Định lý Vieta (chính xác hơn là định lý nghịch đảo với định lý Vieta) cho phép bạn giảm thời gian giải phương trình bậc hai. Bạn chỉ cần biết cách sử dụng nó. Làm thế nào để học cách giải phương trình bậc hai bằng định lý Vieta? Nó không khó nếu bạn suy nghĩ một chút.
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ nói về cách giải bằng định lý Vieta của phương trình bậc hai rút gọn. phương trình bậc hai là một phương trình trong đó a, tức là hệ số của x2, bằng một. Cũng có thể giải các phương trình bậc hai không cho trước bằng định lý Vieta nhưng ít nhất một trong các nghiệm không phải là số nguyên. Họ khó đoán hơn.
Định lý nghịch đảo với định lý Vieta phát biểu: nếu các số x1 và x2 sao cho
thì x1 và x2 là nghiệm của phương trình bậc hai
Khi giải phương trình bậc hai bằng định lý Vieta, chỉ có 4 phương án. Nếu bạn nhớ được dòng suy luận, bạn có thể học cách tìm ra toàn bộ gốc rễ rất nhanh chóng.
I. Nếu q là số dương thì
điều này có nghĩa là các nghiệm x1 và x2 là các số cùng dấu (vì chỉ khi nhân các số với dấu hiệu giống hệt nhau hóa ra là một số dương).
I.a. Nếu -p là số dương, (tương ứng, p<0), то оба корня x1 и x2 — số dương(vì chúng ta đã cộng các số cùng dấu và nhận được số dương).
I.b. Nếu -p - số âm, (tương ứng, p>0), thì cả hai nghiệm đều là số âm (chúng ta đã cộng các số cùng dấu và nhận được số âm).
II. Nếu q là số âm thì
điều này có nghĩa là các nghiệm x1 và x2 có dấu khác nhau (khi nhân các số, chỉ thu được số âm khi dấu của các thừa số khác nhau). Trong trường hợp này, x1+x2 không còn là tổng nữa mà là hiệu (xét cho cùng, khi cộng các số với dấu hiệu khác nhau chúng ta trừ đi số nhỏ hơn từ số lớn hơn). Do đó, x1+x2 cho thấy các nghiệm x1 và x2 khác nhau bao nhiêu, tức là một nghiệm lớn hơn nghiệm kia bao nhiêu (về giá trị tuyệt đối).
II.a. Nếu -p là số dương, (tức là p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Nếu -p là số âm, (p>0), thì nghiệm lớn hơn (modulo) là số âm.
Chúng ta hãy xem xét việc giải phương trình bậc hai bằng định lý Vieta bằng các ví dụ.
Giải phương trình bậc hai đã cho bằng định lý Vieta:
Ở đây q=12>0 nên các nghiệm x1 và x2 là các số cùng dấu. Tổng của chúng là -p=7>0, nên cả hai nghiệm đều là số dương. Chúng tôi chọn các số nguyên có tích bằng 12. Đó là 1 và 12, 2 và 6, 3 và 4. Tổng của cặp 3 và 4 là 7. Điều này có nghĩa là 3 và 4 là nghiệm của phương trình.
TRONG trong ví dụ này q=16>0, có nghĩa là các nghiệm x1 và x2 là các số cùng dấu. Tổng của chúng là -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Ở đây q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 thì số lớn hơn là dương. Vậy nghiệm là 5 và -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Có một số mối quan hệ trong phương trình bậc hai. Những cái chính là mối quan hệ giữa gốc và hệ số. Ngoài ra trong phương trình bậc hai còn có một số mối quan hệ được đưa ra bởi định lý Vieta.
Trong chủ đề này, chúng tôi sẽ trình bày bản thân định lý Vieta và cách chứng minh nó cho phương trình bậc hai, định lý nghịch đảo của định lý Vieta và phân tích một số ví dụ về giải bài toán. Trong tài liệu này, chúng ta sẽ đặc biệt chú ý đến việc xem xét các công thức của Vieta, chúng xác định mối liên hệ giữa nghiệm thực của một phương trình đại số bậc N và các hệ số của nó.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Công thức và chứng minh định lý Vieta
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0 có dạng x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, trong đó D = b 2 − 4 a c, thiết lập mối quan hệ x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Điều này được khẳng định bởi định lý Vieta.
