Định nghĩa hàm liên tục Tính liên tục của hàm số - định lý và tính chất

Tính liên tục của chức năng. Điểm đột phá.

Con bò bước đi, lắc lư, thở dài khi đi:
- Ôi, ván hết rồi, bây giờ tôi sắp ngã rồi!

Trong bài này chúng ta sẽ xem xét khái niệm tính liên tục của hàm số, sự phân loại các điểm gián đoạn và một bài toán thực tế thường gặp Nghiên cứu tính liên tục của hàm. Ngay từ tên của chủ đề, nhiều người đã trực giác đoán được nội dung sẽ được thảo luận và cho rằng tài liệu này khá đơn giản. Điều này là đúng. Nhưng những nhiệm vụ đơn giản thường bị trừng phạt vì bỏ bê và cách tiếp cận hời hợt để giải quyết chúng. Vì vậy, tôi khuyên bạn nên nghiên cứu bài viết thật kỹ và nắm bắt tất cả những điều tinh tế và kỹ thuật.

Bạn cần biết gì và có thể làm gì? Không nhiều lắm. Để học tốt bài học các em cần hiểu nó là gì giới hạn của hàm. Đối với những độc giả có trình độ chuẩn bị thấp chỉ cần hiểu bài là đủ Giới hạn chức năng. Ví dụ về giải pháp và nhìn vào ý nghĩa hình học của giới hạn trong sổ tay Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Bạn cũng nên làm quen với biến đổi hình học của đồ thị, vì thực tế trong hầu hết các trường hợp đều liên quan đến việc xây dựng một bản vẽ. Mọi người đều có triển vọng lạc quan, và ngay cả một ấm đun nước đầy cũng có thể tự mình đương đầu với nhiệm vụ trong một hoặc hai giờ tới!

Tính liên tục của chức năng. Điểm dừng và phân loại của chúng

Khái niệm tính liên tục của hàm số

Hãy xét một hàm số liên tục trên toàn bộ trục số:

Hay nói một cách ngắn gọn hơn, hàm của chúng ta liên tục trên (tập hợp số thực).

Tiêu chí “philistine” về tính liên tục là gì? Rõ ràng, có thể vẽ đồ thị của hàm số liên tục mà không cần nhấc bút chì ra khỏi giấy.

Trong trường hợp này, cần phân biệt rõ ràng hai khái niệm đơn giản: miền của hàm Và tính liên tục của chức năng. Nói chung nó không giống nhau. Ví dụ:

Hàm này được xác định trên toàn bộ trục số, nghĩa là đối với mọi ngườiÝ nghĩa của “x” có ý nghĩa riêng của “y”. Đặc biệt, nếu , thì . Lưu ý rằng điểm còn lại có dấu chấm câu, vì theo định nghĩa của hàm, giá trị của đối số phải tương ứng với điều duy nhất giá trị hàm. Như vậy, miền định nghĩa chức năng của chúng tôi: .

Tuy nhiên chức năng này không hoạt động liên tục! Rõ ràng là vào thời điểm đó cô ấy đang đau khổ khoảng cách. Thuật ngữ này cũng khá dễ hiểu và trực quan; thực sự ở đây dù sao thì bút chì cũng sẽ phải được xé ra khỏi giấy. Một lát sau chúng ta sẽ xem xét việc phân loại các điểm dừng.

Tính liên tục của hàm số tại một điểm và trên một khoảng

Trong một bài toán cụ thể, chúng ta có thể nói về tính liên tục của hàm số tại một điểm, tính liên tục của hàm số trên một đoạn, nửa khoảng hoặc tính liên tục của hàm số trên một đoạn. Đó là, không có “sự liên tục đơn thuần”– chức năng có thể liên tục ở ĐÂU. Và “khối xây dựng” cơ bản của mọi thứ khác là tính liên tục của chức năng tại điểm .

Lý thuyết phân tích toán học đưa ra định nghĩa về tính liên tục của hàm tại một điểm bằng cách sử dụng các vùng lân cận “delta” và “epsilon”, nhưng trong thực tế, có một định nghĩa khác được sử dụng mà chúng ta sẽ chú ý kỹ hơn.

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ lại giới hạn một phía người đã bước vào cuộc sống của chúng tôi trong bài học đầu tiên về đồ thị hàm số. Hãy xem xét một tình huống hàng ngày:

Nếu chúng ta tiếp cận trục tới điểm bên trái(mũi tên đỏ), khi đó các giá trị tương ứng của các “trò chơi” sẽ đi dọc theo trục đến điểm (mũi tên đỏ thẫm). Về mặt toán học, thực tế này được cố định bằng cách sử dụng giới hạn bên trái:

Hãy chú ý đến mục nhập (đọc “x có xu hướng ka ở bên trái”). “Phụ gia” “trừ số 0” tượng trưng cho , về cơ bản điều này có nghĩa là chúng ta đang tiếp cận số từ phía bên trái.

Tương tự, nếu bạn tiếp cận điểm “ka” Phải(mũi tên màu xanh lam), khi đó các “trò chơi” sẽ có cùng giá trị, nhưng dọc theo mũi tên màu xanh lá cây và giới hạn bên phải sẽ được định dạng như sau:

“Phụ gia” tượng trưng cho , và mục ghi: “x có xu hướng ka ở bên phải.”

Nếu giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau(như trong trường hợp của chúng tôi): , thì chúng ta sẽ nói rằng có một giới hạn TỔNG QUÁT. Thật đơn giản, giới hạn chung là “thông thường” của chúng tôi giới hạn của hàm, bằng một số hữu hạn.

Lưu ý rằng nếu hàm không được xác định tại (thò ra chấm đen trên nhánh đồ thị) thì các phép tính trên vẫn hợp lệ. Như đã được lưu ý nhiều lần, đặc biệt trong bài viết về hàm số vô cùng nhỏ, biểu thức có nghĩa là "x" vô cùng gần gũi tiếp cận điểm, trong khi KHÔNG QUAN TRỌNG, cho dù bản thân hàm đó có được xác định tại một điểm nhất định hay không. Một ví dụ điển hình sẽ được tìm thấy trong đoạn tiếp theo, khi hàm được phân tích.

Sự định nghĩa: một hàm số liên tục tại một điểm nếu giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước bằng giá trị của hàm số tại điểm đó: .

Định nghĩa được trình bày chi tiết trong các thuật ngữ sau:

1) Hàm phải được xác định tại điểm, nghĩa là giá trị phải tồn tại.

2) Phải có giới hạn chung của hàm số. Như đã lưu ý ở trên, điều này ngụ ý sự tồn tại và bằng nhau của các giới hạn một phía: .

3) Giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó: .

Nếu vi phạm ít nhất một trong ba điều kiện thì hàm số mất tính chất liên tục tại điểm .

Tính liên tục của hàm số trong khoảngđược phát biểu một cách khéo léo và rất đơn giản: một hàm số liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đã cho.

Đặc biệt, nhiều hàm số liên tục trên một khoảng vô hạn, tức là trên tập số thực. Đây là hàm tuyến tính, đa thức, hàm mũ, sin, cosin, v.v. Và nói chung, bất kỳ hàm nào hàm cơ bản liên tục trên nó miền định nghĩa, ví dụ: hàm logarit liên tục trên khoảng . Hy vọng đến bây giờ bạn đã hiểu rõ về đồ thị của các hàm cơ bản trông như thế nào. Thông tin chi tiết hơn về tính liên tục của họ có thể được lấy từ một người đàn ông tốt bụng tên là Fichtenholtz.

Với tính liên tục của một hàm số trên một đoạn và nửa quãng, mọi thứ cũng không có gì khó khăn nhưng sẽ thích hợp hơn khi nói về vấn đề này trên lớp. về việc tìm giá trị tối thiểu và tối đa của hàm trên một đoạn, nhưng bây giờ chúng ta đừng lo lắng về điều đó.

