Chúng ta đã thấy rằng đạo hàm có rất nhiều công dụng: đạo hàm là tốc độ chuyển động (hay nói chung hơn là tốc độ của bất kỳ quá trình nào); đạo hàm là độ dốc tiếp tuyến với đồ thị của hàm số; bằng cách sử dụng đạo hàm, bạn có thể kiểm tra tính đơn điệu và cực trị của hàm; đạo hàm giúp giải quyết các vấn đề tối ưu hóa.
Nhưng trong cuộc sống thực Các bài toán nghịch đảo cũng phải được giải: chẳng hạn, cùng với bài toán tìm tốc độ từ một định luật chuyển động đã biết, chúng ta còn gặp bài toán khôi phục định luật chuyển động từ một tốc độ đã biết. Hãy xem xét một trong những vấn đề này.
Ví dụ 1. Di chuyển theo đường thẳng điểm vật chất, tốc độ chuyển động của nó tại thời điểm t được cho bởi công thức u = tg. Tìm định luật chuyển động.
Giải pháp.Đặt s = s(t) là quy luật chuyển động mong muốn. Biết rằng s"(t) = u"(t). Điều này có nghĩa là để giải quyết vấn đề bạn cần chọn chức năng s = s(t), có đạo hàm bằng tg. Không khó để đoán được điều đó
Hãy để chúng tôi lưu ý ngay rằng ví dụ được giải quyết chính xác, nhưng không đầy đủ. Trên thực tế, chúng ta thấy rằng bài toán có vô số nghiệm: mọi hàm có dạng 
một hằng số tùy ý có thể đóng vai trò là một định luật chuyển động, vì
Để làm cho nhiệm vụ cụ thể hơn, chúng tôi cần khắc phục tình huống ban đầu: chỉ ra tọa độ của một điểm chuyển động tại một thời điểm nào đó, ví dụ: tại t=0. Ví dụ: nếu s(0) = s 0, thì từ đẳng thức chúng ta thu được s(0) = 0 + C, tức là S 0 = C. Bây giờ định luật chuyển động được xác định duy nhất:
Trong toán học, các phép toán nghịch đảo được gán tên khác nhau, đưa ra các ký hiệu đặc biệt: ví dụ: bình phương (x 2) và trích xuất căn bậc hai sin(sinх) và arcsin(arcsin x), v.v. Quá trình tìm đạo hàm đối với hàm đã chođược gọi là vi phân, và phép toán nghịch đảo, tức là quá trình tìm hàm từ một đạo hàm nhất định - tích phân.
Bản thân thuật ngữ “phái sinh” có thể được giải thích “theo cách hiểu thông thường”: hàm y - f(x) “tạo ra sự tồn tại” tính năng mới y"= f"(x) Hàm y = f(x) đóng vai trò là “mẹ”, nhưng các nhà toán học, một cách tự nhiên, không gọi nó là “mẹ” hay “nhà sản xuất”, họ nói rằng nó liên quan đến hàm y"=f"(x), ảnh chính, hay nói ngắn gọn là nguyên hàm.
Định nghĩa 1. Hàm y = F(x) được gọi là nguyên hàm đối với hàm y = f(x) trên một khoảng X cho trước nếu với mọi x từ X thì đẳng thức F"(x)=f(x) đúng.
Trong thực tế, khoảng X thường không được xác định cụ thể mà được ngụ ý (như miền tự nhiên của định nghĩa hàm số).
Dưới đây là một số ví dụ:
1) Hàm số y = x 2 là nguyên hàm của hàm y = 2x, vì với mọi x đẳng thức (x 2)" = 2x là đúng.
2) hàm số y - x 3 là nguyên hàm của hàm y-3x 2, vì với mọi x đẳng thức (x 3)" = 3x 2 là đúng.
3) Hàm y-sinх là nguyên hàm của hàm y = cosx, vì với mọi x đẳng thức (sinx)" = cosx là đúng.
4) Hàm số là nguyên hàm của một hàm trên khoảng vì với mọi x > 0 đẳng thức là đúng
Nhìn chung, khi đã biết các công thức tìm đạo hàm thì không khó để biên soạn được một bảng các công thức tìm nguyên hàm.
Chúng tôi hy vọng bạn hiểu cách biên soạn bảng này: đạo hàm của hàm viết ở cột thứ hai bằng hàm viết ở hàng tương ứng của cột đầu tiên (hãy kiểm tra nhé, đừng lười biếng, nó rất hữu ích). Ví dụ, đối với hàm số y = x 5, nguyên hàm, như bạn sẽ thiết lập, là hàm số (xem hàng thứ tư của bảng).