Định lý 1
Trong một phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0, Ở đâu x 1 Và x 2– các nghiệm, tổng các nghiệm sẽ bằng tỉ số của các hệ số b Và Một, được lấy với dấu ngược lại và tích của các nghiệm sẽ bằng tỷ số của các hệ số c Và Một, tức là x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.
Bằng chứng 1
Chúng tôi cung cấp cho bạn sơ đồ sau để thực hiện chứng minh: lấy công thức nghiệm, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai, sau đó biến đổi các biểu thức thu được để đảm bảo rằng chúng bằng nhau - b a Và c a tương ứng.
Hãy tính tổng các nghiệm x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Hãy đưa các phân số về mẫu số chung - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Hãy mở dấu ngoặc đơn ở tử số của phân số thu được và trình bày các thuật ngữ tương tự: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Hãy giảm phân số bằng: 2 - b a = - b a.
Đây là cách chúng tôi chứng minh mối quan hệ đầu tiên của định lý Vieta, liên quan đến tổng các nghiệm của một phương trình bậc hai.
Bây giờ hãy chuyển sang mối quan hệ thứ hai.
Để làm điều này, chúng ta cần tính tích các nghiệm của phương trình bậc hai: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Hãy nhớ lại quy tắc nhân các phân số và viết tích cuối cùng như sau: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Hãy nhân một dấu ngoặc với một dấu ngoặc ở tử số của phân số hoặc sử dụng công thức hiệu bình phương để biến đổi kết quả này nhanh hơn: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Hãy sử dụng định nghĩa căn bậc hai để thực hiện phép chuyển đổi sau: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Công thức D = b 2 − 4 a c tương ứng với phân biệt của phương trình bậc hai, do đó, thành một phân số thay vì D có thể được thay thế b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Hãy mở ngoặc, thêm các số hạng tương tự và nhận được: 4 · a · c 4 · a 2 . Nếu chúng ta rút ngắn nó thành 4 một, thì cái còn lại là c a . Đây là cách chúng ta chứng minh mối quan hệ thứ hai của định lý Vieta đối với tích nghiệm.
Chứng minh định lý Vieta có thể được viết dưới dạng rất vắn tắt nếu chúng ta bỏ qua phần giải thích:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Khi phân biệt của phương trình bậc hai bằng 0, phương trình sẽ chỉ có một nghiệm. Để có thể áp dụng định lý Vieta vào phương trình như vậy, chúng ta có thể giả sử rằng phương trình có phân biệt bằng 0 có hai nghiệm giống nhau. Thật vậy, khi D=0 nghiệm của phương trình bậc hai là: - b 2 · a, thì x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a và x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , và vì D = 0 nên b 2 - 4 · a · c = 0, do đó b 2 = 4 · a · c, thì b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Thông thường trong thực tế, định lý Vieta được áp dụng cho phương trình bậc hai rút gọn có dạng x 2 + p x + q = 0, trong đó hệ số cao nhất a bằng 1. Về vấn đề này, định lý Vieta được xây dựng riêng cho các phương trình loại này. Điều này không giới hạn tính tổng quát vì thực tế là bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng có thể được thay thế bằng một phương trình tương đương. Để làm điều này, bạn cần chia cả hai phần của nó cho một số khác 0.
Chúng ta hãy đưa ra một công thức khác của định lý Vieta.
Định lý 2
Tổng các nghiệm trong phương trình bậc hai đã cho x 2 + p x + q = 0 sẽ bằng hệ số của x, được lấy với dấu ngược lại, tích của các nghiệm sẽ bằng số hạng tự do, tức là. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.
Định lý nghịch đảo định lý Vieta
Nếu bạn xem xét kỹ công thức thứ hai của định lý Vieta, bạn có thể thấy rằng đối với nghiệm x 1 Và x 2 phương trình bậc hai rút gọn x 2 + p x + q = 0 các mối quan hệ sau đây sẽ hợp lệ: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Từ các quan hệ này x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q suy ra rằng x 1 Và x 2 là nghiệm của phương trình bậc hai x 2 + p x + q = 0. Vì vậy, chúng ta đi đến một phát biểu ngược lại với định lý Vieta.
Bây giờ chúng tôi đề xuất chính thức hóa tuyên bố này như một định lý và thực hiện chứng minh của nó.
Định lý 3
Nếu những con số x 1 Và x 2 là như vậy x 1 + x 2 = − p Và x 1 x 2 = q, Cái đó x 1 Và x 2 là nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn x 2 + p x + q = 0.