Phân loại điểm dừng

Cuộc sống hấp dẫn của các chức năng rất phong phú với đủ loại điểm đặc biệt và điểm dừng chỉ là một trong những trang trong tiểu sử của họ.

Ghi chú : để đề phòng, tôi sẽ tập trung vào một điểm cơ bản: điểm đột phá luôn là điểm duy nhất– không có “một số điểm nghỉ liên tiếp”, nghĩa là không có cái gọi là “khoảng nghỉ”.

Những điểm này lần lượt được chia thành hai nhóm lớn: vỡ loại đầu tiên Và vỡ loại thứ hai. Mỗi loại khoảng trống đều có những đặc điểm riêng mà chúng ta sẽ xem xét ngay bây giờ:

Điểm gián đoạn loại một

Nếu điều kiện liên tục bị vi phạm tại một điểm và giới hạn một phía hữu hạn , thì nó được gọi là điểm gián đoạn loại một.

Hãy bắt đầu với trường hợp lạc quan nhất. Theo ý tưởng ban đầu của bài học, tôi muốn kể lý thuyết “một cách tổng quát”, nhưng để chứng minh tính thực tế của tài liệu, tôi quyết định lựa chọn phương án với các ký tự cụ thể.

Thật đáng buồn, giống như bức ảnh của một cặp vợ chồng mới cưới trên phông nền Ngọn lửa vĩnh cửu, nhưng bức ảnh sau đây thường được chấp nhận. Hãy vẽ đồ thị của hàm số trong hình vẽ:

Hàm này liên tục trên toàn bộ trục số, trừ điểm. Và trên thực tế, mẫu số không thể bằng 0. Tuy nhiên, theo ý nghĩa của giới hạn, chúng ta có thể vô cùng gần gũi tiếp cận “không” cả từ bên trái và từ bên phải, nghĩa là tồn tại các giới hạn một phía và rõ ràng là trùng khớp:
(Điều kiện số 2 về tính liên tục được thỏa mãn).

Nhưng hàm số không được xác định tại thời điểm đó, do đó, Điều kiện số 1 về tính liên tục bị vi phạm và hàm số bị gián đoạn tại thời điểm này.

Sự phá vỡ kiểu này (với hiện tại giới hạn chung) được gọi là khoảng cách có thể sửa chữa. Tại sao có thể tháo rời? Bởi vì chức năng có thể xác định lại tại điểm phá vỡ:

Trông nó có lạ không? Có lẽ. Nhưng ký hiệu hàm như vậy không mâu thuẫn với bất cứ điều gì! Bây giờ khoảng cách đã được thu hẹp và mọi người đều vui vẻ:

Hãy thực hiện kiểm tra chính thức:

2) – có giới hạn chung;
3)

Như vậy, cả ba điều kiện đều được thỏa mãn và hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa về tính liên tục của hàm số tại một điểm.

Tuy nhiên, những người ghét matan có thể định nghĩa hàm này theo cách xấu, chẳng hạn :

Điều thú vị là hai điều kiện liên tục đầu tiên được thỏa mãn ở đây:
1) – hàm được xác định tại một điểm cho trước;
2) - có giới hạn chung.

Nhưng ranh giới thứ ba vẫn chưa được vượt qua: , tức là giới hạn của hàm số tại điểm không bằng giá trị của hàm số tại một điểm cho trước.

Vì vậy, tại một thời điểm hàm số bị gián đoạn.

Trường hợp thứ hai đáng buồn hơn được gọi là vỡ loại đầu tiên với một cú nhảy. Và nỗi buồn được gợi lên bởi những giới hạn một chiều hữu hạn và khác nhau. Một ví dụ được thể hiện trong hình vẽ thứ hai của bài học. Khoảng trống như vậy thường xảy ra khi các hàm được xác định từng phần, đã được đề cập trong bài viết về phép biến đổi đồ thị.

Xét hàm từng phần và chúng tôi sẽ hoàn thành bản vẽ của nó. Làm thế nào để xây dựng một biểu đồ? Rất đơn giản. Trên một nửa khoảng, chúng ta vẽ một đoạn parabol (màu xanh lá cây), trên một khoảng - một đoạn thẳng (màu đỏ) và trên một nửa khoảng - một đường thẳng (màu xanh).

Hơn nữa, do bất đẳng thức nên giá trị được xác định cho hàm bậc hai (chấm xanh), và do bất đẳng thức nên giá trị được xác định cho hàm tuyến tính (chấm xanh):

Trong trường hợp khó khăn nhất, bạn nên sử dụng cách xây dựng từng phần của biểu đồ (xem phần đầu tiên). bài giảng về đồ thị hàm số).

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến điểm này. Hãy kiểm tra tính liên tục của nó:

2) Hãy tính giới hạn một phía.

Ở bên trái chúng ta có đoạn đường màu đỏ nên giới hạn bên trái là:

Bên phải là đường thẳng màu xanh và giới hạn bên phải:

Kết quả là chúng tôi đã nhận được số hữu hạn, và họ không bằng. Vì giới hạn một phía hữu hạn và khác nhau: , thì hàm của chúng ta chấp nhận sự gián đoạn của loại đầu tiên với một bước nhảy.

Điều hợp lý là không thể loại bỏ khoảng cách - chức năng thực sự không thể được xác định thêm và “gắn kết” với nhau, như trong ví dụ trước.

Điểm gián đoạn loại hai

Thông thường, tất cả các trường hợp vỡ khác đều được khéo léo xếp vào loại này. Tôi sẽ không liệt kê hết mọi thứ, vì trên thực tế, 99% vấn đề bạn sẽ gặp phải khoảng cách vô tận– khi thuận tay trái hoặc tay phải, và thường xuyên hơn, cả hai giới hạn đều là vô hạn.

Và tất nhiên, hình ảnh rõ ràng nhất là hyperbol ở điểm 0. Ở đây cả hai giới hạn một phía đều là vô hạn: , do đó, hàm số bị gián đoạn loại thứ hai tại điểm .

Tôi cố gắng lấp đầy các bài viết của mình với nội dung đa dạng nhất có thể, vì vậy chúng ta hãy nhìn vào biểu đồ của một chức năng chưa gặp phải:

theo sơ đồ chuẩn:

1) Hàm không được xác định tại thời điểm này vì mẫu số tiến về 0.

Tất nhiên, chúng ta có thể kết luận ngay rằng hàm số bị gián đoạn tại điểm , nhưng sẽ tốt hơn nếu phân loại bản chất của sự gián đoạn, điều này thường được yêu cầu bởi điều kiện. Để làm điều này:

Hãy để tôi nhắc bạn rằng khi ghi âm chúng tôi muốn nói số âm vô hạn và dưới mục nhập - số dương vô hạn.

Giới hạn một phía là vô hạn, nghĩa là hàm số gián đoạn loại 2 tại điểm . Trục y là tiệm cận đứng cho đồ thị.

Việc tồn tại cả hai giới hạn một phía không phải là hiếm, nhưng chỉ một trong số chúng là vô hạn, ví dụ:

Đây là đồ thị của hàm số.

Chúng tôi kiểm tra quan điểm về tính liên tục:

1) Chức năng không được xác định tại thời điểm này.

2) Hãy tính giới hạn một phía:

Chúng ta sẽ nói về phương pháp tính các giới hạn một phía như vậy trong hai ví dụ cuối của bài giảng, mặc dù nhiều độc giả đã xem và đoán được mọi thứ.

Giới hạn bên trái là hữu hạn và bằng 0 (chúng ta “không đi đến điểm đó”), nhưng giới hạn bên phải là vô hạn và nhánh màu cam của đồ thị tiến gần vô cùng đến điểm đó. tiệm cận đứng, được cho bởi phương trình (đường chấm màu đen).

Vì vậy chức năng bị ảnh hưởng gián đoạn loại thứ hai tại điểm .

Đối với điểm gián đoạn loại 1, hàm số có thể được xác định tại chính điểm gián đoạn. Ví dụ: đối với hàm từng phần Vui lòng đặt một dấu chấm đậm màu đen ở gốc tọa độ. Bên phải là một nhánh của hyperbol và giới hạn bên phải là vô hạn. Tôi nghĩ hầu hết mọi người đều biết biểu đồ này trông như thế nào.

Điều mà mọi người đang mong chờ:

Làm thế nào để kiểm tra tính liên tục của hàm?

Việc nghiên cứu hàm liên tục tại một điểm được thực hiện theo sơ đồ thông thường đã được thiết lập, bao gồm việc kiểm tra ba điều kiện liên tục:

Ví dụ 1

Khám phá chức năng

Giải pháp:

1) Điểm duy nhất trong phạm vi là nơi hàm không được xác định.

2) Hãy tính giới hạn một phía:

Giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau.

Vì vậy, tại thời điểm hàm số bị gián đoạn có thể tháo rời được.

Đồ thị của hàm này trông như thế nào?

Tôi muốn đơn giản hóa , và có vẻ như thu được một parabol thông thường. NHƯNG hàm ban đầu không được xác định tại điểm, do đó cần có mệnh đề sau:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn.

Chức năng này có thể được xác định thêm theo cách tốt hoặc không tốt, nhưng tùy theo điều kiện mà điều này là không bắt buộc.

Bạn nói đây là một ví dụ xa vời? Không có gì. Điều này đã xảy ra hàng chục lần trong thực tế. Hầu như tất cả các nhiệm vụ của trang web đều đến từ các bài kiểm tra và công việc độc lập thực sự.

Hãy loại bỏ các mô-đun yêu thích của chúng tôi:

Ví dụ 2

Khám phá chức năng cho sự liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Thực hiện bản vẽ.

Giải pháp: Vì lý do nào đó, học sinh sợ và không thích các chức năng của một mô-đun, mặc dù chúng không có gì phức tạp. Chúng ta đã đề cập một chút về những điều như vậy trong bài học. Các phép biến đổi hình học của đồ thị. Vì mô-đun không âm nên nó được mở rộng như sau: , trong đó “alpha” là một biểu thức nào đó. Trong trường hợp này, hàm của chúng ta nên được viết từng phần:

Nhưng phân số của cả hai phần phải giảm đi . Việc cắt giảm, như trong ví dụ trước, sẽ không diễn ra mà không có hậu quả. Hàm ban đầu không được xác định tại điểm vì mẫu số tiến về 0. Vì vậy, hệ thống cần xác định thêm điều kiện và làm nghiêm ngặt bất đẳng thức thứ nhất:

Bây giờ về một kỹ thuật quyết định RẤT HỮU ÍCH: trước khi hoàn thiện nhiệm vụ trên bản nháp, nên vẽ một bản vẽ (bất kể điều kiện có yêu cầu hay không). Điều này trước hết sẽ giúp nhìn thấy ngay các điểm liên tục và các điểm gián đoạn, và thứ hai, nó sẽ bảo vệ bạn 100% khỏi sai sót khi tìm giới hạn một phía.

Hãy vẽ. Theo tính toán của chúng tôi, ở bên trái của điểm cần vẽ một đoạn parabol (màu xanh) và ở bên phải - một đoạn parabol (màu đỏ), trong khi hàm không được xác định tại điểm chính nó:

Nếu nghi ngờ, hãy lấy một vài giá trị x và cắm chúng vào hàm (hãy nhớ rằng mô-đun sẽ hủy dấu trừ có thể có) và kiểm tra biểu đồ.

Chúng ta hãy kiểm tra chức năng liên tục một cách phân tích:

1) Hàm số không được xác định tại điểm nên ta có thể nói ngay rằng hàm số không liên tục tại điểm đó.

2) Hãy thiết lập bản chất của sự gián đoạn; để làm điều này, chúng ta tính giới hạn một phía:

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 với bước nhảy tại điểm . Một lần nữa lưu ý rằng khi tìm giới hạn, việc hàm tại điểm dừng có được xác định hay không không quan trọng.

Bây giờ tất cả những gì còn lại là chuyển bản vẽ từ bản nháp (nó được thực hiện như thể với sự trợ giúp của nghiên cứu ;-)) và hoàn thành nhiệm vụ:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn loại một khi có một bước nhảy.

Đôi khi họ yêu cầu chỉ dẫn bổ sung về bước nhảy gián đoạn. Nó được tính toán đơn giản - từ giới hạn bên phải, bạn cần trừ giới hạn bên trái: , tức là tại điểm dừng, hàm của chúng ta đã nhảy xuống 2 đơn vị (như dấu trừ cho chúng ta biết).

Ví dụ 3

Khám phá chức năng cho sự liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Thực hiện một bản vẽ.

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, có lời giải mẫu ở cuối bài.

Hãy chuyển sang phiên bản phổ biến và phổ biến nhất của nhiệm vụ, khi chức năng bao gồm ba phần:

Ví dụ 4

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và vẽ đồ thị của hàm số .

Giải pháp: rõ ràng là cả ba phần của hàm số đều liên tục trên các khoảng tương ứng, do đó chỉ cần kiểm tra hai điểm “giao nhau” giữa các phần. Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bản phác thảo; tôi đã nhận xét đầy đủ chi tiết về kỹ thuật xây dựng ở phần đầu của bài viết. Điều duy nhất là chúng ta cần theo dõi cẩn thận các điểm kỳ dị của mình: do bất đẳng thức nên giá trị thuộc về đường thẳng (chấm xanh), và do bất đẳng thức nên giá trị thuộc về parabol (chấm đỏ):

Về nguyên tắc thì mọi thứ đều rõ ràng =) Tất cả những gì còn lại là chính thức hóa quyết định. Đối với mỗi điểm trong số hai điểm “nối”, chúng tôi kiểm tra tiêu chuẩn 3 điều kiện liên tục:

TÔI) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 với bước nhảy tại điểm .

Chúng ta hãy tính bước nhảy gián đoạn là sự khác biệt giữa giới hạn bên phải và bên trái:
, tức là đồ thị bị giật lên một đơn vị.

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) – hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Tìm giới hạn một phía:

– giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau, tức là có giới hạn tổng quát.

3) – giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Ở giai đoạn cuối, chúng tôi chuyển bản vẽ sang phiên bản cuối cùng, sau đó chúng tôi đặt hợp âm cuối cùng:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số, ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn loại một khi có một bước nhảy.

Ví dụ 5

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và xây dựng đồ thị của nó .

Đây là ví dụ về cách giải độc lập, cách giải ngắn và mẫu gần đúng của bài toán ở cuối bài.

Bạn có thể có ấn tượng rằng tại một thời điểm hàm số phải liên tục và tại một thời điểm khác phải có sự gián đoạn. Trong thực tế, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ còn lại - sẽ có một số tính năng thú vị và quan trọng:

Ví dụ 6

Cho một hàm . Khảo sát hàm số liên tục tại các điểm. Xây dựng một biểu đồ.

Giải pháp: và một lần nữa thực hiện ngay bản vẽ trên bản nháp:

Điểm đặc biệt của đồ thị này là hàm từng phần được cho bởi phương trình của trục hoành. Ở đây, khu vực này được vẽ bằng màu xanh lá cây, nhưng trong sổ tay, nó thường được tô đậm bằng bút chì đơn giản. Và tất nhiên, đừng quên ram của chúng ta: giá trị thuộc về nhánh tiếp tuyến (chấm đỏ) và giá trị thuộc về đường thẳng.

Mọi thứ đều rõ ràng từ bản vẽ - hàm liên tục dọc theo toàn bộ dãy số, tất cả những gì còn lại là chính thức hóa giải pháp, được đưa đến tự động hóa hoàn toàn theo đúng nghĩa đen sau 3-4 ví dụ tương tự:

TÔI) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) – hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Hãy tính giới hạn một phía:

, có nghĩa là có một giới hạn chung.

Để đề phòng, hãy để tôi nhắc bạn một sự thật tầm thường: giới hạn của một hằng số bằng chính hằng số đó. Trong trường hợp này, giới hạn của số 0 bằng chính số 0 (giới hạn thuận tay trái).

3) – giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Do đó, hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm.

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) – hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Tìm giới hạn một phía:

Và ở đây – giới hạn của một bằng chính đơn vị đó.

- có giới hạn chung.

3) – giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Do đó, hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm.

Như thường lệ, sau khi nghiên cứu, chúng tôi chuyển bản vẽ của mình sang phiên bản cuối cùng.

Trả lời: hàm số liên tục tại các điểm.

Xin lưu ý rằng trong điều kiện chúng tôi không được hỏi bất cứ điều gì về việc nghiên cứu toàn bộ hàm về tính liên tục và nó được coi là dạng toán học tốt để xây dựng chính xác và rõ ràng câu trả lời cho câu hỏi đặt ra. Nhân tiện, nếu điều kiện không yêu cầu bạn xây dựng biểu đồ thì bạn có quyền không xây dựng biểu đồ đó (mặc dù sau này giáo viên có thể buộc bạn làm điều này).

Một trò “vặn lưỡi” toán học nhỏ để bạn tự giải:

Ví dụ 7

Cho một hàm . Khảo sát hàm số liên tục tại các điểm. Phân loại điểm dừng, nếu có. Thực hiện bản vẽ.

Cố gắng “phát âm” chính xác tất cả các “từ” =) Và vẽ biểu đồ chính xác hơn, chính xác hơn, ở đâu cũng sẽ không thừa ;-)

Như bạn còn nhớ, tôi khuyên bạn nên hoàn thành ngay bản vẽ dưới dạng bản nháp, nhưng đôi khi bạn gặp phải những ví dụ mà bạn không thể hình dung ngay được biểu đồ trông như thế nào. Do đó, trong một số trường hợp, trước tiên nên tìm giới hạn một phía và chỉ sau đó, dựa trên nghiên cứu, mới mô tả các nhánh. Trong hai ví dụ cuối cùng, chúng ta cũng sẽ tìm hiểu kỹ thuật tính một số giới hạn một phía:

Ví dụ 8

Kiểm tra hàm số về tính liên tục và xây dựng sơ đồ của nó.

Giải pháp: những điểm xấu rất rõ ràng: (giảm mẫu số của số mũ về 0) và (giảm mẫu số của toàn bộ phân số về 0). Không rõ biểu đồ của hàm này trông như thế nào, điều đó có nghĩa là tốt hơn hết bạn nên thực hiện một số nghiên cứu trước.

Các định nghĩa và công thức của các định lý và tính chất chính của hàm liên tục một biến được đưa ra. Các tính chất của hàm liên tục tại một điểm, trên một đoạn, giới hạn và tính liên tục của hàm phức và phân loại các điểm gián đoạn được xem xét. Các định nghĩa và định lý liên quan đến hàm nghịch đảo được đưa ra. Nêu được tính chất của các hàm cơ bản.

Nội dung

Chúng ta có thể xây dựng khái niệm liên tục trong về mặt gia tăng. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một biến mới, được gọi là số gia của biến x tại điểm.
.
Khi đó hàm số liên tục tại điểm nếu
.
Hãy giới thiệu một chức năng mới: Họ gọi cô ấy tăng hàm
.

tại điểm .
Khi đó hàm số liên tục tại điểm nếu Định nghĩa tính liên tục bên phải (trái) hàm f (x) 0 gọi điện 0 liên tục bên phải (trái) tại điểm x 0 :
.

, nếu nó được xác định trên một số lân cận bên phải (bên trái) của điểm này và nếu bên phải (trái) giới hạn tại điểm x
bằng giá trị hàm tại x Định nghĩa tính liên tục bên phải (trái)Định lý về giới hạn của hàm số liên tục 0 Đặt hàm f liên tục tại điểm x.

Khi đó có lân cận U
(x0)
.
, trên đó chức năng bị hạn chế.
Định lý bảo toàn dấu của hàm số liên tục

Cho hàm số liên tục tại điểm.
Và để nó có giá trị dương (âm) tại thời điểm này:
Khi đó có một lân cận của điểm mà hàm số có giá trị dương (âm):
Tại .

Tính chất số học của hàm liên tục
Giả sử hàm số và liên tục tại điểm .

Khi đó hàm số và liên tục tại điểm .

Nếu , thì hàm số liên tục tại điểm .

Tính chất liên tục trái phải
Hàm số liên tục tại một điểm khi và chỉ khi nó liên tục ở bên phải và bên trái.
Chứng minh các tính chất được đưa ra ở trang “Tính chất của hàm số liên tục tại một điểm”.

Tính liên tục của hàm phức

Định lý liên tục cho hàm phức
Cho hàm số liên tục tại điểm.
.
Và cho hàm số liên tục tại điểm. 0 Khi đó hàm phức liên tục tại điểm.
Giới hạn của hàm phức
Định lý về giới hạn hàm số liên tục của hàm số
.

Giả sử có giới hạn của hàm số tại , và nó bằng:
Đặt hàm có giới hạn và ánh xạ vùng lân cận bị thủng của một điểm lên vùng lân cận bị thủng của một điểm.
Hãy để hàm được xác định trên vùng lân cận này và có giới hạn cho nó.
Đây là những điểm cuối cùng hoặc xa vô tận: .
.

Các lân cận và giới hạn tương ứng của chúng có thể là hai phía hoặc một phía.

Khi đó có giới hạn của hàm phức và nó bằng:
Điểm dừng Xác định điểm dừng Hãy để hàm được xác định trên một số lân cận bị thủng của điểm.
Điểm đó được gọi là
điểm ngắt chức năng

, nếu một trong hai điều kiện được đáp ứng:
1) không được xác định trong ; điểm gián đoạn loại một 2) được xác định tại , nhưng không phải tại điểm này.
.

Xác định điểm gián đoạn loại 1
Điểm đó được gọi là, nếu là điểm dừng và có giới hạn một phía hữu hạn ở bên trái và bên phải:
.

Định nghĩa của bước nhảy hàm
1) không được xác định trong ; Chức năng nhảy Δ tại một điểm là sự khác biệt giữa các giới hạn bên phải và bên trái
,
Xác định điểm dừng

điểm dừng có thể tháo rời

, nếu có giới hạn
1) không được xác định trong ; nhưng hàm số tại điểm không được xác định hoặc không bằng giá trị giới hạn: . Như vậy, điểm gián đoạn bỏ được là điểm gián đoạn loại 1, tại đó bước nhảy của hàm số bằng 0.

Xác định điểm gián đoạn loại 2

điểm gián đoạn loại thứ hai
, nếu nó không phải là điểm gián đoạn loại 1.

Nghĩa là, nếu không có ít nhất một giới hạn một phía, hoặc ít nhất một giới hạn một phía tại một điểm thì bằng vô cùng.
Tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng
Một hàm số được gọi là liên tục trên khoảng (at) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng mở (at) và tại các điểm a và b tương ứng.
Định lý đầu tiên của Weierstrass về giới hạn của hàm số liên tục trên một khoảng

Nếu hàm số liên tục trên một khoảng thì nó bị chặn trong khoảng này.
Xác định khả năng đạt được mức tối đa (tối thiểu)
.

