Làm thế nào để tìm tổng của một ví dụ cấp số cộng. Cấp số cộng – dãy số

Các vấn đề về cấp số cộng đã tồn tại từ thời cổ đại. Họ xuất hiện và yêu cầu một giải pháp vì họ có nhu cầu thực tế.

Vì vậy, một trong những giấy cói của Ai Cập cổ đại, có nội dung toán học, giấy cói Rhind (thế kỷ 19 trước Công nguyên), có nội dung sau: chia mười thước bánh mì cho mười người, với điều kiện chênh lệch giữa mỗi người là một phần tám của thước đo.”

Và trong các công trình toán học của người Hy Lạp cổ có những định lý tao nhã liên quan đến cấp số cộng. Vì vậy, Hypsicles của Alexandria (thế kỷ thứ 2, người đã biên soạn nhiều bài toán thú vị và bổ sung cuốn thứ mười bốn vào bộ Cơ sở của Euclid), đã đưa ra ý tưởng: “Trong một cấp số cộng có số số chẵn, tổng các số hạng của nửa sau lớn hơn tổng các số hạng của số hạng thứ nhất trên 1/2 số thành viên."

Trình tự được ký hiệu là an. Các số của một dãy được gọi là các thành viên của nó và thường được ký hiệu bằng các chữ cái có chỉ số cho biết số sê-ri của thành viên này (a1, a2, a3 ... đọc: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” vân vân).

Chuỗi có thể là vô hạn hoặc hữu hạn.

Một cấp số cộng là gì? Bằng cách này, chúng tôi muốn nói đến số thu được bằng cách cộng số hạng trước (n) với cùng số d, đó là sự khác biệt của cấp số nhân.

Nếu d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 thì tiến trình này được coi là tăng dần.

Một cấp số cộng được gọi là hữu hạn nếu chỉ tính đến một vài số hạng đầu tiên của nó. Với số lượng thành viên rất lớn, đây đã là một sự phát triển không ngừng.

Bất kỳ cấp số cộng nào cũng được xác định theo công thức sau:

an =kn+b, trong khi b và k là một số số.

Mệnh đề ngược lại hoàn toàn đúng: nếu một dãy được cho bởi một công thức tương tự, thì đó chính xác là một cấp số cộng có các tính chất:

  1. Mỗi số hạng của cấp số cộng là trung bình số học của số hạng trước và số hạng tiếp theo.
  2. Đảo ngược: nếu, bắt đầu từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng là trung bình số học của số hạng trước và số hạng tiếp theo, tức là. nếu điều kiện được đáp ứng thì chuỗi này là một cấp số cộng. Sự bình đẳng này đồng thời là dấu hiệu của sự tiến triển nên thường được gọi là tính chất đặc trưng của sự tiến triển.
    Theo cách tương tự, định lý phản ánh tính chất này là đúng: một dãy chỉ là một cấp số cộng nếu đẳng thức này đúng với bất kỳ số hạng nào của dãy, bắt đầu từ số hạng thứ 2.

Tính chất đặc trưng của bốn số bất kỳ của một cấp số cộng có thể được biểu diễn bằng công thức an + am = ak + al, nếu n + m = k + l (m, n, k là các số cấp số cộng).

Trong một cấp số cộng, bất kỳ số hạng (thứ N) cần thiết nào cũng có thể được tìm thấy bằng công thức sau:

Ví dụ: số hạng đầu tiên (a1) trong cấp số cộng đã cho và bằng 3, và hiệu (d) bằng 4. Bạn cần tìm số hạng thứ 45 của cấp số này. a45 = 1+4(45-1)=177

Công thức an = ak + d(n - k) cho phép bạn xác định số hạng thứ n của một cấp số cộng thông qua bất kỳ số hạng thứ k nào của nó, với điều kiện là nó đã biết.

Tổng các số hạng của một cấp số cộng (nghĩa là n số hạng đầu tiên của một cấp số hữu hạn) được tính như sau:

Sn = (a1+an) n/2.

Nếu số hạng thứ 1 cũng đã biết thì sẽ có một công thức khác thuận tiện cho việc tính toán:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Tổng của một cấp số cộng chứa n số hạng được tính như sau:

Việc lựa chọn công thức tính toán phụ thuộc vào điều kiện của bài toán và dữ liệu ban đầu.

Chuỗi tự nhiên của bất kỳ số nào, chẳng hạn như 1,2,3,...,n,..., là ví dụ đơn giản nhất về cấp số cộng.

Ngoài cấp số cộng, còn có cấp số nhân, có những tính chất và đặc điểm riêng.

Cấp số cộng và hình học

Thông tin lý thuyết

Thông tin lý thuyết

Cấp số cộng

Tiến trình hình học

Sự định nghĩa

Cấp số cộng MỘT là một dãy trong đó mỗi phần tử, bắt đầu từ phần tử thứ hai, bằng phần tử trước đó được cộng vào cùng một số d (d- sự khác biệt về tiến triển)

Tiến trình hình học b n là một dãy các số khác 0, mỗi số hạng của nó bắt đầu từ số thứ hai bằng số hạng trước đó nhân với cùng một số q (q- mẫu số của sự tiến triển)

Công thức lặp lại

Đối với bất kỳ tự nhiên N
một n + 1 = một n + d

Đối với bất kỳ tự nhiên N
b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0

Công thức số hạng thứ n

một n = a 1 + d (n – 1)

b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Đặc tính đặc trưng
Tổng của n số hạng đầu tiên

Ví dụ về nhiệm vụ có nhận xét

Nhiệm vụ 1

Trong cấp số cộng ( MỘT) một 1 = -6, một 2

Theo công thức số hạng thứ n:

số 22 = một 1+ d (22 - 1) = một 1+ 21 ngày

Theo điều kiện:

một 1= -6 thì số 22= -6 + 21d.

Cần tìm sự khác biệt của tiến trình:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

số 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Trả lời : số 22 = -48.

Nhiệm vụ 2

Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân: -3; 6;....

Phương pháp thứ nhất (sử dụng công thức số hạng n)

Theo công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Bởi vì b 1 = -3,

Cách 2 (dùng công thức truy hồi)

Vì mẫu số của cấp số cộng là -2 (q = -2), nên:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Trả lời : b 5 = -48.

Nhiệm vụ 3

Trong cấp số cộng ( a n ) a 74 = 34; một 76= 156. Tìm số hạng thứ bảy mươi lăm của cấp số này.

Đối với một cấp số cộng, tính chất đặc trưng có dạng .

Từ đó suy ra:

.

Hãy thay thế dữ liệu vào công thức:

Trả lời: 95.

Nhiệm vụ 4

Trong cấp số cộng ( một n ) một n= 3n - 4. Tìm tổng của mười bảy số hạng đầu tiên.

Để tìm tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, hai công thức được sử dụng:

.

Cái nào thuận tiện hơn để sử dụng trong trường hợp này?

Theo điều kiện, công thức cho số hạng thứ n của cấp số ban đầu đã biết ( MỘT) MỘT= 3n - 4. Tìm được ngay và một 1, Và số 16 mà không tìm thấy d. Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng công thức đầu tiên.

Đáp án: 368.

Nhiệm vụ 5

Trong cấp số cộng ( MỘT) một 1 = -6; một 2= -8. Tìm số hạng thứ hai mươi hai của cấp số nhân.

Theo công thức số hạng thứ n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = một 1+ 21đ.

Theo điều kiện, nếu một 1= -6 thì số 22= -6 + 21d . Cần tìm sự khác biệt của tiến trình:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

số 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Trả lời : số 22 = -48.

Nhiệm vụ 6

Một số số hạng liên tiếp của cấp số nhân được viết:

Tìm số hạng của cấp số biểu thị bằng x.

Khi giải ta sẽ sử dụng công thức tính số hạng thứ n b n = b 1 ∙ q n - 1 cho sự tiến triển hình học. Thuật ngữ đầu tiên của sự tiến triển. Để tìm mẫu số của cấp số q, bạn cần lấy bất kỳ số hạng nào của cấp số đã cho rồi chia cho số hạng trước đó. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi có thể lấy và chia cho. Chúng ta thu được q = 3. Thay vì n, chúng ta thay 3 vào công thức, vì cần phải tìm số hạng thứ ba của một cấp số nhân cho trước.