Bằng chứng 2
Tỷ lệ cược thay thế P Và qđến sự biểu hiện của họ thông qua x 1 Và x 2 cho phép bạn biến đổi phương trình x 2 + p x + q = 0 thành tương đương .
Nếu chúng ta thay số vào phương trình kết quả x 1 thay vì x, thì ta có đẳng thức x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Đây là sự bình đẳng cho mọi x 1 Và x 2 trở thành một đẳng thức số thực sự 0 = 0 , bởi vì x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Điều này có nghĩa là x 1– nghiệm của phương trình x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Vậy thì sao x 1 cũng là nghiệm của phương trình tương đương x 2 + p x + q = 0.
Thay thế vào phương trình x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 con số x 2 thay vì x cho phép chúng ta có được sự bình đẳng x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Đẳng thức này có thể coi là đúng vì x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Hoá ra là thế x 2 là nghiệm của phương trình x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, và do đó các phương trình x 2 + p x + q = 0.
Điều ngược lại của định lý Vieta đã được chứng minh.
Ví dụ sử dụng định lý Vieta
Bây giờ chúng ta hãy bắt đầu phân tích các ví dụ điển hình nhất về chủ đề này. Hãy bắt đầu bằng việc phân tích các bài toán yêu cầu áp dụng định lý nghịch đảo với định lý Vieta. Nó có thể được sử dụng để kiểm tra các số được tạo ra bằng các phép tính để xem liệu chúng có phải là nghiệm của một phương trình bậc hai đã cho hay không. Để làm điều này, bạn cần tính tổng và hiệu của chúng, sau đó kiểm tra tính hợp lệ của các quan hệ x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.
Việc đáp ứng cả hai mối quan hệ chỉ ra rằng các số thu được trong quá trình tính toán là nghiệm của phương trình. Nếu chúng ta thấy rằng ít nhất một trong các điều kiện không được đáp ứng thì những số này không thể là nghiệm của phương trình bậc hai được đưa ra trong bài toán.
Ví dụ 1
Cặp số nào 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, hoặc 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, hoặc 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 là cặp nghiệm của phương trình bậc hai 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Giải pháp
Hãy tìm các hệ số của phương trình bậc hai 4 x 2 − 16 x + 9 = 0.Đây là a = 4, b = − 16, c = 9. Theo định lý Vieta thì tổng các nghiệm của phương trình bậc hai phải bằng - b a, nghĩa là, 16 4 = 4 , và tích của các nghiệm phải bằng nhau c a, nghĩa là, 9 4 .
Hãy kiểm tra các số thu được bằng cách tính tổng và tích các số từ ba cặp số đã cho và so sánh chúng với các giá trị thu được.
Trong trường hợp đầu tiên x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Giá trị này khác với 4, do đó không cần tiếp tục kiểm tra. Theo định lý nghịch đảo với định lý Vieta, ta có thể kết luận ngay rằng cặp số đầu tiên không phải là nghiệm của phương trình bậc hai này.
Trong trường hợp thứ hai, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Chúng ta thấy rằng điều kiện đầu tiên được đáp ứng. Nhưng điều kiện thứ hai thì không: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Giá trị chúng tôi nhận được khác với 9 4 . Điều này có nghĩa là cặp số thứ hai không phải là nghiệm của phương trình bậc hai.
Hãy chuyển sang xem xét cặp thứ ba. Ở đây x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 và x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Cả hai điều kiện đều được đáp ứng, có nghĩa là x 1 Và x 2 là nghiệm của một phương trình bậc hai đã cho.
Trả lời: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2
Chúng ta cũng có thể sử dụng định lý ngược của định lý Vieta để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Cách đơn giản nhất là chọn các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai đã cho với hệ số nguyên. Các lựa chọn khác có thể được xem xét. Nhưng điều này có thể làm phức tạp đáng kể việc tính toán.
Để chọn các nghiệm, chúng ta sử dụng thực tế là nếu tổng của hai số bằng hệ số thứ hai của phương trình bậc hai, lấy dấu trừ và tích của các số này bằng số hạng tự do, thì những số này là nghiệm của phương trình bậc hai này.
