Bảng công thức vi phân cơ bản. Công thức và quy tắc vi phân (tìm đạo hàm)

Giả sử hàm y = f(x) được xác định trong khoảng X. phái sinh hàm số y = f(x) tại điểm x o được gọi là giới hạn

= .

Nếu giới hạn này hữu hạn, thì hàm f(x) được gọi có thể phân biệt được tại điểm x ồ;

Hơn nữa, hóa ra nó nhất thiết phải liên tục vào thời điểm này. Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm ồ X Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm ồ là liên tục, ta sẽ nói rằng hàm số f(x) có tại điểm.

đạo hàm vô hạn

Đạo hàm được ký hiệu bằng ký hiệu

y , f (x o), , . Việc tìm đạo hàm được gọi là sự khác biệt chức năng.Ý nghĩa hình học của đạo hàm Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm ồ ; là đạo hàm là độ dốc của tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại một điểm cho trướcý nghĩa vật lý -

là đạo hàm của đường đi theo thời gian là tốc độ tức thời của một điểm chuyển động trong quá trình chuyển động thẳng s = s(t) tại thời điểm t. Nếu như Với

là một số không đổi và u = u(x), v = v(x) là một số hàm khả vi, khi đó các quy tắc đạo hàm sau là đúng:

1)(c)” = 0, (cu) “= cu”;

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2; 5) nếu y = f(u), u = (x), tức là y = f((x)) - hàm phức tạp hoặc sự chồng chất

, bao gồm các hàm khả vi  và f, khi đó , hoặc

6) nếu với hàm y = f(x) có hàm khả vi nghịch đảo x = g(y) và  0, thì .

Dựa vào định nghĩa đạo hàm và quy tắc đạo hàm có thể biên soạn được danh sách đạo hàm dạng bảng của các hàm cơ bản chính. 1. (u )" =  u  1 u" ( ).

R

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2). Hãy tính đạo hàm của biểu thức lũy thừa y=u v , (u>0), trong đó bạn Và v Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm bản chất của chức năng từ , có đạo hàm tại một điểm cho trước,bạn".

v"

Lấy logarit của đẳng thức y=u v , ta thu được ln y = v ln u. Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm từ cả hai vế của đẳng thức thu được bằng cách sử dụng quy tắc 3, 5 và công thức đạo hàm của hàm logarit, chúng ta sẽ có:

y"/y = vu"/u +v" ln u, từ đó y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Ví dụ, nếu y = x sin x, thì y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Nếu hàm y = f(x) khả vi tại điểm x, tức là có đạo hàm hữu hạn tại điểm này ừ", thì = y"+, trong đó 0 tại х 0; do đó  y = y" х +  x.

Phần chính của hàm tăng, tuyến tính đối với x, được gọi là sự khác biệt chức năng và được ký hiệu là dy: dy = y" х. Nếu đặt y=x vào công thức này, chúng ta nhận được dx = x"х = 1х =х, do đó dy=y"dx, tức là ký hiệu for Ký hiệu đạo hàm có thể được coi là một phân số.

Hàm tăng  y là độ tăng của tọa độ của đường cong và vi phân d y là gia số thứ cấp của tiếp tuyến.

Chúng ta hãy tìm đạo hàm y=f(x) của hàm số y = f (x). Đạo hàm của đạo hàm này được gọi làđạo hàm bậc hai hàm f(x), hoặcđạo hàm bậc hai, .

và được chỉ định

Sau đây được định nghĩa và chỉ định theo cùng một cách: - ,

đạo hàm bậc ba

đạo hàm bậc bốn - và nói chung - .

đạo hàm cấp n.15. Ví dụ 3

Tính đạo hàm của hàm số y=(3x 3 -2x+1)sin x. Giải pháp.

Theo quy tắc 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1)cos x. 3.16 Ví dụ

Tính đạo hàm của hàm số y=(3x 3 -2x+1)sin x.. = .

đạo hàm cấp n.17. Tìm y”, y = tan x + .

