Hệ bất đẳng thức Người ta thường gọi bất kỳ tập hợp nào gồm hai hoặc nhiều bất đẳng thức chứa một đại lượng chưa biết.
Công thức này được minh họa rõ ràng, ví dụ, bằng cách sau đây hệ thống bất bình đẳng:
Giải hệ bất phương trình - có nghĩa là tìm tất cả các giá trị của một biến chưa biết mà tại đó mỗi bất đẳng thức của hệ thống được nhận ra hoặc để chứng minh rằng biến đó không tồn tại .
Điều này có nghĩa là đối với mỗi cá nhân hệ thống bất bình đẳng Chúng tôi tính toán biến chưa biết. Tiếp theo, từ các giá trị kết quả, chỉ chọn những giá trị đúng cho cả bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai. Do đó, khi thay thế giá trị đã chọn, cả hai bất đẳng thức của hệ đều đúng.
Chúng ta hãy xem xét giải pháp cho một số bất đẳng thức:
Hãy đặt một cặp trục số bên dưới trục kia; đặt giá trị lên hàng đầu x, trong đó bất đẳng thức thứ nhất về ( x> 1) trở thành đúng và ở dưới cùng - giá trị X, đây là nghiệm của bất đẳng thức thứ hai ( X> 4).
Bằng cách so sánh số liệu trên dãy số, lưu ý rằng giải pháp cho cả hai sự bất bình đẳng sẽ X> 4. Trả lời, X> 4.
Ví dụ 2.
Tính toán đầu tiên bất bình đẳng chúng tôi nhận được -3 X< -6, или x> 2, giây - X> -8, hoặc X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, tại đó điều đầu tiên được thực hiện hệ thống bất bình đẳng, và đến dòng số phía dưới, tất cả những giá trị đó X, tại đó bất đẳng thức thứ hai của hệ được thể hiện.
So sánh dữ liệu, chúng tôi thấy rằng cả hai sự bất bình đẳng sẽ được thực hiện cho tất cả các giá trị X, được xếp từ 2 đến 8. Tập hợp các giá trị X biểu thị bất bình đẳng kép 2 < X< 8.
Ví dụ 3. Chúng tôi sẽ tìm thấy
Hệ thống bất bình đẳng.
Ví dụ 1. Tìm miền của một biểu thức
Giải pháp. Phải có một số không âm dưới dấu căn bậc hai, nghĩa là hai bất đẳng thức phải được thỏa mãn đồng thời: 
Trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng bài toán quy về việc giải một hệ bất đẳng thức
Nhưng chúng ta vẫn chưa gặp phải một mô hình toán học nào (hệ bất đẳng thức) như vậy. Điều này có nghĩa là chúng ta chưa thể hoàn thành lời giải cho ví dụ.
Các bất đẳng thức tạo thành một hệ được kết hợp bằng dấu ngoặc nhọn (điều này cũng đúng trong các hệ phương trình). Ví dụ, ghi lại
có nghĩa là các bất đẳng thức 2x - 1 > 3 và 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.
Đôi khi hệ bất đẳng thức được viết dưới dạng bất đẳng thức kép. Ví dụ, hệ bất đẳng thức
có thể được viết dưới dạng bất đẳng thức kép 3<2х-1<11.
Trong môn đại số lớp 9, chúng ta chỉ xét hệ hai bất phương trình.
Xét hệ bất đẳng thức
Bạn có thể chọn một số nghiệm cụ thể của nó, ví dụ x = 3, x = 4, x = 3,5. Thật vậy, với x = 3, bất đẳng thức thứ nhất có dạng 5 > 3, và bất đẳng thức thứ hai có dạng 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.
Đồng thời giá trị x = 5 không phải là nghiệm của hệ bất phương trình. Khi x = 5, bất đẳng thức thứ nhất có dạng 9 > 3 - bất đẳng thức số đúng và bất đẳng thức thứ hai có dạng 13< 11- неверное числовое неравенство .
Giải một hệ bất phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm cụ thể của nó. Rõ ràng là phép đoán được trình bày ở trên không phải là phương pháp giải hệ bất phương trình. Trong ví dụ sau, chúng tôi sẽ chỉ ra cách mọi người thường suy luận khi giải một hệ bất đẳng thức.
Ví dụ 3. Giải hệ bất phương trình:
Giải pháp.
