Các quy tắc và công thức logarit. Bài “Chuyển sang cơ số logarit mới

Biểu thức logarit, giải ví dụ. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các vấn đề liên quan đến việc giải logarit. Các nhiệm vụ đặt câu hỏi tìm ý nghĩa của một biểu thức. Cần lưu ý rằng khái niệm logarit được sử dụng trong nhiều nhiệm vụ và việc hiểu ý nghĩa của nó là vô cùng quan trọng. Đối với Kỳ thi Thống nhất, logarit được sử dụng khi giải phương trình, các bài toán ứng dụng cũng như trong các bài tập liên quan đến nghiên cứu hàm số.

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ để hiểu ý nghĩa của logarit:

Nhận dạng logarit cơ bản:

Các tính chất của logarit phải luôn được ghi nhớ:

*Logarit của tích bằng tổng logarit của các thừa số.

* * *

*Logarit của thương (phân số) bằng hiệu logarit của các thừa số.

* * *

*Logarit của một số mũ bằng tích của số mũ với logarit cơ số của nó.

* * *

* Chuyển sang nền tảng mới

* * *

Thêm tài sản:

* * *

Việc tính logarit có liên quan chặt chẽ đến việc sử dụng tính chất của số mũ.

Hãy liệt kê một số trong số họ:

Bản chất của tính chất này là khi chuyển tử số sang mẫu số và ngược lại thì dấu của số mũ thay đổi ngược lại. Ví dụ:

Một hệ quả tất yếu từ tính chất này:

* * *

Khi nâng lũy thừa lên lũy thừa, cơ số vẫn giữ nguyên nhưng số mũ được nhân lên.

* * *

Như bạn đã thấy, khái niệm logarit rất đơn giản. Điều quan trọng là bạn cần thực hành tốt, điều này mang lại cho bạn một kỹ năng nhất định. Tất nhiên, cần phải có kiến thức về công thức. Nếu kỹ năng chuyển đổi logarit cơ bản chưa được phát triển thì khi giải các bài toán đơn giản, bạn rất dễ mắc sai lầm.

Thực hành, giải các ví dụ đơn giản nhất trong khóa học toán trước, sau đó chuyển sang các ví dụ phức tạp hơn. Trong tương lai, tôi chắc chắn sẽ chỉ ra cách giải các logarit “xấu xí”; những bài toán này sẽ không xuất hiện trong Kỳ thi Thống nhất nhưng rất đáng quan tâm, đừng bỏ lỡ!

Thế thôi! Chúc bạn may mắn!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.