Tính đạo hàm của hàm số y=(3x 3 -2x+1)sin x. Sử dụng quy tắc phân biệt tổng và thương, ta thu được: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + .

Tìm đạo hàm của hàm số phức y= , u=x 4 +1.

Theo quy tắc đạo hàm của hàm phức, ta có: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Vì u=x 4 +1 nên (2 x 4 + 2+

Vi phân là phép tính đạo hàm.

1. Công thức vi phân. x Các công thức phân biệt chính có trong bảng. Họ không cần phải ghi nhớ. Khi đã hiểu một số mẫu, bạn sẽ có thể rút ra những mẫu khác một cách độc lập từ một số công thức.
1) Hãy bắt đầu với công thức (k x+ m)' = k.

Trường hợp đặc biệt của nó là các công thức

′ = 1 và C′ = 0. Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm Trong bất kỳ hàm số nào có dạng y = kx + m, đạo hàm đều bằng hệ số góc k.

(2 Ví dụ: cho hàm y = 2 2 .

+ 4. Đạo hàm của nó tại điểm bất kỳ sẽ bằng 2: x + 4)′ = = 9 Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểmĐạo hàm của hàm 9 Tại

+ 5 tại mọi điểm đều bằng Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm. Vân vân. Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm Hãy tìm đạo hàm của hàm số y = 5 Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm. Để làm điều này, hãy tưởng tượng 5

(5Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểmở dạng (5 Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm+ 0). Chúng tôi đã nhận được một biểu thức tương tự như biểu thức trước đó. Có nghĩa:

)′ = (5 x′.
+ 0)′ = 5. Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm như 1 Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm+ 0. Khi đó ta có:

x′ = (1 Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm+ 0)′ = 1.

Do đó, chúng tôi độc lập rút ra công thức từ bảng:

(0 · x+ m)′ = 0.

Nhưng sau đó hóa ra m′ cũng bằng 0. Cho m = C, trong đó C là hằng số tùy ý. Sau đó chúng ta đi đến một sự thật khác: đạo hàm của một hằng số bằng 0. Tức là chúng ta nhận được một công thức khác từ bảng.

Khóa học video “Nhận điểm A” bao gồm tất cả các chủ đề cần thiết để vượt qua thành công Kỳ thi Thống nhất môn toán với 60-65 điểm. Hoàn thành tất cả các nhiệm vụ 1-13 của Kỳ thi Tiểu bang Thống nhất môn toán. Cũng thích hợp để vượt qua Kỳ thi Thống nhất Cơ bản về toán học. Nếu muốn vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 90-100 điểm, bạn cần phải giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!

Khóa luyện thi cấp Nhà nước thống nhất dành cho lớp 10-11 cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải Phần 1 của Kỳ thi Thống nhất môn toán (12 bài đầu) và Bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất, và cả học sinh 100 điểm lẫn sinh viên nhân văn đều không thể làm được nếu không có chúng.

Tất cả các lý thuyết cần thiết. Lời giải nhanh, cạm bẫy và bí quyết của kỳ thi Thống Nhất. Tất cả các nhiệm vụ hiện tại của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của Kỳ thi Thống nhất năm 2018.

Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi chủ đề kéo dài 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng.

Hàng trăm nhiệm vụ thi Thống nhất. Vấn đề từ ngữ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích các loại nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Lập thể. Những giải pháp khó khăn, những mánh gian lận hữu ích, phát triển trí tưởng tượng về không gian. Lượng giác từ đầu đến bài 13. Hiểu thay vì nhồi nhét. Giải thích rõ ràng về các khái niệm phức tạp. Đại số. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Căn cứ để giải các bài toán phức tạp Phần 2 Đề thi Thống nhất.

Trong tất cả các công thức dưới đây, các chữ cái Hãy tính đạo hàm của biểu thức lũy thừa y=u v , (u>0), trong đó Và Và hàm khả vi của biến độc lập được chỉ định x: , , và bằng chữ cái Một, c, n- không thay đổi:

1.

3.

4.

6.

Các công thức còn lại được viết cho cả hàm biến độc lập và hàm phức:

7.

8.

10.

11.

12.

13.

15.

17.

7a.

10a.

12a.

13a.

14a.

15a.

16a.

17a.

Ghi chú chi tiết đã được thực hiện trong khi giải quyết các ví dụ dưới đây. Tuy nhiên, bạn nên học cách phân biệt mà không cần nhập trung gian.

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của một hàm số .

Giải pháp. Hàm này là tổng đại số của các hàm. Chúng tôi phân biệt nó bằng công thức 3, 5, 7 và 8:

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của một hàm số

Giải pháp. Áp dụng công thức 6, 3, 7 và 1, ta có

Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của một hàm số và tính giá trị của nó tại

Giải pháp. Đây là một hàm phức tạp với một đối số trung gian. Sử dụng công thức 7a và 10, chúng ta có

Hãy tính giá trị đạo hàm tại :

.

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của một hàm số .

Giải pháp. Đây là một hàm phức tạp với một đối số trung gian. Áp dụng công thức 3, 5, 7a, 11, 16a, ta thu được

Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của một hàm số .

Giải pháp. Chúng tôi phân biệt hàm này bằng các công thức 6, 12, 3 và 1:

Ví dụ 6.

Giải pháp. Đầu tiên chúng ta biến đổi hàm bằng cách sử dụng các tính chất của logarit:

Bây giờ chúng ta phân biệt bằng công thức 3, 16a, 7 và 1:

.

Hãy tính giá trị đạo hàm tại .

Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của hàm số và tính giá trị của nó tại .

Giải pháp. Chúng tôi sử dụng các công thức 6, 3, 14a, 9a, 5 và 1:

.

Hãy tính giá trị đạo hàm tại:

.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Đạo hàm của một hàm số có cách giải thích hình học đơn giản và quan trọng.

Nếu chức năng có thể phân biệt được tại điểm Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm, khi đó đồ thị của hàm số này có tiếp tuyến tại điểm tương ứng và hệ số góc của tiếp tuyến bằng giá trị đạo hàm tại điểm đang xét.

Độ dốc của tiếp tuyến vẽ đồ thị của hàm số tại điểm ( Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm 0 , x + 4)′ = 0), bằng giá trị đạo hàm của hàm số tại x = x 0, tức là .

Phương trình của tiếp tuyến này là

Ví dụ 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A (3.6).

Giải pháp. Để tìm độ dốc của tiếp tuyến, chúng ta tìm đạo hàm của hàm số này:

.

Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm= 3:

Phương trình tiếp tuyến có dạng

Hoặc , tức là

Ví dụ 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại abscissa x=2.

Giải pháp. Đầu tiên chúng ta tìm tọa độ của điểm tiếp tuyến . Vì điểm A nằm trên đường cong nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của đường cong, tức là

; .

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm , có dạng . Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến, ta tìm đạo hàm:

.

Độ dốc của tiếp tuyến bằng giá trị đạo hàm của hàm số tại Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm= 2:

Phương trình tiếp tuyến là:

, , tức là

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm. Nếu vật chuyển động thẳng đều theo định luật s=s(t), sau đó trong một khoảng thời gian (từ thời điểm t cho đến thời điểm này ) nó sẽ di chuyển một khoảng cách. Sau đó là tốc độ di chuyển trung bình trong một khoảng thời gian.

Tốc độ chuyển động của cơ thể tại một thời điểm nhất định tđược gọi là giới hạn của tỷ lệ đường đi với khoảng tăng thời gian, khi khoảng tăng thời gian có xu hướng bằng 0:

.

Do đó, đạo hàm theo thời gian của đường đi s t bằng tốc độ chuyển động thẳng của vật tại một thời điểm nhất định:

.

Tốc độ của các quá trình vật lý, hóa học và các quá trình khác cũng được biểu thị bằng đạo hàm.

+ 4. Đạo hàm của nó tại điểm bất kỳ sẽ bằng 2: bằng tốc độ thay đổi của hàm này đối với một giá trị cho trước của đối số Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm:

Ví dụ 10.Định luật chuyển động của một điểm trên đường thẳng được cho bởi công thức (s - tính bằng mét, t - tính bằng giây). Tìm vận tốc của điểm ở cuối giây đầu tiên.