MỘT) Giải bất đẳng thức thứ nhất của hệ ta tìm được 2x > 4, x > 2; giải bất đẳng thức thứ hai của hệ ta tìm được 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Giải bất đẳng thức thứ nhất của hệ ta tìm được x > 2; Giải bất đẳng thức thứ hai của hệ ta tìm được 
Hãy đánh dấu các khoảng này trên một đường tọa độ, sử dụng đường gạch trên cho khoảng đầu tiên và đường gạch dưới cho khoảng thứ hai (Hình 23). Lời giải của hệ bất đẳng thức sẽ là giao của các nghiệm của hệ bất đẳng thức, tức là. khoảng thời gian mà cả hai cửa sổ trùng nhau. Trong ví dụ đang xem xét, chúng ta thu được một chùm tia
V) Giải bất đẳng thức thứ nhất của hệ ta tìm được x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.
Chúng ta hãy khái quát hóa lý luận được thực hiện trong ví dụ được xem xét. Giả sử chúng ta cần giải hệ bất phương trình
Ví dụ, giả sử khoảng (a, b) là nghiệm của bất đẳng thức fx 2 > g(x), và khoảng (c, d) là nghiệm của bất đẳng thức f 2 (x) > s 2 (x ). Chúng ta hãy đánh dấu các khoảng này trên một đường tọa độ, sử dụng ô trên cho khoảng đầu tiên và ô dưới cho ô thứ hai (Hình 25). Lời giải của một hệ bất đẳng thức là giao điểm của các nghiệm của hệ bất đẳng thức đó, tức là. khoảng thời gian mà cả hai cửa sổ trùng nhau. Trong hình. 25 là khoảng (c, b).
Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng giải hệ bất phương trình mà chúng ta thu được ở ví dụ 1 ở trên:
Giải bất đẳng thức thứ nhất của hệ ta tìm được x > 2; giải bất đẳng thức thứ hai của hệ ta tìm được x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.
Tất nhiên, hệ bất đẳng thức không nhất thiết phải bao gồm các bất đẳng thức tuyến tính, như trường hợp đã xảy ra cho đến nay; Bất kỳ sự bất bình đẳng hợp lý nào (và không chỉ hợp lý) đều có thể xảy ra. Về mặt kỹ thuật, làm việc với một hệ bất đẳng thức phi tuyến hợp lý tất nhiên là phức tạp hơn, nhưng về cơ bản không có gì mới (so với các hệ bất đẳng thức tuyến tính) ở đây.
Ví dụ 4. Giải hệ bất phương trình
Giải pháp.
1) Giải bất đẳng thức Ta có 
Hãy đánh dấu điểm -3 và 3 trên trục số (Hình 27). Họ chia đường thẳng thành ba khoảng và trên mỗi khoảng, biểu thức p(x) = (x- 3)(x + 3) giữ nguyên dấu không đổi - những dấu này được biểu thị trong Hình 2. 27. Chúng ta quan tâm đến các khoảng mà tại đó bất đẳng thức p(x) > 0 có giá trị (chúng được tô màu trong Hình 27) và các điểm mà tại đó đẳng thức p(x) = 0 có, tức là. các điểm x = -3, x = 3 (chúng được đánh dấu trong Hình 2 7 bằng các vòng tròn tối). Vì vậy, trong hình. Hình 27 trình bày một mô hình hình học để giải bất đẳng thức thứ nhất.
2) Giải bất đẳng thức Ta có
Hãy đánh dấu điểm 0 và 5 trên trục số (Hình 28). Họ chia dòng thành ba khoảng và trên mỗi khoảng biểu thức<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (được tô màu trong Hình 28) và các điểm mà tại đó đẳng thức g (x) - O được thỏa mãn, tức là. các điểm x = 0, x = 5 (chúng được đánh dấu trong Hình 28 bằng các vòng tròn tối). Vì vậy, trong hình. Hình 28 trình bày một mô hình hình học để giải bất đẳng thức thứ hai của hệ.
3)
Chúng ta hãy đánh dấu nghiệm tìm được cho bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai của hệ thống trên cùng một đường tọa độ, sử dụng gạch chéo trên cho nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất và gạch dưới cho nghiệm của bất đẳng thức thứ hai (Hình 29). Lời giải của hệ bất đẳng thức sẽ là giao của các nghiệm của hệ bất đẳng thức, tức là. khoảng thời gian mà cả hai cửa sổ trùng nhau. Một khoảng như vậy là một phân đoạn.