Ghi chú: 1. Dưới đây chúng ta sẽ chứng minh định lý nếu y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x) thì hàm y = f(x) có vô số nguyên hàm và chúng đều có dạng y = F(x ) + C. Do đó, sẽ đúng hơn nếu thêm số hạng C vào mọi nơi trong cột thứ hai của bảng, trong đó C là một số thực tùy ý.
2. Để cho ngắn gọn, đôi khi thay vì dùng cụm từ “hàm số y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x), người ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x) .”
2. Quy tắc tìm nguyên hàm
Khi tìm nguyên hàm, cũng như khi tìm đạo hàm, không chỉ sử dụng các công thức (chúng được liệt kê trong bảng ở trang 196) mà còn sử dụng một số quy tắc. Chúng liên quan trực tiếp đến các quy tắc tương ứng để tính đạo hàm.
Ta biết rằng đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm của nó. Quy tắc này tạo ra quy tắc tương ứng để tìm nguyên hàm.
Quy tắc 1. Nguyên hàm của một tổng bằng tổng của các nguyên hàm.
Chúng tôi thu hút sự chú ý của bạn đến tính chất có phần “nhẹ nhàng” của công thức này. Trong thực tế, người ta nên xây dựng định lý: nếu các hàm y = f(x) và y = g(x) có nguyên hàm trên khoảng X, tương ứng là y-F(x) và y-G(x), thì tổng của các hàm y = f(x)+g(x) có nguyên hàm trên khoảng X, và nguyên hàm này là hàm y = F(x)+G(x). Nhưng thông thường, khi xây dựng các quy tắc (chứ không phải định lý), họ chỉ để lại từ khóa- điều này giúp việc áp dụng quy tắc vào thực tế thuận tiện hơn
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 2x + cos x.
Giải pháp. Nguyên hàm của 2x là x"; nguyên hàm của cox là sin x. Điều này có nghĩa là nguyên hàm của hàm số y = 2x + cos x sẽ là hàm số y = x 2 + sin x (và nói chung bất kỳ hàm số nào có dạng Y = x 1 + sinx + C) .
Chúng tôi biết điều đó yếu tố không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu đạo hàm. Quy tắc này tạo ra quy tắc tương ứng để tìm nguyên hàm.
Quy tắc 2. Hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của nguyên hàm.
Ví dụ 3.
Giải pháp. a) Nguyên hàm của sin x là -soz x; Điều này có nghĩa là đối với hàm y = 5 sin x thì hàm nguyên hàm sẽ là hàm y = -5 cos x.
b) Nguyên hàm của cos x là sin x; Điều này có nghĩa là nguyên hàm của hàm số là hàm
c) Nguyên hàm của x 3 là nguyên hàm của x, nguyên hàm của hàm y = 1 là hàm y = x. Sử dụng quy tắc thứ nhất và thứ hai để tìm nguyên hàm, chúng ta thấy rằng nguyên hàm của hàm số y = 12x 3 + 8x-1 chính là hàm số
Bình luận. Như đã biết, đạo hàm của một tích không bằng tích của các đạo hàm (quy tắc phân tích một tích phức tạp hơn) và đạo hàm của một thương không bằng thương của các đạo hàm. Do đó, không có quy tắc nào để tìm nguyên hàm của tích hoặc nguyên hàm của thương của hai hàm số. Hãy cẩn thận!
Chúng ta hãy tìm một quy tắc khác để tìm nguyên hàm. Ta biết đạo hàm của hàm số y = f(kx+m) được tính theo công thức
Quy tắc này tạo ra quy tắc tương ứng để tìm nguyên hàm.
Quy tắc 3. Nếu y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x), thì nguyên hàm của hàm y=f(kx+m) chính là hàm
Trong thực tế,
Điều này có nghĩa rằng nó là nguyên hàm của hàm y = f(kx+m).
Ý nghĩa của quy tắc thứ ba như sau. Nếu bạn biết rằng nguyên hàm của hàm y = f(x) là hàm y = F(x), và bạn cần tìm nguyên hàm của hàm y = f(kx+m), thì hãy tiến hành như sau: lấy cùng hàm F, nhưng thay vì đối số x, thay thế biểu thức kx+m; Ngoài ra, đừng quên viết “hệ số hiệu chỉnh” trước dấu hàm
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm cho các hàm số đã cho:
Giải pháp, a) Nguyên hàm của sin x là -soz x; Điều này có nghĩa là đối với hàm y = sin2x nguyên hàm sẽ là hàm
b) Nguyên hàm của cos x là sin x; Điều này có nghĩa là nguyên hàm của hàm số là hàm
c) Nguyên hàm của x 7 có nghĩa là với hàm số y = (4-5x) 7 thì nguyên hàm sẽ là hàm số
3. Tích phân bất định
Chúng ta đã lưu ý ở trên rằng bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số y = f(x) có nhiều hơn một nghiệm. Hãy thảo luận về vấn đề này chi tiết hơn.
Bằng chứng. 1. Giả sử y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x) trên khoảng X. Điều này có nghĩa là với mọi x từ X đẳng thức x"(x) = f(x) đúng. Chúng ta hãy tìm đạo hàm của hàm số bất kỳ có dạng y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Vì vậy, (F(x)+C) = f(x). Điều này có nghĩa là y = F(x) + C là nguyên hàm của hàm y = f(x).
Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng nếu hàm số y = f(x) có nguyên hàm y=F(x), thì hàm số (f = f(x) có vô số nguyên hàm, ví dụ, bất kỳ hàm số nào có dạng y = F(x) +C là nguyên hàm.
2. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng loại được chỉ định thì toàn bộ tập hợp nguyên hàm đã cạn kiệt.
Giả sử y=F 1 (x) và y=F(x) là hai nguyên hàm của hàm Y = f(x) trên khoảng X. Điều này có nghĩa là với mọi x từ khoảng X thì các hệ thức sau đúng: F^ ( x) = f(X); F"(x) = f(x).
Xét hàm số y = F 1 (x) -.F(x) và tìm đạo hàm của nó: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Biết rằng nếu đạo hàm của một hàm số trên khoảng X bằng 0 thì hàm số đó không đổi trên khoảng X (xem Định lý 3 từ § 35). Điều này có nghĩa là F 1(x) - F(x) = C, tức là Fx) = F(x)+C.
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 5.Định luật thay đổi vận tốc theo thời gian được cho: v = -5sin2t. Tìm định luật chuyển động s = s(t), biết tại thời điểm t=0 tọa độ của điểm bằng số 1,5 (tức là s(t) = 1,5).
Giải pháp. Vì tốc độ là đạo hàm của tọa độ như một hàm của thời gian nên trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm của tốc độ, tức là nguyên hàm của hàm v = -5sin2t. Một trong những nguyên hàm như vậy là hàm , và tập hợp tất cả các nguyên hàm có dạng:
Để tìm ý nghĩa cụ thể hằng số C, hãy sử dụng điều kiện ban đầu, theo đó, s(0) = 1,5. Thay các giá trị t=0, S = 1,5 vào công thức (1), ta thu được:
Thay giá trị tìm được của C vào công thức (1), chúng ta thu được định luật chuyển động mà chúng ta quan tâm:
Định nghĩa 2. Nếu hàm số y = f(x) có nguyên hàm y = F(x) trên khoảng X, thì tập hợp tất cả các nguyên hàm, tức là tập hợp hàm số có dạng y = F(x) + C được gọi là tích phân bất định của hàm y = f(x) và được ký hiệu là:
(đọc: " tích phân không xác định ef từ x de x").
Trong đoạn tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu những gì là ý nghĩa ẩn giấu chỉ định được chỉ định.
Dựa trên bảng nguyên hàm có sẵn trong phần này, chúng tôi sẽ biên soạn một bảng gồm các tích phân bất định chính:
Dựa vào ba quy tắc tìm nguyên hàm trên, chúng ta có thể xây dựng các quy tắc tích phân tương ứng.
Quy tắc 1. Tích phân của tổng các hàm bằng tổng Tích phân của các hàm này:
Quy tắc 2. Hệ số không đổi có thể được rút ra khỏi dấu tích phân:
Quy tắc 3. Nếu như
Ví dụ 6. Tìm tích phân không xác định:
Giải pháp, a) Sử dụng quy tắc tích phân thứ nhất và thứ hai, chúng ta thu được:
Bây giờ hãy sử dụng công thức tích phân thứ 3 và thứ 4:
Kết quả là chúng tôi nhận được:
b) Sử dụng quy tắc tích phân thứ ba và công thức 8, ta có:
c) Đối với vị trí ngay lập tứcĐối với một tích phân cho trước, chúng ta không có công thức tương ứng cũng như quy tắc tương ứng. Trong những trường hợp như vậy, được thực hiện trước chuyển đổi danh tính biểu thức chứa dưới dấu tích phân.