Giải pháp. Vận tốc của một điểm tại một thời điểm nhất định bằng đạo hàm của đường đi S theo thời gian t:

,

Vậy vận tốc của điểm cuối giây đầu tiên là 9 m/s.

Ví dụ 11. Một vật được ném thẳng đứng lên trên chuyển động tuân theo định luật , Ở đâu Và 0 - tốc độ ban đầu, g- Gia tốc rơi tự do của vật. Tìm tốc độ của chuyển động này tại thời điểm bất kỳ t. Vật sẽ nâng lên trong bao lâu và nó sẽ nâng lên độ cao bao nhiêu nếu v 0= 40 m/s?

Giải pháp. Tốc độ chuyển động của một điểm tại một thời điểm nhất định t bằng đạo hàm của đường đi S theo thời gian t:

.

Tại điểm đi lên cao nhất, tốc độ của vật bằng 0:

, , , , Với.

Trên 40/ g giây cơ thể tăng lên một độ cao

, m.

Đạo hàm thứ hai.

+ 4. Đạo hàm của nó tại điểm bất kỳ sẽ bằng 2: trong trường hợp tổng quát là hàm của Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm. Nếu tính đạo hàm của hàm này thì ta được đạo hàm bậc hai hoặc đạo hàm bậc hai của hàm số .

Đạo hàm thứ hai chức năng được gọi là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất của nó .

Đạo hàm bậc hai của hàm số được biểu thị bằng một trong các ký hiệu -, , . Như vậy, .

Đạo hàm của bất kỳ thứ tự nào cũng được định nghĩa và ký hiệu tương tự. Ví dụ: đạo hàm bậc ba:

hoặc ,

Ví dụ 12. .

Giải pháp. Đầu tiên hãy tìm đạo hàm bậc nhất

Ví dụ 13. Tìm đạo hàm bậc hai của một hàm số và tính giá trị của nó tại x=2.

Giải pháp. Đầu tiên, hãy tìm đạo hàm đầu tiên:

Đạo hàm lần nữa, ta tìm đạo hàm bậc hai:

Hãy tính giá trị đạo hàm bậc hai tại x=2; chúng tôi có

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm bậc hai.

Nếu một vật chuyển động thẳng đều theo định luật s = s(t), thì đạo hàm bậc hai của đường đi S theo thời gian t bằng gia tốc của vật tại một thời điểm nhất định t:

Do đó, đạo hàm thứ nhất đặc trưng cho tốc độ của một quá trình nhất định và đạo hàm thứ hai đặc trưng cho gia tốc của cùng một quá trình.

Ví dụ 14. Một điểm chuyển động thẳng đều tuân theo định luật. Tìm tốc độ và gia tốc của chuyển động .

Giải pháp. Tốc độ chuyển động của vật tại một thời điểm nhất định bằng đạo hàm của đường đi S theo thời gian t, và gia tốc là đạo hàm bậc hai của đường đi S theo thời gian t. Chúng tôi tìm thấy:

; Sau đó ;

; Sau đó

Ví dụ 15. Tốc độ của chuyển động thẳng tỉ lệ với căn bậc hai của quãng đường đã đi (ví dụ như khi rơi tự do). Chứng minh rằng chuyển động này xảy ra dưới tác dụng của một lực không đổi.

Giải pháp. Theo định luật Newton, lực F gây ra chuyển động tỷ lệ thuận với gia tốc, tức là.

Hoặc

Theo điều kiện, . Đạo hàm đẳng thức này, ta tìm được

Vì vậy, lực tác dụng .

Ứng dụng đạo hàm vào nghiên cứu hàm số.

1) Điều kiện tăng hàm: Hàm khả vi y = f(x) tăng đơn điệu trên khoảng X khi và chỉ khi đạo hàm của nó lớn hơn 0, tức là. y = f(x) f’(x) > 0. Điều kiện này về mặt hình học có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị của hàm này tạo thành một góc nhọn có hướng dương với trục oX.

2) Điều kiện để hàm số giảm: Hàm khả vi y = f(x) giảm đơn điệu trên khoảng X khi và chỉ khi đạo hàm của nó nhỏ hơn 0, tức là.

y = f(x)↓ f'(x) Điều kiện này về mặt hình học có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị của hàm số này tạo thành một góc tù với hướng dương của trục oX)

3) Điều kiện hằng số của hàm số: Hàm khả vi y = f(x) không đổi trên khoảng X khi và chỉ khi đạo hàm của nó bằng 0, tức là. y = f(x) - hằng số f’(x) = 0 .Điều kiện này về mặt hình học có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị của hàm số này song song với trục oX, tức là α = 0)

Cực trị của một hàm.

Định nghĩa 1: Điểm x = x 0 được gọi là điểm tối thiểu hàm y = f(x), nếu điểm này có một lân cận mà tất cả các điểm (trừ chính điểm đó) đều thỏa mãn bất đẳng thức f(x)> f(x 0)

Định nghĩa 2:Điểm x = x 0 được gọi là điểm tối đa hàm y = f(x), nếu điểm này có một lân cận mà tất cả các điểm (trừ chính điểm đó) đều thỏa mãn bất đẳng thức f(x)< f(x 0).

Định nghĩa 3: Điểm cực tiểu hoặc cực đại của hàm số gọi là điểm cực độ. Giá trị của hàm tại thời điểm này được gọi là cực trị.

Ghi chú: 1. Giá trị lớn nhất (tối thiểu) không nhất thiết phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số;

2. Một hàm số có thể có nhiều cực đại hoặc cực tiểu;

3. Hàm xác định trên một đoạn chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm bên trong của đoạn đó.

5) Điều kiện cần của cực trị: Nếu hàm y = f(x) có cực trị tại điểm x = x 0 thì tại điểm này đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Những điểm này được gọi là điểm tới hạn loại 1.

6) Điều kiện đủ để tồn tại cực trị của hàm số: Giả sử hàm y = f(x) liên tục trên khoảng X và có điểm tới hạn loại một x = x 0 bên trong khoảng này thì:

a) nếu điểm này có một lân cận trong đó với x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0 thì x = x 0 là một điểm tối thiểu hàm số y = f(x);

b) nếu điểm này có một lân cận trong đó với x< х 0 f’(x) >0 và với x > x 0

f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой tối đa hàm số y = f(x);

c) nếu điểm này có một lân cận sao cho cả ở bên phải và bên trái của điểm x 0 đều có dấu của đạo hàm giống nhau, thì tại điểm x 0 không có cực trị.

Khoảng của hàm số giảm hoặc hàm tăng được gọi là khoảng sự đơn điệu.

Định nghĩa1:Đường cong y = f(x) được gọi là lồi xuống trên khoảng a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется lồi lên trên khoảng a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Định nghĩa 2: Các khoảng trong đó đồ thị của hàm số lồi lên hoặc lồi xuống được gọi là khoảng lồiđồ họa chức năng.

Điều kiện đủ cho độ lồi của đường congĐồ thị của hàm khả vi Y = f(x) là lồi lên trên khoảng a< х <в, если f”(x) < 0 и lồi xuống, nếu f”(x) > 0.

Định nghĩa 1: Những điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai bằng 0 hoặc không tồn tại được gọi là điểm tới hạn của loại thứ hai.

Định nghĩa 2:Điểm trên đồ thị của hàm số Y = f(x), ngăn cách các khoảng lồi của các hướng ngược nhau của đồ thị này, được gọi là điểm sự uốn cong

điểm uốn

Theo quy tắc 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1)cos x.: Cho hàm số y = x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Xét hàm số theo khoảng đơn điệu và điểm cực trị. Xác định hướng của độ lồi và điểm uốn.