Ví dụ 5. Giải hệ bất phương trình:
Giải pháp:
MỘT) Từ bất đẳng thức thứ nhất ta tìm được x >2. Hãy xét bất đẳng thức thứ hai. Tam thức bình phương x 2 + x + 2 không có nghiệm thực và hệ số cao nhất của nó (hệ số x 2) là dương. Điều này có nghĩa là với mọi x bất đẳng thức x 2 + x + 2>0 đúng, và do đó bất đẳng thức thứ hai của hệ không có nghiệm. Điều này có ý nghĩa gì đối với hệ thống bất bình đẳng? Điều này có nghĩa là hệ thống không có giải pháp.
b) Từ bất đẳng thức đầu tiên, chúng ta tìm thấy x > 2 và bất đẳng thức thứ hai được thỏa mãn với mọi giá trị của x. Điều này có ý nghĩa gì đối với hệ thống bất bình đẳng? Điều này có nghĩa là nghiệm của nó có dạng x>2, tức là trùng với nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất.
Trả lời:
a) không có giải pháp; b) x >2.
Ví dụ này là một minh họa hữu ích sau đây
1. Nếu trong một hệ gồm nhiều bất phương trình một biến, một bất phương trình không có nghiệm thì hệ đó không có nghiệm.
2. Nếu trong hệ hai bất phương trình một biến, thỏa mãn một bất đẳng thức với giá trị bất kỳ của biến thì nghiệm của hệ là nghiệm của bất đẳng thức thứ hai của hệ.
Kết thúc phần này, chúng ta hãy quay lại bài toán về số dự định cho ở đầu và giải nó, như người ta nói, theo tất cả các quy tắc.
Ví dụ 2(xem trang 29). Một số tự nhiên được dự định. Biết rằng nếu cộng 13 vào bình phương của số đã định thì tổng sẽ lớn hơn tích của số đã định và số 14. Nếu cộng 45 vào bình phương của số đã định thì tổng sẽ là nhỏ hơn tích của số đã cho và số 18. Số đó là số nào?
Giải pháp.
Giai đoạn đầu tiên. Vẽ mô hình toán học.
Số x mong muốn, như chúng ta đã thấy ở trên, phải thỏa mãn hệ bất đẳng thức
Giai đoạn thứ hai. Làm việc với mô hình toán học đã biên dịch Hãy chuyển đổi bất đẳng thức đầu tiên của hệ thống thành dạng.
x2- 14x+ 13 > 0.
Hãy tìm nghiệm của tam thức x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. Sử dụng parabol y = x 2 - 14x + 13 (Hình 30) ta kết luận rằng bất đẳng thức ta quan tâm là thỏa mãn tại x< 1 или x > 13.
Ta biến đổi bất đẳng thức thứ hai của hệ về dạng x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.
Hãy xem các ví dụ về cách giải hệ bất đẳng thức tuyến tính.
4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Để giải một hệ, bạn cần từng bất đẳng thức thành phần của nó. Chỉ có quyết định được đưa ra không phải viết riêng mà viết cùng nhau, kết hợp chúng với một dấu ngoặc nhọn.
Trong mỗi bất đẳng thức của hệ, ta chuyển những ẩn số sang một vế, những cái đã biết sang vế kia với dấu ngược lại:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Sau khi đơn giản hóa, cả hai vế của bất đẳng thức phải chia cho số đứng trước X. Ta chia bất đẳng thức thứ nhất cho một số dương nên dấu của bất đẳng thức không thay đổi. Chúng ta chia bất đẳng thức thứ hai cho một số âm, do đó dấu bất đẳng thức phải được đảo ngược:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Ta đánh dấu nghiệm của bất đẳng thức trên trục số:
Để đáp lại, chúng tôi viết ra giao điểm của các giải pháp, tức là phần có bóng trên cả hai đường.
Đáp án: x∈[-2;1).
Trong bất đẳng thức đầu tiên, hãy loại bỏ phân số. Để làm điều này, chúng ta nhân cả hai phần của số hạng với mẫu số chung nhỏ nhất 2. Khi nhân với một số dương, dấu của bất đẳng thức không thay đổi.
Trong bất đẳng thức thứ hai, chúng ta mở ngoặc. Tích của tổng và hiệu của hai biểu thức bằng hiệu bình phương của các biểu thức này. Ở bên phải là bình phương hiệu giữa hai biểu thức.
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Chúng ta chuyển những điều chưa biết sang một bên, những điều đã biết sang bên kia với dấu ngược lại và đơn giản hóa:
Ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho số đứng trước X. Trong bất đẳng thức đầu tiên, chúng ta chia cho một số âm, do đó dấu của bất đẳng thức bị đảo ngược. Trong lần thứ hai, chúng ta chia cho một số dương, dấu bất đẳng thức không thay đổi:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Cả hai bất đẳng thức đều có dấu "nhỏ hơn" (không quan trọng là một dấu hoàn toàn "nhỏ hơn", dấu kia lỏng lẻo, "nhỏ hơn hoặc bằng"). Chúng ta không thể đánh dấu cả hai giải pháp mà sử dụng quy tắc “ “. Số nhỏ hơn là 1 nên hệ quy về bất đẳng thức
Ta đánh dấu nghiệm của nó trên trục số:
Trả lời: x∈(-∞;1].
