Diện tích của một hình bằng tích phân. Máy tính trực tuyến Tính tích phân xác định (diện tích hình thang cong)

Tích phân xác định. Cách tính diện tích của hình

Hãy chuyển sang xem xét các ứng dụng của phép tính tích phân. Trong bài học này chúng ta sẽ phân tích nhiệm vụ điển hình và phổ biến nhất – Cách sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng. Cuối cùng, những ai đang tìm kiếm ý nghĩa trong toán học cao cấp - mong họ tìm thấy nó. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một biểu đồ dacha bằng cách sử dụng các hàm cơ bản và tìm diện tích của nó bằng tích phân xác định.

Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:

1) Hiểu tích phân không xác định ít nhất ở mức độ trung cấp. Vì vậy, người ngu trước tiên nên đọc bài học Không.

Trên thực tế, để tính diện tích của một hình, bạn không cần nhiều kiến thức về tích phân bất định và xác định. Nhiệm vụ “tính diện tích bằng tích phân xác định” luôn liên quan đến việc xây dựng một hình vẽ, nên kiến thức và kỹ năng vẽ của bạn sẽ là vấn đề cấp bách hơn rất nhiều. Về vấn đề này, sẽ rất hữu ích khi làm mới trí nhớ của bạn về đồ thị của các hàm cơ bản cơ bản và ít nhất là có thể xây dựng một đường thẳng, parabol và hyperbol. Điều này có thể được thực hiện (đối với nhiều người, điều này là cần thiết) với sự trợ giúp của tài liệu phương pháp luận và một bài viết về các phép biến đổi hình học của đồ thị.

Trên thực tế, mọi người đều đã quen với nhiệm vụ tìm diện tích bằng tích phân xác định từ khi còn đi học và chúng ta sẽ không đi xa hơn chương trình giảng dạy ở trường. Bài viết này có thể hoàn toàn không tồn tại, nhưng thực tế là vấn đề xảy ra ở 99 trên 100 trường hợp, khi một học sinh phải chịu đựng một ngôi trường bị ghét bỏ và nhiệt tình theo học một khóa học về toán cao cấp.

Các tài liệu của hội thảo này được trình bày đơn giản, chi tiết và ít lý thuyết.

Hãy bắt đầu với một hình thang cong.

Đường cong hình thang là một hình phẳng giới hạn bởi một trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng không đổi dấu trên khoảng đó. Hãy để hình này được xác định không thấp hơn trục x:

Sau đó diện tích của hình thang cong bằng số tích phân xác định. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. trong lớp Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp Tôi đã nói rằng tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nêu ra một sự thật hữu ích khác. Theo quan điểm hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH.

Đó là, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một hình nhất định. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Tích phân xác định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (ai muốn có thể vẽ) và bản thân tích phân xác định bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

Ví dụ 1

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Điểm đầu tiên và quan trọng nhất trong quyết định là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng PHẢI.

Khi xây dựng một bản vẽ, tôi khuyên bạn nên thực hiện theo thứ tự sau: lúc đầu tốt hơn là xây dựng tất cả các đường thẳng (nếu chúng tồn tại) và chỉ Sau đó– parabol, hyperbol, đồ thị của các hàm số khác. Sẽ có lợi hơn khi xây dựng đồ thị hàm số từng điểm một, kỹ thuật xây dựng từng điểm có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Ở đó bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích cho bài học của chúng ta - cách xây dựng nhanh một hình parabol.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ hình (lưu ý rằng phương trình xác định trục):

Tôi sẽ không tô bóng hình thang cong; ở đây rõ ràng chúng ta đang nói đến khu vực nào. Giải pháp tiếp tục như thế này:

Trên đoạn thẳng, đồ thị của hàm số nằm phía trên trục, Đó là lý do tại sao:

Trả lời:

Ai gặp khó khăn khi tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz , tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp.

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. Trong trường hợp này, chúng tôi đếm số lượng ô trong bản vẽ "bằng mắt" - à, sẽ có khoảng 9 ô, điều đó có vẻ đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.

Ví dụ 2

Tính diện tích hình giới hạn bởi đường thẳng, trục

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trục?

Ví dụ 3

Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng và trục tọa độ.

Giải pháp: Hãy vẽ một bức tranh:

Nếu một hình thang cong nằm dưới trục(hoặc ít nhất không cao hơn trục đã cho), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:
Trong trường hợp này:

Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ này:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định đơn giản mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng tích phân xác định thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao điểm trừ xuất hiện trong công thức vừa thảo luận.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và nửa dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất ở trường, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 4

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , .

Giải pháp: Đầu tiên bạn cần hoàn thành bản vẽ. Nói chung, khi dựng hình trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích. Chúng ta giải phương trình:

Điều này có nghĩa là giới hạn tích phân dưới là , giới hạn tích phân trên là .
Nếu có thể, tốt hơn hết là không nên sử dụng phương pháp này..

Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn khi xây dựng từng đường nét một và các giới hạn của sự tích hợp “tự mình trở nên rõ ràng”. Kỹ thuật xây dựng từng điểm cho các đồ thị khác nhau được thảo luận chi tiết trong phần trợ giúp Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.

Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: sẽ hợp lý hơn nếu trước tiên xây dựng một đường thẳng và sau đó là một parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:

Tôi nhắc lại rằng khi xây dựng theo chiều điểm, các giới hạn của tích phân thường được phát hiện một cách “tự động”.

Và bây giờ là công thức làm việc: Nếu có một hàm liên tục nào đó trên đoạn lớn hơn hoặc bằng một số hàm liên tục , thì diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm này và các đường thẳng , , có thể được tìm thấy bằng công thức:

Ở đây bạn không còn cần phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hay bên dưới trục, và nói một cách đại khái, điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN(so với biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó cần phải trừ đi

Giải pháp hoàn chỉnh có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol ở trên và một đường thẳng ở dưới.
Trên đoạn thẳng theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Trên thực tế, công thức trường học tính diện tích hình thang cong ở nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ đơn giản số 3) là trường hợp đặc biệt của công thức . Vì trục được xác định bởi phương trình và đồ thị của hàm số nằm không cao hơn các trục thì

Và bây giờ là một vài ví dụ cho giải pháp của riêng bạn

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường thẳng , .

Khi giải các bài toán liên quan đến tính diện tích bằng tích phân xác định, đôi khi xảy ra một sự cố hài hước. Bản vẽ đã được thực hiện đúng, tính toán đúng, nhưng do bất cẩn... đã tìm thấy diện tích của hình sai, đây chính là cách mà người hầu khiêm tốn của bạn đã làm hỏng việc nhiều lần. Đây là một trường hợp thực tế:

Ví dụ 7

Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng , , , .

Giải pháp: Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bức tranh:

...Ơ, bản vẽ trông dở tệ, nhưng mọi thứ dường như đều rõ ràng.

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam(xem kỹ tình trạng - con số bị giới hạn như thế nào!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý nên thường xuyên xảy ra “trục trặc” khiến bạn cần tìm diện tích của hình được tô xanh!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ nó tính diện tích của một hình bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Thật sự:

1) Trên đoạn thẳng phía trên trục có đồ thị đường thẳng;

2) Trên đoạn thẳng phía trên trục có đồ thị của một hyperbol.

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Trả lời:

Hãy chuyển sang một nhiệm vụ có ý nghĩa khác.

Ví dụ 8

Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng,
Hãy trình bày các phương trình ở dạng “trường học” và vẽ từng điểm một:

Từ hình vẽ, rõ ràng giới hạn trên của chúng tôi là “tốt”: .
Nhưng giới hạn dưới là gì?! Rõ ràng đây không phải là số nguyên, nhưng nó là gì? Có lẽ ? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, có thể hóa ra là... Hoặc gốc. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xây dựng biểu đồ không chính xác?

Trong những trường hợp như vậy, bạn phải dành thêm thời gian và làm rõ các giới hạn của việc tích hợp một cách phân tích.

Hãy tìm giao điểm của đường thẳng và parabol.
Để làm điều này, chúng ta giải phương trình:

,

Thật sự, .

Giải pháp xa hơn là tầm thường, điều chính là không bị nhầm lẫn giữa các phép thay thế và dấu hiệu; các phép tính ở đây không phải là đơn giản nhất.

Trên phân khúc , theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Chà, để kết thúc bài học, chúng ta hãy xem xét hai nhiệm vụ khó khăn hơn.

Ví dụ 9

Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng , ,

Giải pháp: Hãy miêu tả hình này trong bản vẽ.

Chết tiệt, tôi quên ký tên vào lịch trình, và xin lỗi, tôi không muốn làm lại bức tranh. Không phải ngày vẽ đâu, tóm lại là hôm nay là ngày đó =))

Để xây dựng từng điểm một, cần phải biết hình dạng của hình sin (và nói chung sẽ rất hữu ích khi biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản), cũng như một số giá trị sin, chúng có thể được tìm thấy trong bảng lượng giác. Trong một số trường hợp (như trong trường hợp này), có thể xây dựng một bản vẽ sơ đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân về cơ bản phải được hiển thị chính xác.

Không có vấn đề gì với các giới hạn tích phân ở đây; chúng tuân theo trực tiếp từ điều kiện: “x” thay đổi từ 0 thành “pi”. Hãy đưa ra quyết định tiếp theo:

Trên đoạn thẳng, đồ thị của hàm số nằm phía trên trục nên:

Chúng ta bắt đầu xem xét quá trình tính tích phân kép thực tế và làm quen với ý nghĩa hình học của nó.

Tích phân kép về mặt số lượng bằng diện tích của hình phẳng (vùng tích phân). Đây là dạng tích phân kép đơn giản nhất, khi hàm hai biến bằng một: .

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét vấn đề ở dạng tổng quát. Bây giờ bạn sẽ khá ngạc nhiên vì mọi thứ thực sự đơn giản đến thế nào! Hãy tính diện tích của một hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng. Để xác định, chúng tôi giả định rằng trên đoạn . Diện tích của hình này bằng số:

Hãy mô tả khu vực trong bản vẽ:

Hãy chọn cách đầu tiên để đi qua khu vực:

Như vậy:

Và ngay lập tức một kỹ thuật kỹ thuật quan trọng: tích phân lặp có thể được tính riêng. Đầu tiên là tích phân bên trong, sau đó là tích phân bên ngoài. Tôi đặc biệt khuyên dùng phương pháp này cho những người mới bắt đầu tham gia chủ đề này.

1) Hãy tính tích phân bên trong và việc tích phân được thực hiện trên biến “y”:

Tích phân không xác định ở đây là đơn giản nhất và sau đó công thức Newton-Leibniz tầm thường được sử dụng, với điểm khác biệt duy nhất là giới hạn của sự tích hợp không phải là con số mà là chức năng. Đầu tiên, chúng ta thay thế giới hạn trên thành “y” (hàm nguyên hàm), sau đó là giới hạn dưới

2) Kết quả thu được ở đoạn 1 phải thay vào tích phân ngoài:

Một bản trình bày nhỏ gọn hơn về toàn bộ giải pháp trông như thế này:

Công thức kết quả chính xác là công thức tính diện tích của một hình phẳng sử dụng tích phân xác định “thông thường”! Xem bài học Tính diện tích bằng tích phân xác định, cô ấy ở đó ở mọi bước!

Đó là, bài toán tính diện tích bằng tích phân kép không khác nhiều lắm từ bài toán tìm diện tích bằng tích phân xác định! Trên thực tế, đó là điều tương tự!

Theo đó, sẽ không có khó khăn nào phát sinh! Tôi sẽ không xem xét nhiều ví dụ vì trên thực tế, bạn đã nhiều lần gặp phải nhiệm vụ này.

Ví dụ 9

Giải pháp: Hãy mô tả khu vực trong bản vẽ:

Ta chọn thứ tự đi qua diện tích như sau:

Ở đây và xa hơn nữa, tôi sẽ không tập trung vào cách đi qua khu vực này, vì những lời giải thích rất chi tiết đã được đưa ra trong đoạn đầu tiên.

Như vậy:

Như tôi đã lưu ý, tốt hơn là những người mới bắt đầu nên tính tích phân lặp một cách riêng biệt và tôi sẽ sử dụng cùng một phương pháp:

1) Đầu tiên, sử dụng công thức Newton-Leibniz, chúng ta xử lý tích phân bên trong:

2) Thay kết quả thu được ở bước đầu vào tích phân ngoài:

Điểm 2 thực chất là tìm diện tích của hình phẳng bằng tích phân xác định.

Trả lời:

Đây là một nhiệm vụ ngu ngốc và ngây thơ.

Một ví dụ thú vị cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 10

Sử dụng tích phân kép, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , ,

Một ví dụ gần đúng về giải pháp cuối cùng ở cuối bài học.

Trong các ví dụ 9-10, sẽ có lợi hơn nhiều khi sử dụng phương pháp duyệt diện tích đầu tiên; nhân tiện, những độc giả tò mò có thể thay đổi thứ tự duyệt và tính diện tích bằng phương pháp thứ hai. Nếu bạn không mắc lỗi thì đương nhiên bạn sẽ nhận được các giá trị diện tích tương tự.

Nhưng trong một số trường hợp, phương pháp thứ hai để đi ngang qua khu vực sẽ hiệu quả hơn và khi kết thúc khóa học dành cho chàng trai trẻ, chúng ta hãy xem thêm một vài ví dụ về chủ đề này:

Ví dụ 11

Sử dụng tích phân kép, tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng,

Giải pháp: Chúng tôi đang mong đợi hai parabol có đường cong nằm nghiêng về phía chúng. Không cần phải mỉm cười; những điều tương tự xảy ra khá thường xuyên trong tích phân bội.

Cách dễ nhất để thực hiện một bản vẽ là gì?

Hãy tưởng tượng một parabol ở dạng hai hàm:
– nhánh trên và – nhánh dưới.

Tương tự, hãy tưởng tượng một parabol có dạng trên và dưới chi nhánh.

Tiếp theo, vẽ đồ thị theo từng điểm của các quy tắc đồ thị, dẫn đến một con số kỳ lạ như vậy:

Chúng ta tính diện tích của hình bằng tích phân kép theo công thức:

Điều gì xảy ra nếu chúng ta chọn phương pháp đầu tiên để đi qua khu vực đó? Đầu tiên, khu vực này sẽ phải được chia thành hai phần. Và thứ hai, chúng ta sẽ quan sát bức tranh buồn này: . Tất nhiên, tích phân không phải ở mức độ siêu phức tạp, nhưng... có một câu nói toán học cổ xưa: những người gần với cội nguồn của mình không cần phải kiểm tra.

Do đó, từ sự hiểu lầm nêu ở điều kiện, ta biểu diễn hàm nghịch đảo:

Các hàm nghịch đảo trong ví dụ này có ưu điểm là chúng chỉ định toàn bộ parabol cùng một lúc mà không cần bất kỳ lá, quả đấu, cành và rễ nào.

Theo phương pháp thứ hai, việc duyệt khu vực sẽ như sau:

Như vậy:

Như họ nói, hãy cảm nhận sự khác biệt.

1) Ta xét tích phân nội:

Chúng ta thay kết quả vào tích phân ngoài:

Việc tích phân trên biến “y” không nên gây nhầm lẫn; nếu có một chữ cái “zy”, sẽ rất tuyệt nếu tích phân trên nó. Mặc dù ai đọc đoạn thứ hai của bài học Cách tính thể tích của vật quay, anh ấy không còn gặp phải chút khó xử nào khi tích hợp theo phương pháp “Y”.

Ngoài ra, hãy chú ý đến bước đầu tiên: số nguyên là số chẵn và khoảng tích phân đối xứng về 0. Do đó, đoạn này có thể giảm đi một nửa và kết quả có thể tăng gấp đôi. Kỹ thuật này được chú thích chi tiết trong bài học. Phương pháp hiệu quả để tính tích phân xác định.

Thêm gì... Tất cả!

Trả lời:

Để kiểm tra kỹ thuật tích phân của bạn, bạn có thể thử tính toán . Câu trả lời phải giống hệt nhau.

Ví dụ 12

Sử dụng tích phân kép, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Điều thú vị cần lưu ý là nếu bạn cố gắng sử dụng phương pháp đầu tiên để đi qua khu vực, hình sẽ không còn phải chia thành hai mà thành ba phần! Và theo đó, chúng ta nhận được ba cặp tích phân lặp. Điều này cũng xảy ra.

Lớp cao thủ đã kết thúc và đã đến lúc chuyển sang cấp độ đại kiện tướng - Làm thế nào để tính tích phân kép? Ví dụ về giải pháp. Mình sẽ cố gắng không quá cuồng nhiệt ở bài viết thứ 2 =)

Tôi chúc bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2:Giải pháp: Hãy mô tả khu vực trên bản vẽ:

Ta chọn thứ tự đi qua diện tích như sau:

Như vậy:
Hãy chuyển sang các hàm nghịch đảo:

Như vậy:
Trả lời:

Ví dụ 4:Giải pháp: Hãy chuyển sang các chức năng trực tiếp:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Hãy thay đổi thứ tự đi qua khu vực:

Trả lời:

Hãy chuyển sang xem xét các ứng dụng của phép tính tích phân. Trong bài học này chúng ta sẽ phân tích nhiệm vụ điển hình và phổ biến nhất tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định. Cuối cùng, hãy để tất cả những người tìm kiếm ý nghĩa trong toán học cao cấp tìm thấy nó. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một biểu đồ dacha bằng cách sử dụng các hàm cơ bản và tìm diện tích của nó bằng tích phân xác định.

Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:

1) Hiểu tích phân không xác định ít nhất ở mức độ trung cấp. Vì vậy, người ngu trước tiên nên đọc bài học Không.

2) Áp dụng được công thức Newton-Leibniz và tính tích phân xác định. Bạn có thể thiết lập mối quan hệ thân thiện nồng nhiệt với một số tích hợp nhất định trên trang Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp. Nhiệm vụ “tính diện tích bằng tích phân xác định” luôn liên quan đến việc xây dựng một hình vẽ, vì vậy kiến thức và kỹ năng vẽ của bạn cũng sẽ là một vấn đề có liên quan. Tối thiểu, bạn cần có khả năng dựng một đường thẳng, parabol và hyperbol.

Hãy bắt đầu với một hình thang cong. Hình thang cong là một hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số nào đó y = f(x), trục CON BÒ ĐỰC và dòng x = Một; x = b.

Diện tích của hình thang cong bằng số tích phân xác định

Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. trong lớp Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp chúng ta đã nói rằng tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nêu ra một sự thật hữu ích khác. Theo quan điểm hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH. Đó là, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một hình nhất định. Xét tích phân xác định

tích phân

xác định một đường cong trên mặt phẳng (có thể vẽ nó nếu muốn) và bản thân tích phân xác định bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

Ví dụ 1

, , , .

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Điểm quan trọng nhất trong quyết định là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng PHẢI.

Khi xây dựng một bản vẽ, tôi khuyên bạn nên thực hiện theo thứ tự sau: lúc đầu tốt hơn là xây dựng tất cả các đường thẳng (nếu chúng tồn tại) và chỉ Sau đó– parabol, hyperbol, đồ thị của các hàm số khác. Kỹ thuật xây dựng từng điểm có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Ở đó bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích cho bài học của chúng ta - cách xây dựng nhanh một hình parabol.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.

Hãy vẽ (lưu ý rằng phương trình y= 0 chỉ định trục CON BÒ ĐỰC):

Chúng ta sẽ không tô bóng hình thang cong; ở đây rõ ràng chúng ta đang nói đến khu vực nào. Giải pháp tiếp tục như thế này:

Trên đoạn [-2; 1] đồ thị hàm số y = x 2 + 2 nằm phía trên trụcCON BÒ ĐỰC, Đó là lý do tại sao:

Trả lời: .

Ai gặp khó khăn khi tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz

tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. Trong trường hợp này, chúng tôi đếm số lượng ô trong bản vẽ "bằng mắt" - à, sẽ có khoảng 9 ô, điều đó có vẻ đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.

Ví dụ 2

Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng xy = 4, x = 2, x= 4 và trục CON BÒ ĐỰC.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trụcCON BÒ ĐỰC?

Ví dụ 3

Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng y = bán tại, x= 1 và trục tọa độ.

Giải: Hãy vẽ hình:

Nếu là hình thang cong nằm hoàn toàn dưới trục CON BÒ ĐỰC , thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trong trường hợp này:

Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ này:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định đơn giản mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

Ví dụ 4

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 2x – x 2 , y = -x.

Giải pháp: Đầu tiên bạn cần vẽ một bản vẽ. Khi xây dựng hình vẽ trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol y = 2x – x 2 và thẳng y = -x. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích. Chúng ta giải phương trình:

Điều này có nghĩa là giới hạn dưới của tích hợp Một= 0, giới hạn trên của tích phân b= 3. Việc xây dựng các đường từng điểm một thường có lợi hơn và nhanh hơn và các giới hạn của sự tích hợp “tự chúng” trở nên rõ ràng. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ). Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: sẽ hợp lý hơn nếu trước tiên xây dựng một đường thẳng và sau đó là một parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:

Chúng ta hãy nhắc lại rằng khi xây dựng theo chiều điểm, các giới hạn tích phân thường được xác định một cách “tự động”.

Và bây giờ là công thức làm việc:

Nếu trên đoạn [ Một; b] một số hàm liên tục f(x) lớn hơn hoặc bằng một số hàm liên tục g(x), thì có thể tìm diện tích của hình tương ứng bằng công thức:

Ở đây bạn không còn cần phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hoặc bên dưới trục, mà là điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN(so với biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó từ 2 x – x 2 phải bị trừ – x.

Giải pháp hoàn chỉnh có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol y = 2x – x 2 trên cùng và thẳng y = -x dưới.

Trên đoạn 2 x – x 2 ≥ -x. Theo công thức tương ứng:

Trả lời: .

Trong thực tế, công thức trường học tính diện tích hình thang cong trong nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ số 3) là trường hợp đặc biệt của công thức

Bởi vì trục CON BÒ ĐỰCđược cho bởi phương trình y= 0 và đồ thị của hàm số g(x) nằm phía dưới trục CON BÒ ĐỰC, Cái đó

Và bây giờ là một vài ví dụ cho giải pháp của riêng bạn

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Tìm diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng

Khi giải các bài toán liên quan đến tính diện tích bằng tích phân xác định, đôi khi xảy ra một sự cố hài hước. Bản vẽ đã được thực hiện đúng, tính toán đúng, nhưng do bất cẩn... Khu vực của hình sai đã được tìm thấy.

Ví dụ 7

Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bức tranh:

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam(xem kỹ tình trạng - con số bị giới hạn như thế nào!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý nên người ta thường quyết định cần tìm diện tích của hình được tô xanh!

Ví dụ này cũng hữu ích vì nó tính diện tích của một hình bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Thật sự:

1) Trên đoạn [-1; 1] phía trên trục CON BÒ ĐỰCđồ thị nằm thẳng y = x+1;

2) Trên đoạn phía trên trục CON BÒ ĐỰCđồ thị của một hyperbol nằm y = (2/x).

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Trả lời:

Ví dụ 8

Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng

Hãy trình bày các phương trình ở dạng “trường học”

và vẽ từng điểm một:

Rõ ràng từ bản vẽ là giới hạn trên của chúng tôi là “tốt”: b = 1.

Nhưng giới hạn dưới là gì?! Rõ ràng đây không phải là số nguyên, nhưng nó là gì?

Có lẽ, Một=(-1/3)? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, có thể hóa ra là như vậy Một=(-1/4). Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xây dựng biểu đồ không chính xác?

Trong những trường hợp như vậy, bạn phải dành thêm thời gian và làm rõ các giới hạn của việc tích hợp một cách phân tích.

Hãy tìm giao điểm của đồ thị

Để làm điều này, chúng ta giải phương trình:

Kể từ đây, Một=(-1/3).

Giải pháp tiếp theo là tầm thường. Điều chính là không bị nhầm lẫn giữa sự thay thế và dấu hiệu. Các tính toán ở đây không phải là đơn giản nhất. Trên phân khúc

, ,

theo công thức thích hợp:

Trả lời:

Để kết thúc bài học, chúng ta hãy xem xét hai nhiệm vụ khó khăn hơn.

Ví dụ 9

Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng

Giải pháp: Hãy mô tả hình này trong bản vẽ.

Để xây dựng một bản vẽ từng điểm, bạn cần biết hình dạng của hình sin. Nói chung, sẽ rất hữu ích khi biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản cũng như một số giá trị sin. Chúng có thể được tìm thấy trong bảng giá trị hàm lượng giác. Trong một số trường hợp (ví dụ, trong trường hợp này), có thể xây dựng một bản vẽ sơ đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân về cơ bản phải được hiển thị chính xác.

Không có vấn đề gì với các giới hạn tích hợp ở đây; chúng tuân theo điều kiện:

– “x” thay đổi từ 0 thành “pi”. Hãy đưa ra quyết định tiếp theo:

Trên một đoạn, đồ thị của hàm số y= tội lỗi 3 x nằm phía trên trục CON BÒ ĐỰC, Đó là lý do tại sao:

(1) Bạn có thể thấy cách tích phân sin và cosin theo lũy thừa lẻ trong bài học Tích phân của hàm lượng giác. Chúng tôi véo một xoang.

(2) Ta sử dụng đẳng thức lượng giác chính ở dạng

(3) Hãy thay đổi biến t= cos x, thì: nằm phía trên trục, do đó:

Ghi chú: lưu ý cách lấy tích phân của lập phương tiếp tuyến; một hệ quả tất yếu của đồng nhất thức lượng giác cơ bản được sử dụng ở đây;

Vấn đề 1(về tính diện tích hình thang cong).

Trong hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes xOy cho một hình (xem hình) giới hạn bởi trục x, các đường thẳng x = a, x = b (là một hình thang cong. Cần tính diện tích hình thang cong.
Giải pháp. Hình học cung cấp cho chúng ta công thức tính diện tích đa giác và một số phần của hình tròn (khu vực, đoạn). Sử dụng các cân nhắc hình học, chúng ta chỉ có thể tìm thấy giá trị gần đúng của diện tích cần thiết, lý luận như sau.

Hãy chia đoạn [a; b] (đế của hình thang cong) thành n phần bằng nhau; việc phân vùng này được thực hiện bằng cách sử dụng các điểm x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Chúng ta hãy vẽ các đường thẳng đi qua các điểm này song song với trục y. Khi đó hình thang cong đã cho sẽ được chia thành n phần, thành n cột hẹp. Diện tích của toàn bộ hình thang bằng tổng diện tích của các cột.

Chúng ta hãy xem xét cột thứ k một cách riêng biệt, tức là một hình thang cong có đáy là một đoạn. Hãy thay thế nó bằng một hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao bằng f(x k) (xem hình). Diện tích của hình chữ nhật bằng $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, trong đó $\Delta x_k $ là chiều dài của đoạn; Điều tự nhiên là coi sản phẩm thu được là giá trị gần đúng của diện tích cột thứ k.

Nếu bây giờ chúng ta làm tương tự với tất cả các cột khác, chúng ta sẽ đi đến kết quả sau: diện tích S của một hình thang cong cho trước xấp xỉ bằng diện tích Sn của một hình bậc được tạo thành từ n hình chữ nhật (xem hình):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Ở đây, để thống nhất về ký hiệu, chúng ta giả sử a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - độ dài của đoạn, $\Delta x_1 $ - độ dài của đoạn, v.v.; trong trường hợp này, như chúng ta đã đồng ý ở trên, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Vì vậy, $S \approx S_n $, và đẳng thức gần đúng này càng chính xác thì n càng lớn.
Theo định nghĩa, người ta tin rằng diện tích cần thiết của hình thang cong bằng giới hạn của dãy (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Vấn đề 2(về việc di chuyển một điểm)
Một điểm vật chất chuyển động thẳng đều. Sự phụ thuộc của tốc độ vào thời gian được biểu thị bằng công thức v = v(t). Tìm chuyển động của một điểm trong khoảng thời gian [a; b].
Giải pháp. Nếu chuyển động đều thì bài toán sẽ được giải rất đơn giản: s = vt, tức là. s = v(b-a). Đối với chuyển động không đều, bạn phải sử dụng các ý tưởng tương tự mà giải pháp cho vấn đề trước đó đã dựa trên.
1) Chia khoảng thời gian [a; b] thành n phần bằng nhau.
2) Xét một khoảng thời gian và giả sử rằng trong khoảng thời gian đó tốc độ không đổi, giống như tại thời điểm t k. Vì vậy chúng ta giả sử rằng v = v(t k).
3) Hãy tìm giá trị gần đúng của chuyển động của điểm trong một khoảng thời gian; chúng ta sẽ biểu thị giá trị gần đúng này là s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Tìm giá trị gần đúng của độ dời s:
$s \approx S_n $ ở đâu
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Chuyển vị yêu cầu bằng giới hạn của dãy (Sn):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Hãy tóm tắt. Giải pháp cho nhiều vấn đề khác nhau được rút gọn thành cùng một mô hình toán học. Nhiều bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ khác nhau đều dẫn đến cùng một mô hình trong quá trình giải. Điều này có nghĩa là mô hình toán học này phải được nghiên cứu đặc biệt.

Khái niệm tích phân xác định

Chúng ta hãy đưa ra mô tả toán học của mô hình được xây dựng trong ba bài toán đang xem xét cho hàm y = f(x), liên tục (nhưng không nhất thiết là không âm, như đã được giả định trong các bài toán đang xem xét) trên khoảng [a; b]:
1) chia đoạn [a; b] thành n phần bằng nhau;
2) tạo tổng $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) tính $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Trong quá trình phân tích toán học, người ta đã chứng minh rằng giới hạn này tồn tại trong trường hợp hàm liên tục (hoặc liên tục từng phần). Họ gọi anh ấy một tích phân nhất định của hàm y = f(x) trên đoạn [a; b] và được ký hiệu như sau:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Các số a và b được gọi là giới hạn tích phân (tương ứng dưới và trên).

Hãy quay trở lại các nhiệm vụ đã thảo luận ở trên. Định nghĩa diện tích ở Bài toán 1 bây giờ có thể được viết lại như sau:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ở đây S là diện tích của hình thang cong như trong hình trên. Đây là ý nghĩa hình học của tích phân xác định.

Định nghĩa độ dời s của một điểm chuyển động thẳng với vận tốc v = v(t) trong khoảng thời gian từ t = a đến t = b cho ở Bài toán 2, có thể viết lại như sau:

Công thức Newton-Leibniz

Trước tiên, chúng ta hãy trả lời câu hỏi: mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm là gì?

Câu trả lời có thể tìm thấy ở Bài toán 2. Một mặt, độ dịch chuyển s của một điểm chuyển động thẳng với vận tốc v = v(t) trong khoảng thời gian từ t = a đến t = b được tính bằng công thức
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Mặt khác, tọa độ của một điểm chuyển động là nguyên hàm của tốc độ - hãy ký hiệu nó là s(t); Điều này có nghĩa là độ dịch chuyển s được biểu thị bằng công thức s = s(b) - s(a). Kết quả là chúng tôi nhận được:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
trong đó s(t) là nguyên hàm của v(t).

Định lý sau đây đã được chứng minh trong quá trình phân tích toán học.
Định lý. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì công thức đúng
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x).

Công thức đã cho thường được gọi là Công thức Newton-Leibnizđể vinh danh nhà vật lý người Anh Isaac Newton (1643-1727) và nhà triết học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716), những người đã tiếp nhận nó một cách độc lập với nhau và gần như đồng thời.

Trong thực tế, thay vì viết F(b) - F(a), người ta sử dụng ký hiệu $\left. F(x)\right|_a^b $ (đôi khi nó được gọi là thay thế kép) và theo đó, viết lại công thức Newton-Leibniz ở dạng sau:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Khi tính tích phân xác định, trước tiên hãy tìm nguyên hàm, sau đó thực hiện phép thế kép.

Dựa trên công thức Newton-Leibniz, chúng ta có thể thu được hai tính chất của tích phân xác định.

Tài sản 1. Tích phân của tổng các hàm bằng tổng của các tích phân:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Tài sản 2. Hệ số không đổi có thể được rút ra khỏi dấu tích phân:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Tính diện tích các hình phẳng bằng tích phân xác định

Sử dụng tích phân, bạn có thể tính diện tích không chỉ của các hình thang cong mà còn của các hình phẳng thuộc loại phức tạp hơn, chẳng hạn như hình thể hiện trong hình. Hình P được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b và các đồ thị hàm số liên tục y = f(x), y = g(x) và trên đoạn [a; b] bất đẳng thức $g(x) \leq f(x) $ đúng. Để tính diện tích S của hình đó, chúng ta sẽ tiến hành như sau:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Vì vậy, diện tích S của một hình được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b và đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), liên tục trên đoạn thẳng và sao cho với mọi x từ đoạn thẳng đó [Một; b] bất đẳng thức $g(x) \leq f(x) $ thỏa mãn, được tính theo công thức
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Bảng tích phân bất định (nguyên hàm) của một số hàm số

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

MỘT)

Giải pháp.

Điểm đầu tiên và quan trọng nhất của quyết định là việc xây dựng bản vẽ.

Hãy thực hiện bản vẽ:

phương trình y=0 đặt trục “x”;

- x=-2 Và x=1 - thẳng, song song với trục Ồ;

- y=x 2 +2 - một parabol, các nhánh của nó hướng lên trên, với đỉnh ở điểm (0;2).

Bình luận.Để xây dựng một parabol, chỉ cần tìm các điểm giao nhau của nó với các trục tọa độ là đủ, tức là. đặt x=0 tìm giao điểm với trục Ồ và giải phương trình bậc hai tương ứng, tìm giao điểm với trục Ồ .

Đỉnh của một parabol có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức:

Bạn cũng có thể xây dựng các đường theo từng điểm.

Trên khoảng [-2;1] đồ thị của hàm y=x 2 +2 xác định vị trí phía trên trục Con bò đực , Đó là lý do tại sao:

Trả lời: S =9 đơn vị vuông

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. Trong trường hợp này, “bằng mắt” chúng ta đếm số ô trong bản vẽ - à, sẽ có khoảng 9 ô, điều đó có vẻ đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trục Ồ?

b) Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng y=-e x , x=1 và trục tọa độ.

Giải pháp.

Hãy vẽ một bức tranh.

Nếu là hình thang cong nằm hoàn toàn dưới trục Ồ , thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trả lời: S=(e-1) đơn vị vuông" 1,72 đơn vị vuông

Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ này:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định đơn giản mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và nửa dưới.

Với) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=2x-x 2, y=-x.

Giải pháp.

Đầu tiên bạn cần hoàn thành bản vẽ. Nói chung, khi dựng hình trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol và thẳng Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích.

Chúng ta giải phương trình:

Điều này có nghĩa là giới hạn dưới của tích hợp a=0 , giới hạn trên của tích phân b=3 .

Ta dựng các đường thẳng đã cho: 1. Parabol - đỉnh tại điểm (1;1); giao điểm trục Ồ -điểm (0;0) và (0;2). 2. Đường thẳng - phân giác của góc tọa độ thứ 2 và thứ 4. Và bây giờ Chú ý! Nếu trên đoạn [ a;b] một số hàm liên tục f(x) lớn hơn hoặc bằng một số hàm liên tục g(x), thì diện tích của hình tương ứng có thể được tìm thấy bằng công thức: .

Và không quan trọng hình này nằm ở đâu - phía trên trục hay bên dưới trục, mà điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN (so với biểu đồ khác) và biểu đồ nào DƯỚI ĐÂY. Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó cần phải trừ đi

Bạn có thể xây dựng các đường từng điểm một và các giới hạn của sự tích hợp “tự chúng” trở nên rõ ràng. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ).

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol ở trên và một đường thẳng ở dưới.

Trên phân khúc , theo công thức tương ứng:

Trả lời: S = 4,5 đơn vị vuông