Hãy tận dụng công thức lượng giác Giảm độ:
Sau đó, chúng tôi tìm thấy tuần tự:
A.G. Đại số Mordkovich lớp 10
Lập kế hoạch theo chủ đề lịch trong toán học, băng hình toán trực tuyến, toán học ở trường
Mục tiêu:
- Sự hình thành khái niệm phản đạo hàm.
- Chuẩn bị cho nhận thức về tích phân.
- Hình thành kỹ năng tính toán.
- Nuôi dưỡng cảm giác về cái đẹp (khả năng nhìn thấy vẻ đẹp khác thường).
Phân tích toán học là một tập hợp các nhánh toán học dành cho việc nghiên cứu các hàm và sự khái quát hóa của chúng bằng cách sử dụng các phương pháp tính vi phân và tích phân.
Cho đến nay chúng ta đã nghiên cứu một nhánh của phân tích toán học được gọi là phép tính vi phân, bản chất của nó là nghiên cứu hàm số “nhỏ”.
Những thứ kia. nghiên cứu hàm số trong các lân cận đủ nhỏ của mỗi điểm định nghĩa. Một trong những hoạt động sự khác biệt - phát hiệnđạo hàm (vi phân) và ứng dụng vào việc nghiên cứu hàm số.
Không kém phần quan trọng là vấn đề nghịch đảo. Nếu hành vi của một hàm trong vùng lân cận của từng điểm trong định nghĩa của nó được biết thì làm thế nào người ta có thể xây dựng lại hàm đó một cách tổng thể, tức là. trong toàn bộ phạm vi định nghĩa của nó. Vấn đề này là chủ đề nghiên cứu của cái gọi là phép tính tích phân.
Tích hợp là hành động nghịch đảo của sự khác biệt. Hoặc khôi phục hàm f(x) từ đạo hàm f`(x) đã cho. từ Latinh“Integro” có nghĩa là phục hồi.
Ví dụ số 1.
Đặt (x)`=3x 2.
Hãy tìm f(x).
Giải pháp:
Dựa vào quy tắc đạo hàm, không khó để đoán f(x) = x 3, vì (x 3)` = 3x 2
Tuy nhiên, bạn có thể dễ dàng nhận thấy rằng f(x) không phải là duy nhất.
Với f(x) chúng ta có thể lấy
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, v.v.
Vì đạo hàm của mỗi số đó bằng 3x 2. (Đạo hàm của hằng số là 0). Tất cả các hàm này khác nhau bởi một số hạng không đổi. Đó là lý do tại sao giải pháp chung bài toán có thể viết dưới dạng f(x)= x 3 +C, trong đó C là số thực bất kỳ.
Bất kỳ hàm nào tìm thấy f(x) đều được gọi là PRIMODIUM cho hàm F`(x)= 3x 2
Sự định nghĩa.
Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm đối với hàm f(x) trên một khoảng J cho trước nếu với mọi x từ khoảng này F`(x)= f(x). Vì vậy hàm số F(x)=x 3 là nguyên hàm của f(x)=3x 2 trên (- ∞ ; ∞).
Vì với mọi x ~R đẳng thức là đúng: F`(x)=(x 3)`=3x 2
Như chúng ta đã nhận thấy, chức năng này có tập vô hạn nguyên hàm (xem ví dụ số 1).
Ví dụ số 2.
Hàm F(x)=x là nguyên hàm với mọi f(x)= 1/x trên khoảng (0; +), bởi vì với mọi x từ khoảng này, đẳng thức giữ nguyên.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x
Ví dụ số 3.
Hàm F(x)=tg3x là nguyên hàm của f(x)=3/cos3x trên khoảng (-n/ 2;
P/ 2),
bởi vì F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x
Ví dụ số 4.
Hàm số F(x)=3sin4x+1/x-2 là nguyên hàm của f(x)=12cos4x-1/x 2 trên khoảng (0;∞)
bởi vì F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2
Bài giảng 2.
Chủ đề: Phản đạo hàm. Tính chất chính của hàm phản đạo hàm.
Khi nghiên cứu nguyên hàm, chúng ta sẽ dựa vào nhận định sau. Dấu hiệu hằng số của hàm: Nếu trên khoảng J đạo hàm Ψ(x) của hàm bằng 0, thì trên khoảng J này hàm Ψ(x) không đổi.
