cấp, chúng cần thiết để làm gì và cách sử dụng kiến ​​thức của bạn trong cuộc sống hàng ngày, hãy đọc bài viết này.

Và, tất nhiên, kiến ​​thức về bằng cấp sẽ đưa bạn đến gần hơn với việc vượt qua thành công Kỳ thi Bang Thống nhất hoặc Kỳ thi Bang Thống nhất và vào được trường đại học mơ ước của bạn.

Đi thôi... (Đi thôi!)

Lưu ý quan trọng! Nếu bạn thấy gobbledygook thay vì công thức, hãy xóa bộ nhớ đệm. Để thực hiện việc này, nhấn CTRL+F5 (trên Windows) hoặc Cmd+R (trên Mac).

CẤP ĐẦU VÀO

Lũy thừa là một phép toán giống như phép cộng, phép trừ, phép nhân hoặc phép chia.

Bây giờ tôi sẽ giải thích mọi thứ bằng ngôn ngữ của con người bằng những ví dụ rất đơn giản. Hãy cẩn thận. Các ví dụ là cơ bản nhưng giải thích những điều quan trọng.

Hãy bắt đầu với phép cộng.

Không có gì để giải thích ở đây. Bạn đã biết tất cả mọi thứ rồi: chúng tôi có tám người. Mọi người đều có hai chai cola. Có bao nhiêu cola? Đúng vậy - 16 chai.

Bây giờ nhân.

Ví dụ tương tự với cola có thể được viết khác đi: . Các nhà toán học là những người xảo quyệt và lười biếng. Đầu tiên, họ nhận thấy một số mẫu, sau đó tìm ra cách “đếm” chúng nhanh hơn. Trong trường hợp của chúng tôi, họ nhận thấy rằng mỗi người trong số tám người có cùng số chai cola và đã nghĩ ra một kỹ thuật gọi là phép nhân. Đồng ý, nó được coi là dễ dàng hơn và nhanh hơn.


Vì vậy, để đếm nhanh hơn, dễ dàng hơn và không mắc lỗi, bạn chỉ cần nhớ bảng nhân. Tất nhiên, bạn có thể làm mọi thứ chậm hơn, khó hơn và mắc sai lầm! Nhưng…

Đây là bảng nhân. Lặp lại.

Và một cái khác, đẹp hơn:

Những thủ thuật đếm thông minh nào khác mà các nhà toán học lười biếng nghĩ ra? Phải - nâng một số lên lũy thừa.

Nâng một số lên lũy thừa

Nếu bạn cần nhân một số với chính nó năm lần, thì các nhà toán học nói rằng bạn cần nâng số đó lên lũy thừa thứ năm. Ví dụ, . Các nhà toán học nhớ rằng lũy ​​thừa hai mũ năm là... Và họ giải quyết những vấn đề như vậy trong đầu - nhanh hơn, dễ dàng hơn và không mắc lỗi.

Tất cả những gì bạn cần làm là hãy nhớ những gì được tô màu trong bảng lũy ​​thừa của các con số. Hãy tin tôi, điều này sẽ làm cho cuộc sống của bạn dễ dàng hơn rất nhiều.

Nhân tiện, tại sao nó được gọi là cấp độ thứ hai? quảng trường số và số thứ ba - khối lập phương? Nó có nghĩa là gì? Câu hỏi rất hay. Bây giờ bạn sẽ có cả hình vuông và hình khối.

Ví dụ thực tế số 1

Hãy bắt đầu với bình phương hoặc lũy thừa bậc hai của số.

Hãy tưởng tượng một hồ bơi hình vuông có kích thước một mét x một mét. Hồ bơi ở nhà của bạn. Trời nóng và tôi thực sự muốn bơi. Nhưng... bể bơi không có đáy! Bạn cần phải lót đáy hồ bơi bằng gạch. Bạn cần bao nhiêu viên gạch? Để xác định được điều này, bạn cần biết diện tích đáy bể bơi.

Bạn có thể tính toán một cách đơn giản bằng cách chỉ ngón tay rằng đáy hồ bơi bao gồm các khối mét theo mét. Nếu bạn có gạch một mét một mét, bạn sẽ cần các mảnh. Thật dễ dàng... Nhưng bạn đã thấy những viên gạch như vậy ở đâu? Gạch rất có thể sẽ có kích thước cm x cm. Và sau đó bạn sẽ bị tra tấn bằng cách “đếm bằng ngón tay”. Sau đó bạn phải nhân lên. Vì vậy, ở một bên của đáy hồ bơi, chúng ta sẽ lắp những viên gạch (mảnh) và mặt còn lại cũng là những viên gạch. Nhân với và bạn nhận được các ô ().