Ví dụ 2
Ví dụ, chúng tôi sử dụng phương trình bậc hai x 2 − 5 x + 6 = 0. số x 1 Và x 2 có thể là nghiệm của phương trình này nếu hai đẳng thức được thỏa mãn x 1 + x 2 = 5 Và x 1 x 2 = 6. Hãy chọn những con số này. Đây là số 2 và 3, vì 2 + 3 = 5 Và 2 3 = 6. Hóa ra 2 và 3 là nghiệm của phương trình bậc hai này.
Điều ngược lại của định lý Vieta có thể được sử dụng để tìm nghiệm thứ hai khi nghiệm thứ nhất đã biết hoặc hiển nhiên. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng quan hệ x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.
Ví dụ 3
Xét phương trình bậc hai 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Cần phải tìm ra gốc của phương trình này.
Giải pháp
Căn bậc nhất của phương trình là 1, vì tổng các hệ số của phương trình bậc hai này bằng 0. Hoá ra là thế x 1 = 1.
Bây giờ chúng ta hãy tìm gốc thứ hai. Đối với điều này bạn có thể sử dụng mối quan hệ x 1 x 2 = c a. Hoá ra là thế 1 x 2 = − 3,512, Ở đâu x 2 = - 3,512.
Trả lời: nghiệm của phương trình bậc hai được xác định trong câu lệnh bài toán 1 Và - 3 512 .
Có thể chọn nghiệm bằng định lý nghịch đảo với định lý Vieta chỉ trong những trường hợp đơn giản. Trong các trường hợp khác, tốt hơn là tìm kiếm bằng cách sử dụng công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai thông qua phân biệt.
Nhờ nghịch đảo định lý Vieta, ta cũng có thể xây dựng được phương trình bậc hai sử dụng các nghiệm đã có x 1 Và x 2. Để làm điều này, chúng ta cần tính tổng các nghiệm, từ đó cho ra hệ số của x với dấu ngược lại của phương trình bậc hai đã cho và tích của các nghiệm, cho ra số hạng tự do.
Ví dụ 4
Viết phương trình bậc hai có nghiệm là số − 11 Và 23 .
Giải pháp
Hãy giả sử rằng x 1 = − 11 Và x 2 = 23. Tổng và tích của các số này sẽ bằng nhau: x 1 + x 2 = 12 Và x 1 x 2 = − 253. Điều này có nghĩa là hệ số thứ hai là 12, số hạng tự do − 253.
Hãy lập một phương trình: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Trả lời: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
Ta có thể vận dụng định lý Vieta để giải các bài toán có chứa dấu nghiệm của phương trình bậc hai. Mối liên hệ giữa định lý Vieta liên quan đến dấu nghiệm nguyên của phương trình bậc hai rút gọn x 2 + p x + q = 0 như sau:
- nếu phương trình bậc hai có nghiệm thực và nếu số hạng bị chặn q là số dương thì các nghiệm này cùng dấu “+” hoặc “-”;
- nếu phương trình bậc hai có nghiệm và nếu số hạng bị chặn q là số âm thì một gốc sẽ là “+” và gốc thứ hai sẽ là “-”.
Cả hai phát biểu này đều là hệ quả của công thức x 1 x 2 = q và các quy tắc nhân các số dương và số âm, cũng như các số có dấu khác nhau.
Ví dụ 5
Là nghiệm của phương trình bậc hai x 2 − 64 x − 21 = 0 tích cực?
Giải pháp
Theo định lý Vieta, các nghiệm của phương trình này không thể cùng dương vì chúng phải thỏa mãn đẳng thức x 1 x 2 = − 21. Điều này là không thể với tích cực x 1 Và x 2.
Trả lời: KHÔNG
Ví dụ 6
Ở giá trị tham số nào r phương trình bậc hai x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 sẽ có hai nghiệm thực khác dấu.
Giải pháp
Hãy bắt đầu bằng cách tìm các giá trị trong đó r, mà phương trình sẽ có hai nghiệm. Chúng ta hãy tìm một người phân biệt đối xử và xem điều gì r nó sẽ nhận giá trị dương. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Giá trị biểu thức r 2 + 8 tích cực cho bất kỳ thực tế r, do đó, giá trị phân biệt sẽ lớn hơn 0 đối với bất kỳ giá trị thực nào r. Điều này có nghĩa là phương trình bậc hai ban đầu sẽ có hai nghiệm cho bất kỳ giá trị thực nào của tham số r.