Kiểm tra xem có số âm hay số nào nằm dưới dấu logarit không. Phương pháp này có thể áp dụng cho các biểu thức có dạng log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Tuy nhiên, nó không phù hợp với một số trường hợp đặc biệt:
- Logarit của một số âm không được xác định trong bất kỳ cơ số nào (ví dụ: log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) hoặc log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Trong trường hợp này viết "không có giải pháp".
- Logarit của số 0 với bất kỳ cơ số nào cũng không được xác định. Nếu bạn bị bắt ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), ghi "không có giải pháp".
- Logarit của một với cơ số bất kỳ ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) luôn bằng 0, vì x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) cho tất cả các giá trị x. Viết 1 thay cho logarit này và không sử dụng phương pháp dưới đây.
- Ví dụ: nếu logarit có cơ số khác nhau l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))) và không được rút gọn thành số nguyên, giá trị của biểu thức không thể được tìm thấy theo cách thủ công.
Chuyển đổi biểu thức thành một logarit. Nếu biểu thức không áp dụng cho các trường hợp đặc biệt ở trên thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng logarit đơn. Sử dụng công thức sau đây cho việc này: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Ví dụ 1: Xét biểu thức log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  Trước tiên, hãy biểu diễn biểu thức dưới dạng logarit đơn bằng công thức trên: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
- Công thức “thay cơ số” của logarit được rút ra từ các tính chất cơ bản của logarit.
Nếu có thể, hãy đánh giá giá trị của biểu thức theo cách thủ công.Để tìm log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), hãy tưởng tượng biểu thức " Một? = x (\displaystyle a^(?)=x)", tức là hãy đặt câu hỏi sau:" Bạn nên nâng sức mạnh lên mức nào Mộtđể có được x?. Để trả lời câu hỏi này có thể cần đến máy tính, nhưng nếu may mắn, bạn có thể tìm ra nó theo cách thủ công.
- Ví dụ 1 (tiếp): Viết lại dưới dạng 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Bạn cần tìm số nào sẽ thay thế cho dấu "?". Điều này có thể được thực hiện bằng cách thử và sai:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
  Vậy số cần tìm là 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
Để lại câu trả lời của bạn ở dạng logarit nếu bạn không thể đơn giản hóa nó. Nhiều logarit rất khó tính bằng tay. Trong trường hợp này, để có được câu trả lời chính xác, bạn sẽ cần một chiếc máy tính. Tuy nhiên, nếu bạn đang giải một bài toán trong lớp, rất có thể giáo viên sẽ hài lòng với câu trả lời ở dạng logarit. Phương pháp được thảo luận dưới đây được sử dụng để giải một ví dụ phức tạp hơn:
- ví dụ 2: thế nào là bằng log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- Hãy chuyển đổi biểu thức này thành một logarit: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Lưu ý rằng cơ số 3 chung của cả hai logarit đều biến mất; điều này đúng vì bất kỳ lý do gì.
- Hãy viết lại biểu thức dưới dạng 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) và hãy thử tìm giá trị?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
  Vì 58 nằm giữa hai số này nên nó không được biểu diễn dưới dạng số nguyên.
- Chúng tôi để lại câu trả lời ở dạng logarit: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

Hãy xem xét các ví dụ về phương trình logarit.

Ví dụ 1: Giải phương trình

Để giải quyết vấn đề này người ta sử dụng phương pháp thế năng. Các bất đẳng thức >0 và >0 sẽ xác định khoảng giá trị chấp nhận được của phương trình. Bất đẳng thức >0 đúng với mọi giá trị của x, vì 5x>0 chỉ đúng với các giá trị dương của x. Điều này có nghĩa là phương trình ODZ là một tập hợp các số từ 0 đến cộng vô cùng. Phương trình tương đương với một phương trình bậc hai. Căn nguyên của phương trình này là các số 2 và 3, vì tích của các số này bằng 6 và tổng của các số này bằng 5 - giá trị đối diện của hệ số b? Cả hai số này đều nằm trong khoảng, có nghĩa là chúng là nghiệm của phương trình này. Lưu ý rằng chúng ta đã giải phương trình này một cách dễ dàng.

Ví dụ 2: Giải phương trình

(logarit của biểu thức mười x trừ chín cơ số ba bằng logarit của x cơ số một phần ba)

Phương trình này khác với phương trình trước ở chỗ logarit có cơ số khác nhau. Và phương pháp được xem xét để giải phương trình không còn được sử dụng ở đây nữa, mặc dù bạn có thể tìm thấy phạm vi giá trị chấp nhận được và cố gắng giải phương trình bằng phương pháp đồ họa hàm. Bất đẳng thức >0 và x>0 xác định khoảng giá trị cho phép của phương trình, nghĩa là. Chúng ta hãy nhìn vào một minh họa đồ họa của phương trình này. Để làm điều này, chúng ta hãy xây dựng một biểu đồ từng điểm của hàm số và. Chúng ta chỉ có thể nói rằng phương trình này có một nghiệm duy nhất, nó dương và nằm trong khoảng từ 1 đến 2. Không thể đưa ra giá trị chính xác của nghiệm.

Tất nhiên, phương trình này không phải là phương trình duy nhất chứa logarit với các cơ số khác nhau. Những phương trình như vậy chỉ có thể được giải bằng cách chuyển sang cơ số logarit mới. Những khó khăn liên quan đến logarit của các cơ số khác nhau cũng có thể gặp phải trong các loại nhiệm vụ khác. Ví dụ: khi so sánh các số và.

Trợ thủ đắc lực trong việc giải quyết những vấn đề như vậy là định lý

Định lý: Nếu a,b,c là các số dương và a, c khác 1 thì đẳng thức đúng

Công thức này gọi là công thức chuyển về căn cứ mới)

Vì vậy, từ và nhiều hơn nữa. Vì theo công thức chuyển sang cơ sở mới thì bằng nhau

Chúng ta hãy chứng minh định lý về sự chuyển đổi sang cơ số mới của logarit.

Để chứng minh điều đó ta đưa vào ký hiệu = tôi, =N, =k(logarit của số BE cơ số a bằng em, logarit của số BE cơ số CE bằng en, logarit của số a cơ số CE bằng ka). định nghĩa logarit: số b là a lũy thừa m, số b là c lũy thừa n, số a là c lũy thừa k. Vì vậy, hãy thay thế giá trị của nó khi nâng một độ lên lũy thừa, số mũ của lũy thừa được nhân lên, ta được =, nhưng do đó =, nếu cơ số của bậc bằng nhau thì số mũ của bậc đã cho bằng nhau =. Vậy = ta quay lại phép thế ngược: (logarit của số BE cơ số a bằng tỉ số logarit của số BE với cơ số CE với logarit của số a cơ số CE)

Chúng ta hãy xem xét hai hệ quả tất yếu của định lý này.

Hậu quả đầu tiên. Giả sử trong định lý này chúng ta muốn đi tới cơ sở b. Sau đó

(logarit của số BE cơ số BE chia cho logarit của số a cơ số BE)

bằng một thì nó bằng

Điều này có nghĩa là nếu a và b là các số dương và khác 1 thì đẳng thức đúng

Hệ quả 2. Nếu a và b là các số dương và MỘT số không bằng một thì với bất kỳ số nào tôi, không bằng 0, đẳng thức đúng

logarit b dựa trên MỘT bằng logarit bở một mức độ nào đó tôi dựa trên Mộtở một mức độ nào đó tôi.

Hãy chứng minh đẳng thức này từ phải qua trái. Hãy chuyển từ biểu thức (logarit của số be lũy thừa em cơ số a lũy thừa em) sang logarit cơ số MỘT. Theo tính chất của logarit, số mũ của biểu thức logarit con có thể được dịch chuyển về phía trước - phía trước logarit. =1. Chúng tôi sẽ có được nó. (một phân số ở tử số em nhân với logarit của số be cơ số và mẫu số em) Số m không bằng 0 theo điều kiện, nghĩa là phân số thu được có thể giảm đi m. Chúng tôi sẽ có được nó. Q.E.D.

Điều này có nghĩa là để chuyển sang cơ số mới của logarit, ba công thức được sử dụng

Ví dụ 2: Giải phương trình

(logarit của biểu thức mười x trừ chín cơ số ba bằng logarit của x cơ số một phần ba)

Chúng tôi đã tìm thấy phạm vi giá trị có thể chấp nhận được cho phương trình này trước đó. Hãy đưa 3 về cơ số mới. Để làm điều này, hãy viết nó dưới dạng logarit. Tử số sẽ là logarit của x cơ số ba, mẫu số sẽ là logarit của một phần ba cơ số ba. bằng trừ một thì vế phải của phương trình sẽ bằng trừ

Hãy di chuyển nó sang bên trái của phương trình và viết nó dưới dạng: Theo tính chất, tổng logarit bằng logarit của tích, có nghĩa là (logarit của biểu thức mười x trừ chín cơ số ba cộng với logarit của x cơ số ba) có thể được viết là (logarit của tích). mười x trừ chín và x cơ số ba) Hãy thực hiện phép nhân và lấy các phần của phương trình

và ở bên phải chúng ta sẽ viết số 0 là, vì lũy thừa ba mũ 0 là một.

Sử dụng phương pháp thế năng chúng ta thu được phương trình bậc hai = 0. Theo tính chất của các hệ số a+b+c=0, nghiệm của phương trình bằng 1 và 0,1.

Nhưng chỉ có một gốc duy nhất trong miền định nghĩa. Đây là số một.

Ví dụ 3. Tính toán. (ba lũy thừa bốn nhân logarit của hai lũy thừa ba cộng logarit căn hai cơ số năm nhân logarit của hai mươi lăm cơ số bốn)

Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào sức mạnh của ba. Nếu lũy thừa được nhân lên thì hành động nâng lũy thừa lên lũy thừa được thực hiện, do đó lũy thừa của ba có thể được viết là lũy thừa của ba lũy thừa của bốn. Logarit của một tích có các cơ số khác nhau sẽ thuận tiện hơn khi rút logarit cơ số 4 về cơ số 5. Vì vậy, chúng ta hãy thay thế nó bằng một biểu thức giống hệt nó. Theo công thức chuyển đến căn cứ mới.

Theo đẳng thức logarit cơ bản (và lũy thừa thì logarit của số bes cơ số a bằng số bes)

thay vào đó chúng ta nhận được Trong biểu thức, chúng ta chọn bình phương của cơ số và biểu thức logarit phụ. Chúng tôi sẽ có được nó. Theo công thức chuyển sang cơ số mới ghi bên phải lời giải, ta được thay vì chỉ. Chúng ta viết căn bậc hai của hai là hai lũy thừa của một nửa và, theo tính chất của logarit, đặt số mũ trước logarit. Hãy lấy biểu thức. Do đó, biểu thức tính được sẽ có dạng...

Hơn nữa, đây là 16 và tích bằng 1, nghĩa là giá trị của biểu thức là 16,5.

Ví dụ 4. Tính nếu log2= Một,log3= b

Để tính toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit và các công thức chuyển sang cơ số mới.

Hãy tưởng tượng 18 là tích của sáu và ba. Logarit của tích bằng tổng của các thừa số logarit, nghĩa là bằng 1. Vì chúng ta biết logarit thập phân nên chúng ta chuyển từ logarit cơ số 6 sang logarit thập phân, chúng ta thu được một phân số trong tử số (logarit thập phân của 3) và mẫu số (logarit thập phân của 6). Trong trường hợp này, bạn đã có thể thay thế nó bằng b. Hãy phân tích sáu thành thừa số hai và ba. Chúng tôi viết sản phẩm kết quả dưới dạng tổng logarit lg2 và lg 3. Thay thế chúng bằng a và b tương ứng. Biểu thức sẽ có dạng: . Nếu biểu thức này được chuyển thành phân số bằng cách rút gọn về mẫu số chung thì câu trả lời sẽ là

Để hoàn thành tốt các công việc liên quan đến việc chuyển sang cơ số logarit mới, bạn cần biết các công thức chuyển sang cơ số logarit mới

, trong đó a,b,c là các số dương, Một, c
, trong đó a, b là các số dương, Một, b
, trong đó a,b là các số dương Một, tôi

Họ làm theo định nghĩa của nó. Và logarit của số b dựa trên MỘTđược định nghĩa là số mũ mà một số phải được nâng lên Mộtđể có được số b(logarit chỉ tồn tại với số dương).

Từ công thức này suy ra rằng việc tính toán x=log a b, tương đương với việc giải phương trình a x = b. Ví dụ, log 2 8 = 3 bởi vì 8 = 2 3 . Công thức logarit có thể chứng minh rằng nếu b=a c, thì logarit của số b dựa trên Một bằng Với. Cũng rõ ràng là chủ đề logarit có liên quan chặt chẽ đến chủ đề lũy thừa của một số.

Với logarit, cũng như với bất kỳ số nào, bạn có thể làm các phép tính cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách có thể. Nhưng do logarit không hoàn toàn là những con số thông thường nên các quy tắc đặc biệt riêng của chúng được áp dụng ở đây, được gọi là thuộc tính chính.

Cộng và trừ logarit.

Hãy lấy hai logarit có cùng cơ số: ghi lại x Và đăng nhập một y. Sau đó có thể thực hiện các phép tính cộng và trừ:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

đăng nhập một(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = ghi lại x 1 + ghi lại x 2 + ghi lại x 3 + ... + log a x k.

Từ định lý logarit thương có thể thu được thêm một tính chất của logarit. Người ta biết rằng nhật ký Một 1= 0, do đó

nhật ký Một 1 /b= nhật ký Một 1 - nhật ký một b= -log một b.

Điều này có nghĩa là có sự bình đẳng:

log a 1 / b = - log a b.

Logarit của hai số nghịch đảo vì lý do tương tự sẽ chỉ khác nhau ở dấu hiệu. Vì thế:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.

Cộng và trừ logarit

Các tính chất cơ bản của logarit

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách. Nhưng vì logarit không hẳn là số bình thường nên ở đây có những quy tắc được gọi là thuộc tính chính.

Bạn chắc chắn cần phải biết những quy tắc này - nếu không có chúng thì không một vấn đề logarit nghiêm trọng nào có thể được giải quyết. Ngoài ra, có rất ít trong số đó - bạn có thể học mọi thứ trong một ngày. Vì vậy, hãy bắt đầu.

Xét hai logarit có cùng cơ số: log một x và đăng nhập à ừ. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

1. log a x + log a y = log a (x y);

2. log a x − log a y = log a (x: y).

Vì vậy, tổng logarit bằng logarit của tích và hiệu bằng logarit của thương. Xin lưu ý: điểm mấu chốt ở đây là căn cứ giống hệt nhau. Nếu các lý do khác nhau, các quy tắc này không có tác dụng!

Những công thức này sẽ giúp bạn tính biểu thức logarit ngay cả khi các phần riêng lẻ của nó không được xem xét (xem bài học “Logarit là gì”). Hãy xem các ví dụ và thấy:

Tìm ý nghĩa của biểu thức: log 6 4 + log 6 9.

Vì logarit có cùng cơ số nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tìm ý nghĩa của biểu thức: log 2 48 − log 2 3.

Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tìm ý nghĩa của biểu thức: log 3 135 − log 3 5.

Một lần nữa các cơ sở đều giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ logarit “xấu”, không được tính riêng. Nhưng sau khi biến đổi, thu được những con số hoàn toàn bình thường. Nhiều bài kiểm tra dựa trên thực tế này. Có, các biểu thức giống như bài kiểm tra được đưa ra một cách nghiêm túc (đôi khi hầu như không có thay đổi) trong Kỳ thi Thống nhất Bang.

Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút. Điều gì sẽ xảy ra nếu cơ số hoặc đối số của logarit là lũy thừa? Khi đó số mũ của bậc này có thể được lấy ra khỏi dấu logarit theo các quy tắc sau:

1. nhật ký một x n = N nhật ký một x;

Dễ dàng thấy rằng quy tắc cuối cùng tuân theo hai quy tắc đầu tiên. Nhưng dù sao thì tốt hơn hết bạn nên nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ làm giảm đáng kể số lượng phép tính.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu tuân thủ ODZ của logarit: Một > 0, Một ≠ 1, x> 0. Và một điều nữa: học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại, tức là. Bạn có thể nhập các số trước dấu logarit vào chính logarit. Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Tìm ý nghĩa của biểu thức: nhật ký 7 49 6 .

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số bằng công thức đầu tiên:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số chứa logarit, cơ số và đối số của nó là lũy thừa chính xác: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Chúng tôi có:

Tôi nghĩ ví dụ cuối cùng cần làm rõ một chút. Logarit đã đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Chúng tôi đã trình bày cơ sở và lập luận của logarit đứng ở dạng lũy thừa và loại bỏ số mũ - chúng tôi nhận được phân số “ba tầng”.