Tuyên bố này có thể được chứng minh bằng hình học.
Được biết, Ψ`(x)=tgα, γde α là góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị hàm số Ψ(x) tại điểm hoành độ x 0. Nếu Ψ`(υ)=0 tại bất kỳ điểm nào trong khoảng J, thì tanα=0 δ đối với bất kỳ tiếp tuyến nào của đồ thị của hàm Ψ(x). Điều này có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại bất kỳ điểm nào song song với trục hoành. Vì vậy trên khoảng thời gian xác địnhđồ thị của hàm Ψ(x) trùng với đoạn thẳng y=C.
Vì vậy, hàm f(x)=c không đổi trên khoảng J nếu f`(x)=0 trên khoảng này.
Thật vậy, với x 1 và x 2 tùy ý từ khoảng J, sử dụng định lý về giá trị trung bình của hàm số, chúng ta có thể viết:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), bởi vì f`(c)=0, thì f(x 2)= f(x 1)
Định lý: (Tính chất chính của hàm nguyên hàm)
Nếu F(x) là một trong các nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng J, thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm này có dạng: F(x) + C, trong đó C là số thực bất kỳ.
Bằng chứng:
Đặt F`(x) = f (x), thì (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), với x Є J.
Giả sử tồn tại Φ(x) - một nguyên hàm khác của f (x) trên khoảng J, tức là. Φ`(x) = f(x),
thì (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, với x Є J.
Điều này có nghĩa là Φ(x) - F(x) không đổi trên khoảng J.
Do đó, Φ(x) - F(x) = C.
Từ đó Φ(x)= F(x)+C.
Điều này có nghĩa là nếu F(x) là nguyên hàm của hàm f (x) trên khoảng J, thì tập hợp tất cả nguyên hàm của hàm này có dạng: F(x)+C, trong đó C là số thực bất kỳ.
Do đó, hai nguyên hàm bất kỳ của một hàm số đã cho khác nhau một số hạng không đổi.
Ví dụ: Tìm tập nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x. Vẽ đồ thị của ba phần đầu tiên.
Giải pháp: Sin x là một trong các nguyên hàm của hàm f(x) = cos x
F(x) = Sin x+C – tập hợp tất cả các nguyên hàm.
F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1
Minh họa hình học:Đồ thị của bất kỳ nguyên hàm F(x)+C nào có thể thu được từ đồ thị của nguyên hàm F(x) bằng cách sử dụng phép truyền song song r (0;c).
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = 2x, tìm nguyên hàm có đồ thị đi qua t.M (1;4)
Giải pháp: F(x)=x 2 +C – tập hợp tất cả các nguyên hàm, F(1)=4 - theo các điều kiện của bài toán.
Do đó, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3
Định nghĩa phản đạo hàm.
Nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a; b) là hàm F(x) sao cho đẳng thức đúng với mọi x từ khoảng đã cho.
Nếu xét đạo hàm của hằng số C bằng 0 thì đẳng thức đúng 
. Do đó, hàm f(x) có một tập hợp nguyên hàm F(x)+C, với hằng số C tùy ý, và các nguyên hàm này khác nhau một giá trị hằng số tùy ý.
Định nghĩa tích phân không xác định.
Toàn bộ tập hợp nguyên hàm của hàm f(x) được gọi là tích phân bất định của hàm số này và được ký hiệu là 
.
Biểu thức được gọi là tích hợp và f(x) – hàm tích phân. Số nguyên đại diện cho vi phân của hàm f(x) .
Hành động tìm một hàm số chưa biết dựa trên vi phân của nó được gọi là không chắc chắn tích phân, vì kết quả của tích phân không phải là một hàm F(x), mà là một tập hợp các nguyên hàm F(x)+C của nó.
Dựa vào tính chất của đạo hàm, người ta có thể xây dựng và chứng minh tính chất của tích phân không xác định(tính chất của nguyên hàm).
Các đẳng thức trung gian của tính chất thứ nhất và thứ hai của tích phân không xác định được đưa ra để làm rõ.
Để chứng minh tính chất thứ ba và thứ tư, chỉ cần tìm đạo hàm của vế phải của các đẳng thức là đủ: 
Các đạo hàm này bằng các tích phân, đây là bằng chứng dựa vào tính chất thứ nhất. Nó cũng được sử dụng trong quá trình chuyển đổi cuối cùng.
