Giải phương trình bằng số nguyên là một trong những bài toán lâu đời nhất. Đã vào đầu thiên niên kỷ thứ 2 trước Công nguyên. đ. Người Babylon đã biết cách giải các hệ phương trình như vậy bằng hai biến. Lĩnh vực toán học này đạt đến sự hưng thịnh nhất ở Hy Lạp cổ đại. Nguồn chính của chúng tôi là Số học của Diophantus, chứa nhiều loại phương trình khác nhau. Trong đó, Diophantus (theo tên của ông, tên của các phương trình là phương trình Diophantine) dự đoán một số phương pháp nghiên cứu phương trình bậc 2 và bậc 3, vốn chỉ được phát triển vào thế kỷ 19.

Các phương trình Diophantine đơn giản nhất là ax + y = 1 (phương trình hai biến, bậc một) x2 + y2 = z2 (phương trình ba biến, bậc hai)

Các phương trình đại số đã được nghiên cứu đầy đủ nhất; nghiệm của chúng là một trong những bài toán quan trọng nhất của đại số trong thế kỷ 16 và 17.

Đến đầu thế kỷ 19, công trình của P. Fermat, L. Euler, K. Gauss đã nghiên cứu phương trình Diophantine có dạng: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, trong đó a, b, c , d, e, f là các số; x, y biến chưa biết.

Đây là phương trình bậc 2 có hai ẩn số.

K. Gauss đã phát triển một lý thuyết tổng quát về dạng bậc hai, làm cơ sở để giải một số loại phương trình hai biến (phương trình Diophantine). Có một số lượng lớn các phương trình Diophantine cụ thể có thể được giải bằng các phương pháp cơ bản. /p>

Tài liệu lý thuyết.

Trong phần này của công việc, các khái niệm toán học cơ bản sẽ được mô tả, các thuật ngữ sẽ được định nghĩa và định lý khai triển sẽ được xây dựng bằng phương pháp hệ số không xác định, đã được nghiên cứu và xem xét khi giải phương trình hai biến.

Định nghĩa 1: Phương trình dạng ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, trong đó a, b, c, d, e, f là các số; x, y biến chưa biết gọi là phương trình bậc hai có hai biến.

Trong một môn toán ở trường, người ta nghiên cứu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, trong đó a, b, c của số x là một biến, có một biến. Có nhiều cách giải phương trình này:

1. Tìm nghiệm bằng cách sử dụng phân biệt;

2. Tìm nghiệm của hệ số chẵn trong (theo D1=);

3. Tìm nghiệm theo định lý Vieta;

4. Tìm nghiệm bằng cách cô lập bình phương hoàn hảo của nhị thức.

Giải một phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng chúng không tồn tại.

Định nghĩa 2: Căn nguyên của phương trình là một số mà khi thay thế vào phương trình sẽ tạo thành một đẳng thức thực sự.

Định nghĩa 3: Nghiệm của phương trình hai biến gọi là cặp số (x, y) khi thay vào phương trình sẽ trở thành một đẳng thức đúng.

Quá trình tìm nghiệm của một phương trình thường bao gồm việc thay thế phương trình đó bằng một phương trình tương đương nhưng dễ giải hơn. Các phương trình như vậy được gọi là tương đương.

Định nghĩa 4: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu mỗi nghiệm của phương trình này là nghiệm của phương trình kia và ngược lại, và cả hai phương trình đều được xét trong cùng một miền.

Để giải phương trình hai biến, sử dụng định lý phân tích phương trình thành tổng các bình phương đầy đủ (bằng phương pháp hệ số bất định).

Đối với phương trình bậc hai ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), việc khai triển a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) diễn ra

Chúng ta hãy xây dựng các điều kiện để khai triển (2) xảy ra cho phương trình (1) của hai biến.

Định lý: Nếu các hệ số a, b, c của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện a0 và 4ab – c20 thì khai triển (2) được xác định một cách duy nhất.

Nói cách khác, phương trình (1) với hai biến có thể được rút gọn về dạng (2) bằng phương pháp hệ số bất định nếu đáp ứng các điều kiện của định lý.

Hãy xem một ví dụ về cách thực hiện phương pháp hệ số không xác định.

PHƯƠNG PHÁP SỐ 1. Giải phương trình bằng phương pháp hệ số bất định

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Hãy kiểm tra sự thỏa mãn các điều kiện của định lý a=2, b=1, c=2, tức là a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Thỏa mãn điều kiện của định lý, có thể khai triển theo công thức (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, dựa trên các điều kiện của định lý, cả hai phần của đẳng thức đều tương đương. Hãy để chúng tôi đơn giản hóa phía bên phải của danh tính.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Chúng ta đánh đồng các hệ số của các biến giống hệt nhau theo bậc của chúng.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Hãy lập hệ phương trình, giải nó và tìm giá trị của các hệ số.