Mở dấu ngoặc đơn. Trong bất đẳng thức thứ nhất - . Nó bằng tổng lập phương của các biểu thức này.
Trong trường hợp thứ hai, tích của tổng và hiệu của hai biểu thức, bằng hiệu của các bình phương. Vì ở đây có dấu trừ phía trước dấu ngoặc, nên tốt hơn nên mở chúng theo hai giai đoạn: đầu tiên sử dụng công thức và chỉ sau đó mới mở dấu ngoặc, đổi dấu của từng số hạng sang ngược lại.
Chúng ta di chuyển những điều chưa biết theo một hướng, những điều đã biết theo hướng khác với dấu hiệu ngược lại:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Cả hai đều lớn hơn dấu hiệu. Sử dụng quy tắc “nhiều hơn”, chúng ta rút gọn hệ bất đẳng thức thành một bất đẳng thức. Vậy số lớn hơn trong hai số là 5
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Chúng ta đánh dấu nghiệm của bất đẳng thức trên trục số và viết đáp án: 
Đáp án: x∈(5;∞).
Vì trong các hệ đại số, các bất đẳng thức tuyến tính không chỉ xảy ra như các nhiệm vụ độc lập mà còn xảy ra trong quá trình giải các loại phương trình, bất đẳng thức, v.v., nên điều quan trọng là phải nắm vững chủ đề này một cách kịp thời.
Lần tới chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về giải hệ bất phương trình tuyến tính trong các trường hợp đặc biệt khi một trong các bất phương trình không có nghiệm hoặc nghiệm của nó là số bất kỳ.
Thể loại: |là bất kỳ tập hợp nào gồm hai hoặc nhiều bất đẳng thức tuyến tính chứa cùng một đại lượng chưa biết
Dưới đây là ví dụ về các hệ thống như vậy:
Khoảng giao nhau của hai tia là giải pháp của chúng tôi. Vì vậy, giải pháp cho bất đẳng thức này là tất cả X nằm giữa hai và tám.
Trả lời: X
Việc sử dụng kiểu ánh xạ này để giải hệ bất phương trình đôi khi được gọi là phương pháp lợp mái.
Sự định nghĩa: Giao điểm của hai tập hợp MỘT Và TRONGđược gọi là tập thứ ba bao gồm tất cả các phần tử có trong MỘT và trong TRONG. Đây là ý nghĩa của giao điểm của các tập hợp có tính chất tùy ý. Bây giờ chúng ta đang xem xét các tập hợp số một cách chi tiết, do đó, khi tìm các bất đẳng thức tuyến tính, các tập hợp đó là các tia - đồng hướng, ngược hướng, v.v.
Hãy cùng tìm hiểu thực tế ví dụ tìm hệ bất phương trình tuyến tính, cách xác định giao của các tập nghiệm đối với các bất phương trình riêng lẻ có trong hệ.
Hãy tính toán hệ bất đẳng thức:
Hãy đặt hai đường lực ở dưới đường kia. Trên cùng chúng ta sẽ vẽ các giá trị đó X, thỏa mãn bất đẳng thức thứ nhất x>7 và ở phía dưới - đóng vai trò là nghiệm của bất đẳng thức thứ hai x>10 Chúng ta hãy so sánh kết quả của trục số và tìm ra rằng cả hai bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn khi x>10.
Đáp án: (10;+∞).
Chúng tôi làm điều đó bằng cách tương tự với mẫu đầu tiên. Trên một trục số nhất định, chúng ta vẽ tất cả các giá trị đó X mà cái đầu tiên tồn tại hệ thống bất bình đẳng và trên trục số thứ hai, nằm dưới trục số thứ nhất, tất cả các giá trị đó X, thỏa mãn bất đẳng thức thứ hai của hệ. Chúng ta hãy so sánh hai kết quả này và xác định rằng cả hai bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn đồng thời với mọi giá trị X nằm trong khoảng từ 7 đến 10, có tính đến các dấu, ta được 7<x 10
Trả lời: (7; 10].
Các vấn đề sau đây được giải quyết theo cách tương tự. các hệ thống bất bình đẳng