Bạn có để ý rằng để xác định diện tích đáy bể bơi chúng ta đã nhân số đó với chính nó không? Nó có nghĩa là gì? Vì chúng ta nhân cùng một số nên chúng ta có thể sử dụng kỹ thuật “lũy thừa”. (Tất nhiên, khi bạn chỉ có hai số, bạn vẫn cần nhân chúng hoặc lũy thừa chúng. Nhưng nếu bạn có nhiều lũy thừa thì việc nâng chúng lên lũy thừa sẽ dễ dàng hơn nhiều và cũng ít sai sót hơn trong phép tính . Đối với Kỳ thi Thống nhất, điều này rất quan trọng).
Vì vậy, lũy thừa ba mươi mũ hai sẽ là (). Hoặc chúng ta có thể nói rằng ba mươi bình phương sẽ bằng. Nói cách khác, lũy thừa bậc hai của một số luôn có thể được biểu diễn dưới dạng bình phương. Và ngược lại, nếu bạn nhìn thấy một hình vuông thì nó LUÔN là lũy thừa bậc hai của một số nào đó. Hình vuông là hình ảnh của lũy thừa thứ hai của một số.

Ví dụ thực tế số 2

Đây là một nhiệm vụ dành cho bạn: đếm xem có bao nhiêu ô vuông trên bàn cờ bằng cách sử dụng bình phương của số... Ở một bên của ô và cả mặt kia. Để tính số của chúng, bạn cần nhân tám với tám hoặc... nếu bạn nhận thấy bàn cờ là một hình vuông có một cạnh, thì bạn có thể bình phương tám. Bạn sẽ nhận được các tế bào. () Vì thế?

Ví dụ thực tế số 3

Bây giờ là khối lập phương hoặc lũy thừa thứ ba của một số. Cùng một hồ bơi. Nhưng bây giờ bạn cần tìm hiểu xem sẽ phải đổ bao nhiêu nước vào hồ bơi này. Bạn cần tính toán khối lượng. (Nhân tiện, thể tích và chất lỏng được đo bằng mét khối. Thật bất ngờ phải không?) Vẽ một cái bể: đáy có kích thước một mét và sâu một mét, và hãy thử tính xem có bao nhiêu khối đo một mét x một mét sẽ phù hợp với hồ bơi của bạn.

Chỉ cần chỉ ngón tay của bạn và đếm! Một, hai, ba, bốn...hai mươi hai, hai mươi ba...Bạn nhận được bao nhiêu? Không bị mất? Đếm bằng ngón tay có khó không? Thế thôi! Lấy một ví dụ từ các nhà toán học. Họ lười biếng nên nhận thấy rằng để tính thể tích của bể bơi, bạn cần nhân chiều dài, chiều rộng và chiều cao của nó với nhau. Trong trường hợp của chúng ta, thể tích của bể sẽ bằng hình khối... Dễ dàng hơn phải không?

Bây giờ hãy tưởng tượng các nhà toán học lười biếng và xảo quyệt như thế nào nếu họ cũng đơn giản hóa điều này. Chúng tôi giảm mọi thứ thành một hành động. Họ nhận thấy rằng chiều dài, chiều rộng và chiều cao bằng nhau và cùng một số được nhân với chính nó... Điều này có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là bạn có thể tận dụng lợi thế của bằng cấp. Vì vậy, những gì bạn từng đếm bằng ngón tay, chúng sẽ thực hiện bằng một hành động: ba lập phương bằng nhau. Nó được viết như thế này: .

Tất cả những gì còn lại là nhớ bảng độ. Tất nhiên, trừ khi bạn lười biếng và xảo quyệt như những nhà toán học. Nếu bạn thích làm việc chăm chỉ và mắc lỗi, bạn có thể tiếp tục đếm bằng ngón tay.

Chà, để cuối cùng thuyết phục bạn rằng bằng cấp được tạo ra bởi những kẻ bỏ cuộc và những kẻ xảo quyệt để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống của họ chứ không phải để tạo ra vấn đề cho bạn, đây là một vài ví dụ nữa từ cuộc sống.

Ví dụ thực tế số 4

Bạn có một triệu rúp. Vào đầu mỗi năm, cứ mỗi một triệu bạn kiếm được, bạn sẽ kiếm được thêm một triệu nữa. Tức là cứ một triệu trong số đó của bạn sẽ tăng gấp đôi vào đầu mỗi năm. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong những năm tới? Nếu bây giờ bạn đang ngồi “đếm bằng ngón tay” thì bạn là một người rất chăm chỉ và… ngu ngốc. Nhưng rất có thể bạn sẽ đưa ra câu trả lời sau vài giây nữa, vì bạn rất thông minh! Vì vậy, trong năm đầu tiên - hai nhân với hai... vào năm thứ hai - chuyện gì đã xảy ra, với hai lần nữa, vào năm thứ ba... Dừng lại! Bạn nhận thấy rằng số này được nhân với chính nó. Vậy hai mũ năm là một triệu! Bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn có một cuộc thi và người có thể đếm nhanh nhất sẽ nhận được hàng triệu này... Thật đáng để ghi nhớ sức mạnh của các con số, bạn có nghĩ vậy không?

Ví dụ thực tế số 5

Bạn có một triệu. Vào đầu mỗi năm, bạn kiếm được thêm hai khoản cho mỗi triệu. Tuyệt vời phải không? Mỗi triệu đều tăng gấp ba lần. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong một năm? Hãy đếm. Năm đầu tiên - nhân với, sau đó kết quả với năm khác... Nó đã nhàm chán rồi, bởi vì bạn đã hiểu mọi thứ rồi: ba được nhân với chính nó lần. Vậy lũy thừa thứ tư nó bằng một triệu. Bạn chỉ cần nhớ rằng lũy ​​thừa ba lũy thừa thứ tư là hoặc.

Bây giờ bạn biết rằng bằng cách nâng lũy ​​thừa một số, bạn sẽ làm cho cuộc sống của mình dễ dàng hơn rất nhiều. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn những gì bạn có thể làm với bằng cấp và những điều bạn cần biết về chúng.

Các thuật ngữ và khái niệm...để không bị nhầm lẫn

Vì vậy, trước tiên, hãy xác định các khái niệm. Bạn có nghĩ số mũ là gì? Rất đơn giản - đó là con số "đứng đầu" lũy thừa của con số. Không khoa học nhưng rõ ràng, dễ nhớ…

Vâng, đồng thời, những gì cơ sở bằng cấp như vậy? Đơn giản hơn nữa - đây là con số nằm bên dưới, ở chân đế.

Đây là một bản vẽ cho biện pháp tốt.

Vâng, nói một cách tổng quát, để khái quát và ghi nhớ tốt hơn... Độ có cơ số “ ” và số mũ “ ” được đọc là “theo độ” và được viết như sau:

lũy thừa của một số với số mũ tự nhiên

Chắc hẳn bạn đã đoán được: vì số mũ là số tự nhiên. Vâng, nhưng nó là gì số tự nhiên? Tiểu học! Số tự nhiên là những con số dùng để đếm khi liệt kê đồ vật: một, hai, ba... Khi đếm đồ vật, chúng ta không nói: “trừ năm”, “trừ sáu”, “trừ bảy”. Chúng tôi cũng không nói: “một phần ba” hay “không điểm năm”. Đây không phải là số tự nhiên. Bạn nghĩ đây là những con số nào?

Những con số như "trừ năm", "trừ sáu", "trừ bảy" đề cập đến toàn bộ số. Nói chung, số nguyên bao gồm tất cả các số tự nhiên, các số đối diện với số tự nhiên (nghĩa là lấy bằng dấu trừ) và số. Zero rất dễ hiểu - đó là khi không có gì cả. Số âm (“trừ”) có nghĩa là gì? Nhưng chúng được phát minh ra chủ yếu để chỉ ra các khoản nợ: nếu bạn có số dư trên điện thoại bằng đồng rúp, điều này có nghĩa là bạn nợ nhà điều hành đồng rúp.

Mọi phân số đều là số hữu tỉ. Bạn nghĩ chúng phát sinh như thế nào? Rất đơn giản. Vài ngàn năm trước, tổ tiên chúng ta phát hiện ra rằng họ thiếu các số tự nhiên để đo chiều dài, trọng lượng, diện tích, v.v. Và họ đã nghĩ ra số hữu tỉ... Thật thú vị phải không?

Ngoài ra còn có những con số vô tỷ. Những con số này là gì? Nói tóm lại, đó là một phần thập phân vô hạn. Ví dụ: nếu bạn chia chu vi của một hình tròn cho đường kính của nó, bạn sẽ nhận được một số vô tỷ.

Bản tóm tắt:

Chúng ta hãy định nghĩa khái niệm về mức độ có số mũ là số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương).

  1. Bất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó:
  2. Bình phương một số có nghĩa là nhân số đó với chính nó:
  3. Lập phương một số có nghĩa là nhân số đó với chính nó ba lần:

Sự định nghĩa. Nâng một số lên lũy thừa tự nhiên có nghĩa là nhân số đó với chính nó:
.

Thuộc tính của độ

Những tài sản này đến từ đâu? Tôi sẽ chỉ cho bạn bây giờ.

Hãy xem: nó là gì Và ?

Theo định nghĩa:

Có tổng cộng bao nhiêu số nhân?

Rất đơn giản: chúng tôi đã thêm số nhân vào các thừa số và kết quả là số nhân.

Nhưng theo định nghĩa, đây là lũy thừa của một số có số mũ, tức là: , đây là điều cần chứng minh.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức.

Giải pháp:

Ví dụ:Đơn giản hóa biểu thức.

Giải pháp:Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết chắc chắn phải có những lý do tương tự!
Vì vậy, chúng ta kết hợp sức mạnh với căn cứ, nhưng nó vẫn là một yếu tố riêng biệt:

chỉ dành cho sản phẩm của sức mạnh!

Trong mọi trường hợp bạn không thể viết điều đó.

2. thế thôi lũy thừa của một số

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa về mức độ:

Hóa ra biểu thức được nhân với chính nó lần, tức là theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của số:

Về bản chất, điều này có thể được gọi là “lấy chỉ báo ra khỏi dấu ngoặc”. Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này:

Chúng ta hãy nhớ các công thức nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần?

Nhưng xét cho cùng thì điều này không đúng.

Công suất có gốc âm

Cho đến thời điểm này, chúng ta chỉ thảo luận về số mũ nên là gì.

Nhưng cơ sở nên là gì?

Trong quyền hạn của chỉ số tự nhiên cơ sở có thể là bất kỳ số nào. Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, dù là dương, âm hay thậm chí.

Hãy cùng nghĩ xem những dấu hiệu nào ("" hoặc "") sẽ có lũy thừa của số dương và số âm?

Ví dụ: số đó là dương hay âm? MỘT? ? Với cái đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: cho dù chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương thì kết quả vẫn là số dương.

Nhưng những điều tiêu cực thì thú vị hơn một chút. Chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ lớp 6: “trừ cho trừ sẽ thành cộng”. Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân lên, nó sẽ hoạt động.

Hãy tự xác định dấu của các biểu thức sau:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Bạn đã quản lý được chưa?

Đây là câu trả lời: Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng ta chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ rồi áp dụng quy tắc thích hợp.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Trong ví dụ 5) mọi thứ cũng không đáng sợ như vẻ ngoài của nó: xét cho cùng, cơ số bằng bao nhiêu không quan trọng - mức độ chẵn, có nghĩa là kết quả sẽ luôn dương.

Vâng, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không bằng nhau phải không? Rõ ràng là không, vì (vì).

Ví dụ 6) không còn đơn giản nữa!

6 ví dụ để thực hành

Phân tích giải pháp 6 ví dụ

Nếu bỏ qua sức mạnh thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Hãy nhớ lại chương trình lớp 7. Vậy bạn có nhớ không? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là hiệu bình phương! Chúng tôi nhận được:

Chúng ta hãy xem xét cẩn thận mẫu số. Nó trông rất giống một trong các thừa số của tử số, nhưng có gì sai? Thứ tự của các điều khoản là sai. Nếu chúng bị đảo ngược, quy tắc có thể được áp dụng.

Nhưng làm thế nào để làm điều này? Hóa ra điều đó rất dễ dàng: bậc chẵn của mẫu số sẽ giúp chúng ta ở đây.

Điều kỳ diệu là các điều khoản đã thay đổi vị trí. “Hiện tượng” này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ đồng đều: chúng ta có thể dễ dàng thay đổi dấu trong ngoặc đơn.

Nhưng điều quan trọng cần nhớ là: tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc!

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

Trọn chúng ta gọi các số tự nhiên, các số đối của chúng (nghĩa là lấy bằng dấu " ") và số.

số nguyên dương, và nó không khác gì tự nhiên, thì mọi thứ trông giống hệt như phần trước.

Bây giờ hãy xem xét các trường hợp mới. Hãy bắt đầu với một chỉ số bằng.

Bất kỳ số nào có lũy thừa 0 đều bằng một:

Như mọi khi, chúng ta hãy tự hỏi: tại sao lại như vậy?

Chúng ta hãy xem xét một mức độ nào đó với một cơ sở. Lấy ví dụ và nhân với:

Vì vậy, chúng ta nhân số đó với và chúng ta được kết quả tương tự - . Bạn nên nhân số nào để không có gì thay đổi? Đúng rồi, tiếp tục. Có nghĩa.

Chúng ta có thể làm tương tự với một số tùy ý:

Hãy lặp lại quy tắc:

Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một.

Nhưng có nhiều ngoại lệ đối với nhiều quy tắc. Và đây nó cũng ở đó - đây là một con số (làm cơ sở).

Một mặt, nó phải bằng bất kỳ mức độ nào - cho dù bạn nhân số 0 với chính nó bao nhiêu, bạn vẫn sẽ nhận được số 0, điều này rõ ràng. Nhưng mặt khác, giống như bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0, nó phải bằng nhau. Vậy bao nhiêu phần trăm điều này là đúng? Các nhà toán học quyết định không tham gia và từ chối nâng số 0 lên lũy thừa bằng không. Nghĩa là, bây giờ chúng ta không chỉ không thể chia cho 0 mà còn nâng nó lên lũy thừa 0.

Hãy tiếp tục. Ngoài số tự nhiên và số, số nguyên còn bao gồm số âm. Để hiểu lũy thừa âm là gì, hãy làm như lần trước: nhân một số bình thường với cùng một số để có lũy thừa âm:

Từ đây thật dễ dàng để thể hiện những gì bạn đang tìm kiếm:

Bây giờ hãy mở rộng quy tắc kết quả đến một mức độ tùy ý:

Vì vậy, hãy xây dựng một quy tắc:

Một số có lũy thừa âm là số nghịch đảo của cùng một số có lũy thừa dương. Nhưng đồng thời Cơ sở không thể rỗng:(vì bạn không thể chia cho).

Hãy tóm tắt:

I. Biểu thức không được xác định trong trường hợp. Nếu thì.

II. Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một: .

III. Một số không bằng 0 với lũy thừa âm là nghịch đảo của chính số đó với lũy thừa dương: .

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Vâng, như thường lệ, ví dụ về các giải pháp độc lập:

Phân tích bài toán để tìm lời giải độc lập:

Tôi biết, tôi biết, những con số thật đáng sợ, nhưng trong Kỳ thi Thống nhất, bạn phải chuẩn bị cho bất cứ điều gì! Hãy giải những ví dụ này hoặc phân tích lời giải của chúng nếu bạn không thể giải được và bạn sẽ học cách đối phó với chúng một cách dễ dàng trong kỳ thi!

Hãy tiếp tục mở rộng phạm vi số “phù hợp” làm số mũ.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét số hữu tỉ. Những con số nào được gọi là hợp lý?

Trả lời: mọi thứ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên, và.

Để hiểu nó là gì "độ phân số", xét phân số:

Hãy nâng cả hai vế của phương trình lên lũy thừa:

Bây giờ chúng ta hãy nhớ quy tắc về "theo mức độ":

Số nào phải được nâng lên lũy thừa để có được?

Công thức này là định nghĩa của gốc của bậc thứ.

Để tôi nhắc bạn: căn bậc lũy thừa của một số () là một số mà khi nâng lên lũy thừa sẽ bằng.

Nghĩa là, gốc của lũy thừa thứ là phép toán nghịch đảo của việc nâng lên lũy thừa: .

Hóa ra là thế. Rõ ràng, trường hợp đặc biệt này có thể được mở rộng: .

Bây giờ chúng ta cộng tử số: nó là gì? Câu trả lời rất dễ có được bằng cách sử dụng quy tắc công suất:

Nhưng cơ sở có thể là số nào không? Rốt cuộc, gốc không thể được rút ra từ tất cả các số.

Không có!

Chúng ta hãy nhớ quy tắc: bất kỳ số nào được nâng lên lũy thừa chẵn đều là số dương. Nghĩa là, không thể rút ra các nghiệm chẵn từ số âm!

Điều này có nghĩa là những số như vậy không thể được nâng lên lũy thừa phân số với mẫu số chẵn, nghĩa là biểu thức không có ý nghĩa.

Còn cách diễn đạt thì sao?

Nhưng ở đây có một vấn đề phát sinh.

Ví dụ, số có thể được biểu diễn dưới dạng các phân số có thể rút gọn khác, hoặc.

Và hóa ra nó có tồn tại nhưng không tồn tại mà đây chỉ là hai bản ghi khác nhau có cùng số lượng mà thôi.

Hoặc một ví dụ khác: một lần, sau đó bạn có thể viết nó ra. Nhưng nếu chúng ta viết chỉ số theo cách khác, chúng ta sẽ lại gặp rắc rối: (nghĩa là chúng ta nhận được một kết quả hoàn toàn khác!).

Để tránh những nghịch lý như vậy, chúng ta xem xét chỉ có số mũ cơ số dương với số mũ phân số.

Vì vậy nếu:

  • - số tự nhiên;
  • - số nguyên;

Ví dụ:

Số mũ hữu tỷ rất hữu ích cho việc chuyển đổi các biểu thức có gốc, ví dụ:

5 ví dụ để thực hành

Phân tích 5 ví dụ để đào tạo

Chà, bây giờ đến phần khó nhất. Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra nó mức độ với số mũ vô tỷ.

Tất cả các quy tắc và tính chất của độ ở đây hoàn toàn giống với độ có số mũ hữu tỷ, ngoại trừ

Xét cho cùng, theo định nghĩa, số vô tỷ là những số không thể biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là số vô tỷ đều là số thực ngoại trừ số hữu tỷ).

Khi nghiên cứu các độ với số mũ tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “sự tương tự” hoặc mô tả nhất định bằng những thuật ngữ quen thuộc hơn.

Ví dụ, độ có số mũ tự nhiên là một số được nhân với chính nó nhiều lần;

...số lũy thừa 0- đây là một số được nhân với chính nó một lần, nghĩa là họ chưa bắt đầu nhân nó, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó kết quả chỉ là một “số trống” nhất định , cụ thể là một số;

...độ nguyên âm- cứ như thể một “quá trình ngược lại” nào đó đã xảy ra, tức là số đó không được nhân với chính nó mà được chia.

Nhân tiện, trong khoa học, mức độ với số mũ phức tạp thường được sử dụng, nghĩa là số mũ thậm chí không phải là số thực.

Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu được những khái niệm mới này tại viện.

Ở ĐÂU CHÚNG TÔI CHẮC CHẮN BẠN SẼ ĐI! (nếu bạn học cách giải những ví dụ như vậy :))

Ví dụ:

Hãy tự mình quyết định:

Phân tích các giải pháp:

1. Hãy bắt đầu với quy tắc thông thường để nâng lũy ​​thừa lên lũy thừa:

Bây giờ hãy nhìn vào chỉ số. Anh ấy không nhắc nhở bạn điều gì sao? Chúng ta hãy nhớ lại công thức nhân viết tắt của hiệu các bình phương:

Trong trường hợp này,

Hóa ra là:

Trả lời: .

2. Chúng ta quy đổi các phân số theo số mũ về cùng một dạng: cả số thập phân hoặc cả số thường. Chúng tôi nhận được, ví dụ:

Đáp án: 16

3. Không có gì đặc biệt, chúng ta sử dụng các tính chất thông thường của độ:

CẤP ĐỘ NÂNG CAO

Xác định bằng cấp

Một mức độ là một biểu thức có dạng: , trong đó:

  • — cơ sở bằng cấp;
  • - số mũ.

Độ có chỉ số tự nhiên (n=1, 2, 3,...)

Nâng một số lên lũy thừa tự nhiên n có nghĩa là nhân số đó với chính nó:

Bậc có số mũ là số nguyên (0, ±1, ±2,...)

Nếu số mũ là số nguyên dương con số:

Sự thi công đến mức không:

Biểu thức này là không xác định, bởi vì, một mặt, ở bất kỳ mức độ nào cũng là thế này, và mặt khác, bất kỳ số nào ở mức độ thứ đều là thế này.

Nếu số mũ là số nguyên âm con số:

(vì bạn không thể chia cho).

Một lần nữa về số không: biểu thức không được xác định trong trường hợp này. Nếu thì.

Ví dụ:

Sức mạnh với số mũ hợp lý

  • - số tự nhiên;
  • - số nguyên;

Ví dụ:

Thuộc tính của độ

Để giải quyết vấn đề dễ dàng hơn, chúng ta hãy cố gắng hiểu: những thuộc tính này đến từ đâu? Hãy chứng minh chúng.

Hãy xem: là gì và?

Theo định nghĩa:

Vì vậy, ở phía bên phải của biểu thức này, chúng ta nhận được sản phẩm sau:

Nhưng theo định nghĩa, nó là lũy thừa của một số có số mũ, nghĩa là:

Q.E.D.

Ví dụ : Rút gọn biểu thức.

Giải pháp : .

Ví dụ : Rút gọn biểu thức.

Giải pháp : Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết phải có những lý do tương tự. Vì vậy, chúng ta kết hợp sức mạnh với căn cứ, nhưng nó vẫn là một yếu tố riêng biệt:

Một lưu ý quan trọng khác: quy tắc này - chỉ dành cho sản phẩm của sức mạnh!

Trong mọi trường hợp bạn không thể viết điều đó.

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa về mức độ:

Hãy nhóm lại công việc này như thế này:

Hóa ra biểu thức được nhân với chính nó lần, tức là theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của số:

Về bản chất, điều này có thể được gọi là “lấy chỉ báo ra khỏi dấu ngoặc”. Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này: !

Chúng ta hãy nhớ các công thức nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần? Nhưng xét cho cùng thì điều này không đúng.

Công suất có gốc âm.

Cho đến thời điểm này chúng ta mới chỉ thảo luận xem nó sẽ như thế nào chỉ báođộ. Nhưng cơ sở nên là gì? Trong quyền hạn của tự nhiên chỉ báo cơ sở có thể là bất kỳ số nào .

Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, dù là dương, âm hay thậm chí. Hãy cùng nghĩ xem những dấu hiệu nào ("" hoặc "") sẽ có lũy thừa của số dương và số âm?

Ví dụ: số đó dương hay âm? MỘT? ?

Với cái đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: cho dù chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương thì kết quả vẫn là số dương.

Nhưng những điều tiêu cực thì thú vị hơn một chút. Chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ lớp 6: “trừ cho trừ sẽ thành cộng”. Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân với (), chúng ta nhận được - .

Và cứ như vậy đến vô cùng: với mỗi phép nhân tiếp theo, dấu sẽ thay đổi. Có thể xây dựng các quy tắc đơn giản sau:

  1. thậm chíđộ, - số tích cực.
  2. Số âm nâng lên số lẻđộ, - số tiêu cực.
  3. Một số dương ở mức độ nào đó là một số dương.
  4. Số không với mọi lũy thừa đều bằng không.

Hãy tự xác định dấu của các biểu thức sau:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Bạn đã quản lý được chưa? Dưới đây là câu trả lời:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng ta chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ rồi áp dụng quy tắc thích hợp.

Trong ví dụ 5) mọi thứ cũng không đáng sợ như vẻ ngoài của nó: xét cho cùng, cơ số bằng bao nhiêu không quan trọng - mức độ chẵn, có nghĩa là kết quả sẽ luôn dương. Vâng, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không bằng nhau phải không? Rõ ràng là không, vì (vì).

Ví dụ 6) không còn đơn giản nữa. Ở đây bạn cần tìm ra cái nào ít hơn: hoặc? Nếu chúng ta nhớ điều đó, nó sẽ trở nên rõ ràng, nghĩa là cơ số nhỏ hơn 0. Tức là chúng ta áp dụng quy tắc 2: kết quả sẽ âm tính.

Và một lần nữa chúng ta sử dụng định nghĩa về mức độ:

Mọi thứ vẫn như thường lệ - chúng ta viết ra định nghĩa về độ và chia chúng cho nhau, chia chúng thành từng cặp và nhận được:

Trước khi xem xét quy tắc cuối cùng, hãy giải một vài ví dụ.

Tính các biểu thức:

Giải pháp :

Nếu bỏ qua sức mạnh thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Hãy nhớ lại chương trình lớp 7. Vậy bạn có nhớ không? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là hiệu bình phương!

Chúng tôi nhận được:

Chúng ta hãy xem xét cẩn thận mẫu số. Nó trông rất giống một trong các thừa số của tử số, nhưng có gì sai? Thứ tự của các điều khoản là sai. Nếu chúng bị đảo ngược, Quy tắc 3 có thể được áp dụng. Nhưng bằng cách nào? Hóa ra điều đó rất dễ dàng: bậc chẵn của mẫu số sẽ giúp chúng ta ở đây.

Nếu bạn nhân nó lên thì không có gì thay đổi phải không? Nhưng bây giờ nó lại thành ra thế này:

Điều kỳ diệu là các điều khoản đã thay đổi vị trí. “Hiện tượng” này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ đồng đều: chúng ta có thể dễ dàng thay đổi dấu trong ngoặc đơn. Nhưng điều quan trọng cần nhớ là: Tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc! Bạn không thể thay thế nó bằng cách chỉ thay đổi một nhược điểm mà chúng tôi không thích!

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

Vì vậy, bây giờ quy tắc cuối cùng:

Chúng ta sẽ chứng minh điều đó như thế nào? Tất nhiên, như thường lệ: hãy mở rộng khái niệm về mức độ và đơn giản hóa nó:

Chà, bây giờ hãy mở ngoặc. Có tổng cộng bao nhiêu chữ cái? lần bằng số nhân - điều này làm bạn nhớ đến điều gì? Đây không gì khác hơn là một định nghĩa về một hoạt động phép nhân: Chỉ có số nhân ở đó. Nghĩa là, theo định nghĩa, đây là lũy thừa của một số có số mũ:

Ví dụ:

Bằng cấp với số mũ vô tỷ

Ngoài thông tin về độ cho mức trung bình, chúng tôi sẽ phân tích độ bằng số mũ vô tỉ. Tất cả các quy tắc và tính chất của độ ở đây hoàn toàn giống với độ có số mũ hữu tỉ, ngoại trừ - xét cho cùng, theo định nghĩa, số vô tỷ là những số không thể biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là , số vô tỉ đều là số thực trừ số hữu tỉ).

Khi nghiên cứu độ với số mũ tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “sự tương tự” hoặc mô tả nhất định bằng những thuật ngữ quen thuộc hơn. Ví dụ, độ có số mũ tự nhiên là một số được nhân với chính nó nhiều lần; một số có lũy thừa bằng 0 dường như là một số được nhân với chính nó lần, nghĩa là họ chưa bắt đầu nhân nó, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó kết quả chỉ là một số nhất định “số trống”, tức là một số; một mức độ với số mũ âm nguyên - giống như thể một "quá trình ngược lại" nào đó đã xảy ra, nghĩa là số đó không được nhân với chính nó mà được chia.

Rất khó để tưởng tượng một mức độ với số mũ vô tỷ (cũng như rất khó để tưởng tượng một không gian 4 chiều). Đúng hơn, nó là một đối tượng toán học thuần túy mà các nhà toán học tạo ra để mở rộng khái niệm cấp độ cho toàn bộ không gian số.

Nhân tiện, trong khoa học, mức độ với số mũ phức tạp thường được sử dụng, nghĩa là số mũ thậm chí không phải là số thực. Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu được những khái niệm mới này tại viện.

Vậy chúng ta phải làm gì nếu thấy số mũ vô tỉ? Chúng tôi đang cố gắng hết sức để thoát khỏi nó :)

Ví dụ:

Hãy tự mình quyết định:

1) 2) 3)

Câu trả lời:

  1. Hãy nhớ lại sự khác biệt của công thức bình phương. Trả lời: .
  2. Chúng ta quy các phân số về cùng một dạng: cả hai số thập phân hoặc cả hai số thường. Chúng tôi nhận được, ví dụ: .
  3. Không có gì đặc biệt, chúng tôi sử dụng các thuộc tính thông thường của độ:

TỔNG HỢP PHẦN VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Bằng cấpđược gọi là biểu thức có dạng: , trong đó:

Bậc có số mũ là số nguyên

một mức độ có số mũ là số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương).

Sức mạnh với số mũ hợp lý

độ, số mũ của nó là số âm và số phân số.

Bằng cấp với số mũ vô tỷ

một mức độ có số mũ là phân số thập phân vô hạn hoặc gốc.

Thuộc tính của độ

Đặc điểm của độ.

  • Số âm nâng lên thậm chíđộ, - số tích cực.
  • Số âm nâng lên số lẻđộ, - số tiêu cực.
  • Một số dương ở mức độ nào đó là một số dương.
  • Số không tương đương với bất kỳ sức mạnh nào.
  • Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng nhau.

BÂY GIỜ BẠN CÓ LỜI...

Bạn thích bài viết như thế nào? Viết bên dưới trong phần bình luận cho dù bạn có thích hay không.

Hãy cho chúng tôi biết về trải nghiệm của bạn khi sử dụng thuộc tính độ.

Có lẽ bạn có thắc mắc. Hoặc gợi ý.

Viết trong các ý kiến.

Và chúc may mắn trong kỳ thi của bạn!