Bây giờ chúng ta hãy xem khi nào rễ có những dấu hiệu khác nhau. Điều này có thể thực hiện được nếu sản phẩm của họ âm tính. Theo định lý Vieta, tích các nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn bằng số hạng tự do. Điều này có nghĩa là giải pháp đúng sẽ là những giá trị đó r, trong đó số hạng tự do r − 1 là âm. Hãy giải bất đẳng thức tuyến tính r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Trả lời: tại r< 1 .
Công thức Vieta
Có một số công thức có thể áp dụng để thực hiện các phép tính với nghiệm và hệ số của không chỉ phương trình bậc hai mà còn của phương trình bậc ba và các loại phương trình khác. Chúng được gọi là công thức Vieta.
Đối với một phương trình đại số bậc N có dạng a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 phương trình được coi là có N rễ thật x 1 , x 2 , … , xn, trong đó có thể giống nhau:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Định nghĩa 1
Công thức của Vieta giúp chúng ta có được:
- định lý về phân tích đa thức thành thừa số tuyến tính;
- xác định các đa thức bằng nhau thông qua sự đẳng thức của tất cả các hệ số tương ứng của chúng.
Do đó, đa thức a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n và sự mở rộng của nó thành các thừa số tuyến tính có dạng a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) bằng nhau.
Nếu chúng ta mở dấu ngoặc ở tích cuối cùng và đánh đồng các hệ số tương ứng, chúng ta thu được công thức Vieta. Lấy n = 2, ta thu được công thức Vieta cho phương trình bậc hai: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Định nghĩa 2
Công thức Vieta cho phương trình bậc ba:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Phía bên trái của công thức Vieta chứa cái gọi là đa thức đối xứng cơ bản.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Bất kỳ phương trình bậc hai hoàn chỉnh nào ax 2 + bx + c = 0 có thể được ghi nhớ x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, nếu trước tiên bạn chia mỗi số hạng cho hệ số a trước x 2. Và nếu chúng ta giới thiệu những ký hiệu mới (b/a) = p Và (c/a) = q, khi đó ta sẽ có phương trình x 2 + px + q = 0, mà trong toán học gọi là phương trình bậc hai đã cho.
Nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn và các hệ số P Và qđược kết nối với nhau. Điều này được xác nhận Định lý Vieta, được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Francois Vieta, sống vào cuối thế kỷ 16.
Định lý. Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn x 2 + px + q = 0 bằng hệ số thứ hai P, được lấy với dấu ngược lại và tích của nghiệm - với số hạng tự do q.
Hãy viết các quan hệ này dưới dạng sau:
Cho phép x 1 Và x 2 các nghiệm khác nhau của phương trình đã cho x 2 + px + q = 0. Theo định lý Vieta x 1 + x 2 = -p Và x 1 x 2 = q.
Để chứng minh điều này, hãy thay từng nghiệm x 1 và x 2 vào phương trình. Ta được hai đẳng thức đúng:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Chúng ta hãy trừ đi thứ hai từ đẳng thức đầu tiên. Chúng tôi nhận được: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Chúng tôi mở rộng hai số hạng đầu tiên bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương:
(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0
Theo điều kiện, nghiệm x 1 và x 2 khác nhau. Do đó, chúng ta có thể rút gọn đẳng thức về (x 1 – x 2) ≠ 0 và biểu thị p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Đẳng thức đầu tiên đã được chứng minh.
Để chứng minh đẳng thức thứ hai, ta thế vào phương trình thứ nhất
x 1 2 + px 1 + q = 0 thay cho hệ số p là một số bằng (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Biến đổi vế trái của phương trình, ta được:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, đó là điều cần chứng minh.
Định lý Vieta hay vì Ngay cả khi không biết gốc của phương trình bậc hai, chúng ta vẫn có thể tính tổng và tích của chúng .
Định lý Vieta giúp xác định nghiệm nguyên của một phương trình bậc hai đã cho. Nhưng điều này gây khó khăn cho nhiều học sinh do các em không biết một thuật toán hành động rõ ràng, đặc biệt nếu nghiệm của phương trình có dấu khác nhau.
Vì vậy, phương trình bậc hai trên có dạng x 2 + px + q = 0, trong đó x 1 và x 2 là nghiệm của nó. Theo định lý Vieta thì x 1 + x 2 = -p và x 1 · x 2 = q.
Có thể rút ra kết luận sau.