Giải: 1. Tìm miền định nghĩa của hàm số: D(y) = ;

2. Tìm đạo hàm bậc nhất: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Giải phương trình: y’ = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0 thì phương trình này vô nghiệm nên không có điểm cực trị. y’ , thì hàm số sẽ tăng trên toàn bộ miền định nghĩa.

4. Tìm đạo hàm bậc hai: y” = 6x - 4;

5. Giải phương trình: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =

Trả lời: ( ; - ) - điểm uốn, hàm số lồi hướng lên tại x và lồi hướng lên tại x

tiệm cận.

1. Định nghĩa: tiệm cận của một đường cong là đường thẳng mà đồ thị của một hàm số cho trước tiến tới không có giới hạn.

2. Các loại tiệm cận:

1) Đường tiệm cận đứng. Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng nếu . Phương trình tiệm cận đứng có dạng x = a

2) tiệm cận ngang. Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận ngang nếu . Phương trình tiệm cận ngang có dạng y = b.

Ví dụ 1: Cho hàm y = tìm các tiệm cận.

3) Đường tiệm cận xiên.Đường thẳng y = kx + b được gọi là tiệm cận nghiêng của đồ thị hàm số y = f(x), nếu . Các giá trị của k và b được tính bằng các công thức: k = ; b = .

Giải pháp: , thì y = 0 - tiệm cận ngang;

(vì x - 3 ≠ 0, x ≠3) thì x = 3 là tiệm cận đứng. ,T. e.k = 0 thì đường cong không có tiệm cận xiên.

Ví dụ 2: Cho hàm y = tìm các tiệm cận.

Giải: x 2 - 25 ≠ 0 với x ≠ ± 5 thì x = 5 và x = - 5 là các tiệm cận ngang;

y = , thì đường cong không có tiệm cận đứng;

k = ; b = , tức là y = 5x - tiệm cận xiên.

Ví dụ về chức năng vẽ đồ thị.

Ví dụ 1.

Khám phá hàm số và xây dựng đồ thị hàm số y = x 3 - 6x 2 + 9x - 3

1. Tìm miền định nghĩa của hàm số: D(y) = R

y(- x) = (- x) 3 - 6·(- x) 2 + 9·(-x) - 3 = - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 = - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), tức là

(y = x 5 - x 3 - lẻ, y = x 4 + x 2 - chẵn)

3. Không định kỳ.

4. Tìm giao điểm với các trục tọa độ: nếu x = 0 thì y = - 3 (0; - 3)

nếu Y = 0 thì x khó tìm được.

5. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: Không có tiệm cận đứng vì không có giá trị nào của x mà tại đó hàm không xác định được; y = , tức là không có tiệm cận ngang;

k = , tức là không có tiệm cận xiên.

6. Ta nghiên cứu hàm số các khoảng đơn điệu và cực trị của nó: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y’= 0. 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - điểm tới hạn loại 1.

Hãy xác định dấu của đạo hàm: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - điểm tối đa; y min = y(3) = - 3, (3; - 3) - điểm tối thiểu, hàm y cho x và y .

7. Xét hàm số theo khoảng lồi và điểm uốn:

y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - điểm tới hạn loại 1.

Hãy xác định dấu của đạo hàm bậc hai: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - điểm uốn, hàm lồi hướng lên tại x và lồi hướng xuống tại x.

8. Điểm bổ sung:

Nếu giới hạn đang xét bằng  (hoặc - ), thì với điều kiện là hàm số tại điểm	- 1
x + 4)′ =	- 19

9. Hãy vẽ đồ thị hàm số:

Khám phá hàm số và xây dựng đồ thị của hàm số y =

1. Tìm miền định nghĩa của hàm số: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .

2. Tìm xem hàm số này là chẵn hay lẻ: ,

y(- x) ≠ y(x) - không chẵn và y(- x) ≠ - y(x) - không lẻ

3. Không định kỳ.

4. Tìm giao điểm với các trục tọa độ: x = 0 thì y = - 2; y = 0 thì , tức là (0; - 2); ().

5. Hãy tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: vì x ≠ 1 thì đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng;