Bài tập về phép tính vi phân. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

2. Chức năng. Tính chất đơn giản nhất của hàm 21 2.11. Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì hàm f(ax) cũng tuần hoàn với chu kỳ T/a. Giải pháp. Thật vậy, f = f(ax + T) = f(ax), tức là T /a là một trong các chu kỳ của hàm f(ax). 2.12. Tìm chu kì của hàm số f(x) = cos2 x. Giải pháp 1 + cos 2x. Chúng ta có thể viết: cos2 x = . Chúng ta thấy rằng giai đoạn 2 hàm cos 2 x bằng chu kỳ của hàm cos 2x. Vì chu kỳ của hàm cos x bằng 2π nên theo Bài toán 2.11 chu kỳ của hàm cos 2x bằng π. 2.13. Tìm chu kì của hàm số: a) f(x) = sin 2πx; b) f(x) = | cos x|. Trả lời: a) T = 1; b) T = π. Nhiệm vụ cho quyết định độc lập: √ 2+x a) f (x) = x + 1; b) f(x) = lg ; √ 2−x c) f (x) = 2 + x − x2 ; d) f(x) = arcsin(log2 x); các hàm số sau: a) f1(x) = 3 sin x + 4 cos x; b) f2(x) = 5 sin x + 12 cos x.< x < 1;    1 1 а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;  2  2   4, если 3 < x < +∞; б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|; в) f (x) = |x2 − 2x + 1|; г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π; д) f (x) = arccos(cos x); t+5 t+1 е) f (t) = ; ж) f (t) = . t−7 t2 + 2t + 2 3. Предел функции 25 3. Предел функции Рекомендуется по 2,33. Mô tả dạng đồ thị của các hàm số sau: a) z = 1 − x2 − y 2 ; b) z = x2 + y 2 ; c) z = x2 + y 2 ; d) z = x2 − y 2 . 2,34. Vẽ các đường mức cho các hàm này, cho các giá trị z từ −3 đến +3 đến 1: a) z = xy; b) z = y(x2 + 1). 2,35. Vẽ đồ thị hàm số y = 2 −3(x + 1) − 0,5 s √ bằng cách biến đổi đồ thị của hàm số y = x. 2,36. Vẽ đồ thị của hàm số y = 3 sin(2x − 4) bằng cách biến đổi đồ thị của hàm số y = sin x. 2,37. Sử dụng nghiên cứu hàm số cơ bản (không dùng đạo hàm), vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1 x a) y = 2 ; b) y = 2; x +1 x +1 1 c) y = x4 − 2x2 + 5; d) y = 2; một đối số bằng số.< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε; 1 1 б) докажем, что lim = . По определению предела x→2 x 2 мы должны доказать, что для любой заданной окрестности 1 ˙ Uε , ε >3.1. Dựa vào định nghĩa giới hạn hãy chứng minh: 1 1 a) lim x = x0 ; b) lim = ;< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле- x 2 x 2 дующим двум неравенствам: 1 1 −ε < − < +ε или x 2 1 1 1 − ε < < + ε. 2 x 2 Так как при достаточ- но малом ε все части этого неравенства по- ложительны, то 2 2 x→x0 x→2 x 2 1 1 1 c) lim = lim = lim = 0;< ε, или x 1 < ε. Так как x x → +∞, то можно считать, что x >x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 Giới thiệu về giải tích toán học 1 1 d) lim = +∞; e) lim = −∞;< ε или x >x→0+0 x x→0−0 x 1 f) lim = 2; g) lim x2 = 4. x→1 x x→2 Giải: a) mệnh đề lim x = x0 trực tiếp x→x0 suy ra từ định nghĩa giới hạn. Nếu lân cận Uε (x0) ˙ (|x − x0 |< x < δ) ← такая, что если + V1/M (0) x ∈ Vδ+ (0), то 1 ∈ UM (+∞). x Рис. 3.3 0 tồn tại một lân cận V (2) sao cho nếu 2 ˙ 1 1 1 1 x ∈ V (2), thì − 2, 1 + 2ε 1 − 2ε do đó nhân lên- Hình. 3.1 Tính chất 2 2, 1 + 2ε 1 − 2ε là lân cận của điểm x0 = 2 (bất đối xứng). Sự tồn tại của lân cận yêu cầu V(2) đã được chứng minh (Hình 3.1). 3. Giới hạn của hàm 27 Để rõ ràng, chúng ta có thể viết vùng lân cận này dưới dạng 4ε 4ε 2− ,2 + và xét 1 + 2ε 1 − 2ε ˙ ˙ 4ε 4ε V (2) = Vδ1 ,δ2 (2), trong đó δ1 = , δ2 = .< x < . Если поло- x M 1 жить δ = , то требуемая окрестность Vδ+ (0) найдена и ра- M 1 венство lim = 0 доказано (рис. 3.3). x→0+0 x 1 Аналогично можно доказать, что lim = −∞ (предлага- x→0−0 x ем проделать это самостоятельно); 1 е) докажем, что lim = 2. Предположим противное, т.е. x→1 x 1 что lim равен двум. Это означало бы: для любой окрест- x→1 x ˙ ности Uε (2) существует окрестность V (1) такая, что если ˙ 1 1 1 x ∈ V (1), то ∈ Uε (2), т.е. − 2 < ε, или 2 − ε < < ε + 2. x x x 3. Предел функции 29 Так как все части неравенства можно считать положительны- 1 1 ми, то 1 + 2ε 1 − 2ε 1 c) chúng ta chứng minh rằng lim = 0. x→+∞ x Theo định nghĩa, chúng ta phải chứng minh rằng với mọi lân cận Uε (0) của điểm y = 0 đều tồn tại một lân cận V (+∞) phần tử +∞ sao cho nếu x ∈ V (+∞), 1 thì − 0< |x| < 4 + ε. Поскольку x >0, Hình. 3.2 do đó dấu mô đun có thể bỏ 1 1 và viết< x < 4 + ε. Точка x = 2 принадлежит интервалу √ √ (4 − ε; 4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точ- ки 2, удовлетворяющей требуемому условию, которую и при- ˙ ˙ нимаем в качестве V (2). Существование V (2) доказано, а этим доказано, что lim x 2 = 4. x→2 3.2. Докажите самостоятельно, что 1 1 lim = +∞, lim = −∞. x→x0 +0 x − x0 x→x0 −0 x − x0 Указание: сделать замену x − x0 = t и применить задачу 3.1. 3.3. Используя теоремы о пределе произведения суммы и частного, докажите, что: а) lim xn = xn ; 0 x→x0 б) lim Pn (x) = lim (a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an) = x→x0 x→x0 = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an ; 0 0 30 Введение в математический анализ Pn (x) a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an в) lim = lim = x→x0 Qm (x) x→x0 b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an 0 0 = , b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm 0 0 где n и m = M Tập x > M là x ε VM (+∞) theo định nghĩa lân cận của phần tử +∞. Sự tồn tại của lân cận V (+∞) thỏa mãn điều kiện tương ứng đã được chứng minh. Điều này chứng tỏ 1 lim = 0 (Hình 3.2). x→+∞ x 1 1 Chúng ta để lại việc chứng minh các đẳng thức lim = 0 và lim = 0 cho người đọc. 28 Giới thiệu về giải tích toán học 1 Chúng tôi nhấn mạnh rằng đẳng thức lim = 0 tương đương với hai đẳng thức x→∞ x 1 1: lim = 0 và lim = 0; x→−∞ x x→+∞ x d) ta chứng minh đẳng thức 1 lim = +∞., ví dụ: lim a0 xn = lim a0 lim xn = a0 xn . Do đó, b) suy ra định lý về giới hạn của tổng; c) Suy ra định lý về giới hạn của thương, tổng và tích. Hàm Pn(x) trong Bài toán 3.3 được gọi là đa thức hoặc đa thức bậc n (nếu a0 = 0).

3.4. Tính các giới hạn sau: x2 + 2x − 3 a) lim (x2 + 3x + 4); b) giới hạn 2. x→2 x→3 2x + 4x − 5 Giải pháp. Dựa vào chứng minh ở bài toán 3.3 mục b) ta viết được: lim (x2 + 3x + 4) = 22 + 3 2 + 4 = 14; x→2 x2 + 2x − 3 32 + 2 3 − 3 12 lim 2 + 4x − 5 = 2+4 3−5 = .

x→3 2x 2 3 25 5x2 − 20x + 15 3.5. Tìm A = lim. x→1 3x2 − 15x + 12 Giải pháp. TRONG trong trường hợp này

Không thể áp dụng định lý trên giới hạn của thương vì mẫu số bằng 0 tại x0 = 1. Lưu ý rằng tử số tại x0 = 1 cũng trở thành số 0. Chúng tôi nhận được một biểu thức không xác định như 0/0. Chúng ta đã nhấn mạnh rằng khi xác định giới hạn là x → x0

Nếu một quy tắc được xác định theo đó một số u nhất định gắn với mỗi điểm M của mặt phẳng (hoặc một phần nào đó của mặt phẳng), thì người ta nói rằng trên mặt phẳng (hoặc trên một phần của mặt phẳng), “hàm điểm được cho trước”; định nghĩa của hàm số được biểu diễn một cách tượng trưng bằng đẳng thức có dạng u - Số u liên kết với một điểm M được gọi là giá trị của hàm số này tại điểm M. Ví dụ: nếu A là một điểm cố định trong mặt phẳng, M là

điểm tùy ý

1) Gốc tọa độ được chọn ở giữa đoạn PQ, trục Ox hướng dọc theo đoạn PQ.

2) gốc tọa độ được chọn tại điểm P và trục Ox hướng dọc theo đoạn QP.

148. Cho: hình vuông ABCD cạnh a và hàm số f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4, trong đó d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC và d 4 = MD. Xác định biểu thức của hàm số này nếu các đường chéo của hình vuông lấy làm trục tọa độ (và trục Ox hướng dọc theo đoạn AC, trục Oy hướng dọc theo đoạn BD).

149. Theo điều kiện của bài toán 148, xác định biểu thức của f(M) (trực tiếp và sử dụng phép biến đổi tọa độ, sử dụng kết quả của bài toán 148), nếu chọn gốc tọa độ tại điểm A và các trục tọa độ hướng dọc theo các cạnh của nó (trục Ox dọc đoạn AB, trục Oy dọc đoạn AD).

150. Cho hàm số f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y. Xác định biểu thức của hàm này trong hệ tọa độ mới nếu gốc tọa độ được di chuyển (không thay đổi hướng của trục) đến điểm O"(3; -4).

151. Cho hàm số f(x, y) = x 2 - y 2 - 16. Xác định biểu thức của hàm số này trong hệ tọa độ mới nếu trục tọa độ quay một góc -45°.

152. Cho hàm số f(x, y) = x 2 + y 2 . Xác định biểu thức của hàm số này trong hệ tọa độ mới nếu trục tọa độ quay một góc α nhất định.

153. Tìm một điểm sao cho khi truyền gốc tọa độ vào nó thì biểu thức của hàm f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 sau phép biến đổi không chứa các số hạng của hàm số đầu tiên mức độ đối với các biến mới.

154. Tìm một điểm sao cho khi truyền gốc tọa độ vào nó thì biểu thức của hàm số f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 không chứa các số hạng bậc một đối với các biến mới.

155. Quay các trục tọa độ một góc bằng bao nhiêu để biểu thức hàm f(x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 sau phép biến đổi không chứa tích của các biến mới ?

156. Cần quay các trục tọa độ một góc bằng bao nhiêu để biểu thức hàm f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 sau khi biến đổi không chứa một số hạng có tích các biến mới?

Gọi G là đồ thị của hàm y=f(x). Xét trên G điểm A(x0,f(x0)) và điểm B (x0+Δx,f(x0+Δx))

Gọi γ là góc nghiêng của cát tuyến so với trục OX. Nếu tồn tại giới hạn limγ = γ0 với Δх→0 thì đường thẳng đi qua A và tạo thành một góc γ0 với trục OX được gọi là tiếp tuyến với Г tại điểm A.

Đặt C(f(x0+Δx), f(x0)) là điểm bổ sung đoạn AB thành hình chữ nhật. tam giác ABC. Bởi vì AC//OX thì tgγ =Δу/Δх. Vượt qua giới hạn, ta thu được: tgγ0=f′(x0)

Những thứ kia. ý nghĩa hình học của đạo hàm là f′(x0) là tiếp tuyến của góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị y=f(x) tại điểm (x0,f(x0)).

Phương trình tiếp tuyến.

Hãy tìm ur-e của tiếp tuyến của đồ thị Г f-và y=f(x) tại điểm A(x0, f(x0)): bởi vì t. A thuộc Г và tiếp tuyến thứ ur, khi đó f(x0)=kx0+b, do đó b= f(x0)-kx0, có nghĩa là tiếp tuyến được cho bởi đồ thị. Ur-m:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(x-x0)

Bởi vì k= f′(x0), thì

y=f(x0)+ f′(x0)(x-x0).

Xác định độ đàn hồi của hàm số.

Hàm số y = f(x) tại điểm x0 được gọi là giới hạn sau

Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

Độ co giãn Ey là hệ số tỷ lệ giữa những thay đổi tương đối của đại lượng y và x.)

Định lý Rolle.

Nếu hàm số liên tục trên khoảng [ Một;b] và khả vi trên khoảng ( Một;b), lấy ở cuối khoảng này cùng giá trị thì trên khoảng này có ít nhất một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0.

Định lý Lagrange.

Hãy để chức năng f(x)

1. liên tục trên khoảng [ Một, b];

2. khả vi trong khoảng ( Một, b).

Khi đó tồn tại một điểm với O ( Một, b) sao cho

Công thức (1) được gọi là Công thức Lagrange, hoặc công thức tăng hữu hạn

Định lý Cauchy.

Cho hai hàm f(x) và g(x) sao cho:

1. f(x) và g(x) được xác định và liên tục trên khoảng ;

2. Đạo hàm và hữu hạn trên khoảng;

3. Đạo hàm và không triệt tiêu đồng thời trên khoảng

(Nếu loại bỏ điều kiện 4 thì điều kiện 3 phải được tăng cường: g"(x) không được biến mất ở bất kỳ đâu trong khoảng ( Một,b).)

Quy tắc L'Hopital.

Định lý (Quy tắc L'Hopital). Gọi A là một số, ký hiệu của giới hạn một phía (A=a±0) hoặc ký hiệu của vô cực (A=±∞). Giả sử các hàm ƒ(x) và g(x) đều là vô cùng nhỏ hoặc đều lớn vô cùng như x→A. Sau đó nếu có giới hạn

(hữu hạn hoặc vô hạn),

sau đó có một giới hạn

trong trường hợp này đẳng thức được thực hiện:

Đạo hàm và vi phân bậc cao hơn.

Nếu với hàm y=f(x) đạo hàm y(k-1) cấp (k-1) được xác định, thì đạo hàm y(k) cấp k (tuỳ thuộc vào sự tồn tại của nó) được định nghĩa là đạo hàm của đạo hàm cấp (k-1), đó. y(k) = (y(k-1))′ . Cụ thể, y''=(y')' là đạo hàm bậc hai, y'''=(y'')' là đạo hàm bậc ba, v.v.

Sự khác biệt cao hơn mệnh lệnh của f-i y=f(v) được xác định lần lượt như sau:

d2y=d(dy) – vi phân bậc 2

dny=d(d n-1 y) - vi sai thứ nđặt hàng

Công thức Taylor. Công thức Maclaurin.

Định lý Taylor.

Đặt hàm f(x)có đạo hàm cấp n+ tại điểm x = a và một số lân cận của nó 1. Khi đó giữa điểm a và x a tồn tại một điểm sao cho công thức sau đúng:

Công thức (10) được gọi là công thức Taylor và biểu thức

biểu diễn số hạng còn lại dưới dạng Lagrange. Lưu ý rằng nếu hàm f (n+ 1) (x) được giới hạn trong lân cận của điểm Một, thì số hạng còn lại là vô cùng nhỏ tại xMột hơn trật tự cao, Làm sao ( x-a)N. Do đó, số hạng còn lại có thể được viết là

Rn+ 1 (x)= o((x-a)N)tại xMột.

Mẫu này số hạng còn lại được gọi là dạng Peano.

Công thức Maclaurin là công thức Taylor cho một = 0:

Số hạng còn lại ở dạng Peano của công thức Maclaurin có dạng

Rn+ 1 = o(x n)tại x 0.

Hãy trình bày sự mở rộng của một số các hàm cơ bản theo công thức Maclaurin

Tìm dựa trên

định nghĩa, đạo hàm của hàm f(x) tại điểm x 0:

26. f(x) = x 3, x 0 - một số tùy ý.

f'(x)= =

f ′(x о)= = = = =3

27. f(x)=sinx, x o -số tùy ý

Đạo hàm của hàm f(x) tại điểm x 0 là giới hạn của tỷ lệ giữa mức tăng của hàm tại điểm này với mức tăng của đối số khi đối số sau có xu hướng tùy ý về 0.

f'(x)= =

f ′(x о)= = = = cosx 0

28. f (x)= , x o =9

f'(x)= =

f'(x)= = = =1/6

29. f(x)= ,x o =1

f'(x)= =

f'(x)= = = = =-2

30.f(x)=x½x½, x 0 =0

f'(x)= =

Tìm độ đàn hồi của hàm số f(x) tại điểm x0:

38. f(x) = x 4, x 0 = 9.

Cho hai hàm tiện ích
U(x) và U* (x) = h + y U(x) với d > 0.
Người ra quyết định đi đến kết quả A i h A2 trên cơ sở hàm hữu dụng thứ hai khi nghiên cứu hai phương án. Điều gì sẽ thay đổi nếu thay vào đó nó tập trung vào chức năng tiện ích đầu tiên?
Câu trả lời của bạn sẽ như thế nào nếu hàm tiện ích thứ hai có dạng U*(x) = h - y và (i) với y > 0?
Các phương án được sắp xếp như thế nào khi U*(x) = h?
* *
"ĐẾN
1. Hai chức năng tiện ích dẫn đến sự chấp nhận giải pháp giống nhau khi chúng có thể được “dịch” lẫn nhau thông qua một phép biến đổi tuyến tính dương (xem thêm trang 74 về chủ đề này). Nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng U(x) là một phép biến đổi tuyến tính dương của hàm U*(x), thì việc lựa chọn hàm tiện ích sẽ không ảnh hưởng đến thứ tự của các phương án thay thế. Ta tìm hai số a và b sao cho b > 0 sao cho đúng
a + bU*(x) = U(x).
Nếu chúng ta thay thế hàm tiện ích thứ hai, thì chúng ta có
a + b (h + gU(x)) = U(x).
Ở giai đoạn đầu tiên, chúng ta định nghĩa 6 theo cách sao cho hệ số mà U(x) được nhân có giá trị bằng 1. Rõ ràng, chúng ta phải biểu thị b = 1 /d. Hóa ra là thế
a + - + U(x) = U(.r). 9
Sau đó, chúng ta phải chọn a sao cho chỉ còn lại U(x) ở cả hai vế của phương trình. Điều này sẽ xảy ra khi a = -h/g.
Bây giờ chúng tôi đang tìm kiếm sự biến đổi hình dạng
a + b(h-gU(x)) = U(x).
Để có được kết quả mong muốn, chúng ta phải ký hiệu b = - - l/h. Đây sẽ là một phép biến đổi tuyến tính âm và sẽ đảo ngược thứ tự xếp hạng.
Người ra quyết định với chức năng tiện ích này sẽ đánh giá tất cả các lựa chọn thay thế có cùng giá trị. Vì vậy, khi lựa chọn giữa phương án A\ và A.2 sẽ đưa ra kết quả A i ~

Thông tin thêm về chủ đề 2.1.5. Tính duy nhất của hàm tiện ích:

1. Sở thích của người tiêu dùng và hữu dụng cận biên. Chức năng tiện ích.
2.3.2. Hàm tiện ích bậc hai và tiện ích kỳ vọng
Tiện ích và người tiêu dùng hợp lý. Tổng hữu dụng và cận biên. Quy luật hữu dụng cận biên giảm dần. Nguyên tắc tối đa hóa hữu dụng
Lý thuyết hữu dụng định lượng. Các khái niệm về hữu dụng, sự lựa chọn của người tiêu dùng, hữu dụng tổng thể và hữu dụng cận biên.