7. Thay các hệ số vào (2) thì phương trình sẽ có dạng

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Vậy phương trình ban đầu tương đương với phương trình

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), phương trình này tương đương với hệ hai phương trình tuyến tính.

Trả lời: (-1; 1).

Nếu bạn chú ý đến kiểu khai triển (3), bạn sẽ nhận thấy rằng nó có hình thức giống hệt với việc tách một bình phương hoàn chỉnh khỏi phương trình bậc hai với một biến: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Hãy áp dụng kỹ thuật này khi giải phương trình hai biến. Chúng ta hãy giải, bằng cách chọn một bình phương hoàn chỉnh, một phương trình bậc hai có hai biến đã được giải bằng định lý.

PHƯƠNG PHÁP SỐ 2: Giải phương trình 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Giải: 1. Giả sử 2x2 là tổng của hai số hạng x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Hãy nhóm các số hạng sao cho chúng ta có thể gấp chúng bằng công thức hình vuông hoàn chỉnh.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Chọn các ô vuông hoàn chỉnh từ các biểu thức trong ngoặc.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính.

Trả lời: (-1;1).

Nếu so sánh kết quả, có thể thấy phương trình giải theo phương pháp số 1 sử dụng định lý và phương pháp hệ số bất định và phương trình giải theo phương pháp số 2 sử dụng phép trích bình phương đầy đủ có cùng một nghiệm.

Kết luận: Một phương trình bậc hai có hai biến có thể khai triển thành tổng các bình phương theo hai cách:

➢ Phương pháp thứ nhất là phương pháp hệ số bất định, dựa trên định lý và khai triển (2).

➢ Cách thứ hai là sử dụng các phép biến đổi đồng nhất cho phép bạn chọn các ô vuông hoàn chỉnh một cách tuần tự.

Tất nhiên, khi giải bài toán, phương pháp thứ hai được ưu tiên hơn vì nó không yêu cầu ghi nhớ khai triển (2) và các điều kiện.

Phương pháp này cũng có thể được sử dụng cho phương trình bậc hai có ba biến. Việc cô lập một hình vuông hoàn hảo trong các phương trình như vậy tốn nhiều công sức hơn. Tôi sẽ thực hiện kiểu chuyển đổi này vào năm tới.

Thật thú vị khi lưu ý rằng một hàm có dạng: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f được gọi là hàm bậc hai hai biến. Hàm bậc hai đóng một vai trò quan trọng trong các ngành toán học khác nhau:

Trong lập trình toán học (lập trình bậc hai)

Trong đại số tuyến tính và hình học (dạng bậc hai)

Trong lý thuyết phương trình vi phân (rút gọn phương trình tuyến tính bậc hai về dạng chính tắc).

Khi giải các bài toán khác nhau này, về cơ bản người ta phải áp dụng quy trình tách một bình phương hoàn chỉnh khỏi phương trình bậc hai (một, hai hoặc nhiều biến).

Các đường có phương trình được mô tả bằng phương trình bậc hai hai biến được gọi là đường cong bậc hai.

Đây là một hình tròn, một hình elip, một hyperbol.

Khi xây dựng đồ thị của các đường cong này, phương pháp cô lập tuần tự một hình vuông hoàn chỉnh cũng được sử dụng.

Chúng ta hãy xem phương pháp chọn tuần tự một hình vuông hoàn chỉnh hoạt động như thế nào bằng các ví dụ cụ thể.

Phần thực tế.

Giải phương trình bằng phương pháp cô lập tuần tự một hình vuông đầy đủ.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Trả lời:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Trả lời:(0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Trả lời:(-1;1).

Giải phương trình:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(rút gọn về dạng: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Trả lời: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(rút gọn về dạng: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Trả lời: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(rút gọn về dạng: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Đáp án: (7; -7)

Phần kết luận.

Trong công trình khoa học này, các phương trình với hai biến bậc hai đã được nghiên cứu và xem xét các phương pháp giải chúng. Nhiệm vụ đã hoàn thành, một phương pháp giải ngắn gọn hơn đã được xây dựng và mô tả, dựa trên việc cô lập một bình phương đầy đủ và thay phương trình bằng một hệ phương trình tương đương, nhờ đó thủ tục tìm nghiệm của phương trình hai biến đã được thực hiện. được đơn giản hóa.