Như vậy, bài toán tích phân là nghịch đảo của bài toán lấy vi phân và có mối liên hệ rất chặt chẽ giữa các bài toán này:
- Thuộc tính đầu tiên cho phép kiểm tra sự tích hợp. Để kiểm tra tính đúng đắn của phép tích phân được thực hiện, việc tính đạo hàm của kết quả thu được là đủ. Nếu hàm thu được do lấy vi phân hóa ra bằng tích phân, điều này có nghĩa là phép tích phân đã được thực hiện chính xác;
- Tính chất thứ hai của tích phân không xác định cho phép tìm nguyên hàm của nó từ vi phân đã biết của một hàm số. Dựa vào tính chất này tính toán trực tiếp tích phân không xác định.
Hãy xem một ví dụ.
Ví dụ.
Tìm nguyên hàm của hàm số có giá trị bằng 1 tại x = 1.
Giải pháp.
Chúng tôi biết từ phép tính vi phân, Cái gì 
(chỉ cần nhìn vào bảng đạo hàm của hàm cơ bản hàm cơ bản). Như vậy, 
. Theo tính chất thứ hai 
. Tức là chúng ta có nhiều nguyên hàm. Với x = 1 ta nhận được giá trị . Theo điều kiện, giá trị này phải bằng 1, do đó C = 1. Nguyên hàm mong muốn sẽ có dạng .
Ví dụ.
Tìm tích phân không xác định 
và kiểm tra kết quả bằng vi phân.
Giải pháp.
Theo công thức sin góc đôi từ lượng giác 
, Đó là lý do tại sao 
Trước đây, theo chức năng nhất định, được hướng dẫn bởi công thức khác nhau và các quy tắc, tìm thấy đạo hàm của nó. Đạo hàm có nhiều công dụng: đó là tốc độ chuyển động (hay nói chung hơn là tốc độ của bất kỳ quá trình nào); hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số; bằng cách sử dụng đạo hàm, bạn có thể kiểm tra tính đơn điệu và cực trị của hàm; nó giúp giải quyết các vấn đề tối ưu hóa.
Nhưng cùng với bài toán tìm vận tốc theo một quy luật chuyển động đã biết còn có một bài toán nghịch đảo - bài toán khôi phục quy luật chuyển động theo một vận tốc đã biết. Hãy xem xét một trong những vấn đề này.
Ví dụ 1. Một chất điểm chuyển động thẳng đều thì tốc độ chuyển động của nó tại thời điểm t được cho bởi công thức v=gt. Tìm định luật chuyển động.
Giải pháp. Đặt s = s(t) là quy luật chuyển động mong muốn. Biết rằng s"(t) = v(t). Nghĩa là để giải bài toán cần chọn hàm số s = s(t), đạo hàm của hàm này bằng gt. Không khó đoán rằng \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Trả lời: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Hãy để chúng tôi lưu ý ngay rằng ví dụ được giải quyết chính xác, nhưng không đầy đủ. Chúng ta có \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Trong thực tế, bài toán có vô số nghiệm: mọi hàm có dạng \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), trong đó C là hằng số tùy ý, có thể đóng vai trò là định luật của chuyển động, vì \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Để làm cho bài toán cụ thể hơn, chúng ta phải khắc phục tình huống ban đầu: chỉ ra tọa độ của một điểm chuyển động tại một thời điểm nào đó, ví dụ tại thời điểm t = 0. Nếu, giả sử, s(0) = s 0, thì từ đẳng thức s(t) = (gt 2)/2 + C ta được: s(0) = 0 + C, tức là C = s 0. Bây giờ định luật chuyển động được xác định duy nhất: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Trong toán học, các phép toán nghịch đảo lẫn nhau được đặt tên khác nhau, các ký hiệu đặc biệt được phát minh, ví dụ: bình phương (x 2) và căn bậc hai (\(\sqrt(x)\)), sin (sin x) và arcsine (arcsin x) v.v... Quá trình tìm đạo hàm của một hàm số cho trước được gọi là sự khác biệt và phép toán nghịch đảo, tức là quá trình tìm hàm từ một đạo hàm đã cho, là hội nhập.
Bản thân thuật ngữ “đạo hàm” có thể được giải thích “theo cách hiểu thông thường”: hàm y = f(x) “sinh ra” một hàm mới y" = f"(x). Hàm y = f(x) hoạt động như thể nó là “mẹ”, nhưng các nhà toán học, một cách tự nhiên, không gọi nó là “mẹ” hay “nhà sản xuất”; họ nói rằng nó đúng như vậy, liên quan đến hàm y" = f"(x) , hình ảnh chính hoặc nguyên thủy.