Thay thế các giá trị tìm thấy vào công thức, chúng ta nhận được:

.

Trả lời : .

Nhiệm vụ 7

Từ các cấp số cộng được cho bởi công thức của số hạng thứ n, hãy chọn số hạng thỏa mãn điều kiện một 27 > 9:

Vì điều kiện đã cho phải được thỏa mãn đối với số hạng thứ 27 của cấp số nhân, nên chúng ta thay thế 27 thay cho n trong mỗi cấp số trong bốn cấp số nhân. Ở cấp độ thứ 4, chúng ta nhận được:

.

Trả lời: 4.

Nhiệm vụ 8

Trong tiến trình số học một 1= 3, d = -1,5. Xác định giá trị lớn nhất của n mà bất đẳng thức đúng MỘT > -6.

Cấp độ đầu vào

Tiến trình số học. Lý thuyết chi tiết kèm ví dụ (2019)

Dãy số

Vì vậy, hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:
Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích (trong trường hợp của chúng tôi là có số đó). Cho dù chúng ta viết bao nhiêu số, chúng ta luôn có thể nói số nào là số đầu tiên, số nào là số hai, v.v. cho đến số cuối cùng, tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về dãy số:

Dãy số
Ví dụ: đối với trình tự của chúng tôi:

Số được gán chỉ dành riêng cho một số trong dãy. Nói cách khác, không có số thứ ba trong dãy. Số thứ hai (như số thứ) luôn giống nhau.
Số kèm theo số gọi là số hạng thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của thành viên này: .

Trong trường hợp của chúng tôi:

Giả sử chúng ta có một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Ví dụ:

vân vân.
Dãy số này được gọi là cấp số cộng.
Thuật ngữ "tiến trình" được tác giả La Mã Boethius giới thiệu vào thế kỷ thứ 6 và được hiểu theo nghĩa rộng hơn là một dãy số vô hạn. Cái tên "số học" được chuyển từ lý thuyết về tỷ lệ liên tục được người Hy Lạp cổ đại nghiên cứu.

Đây là một dãy số, mỗi phần tử của nó bằng dãy số trước đó được cộng vào cùng một số. Con số này được gọi là hiệu của cấp số cộng và được chỉ định.

Cố gắng xác định dãy số nào là cấp số cộng và dãy số nào không:

Một)
b)
c)
d)

Hiểu rồi? Hãy so sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là cấp số cộng - b, c.
không phải là cấp số cộng - a, d.

Chúng ta hãy quay lại tiến trình đã cho () và cố gắng tìm giá trị của số hạng thứ của nó. tồn tại hai cách để tìm thấy nó.

1. Phương pháp

Chúng ta có thể cộng số cấp số vào giá trị trước đó cho đến khi đạt đến số hạng thứ của cấp số nhân. Thật tốt khi chúng ta không có nhiều điều để tóm tắt - chỉ có ba giá trị:

Vì vậy, số hạng thứ của cấp số cộng được mô tả bằng.

2. Phương pháp

Điều gì xảy ra nếu chúng ta cần tìm giá trị của số hạng thứ của cấp số nhân? Việc tính tổng sẽ khiến chúng ta mất hơn một giờ và thực tế là chúng ta sẽ không mắc lỗi khi cộng các số.
Tất nhiên, các nhà toán học đã nghĩ ra một cách mà không cần thiết phải cộng hiệu của một cấp số cộng với giá trị trước đó. Hãy nhìn kỹ hơn vào bức tranh được vẽ... Chắc chắn bạn đã nhận thấy một khuôn mẫu nào đó, cụ thể là:

Ví dụ: hãy xem giá trị của số hạng thứ của cấp số cộng này bao gồm những gì:


Nói cách khác:

Hãy thử tự mình tìm giá trị của một phần tử của một cấp số cộng nhất định theo cách này.

Bạn đã tính toán chưa? So sánh ghi chú của bạn với câu trả lời:

Xin lưu ý rằng bạn nhận được số chính xác giống như trong phương pháp trước, khi chúng tôi thêm tuần tự các số hạng của cấp số cộng vào giá trị trước đó.
Hãy thử “phi cá nhân hóa” công thức này - hãy đặt nó ở dạng tổng quát và nhận được:

Phương trình cấp tiến số học.

Cấp số cộng có thể tăng hoặc giảm.

Tăng dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Giảm dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Công thức dẫn xuất được sử dụng để tính các số hạng theo cả số hạng tăng và giảm của cấp số cộng.
Hãy kiểm tra điều này trong thực tế.
Chúng ta được cho một cấp số cộng bao gồm các số sau: Hãy kiểm tra xem số thứ của cấp số cộng này sẽ là bao nhiêu nếu chúng ta sử dụng công thức của mình để tính nó:


Kể từ đó:

Vì vậy, chúng tôi tin rằng công thức hoạt động theo cả cấp số cộng giảm và tăng.
Hãy cố gắng tự tìm số hạng thứ và thứ của cấp số cộng này.

Hãy so sánh kết quả:

Thuộc tính cấp số cộng

Hãy phức tạp hóa vấn đề - chúng ta sẽ rút ra tính chất của cấp số cộng.
Giả sử chúng ta được đưa ra điều kiện sau:
- lũy tiến số học, tìm giá trị.
Dễ thôi, bạn nói và bắt đầu đếm theo công thức bạn đã biết:

À, vậy thì:

Hoàn toàn đúng. Hóa ra trước tiên chúng ta tìm, sau đó cộng nó vào số đầu tiên và có được thứ chúng ta đang tìm. Nếu cấp số được biểu thị bằng các giá trị nhỏ thì không có gì phức tạp, nhưng nếu chúng ta được cho các số trong điều kiện thì sao? Đồng ý, có khả năng xảy ra sai sót trong tính toán.
Bây giờ hãy nghĩ xem liệu có thể giải quyết vấn đề này trong một bước bằng cách sử dụng bất kỳ công thức nào không? Tất nhiên là có, và đó là những gì chúng tôi sẽ cố gắng đưa ra ngay bây giờ.

Chúng ta hãy biểu thị số hạng cần thiết của cấp số cộng vì chúng ta đã biết công thức tìm nó - đây chính là công thức mà chúng ta đã rút ra lúc đầu:
, Sau đó:

  • số hạng trước đó của tiến trình là:
  • Số hạng tiếp theo của tiến trình là:

Hãy tổng hợp các điều khoản trước và sau của tiến trình:

Hóa ra tổng của các số hạng trước và sau của cấp số nhân là giá trị kép của số hạng cấp số nằm giữa chúng. Nói cách khác, để tìm giá trị của một số hạng lũy ​​tiến với các giá trị liền trước và các giá trị kế tiếp đã biết, bạn cần cộng chúng lại và chia cho.

Đúng vậy, chúng ta có cùng số. Hãy bảo đảm vật liệu. Tự mình tính toán giá trị cho sự tiến triển, nó không khó chút nào.

Làm tốt! Bạn biết hầu hết mọi thứ về sự tiến triển! Vẫn còn phải tìm ra một công thức mà theo truyền thuyết, đã dễ dàng được suy ra bởi một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, “vua của các nhà toán học” - Karl Gauss...

Khi Carl Gauss 9 tuổi, một giáo viên đang bận kiểm tra bài làm của học sinh các lớp khác đã hỏi bài tập sau trong lớp: “Tính tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến (theo các nguồn khác đến) bao gồm hết”. Hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của giáo viên khi một phút sau một trong những học sinh của ông (đây là Karl Gauss) đã đưa ra câu trả lời đúng cho bài tập, trong khi hầu hết các bạn cùng lớp của kẻ liều mạng sau khi tính toán lâu dài đều nhận được kết quả sai...