Một điểm quan trọng của công việc là kỹ thuật được đề cập được sử dụng khi giải các bài toán khác nhau liên quan đến hàm bậc hai, xây dựng các đường cong bậc hai và tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức.

Như vậy, kỹ thuật phân tích phương trình bậc hai có hai biến thành tổng bình phương có nhiều ứng dụng nhất trong toán học.

Chủ thể:hàm tuyến tính

Bài học:Phương trình tuyến tính hai biến và đồ thị của nó

Chúng ta đã làm quen với các khái niệm về trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ. Chúng ta biết rằng mỗi điểm trên mặt phẳng xác định duy nhất một cặp số (x; y), với số đầu tiên là hoành độ của điểm và số thứ hai là tọa độ.

Chúng ta sẽ rất thường xuyên gặp một phương trình tuyến tính hai biến, nghiệm của phương trình này là một cặp số có thể biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Phương trình có dạng:

Trong đó a, b, c là các số và

Nó được gọi là phương trình tuyến tính với hai biến x và y. Nghiệm của phương trình như vậy sẽ là bất kỳ cặp số x và y nào, thay số đó vào phương trình, chúng ta sẽ thu được đẳng thức số chính xác.

Một cặp số sẽ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ dưới dạng một điểm.

Đối với các phương trình như vậy chúng ta sẽ thấy có nhiều nghiệm, tức là có nhiều cặp số và tất cả các điểm tương ứng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

Hãy xem một ví dụ:

Để tìm nghiệm của phương trình này cần chọn các cặp số x và y tương ứng:

Đặt , khi đó phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa ẩn số:

,

Tức là cặp số đầu tiên là nghiệm của một phương trình đã cho (0; 3). Chúng tôi có điểm A(0; 3)

Cho phép . Chúng ta nhận được phương trình ban đầu với một biến: , từ đây ta có điểm B(3; 0)

Hãy xếp các cặp số vào bảng:

Hãy vẽ các điểm trên đồ thị và vẽ một đường thẳng:

Lưu ý rằng bất kỳ điểm nào trên một đường thẳng nhất định sẽ là nghiệm của phương trình đã cho. Hãy kiểm tra - lấy một điểm có tọa độ và sử dụng biểu đồ để tìm tọa độ thứ hai của nó. Rõ ràng là vào thời điểm này. Hãy thay cặp số này vào phương trình. Chúng ta nhận được 0=0 - một đẳng thức số đúng, có nghĩa là một điểm nằm trên đường thẳng là một nghiệm.

Hiện tại, chúng tôi không thể chứng minh rằng bất kỳ điểm nào nằm trên đường dựng sẵn đều là nghiệm của phương trình, vì vậy chúng tôi chấp nhận điều này là đúng và sẽ chứng minh nó sau.

Ví dụ 2 - vẽ đồ thị phương trình:

Hãy lập một bảng; chúng ta chỉ cần hai điểm để dựng một đường thẳng, nhưng chúng ta sẽ lấy điểm thứ ba để kiểm soát:

Trong cột đầu tiên, chúng tôi lấy một cột thuận tiện, chúng tôi sẽ tìm thấy nó từ:

, ,

Trong cột thứ hai, chúng ta lấy một cột thuận tiện, hãy tìm x:

, , ,

Hãy kiểm tra và tìm ra:

, ,

Hãy xây dựng một biểu đồ:

Hãy nhân phương trình đã cho với 2:

Từ phép biến đổi như vậy, tập nghiệm sẽ không thay đổi và đồ thị sẽ giữ nguyên.

Kết luận: chúng ta đã học cách giải phương trình hai biến và xây dựng đồ thị của chúng, chúng ta đã học được rằng đồ thị của phương trình đó là một đường thẳng và bất kỳ điểm nào trên đường thẳng này đều là nghiệm của phương trình

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. và những thứ khác. Đại số 7. Phiên bản thứ 6. M.: Sự giác ngộ. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Đại số 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. và những môn khác. Đại số 7.M.: Sự khai sáng. 2006

2. Cổng thông tin gia đình xem ().

Nhiệm vụ 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Đại số 7, số 960, Điều 210;

Nhiệm vụ 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Đại số 7, số 961, Điều 210;

Nhiệm vụ 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Đại số 7, số 962, Điều 210;

Trong môn toán lớp 7, lần đầu tiên chúng ta gặp phương trình có hai biến, nhưng chúng chỉ được nghiên cứu trong bối cảnh hệ phương trình có hai ẩn số. Đó là lý do tại sao một loạt các bài toán trong đó các điều kiện nhất định được đưa vào các hệ số của phương trình để giới hạn chúng lại không được xem xét. Ngoài ra, các phương pháp giải các bài toán như “Giải phương trình bằng số tự nhiên hoặc số nguyên” cũng bị bỏ qua, mặc dù các bài toán loại này ngày càng được tìm thấy nhiều hơn trong tài liệu Kỳ thi Thống nhất và trong các kỳ thi tuyển sinh.

Phương trình nào sẽ được gọi là phương trình có hai biến?

Vì vậy, ví dụ, các phương trình 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, hoặc xy = 12 là các phương trình hai biến.

Xét phương trình 2x – y = 1. Nó trở thành đúng khi x = 2 và y = 3, vậy cặp giá trị biến này là nghiệm của phương trình đang xét.

Do đó, nghiệm của bất kỳ phương trình nào có hai biến là một tập hợp các cặp có thứ tự (x; y), giá trị của các biến biến phương trình này thành một đẳng thức số thực sự.

Một phương trình có hai ẩn số có thể:

MỘT) có một giải pháp. Ví dụ, phương trình x 2 + 5y 2 = 0 có nghiệm duy nhất (0; 0);

b) có nhiều giải pháp. Ví dụ: (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 có 4 nghiệm: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) không có giải pháp. Ví dụ: phương trình x 2 + y 2 + 1 = 0 không có nghiệm;

G) có vô số giải pháp. Ví dụ: x + y = 3. Nghiệm của phương trình này sẽ là các số có tổng bằng 3. Tập nghiệm của phương trình này có thể viết dưới dạng (k; 3 – k), trong đó k là số thực bất kỳ. con số.

Các phương pháp chính để giải phương trình hai biến là các phương pháp dựa trên biểu thức phân tích nhân tử, cô lập bình phương đầy đủ, sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai, biểu thức giới hạn và phương pháp ước lượng. Phương trình thường được chuyển đổi sang dạng mà từ đó có thể thu được hệ thống tìm các ẩn số.

Nhân tố hóa

Ví dụ 1.

Giải phương trình: xy – 2 = 2x – y.

Giải pháp.

Chúng tôi nhóm các thuật ngữ nhằm mục đích phân tích nhân tử:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Từ mỗi dấu ngoặc ta rút ra một thừa số chung:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Ta có:

y = 2, x – số thực bất kỳ hoặc x = -1, y – số thực bất kỳ.

Như vậy, câu trả lời là tất cả các cặp có dạng (x; 2), x € R và (-1; y), y € R.

Bình đẳng của các số không âm bằng 0

Ví dụ 2.

Giải phương trình: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Giải pháp.

Phân nhóm:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Bây giờ mỗi dấu ngoặc có thể được gấp lại bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Tổng của hai biểu thức không âm chỉ bằng 0 nếu 3x – 2 = 0 và 2y – 3 = 0.

Điều này có nghĩa là x = 2/3 và y = 3/2.

Trả lời: (2/3; 3/2).

Phương pháp ước tính

Ví dụ 3.

Giải phương trình: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Giải pháp.

Trong mỗi dấu ngoặc, chúng tôi đánh dấu một hình vuông hoàn chỉnh:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hãy ước tính nghĩa của các biểu thức trong ngoặc đơn.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 và (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 thì vế trái của phương trình luôn nhỏ nhất bằng 2. Có thể đẳng thức nếu:

(x + 1) 2 + 1 = 1 và (y – 2) 2 + 2 = 2, tức là x = -1, y = 2.

Trả lời: (-1; 2).

Chúng ta hãy làm quen với một phương pháp khác để giải phương trình với hai biến bậc hai. Phương pháp này bao gồm việc xử lý phương trình như bình phương đối với một biến nào đó.

Ví dụ 4.

Giải phương trình: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Giải pháp.

Giải phương trình dưới dạng phương trình bậc hai của x. Hãy tìm phân biệt:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Phương trình chỉ có nghiệm khi D = 0, tức là nếu y = 4. Ta thay giá trị của y vào phương trình ban đầu và tìm được x = 3.

Trả lời: (3; 4).

Thông thường trong các phương trình có hai ẩn số chúng chỉ ra hạn chế về các biến.

Ví dụ 5.

Giải phương trình ở dạng số nguyên: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Giải pháp.

Viết lại phương trình dưới dạng x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Vế phải của phương trình khi chia cho 5 dư 2. Do đó, x 2 không chia hết cho 5. Nhưng bình phương của a số không chia hết cho 5 thì dư 1 hoặc 4. Như vậy, đẳng thức là không thể và không có nghiệm.

Trả lời: không có rễ.

Ví dụ 6.

Giải phương trình: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Giải pháp.

Hãy đánh dấu các ô vuông hoàn chỉnh trong mỗi dấu ngoặc:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Vế trái của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng 3. Có thể đảm bảo đẳng thức |x| – 2 = 0 và y + 3 = 0. Vậy x = ± 2, y = -3.

Trả lời: (2; -3) và (-2; -3).

Ví dụ 7.

Với mọi cặp số nguyên âm (x;y) thỏa mãn phương trình
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, tính tổng (x + y). Vui lòng cho biết số tiền nhỏ nhất trong câu trả lời của bạn.

Giải pháp.

Hãy chọn các ô vuông hoàn chỉnh:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Vì x và y là số nguyên nên bình phương của chúng cũng là số nguyên. Chúng ta nhận được tổng bình phương của hai số nguyên bằng 37 nếu chúng ta cộng 1 + 36. Do đó:

(x – y) 2 = 36 và (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 và (y + 2) 2 = 36.

Giải các hệ này và xét x và y âm, ta tìm được nghiệm: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Trả lời: -17.

Đừng thất vọng nếu bạn gặp khó khăn khi giải phương trình có hai ẩn số. Với một chút luyện tập, bạn có thể xử lý bất kỳ phương trình nào.

Vẫn còn thắc mắc? Bạn chưa biết cách giải phương trình hai biến?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.

Phương trình phi tuyến với hai ẩn số

Định nghĩa 1. Hãy để A là một số tập hợp các cặp số (x; y) . Họ nói rằng tập A đã cho hàm số z từ hai biến

x và y , nếu một quy tắc được chỉ định với sự trợ giúp trong đó mỗi cặp số từ tập hợp A được liên kết với một số nhất định. Việc xác định hàm số z của hai biến x và y thường biểu thị

Vì thế: Ở đâu (x , y) f

Ở đâu (x , y) = – bất kỳ chức năng nào khác ngoài chức năng ,

rìu+by+c

trong đó a, b, c là các số. Định nghĩa 3. Giải phương trình (2) x; y gọi một cặp số (

) , với công thức (2) là đẳng thức thực sự.

Ví dụ 1. Giải phương trình

Vì bình phương của bất kỳ số nào đều không âm nên theo công thức (4) các ẩn số x và y thỏa mãn hệ phương trình

nghiệm của nó là một cặp số (6; 3).

Trả lời: (6; 3)

Ví dụ 2. Giải phương trình Do đó, nghiệm của phương trình (6) là vô số cặp số

(1 + y ; y) ,

loại

trong đó y là số bất kỳ.

tuyến tính Định nghĩa 4.

Giải hệ phương trình x; y gọi một cặp số (

) , khi thay chúng vào từng phương trình của hệ này sẽ thu được đẳng thức đúng.

Hệ hai phương trình, trong đó một phương trình là tuyến tính, có dạng(x , y)

g

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

Giải pháp . Chúng ta hãy biểu thị ẩn số y từ phương trình thứ nhất của hệ (7) thông qua ẩn số x và thay biểu thức thu được vào phương trình thứ hai của hệ:

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Giải phương trình

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Kể từ đây,

Hệ hai phương trình, trong đó một phương trình thuần nhất

Hệ hai phương trình, một phương trình thuần nhất, có dạng Hệ hai phương trình, trong đó một phương trình là tuyến tính, có dạng(x , y) trong đó a, b, c là các số và

– hàm hai biến x và y.

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình

3x 2 + 2Giải pháp . Hãy giải phương trình thuần nhất - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17Giải pháp . Hãy giải phương trình thuần nhất + 10y 2 = 0 ,

xy

.

coi nó như một phương trình bậc hai đối với x chưa biết: x = - 5y Trong trường hợp

5y 2 = - 20 ,

, từ phương trình thứ hai của hệ (11) ta thu được phương trình

cái mà không có rễ.

Trong trường hợp

,

từ phương trình thứ hai của hệ (11) ta thu được phương trình y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Tìm với mỗi giá trị y giá trị x tương ứng, ta thu được hai nghiệm của hệ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Đáp án: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Ví dụ về giải các hệ phương trình khác

Ví dụ 8. Giải hệ phương trình (MIPT)

Giải pháp . Chúng ta hãy giới thiệu các ẩn số mới u và v, được biểu thị qua x và y theo công thức:

Để viết lại hệ (12) theo ẩn số mới, trước tiên chúng ta biểu diễn ẩn số x và y theo u và v. Từ hệ (13) suy ra

Chúng ta hãy giải hệ tuyến tính (14) bằng cách loại bỏ biến x khỏi phương trình thứ hai của hệ này.

• Với mục đích này, chúng tôi thực hiện các phép biến đổi sau trên hệ thống (14):
• Chúng ta sẽ giữ nguyên phương trình đầu tiên của hệ;

từ phương trình thứ hai, chúng ta trừ phương trình thứ nhất và thay thế phương trình thứ hai của hệ bằng hiệu thu được.

Kết quả là hệ (14) được chuyển thành hệ tương đương

từ đó chúng tôi tìm thấy

Sử dụng công thức (13) và (15), ta viết lại hệ ban đầu (12) dưới dạng

Phương trình đầu tiên của hệ (16) là tuyến tính, vì vậy chúng ta có thể biểu thị từ đó ẩn u đến v chưa biết và thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ.

Hướng dẫn
Phương pháp thay thế Biểu thị một biến và thay thế nó vào một phương trình khác. Bạn có thể thể hiện bất kỳ biến nào theo ý của bạn. Ví dụ: biểu thị y từ phương trình thứ hai:
x-y=2 => y=x-2Sau đó thay mọi thứ vào phương trình đầu tiên:
2x+(x-2)=10 Di chuyển mọi thứ không có “x” sang bên phải và tính:
2x+x=10+2
3x=12 Tiếp theo, để có x, hãy chia cả hai vế của phương trình cho 3:
x=4. Vì vậy, bạn đã tìm thấy “x. Tìm "y. Để làm điều này, hãy thay thế “x” vào phương trình mà bạn thể hiện “y”:
y=x-2=4-2=2

y=2.
2*4+2=10
4-2=2
Hãy kiểm tra. Để làm điều này, thay thế các giá trị kết quả vào các phương trình:

Những điều chưa biết đã được tìm thấy một cách chính xác!
Một cách để cộng hoặc trừ các phương trình Loại bỏ bất kỳ biến nào ngay lập tức. Trong trường hợp của chúng tôi, việc này dễ thực hiện hơn với “y.
Vì trong “y có dấu “+” và ở dấu “-” thứ hai, nên bạn có thể thực hiện thao tác cộng, tức là. Chúng tôi thêm phần bên trái vào bên trái và bên phải vào bên phải:
2x+y+(x-y)=10+2Chuyển đổi:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Thay thế “x” vào bất kỳ phương trình nào và tìm “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8

y=2Bằng phương pháp đầu tiên, bạn có thể thấy rằng chúng đã được tìm thấy chính xác.
Nếu không có các biến được xác định rõ ràng thì cần phải biến đổi một chút các phương trình.
Trong phương trình đầu tiên, chúng ta có “2x”, và trong phương trình thứ hai, chúng ta chỉ có “x”. Để giảm x trong quá trình cộng, nhân phương trình thứ hai với 2:
x-y=2
2x+y-(2x-2y)=10-4 Lưu ý rằng nếu có dấu trừ trước dấu ngoặc thì sau khi mở ngoặc hãy đổi thành dấu ngược lại:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
tìm y=2x bằng cách biểu thị từ bất kỳ phương trình nào, tức là
x=4

Video về chủ đề

Mẹo 2: Cách giải phương trình tuyến tính hai biến

phương trình, được viết dưới dạng tổng quát ax+bу+c=0, được gọi là phương trình tuyến tính với hai biến. Bản thân một phương trình như vậy chứa vô số nghiệm, vì vậy trong các bài toán, nó luôn được bổ sung một thứ gì đó - một phương trình khác hoặc các điều kiện giới hạn. Tùy theo điều kiện mà bài toán đưa ra, giải phương trình tuyến tính với hai biến theo những cách khác nhau.

Bạn sẽ cần

• - phương trình tuyến tính với hai biến;
• - phương trình thứ hai hoặc điều kiện bổ sung.

Phương trình đầu tiên của hệ (16) là tuyến tính, vì vậy chúng ta có thể biểu thị từ đó ẩn u đến v chưa biết và thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ.

Cho hệ hai phương trình tuyến tính, giải nó như sau. Chọn một trong các phương trình có hệ số là biến nhỏ hơn và biểu thị một trong các biến, ví dụ: x. Sau đó thay giá trị chứa y này vào phương trình thứ hai. Trong phương trình thu được sẽ chỉ có một biến y, di chuyển tất cả các phần có y sang bên trái và các phần tự do sang bên phải. Tìm y và thay thế vào bất kỳ phương trình ban đầu nào để tìm x.

Có một cách khác để giải hệ hai phương trình. Nhân một trong các phương trình với một số sao cho hệ số của một trong các biến, chẳng hạn như x, giống nhau trong cả hai phương trình. Sau đó trừ một trong các phương trình còn lại (nếu vế phải không bằng 0 thì nhớ trừ vế phải theo cách tương tự). Bạn sẽ thấy biến x đã biến mất và chỉ còn lại một biến y. Giải phương trình thu được và thay thế giá trị tìm được của y vào bất kỳ đẳng thức ban đầu nào. Tìm x.

Cách thứ ba để giải hệ hai phương trình tuyến tính là dùng đồ thị. Vẽ một hệ tọa độ và vẽ đồ thị hai đường thẳng có phương trình được cho trong hệ tọa độ của bạn. Để làm điều này, thay thế hai giá trị x bất kỳ vào phương trình và tìm y tương ứng - đây sẽ là tọa độ của các điểm thuộc đường thẳng. Cách thuận tiện nhất để tìm giao điểm với các trục tọa độ là chỉ cần thay thế các giá trị x=0 và y=0. Tọa độ giao điểm của hai đường này sẽ là nhiệm vụ.

Nếu chỉ có một phương trình tuyến tính trong các điều kiện của bài toán thì bạn đã được cung cấp thêm các điều kiện để qua đó bạn có thể tìm ra lời giải. Hãy đọc kỹ bài toán để tìm ra những điều kiện này. Nếu như biến x và y biểu thị khoảng cách, tốc độ, trọng lượng - thoải mái đặt giới hạn x ≥0 và y ≥0. Rất có thể x hoặc y ẩn số lượng táo, v.v. – thì các giá trị chỉ có thể là . Nếu x là tuổi con thì rõ ràng anh ta không thể lớn hơn cha mình, vì vậy hãy chỉ ra điều này trong điều kiện của bài toán.

Nguồn:

• cách giải phương trình với một biến

Tự nó phương trình với ba không rõ có nhiều nghiệm nên thường được bổ sung bằng hai phương trình hoặc điều kiện nữa. Tùy thuộc vào dữ liệu ban đầu là gì, quá trình đưa ra quyết định sẽ phụ thuộc phần lớn.

Bạn sẽ cần

• - một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số.

Phương trình đầu tiên của hệ (16) là tuyến tính, vì vậy chúng ta có thể biểu thị từ đó ẩn u đến v chưa biết và thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ.

Nếu hai trong ba hệ thống chỉ có hai trong số ba ẩn số, hãy thử biểu diễn một số biến theo các biến khác và thay chúng thành phương trình với ba không rõ. Mục tiêu của bạn trong trường hợp này là biến nó thành bình thường phương trình với một người không quen biết. Nếu đây là , thì giải pháp tiếp theo khá đơn giản - thay giá trị tìm được vào các phương trình khác và tìm tất cả các ẩn số khác.

Một số hệ phương trình có thể được trừ từ phương trình này bằng phương trình khác. Xem liệu có thể nhân một trong hoặc một biến để loại bỏ hai ẩn số cùng một lúc hay không. Nếu có cơ hội như vậy, hãy tận dụng nó, rất có thể giải pháp tiếp theo sẽ không khó. Hãy nhớ rằng khi nhân với một số, bạn phải nhân cả bên trái và bên phải. Tương tự như vậy, khi trừ các phương trình, bạn phải nhớ rằng vế phải cũng phải bị trừ.

Nếu các phương pháp trước đó không hiệu quả, hãy sử dụng phương pháp chung để giải bất kỳ phương trình nào có ba không rõ. Để làm điều này, hãy viết lại các phương trình ở dạng a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Bây giờ hãy tạo ma trận các hệ số cho x (A), ma trận ẩn số (X) và ma trận các biến tự do (B). Xin lưu ý rằng bằng cách nhân ma trận các hệ số với ma trận ẩn số, bạn sẽ nhận được ma trận các số hạng tự do, nghĩa là A*X=B.

Tìm ma trận A lũy thừa (-1) bằng cách tìm , lưu ý rằng nó không được bằng 0. Sau đó, nhân ma trận kết quả với ma trận B, kết quả bạn sẽ nhận được ma trận X mong muốn, cho biết tất cả các giá trị.