Sự định nghĩa. Hàm y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm y = f(x) trên khoảng X nếu đẳng thức F"(x) = f(x) đúng với \(x \in X\)
Trong thực tế, khoảng X thường không được xác định cụ thể mà được ngụ ý (như miền tự nhiên của định nghĩa hàm số).
Hãy đưa ra ví dụ.
1) Hàm số y = x 2 là nguyên hàm của hàm số y = 2x, vì với mọi x đẳng thức (x 2)" = 2x đều đúng
2) Hàm số y = x 3 là nguyên hàm của hàm y = 3x 2, vì với mọi x đẳng thức (x 3)" = 3x 2 đều đúng
3) Hàm số y = sin(x) là nguyên hàm của hàm y = cos(x), vì với mọi x đẳng thức (sin(x))" = cos(x) đều đúng
Khi tìm nguyên hàm cũng như đạo hàm, không chỉ sử dụng công thức mà còn sử dụng một số quy tắc. Chúng liên quan trực tiếp đến các quy tắc tính đạo hàm tương ứng.
Ta biết rằng đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm của nó. Quy tắc này tạo ra quy tắc tương ứng để tìm nguyên hàm.
Quy tắc 1. Nguyên hàm của một tổng bằng tổng của các nguyên hàm.
Chúng ta biết rằng hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của đạo hàm. Quy tắc này tạo ra quy tắc tương ứng để tìm nguyên hàm.
Quy tắc 2. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x), thì kF(x) là nguyên hàm của kf(x).
Định lý 1. Nếu y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x), thì nguyên hàm của hàm y = f(kx + m) là hàm \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Định lý 2. Nếu y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x) trên khoảng X, thì hàm y = f(x) có vô số nguyên hàm và chúng đều có dạng y = F(x) + C
Phương pháp tích hợp
Phương pháp thay thế biến (phương pháp thay thế)
Phương pháp tích hợp bằng cách thay thế liên quan đến việc giới thiệu một phương pháp mới biến tích hợp(nghĩa là thay thế). Trong trường hợp này, tích phân đã cho được rút gọn thành tích phân mới, dạng tích phân dạng bảng hoặc có thể rút gọn thành tích phân đó. Phương pháp phổ biến không có sự lựa chọn thay thế. Khả năng xác định chính xác sự thay thế có được thông qua thực hành.
Cần phải tính tích phân \(\textstyle \int F(x)dx \). Hãy thay thế \(x= \varphi(t) \) trong đó \(\varphi(t) \) là một hàm có đạo hàm liên tục.
Khi đó \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) và dựa trên tính chất bất biến của công thức tích phân cho tích phân không xác định, chúng ta thu được công thức tích phân bằng cách thay thế:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Tích hợp các biểu thức có dạng \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Nếu m lẻ, m > 0 thì sẽ thuận tiện hơn khi thay thế sin x = t.
Nếu n lẻ, n > 0 thì sẽ thuận tiện hơn khi thay thế cos x = t.
Nếu n và m chẵn thì việc thay thế tg x = t sẽ thuận tiện hơn.
Tích hợp theo bộ phận
Tích hợp từng phần - ứng dụng công thức sauđể hội nhập:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
hoặc:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Bảng tích phân bất định (nguyên hàm) của một số hàm số
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Một trong những thao tác vi phân là tìm đạo hàm (vi phân) và áp dụng vào nghiên cứu hàm số.
Bài toán nghịch đảo cũng không kém phần quan trọng. Nếu hành vi của một hàm trong vùng lân cận của từng điểm trong định nghĩa của nó được biết thì làm thế nào người ta có thể xây dựng lại hàm đó một cách tổng thể, tức là. trong toàn bộ phạm vi định nghĩa của nó. Vấn đề này là chủ đề nghiên cứu của cái gọi là phép tính tích phân.
Tích hợp là hành động nghịch đảo của sự khác biệt. Hoặc khôi phục hàm f(x) từ đạo hàm f`(x) đã cho. Từ Latin “integro” có nghĩa là phục hồi.
Ví dụ số 1.
Cho (f(x))’ = 3x 2. Hãy tìm f(x).
Giải pháp:
Dựa vào quy tắc đạo hàm, không khó để đoán f(x) = x 3, bởi vì
(x 3)' = 3x 2 Tuy nhiên, bạn có thể dễ dàng nhận thấy rằng f(x) không phải là duy nhất. Với f(x), bạn có thể lấy f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, v.v.