Carl Gauss thời trẻ đã nhận thấy một khuôn mẫu nhất định mà bạn cũng có thể dễ dàng nhận thấy.
Giả sử chúng ta có một cấp số cộng bao gồm các số hạng -th: Chúng ta cần tìm tổng các số hạng này của cấp số cộng. Tất nhiên, chúng ta có thể tính tổng tất cả các giá trị theo cách thủ công, nhưng nếu nhiệm vụ yêu cầu tìm tổng các số hạng của nó, như Gauss đang tìm kiếm thì sao?

Hãy để chúng tôi mô tả sự tiến triển được đưa ra cho chúng tôi. Hãy xem kỹ các con số được đánh dấu và thử thực hiện các phép toán khác nhau với chúng.


Bạn đã thử nó chưa? Bạn đã nhận thấy điều gì? Phải! Tổng của chúng bằng nhau


Bây giờ hãy cho tôi biết, có tổng cộng bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình đưa ra cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa số đó.
Dựa trên thực tế là tổng của hai số hạng của một cấp số cộng bằng nhau và các cặp tương tự bằng nhau, chúng ta thu được tổng bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Trong một số bài toán, chúng ta không biết số hạng thứ nhưng chúng ta biết sự khác biệt của cấp số nhân. Hãy thử thay công thức của số hạng thứ vào công thức tính tổng.
Bạn đã nhận được gì?

Làm tốt! Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán đã đặt ra cho Carl Gauss: hãy tự tính xem tổng các số bắt đầu từ số th bằng bao nhiêu và tổng các số bắt đầu từ số th bằng bao nhiêu.

Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss nhận thấy rằng tổng các số hạng bằng nhau và tổng các số hạng bằng nhau. Đó là điều bạn quyết định à?

Trên thực tế, công thức tính tổng các số hạng của một cấp số cộng đã được nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Diophantus chứng minh vào thế kỷ thứ 3, và trong suốt thời gian này, những người hóm hỉnh đã tận dụng triệt để các tính chất của cấp số cộng.
Ví dụ, hãy tưởng tượng Ai Cập cổ đại và dự án xây dựng lớn nhất vào thời điểm đó - việc xây dựng một kim tự tháp... Bức tranh thể hiện một mặt của nó.

Bạn nói sự tiến triển ở đây là ở đâu? Hãy quan sát cẩn thận và tìm ra mẫu số lượng khối cát ở mỗi hàng của bức tường kim tự tháp.


Tại sao không phải là một cấp số cộng? Tính xem cần bao nhiêu khối để xây một bức tường nếu gạch khối được đặt ở chân đế. Tôi hy vọng bạn sẽ không đếm khi di chuyển ngón tay trên màn hình, bạn có nhớ công thức cuối cùng và mọi điều chúng ta đã nói về cấp số cộng không?

Trong trường hợp này, tiến trình trông như thế này: .
Sự khác biệt cấp tiến số học.
Số số hạng của một cấp số cộng.
Hãy thay thế dữ liệu của chúng tôi vào các công thức cuối cùng (tính số khối theo 2 cách).

Phương pháp 1.

Phương pháp 2.

Và bây giờ bạn có thể tính toán trên màn hình: so sánh các giá trị thu được với số khối có trong kim tự tháp của chúng ta. Hiểu rồi? Làm tốt lắm, bạn đã nắm vững tổng các số hạng thứ n của một cấp số cộng.
Tất nhiên, bạn không thể xây dựng một kim tự tháp từ các khối ở chân đế, nhưng từ? Hãy thử tính xem cần bao nhiêu viên gạch cát để xây một bức tường với điều kiện này.
Bạn đã quản lý được chưa?
Câu trả lời đúng là khối:

Đào tạo

Nhiệm vụ:

  1. Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần squat lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong một tuần nếu cô ấy tập squat trong buổi tập đầu tiên?
  2. Tổng của tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu?
  3. Khi lưu trữ nhật ký, trình ghi nhật ký sẽ xếp chúng theo cách sao cho mỗi lớp trên cùng chứa ít hơn một nhật ký so với lớp trước. Có bao nhiêu khúc gỗ trong một khối xây, nếu nền của khối xây là khúc gỗ?

Câu trả lời:

  1. Hãy xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
    (tuần = ngày).

    Trả lời: Trong hai tuần, Masha nên tập squat mỗi ngày một lần.

  2. Số lẻ đầu tiên, số cuối cùng.
    Sự khác biệt cấp tiến số học.
    Tuy nhiên, số lượng số lẻ trong đó là một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm số hạng thứ của một cấp số cộng:

    Số có chứa số lẻ.
    Hãy thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:

    Trả lời: Tổng của tất cả các số lẻ chứa trong đó bằng nhau.

  3. Chúng ta hãy nhớ lại vấn đề về kim tự tháp. Đối với trường hợp của chúng tôi, a , vì mỗi lớp trên cùng bị giảm đi một bản ghi, nên tổng cộng có một loạt các lớp.
    Hãy thay thế dữ liệu vào công thức:

    Trả lời: Có những khúc gỗ trong khối xây.

Hãy tóm tắt lại

  1. - một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề bằng nhau và bằng nhau. Nó có thể tăng hoặc giảm.
  2. Tìm công thức Số hạng thứ của một cấp số cộng được viết theo công thức - , trong đó là số lượng các số trong cấp số cộng.
  3. Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng- - số lượng các số đang tiến triển ở đâu.
  4. Tổng các số hạng của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:

    , số lượng giá trị ở đâu.

TIẾN BỘ SỐ HỌC. CẤP TRUNG CẤP

Dãy số

Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích. Nhưng chúng ta luôn có thể nói cái nào là thứ nhất, cái nào là thứ hai, v.v., tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về một dãy số.

Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Nói cách khác, mỗi số có thể được liên kết với một số tự nhiên nhất định và một số duy nhất. Và chúng ta sẽ không gán số này cho bất kỳ số nào khác trong bộ này.

Số có số được gọi là thành viên thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của thành viên này: .

Sẽ rất thuận tiện nếu số hạng thứ của dãy có thể được xác định bằng một công thức nào đó. Ví dụ, công thức

đặt trình tự:

Và công thức là trình tự sau:

Ví dụ: một cấp số cộng là một dãy (số hạng đầu tiên ở đây bằng nhau và hiệu là). Hoặc (, sự khác biệt).

công thức số hạng thứ n

Chúng tôi gọi một công thức là hồi quy, trong đó, để tìm ra số hạng thứ, bạn cần biết số hạng trước đó hoặc một số số hạng trước đó:

Ví dụ, để tìm số hạng thứ của cấp số sử dụng công thức này, chúng ta sẽ phải tính số hạng trước đó. Ví dụ, hãy để nó. Sau đó:

Chà, bây giờ bạn đã rõ công thức là gì chưa?

Trong mỗi dòng chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Cái nào? Rất đơn giản: đây là số thành viên hiện tại trừ đi:

Bây giờ thuận tiện hơn nhiều phải không? Chúng tôi kiểm tra:

Hãy tự mình quyết định:

Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ một trăm.

Giải pháp:

Số hạng đầu tiên bằng nhau. Sự khác biệt là gì? Đây là những gì:

(Đây là lý do tại sao nó được gọi là hiệu vì nó bằng hiệu của các số hạng liên tiếp của cấp số).

Vì vậy, công thức:

Khi đó số hạng thứ trăm bằng:

Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là bao nhiêu?

Theo truyền thuyết, nhà toán học vĩ đại Carl Gauss khi còn là cậu bé 9 tuổi đã tính được số tiền này trong vài phút. Ông nhận thấy rằng tổng của số đầu tiên và số cuối cùng bằng nhau, tổng của số thứ hai và số áp chót bằng nhau, tổng của số thứ ba và số thứ 3 tính từ cuối bằng nhau, v.v. Tổng cộng có bao nhiêu cặp như vậy? Đúng vậy, chính xác là một nửa số lượng của tất cả các số. Vì thế,

Công thức chung tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả các bội số có hai chữ số.

Giải pháp:

Con số đầu tiên như vậy là con số này. Mỗi số tiếp theo có được bằng cách thêm vào số trước đó. Vì vậy, những con số chúng ta quan tâm tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên và hiệu.

Công thức của số hạng thứ cho tiến trình này:

Có bao nhiêu số hạng trong dãy số nếu tất cả chúng đều phải có hai chữ số?

