Ở đây chúng ta sẽ xem xét định nghĩa về giới hạn hữu hạn của dãy. Trường hợp dãy hội tụ về vô cùng được thảo luận ở trang “Định nghĩa dãy số lớn vô hạn”.
Sự định nghĩa .
(xn), nếu với mọi số dương ε > 0
tồn tại một số tự nhiên N ε phụ thuộc vào ε sao cho mọi số tự nhiên n > N ε bất đẳng thức
| x n - a|< ε
.
Giới hạn trình tự được ký hiệu như sau:
.
Hoặc tại .
Hãy biến đổi bất đẳng thức:
;
;
.
Khoảng mở (a - ε, a + ε) được gọi là ε - lân cận của điểm a.
Dãy số có giới hạn được gọi là dãy hội tụ. Người ta cũng nói rằng trình tự hội tụđến một. Dãy số không có giới hạn được gọi là.
khác nhau
Từ định nghĩa, suy ra rằng nếu một dãy có giới hạn a thì bất kể chúng ta chọn lân cận ε của điểm a như thế nào, bên ngoài nó chỉ có thể có một số hữu hạn các phần tử của dãy hoặc không có phần tử nào (tập rỗng) . Và bất kỳ vùng lân cận ε nào cũng chứa vô số phần tử. Trên thực tế, khi cho trước một số ε nhất định, nhờ đó chúng ta có số .
Vì vậy, tất cả các phần tử của dãy số , theo định nghĩa, đều nằm trong ε - lân cận của điểm a .
(1)
.
Các yếu tố đầu tiên có thể được đặt ở bất cứ đâu. Nghĩa là, bên ngoài vùng lân cận ε không thể có nhiều hơn các phần tử - nghĩa là một số hữu hạn.
Chúng tôi cũng lưu ý rằng sự khác biệt không nhất thiết phải có xu hướng đơn điệu về 0, nghĩa là luôn giảm. Nó có thể tiến về 0 một cách không đơn điệu: nó có thể tăng hoặc giảm, có cực đại cục bộ. Tuy nhiên, các cực đại này, khi n tăng, sẽ có xu hướng về 0 (cũng có thể không đơn điệu).
Sử dụng các ký hiệu logic của sự tồn tại và tính phổ quát, định nghĩa về giới hạn có thể được viết như sau: Xác định a không phải là giới hạn Bây giờ hãy xem xét phát biểu ngược lại rằng số a không phải là giới hạn của dãy. Số một không phải là giới hạn của dãy
.
, nếu tồn tại sao cho với mọi số tự nhiên n đều có m tự nhiên như vậy
(2)
.
> n , Cái gì, có nghĩa là
bạn có thể chọn một ε như vậy - vùng lân cận của điểm a, ngoài điểm đó sẽ có vô số phần tử của dãy.
Hãy xem một ví dụ. Cho một dãy có phần tử chung
(3)
Bất kỳ lân cận nào của một điểm đều chứa vô số phần tử. Tuy nhiên, điểm này không phải là giới hạn của dãy, vì bất kỳ lân cận nào của điểm cũng chứa vô số phần tử. Lấy ε - lân cận của một điểm với ε = 1
. (-1, +1)
Đây sẽ là khoảng thời gian > 2
.
Tất cả các phần tử ngoại trừ phần tử đầu tiên có n chẵn đều thuộc khoảng này. Nhưng tất cả các phần tử có n lẻ đều nằm ngoài khoảng này, vì chúng thỏa mãn bất đẳng thức x n
.
.
Vì số lượng phần tử lẻ là vô hạn nên sẽ có vô số phần tử nằm ngoài vùng lân cận đã chọn. Do đó, điểm không phải là giới hạn của dãy.
Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra điều này, tuân thủ nghiêm ngặt tuyên bố (2). Điểm không phải là giới hạn của dãy (3), vì tồn tại sao cho với bất kỳ n tự nhiên nào cũng tồn tại một số lẻ mà bất đẳng thức đúng
Nó cũng có thể được chứng minh rằng bất kỳ điểm a nào cũng không thể là giới hạn của dãy này. Chúng ta luôn có thể chọn một ε - lân cận của điểm a không chứa điểm 0 hoặc điểm 2. Và khi đó bên ngoài lân cận đã chọn sẽ có vô số phần tử của dãy.
định nghĩa tương đương Chúng ta có thể đưa ra một định nghĩa tương đương về giới hạn của dãy nếu chúng ta mở rộng khái niệm ε - lân cận. Chúng ta sẽ có được một định nghĩa tương đương nếu, thay vì lân cận ε, nó chứa bất kỳ lân cận nào của điểm a. 1
Xác định lân cận của một điểm 2
Vùng lân cận của điểm a
bất kỳ khoảng mở nào chứa điểm này đều được gọi. Về mặt toán học, vùng lân cận được định nghĩa như sau: , trong đó ε
và ε
- số dương tùy ý. Khi đó định nghĩa giới hạn sẽ như sau.
Định nghĩa tương đương về giới hạn trình tự
- số dương tùy ý. Số a được gọi là giới hạn của dãy
.
, nếu với bất kỳ lân cận nào của nó có số tự nhiên N sao cho tất cả các phần tử của dãy có số đều thuộc về lân cận này.
Định nghĩa này cũng có thể được trình bày dưới dạng mở rộng.
Gọi số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa đầu tiên. Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm sao cho với bất kỳ số dương ε nào thì các bất đẳng thức sau đây đúng:
(4)
Tại .
Hãy chứng minh rằng số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa thứ hai. Nghĩa là, chúng ta cần chứng minh rằng tồn tại một hàm sao cho với mọi số dương ε 1
và ε 2
thỏa mãn các bất đẳng thức sau:
(5)
Tại .
Cho ta hai số dương: ε 1
và ε 2
.
.
Và đặt ε là nhỏ nhất trong số đó: .
Sau đó ; ; 1
và ε 2
.
.
Hãy sử dụng điều này trong (5): 1
và ε 2
thỏa mãn các bất đẳng thức sau:
(5)
Tại .
Nhưng bất đẳng thức được thỏa mãn với .
.
Khi đó bất đẳng thức (5) cũng được thỏa mãn với .
Nghĩa là, chúng ta đã tìm thấy một hàm thỏa mãn bất đẳng thức (5) với mọi số dương ε
Phần đầu tiên đã được chứng minh.
Bây giờ gọi số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa thứ hai. Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm sao cho với mọi số dương ε
Hãy chứng minh rằng số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa đầu tiên. Để làm điều này bạn cần phải đặt .
Khi đó khi có bất đẳng thức sau:
(1)
.
Điều này tương ứng với định nghĩa đầu tiên với .
.
.
Sự tương đương của các định nghĩa đã được chứng minh.
.
.
Ví dụ
Tại .
Ở đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ trong đó chúng ta cần chứng minh rằng một số a cho trước là giới hạn của một dãy. Trong trường hợp này, bạn cần chỉ định một số dương tùy ý ε và xác định hàm N của ε sao cho bất đẳng thức được thỏa mãn với tất cả.
.
Ví dụ 1
Chứng minh điều đó.
.
Trong trường hợp của chúng tôi;
(1)
.
Hãy sử dụng các tính chất của bất đẳng thức. Sau đó nếu và , thì
.
Sau đó
.
Sự tương đương của các định nghĩa đã được chứng minh.
.
Điều này có nghĩa là số đó là giới hạn của dãy đã cho:
.
Ví dụ
Tại .
.
Ví dụ 2
.
Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh rằng
Hãy viết định nghĩa giới hạn của dãy số:
.
Trong trường hợp của chúng tôi,; = 1, 2, 3, ...
Nhập số dương và:
.
Trong trường hợp của chúng tôi;
(1)
.
Nghĩa là, với bất kỳ số dương nào, chúng ta có thể lấy bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn hoặc bằng:
.
Ví dụ 3
.
Điều này có nghĩa là số đó là giới hạn của dãy đã cho:
.
Chúng tôi giới thiệu ký hiệu , .
Tại .
Hãy biến đổi sự khác biệt:
.
Đối với n tự nhiên
chúng tôi có:
.
Trong trường hợp của chúng tôi;
(1)
.
Hãy sử dụng các tính chất của bất đẳng thức. Sau đó nếu và , thì
.
Sau đó
.
Ví dụ 3
.
Điều này có nghĩa là số đó là giới hạn của dãy đã cho:
.
Ví dụ
Tại .
Hãy biến đổi sự khác biệt:
.
Nhập số dương và:
Sau đó nếu và , thì
Đồng thời
Điều này có nghĩa là số đó là giới hạn của chuỗi: Ví dụ 4 Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh rằng Văn học đã qua sử dụng: Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh rằng.
L. D. Kudryavtsev. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 2003. CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983. Giới hạn chức năng - con số tại điểm x 0, nếu với bất kỳ chuỗi điểm nào từ miền định nghĩa của hàm số, không bằng x 0, và hội tụ đến điểm x 0 (lim x n = x0), dãy giá trị hàm tương ứng hội tụ về số CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983..
Đồ thị của hàm số có giới hạn của nó, với một đối số có xu hướng tiến tới vô cùng, bằng L:
Nghĩa MỘT là giới hạn (giá trị giới hạn) của hàm f(x) tại điểm x 0 trong trường hợp với bất kỳ chuỗi điểm nào 
, hội tụ đến x 0, nhưng không chứa x 0 là một trong những phần tử của nó (tức là ở vùng lân cận bị thủng x 0), chuỗi các giá trị hàm 
hội tụ đến CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983..
Giới hạn của hàm Cauchy.
Nghĩa CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983. sẽ được giới hạn của hàm f(x) tại điểm x 0 nếu với bất kỳ số không âm nào được lấy trước ε số không âm tương ứng sẽ được tìm thấy δ = δ(ε) sao cho với mỗi đối số x, thỏa mãn điều kiện 0 < | x - x0 | < δ , bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn | f(x)A |< ε .
Sẽ rất đơn giản nếu bạn hiểu bản chất của giới hạn và các quy tắc cơ bản để tìm nó. Giới hạn của hàm là gì f (x) Tại x phấn đấu cho Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh rằng bằng CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983., được viết như thế này:
Hơn nữa, giá trị mà biến hướng tới x, có thể không chỉ là số mà còn có thể là vô cùng (∞), đôi khi +∞ hoặc -∞ hoặc có thể không có giới hạn nào cả.
Để hiểu làm thế nào tìm giới hạn của hàm số, tốt nhất nên xem các ví dụ về giải pháp.
Cần tìm giới hạn của hàm f (x) = 1/x Tại:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Hãy tìm giải pháp cho giới hạn đầu tiên. Để làm điều này, bạn chỉ cần thay thế x con số nó hướng tới, tức là 2, chúng tôi nhận được:
Hãy tìm giới hạn thứ hai của hàm số. Ở đây thay thế bằng 0 thuần túy xđiều đó là không thể, bởi vì Bạn không thể chia cho 0. Nhưng chúng ta có thể lấy các giá trị gần bằng 0, ví dụ: 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001, v.v. và giá trị của hàm f (x) sẽ tăng: 100; 1000; 10000; 100.000 và vân vân. Như vậy có thể hiểu rằng khi x→ 0 giá trị của hàm nằm dưới dấu giới hạn sẽ tăng vô hạn, tức là phấn đấu hướng tới vô cùng. Có nghĩa là:
Về giới hạn thứ ba. Tình huống tương tự như trường hợp trước, không thể thay thế ∞ ở dạng tinh khiết nhất của nó. Chúng ta cần xét trường hợp tăng không giới hạn x. Chúng tôi thay thế 1000 từng cái một; 10000; 100000, v.v., chúng ta có giá trị của hàm f (x) = 1/x sẽ giảm: 0,001; 0,0001; 0,00001; vân vân, có xu hướng về không. Đó là lý do tại sao:
Cần tính giới hạn của hàm 
Bắt đầu giải ví dụ thứ hai, chúng ta thấy sự không chắc chắn. Từ đây chúng ta tìm được bậc cao nhất của tử số và mẫu số - đây là x 3, chúng ta lấy nó ra khỏi ngoặc ở tử số và mẫu số rồi rút gọn bằng:
Trả lời 
Bước đầu tiên trong tìm giới hạn này, thay thế giá trị 1 x, dẫn đến sự không chắc chắn. Để giải nó, hãy phân tích tử số và thực hiện việc này bằng phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x 2= 1.
Vậy tử số sẽ là:
Trả lời 
Đây là định nghĩa về giá trị cụ thể của nó hoặc một khu vực nhất định mà hàm rơi vào, bị giới hạn bởi giới hạn.
Để giải quyết giới hạn, hãy làm theo các quy tắc:
Đã hiểu rõ bản chất và quy tắc giải giới hạn, bạn sẽ có được sự hiểu biết cơ bản về cách giải quyết chúng.
Toán học là môn khoa học xây dựng nên thế giới. Cả nhà khoa học và người bình thường - không ai có thể làm được nếu không có nó. Đầu tiên, trẻ nhỏ được dạy đếm, sau đó cộng, trừ, nhân và chia; ở trường cấp hai, các ký hiệu chữ cái phát huy tác dụng, và ở trường trung học chúng không thể tránh được nữa.
Nhưng hôm nay chúng ta sẽ nói về nền tảng của toàn bộ toán học đã biết. Về một cộng đồng các con số được gọi là “giới hạn dãy số”.
Trình tự là gì và giới hạn của chúng ở đâu?
Ý nghĩa của từ “trình tự” không khó giải thích. Đây là sự sắp xếp những thứ mà ai đó hoặc thứ gì đó được đặt theo một thứ tự hoặc hàng đợi nhất định. Ví dụ: hàng đợi mua vé vào sở thú là một chuỗi. Và chỉ có thể có một! Ví dụ: nếu bạn nhìn vào hàng đợi ở cửa hàng, đây là một chuỗi. Và nếu một người trong hàng đợi này đột nhiên rời đi, thì đây là một hàng đợi khác, một thứ tự khác.
Từ “giới hạn” cũng dễ hiểu - đó là sự kết thúc của một điều gì đó. Tuy nhiên, trong toán học, giới hạn của dãy số là những giá trị trên trục số mà dãy số hướng tới. Tại sao nó phấn đấu mà không kết thúc? Rất đơn giản, trục số không có điểm kết thúc và hầu hết các chuỗi, giống như tia, chỉ có điểm bắt đầu và trông như thế này:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Do đó, định nghĩa của dãy là một hàm của đối số tự nhiên. Nói một cách đơn giản hơn, đây là một chuỗi các thành viên của một tập hợp nhất định.
Dãy số được cấu tạo như thế nào?
Một ví dụ đơn giản về dãy số có thể trông như sau: 1, 2, 3, 4, …n…
Trong hầu hết các trường hợp, vì mục đích thực tế, các chuỗi được xây dựng từ các con số và mỗi phần tử tiếp theo của chuỗi, hãy biểu thị bằng X, có tên riêng. Ví dụ:
x 1 là thành viên đầu tiên của dãy;
x 2 là số hạng thứ hai của dãy;
x 3 là số hạng thứ ba;
x n là số hạng thứ n.
Trong các phương pháp thực tế, trình tự được đưa ra bởi một công thức chung trong đó có một biến nhất định. Ví dụ:
X n = 3n thì dãy số đó sẽ có dạng như sau:
Điều cần nhớ là khi viết trình tự nói chung, bạn có thể sử dụng bất kỳ chữ cái Latinh nào, không chỉ X. Ví dụ: y, z, k, v.v.
Cấp số cộng là một phần của dãy
Trước khi tìm kiếm giới hạn của dãy số, bạn nên tìm hiểu sâu hơn về khái niệm dãy số mà mọi người đều gặp phải khi còn học cấp hai. Cấp số cộng là một dãy số trong đó hiệu giữa các số hạng liền kề là không đổi.
Bài toán: “Cho a 1 = 15 và bậc tiến triển của dãy số d = 4. Hãy xây dựng 4 số hạng đầu tiên của dãy này"
Giải: a 1 = 15 (theo điều kiện) là số hạng đầu tiên của cấp số cộng (chuỗi số).
và 2 = 15+4=19 là số hạng thứ hai của cấp số nhân.
và 3 =19+4=23 là số hạng thứ ba.
và 4 =23+4=27 là số hạng thứ tư.
Tuy nhiên, sử dụng phương pháp này khó đạt được giá trị lớn, chẳng hạn lên tới 125. . Đặc biệt đối với những trường hợp như vậy, người ta đã rút ra một công thức thuận tiện cho việc thực hành: a n = a 1 + d(n-1). Trong trường hợp này, 125 =15+4(125-1)=511.
Các loại trình tự
Hầu hết các cảnh đều dài vô tận, đáng để bạn ghi nhớ suốt đời. Có hai loại dãy số thú vị. Giá trị đầu tiên được tính theo công thức a n =(-1) n. Các nhà toán học thường gọi chuỗi này là flasher. Tại sao? Hãy kiểm tra dãy số của nó.
1, 1, -1, 1, -1, 1, v.v. Với ví dụ như thế này, có thể thấy rõ rằng các số trong dãy có thể dễ dàng lặp lại.
Trình tự giai thừa. Thật dễ dàng để đoán - công thức xác định chuỗi có chứa giai thừa. Ví dụ: a n = (n+1)!
Sau đó, trình tự sẽ trông như thế này:
a 2 = 1x2x3 = 6;
và 3 = 1x2x3x4 = 24, v.v.
Một dãy được xác định bởi một cấp số cộng được gọi là giảm vô hạn nếu bất đẳng thức -1 được thỏa mãn với mọi số hạng của nó và 3 = - 1/8, v.v. Thậm chí còn có một chuỗi bao gồm cùng một số. Vì vậy, n = 6 bao gồm vô số số sáu. Giới hạn dãy đã tồn tại từ lâu trong toán học. Tất nhiên, họ xứng đáng có được thiết kế có thẩm quyền của riêng mình. Vì vậy, đã đến lúc tìm hiểu định nghĩa về giới hạn dãy. Trước tiên, hãy xem xét giới hạn của hàm tuyến tính một cách chi tiết: Thật dễ hiểu khi định nghĩa giới hạn của một dãy có thể được xây dựng như sau: đây là một con số nhất định mà tất cả các thành viên của dãy đều tiếp cận một cách vô hạn. Một ví dụ đơn giản: a x = 4x+1. Sau đó, trình tự sẽ trông như thế này. 5, 9, 13, 17, 21…x… Do đó, chuỗi này sẽ tăng vô hạn, nghĩa là giới hạn của nó bằng vô cùng là x→∞, và nó phải được viết như sau: Nếu chúng ta lấy một dãy tương tự, nhưng x tiến tới 1, chúng ta nhận được: Và dãy số sẽ như thế này: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, v.v. Mỗi lần bạn cần thay số gần một hơn (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Từ loạt bài này rõ ràng giới hạn của hàm số là năm. Từ phần này, cần nhớ giới hạn của dãy số là gì, định nghĩa và phương pháp giải các bài toán đơn giản. Sau khi xem xét giới hạn của dãy số, định nghĩa và ví dụ của nó, bạn có thể chuyển sang một chủ đề phức tạp hơn. Tuyệt đối tất cả các giới hạn của dãy có thể được hình thành bằng một công thức, công thức này thường được phân tích trong học kỳ đầu tiên. Vậy tập hợp các chữ cái, mô-đun và dấu bất đẳng thức này có ý nghĩa gì? ∀ là một bộ định lượng phổ quát, thay thế các cụm từ “cho tất cả”, “cho mọi thứ”, v.v. ∃ là một bộ lượng hóa tồn tại, trong trường hợp này nó có nghĩa là có một giá trị N nào đó thuộc tập hợp số tự nhiên. Một thanh dọc dài theo sau N có nghĩa là tập hợp N đã cho là “sao cho”. Trong thực tế, nó có thể có nghĩa là “như vậy”, “như vậy”, v.v. Để củng cố tài liệu, hãy đọc to công thức. Phương pháp tìm giới hạn của dãy đã được thảo luận ở trên, mặc dù dễ sử dụng nhưng lại không hợp lý trong thực tế. Hãy thử tìm giới hạn cho hàm này: Nếu chúng ta thay thế các giá trị khác nhau của “x” (tăng dần: 10, 100, 1000, v.v.), thì chúng ta nhận được ∞ ở tử số nhưng cũng nhận được ∞ ở mẫu số. Điều này dẫn đến một phân số khá kỳ lạ: Nhưng điều này có thực sự như vậy không? Việc tính giới hạn của một dãy số trong trường hợp này có vẻ khá dễ dàng. Có thể để nguyên mọi thứ vì câu trả lời đã sẵn sàng và nó đã được nhận trong những điều kiện hợp lý, nhưng có một cách khác dành riêng cho những trường hợp như vậy. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm bậc cao nhất của tử số của phân số - đây là 1, vì x có thể được biểu diễn dưới dạng x 1. Bây giờ chúng ta hãy tìm mức độ cao nhất trong mẫu số. Cũng 1. Hãy chia cả tử số và mẫu số cho biến ở mức độ cao nhất. Trong trường hợp này, chia phân số cho x 1. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị mà mỗi số hạng chứa một biến có xu hướng hướng tới. Trong trường hợp này, phân số được xem xét. Khi x→∞, giá trị của mỗi phân số có xu hướng bằng 0. Khi gửi tác phẩm của mình bằng văn bản, bạn nên ghi chú thích cuối trang sau: Điều này dẫn đến biểu thức sau: Tất nhiên, các phân số chứa x không trở thành số 0! Nhưng giá trị của chúng quá nhỏ nên hoàn toàn được phép không tính đến nó trong tính toán. Thực tế, x sẽ không bao giờ bằng 0 trong trường hợp này, vì bạn không thể chia cho 0. Giả sử giáo sư có sẵn một chuỗi phức tạp, rõ ràng là được đưa ra bởi một công thức phức tạp không kém. Giáo sư đã tìm ra câu trả lời nhưng liệu có đúng không? Rốt cuộc, tất cả mọi người đều phạm sai lầm. Auguste Cauchy đã từng nghĩ ra một cách tuyệt vời để chứng minh giới hạn của dãy số. Phương pháp của ông được gọi là thao túng khu phố. Giả sử có một điểm a nhất định, lân cận của nó theo cả hai hướng trên trục số bằng ε (“epsilon”). Vì biến cuối cùng là khoảng cách nên giá trị của nó luôn dương. Bây giờ hãy xác định một số dãy x n và giả sử rằng số hạng thứ mười của dãy (x 10) được bao gồm trong vùng lân cận của a. Làm thế nào chúng ta có thể viết sự thật này bằng ngôn ngữ toán học? Giả sử x 10 nằm bên phải điểm a thì khoảng cách x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Bây giờ là lúc giải thích trong thực tế công thức đã thảo luận ở trên. Công bằng mà nói một số nhất định là điểm cuối của một dãy nếu với bất kỳ giới hạn nào của nó, bất đẳng thức ε>0 đúng và toàn bộ vùng lân cận có số tự nhiên N riêng của nó, sao cho tất cả các thành viên của dãy có số cao hơn sẽ nằm trong dãy |x n - a|< ε. Với kiến thức như vậy, thật dễ dàng để giải các giới hạn dãy và chứng minh hoặc bác bỏ một câu trả lời có sẵn. Các định lý về giới hạn của dãy là một thành phần quan trọng của lý thuyết, nếu không có nó thì không thể thực hành được. Chỉ có bốn định lý chính, việc ghi nhớ có thể đơn giản hóa rất nhiều quá trình giải hoặc chứng minh: Đôi khi bạn cần giải một bài toán nghịch đảo, để chứng minh giới hạn cho trước của một dãy số. Hãy xem một ví dụ. Chứng minh rằng giới hạn của dãy cho bởi công thức bằng 0. Theo quy tắc đã thảo luận ở trên, với bất kỳ dãy nào, bất đẳng thức |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Chúng ta hãy biểu diễn n thông qua “epsilon” để chứng tỏ sự tồn tại của một số nhất định và chứng minh sự tồn tại của giới hạn của dãy. Tại thời điểm này, điều quan trọng cần nhớ là “epsilon” và “en” là các số dương và không bằng 0. Bây giờ có thể tiếp tục những biến đổi sâu hơn bằng cách sử dụng kiến thức về bất đẳng thức đã học được ở trường trung học. Làm sao hóa ra n > -3 + 1/ε. Vì cần nhớ rằng chúng ta đang nói về số tự nhiên nên kết quả có thể được làm tròn bằng cách đặt trong ngoặc vuông. Do đó, người ta đã chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của vùng lân cận “epsilon” của điểm a = 0, sẽ tìm thấy một giá trị sao cho bất đẳng thức ban đầu được thỏa mãn. Từ đây chúng ta có thể nói một cách an toàn rằng số a là giới hạn của một dãy cho trước. Q.E.D. Phương pháp thuận tiện này có thể được sử dụng để chứng minh giới hạn của một dãy số, bất kể thoạt nhìn nó phức tạp đến mức nào. Điều chính là không hoảng sợ khi nhìn thấy nhiệm vụ. Sự tồn tại của giới hạn nhất quán là không cần thiết trong thực tế. Bạn có thể dễ dàng bắt gặp những dãy số thực sự không có hồi kết. Ví dụ: cùng một “đèn nhấp nháy” x n = (-1) n. Rõ ràng là một dãy chỉ gồm hai chữ số, lặp đi lặp lại theo chu kỳ, không thể có giới hạn. Câu chuyện tương tự lặp lại với các chuỗi bao gồm một số, số phân số, không chắc chắn về bất kỳ thứ tự nào trong quá trình tính toán (0/0, ∞/∞, ∞/0, v.v.). Tuy nhiên, cần nhớ rằng tính toán sai cũng có thể xảy ra. Đôi khi việc kiểm tra kỹ lời giải của riêng bạn sẽ giúp bạn tìm ra giới hạn trình tự. Một số ví dụ về trình tự và phương pháp giải chúng đã được thảo luận ở trên và bây giờ chúng ta hãy thử lấy một trường hợp cụ thể hơn và gọi nó là “chuỗi đơn điệu”. Định nghĩa: bất kỳ dãy nào cũng có thể được gọi là tăng đơn điệu nếu bất đẳng thức nghiêm ngặt x n đúng với nó< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn +1. Cùng với hai điều kiện này còn có những bất đẳng thức không chặt chẽ tương tự. Theo đó, x n ≤ x n +1 (chuỗi không giảm) và x n ≥ x n +1 (chuỗi không tăng). Nhưng sẽ dễ hiểu điều này hơn bằng các ví dụ. Dãy số theo công thức x n = 2+n tạo thành dãy số sau: 4, 5, 6, v.v. Đây là một dãy số tăng đơn điệu. Và nếu lấy x n =1/n, chúng ta sẽ có chuỗi: 1/3, ¼, 1/5, v.v. Đây là một dãy số giảm dần đơn điệu. Dãy số bị chặn là dãy có giới hạn. Dãy số hội tụ là dãy số có giới hạn vô cùng nhỏ. Vì vậy, giới hạn của một dãy bị chặn là số thực hoặc số phức bất kỳ. Hãy nhớ rằng chỉ có thể có một giới hạn. Giới hạn của dãy hội tụ là một đại lượng vô cùng nhỏ (thực hoặc phức). Nếu bạn vẽ sơ đồ trình tự thì đến một điểm nào đó nó sẽ có vẻ hội tụ, có xu hướng biến thành một giá trị nhất định. Do đó có tên - dãy hội tụ. Có thể có hoặc không có giới hạn cho trình tự như vậy. Đầu tiên, sẽ rất hữu ích khi hiểu khi nào nó tồn tại; từ đây bạn có thể bắt đầu chứng minh sự vắng mặt của giới hạn. Trong số các chuỗi đơn điệu, có sự hội tụ và phân kỳ. Hội tụ là một dãy được hình thành bởi tập x và có giới hạn thực hoặc giới hạn phức trong tập hợp này. Phân kỳ là một chuỗi không có giới hạn trong tập hợp của nó (không thực cũng không phức). Hơn nữa, chuỗi hội tụ nếu trong biểu diễn hình học, giới hạn trên và giới hạn dưới của nó hội tụ. Giới hạn của chuỗi hội tụ có thể bằng 0 trong nhiều trường hợp, vì bất kỳ chuỗi vô hạn nào cũng có giới hạn đã biết (không). Cho dù bạn chọn chuỗi hội tụ nào thì chúng đều bị chặn, nhưng không phải tất cả các chuỗi bị chặn đều hội tụ. Tổng, hiệu, tích của hai dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ. Tuy nhiên, thương cũng có thể hội tụ nếu nó được xác định! Giới hạn chuỗi cũng quan trọng (trong hầu hết các trường hợp) như các chữ số và số: 1, 2, 15, 24, 362, v.v. Hóa ra một số thao tác có thể được thực hiện với các giới hạn. Đầu tiên, giống như các con số và các con số, giới hạn của bất kỳ chuỗi nào cũng có thể được cộng và trừ. Dựa vào định lý thứ ba về giới hạn của dãy, đẳng thức sau đây có giá trị: giới hạn của tổng các dãy bằng tổng các giới hạn của chúng. Thứ hai, dựa vào định lý thứ tư về giới hạn của dãy, đẳng thức sau đây đúng: giới hạn tích của số dãy thứ n bằng tích giới hạn của chúng. Điều tương tự cũng đúng đối với phép chia: giới hạn thương của hai dãy bằng thương của giới hạn của chúng, với điều kiện giới hạn đó không bằng 0. Xét cho cùng, nếu giới hạn của dãy bằng 0 thì sẽ xảy ra phép chia cho 0, điều này là không thể. Có vẻ như giới hạn của dãy số đã được thảo luận chi tiết, nhưng các cụm từ như số “vô cùng nhỏ” và “vô cùng lớn” được nhắc đến nhiều lần. Rõ ràng, nếu có một dãy 1/x, trong đó x→∞, thì phân số đó là vô cùng nhỏ, và nếu cùng một dãy, nhưng giới hạn tiến tới 0 (x→0), thì phân số đó trở thành một giá trị vô cùng lớn. Và số lượng như vậy có những đặc điểm riêng. Các tính chất của giới hạn của dãy có giá trị lớn hoặc nhỏ bất kỳ như sau: Trên thực tế, việc tính giới hạn của dãy không quá khó nếu bạn biết một thuật toán đơn giản. Nhưng giới hạn của sự nhất quán là một chủ đề đòi hỏi sự quan tâm và kiên trì tối đa. Tất nhiên, chỉ cần nắm được bản chất của giải pháp cho những biểu hiện như vậy là đủ. Bắt đầu từ việc nhỏ, bạn có thể đạt được những đỉnh cao lớn theo thời gian. Giới hạn khiến tất cả học sinh toán gặp nhiều rắc rối. Để giải một giới hạn, đôi khi bạn phải sử dụng rất nhiều thủ thuật và chọn từ nhiều phương pháp giải khác nhau, chính xác là phương pháp phù hợp cho một ví dụ cụ thể. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ không giúp bạn hiểu giới hạn khả năng của mình hoặc hiểu giới hạn kiểm soát, nhưng chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi: làm thế nào để hiểu giới hạn trong toán học cao hơn? Sự hiểu biết đi kèm với kinh nghiệm nên đồng thời chúng tôi sẽ đưa ra một số ví dụ chi tiết về cách giải giới hạn kèm theo lời giải thích. Câu hỏi đầu tiên là: giới hạn này là gì và giới hạn của cái gì? Chúng ta có thể nói về giới hạn của dãy số và hàm số. Chúng ta quan tâm đến khái niệm giới hạn của hàm số vì đây là điều mà học sinh thường gặp nhất. Nhưng trước tiên, định nghĩa chung nhất về giới hạn: Giả sử có một số giá trị thay đổi. Nếu giá trị này trong quá trình thay đổi không giới hạn tiến tới một số nhất định Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh rằng
, Cái đó Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh rằng
- giới hạn của giá trị này. Đối với một hàm được xác định trong một khoảng nhất định f(x)=y
số đó gọi là giới hạn CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983.
, hàm số có xu hướng hướng tới khi X
, có xu hướng đến một điểm nhất định MỘT
. chấm MỘT
thuộc khoảng mà hàm được xác định. Nghe thì có vẻ rườm rà nhưng nó được viết rất đơn giản: Lim- từ tiếng Anh giới hạn- giới hạn. Ngoài ra còn có cách giải thích hình học để xác định giới hạn, nhưng ở đây chúng ta sẽ không đi sâu vào lý thuyết vì chúng ta quan tâm đến khía cạnh thực tế hơn là lý thuyết của vấn đề. Khi chúng tôi nói điều đó X
có xu hướng đạt đến một giá trị nào đó, điều này có nghĩa là biến đó không nhận giá trị của một số mà tiến gần đến giá trị đó vô cùng. Hãy đưa ra một ví dụ cụ thể. Nhiệm vụ là tìm giới hạn. Để giải ví dụ này, chúng ta thay thế giá trị x=3
thành một hàm. Chúng tôi nhận được: Nhân tiện, nếu bạn quan tâm, hãy đọc một bài viết riêng về chủ đề này. Trong ví dụ X
có thể hướng tới bất kỳ giá trị nào. Nó có thể là bất kỳ số nào hoặc vô cùng. Đây là một ví dụ khi X
có xu hướng đến vô cùng: Theo trực giác, số trong mẫu số càng lớn thì giá trị của hàm sẽ nhận càng nhỏ. Vì vậy, với sự tăng trưởng không giới hạn X
nghĩa 1/x
sẽ giảm và tiến tới 0. Như bạn thấy, để giải giới hạn, bạn chỉ cần thay giá trị cần phấn đấu vào hàm X
. Tuy nhiên, đây là trường hợp đơn giản nhất. Thường thì việc tìm ra giới hạn không quá rõ ràng. Trong giới hạn có sự không chắc chắn về loại 0/0
hoặc vô cùng/vô cùng
. Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Dùng thủ đoạn! Hãy có một giới hạn: Nếu chúng ta thử thay thế vô cực vào hàm số, chúng ta sẽ nhận được vô cực ở cả tử số và mẫu số. Nói chung, điều đáng nói là có một yếu tố nghệ thuật nhất định trong việc giải quyết những điều không chắc chắn như vậy: bạn cần chú ý cách bạn có thể biến đổi hàm số theo cách mà sự không chắc chắn đó biến mất. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi chia tử số và mẫu số cho X
ở trình độ cao cấp. Điều gì sẽ xảy ra? Từ ví dụ đã được thảo luận ở trên, chúng ta biết rằng các số hạng chứa x ở mẫu số sẽ có xu hướng bằng 0. Khi đó nghiệm của giới hạn là: Để giải quyết sự không chắc chắn về loại vô cùng/vô cùng chia tử số và mẫu số cho Xđến mức độ cao nhất. Nhân tiện! Đối với độc giả của chúng tôi hiện có giảm giá 10% cho Như mọi khi, việc thay thế các giá trị vào hàm x=-1
cho 0
ở tử số và mẫu số. Nhìn kỹ hơn một chút và bạn sẽ nhận thấy rằng chúng ta có một phương trình bậc hai ở tử số. Hãy tìm gốc rễ và viết: Hãy giảm và nhận được: Vì vậy, nếu bạn phải đối mặt với sự không chắc chắn về loại 0/0
- Phân tích tử số và mẫu số. Để giúp bạn giải ví dụ dễ dàng hơn, chúng tôi trình bày bảng giới hạn của một số hàm: Một cách mạnh mẽ khác để loại bỏ cả hai loại sự không chắc chắn. Bản chất của phương pháp này là gì? Nếu có độ không chắc chắn trong giới hạn, hãy lấy đạo hàm của tử số và mẫu số cho đến khi độ không chắc chắn biến mất. Quy tắc L'Hopital có dạng như sau: Điểm quan trọng
: giới hạn trong đó phải tồn tại đạo hàm của tử số và mẫu số thay cho tử số và mẫu số. Và bây giờ - một ví dụ thực tế: Có sự không chắc chắn điển hình 0/0
. Hãy lấy đạo hàm của tử số và mẫu số: Thì đấy, sự không chắc chắn sẽ được giải quyết nhanh chóng và dễ dàng. Chúng tôi hy vọng rằng bạn sẽ có thể áp dụng hữu ích thông tin này vào thực tế và tìm ra câu trả lời cho câu hỏi “làm thế nào để giải giới hạn trong toán học cao hơn”. Nếu bạn cần tính giới hạn của một dãy hoặc giới hạn của hàm số tại một điểm nhưng hoàn toàn không có thời gian cho công việc này, hãy liên hệ với bộ phận dịch vụ sinh viên chuyên nghiệp để có giải pháp nhanh chóng và chi tiết. (x) tại điểm x 0
: đây x 0
và a có thể là số hữu hạn hoặc là điểm ở vô cùng. Vùng lân cận có thể là hai mặt hoặc một mặt. Số a được gọi là giới hạn của hàm f (x) tại điểm x 0
: Điểm x 0
và a có thể là số hữu hạn hoặc là điểm ở vô cùng. Vùng lân cận cũng có thể là hai chiều hoặc một chiều. Chúng ta hãy viết định nghĩa này bằng cách sử dụng các ký hiệu logic của sự tồn tại và tính phổ quát: Định nghĩa này sử dụng các vùng lân cận có các điểm cuối cách đều nhau. Một định nghĩa tương đương có thể được đưa ra bằng cách sử dụng các lân cận điểm tùy ý. Định nghĩa sử dụng các vùng lân cận tùy ý Sử dụng các ký hiệu logic của sự tồn tại và tính phổ quát, định nghĩa này có thể được viết như sau: Các định nghĩa trên mang tính phổ quát theo nghĩa là chúng có thể được sử dụng cho bất kỳ loại vùng lân cận nào. Nếu chúng ta sử dụng vùng lân cận bên trái của điểm cuối, chúng ta thu được định nghĩa về giới hạn bên trái. Nếu chúng ta sử dụng lân cận của một điểm ở vô cùng làm lân cận, chúng ta thu được định nghĩa về giới hạn ở vô cùng. Để xác định giới hạn Heine, điều này dẫn đến thực tế là một hạn chế bổ sung được áp dụng đối với một chuỗi tùy ý hội tụ tới: các phần tử của nó phải thuộc về vùng lân cận bị thủng tương ứng của điểm . Xác định điểm a không phải là giới hạn của hàm số (x) Thường cần sử dụng điều kiện điểm a không phải là giới hạn của hàm số tại . 0
Chúng ta hãy xây dựng những phủ định cho các định nghĩa trên. Trong đó chúng ta giả sử rằng hàm f 0
được xác định trên một số vùng lân cận bị thủng của điểm x .. các phần tử của nó thuộc về vùng lân cận,. Tất nhiên, nếu điểm a không phải là giới hạn của hàm số tại , điều này không có nghĩa là nó không thể có giới hạn. Có thể có một giới hạn, nhưng nó không bằng a. Cũng có thể hàm số được xác định trong một lân cận bị thủng của điểm nhưng không có giới hạn tại . Chức năng f(x) = sin(1/x) không có giới hạn khi x → 0. 0
Ví dụ: một hàm được xác định tại , nhưng không có giới hạn. Để chứng minh điều đó, hãy lấy dãy . Nó cũng hội tụ đến điểm Nhưng kể từ đó. Khi đó giới hạn không thể bằng bất kỳ số a nào. Vì vậy, mọi số khác 0 đều không phải là giới hạn. Nhưng nó cũng không phải là giới hạn, vì có một chuỗi mà . Định lý Định nghĩa Heine và Cauchy về giới hạn của hàm số là tương đương nhau. Bằng chứng Chứng minh của Heine ⇒ Cauchy giới hạn của dãy là: Hãy giả sử điều ngược lại. Cho các điều kiện (1) và (2) được thỏa mãn nhưng hàm số không có giới hạn Cauchy. Nghĩa là, có thứ gì đó tồn tại cho bất cứ ai, vì vậy Chúng ta hãy lấy một chuỗi tùy ý thuộc vùng lân cận bị thủng và hội tụ về . Vì điều này đúng với bất kỳ ai, nên Nhập số dương và: Xác định giới hạn trình tự
Ký hiệu chung cho giới hạn của trình tự
Sự không chắc chắn và chắc chắn của giới hạn
Một khu phố là gì?
Định lý
Bằng chứng về trình tự
Hoặc có lẽ anh ấy không có ở đó?
Trình tự đơn điệu
Giới hạn của dãy hội tụ và bị chặn
Giới hạn của dãy đơn điệu
Các hành động khác nhau có giới hạn
Tính chất của đại lượng dãy
Khái niệm giới hạn trong toán học
Sự không chắc chắn bên trong
Độ không đảm bảo về dạng vô cực/vô cực
Một loại độ không chắc chắn khác: 0/0
Quy tắc L'Hopital bên trong
,
Nếu như
1) tồn tại một lân cận bị chọc thủng của điểm x 0
2) cho bất kỳ chuỗi nào (xn), hội tụ về x 0
:
, các phần tử của nó thuộc về lân cận,
tiếp theo (f(xn)) hội tụ đến a:
.
.
Định nghĩa thứ hai về giới hạn của hàm số (theo Cauchy)
,
Nếu như
1) tồn tại một lân cận bị chọc thủng của điểm x 0
, trên đó hàm được xác định;
2) với mọi số dương ε > 0
có một số như vậy δ ε > 0
, phụ thuộc vào ε, với mọi x thuộc δ ε bị thủng - lân cận của điểm x 0
:
,
giá trị hàm f (x) thuộc lân cận ε của điểm a:
.
.
Số a được gọi là giới hạn của hàm f (x) tại điểm x 0
:
,
Nếu như
1) tồn tại một lân cận bị chọc thủng của điểm x 0
, trên đó hàm được xác định;
2) với mọi lân cận U (Một) của điểm a có một lân cận bị thủng của điểm x 0
với mọi x thuộc lân cận thủng của điểm x 0
:
,
giá trị hàm f (x) thuộc về lân cận U (Một)điểm a:
.
.
Giới hạn một phía và giới hạn hai phía
Để xác định giới hạn Cauchy, trong mỗi trường hợp cần phải biến đổi các biểu thức thành các bất đẳng thức, sử dụng các định nghĩa thích hợp về lân cận của một điểm.Xem "Lân cận của một điểm".
Điểm a và x có thể là số hữu hạn hoặc vô cùng xa. Mọi điều nêu dưới đây áp dụng cho cả giới hạn song phương và đơn phương. Theo Heine (x) tại điểm x 0
:
,
Số một (xn) không phải 0
:
,
giới hạn của hàm f
nếu một chuỗi như vậy tồn tại (f(xn)), hội tụ về x
.
.
Điểm a và x có thể là số hữu hạn hoặc vô cùng xa. Mọi điều nêu dưới đây áp dụng cho cả giới hạn song phương và đơn phương. Theo Heine (x) tại điểm x 0
:
,
nếu có một số dương như vậy ε > 0
, vậy với mọi số dương δ > 0
, tồn tại một x thuộc lân cận δ bị thủng của điểm x 0
:
,
rằng giá trị của hàm f (x) không thuộc lân cận ε của điểm a:
.
.
Nó hội tụ về một điểm 0
: .
Bởi vì , thì .Hãy lấy trình tự.
: .Thật vậy, với , có một dãy mà .
(1)
,
Sự tương đương của định nghĩa Heine và Cauchy về giới hạn
(2)
.
.
.
Trong chứng minh, chúng ta giả sử rằng hàm số được xác định trong một số lân cận bị thủng của một điểm (hữu hạn hoặc ở vô cùng). Điểm a cũng có thể hữu hạn hoặc ở vô cùng.Cho hàm số có giới hạn a tại một điểm theo định nghĩa đầu tiên (theo Heine). Nghĩa là, với bất kỳ dãy nào thuộc lân cận của một điểm và có giới hạn
(3)
Chứng minh hàm số có giới hạn Cauchy tại một điểm. Đó là, đối với tất cả mọi người, có một cái gì đó dành cho tất cả mọi người.
Giả sử , trong đó n là số tự nhiên. Khi đó có , và
Tại .
Theo định nghĩa của một dãy hội tụ, với mọi tồn tại
Tại .
Khi đó từ (3) suy ra
.
Sau đó nếu và , thì