Nếu số hạng cuối cùng trong phương trình có dấu trừ đứng trước thì nghiệm x 1 và x 2 có dấu khác nhau. Ngoài ra, dấu của căn bậc hai trùng với dấu của hệ số thứ hai trong phương trình.
Dựa trên thực tế là khi cộng các số có dấu khác nhau, mô đun của chúng bị trừ đi và kết quả thu được đứng trước dấu của số modulo lớn hơn, bạn nên tiến hành như sau:
- xác định các thừa số của số q sao cho hiệu của chúng bằng số p;
- đặt dấu của hệ số thứ hai của phương trình trước số nhỏ hơn trong các số thu được; căn bậc hai sẽ có dấu ngược lại.
Hãy xem xét một số ví dụ.
Ví dụ 1.
Giải phương trình x 2 – 2x – 15 = 0.
Giải pháp.
Hãy thử giải phương trình này bằng cách sử dụng các quy tắc được đề xuất ở trên. Khi đó chúng ta có thể nói chắc chắn rằng phương trình này sẽ có hai nghiệm khác nhau, bởi vì D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Bây giờ, từ tất cả các thừa số của số 15 (1 và 15, 3 và 5), chúng ta chọn những thừa số có hiệu là 2. Đây sẽ là các số 3 và 5. Chúng ta đặt dấu trừ trước số nhỏ hơn, tức là. dấu của hệ số thứ hai của phương trình. Do đó, chúng ta thu được nghiệm của phương trình x 1 = -3 và x 2 = 5.
Trả lời. x 1 = -3 và x 2 = 5.
Ví dụ 2.
Giải phương trình x 2 + 5x – 6 = 0.
Giải pháp.
Hãy kiểm tra xem phương trình này có nghiệm hay không. Để làm điều này, chúng tôi tìm thấy một phân biệt đối xử:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Phương trình có hai nghiệm khác nhau.
Các ước có thể có của số 6 là 2 và 3, 6 và 1. Hiệu của cặp 6 và 1 là 5. Trong ví dụ này, hệ số của số hạng thứ hai có dấu cộng nên số nhỏ hơn sẽ có cùng dấu . Nhưng trước số thứ hai sẽ có dấu trừ.
Đáp án: x 1 = -6 và x 2 = 1.
Định lý Vieta cũng có thể được viết cho phương trình bậc hai đầy đủ. Vì vậy, nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có các nghiệm x 1 và x 2 thì các đẳng thức giữ nguyên cho chúng
x 1 + x 2 = -(b/a) Và x 1 x 2 = (c/a). Tuy nhiên, việc áp dụng định lý này vào một phương trình bậc hai đầy đủ là khá khó khăn, bởi vì nếu có nghiệm thì ít nhất một trong số đó là số phân số. Và việc chọn phân số khá khó khăn. Nhưng vẫn có một lối thoát.
Xét phương trình bậc hai đầy đủ ax 2 + bx + c = 0. Nhân vế trái và vế phải của nó với hệ số a. Phương trình sẽ có dạng (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Bây giờ hãy giới thiệu một biến mới, ví dụ t = ax.
Trong trường hợp này, phương trình thu được sẽ trở thành phương trình bậc hai rút gọn có dạng t 2 + bt + ac = 0, các nghiệm của t 1 và t 2 (nếu có) có thể được xác định bằng định lý Vieta.
Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình bậc hai ban đầu sẽ là
x 1 = (t 1/a) và x 2 = (t 2/a).
Ví dụ 3.
Giải phương trình 15x2 – 11x + 2 = 0.
Giải pháp.
Hãy tạo một phương trình phụ trợ. Hãy nhân mỗi số hạng của phương trình với 15:
15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.
Chúng tôi thực hiện thay thế t = 15x. Chúng tôi có:
t2 – 11t + 30 = 0.
Theo định lý Vieta, nghiệm của phương trình này sẽ là t 1 = 5 và t 2 = 6.
Ta quay lại thay thế t = 15x:
5 = 15x hoặc 6 = 15x. Vậy x 1 = 5/15 và x 2 = 6/15. Ta rút gọn và thu được đáp án cuối cùng: x 1 = 1/3 và x 2 = 2/5.
Trả lời. x 1 = 1/3 và x 2 = 2/5.
Để nắm vững cách giải phương trình bậc hai bằng định lý Vieta, học sinh cần luyện tập càng nhiều càng tốt. Đây chính xác là bí quyết thành công.
trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.