Bạn cũng có thể tìm nghiệm của hệ ba phương trình bằng phương pháp Cramer. Để làm điều này, hãy tìm định thức bậc ba ∆ tương ứng với ma trận hệ thống. Sau đó lần lượt tìm thêm ba định thức ∆1, ∆2 và ∆3, thay giá trị của các số hạng tự do thay cho giá trị của các cột tương ứng. Bây giờ hãy tìm x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Nguồn:

• Giải phương trình có ba ẩn số

Việc giải một hệ phương trình là một công việc đầy thử thách và thú vị. Hệ thống càng phức tạp thì việc giải quyết nó càng thú vị. Thông thường trong toán trung học cơ sở có hệ phương trình với hai ẩn số, nhưng ở toán cao hơn có thể có nhiều biến hơn. Hệ thống có thể được giải quyết bằng một số phương pháp.

Phương trình đầu tiên của hệ (16) là tuyến tính, vì vậy chúng ta có thể biểu thị từ đó ẩn u đến v chưa biết và thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ.

Phương pháp phổ biến nhất để giải hệ phương trình là thay thế. Để làm điều này, bạn cần biểu diễn một biến theo một biến khác và thay thế nó bằng biến thứ hai. phương trình hệ thống, do đó dẫn đầu phương trìnhđến một biến. Ví dụ: cho các phương trình sau: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Từ biểu thức thứ hai, thật thuận tiện để biểu thị một trong các biến, di chuyển mọi thứ khác sang bên phải của biểu thức, không quên thay đổi dấu của hệ số: x = 3-y.

Mở ngoặc: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Chúng ta thay thế giá trị kết quả y vào biểu thức: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Trong biểu thức đầu tiên, tất cả các số hạng đều bằng 2, bạn có thể lấy 2 ra khỏi dấu ngoặc để tính chất phân phối của phép nhân: 2*(2x-y-3)=0. Bây giờ cả hai phần của biểu thức có thể được rút gọn bằng số này và sau đó được biểu thị dưới dạng y, vì hệ số mô đun của nó bằng một: -y = 3-2x hoặc y = 2x-3.

Cũng giống như trong trường hợp đầu tiên, chúng ta thay biểu thức này vào biểu thức thứ hai phương trình và chúng ta nhận được: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. y=2x -3;y=4-3=1.

Chúng ta thấy rằng hệ số của y giống nhau về giá trị nhưng khác nhau về dấu, do đó, nếu cộng các phương trình này, chúng ta sẽ loại bỏ hoàn toàn y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. Thay giá trị của x vào bất kỳ phương trình nào trong hai phương trình của hệ và nhận được y=1.

Video về chủ đề

hai phương trình phương trìnhđại diện cho phương trình bậc bốn, dạng tổng quát của nó được biểu thị bằng biểu thức ax^4 + bx^2 + c = 0. Giải pháp của nó dựa trên việc sử dụng phương pháp thay thế ẩn số. Trong trường hợp này, x^2 được thay thế bằng một biến khác. Vì vậy, kết quả là một hình vuông bình thường phương trình, cần phải giải quyết.

Phương trình đầu tiên của hệ (16) là tuyến tính, vì vậy chúng ta có thể biểu thị từ đó ẩn u đến v chưa biết và thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ.

Giải phương trình bậc hai phương trình, là kết quả của sự thay thế. Để làm điều này, trước tiên hãy tính giá trị theo công thức: D = b^2? 4ac. Trong trường hợp này, các biến a, b, c là các hệ số của phương trình của chúng ta.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình hai phương trình. Để làm điều này, lấy căn bậc hai của các giải pháp thu được. Nếu có một nghiệm thì sẽ có hai nghiệm - giá trị dương và âm của căn bậc hai. Nếu có hai nghiệm thì phương trình hai phương trình sẽ có bốn nghiệm.

Video về chủ đề

Một trong những phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình tuyến tính là phương pháp Gauss. Nó bao gồm việc loại bỏ tuần tự các biến, khi một hệ phương trình sử dụng các phép biến đổi đơn giản được chuyển thành hệ phương trình từng bước, từ đó tất cả các biến được tìm thấy một cách tuần tự, bắt đầu từ biến cuối cùng.

Phương trình đầu tiên của hệ (16) là tuyến tính, vì vậy chúng ta có thể biểu thị từ đó ẩn u đến v chưa biết và thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ.

Đầu tiên, đưa hệ phương trình về dạng trong đó tất cả các ẩn số đều theo một thứ tự được xác định chặt chẽ. Ví dụ: tất cả các X chưa biết sẽ xuất hiện đầu tiên trên mỗi dòng, tất cả các Y sẽ xuất hiện sau X, tất cả các Z sẽ xuất hiện sau Y, v.v. Không nên có ẩn số ở vế phải của mỗi phương trình. Hãy nhẩm xác định các hệ số đứng trước mỗi ẩn số, cũng như các hệ số ở vế phải của mỗi phương trình.