Một hàm đạt giá trị cực đại (tối thiểu) trên tập hợp nếu có một đối số mà hàm đó
cho tất cả mọi người.

Xác định khả năng tiếp cận của mặt trên (dưới)
Cho hàm số liên tục trên đoạn.
.

Và cho C là một số tùy ý nằm giữa các giá trị của hàm ở hai đầu đoạn: và .
Thế thì có một điểm mà
.

Hệ quả 1
Cho hàm số liên tục trên đoạn.
Định lý bảo toàn dấu của hàm số liên tục

Và cho các giá trị hàm ở cuối đoạn có dấu khác nhau: hoặc .

Khi đó có một điểm mà tại đó giá trị của hàm bằng 0:
Hệ quả 2
Định lý đầu tiên của Weierstrass về giới hạn của hàm số liên tục trên một khoảng
Cho hàm số liên tục trên đoạn. Và hãy để nó như vậy. Sau đó, hàm sẽ lấy khoảng tất cả các giá trị từ và chỉ các giá trị này:
.

Hàm nghịch đảo
;
Định nghĩa hàm nghịch đảo
Định lý đầu tiên của Weierstrass về giới hạn của hàm số liên tục trên một khoảng

Cho một hàm có miền xác định X và tập giá trị Y.
Và để nó có tài sản:

Sau đó, đối với bất kỳ phần tử nào từ tập hợp Y, người ta chỉ có thể liên kết một phần tử của tập hợp X mà .
Sự tương ứng này định nghĩa một hàm gọi là

hàm nghịch đảo
ĐẾN . Hàm nghịch đảo được ký hiệu như sau:

Từ định nghĩa suy ra rằng

cho mọi người;
Bổ đề về tính đơn điệu lẫn nhau của hàm trực tiếp và hàm nghịch đảo

Nếu một hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt thì có một hàm nghịch đảo cũng tăng (giảm).
Tính chất đối xứng của đồ thị hàm số trực tiếp và hàm nghịch đảo

Đồ thị của hàm số trực tiếp và hàm số nghịch đảo đối xứng qua đường thẳng.

Định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm số nghịch đảo trên một khoảng

Cho hàm số liên tục và tăng (giảm) nghiêm ngặt trên đoạn thẳng.

Sau đó, hàm nghịch đảo được xác định và liên tục trên đoạn thẳng tăng (giảm).

Đối với hàm tăng dần. Để giảm - .Định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm số nghịch đảo trên một khoảng > 0 Cho hàm số liên tục và tăng (giảm) nghiêm ngặt trên một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn mở.
,
Sau đó, hàm nghịch đảo được xác định và liên tục trong khoảng, tăng (giảm) nghiêm ngặt.
.

Đối với hàm tăng dần.
Để giảm: .
Theo cách tương tự, chúng ta có thể xây dựng định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm nghịch đảo trên một nửa khoảng. Tính chất và tính liên tục của các hàm cơ bản
Các hàm cơ bản và nghịch đảo của chúng là liên tục trong miền định nghĩa của chúng. Dưới đây chúng tôi trình bày các công thức của các định lý tương ứng và cung cấp các liên kết đến chứng minh của chúng. hàm số mũ 1 có nhiều ý nghĩa;
(P.2) tăng mạnh tại , giảm mạnh tại , không đổi tại ;
(Tr.3) ;
(P.3*) ;
(Tr.4) ;
(Tr.5) ;
(Tr.6) ;
(Tr.7) ;
(Tr.8) liên tục cho tất cả;
(Tr.9) Tại ;
Định lý bảo toàn dấu của hàm số liên tục

logarit

Hàm logarit, hay logarit, y = rìu log, với cơ sở a là nghịch đảo của hàm số mũ cơ số a.

Định lý. Tính chất của logarit
Hàm logarit cơ số a, y = ghi lại x, có các tính chất sau:
(L.1)được xác định và liên tục, for và , cho các giá trị dương của đối số;
(L.2) có nhiều ý nghĩa;
(L.3) tăng dần theo , giảm dần theo ;
(L.4) Tại ;
Tại ;
(L.5) ;
(L.6) Tại ;
(L.7) Tại ;
(L.8) Tại ;
(L.9)Định lý bảo toàn dấu của hàm số liên tục

Hàm mũ và logarit tự nhiên

Trong các định nghĩa của hàm số mũ và logarit, một hằng số xuất hiện, được gọi là cơ số lũy thừa hoặc cơ số logarit. Trong phân tích toán học, trong phần lớn các trường hợp, các phép tính đơn giản hơn sẽ đạt được nếu số e được sử dụng làm cơ sở:
.
Hàm mũ với cơ số e được gọi là số mũ: , và logarit với cơ số e được gọi là logarit tự nhiên: .

Các tính chất của số mũ và logarit tự nhiên được trình bày trên trang
"Số mũ, e lũy thừa của x",
"Logarit tự nhiên, hàm ln x"

Chức năng nguồn

Hàm lũy thừa với số mũ p là hàm f (x) = xp, giá trị của nó tại điểm x bằng giá trị của hàm số mũ cơ số x tại điểm p.
Ngoài ra, f (0) = 0 p = 0 cho p > 0 .

Ở đây chúng ta sẽ xem xét các thuộc tính của hàm lũy thừa y = x p đối với các giá trị không âm của đối số.
Đối với các số hữu tỷ, đối với m lẻ, hàm lũy thừa cũng được xác định cho x âm.

Trong trường hợp này, các thuộc tính của nó có thể thu được bằng cách sử dụng số chẵn hoặc số lẻ.
Những trường hợp này được thảo luận chi tiết và minh họa trên trang “Hàm nguồn, các thuộc tính và đồ thị của nó”.
Định lý. Tính chất của hàm lũy thừa (x ≥ 0) Hàm lũy thừa, y = x p, với số mũ p có các tính chất sau:
(C.1)
xác định và liên tục trên tập hợp

Tại ,

Tại ".
Hàm lượng giác Định lý về tính liên tục của hàm số lượng giác Hàm lượng giác: sin ( tội lỗi x), cosin ( vì x), đường tiếp tuyến ( tg x

) và cotang (
ctg x Định lý về tính liên tục của hàm lượng giác nghịch đảo Hàm lượng giác nghịch đảo: arcsine ( arcsin x), cung cosin ( arccos x), arctang ( arctan x) và cung tiếp tuyến (

arcctg x
), liên tục trong miền định nghĩa của chúng.
L. D. Kudryavtsev. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 2003.
CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983.

Xem thêm:

Bài giảng 4.

Tính liên tục của chức năng

1. Tính liên tục của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1. Hãy để chức năng y=f(x) được xác định tại điểm X 0 và ở một số vùng lân cận của điểm này. Chức năng y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x 0 , nếu có giới hạn của hàm tại điểm này và nó bằng giá trị của hàm tại điểm này, tức là.

Do đó, điều kiện liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm X 0 đó là:

Bởi vì
, thì đẳng thức (32) có thể viết dưới dạng

(33)

Điều này có nghĩa là khi tìm giới hạn của hàm liên tụcf(x) người ta có thể đi đến giới hạn dưới dấu hàm, tức là thành một hàm f(x) thay vì một đối số X thay thế giá trị giới hạn của nó X 0 .

lim tội lỗi x=tội lỗi(lim x);

lim arctg x=arctg(lim x); (34)

khúc gỗ lim x=log(lim x).

Bài tập. Tìm giới hạn: 1) ; 2)
.