Bởi vì đạo hàm của mỗi số đó là 3x 2. (Đạo hàm của hằng số là 0). Tất cả các hàm này khác nhau bởi một số hạng không đổi. Do đó, nghiệm tổng quát của bài toán có thể được viết dưới dạng f(x) = x 3 + C, trong đó C là số thực không đổi.
Bất kỳ hàm nào tìm thấy f(x) đều được gọi là phản đạo hàm cho hàm F`(x)= 3x 2
Sự định nghĩa.
Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm đối với hàm f(x) trên một khoảng J cho trước nếu với mọi x từ khoảng này F`(x)= f(x). Vì vậy hàm số F(x)=x 3 là nguyên hàm của f(x)=3x 2 trên (- ∞ ; ∞). Vì với mọi x ~R đẳng thức là đúng: F`(x)=(x 3)`=3x 2
Như chúng ta đã lưu ý, hàm số này có vô số nguyên hàm.
Ví dụ số 2.
Hàm này có tính nguyên hàm với mọi trên khoảng (0; +∞), bởi vì với tất cả h từ khoảng này, đẳng thức được giữ nguyên.
Nhiệm vụ của tích phân là tìm tất cả các nguyên hàm của nó đối với một hàm cho trước. Khi giải quyết vấn đề này vai trò quan trọng câu lệnh sau đây phát:
Một dấu hiệu của sự cố định của chức năng. Nếu F"(x) = 0 trên khoảng I nào đó thì hàm F không đổi trên khoảng này.
Bằng chứng.
Chúng ta hãy cố định một số x 0 từ khoảng I. Sau đó, với bất kỳ số x nào từ một khoảng như vậy, nhờ công thức Lagrange, chúng ta có thể chỉ ra một số c nằm giữa x và x 0 sao cho
F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).
Theo điều kiện, F' (c) = 0, vì c ∈1, do đó,
F(x) - F(x 0) = 0.
Vì vậy, với mọi x từ khoảng I
nghĩa là hàm F lưu trữ giá trị không đổi.
Tất cả các hàm nguyên hàm f có thể được viết bằng một công thức, được gọi là dạng tổng quát của nguyên hàm của hàm số f. Định lý sau đây đúng ( tính chất chính của phản đạo hàm):
Định lý. Bất kỳ nguyên hàm nào của hàm f trên khoảng I đều có thể được viết dưới dạng
F(x) + C, (1) trong đó F (x) là một trong các nguyên hàm của hàm f (x) trên khoảng I, và C là hằng số tùy ý.
Hãy để chúng tôi giải thích phát biểu này, trong đó có hai tính chất của nguyên hàm được phát biểu ngắn gọn:
- Cho dù chúng ta đặt số nào vào biểu thức (1) thay cho C, chúng ta vẫn thu được nguyên hàm của f trên khoảng I;
- bất kể nguyên hàm Ф của f trong khoảng I được lấy là bao nhiêu, vẫn có thể chọn một số C sao cho với mọi x từ khoảng I thì đẳng thức
Bằng chứng.
- Theo điều kiện, hàm F là nguyên hàm của f trên khoảng I. Do đó, F"(x)= f (x) với mọi x∈1, do đó (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), tức là F(x) + C là nguyên hàm của hàm f.
- Cho Ф (x) là một trong các nguyên hàm của hàm f trên cùng khoảng I, tức là Ф "(x) = f (х) với mọi x∈I.
Khi đó (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.
Từ đây nó đi theo c. lũy thừa của dấu hằng số của hàm, rằng hiệu Ф(х) - F(х) là một hàm nhận một giá trị không đổi C nào đó trên khoảng I.
Do đó, với mọi x từ khoảng I đẳng thức Ф(x) - F(x)=С là đúng, đó là điều cần phải chứng minh. Tính chất chính của nguyên hàm có thể được cho ý nghĩa hình học: đồ thị của hai nguyên hàm bất kỳ của hàm f được lấy từ nhau chuyển song song dọc theo trục Oy
Câu hỏi ghi chú
Hàm F(x) là nguyên hàm của hàm f(x). Tìm F(1) nếu f(x)=9x2 - 6x + 1 và F(-1) = 2.
Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số
Với hàm số (x) = cos2 * sin2x, hãy tìm nguyên hàm của F(x) nếu F(0) = 0.
Đối với hàm số, hãy tìm nguyên hàm có đồ thị đi qua điểm