Rất dễ dàng: .

Số hạng cuối cùng của quá trình tiến triển sẽ bằng nhau. Khi đó tổng:

Trả lời: .

Bây giờ hãy tự quyết định:

  1. Mỗi ngày vận động viên chạy được nhiều mét hơn ngày hôm trước. Anh ấy sẽ chạy tổng cộng bao nhiêu km trong một tuần nếu vào ngày đầu tiên anh ấy chạy km m?
  2. Một người đi xe đạp mỗi ngày đi được nhiều km hơn ngày hôm trước. Ngày đầu tiên anh ấy đi được km. Anh ta cần phải đi bao nhiêu ngày để đi được một km? Anh ta sẽ đi được bao nhiêu km trong ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
  3. Giá tủ lạnh ở cửa hàng mỗi năm đều giảm một lượng như nhau. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được rao bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.

Câu trả lời:

  1. Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của tiến trình này:
    .
    Trả lời:
  2. Ở đây nó được đưa ra: , phải được tìm thấy.
    Rõ ràng, bạn cần sử dụng công thức tính tổng tương tự như trong bài toán trước:
    .
    Thay thế các giá trị:

    Root rõ ràng là không phù hợp nên câu trả lời là.
    Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày cuối cùng bằng công thức của số hạng thứ:
    (km).
    Trả lời:

  3. Được cho: . Tìm thấy: .
    Nó không thể đơn giản hơn:
    (chà xát).
    Trả lời:

TIẾN BỘ SỐ HỌC. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Đây là một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.

Cấp số cộng có thể tăng () và giảm ().

Ví dụ:

Công thức tìm số hạng thứ n của cấp số cộng

được viết theo công thức, ở đâu là số cấp số nhân.

Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng

Nó cho phép bạn dễ dàng tìm thấy một số hạng của một cấp số nếu đã biết các số hạng lân cận của nó - số lượng các số trong cấp số đó ở đâu.

Tổng các số hạng của một cấp số cộng

Có hai cách để tìm số tiền:

Số lượng giá trị ở đâu.

Số lượng giá trị ở đâu.


Ví dụ: dãy \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... là một cấp số cộng, bởi vì mỗi phần tử tiếp theo khác với phần tử trước đó ba (có thể thu được từ phần tử trước bằng cách thêm ba):

Trong tiến trình này, hiệu \(d\) là dương (bằng \(3\)) và do đó mỗi số hạng tiếp theo sẽ lớn hơn số hạng trước. Những tiến triển như vậy được gọi là tăng dần.

Tuy nhiên, \(d\) cũng có thể là số âm. Ví dụ, theo cấp số cộng \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... chênh lệch lũy tiến \(d\) bằng âm sáu.

Và trong trường hợp này, mỗi phần tử tiếp theo sẽ nhỏ hơn phần tử trước đó. Những tiến triển này được gọi là giảm dần.

Ký hiệu cấp số cộng

Sự tiến triển được biểu thị bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Các số tạo thành một cấp số được gọi là thành viên(hoặc phần tử).

Chúng được biểu thị bằng cùng một chữ cái như một cấp số cộng, nhưng có chỉ số bằng số của phần tử theo thứ tự.

Ví dụ: cấp số cộng \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) bao gồm các phần tử \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) v.v.

Nói cách khác, đối với cấp số cộng \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Giải các bài toán cấp số cộng

Về nguyên tắc, thông tin được trình bày ở trên đã đủ để giải quyết hầu hết mọi vấn đề về cấp số cộng (bao gồm cả những vấn đề được cung cấp tại OGE).

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện \(b_1=7; d=4\). Tìm \(b_5\).
Giải pháp:

Trả lời: \(b_5=23\)

Ví dụ (OGE). Ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng đã cho: \(62; 49; 36…\) Tìm giá trị của số hạng âm đầu tiên của cấp số cộng này..
Giải pháp:

Chúng ta được cho các phần tử đầu tiên của dãy và biết rằng đó là một cấp số cộng. Nghĩa là, mỗi phần tử khác với phần tử lân cận của nó cùng một số. Chúng ta hãy tìm ra cái nào bằng cách trừ phần tử trước khỏi phần tử tiếp theo: \(d=49-62=-13\).

Bây giờ chúng ta có thể khôi phục tiến trình của mình về phần tử (phủ định đầu tiên) mà chúng ta cần.

Sẵn sàng. Bạn có thể viết một câu trả lời.

Trả lời: \(-3\)

Ví dụ (OGE). Cho một số phần tử liên tiếp của một cấp số cộng: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tìm giá trị của phần tử được chỉ định bởi chữ cái \(x\).
Giải pháp:


Để tìm \(x\), chúng ta cần biết phần tử tiếp theo khác phần tử trước đó bao nhiêu, hay nói cách khác là sự khác biệt cấp số nhân. Hãy tìm nó từ hai phần tử lân cận đã biết: \(d=12.5-10=2.5\).

Và bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy những gì chúng ta đang tìm kiếm: \(x=5+2.5=7.5\).


Sẵn sàng. Bạn có thể viết một câu trả lời.

Trả lời: \(7,5\).

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện sau: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tìm tổng của sáu số hạng đầu tiên của cấp số này.
Giải pháp:

Chúng ta cần tìm tổng của sáu số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Nhưng chúng ta không biết ý nghĩa của chúng; chúng ta chỉ được cung cấp yếu tố đầu tiên. Do đó, trước tiên chúng tôi tính toán từng giá trị một, sử dụng những gì được cung cấp cho chúng tôi:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Và sau khi tính toán sáu phần tử chúng ta cần, chúng ta tìm được tổng của chúng.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Số tiền cần thiết đã được tìm thấy.

Trả lời: \(S_6=9\).

Ví dụ (OGE). Trong cấp số cộng \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Tìm sự khác biệt của sự tiến triển này.
Giải pháp:

Trả lời: \(d=7\).

Các công thức quan trọng của cấp số cộng

Như bạn có thể thấy, nhiều vấn đề về cấp số cộng có thể được giải quyết đơn giản bằng cách hiểu điều chính - rằng cấp số cộng là một chuỗi số và mỗi phần tử tiếp theo trong chuỗi này thu được bằng cách cộng cùng một số với số trước đó ( sự khác biệt của sự tiến triển).

Tuy nhiên, đôi khi có những tình huống quyết định “trực diện” lại rất bất tiện. Ví dụ, hãy tưởng tượng rằng trong ví dụ đầu tiên, chúng ta không cần tìm phần tử thứ năm \(b_5\), mà là phần tử thứ ba trăm tám mươi sáu \(b_(386)\). Chúng ta có cần thêm bốn \(385\) lần không? Hoặc hãy tưởng tượng rằng trong ví dụ áp chót, bạn cần tìm tổng của 73 phần tử đầu tiên. Bạn sẽ mệt mỏi khi đếm...

Vì vậy, trong những trường hợp như vậy, họ không giải quyết mọi việc một cách “trực tiếp” mà sử dụng các công thức đặc biệt rút ra từ cấp số cộng. Và những cái chính là công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên.

Công thức của số hạng thứ \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), trong đó \(a_1\) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân;
\(n\) – số phần tử được yêu cầu;
\(a_n\) – số hạng của cấp số nhân \(n\).


Công thức này cho phép chúng ta nhanh chóng tìm thấy ngay cả phần tử thứ ba trăm hoặc phần triệu, chỉ biết phần tử đầu tiên và sự khác biệt của cấp số nhân.

Ví dụ. Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Tìm \(b_(246)\).
Giải pháp:

Trả lời: \(b_(246)=1850\).

Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), trong đó



\(a_n\) – số hạng tổng hợp cuối cùng;


Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện \(a_n=3.4n-0.6\). Tìm tổng các số hạng \(25\) đầu tiên của cấp số này.
Giải pháp:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Để tính tổng của 25 số hạng đầu tiên, chúng ta cần biết giá trị của số hạng thứ nhất và 25 số hạng.
Sự tiến triển của chúng tôi được đưa ra bởi công thức của số hạng thứ n tùy thuộc vào số của nó (để biết thêm chi tiết, xem). Hãy tính phần tử đầu tiên bằng cách thay thế một phần tử cho \(n\).

\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)

Bây giờ chúng ta hãy tìm số hạng thứ 25 bằng cách thay thế 25 thay vì \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)

Chà, bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tính toán số tiền cần thiết.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Câu trả lời đã sẵn sàng.

Trả lời: \(S_(25)=1090\).

Đối với tổng \(n\) của các số hạng đầu tiên, bạn có thể nhận được một công thức khác: bạn chỉ cần \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) thay vì \(a_n\) thay thế công thức cho nó \(a_n=a_1+(n-1)d\). Chúng tôi nhận được:

Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), trong đó

\(S_n\) – tổng yêu cầu của \(n\) phần tử đầu tiên;
\(a_1\) – số hạng tổng hợp đầu tiên;
\(d\) – chênh lệch tiến triển;
\(n\) – số phần tử trong tổng.

Ví dụ. Tìm tổng các số hạng \(33\)-ex đầu tiên của cấp số cộng: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Giải pháp:

Trả lời: \(S_(33)=-231\).

Các vấn đề cấp số cộng phức tạp hơn

Bây giờ bạn có tất cả thông tin cần thiết để giải hầu hết mọi bài toán cấp số cộng. Hãy kết thúc chủ đề bằng cách xem xét các vấn đề mà bạn không chỉ cần áp dụng công thức mà còn phải suy nghĩ một chút (trong toán học, điều này có thể hữu ích ☺)

Ví dụ (OGE). Tìm tổng của tất cả các số hạng âm của cấp số nhân: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Giải pháp:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Nhiệm vụ này rất giống với nhiệm vụ trước. Chúng ta bắt đầu giải quyết vấn đề tương tự: đầu tiên chúng ta tìm \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)

Bây giờ tôi muốn thay thế \(d\) vào công thức tính tổng... và ở đây xuất hiện một sắc thái nhỏ - chúng tôi không biết \(n\). Nói cách khác, chúng tôi không biết sẽ cần thêm bao nhiêu thuật ngữ. Làm thế nào để tìm hiểu? Hãy suy nghĩ. Chúng tôi sẽ ngừng thêm các phần tử khi đạt đến phần tử dương đầu tiên. Tức là bạn cần tìm ra số lượng của phần tử này. Làm sao? Hãy viết ra công thức tính bất kỳ phần tử nào của cấp số cộng: \(a_n=a_1+(n-1)d\) cho trường hợp của chúng ta.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)

Chúng ta cần \(a_n\) lớn hơn 0. Hãy cùng tìm hiểu xem \(n\) điều này sẽ xảy ra như thế nào.

\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)

\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)

Chúng tôi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

Ta chuyển trừ một, không quên đổi dấu

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

Hãy tính toán...

\(n>65,333…\)

...và hóa ra phần tử dương đầu tiên sẽ có số \(66\). Theo đó, số âm cuối cùng có \(n=65\). Để đề phòng, hãy kiểm tra điều này.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)

Vì vậy, chúng ta cần thêm các phần tử \(65\) đầu tiên.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)

Câu trả lời đã sẵn sàng.

Trả lời: \(S_(65)=-630.5\).

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Tìm tổng từ phần tử \(26\)th đến phần tử \(42\).
Giải pháp:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Trong bài toán này, bạn cũng cần tìm tổng các phần tử, nhưng không bắt đầu từ phần tử đầu tiên mà từ phần tử thứ \(26\). Đối với trường hợp như vậy, chúng tôi không có công thức. Làm thế nào để quyết định?
Thật dễ dàng - để tính tổng từ thứ \(26\) đến \(42\)th, trước tiên bạn phải tìm tổng từ thứ \(1\)th đến \(42\)th, sau đó trừ đi từ đó tính tổng từ thứ nhất đến thứ \(25\)th (xem hình).


Đối với tiến trình của chúng tôi \(a_1=-33\) và sự khác biệt \(d=4\) (xét cho cùng, chúng tôi thêm bốn phần tử vào phần tử trước để tìm phần tử tiếp theo). Biết được điều này, chúng ta tìm được tổng của các phần tử \(42\)-y đầu tiên.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Bây giờ là tổng của các phần tử \(25\) đầu tiên.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Và cuối cùng, chúng tôi tính toán câu trả lời.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Trả lời: \(S=1683\).

Đối với cấp số cộng, có một số công thức nữa mà chúng tôi không xem xét trong bài viết này do tính hữu ích thực tế thấp của chúng. Tuy nhiên, bạn có thể dễ dàng tìm thấy chúng.


Có, vâng: cấp số cộng không phải là đồ chơi dành cho bạn :)

Chà, các bạn ơi, nếu bạn đang đọc văn bản này thì bằng chứng giới hạn nội bộ cho tôi biết rằng bạn chưa biết cấp số cộng là gì, nhưng bạn thực sự (không, như thế: SOOOOO!) muốn biết. Vì vậy, tôi sẽ không làm phiền bạn bằng những lời giới thiệu dài dòng và sẽ đi thẳng vào vấn đề.

Đầu tiên, một vài ví dụ. Chúng ta hãy xem xét một số bộ số:

  • 1; 2; 3; 4; ...
  • 15; 20; 25; 30; ...
  • $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Tất cả những bộ này có điểm gì chung? Thoạt nhìn thì không có gì. Nhưng thực ra có một cái gì đó. Cụ thể là: mỗi phần tử tiếp theo khác phần tử trước đó bởi cùng một số.

Thẩm phán cho chính mình. Bộ đầu tiên chỉ đơn giản là các số liên tiếp, số tiếp theo nhiều hơn số trước một đơn vị. Trong trường hợp thứ hai, chênh lệch giữa các số liền kề đã là năm, nhưng chênh lệch này vẫn không đổi. Trong trường hợp thứ ba, hoàn toàn có rễ. Tuy nhiên, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ và $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tức là. và trong trường hợp này, mỗi phần tử tiếp theo chỉ tăng thêm $\sqrt(2)$ (và đừng sợ rằng con số này là vô tỷ).

Vì vậy: tất cả các dãy như vậy được gọi là cấp số cộng. Hãy đưa ra một định nghĩa chặt chẽ:

Sự định nghĩa. Một dãy số mà mỗi số tiếp theo khác số trước đó một khoảng bằng nhau được gọi là cấp số cộng. Lượng chênh lệch giữa các số được gọi là chênh lệch lũy tiến và thường được biểu thị bằng chữ cái $d$.

Ký hiệu: $\left(((a)_(n)) \right)$ là chính tiến trình đó, $d$ là sự khác biệt của nó.

Và chỉ một vài lưu ý quan trọng. Thứ nhất, sự tiến triển chỉ được xem xét ra lệnh dãy số: chúng được phép đọc đúng theo thứ tự chúng được viết - và không có gì khác. Các số không thể được sắp xếp lại hoặc hoán đổi.

Thứ hai, bản thân dãy có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ, tập hợp (1; 2; 3) rõ ràng là một cấp số cộng hữu hạn. Nhưng nếu bạn viết điều gì đó theo tinh thần (1; 2; 3; 4; ...) - thì đây đã là một sự tiến triển vô hạn. Dấu chấm lửng sau số 4 dường như gợi ý rằng còn khá nhiều con số nữa sắp xuất hiện. Vô số, chẳng hạn.

Tôi cũng muốn lưu ý rằng sự tiến bộ có thể tăng hoặc giảm. Chúng tôi đã thấy những cái tăng dần - cùng một bộ (1; 2; 3; 4; ...). Dưới đây là ví dụ về sự tiến triển giảm dần:

  • 49; 41; 33; 25; 17; ...
  • 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
  • $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Được rồi, được rồi: ví dụ cuối cùng có vẻ quá phức tạp. Nhưng phần còn lại, tôi nghĩ, bạn hiểu. Vì vậy, chúng tôi đưa ra các định nghĩa mới:

Sự định nghĩa. Một cấp số cộng được gọi là:

  1. tăng nếu mỗi phần tử tiếp theo lớn hơn phần tử trước;
  2. ngược lại, giảm nếu mỗi phần tử tiếp theo nhỏ hơn phần tử trước.

Ngoài ra, còn có cái gọi là chuỗi "đứng yên" - chúng bao gồm cùng một số lặp lại. Ví dụ: (3; 3; 3; ...).

Chỉ còn lại một câu hỏi: làm thế nào để phân biệt tiến trình tăng dần với tiến trình giảm dần? May mắn thay, mọi thứ ở đây chỉ phụ thuộc vào dấu của số $d$, tức là. sự khác biệt về tiến triển:

  1. Nếu $d \gt 0$, thì cấp số nhân sẽ tăng lên;
  2. Nếu $d \lt 0$, thì cấp số nhân rõ ràng đang giảm dần;
  3. Cuối cùng, có trường hợp $d=0$ - trong trường hợp này toàn bộ tiến trình được rút gọn thành một chuỗi dừng gồm các số giống nhau: (1; 1; 1; 1; ...), v.v.

Hãy thử tính hiệu $d$ cho ba cấp số giảm dần nêu trên. Để làm điều này, chỉ cần lấy hai phần tử liền kề bất kỳ (ví dụ: phần tử thứ nhất và thứ hai) và trừ số ở bên trái khỏi số ở bên phải. Nó sẽ trông như thế này:

  • 41−49=−8;
  • 12−17,5=−5,5;
  • $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Như chúng ta có thể thấy, trong cả ba trường hợp, sự khác biệt thực sự đều âm. Và bây giờ chúng ta đã ít nhiều tìm ra các định nghĩa, đã đến lúc tìm hiểu cách mô tả các cấp số nhân và chúng có những đặc tính gì.

Thuật ngữ lũy tiến và công thức lặp lại

Vì các phần tử trong dãy của chúng ta không thể hoán đổi nên chúng có thể được đánh số:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Phải\)\]

Các phần tử riêng lẻ của tập hợp này được gọi là thành viên của một cấp số cộng. Chúng được biểu thị bằng một số: thành viên thứ nhất, thành viên thứ hai, v.v.

Ngoài ra, như chúng ta đã biết, các số hạng lân cận của cấp số liên hệ với nhau theo công thức:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Nói tóm lại, để tìm số hạng thứ $n$ của một cấp số, bạn cần biết số hạng thứ $n-1$ và hiệu $d$. Công thức này được gọi là định kỳ, vì với sự trợ giúp của nó, bạn chỉ có thể tìm thấy bất kỳ số nào khi biết số trước đó (và trên thực tế là tất cả các số trước đó). Điều này rất bất tiện, vì vậy có một công thức xảo quyệt hơn giúp giảm bất kỳ phép tính nào về số hạng đầu tiên và sự khác biệt:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Có lẽ bạn đã từng gặp công thức này. Họ thích đưa nó vào đủ loại sách tham khảo và sách giải toán. Và trong bất kỳ cuốn sách giáo khoa toán học nhạy cảm nào, nó là một trong những cuốn sách đầu tiên.

Tuy nhiên, tôi khuyên bạn nên luyện tập một chút.

Nhiệm vụ số 1. Viết ba số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Giải pháp. Vì vậy, chúng ta biết số hạng đầu tiên $((a)_(1))=8$ và sự khác biệt của cấp số $d=-5$. Hãy sử dụng công thức vừa đưa ra và thay thế $n=1$, $n=2$ và $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(căn chỉnh)\]

Đáp án: (8; 3; −2)

Thế thôi! Xin lưu ý: sự tiến bộ của chúng tôi đang giảm dần.

Tất nhiên, $n=1$ không thể thay thế được - chúng ta đã biết số hạng đầu tiên. Tuy nhiên, bằng cách thay thế đơn vị, chúng tôi tin rằng ngay cả đối với số hạng đầu tiên, công thức của chúng tôi vẫn đúng. Trong những trường hợp khác, mọi thứ đều trở thành số học tầm thường.

Nhiệm vụ số 2. Viết ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng nếu số hạng thứ bảy của nó bằng −40 và số hạng thứ mười bảy của nó bằng −50.

Giải pháp. Hãy viết điều kiện bài toán bằng những thuật ngữ quen thuộc:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(căn chỉnh) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Phải.\]

Tôi đặt dấu hiệu hệ thống vì những yêu cầu này phải được đáp ứng đồng thời. Bây giờ hãy lưu ý rằng nếu chúng ta trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai (chúng ta có quyền làm điều này vì chúng ta có một hệ), chúng ta sẽ nhận được điều này:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(căn chỉnh)\]

Thật dễ dàng để tìm thấy sự khác biệt về tiến trình! Tất cả những gì còn lại là thay số tìm được vào bất kỳ phương trình nào của hệ. Ví dụ: trong lần đầu tiên:

\[\begin(ma trận) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(ma trận)\]

Bây giờ, đã biết số hạng đầu tiên và sự khác biệt, vẫn còn phải tìm số hạng thứ hai và thứ ba:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(căn chỉnh)\]

Sẵn sàng! Vấn đề đã được giải quyết.

Đáp án: (−34; −35; −36)

Hãy lưu ý đặc tính thú vị của cấp số nhân mà chúng tôi đã khám phá: nếu chúng tôi lấy các số hạng $n$th và $m$th và trừ chúng với nhau, chúng tôi sẽ nhận được hiệu của cấp số nhân nhân với số $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Một thuộc tính đơn giản nhưng rất hữu ích mà bạn chắc chắn cần biết - với sự trợ giúp của nó, bạn có thể tăng tốc đáng kể việc giải quyết nhiều vấn đề cấp tiến. Đây là một ví dụ rõ ràng về điều này:

Nhiệm vụ số 3. Số hạng thứ năm của cấp số cộng là 8,4 và số hạng thứ mười là 14,4. Tìm số hạng thứ mười lăm của tiến trình này.

Giải pháp. Vì $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, và chúng ta cần tìm $((a)_(15))$, chúng ta lưu ý như sau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nhưng theo điều kiện $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, do đó $5d=6$, từ đó chúng ta có:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(căn chỉnh)\]

Đáp án: 20,4

Thế thôi! Chúng tôi không cần phải tạo bất kỳ hệ phương trình nào cũng như tính số hạng đầu tiên và hiệu - mọi thứ đã được giải chỉ trong vài dòng.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một loại vấn đề khác - tìm kiếm số hạng phủ định và khẳng định của một cấp số. Không có gì bí mật rằng nếu một tiến trình tăng lên và số hạng đầu tiên của nó là số âm, thì sớm hay muộn số hạng dương sẽ xuất hiện trong đó. Và ngược lại: số hạng của một lũy tiến giảm dần sớm hay muộn sẽ trở thành số âm.

Đồng thời, không phải lúc nào cũng có thể tìm thấy khoảnh khắc này một cách “trực diện” bằng cách lần lượt xem xét các yếu tố. Thông thường, các bài toán được viết theo cách mà nếu không biết công thức, việc tính toán sẽ mất vài tờ giấy - chúng ta sẽ ngủ quên trong khi tìm ra câu trả lời. Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng giải quyết những vấn đề này một cách nhanh hơn.

Nhiệm vụ số 4. Có bao nhiêu số hạng phủ định trong cấp số cộng −38,5; −35,8; ...?

Giải pháp. Vì vậy, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, từ đó chúng ta tìm thấy ngay sự khác biệt:

Lưu ý rằng sự khác biệt là tích cực, do đó tiến trình tăng lên. Số hạng đầu tiên là số âm, vì vậy thực sự tại một thời điểm nào đó chúng ta sẽ bắt gặp những số dương. Câu hỏi duy nhất là khi nào điều này sẽ xảy ra.

Chúng ta hãy thử tìm xem tính âm của các số hạng tồn tại trong bao lâu (tức là lên đến số tự nhiên $n$):

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \phải. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(căn chỉnh)\]

Dòng cuối cùng yêu cầu một số lời giải thích. Vì vậy, chúng tôi biết rằng $n \lt 15\frac(7)(27)$. Mặt khác, chúng tôi chỉ hài lòng với các giá trị nguyên của số (hơn nữa: $n\in \mathbb(N)$), vì vậy số lớn nhất cho phép chính xác là $n=15$, và không có trường hợp nào là 16 .

Nhiệm vụ số 5. Trong cấp số cộng $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tìm số hạng dương đầu tiên của cấp số này.

Đây chính xác là vấn đề tương tự như vấn đề trước, nhưng chúng ta không biết $((a)_(1))$. Nhưng các số hạng lân cận đều đã biết: $((a)_(5))$ và $((a)_(6))$, vì vậy chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy sự khác biệt của cấp số:

Ngoài ra, chúng ta hãy thử biểu diễn số hạng thứ năm thông qua số hạng đầu tiên và hiệu bằng cách sử dụng công thức chuẩn:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(căn chỉnh)\]

Bây giờ chúng ta tiến hành tương tự với nhiệm vụ trước đó. Chúng ta hãy tìm hiểu xem các số dương trong chuỗi của chúng ta sẽ xuất hiện tại điểm nào:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nghiệm số nguyên nhỏ nhất của bất đẳng thức này là số 56.

Xin lưu ý: trong nhiệm vụ cuối cùng, mọi thứ đều dẫn đến sự bất bình đẳng nghiêm ngặt, vì vậy tùy chọn $n=55$ sẽ không phù hợp với chúng tôi.

Bây giờ chúng ta đã học được cách giải những bài toán đơn giản, hãy chuyển sang những bài toán phức tạp hơn. Nhưng trước tiên, hãy nghiên cứu một tính chất rất hữu ích khác của cấp số cộng, nó sẽ giúp chúng ta tiết kiệm rất nhiều thời gian và các ô không bằng nhau trong tương lai :)

Giá trị trung bình số học và vết lõm bằng nhau

Chúng ta hãy xem xét một số số hạng liên tiếp của cấp số cộng tăng dần $\left(((a)_(n)) \right)$. Hãy thử đánh dấu chúng trên trục số:

Thuật ngữ của cấp số cộng trên trục số

Tôi đã đánh dấu cụ thể các thuật ngữ tùy ý $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ chứ không phải một số $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, v.v. Bởi vì quy tắc mà tôi sẽ cho bạn biết hiện hoạt động tương tự cho bất kỳ “phân đoạn” nào.

Và quy tắc rất đơn giản. Hãy nhớ công thức lặp lại và viết nó ra cho tất cả các thuật ngữ được đánh dấu:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(căn chỉnh)\]

Tuy nhiên, những đẳng thức này có thể được viết lại khác nhau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(căn chỉnh)\]

Vậy thì sao? Và thực tế là các số hạng $((a)_(n-1))$ và $((a)_(n+1))$ nằm ở cùng một khoảng cách với $((a)_(n)) $ . Và khoảng cách này bằng $d$. Điều tương tự cũng có thể nói về các thuật ngữ $((a)_(n-2))$ và $((a)_(n+2))$ - chúng cũng bị xóa khỏi $((a)_(n) )$ ở cùng một khoảng cách bằng $2d$. Chúng ta có thể tiếp tục đến vô tận, nhưng ý nghĩa được minh họa rõ ràng qua bức tranh


Các điều khoản của sự tiến triển nằm ở cùng một khoảng cách từ trung tâm

Điều này có ý nghĩa gì với chúng ta? Điều này có nghĩa là có thể tìm thấy $((a)_(n))$ nếu biết các số lân cận:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Chúng ta đã rút ra một phát biểu xuất sắc: mọi số hạng của một cấp số cộng đều bằng trung bình số học của các số hạng lân cận nó! Hơn nữa: chúng ta có thể lùi từ $((a)_(n))$ sang trái và sang phải không phải một bước mà là $k$ bước - và công thức sẽ vẫn đúng:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Những thứ kia. chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy một số $((a)_(150))$ nếu chúng ta biết $((a)_(100))$ và $((a)_(200))$, bởi vì $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Thoạt nhìn, có vẻ như thực tế này không mang lại cho chúng ta điều gì hữu ích. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều bài toán được thiết kế đặc biệt để sử dụng trung bình số học. Hãy xem:

Nhiệm vụ số 6. Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho các số $-6((x)^(2))$, $x+1$ và $14+4((x)^(2))$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng (theo thứ tự được chỉ ra).

Giải pháp. Vì những số này là thành viên của một cấp số, điều kiện trung bình số học được thỏa mãn đối với chúng: phần tử trung tâm $x+1$ có thể được biểu diễn theo các phần tử lân cận:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(căn chỉnh)\]

Kết quả là một phương trình bậc hai cổ điển. Nguồn gốc của nó: $x=2$ và $x=-3$ là câu trả lời.

Đáp án: −3; 2.

Nhiệm vụ số 7. Tìm các giá trị của $$ mà các số $-1;4-3;(()^(2))+1$ tạo thành một cấp số cộng (theo thứ tự đó).

Giải pháp. Chúng ta hãy biểu diễn lại số hạng ở giữa thông qua trung bình số học của các số hạng lân cận:

\[\begin(căn chỉnh) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(căn chỉnh)\]

Phương trình bậc hai nữa. Và một lần nữa có hai nghiệm: $x=6$ và $x=1$.

Trả lời: 1; 6.

Nếu trong quá trình giải một bài toán, bạn đưa ra một số con số khủng khiếp hoặc bạn không hoàn toàn chắc chắn về tính đúng đắn của các câu trả lời tìm được, thì có một kỹ thuật tuyệt vời cho phép bạn kiểm tra: chúng ta đã giải bài toán một cách chính xác chưa?

Giả sử trong bài toán số 6, chúng ta nhận được câu trả lời −3 và 2. Làm cách nào để kiểm tra xem những câu trả lời này có đúng không? Hãy cắm chúng vào tình trạng ban đầu và xem điều gì sẽ xảy ra. Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta có ba số ($-6(()^(2))$, $+1$ và $14+4(()^(2))$), chúng phải tạo thành một cấp số cộng. Hãy thay thế $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(căn chỉnh)\]

Chúng ta có các số −54; −2; 50 chênh lệch 52 chắc chắn là một cấp số cộng. Điều tương tự cũng xảy ra với $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(căn chỉnh)\]

Lại là một tiến trình, nhưng có chênh lệch là 27. Như vậy, vấn đề đã được giải quyết một cách chính xác. Những ai muốn có thể tự mình kiểm tra vấn đề thứ hai, nhưng tôi sẽ nói ngay: mọi thứ đều đúng ở đó.

Nói chung, trong khi giải các bài toán cuối cùng, chúng tôi phát hiện ra một sự thật thú vị khác cũng cần được ghi nhớ:

Nếu ba số sao cho số thứ hai là trung bình số học của số đầu tiên và số cuối cùng thì các số này tạo thành một cấp số cộng.

Trong tương lai, việc hiểu được tuyên bố này sẽ cho phép chúng ta “xây dựng” các tiến trình cần thiết theo đúng nghĩa đen dựa trên các điều kiện của bài toán. Nhưng trước khi tiến hành “xây dựng” như vậy, chúng ta nên chú ý đến một thực tế nữa, tiếp theo trực tiếp từ những gì đã được thảo luận.

Nhóm và tổng hợp các phần tử

Hãy quay trở lại trục số một lần nữa. Chúng ta hãy lưu ý rằng có một số thành viên của quá trình tiến triển, có lẽ nằm trong số đó. có giá trị rất nhiều thành viên khác:

Có 6 phần tử được đánh dấu trên trục số

Hãy thử biểu diễn “đuôi bên trái” thông qua $((a)_(n))$ và $d$, và “đuôi bên phải” thông qua $((a)_(k))$ và $d$. Nó rất đơn giản:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(căn chỉnh)\]

Bây giờ lưu ý rằng số tiền sau đây bằng nhau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(căn chỉnh)\]

Nói một cách đơn giản, nếu chúng ta coi hai phần tử bắt đầu của tiến trình, tổng cộng bằng một số $S$, và sau đó bắt đầu bước từ các phần tử này theo hướng ngược nhau (hướng về nhau hoặc ngược lại để di chuyển ra xa), sau đó tổng các phần tử mà chúng ta sẽ gặp cũng sẽ bằng nhau$S$. Điều này có thể được thể hiện rõ ràng nhất bằng đồ họa:


Các vết lõm bằng nhau cho số lượng bằng nhau

Hiểu được thực tế này sẽ cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề về cơ bản có mức độ phức tạp cao hơn những vấn đề mà chúng ta đã xem xét ở trên. Ví dụ:

Nhiệm vụ số 8. Xác định hiệu của một cấp số cộng trong đó số hạng thứ nhất là 66, tích của số hạng thứ hai và thứ mười hai là nhỏ nhất có thể.

Giải pháp. Hãy viết ra tất cả những gì chúng ta biết:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(căn chỉnh)\]

Vì vậy, chúng ta không biết sự khác biệt lũy tiến $d$. Trên thực tế, toàn bộ giải pháp sẽ được xây dựng xung quanh sự khác biệt, vì tích $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ có thể được viết lại như sau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(căn chỉnh)\]

Đối với những người trong nhóm: Tôi lấy tổng hệ số nhân là 11 trong khung thứ hai. Do đó, tích được yêu cầu là hàm bậc hai đối với biến $d$. Do đó, hãy xem xét hàm $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - đồ thị của nó sẽ là một parabol với các nhánh hướng lên, bởi vì nếu chúng ta mở rộng dấu ngoặc, chúng ta sẽ nhận được:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(căn chỉnh)\]

Như bạn có thể thấy, hệ số của số hạng cao nhất là 11 - đây là một số dương, vì vậy chúng ta thực sự đang xử lý một parabol có các nhánh hướng lên trên:


đồ thị của hàm số bậc hai - parabol

Xin lưu ý: parabol này lấy giá trị tối thiểu tại đỉnh của nó với hoành độ $((d)_(0))$. Tất nhiên, chúng ta có thể tính hoành độ này bằng cách sử dụng sơ đồ tiêu chuẩn (có công thức $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), nhưng sẽ hợp lý hơn nhiều khi lưu ý rằng đỉnh mong muốn nằm trên trục đối xứng của parabol, do đó điểm $((d)_(0))$ cách đều các nghiệm của phương trình $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(căn chỉnh) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(căn chỉnh)\]

Đó là lý do tại sao tôi không vội mở dấu ngoặc: ở dạng ban đầu, rễ rất rất dễ tìm. Do đó, trục hoành bằng trung bình số học của các số −66 và −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Con số được phát hiện cho chúng ta điều gì? Với nó, sản phẩm được yêu cầu sẽ có giá trị nhỏ nhất (nhân tiện, chúng tôi chưa bao giờ tính $((y)_(\min ))$ - điều này không bắt buộc đối với chúng tôi). Đồng thời, con số này là sự khác biệt của tiến trình ban đầu, tức là. chúng tôi đã tìm thấy câu trả lời :)

Đáp án: −36

Nhiệm vụ số 9. Giữa các số $-\frac(1)(2)$ và $-\frac(1)(6)$ chèn ba số sao cho cùng với các số này, chúng tạo thành một cấp số cộng.

Giải pháp. Về cơ bản, chúng ta cần tạo một chuỗi gồm năm số, đã biết số đầu tiên và số cuối cùng. Hãy biểu thị các số còn thiếu bằng các biến $x$, $y$ và $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Lưu ý rằng số $y$ là số “ở giữa” trong dãy của chúng ta - nó cách đều các số $x$ và $z$, cũng như các số $-\frac(1)(2)$ và $-\frac (1)( 6)$. Và nếu hiện tại chúng ta không thể thu được $y$ từ các số $x$ và $z$, thì tình hình sẽ khác ở các điểm cuối của cấp số cộng. Chúng ta hãy nhớ ý nghĩa số học:

Bây giờ, khi biết $y$, chúng ta sẽ tìm được các số còn lại. Lưu ý rằng $x$ nằm giữa các số $-\frac(1)(2)$ và $y=-\frac(1)(3)$ mà chúng ta vừa tìm thấy. Đó là lý do tại sao

Sử dụng lý luận tương tự, chúng tôi tìm thấy số còn lại:

Sẵn sàng! Chúng tôi tìm thấy cả ba số. Hãy viết chúng trong câu trả lời theo thứ tự chúng sẽ được chèn vào giữa các số ban đầu.

Trả lời: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Nhiệm vụ số 10. Giữa các số 2 và 42, hãy chèn một số số cùng với các số này tạo thành một cấp số cộng, nếu bạn biết rằng tổng của số đầu tiên, số thứ hai và số cuối cùng của các số được chèn là 56.

Giải pháp. Tuy nhiên, một vấn đề thậm chí còn phức tạp hơn được giải theo sơ đồ tương tự như các vấn đề trước đó - thông qua trung bình số học. Vấn đề là chúng ta không biết chính xác cần chèn bao nhiêu số. Do đó, chúng ta hãy giả sử để chắc chắn rằng sau khi chèn mọi thứ sẽ có chính xác $n$ số, số đầu tiên là 2 và số cuối cùng là 42. Trong trường hợp này, cấp số cộng cần thiết có thể được biểu diễn dưới dạng:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tuy nhiên, lưu ý rằng các số $((a)_(2))$ và $((a)_(n-1))$ được lấy từ các số 2 và 42 ở các cạnh cách nhau một bước, tức là . vào trung tâm của chuỗi. Và điều này có nghĩa là

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Nhưng khi đó biểu thức viết ở trên có thể được viết lại như sau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(căn chỉnh)\]

Biết $((a)_(3))$ và $((a)_(1))$, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy sự khác biệt của cấp số:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Mũi tên phải d=5. \\ \end(căn chỉnh)\]

Tất cả những gì còn lại là tìm các số hạng còn lại:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(căn chỉnh)\]

Như vậy, ở bước thứ 9, chúng ta sẽ đến đầu bên trái của dãy - số 42. Tổng cộng, chỉ cần chèn 7 số: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Trả lời: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Các vấn đề về từ với sự tiến triển

Để kết luận, tôi muốn xem xét một vài vấn đề tương đối đơn giản. Chà, đơn giản như vậy: đối với hầu hết học sinh học toán ở trường và chưa đọc những gì được viết ở trên, những vấn đề này có vẻ khó khăn. Tuy nhiên, đây là những loại bài toán xuất hiện trong OGE và Kỳ thi Thống nhất về môn toán, vì vậy tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.

Nhiệm vụ số 11. Nhóm đã sản xuất được 62 bộ phận trong tháng 1 và trong mỗi tháng tiếp theo, họ đã sản xuất nhiều hơn 14 bộ phận so với tháng trước. Nhóm đã sản xuất được bao nhiêu bộ phận trong tháng 11?

Giải pháp. Rõ ràng, số lượng các bộ phận được liệt kê theo tháng sẽ thể hiện cấp số cộng ngày càng tăng. Hơn thế nữa:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Tháng 11 là tháng thứ 11 trong năm nên ta cần tìm $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Vì vậy, 202 bộ phận sẽ được sản xuất vào tháng 11.

Nhiệm vụ số 12. Xưởng đóng sách đã đóng 216 cuốn sách trong tháng Giêng, và mỗi tháng tiếp theo xưởng đóng sách nhiều hơn tháng trước 4 cuốn. Hội thảo đã đóng bao nhiêu cuốn sách trong tháng 12?

Giải pháp. Mọi thứ đều giống nhau:

$\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Tháng 12 là tháng cuối cùng, tháng thứ 12 trong năm, vì vậy chúng tôi đang tìm kiếm $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Đây là câu trả lời - 260 cuốn sách sẽ được đóng bìa vào tháng 12.

Chà, nếu bạn đã đọc đến đây, tôi xin chúc mừng bạn: bạn đã hoàn thành xuất sắc “khóa học dành cho võ sĩ trẻ” về cấp số cộng. Bạn có thể yên tâm chuyển sang bài học tiếp theo, nơi chúng ta sẽ nghiên cứu công thức tính tổng của tiến trình, cũng như những hệ quả quan trọng và rất hữu ích từ nó.