Chúng ta hãy định nghĩa tính liên tục của một hàm, dựa trên các khái niệm về sự gia tăng của đối số và hàm.

Bởi vì điều kiện và
giống hệt nhau (Hình 4), thì đẳng thức (32) có dạng:

hoặc
.

Định nghĩa 2. Chức năng y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x 0 , nếu nó được xác định tại một điểm X 0 và vùng lân cận của nó, và mức tăng vô hạn trong đối số tương ứng với mức tăng vô cùng nhỏ trong hàm.

Bài tập. Kiểm tra tính liên tục của hàm y=2X 2 1.

Tính chất của hàm số liên tục tại một điểm

1. Nếu chức năng f(x) Và φ (x) liên tục tại điểm X 0 thì tổng của chúng
, công việc
và riêng tư
(cho rằng
) là các hàm số liên tục tại điểm X 0 .

2. Nếu chức năng Tại=f(x) liên tục tại điểm X 0 và f(x 0)>0 thì tồn tại lân cận của điểm đó X 0 , trong đó f(x)>0.

3. Nếu chức năng Tại=f(bạn) liên tục tại điểm u 0 , và hàm u= φ (x) liên tục tại điểm bạn 0 = φ (x 0 ), thì một hàm phức y=f[φ (x)] liên tục tại điểm X 0 .

2. Tính liên tục của hàm số trong một khoảng và trên một đoạn

Chức năng y=f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (Một; b), nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng này.

Chức năng y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [Một; b] nếu nó liên tục trong khoảng ( Một; b) và tại điểm X=MỘT liên tục ở bên phải (tức là) và tại điểm x=bđược để liên tục (tức là
).

3. Điểm gián đoạn chức năng và phân loại

Các điểm tại đó tính liên tục của một hàm bị phá vỡ được gọi là điểm dừng chức năng này.

Nếu như X=X 0 – điểm ngắt chức năng y=f(x), thì ít nhất một trong các điều kiện của định nghĩa đầu tiên về tính liên tục của hàm số không được thỏa mãn.

Ví dụ.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼Điểm nghỉ X 0 được gọi là điểm dừng loại đầu tiên chức năng y=f(x), nếu tại thời điểm này có các giới hạn hữu hạn của hàm số ở bên trái và bên phải (giới hạn một phía), tức là
Và
. Trong trường hợp này:

Độ lớn | MỘT 1 -MỘT 2 | gọi điện chức năng nhảy tại điểm gián đoạn loại thứ nhất. ▲

▼Điểm nghỉ X 0 được gọi là điểm dừng loại thứ hai chức năng y=f(x), nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía (trái hoặc phải) không tồn tại hoặc bằng vô cùng. ▲

Bài tập. Tìm điểm dừng và tìm ra loại của chúng cho các hàm:

1)
; 2)
.

4. Các định lý cơ bản về hàm số liên tục

Các định lý về tính liên tục của hàm số được suy ra trực tiếp từ các định lý tương ứng về giới hạn.

Định lý 1. Tổng, tích và thương của hai hàm liên tục là hàm liên tục (đối với thương, ngoại trừ các giá trị của đối số trong đó ước số không bằng 0).

Định lý 2. Hãy để các chức năng bạn=φ (x) liên tục tại điểm X 0 và chức năng y=f(bạn) liên tục tại điểm bạn=φ (x 0 ). Khi đó hàm phức f(φ (x)), gồm các hàm số liên tục, liên tục tại điểm X 0 .

Định lý 3. Nếu chức năng y=f(x) liên tục và đơn điệu trên [ Một; b] trục Ồ, thì hàm nghịch đảo Tại=φ (x) cũng liên tục và đơn điệu trên đoạn tương ứng [ c;d] trục Ồ.

Mọi hàm cơ bản đều liên tục tại mọi điểm mà nó được xác định.

5. Tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng

Định lý Weierstrass. Nếu một hàm liên tục trên một đoạn thì nó đạt giá trị cực đại và cực tiểu trên đoạn đó.

Kết quả. Nếu một hàm số liên tục trên một khoảng thì nó bị chặn trên khoảng đó.

Định lý Bolzano-Cauchy. Nếu chức năng y=f(x) liên tục trên khoảng [ Một; b] và nhận các giá trị không bằng nhau ở hai đầu của nó f(Một)=MỘT Và f(b)=B,
, thì dù số đó là bao nhiêu VỚI, kết luận giữa MỘT Và TRONG, có một điểm như vậy f(c)=C.

Về mặt hình họcđịnh lý là hiển nhiên. Đối với bất kỳ số nào VỚI, kết luận giữa MỘT Và TRONG, tồn tại một điểm c bên trong đoạn này sao cho f(VỚI)=C. Thẳng Tại=VỚI cắt đồ thị hàm số tại ít nhất một điểm.

Kết quả. Nếu chức năng y=f(x) liên tục trên khoảng [ Một; b] và nhận các giá trị của các dấu khác nhau ở hai đầu của nó, sau đó bên trong đoạn [ Một; b] có ít nhất một điểm Với, trong đó hàm y=f(x) tiến về 0: f(c)=0.

hình họcý nghĩa của định lý: nếu đồ thị của hàm số liên tục đi từ một phía của trục Ồ sang bên kia thì nó cắt trục Ồ.

Bài này viết về hàm số liên tục. Để biết ánh xạ liên tục trong các nhánh toán học khác nhau, hãy xem ánh xạ liên tục.

Hàm liên tục- một hàm không có bước nhảy, nghĩa là một hàm trong đó những thay đổi nhỏ trong đối số sẽ dẫn đến những thay đổi nhỏ trong giá trị của hàm.

Nói chung, một hàm liên tục đồng nghĩa với khái niệm ánh xạ liên tục, tuy nhiên, thuật ngữ này thường được sử dụng theo nghĩa hẹp hơn - chẳng hạn như để ánh xạ giữa các không gian số, trên dòng thực. Bài viết này được dành riêng cho các hàm liên tục được xác định trên một tập hợp con số thực và lấy giá trị thực.

YouTube bách khoa toàn thư

1 / 5

✪ Tính liên tục của hàm và các điểm dừng của hàm

✪ 15 Chức năng liên tục

✪ Tính năng liên tục

✪ Giải tích bài 5, Tính liên tục của hàm số

✪ Biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân phối

phụ đề

Sự định nghĩa

Nếu bạn “sửa” chức năng f (\displaystyle f) tại điểm vỡ có thể tháo rời và đặt f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), thì ta thu được hàm số liên tục tại một điểm cho trước. Một thao tác như vậy trên một hàm được gọi là mở rộng chức năng để liên tục hoặc định nghĩa lại hàm số bằng tính liên tục, điều này biện minh cho tên của điểm là một điểm có thể tháo rời vỡ.

Điểm dừng "nhảy"

Sự gián đoạn “nhảy” xảy ra nếu

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x \to a+0)f(x)).

Điểm gãy "cực"

Khoảng cách cực xảy ra nếu một trong các giới hạn một phía là vô hạn.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty ) hoặc lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

Điểm dừng đáng kể

Tại điểm gián đoạn đáng kể, một trong các giới hạn một phía hoàn toàn không tồn tại.

Phân loại điểm dị biệt trong Rn, n>1

Đối với chức năng f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(n)) Và f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) ) Không cần phải làm việc với các điểm ngắt, nhưng bạn thường phải làm việc với các điểm đơn lẻ (các điểm mà hàm không được xác định). Việc phân loại là tương tự.

Khái niệm “bước nhảy vọt” bị thiếu. Có gì trong đó R (\displaystyle \mathbb (R) )được coi là một bước nhảy; trong không gian có chiều cao hơn, nó là một điểm kỳ dị thiết yếu.

Của cải

Địa phương

Hàm số liên tục tại một điểm một (\displaystyle a), được giới hạn trong lân cận nào đó của điểm này.
Nếu chức năng f (\displaystyle f) liên tục tại một điểm một (\displaystyle a) Và f (a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(hoặc f(a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), Cái đó f (x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(hoặc f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) cho mọi người x (\displaystyle x), khá gần một (\displaystyle a).
Nếu các chức năng f (\displaystyle f) Và g (\displaystyle g) liên tục tại một điểm một (\displaystyle a), thì các hàm f + g (\displaystyle f+g) Và f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g) cũng liên tục tại một điểm một (\displaystyle a).
Nếu các chức năng f (\displaystyle f) Và g (\displaystyle g) liên tục tại một điểm một (\displaystyle a) và đồng thời g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), thì hàm f / g (\displaystyle f/g) cũng liên tục tại một điểm một (\displaystyle a).
Nếu chức năng f (\displaystyle f) liên tục tại một điểm một (\displaystyle a) và chức năng g (\displaystyle g) liên tục tại một điểm b = f (a) (\displaystyle b=f(a)), thì thành phần của chúng h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f) liên tục tại một điểm một (\displaystyle a).

Toàn cầu

tập compact) liên tục đều trên nó.
Một hàm liên tục trên một phân đoạn (hoặc bất kỳ tập hợp compact nào khác) bị chặn và đạt các giá trị tối đa và tối thiểu trên đó.
Phạm vi chức năng f (\displaystyle f), liên tục trên đoạn , là đoạn [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],) trong đó mức tối thiểu và tối đa được lấy dọc theo đoạn [ a , b ] (\displaystyle ).
Nếu chức năng f (\displaystyle f) liên tục trên đoạn [ a , b ] (\displaystyle ) Và f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} sau đó có một điểm mà tại đó f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
Nếu chức năng f (\displaystyle f) liên tục trên đoạn [ a , b ] (\displaystyle ) và số φ (\displaystyle \varphi ) thỏa mãn bất đẳng thức f(a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi hoặc bất bình đẳng f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),) sau đó có một điểm ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),) trong đó f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
Ánh xạ liên tục của một đoạn tới đường thực là nội xạ khi và chỉ nếu hàm đã cho trên đoạn đó là đơn điệu nghiêm ngặt.
Hàm đơn điệu trên một đoạn [ a , b ] (\displaystyle ) là liên tục khi và chỉ khi phạm vi giá trị của nó là một đoạn có hai đầu f (a) (\displaystyle f(a)) Và f (b) (\displaystyle f(b)).
Nếu các chức năng f (\displaystyle f) Và g (\displaystyle g) liên tục trên đoạn [ a , b ] (\displaystyle ), Và f(a)< g (a) {\displaystyle f(a) Và f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),) sau đó có một điểm ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),) trong đó f(ξ) = g(ξ) .(\displaystyle f(\xi)=g(\xi).)

Đặc biệt, từ đây, theo sau, bất kỳ ánh xạ liên tục nào của một đoạn vào chính nó đều có ít nhất một điểm cố định.

Ví dụ

Các hàm cơ bản Hàm số này liên tục tại mọi điểm.

x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0) loại đầu tiênĐiểm là điểm dừng

, Và,

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \limits _(x\to 0+)f(x))

trong khi tại thời điểm đó hàm số biến mất.

Chức năng bước

Hàm bước được định nghĩa là< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

f (x) = ( 1 , x 0 0 , x liên tục ở mọi nơi trừ điểm x = 0 (\displaystyle x=0) liên tục ở mọi nơi trừ điểm, trong đó hàm số bị gián đoạn loại một. Tuy nhiên, tại thời điểm có một giới hạn bên phải trùng với giá trị của hàm số tại một điểm cho trước. Vì vậy, chức năng này là một ví dụ chức năng liên tục bên phải.

trong toàn bộ khu vực định nghĩa

Tương tự, hàm bước được định nghĩa là

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( trường hợp)),\quad x\in \mathbb (R) ) là một ví dụ chức năng liên tục bên phải.

liên tục bên trái

Hàm Dirichlet

Ví dụ 1

Kiểm tra chức năng cho liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Thực hiện bản vẽ.

Giải pháp:

1) Điểm duy nhất trong phạm vi là nơi hàm không được xác định.

Giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau.

Vì vậy, tại thời điểm hàm số bị gián đoạn có thể tháo rời được.

Đồ thị của hàm này trông như thế nào?

Hãy thực hiện bản vẽ:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn.

Chức năng này có thể được xác định thêm theo cách tốt hoặc không tốt, nhưng tùy theo điều kiện mà điều này là không bắt buộc.

Hãy loại bỏ các mô-đun yêu thích của chúng tôi:

Ví dụ 2

Khám phá chức năng cho sự liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Thực hiện bản vẽ.

Chúng ta hãy kiểm tra chức năng liên tục một cách phân tích:

1) Hàm số không được xác định tại điểm nên ta có thể nói ngay rằng hàm số không liên tục tại điểm đó.

2) Hãy thiết lập bản chất của sự gián đoạn; để làm điều này, chúng ta tính giới hạn một phía:

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 với bước nhảy tại điểm . Lưu ý rằng việc hàm tại điểm dừng có được xác định hay không không quan trọng.

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn loại một khi có một bước nhảy.

Ví dụ 3

Khám phá chức năng cho sự liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Thực hiện một bản vẽ.

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, có lời giải mẫu ở cuối bài.

Hãy chuyển sang phiên bản phổ biến và phổ biến nhất của nhiệm vụ, khi chức năng bao gồm ba phần:

Ví dụ 4

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và vẽ đồ thị của hàm số

TÔI)

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 với bước nhảy tại điểm .

Chúng ta hãy tính bước nhảy gián đoạn là sự khác biệt giữa giới hạn bên phải và bên trái:
, tức là đồ thị bị giật lên một đơn vị.

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) - hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Tìm giới hạn một phía:

- giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau, tức là có giới hạn tổng quát.

Ở giai đoạn cuối, chúng tôi chuyển bản vẽ sang phiên bản cuối cùng, sau đó chúng tôi đặt hợp âm cuối cùng:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số, ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn loại một khi có một bước nhảy.

Ví dụ 5

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và xây dựng đồ thị của nó .

Đây là ví dụ về cách giải độc lập, cách giải ngắn và mẫu gần đúng của bài toán ở cuối bài.

Ví dụ 6

Cho một hàm . Khảo sát hàm số liên tục tại các điểm. Xây dựng một biểu đồ.

Giải pháp: và một lần nữa thực hiện ngay bản vẽ trên bản nháp:

TÔI) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

2) Hãy tính giới hạn một phía:

, có nghĩa là có một giới hạn chung.

Một điều buồn cười nhỏ đã xảy ra ở đây. Thực tế là tôi đã tạo ra rất nhiều tài liệu về giới hạn của hàm số, và nhiều lần tôi muốn làm vậy nhưng nhiều lần tôi lại quên mất một câu hỏi đơn giản. Và thế là, với nỗ lực ý chí đáng kinh ngạc, tôi buộc mình không được mất suy nghĩ =) Rất có thể, một số độc giả “ngốc” nghi ngờ: giới hạn của hằng số là gì? Giới hạn của hằng số bằng chính hằng số đó. Trong trường hợp này, giới hạn của số 0 bằng chính số 0 (giới hạn thuận tay trái).

3) - giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Do đó, hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm.

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) - hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Tìm giới hạn một phía:

Và ở đây, trong giới hạn bên phải, giới hạn đơn vị bằng chính sự đơn vị.

- có một giới hạn chung.

3) - giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Do đó, hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm.

Như thường lệ, sau khi nghiên cứu, chúng tôi chuyển bản vẽ của mình sang phiên bản cuối cùng.

Trả lời: hàm số liên tục tại các điểm.

Một trò “vặn lưỡi” toán học nhỏ để bạn tự giải:

Ví dụ 7

Cho một hàm .

Khảo sát hàm số liên tục tại các điểm. Phân loại điểm dừng, nếu có. Thực hiện bản vẽ.

Cố gắng “phát âm” chính xác tất cả các “từ” =) Và vẽ biểu đồ chính xác hơn, chính xác hơn, ở đâu cũng sẽ không thừa ;-)

Ví dụ 8

Kiểm tra hàm số về tính liên tục và xây dựng sơ đồ của nó.

TÔI) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

2) Tìm giới hạn một phía:

Xin lưu ý phương pháp điển hình để tính giới hạn một phía: thay vì “x” chúng ta thay thế . Không có tội phạm nào ở mẫu số: “cộng” “trừ 0” không đóng vai trò gì và kết quả là “bốn”. Nhưng ở tử số có một điều gì đó hơi ly kỳ đang diễn ra: đầu tiên chúng ta loại bỏ -1 và 1 ở mẫu số của chỉ báo, dẫn đến . Đơn vị chia cho , bằng “trừ vô cực”, do đó: . Và cuối cùng, “hai” trong độ âm vô cùng lớn bằng 0: . Hoặc, để cụ thể hơn nữa: .

Hãy tính giới hạn bên phải:

Và ở đây - thay vì “X”, chúng tôi thay thế . Trong mẫu số, “cộng” lại không đóng vai trò gì: . Trong tử số, các hành động tương tự như giới hạn trước đó được thực hiện: chúng ta hủy các số đối diện và chia cho :

Giới hạn bên phải là vô hạn, nghĩa là hàm số gián đoạn loại 2 tại điểm .

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) Chức năng không được xác định tại thời điểm này.

2) Hãy tính giới hạn bên trái:

Phương pháp này giống nhau: chúng tôi thay thế “X” vào hàm. Không có gì thú vị trong tử số - hóa ra nó là một số dương hữu hạn. Và ở mẫu số, chúng ta mở dấu ngoặc, loại bỏ “số ba” và “phụ gia” đóng vai trò quyết định.

Kết quả là số dương cuối cùng chia cho số dương vô hạn, cho “cộng vô cùng”: .

Giới hạn bên phải giống như anh em sinh đôi, ngoại trừ việc nó xuất hiện ở mẫu số số âm vô hạn:

Giới hạn một phía là vô hạn, nghĩa là hàm số gián đoạn loại 2 tại điểm .

Do đó, chúng ta có hai điểm ngắt và rõ ràng là có ba nhánh của biểu đồ. Đối với mỗi nhánh, nên thực hiện xây dựng từng điểm một, tức là. lấy một số giá trị “x” và thay thế chúng thành . Xin lưu ý rằng điều kiện cho phép xây dựng một bản vẽ sơ đồ và sự thoải mái như vậy là điều đương nhiên đối với công việc thủ công. Tôi xây dựng đồ thị bằng chương trình nên không gặp khó khăn như vậy, đây là hình ảnh khá chính xác:

Trực tiếp là tiệm cận đứng cho đồ thị của hàm số này.

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ các điểm mà tại đó nó có gián đoạn loại 2.

Một chức năng đơn giản hơn để tự giải quyết:

Ví dụ 9

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và vẽ sơ đồ.

Một ví dụ gần đúng về một giải pháp cuối cùng đã không được chú ý.

Hẹn gặp lại bạn sớm!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3:Giải pháp : biến đổi hàm: . Xem xét quy tắc tiết lộ mô-đun và sự thật là , chúng ta viết lại hàm dưới dạng từng phần:

Chúng ta hãy kiểm tra chức năng cho liên tục.

1) Hàm không được xác định tại điểm .

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 khi có một bước nhảy tại điểm . Hãy thực hiện bản vẽ:

Trả lời: hàm số liên tục trên trục số trừ điểm , trong đó nó phải chịu sự gián đoạn loại đầu tiên khi có một bước nhảy. Nhảy khoảng cách: (tăng hai đơn vị).

Ví dụ 5:Giải pháp : Mỗi phần trong số ba phần của hàm số liên tục trên khoảng riêng của nó.
TÔI)
1)

2) Hãy tính giới hạn một phía:

, có nghĩa là có một giới hạn chung.
3) - giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.
Vì vậy chức năng liên tục tại một điểm bằng cách xác định tính liên tục của hàm số tại một điểm.
II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) - hàm được xác định tại một điểm nhất định. hàm số bị gián đoạn loại 2 tại điểm

Làm thế nào để tìm miền của một hàm?

Ví dụ về giải pháp

Nếu thiếu thứ gì đó ở đâu đó, có nghĩa là có thứ gì đó ở đâu đó

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phần “Hàm số và Đồ thị”, và trạm tiếp theo trong hành trình của chúng ta là Miền chức năng. Một cuộc thảo luận tích cực về khái niệm này đã bắt đầu trong bài học đầu tiên. về đồ thị hàm số, trong đó tôi đã xem xét các hàm cơ bản và đặc biệt là các miền định nghĩa của chúng. Vì vậy, tôi khuyên những người giả nên bắt đầu với những điều cơ bản của chủ đề, vì tôi sẽ không tập trung vào một số điểm cơ bản nữa.

Giả sử rằng người đọc biết các lĩnh vực định nghĩa của các hàm cơ bản: tuyến tính, bậc hai, hàm bậc ba, đa thức, hàm mũ, logarit, sin, cosin. Chúng được xác định trên . Đối với các tiếp tuyến, cung, cũng vậy, tôi tha thứ cho bạn =) Đồ thị hiếm hơn không được ghi nhớ ngay lập tức.

Phạm vi định nghĩa tưởng chừng như là một điều đơn giản và một câu hỏi logic được đặt ra: bài viết sẽ nói về cái gì? Trong bài học này tôi sẽ xem xét các vấn đề thường gặp khi tìm miền xác định của hàm số. Hơn nữa, chúng tôi sẽ lặp lại bất đẳng thức một biến, kỹ năng giải của chúng cũng sẽ được yêu cầu trong các bài toán khác của toán học cao cấp. Nhân tiện, tài liệu này đều là tài liệu của trường nên sẽ hữu ích không chỉ cho học sinh mà còn cho cả học sinh. Tất nhiên, thông tin không mang tính chất bách khoa, nhưng đây không phải là những ví dụ “chết” xa vời mà là hạt dẻ rang, được lấy từ những công trình thực tế có thật.

Hãy bắt đầu với việc đi sâu vào chủ đề. Nói ngắn gọn về điều chính: chúng ta đang nói về hàm một biến. Miền định nghĩa của nó là nhiều ý nghĩa của "x", mà hiện hữu nghĩa của “người chơi”. Hãy xem xét một ví dụ giả định:

Miền định nghĩa của hàm này là hợp của các khoảng:
(dành cho ai quên: - biểu tượng thống nhất). Nói cách khác, nếu bạn lấy bất kỳ giá trị nào của “x” từ khoảng , hoặc từ , hoặc từ , thì với mỗi “x” như vậy sẽ có một giá trị “y”.

Nói một cách đại khái, ở đâu có miền định nghĩa thì ở đó có đồ thị của hàm số. Nhưng nửa quãng và điểm “tse” không được đưa vào vùng định nghĩa nên không có đồ thị ở đó.

Có, nhân tiện, nếu có điều gì chưa rõ ràng về thuật ngữ và/hoặc nội dung của các đoạn đầu tiên, tốt hơn hết bạn nên quay lại bài viết Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản.