Logarit bằng 1 khi. logarit

Hướng dẫn

Viết ra những điều đã cho biểu thức logarit. Nếu biểu thức sử dụng logarit của 10 thì ký hiệu của nó sẽ được rút ngắn và trông như sau: lg b is logarit thập phân. Nếu logarit có cơ số là e thì viết biểu thức: ln b – logarit tự nhiên. Người ta hiểu rằng kết quả của bất kỳ là lũy thừa mà số cơ sở phải được nâng lên để có được số b.

Khi tìm tổng của hai hàm số, bạn chỉ cần phân tích từng hàm số một rồi cộng kết quả: (u+v)" = u"+v";

Khi tìm đạo hàm của tích hai hàm số, cần nhân đạo hàm của hàm số thứ nhất với hàm số thứ hai rồi cộng đạo hàm của hàm số thứ hai nhân với hàm số thứ nhất: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Để tìm đạo hàm của thương của hai hàm số, cần trừ tích đạo hàm của số bị chia nhân với hàm số chia bằng tích của đạo hàm của số chia nhân với hàm số bị chia và chia tất cả điều này bằng hàm chia bình phương. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Nếu được hàm phức tạp, thì cần phải nhân đạo hàm của chức năng nội tại và đạo hàm của cái bên ngoài. Đặt y=u(v(x)), sau đó y"(x)=y"(u)*v"(x).

Sử dụng các kết quả thu được ở trên, bạn có thể phân biệt hầu hết mọi chức năng. Vì vậy, hãy xem xét một vài ví dụ:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ngoài ra còn có các vấn đề liên quan đến việc tính đạo hàm tại một điểm. Cho hàm y=e^(x^2+6x+5), bạn cần tìm giá trị của hàm tại điểm x=1.
1) Tìm đạo hàm của hàm số: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Tính giá trị của hàm trong điểm nhất định y"(1)=8*e^0=8

Video về chủ đề

Lời khuyên hữu ích

Tìm hiểu bảng đạo hàm cơ bản. Điều này sẽ tiết kiệm đáng kể thời gian.

Nguồn:

• đạo hàm của một hằng số

Vì vậy, sự khác biệt giữa phương trình hữu tỉ từ lý trí? Nếu biến chưa biết nằm dưới dấu căn bậc hai thì phương trình được coi là vô tỷ.

Hướng dẫn

Phương pháp chính để giải các phương trình như vậy là phương pháp xây dựng cả hai vế phương trình thành một hình vuông. Tuy nhiên. Điều này là đương nhiên, điều đầu tiên bạn cần làm là loại bỏ biển báo. Phương pháp này không khó về mặt kỹ thuật nhưng đôi khi có thể dẫn đến rắc rối. Ví dụ: phương trình là v(2x-5)=v(4x-7). Bằng cách bình phương cả hai vế, bạn nhận được 2x-5=4x-7. Giải phương trình như vậy không khó; x=1. Nhưng số 1 sẽ không được trao phương trình. Tại sao? Thay thế một vào phương trình thay vì giá trị của x. Và vế ​​phải và trái sẽ chứa các biểu thức vô nghĩa. Giá trị này không hợp lệ cho căn bậc hai. Do đó 1 là một nghiệm ngoại lai, và do đó phương trình đã cho không có rễ.

Vì thế, phương trình vô tỉđược giải bằng phương pháp bình phương cả hai phần của nó. Và sau khi giải phương trình, cần phải cắt bỏ các rễ ngoại lai. Để làm điều này, thay thế các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu.

Hãy xem xét một cái khác.
2х+vх-3=0
Tất nhiên, phương trình này có thể được giải bằng phương trình tương tự như phương trình trước. Di chuyển hợp chất phương trình, không có căn bậc hai, sang vế phải rồi sử dụng phương pháp bình phương. giải phương trình hữu tỉ và nghiệm. Nhưng cũng có một cái khác, thanh lịch hơn. Nhập một biến mới; vх=y. Theo đó, bạn sẽ nhận được phương trình có dạng 2y2+y-3=0. Tức là thông thường phương trình bậc hai. Tìm nguồn gốc của nó; y1=1 và y2=-3/2. Tiếp theo, giải hai phương trình vх=1; vх=-3/2. Phương trình thứ hai không có nghiệm; từ phương trình đầu tiên chúng ta tìm thấy x=1. Đừng quên kiểm tra rễ.

Giải quyết danh tính khá đơn giản. Để làm điều này bạn cần phải làm chuyển đổi danh tính cho đến khi đạt được mục tiêu. Vì vậy, với sự trợ giúp đơn giản nhất các phép tính số học nhiệm vụ trước mắt sẽ được giải quyết.

Bạn sẽ cần

• - giấy;
• - cái bút.

Hướng dẫn

Các phép biến đổi đơn giản nhất như vậy là các phép nhân viết tắt đại số (chẳng hạn như bình phương của tổng (chênh lệch), hiệu của bình phương, tổng (chênh lệch), lập phương của tổng (chênh lệch)). Ngoài ra còn có rất nhiều và công thức lượng giác, về cơ bản là giống nhau.

Thật vậy, bình phương của tổng hai số hạng bằng hình vuông số thứ nhất cộng gấp đôi tích của số thứ nhất với số thứ hai và cộng với bình phương của số thứ hai, tức là (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Đơn giản hóa cả hai

Nguyên tắc chung của giải pháp

Lặp lại theo sách giáo khoa phân tích toán học hoặc toán cao hơn, là tích phân xác định. Như đã biết, giải pháp tích phân xác định có một hàm mà đạo hàm của nó cho ra một tích phân. Chức năng nàyđược gọi là phản đạo hàm. Qua nguyên tắc này và xây dựng các tích phân chính.
Xác định bằng dạng tích phân mà tích phân trong bảng phù hợp trong trường hợp này. Không phải lúc nào cũng có thể xác định được điều này ngay lập tức. Thông thường, dạng bảng chỉ trở nên đáng chú ý sau một vài phép biến đổi để đơn giản hóa tích phân.

Phương pháp thay thế biến

Nếu tích phân là một hàm lượng giác có đối số là đa thức thì hãy thử sử dụng phương pháp đổi biến. Để thực hiện điều này, hãy thay thế đa thức trong đối số của số nguyên bằng một biến mới nào đó. Dựa vào mối quan hệ giữa biến mới và biến cũ, xác định giới hạn tích phân mới. Bằng cách lấy vi phân biểu thức này, hãy tìm vi phân mới trong . Vì vậy bạn sẽ nhận được diện mạo mới của tích phân trước, gần hoặc thậm chí tương ứng với bất kỳ tích phân nào trong bảng.

Giải tích phân loại hai

Nếu tích phân là tích phân loại thứ hai, dạng vectơ của tích phân, thì bạn sẽ cần sử dụng các quy tắc để chuyển từ tích phân này sang tích phân vô hướng. Một quy tắc như vậy là mối quan hệ Ostrogradsky-Gauss. Luật này cho phép bạn đi từ thông lượng rôto của một số hàm vectơ đến tích phân bội ba trên sự phân kỳ của một trường vectơ nhất định.

Thay thế giới hạn tích hợp

Sau khi tìm được nguyên hàm cần thay các giới hạn tích phân. Đầu tiên thay thế giá trị giới hạn trên thành biểu thức của nguyên hàm. Bạn sẽ nhận được một số số. Tiếp theo, trừ từ số kết quả một số khác thu được từ giới hạn dưới vào nguyên hàm. Nếu một trong các giới hạn của tích phân là vô cùng thì khi thay nó vào hàm phản đạo hàm cần phải đi đến giới hạn và tìm ra điều mà biểu thức phấn đấu.
Nếu tích phân là hai chiều hoặc ba chiều, thì bạn sẽ phải biểu diễn các giới hạn của tích phân về mặt hình học để hiểu cách tính tích phân. Thật vậy, trong trường hợp tích phân ba chiều, giới hạn của tích phân có thể là toàn bộ mặt phẳng giới hạn thể tích tích phân.

(từ tiếng Hy Lạp λόγος - “từ”, “quan hệ” và ἀριθμός - “số”) b dựa trên Một(log α b) được gọi là số như vậy c, Và b= một c, nghĩa là, bản ghi nhật ký α b=c Và b=ac là tương đương. Logarit có ý nghĩa nếu a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Nói cách khác logarit con số b dựa trên MỘTđược xây dựng dưới dạng số mũ mà một số phải được nâng lên Mộtđể có được số b(logarit chỉ tồn tại với số dương).

Từ công thức này, phép tính x= log α b, tương đương với việc giải phương trình a x = b.

Ví dụ:

log 2 8 = 3 vì 8 = 2 3 .

Chúng tôi nhấn mạnh rằng công thức logarit được chỉ định cho phép xác định ngay lập tức giá trị logarit, khi số dưới dấu logarit đóng vai trò là lũy thừa nhất định của cơ số. Thật vậy, công thức logarit có thể chứng minh rằng nếu b=a c, thì logarit của số b dựa trên Một bằng Với. Cũng rõ ràng là chủ đề logarit có liên quan mật thiết đến chủ đề quyền hạn của một số.

Tính logarit được gọi là logarit. Logarit là phép toán lấy logarit. Khi lấy logarit, tích của các thừa số được chuyển thành tổng các số hạng.

tiềm năng là một phép toán nghịch đảo với logarit. Trong quá trình tạo điện thế, một cơ sở nhất định được nâng lên đến mức biểu hiện mà việc tạo điện thế được thực hiện. Trong trường hợp này, tổng các số hạng được chuyển thành tích của các thừa số.

Khá thường xuyên, logarit thực được sử dụng với cơ số 2 (nhị phân), số Euler e ≈ 2.718 (logarit tự nhiên) và 10 (thập phân).

TRÊN ở giai đoạn này nên xem xét mẫu logarit nhật ký 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Và các mục lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 không có ý nghĩa gì, vì trong mục đầu tiên, một số âm được đặt dưới dấu logarit, trong mục thứ hai có một số âm ở cơ số, còn ở cơ số thứ ba có số âm dưới dấu logarit và đơn vị ở cơ số.

Điều kiện để xác định logarit.

Cần xem xét riêng các điều kiện a > 0, a ≠ 1, b > 0. theo đó chúng ta nhận được định nghĩa logarit Hãy xem xét lý do tại sao những hạn chế này được thực hiện. Một đẳng thức có dạng x = log α sẽ giúp chúng ta điều này b, được gọi là đẳng thức logarit cơ bản, tuân theo định nghĩa logarit ở trên.

Hãy lấy điều kiện a≠1. Vì một lũy thừa bất kỳ bằng một nên đẳng thức x=log α b chỉ có thể tồn tại khi b=1, nhưng log 1 1 sẽ là số thực bất kỳ. Để loại bỏ sự mơ hồ này, chúng tôi lấy a≠1.

Hãy chứng minh sự cần thiết của điều kiện a>0. Tại a=0 theo công thức logarit chỉ tồn tại khi b=0. Và theo đó thì nhật ký 0 0 có thể là bất kỳ số thực nào khác 0, vì số 0 với bất kỳ lũy thừa nào khác 0 đều bằng 0. Sự mơ hồ này có thể được loại bỏ bằng điều kiện a≠0. Và khi nào Một<0 chúng ta sẽ phải từ chối việc phân tích các giá trị hữu tỷ và vô tỷ của logarit, vì mức độ hợp lý và vô tỷ chỉ số hợp lý chỉ được xác định cho các cơ sở không âm. Chính vì lý do này mà điều kiện được quy định a>0.

VÀ điều kiện cuối cùng b>0 suy ra từ sự bất bình đẳng a>0, vì x=log α b, và giá trị bậc với cơ số dương Một luôn tích cực.

Đặc điểm của logarit.

Logaritđặc trưng bởi sự khác biệt đặc trưng, dẫn đến việc chúng được sử dụng rộng rãi để tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho các phép tính tỉ mỉ. Khi chuyển “sang thế giới logarit”, phép nhân được biến đổi nhiều hơn dễ dàng gấp, phép chia là phép trừ, còn phép lũy thừa và phép trích căn được chuyển tương ứng thành phép nhân và phép chia theo số mũ.

Xây dựng logarit và bảng giá trị của chúng (đối với hàm lượng giác) được xuất bản lần đầu tiên vào năm 1614 bởi nhà toán học người Scotland John Napier. Các bảng logarit, được các nhà khoa học khác mở rộng và chi tiết hóa, được sử dụng rộng rãi trong tính toán khoa học và kỹ thuật, và vẫn còn phù hợp cho đến khi sử dụng máy tính điện tử và máy tính.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Hãy giải thích nó đơn giản hơn. Ví dụ: \(\log_(2)(8)\) bằng sức mạnh, mà \(2\) phải được nâng lên để có được \(8\). Từ đây rõ ràng là \(\log_(2)(8)=3\).

Ví dụ:		\(\log_(5)(25)=2\)		bởi vì \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		bởi vì \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		bởi vì \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Lập luận và cơ sở của logarit

Bất kỳ logarit nào cũng có “giải phẫu” sau:

Đối số của logarit thường được viết ở cấp độ của nó và cơ số được viết bằng chỉ số dưới gần với dấu logarit hơn. Và mục này có nội dung như sau: “logarit của 25 cơ số 5.”

Làm thế nào để tính logarit?

Để tính logarit, bạn cần trả lời câu hỏi: cơ số phải được nâng lên lũy thừa bao nhiêu để có được đối số?

Ví dụ, tính logarit: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(4\) phải tăng lên lũy thừa bao nhiêu để có được \(16\)? Rõ ràng là cái thứ hai. Đó là lý do tại sao:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(\sqrt(5)\) phải tăng lên lũy thừa bao nhiêu để có được \(1\)? Sức mạnh nào làm nên số một? Tất nhiên là không!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) phải tăng lên mức nào để đạt được \(\sqrt(7)\)? Thứ nhất, bất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(3\) phải tăng lên bao nhiêu để đạt được \(\sqrt(3)\)? Từ chúng tôi biết nó là gì sức mạnh phân số, và điều đó có nghĩa là căn bậc hai là sức mạnh của \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Ví dụ : Tính logarit \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Giải pháp :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Chúng ta cần tìm giá trị của logarit, hãy ký hiệu nó là x. Bây giờ hãy sử dụng định nghĩa của logarit: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Điều gì kết nối \(4\sqrt(2)\) và \(8\)? Hai, vì cả hai số đều có thể được biểu diễn bằng số hai: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Ở bên trái, chúng ta sử dụng các thuộc tính của độ: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) và \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Căn cứ bằng nhau, ta chuyển sang bình đẳng về chỉ số
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Nhân cả hai vế của phương trình với \(\frac(2)(5)\)
		Căn kết quả là giá trị của logarit

Trả lời : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Tại sao logarit được phát minh?

Để hiểu điều này, hãy giải phương trình: \(3^(x)=9\). Chỉ cần khớp \(x\) để làm cho đẳng thức hoạt động. Tất nhiên là \(x=2\).

Bây giờ hãy giải phương trình: \(3^(x)=8\).Tại sao bằng x? Đó là vấn đề.

Những người thông minh nhất sẽ nói: “X nhỏ hơn hai một chút”. Làm thế nào chính xác để viết số này? Để trả lời câu hỏi này, logarit đã được phát minh. Nhờ anh ấy, câu trả lời ở đây có thể được viết là \(x=\log_(3)(8)\).

Tôi muốn nhấn mạnh rằng \(\log_(3)(8)\), như bất kỳ logarit nào cũng chỉ là một con số. Vâng, nó trông khác thường, nhưng nó ngắn. Bởi vì nếu chúng ta muốn viết nó dưới dạng số thập phân, thì nó sẽ trông như thế này: \(1.892789260714.....\)

Ví dụ : Giải phương trình \(4^(5x-4)=10\)

Giải pháp :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) và \(10\) không thể được đưa về cùng một cơ sở. Điều này có nghĩa là bạn không thể làm gì nếu không có logarit. Hãy sử dụng định nghĩa của logarit: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Hãy lật ngược phương trình sao cho X ở bên trái
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Trước chúng tôi. Hãy di chuyển \(4\) sang phải. Và đừng sợ logarit, hãy coi nó như một con số bình thường.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Chia phương trình cho 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Đây là gốc rễ của chúng tôi. Vâng, có vẻ bất thường nhưng họ không chọn câu trả lời.

Trả lời : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarit thập phân và tự nhiên

Như đã nêu trong định nghĩa logarit, cơ số của nó có thể là bất kỳ số dương nào ngoại trừ một \((a>0, a\neq1)\). Và trong số tất cả các cơ sở có thể có, có hai cơ sở xảy ra thường xuyên đến mức người ta đã phát minh ra một ký hiệu ngắn đặc biệt cho logarit với chúng:

Logarit tự nhiên: logarit có cơ số là số Euler \(e\) (bằng xấp xỉ \(2.7182818…\)) và logarit được viết là \(\ln(a)\).

Đó là, \(\ln(a)\) giống như \(\log_(e)(a)\)

Logarit thập phân: Một logarit có cơ số 10 được viết \(\lg(a)\).

Đó là, \(\lg(a)\) giống như \(\log_(10)(a)\), trong đó \(a\) là một số nào đó.

Nhận dạng logarit cơ bản

Logarit có nhiều tính chất. Một trong số đó được gọi là “Cơ bản nhận dạng logarit" và trông như thế này:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Thuộc tính này suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Chúng ta hãy xem chính xác công thức này ra đời như thế nào.

Chúng ta hãy nhớ lại một ký hiệu ngắn gọn về định nghĩa logarit:

nếu \(a^(b)=c\), thì \(\log_(a)(c)=b\)

Nghĩa là, \(b\) giống với \(\log_(a)(c)\). Khi đó chúng ta có thể viết \(\log_(a)(c)\) thay vì \(b\) trong công thức \(a^(b)=c\). Hóa ra \(a^(\log_(a)(c))=c\) - danh tính logarit chính.

Bạn có thể tìm thấy các tính chất khác của logarit. Với sự trợ giúp của họ, bạn có thể đơn giản hóa và tính toán các giá trị của biểu thức bằng logarit, vốn rất khó tính toán trực tiếp.

Ví dụ : Tìm giá trị của biểu thức \(36^(\log_(6)(5))\)

Giải pháp :

Trả lời : \(25\)

Làm thế nào để viết một số dưới dạng logarit?

Như đã đề cập ở trên, bất kỳ logarit nào cũng chỉ là một con số. Điều ngược lại cũng đúng: bất kỳ số nào cũng có thể được viết dưới dạng logarit. Ví dụ: chúng ta biết rằng \(\log_(2)(4)\) bằng hai. Sau đó, bạn có thể viết \(\log_(2)(4)\) thay vì hai.

Nhưng \(\log_(3)(9)\) cũng bằng \(2\), có nghĩa là chúng ta cũng có thể viết \(2=\log_(3)(9)\) . Tương tự như vậy với \(\log_(5)(25)\) và với \(\log_(9)(81)\), v.v. Tức là hóa ra

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Vì vậy, nếu cần, chúng ta có thể viết hai dưới dạng logarit với bất kỳ cơ số nào ở bất kỳ đâu (ngay cả trong một phương trình, ngay cả trong một biểu thức, thậm chí trong một bất đẳng thức) - chúng ta chỉ cần viết cơ số bình phương làm đối số.

Điều này cũng tương tự với bộ ba – nó có thể được viết là \(\log_(2)(8)\), hoặc \(\log_(3)(27)\), hoặc \(\log_(4)( 64) \)... Ở đây chúng ta viết cơ số trong hình lập phương làm đối số:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Và với bốn:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Và với trừ một:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Và với một phần ba:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bất kỳ số \(a\) nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng logarit với cơ số \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Ví dụ : Tìm ý nghĩa của biểu thức \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Giải pháp :

Trả lời : \(1\)

Theo tỷ lệ

nhiệm vụ tìm bất kỳ số nào trong ba số từ hai số đã cho còn lại có thể được đặt. Nếu a và sau đó cho N, chúng được tìm bằng lũy ​​thừa. Nếu N và sau đó a được cho bằng cách lấy căn bậc x (hoặc nâng nó lên lũy thừa). Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi cho a và N, chúng ta cần tìm x.

Cho số N dương: số a dương và không bằng 1: .

Sự định nghĩa. Logarit của số N cơ số a là số mũ mà a phải được nâng lên để thu được số N; logarit được ký hiệu là

Do đó, trong đẳng thức (26.1) số mũ được tìm thấy dưới dạng logarit của N cơ số a. bài viết

có cùng một ý nghĩa. Đẳng thức (26.1) đôi khi được gọi là đồng nhất thức chính của lý thuyết logarit; trong thực tế nó thể hiện định nghĩa của khái niệm logarit. Qua định nghĩa này Cơ số của logarit a luôn dương và khác với đơn vị; số logarit N là dương. Số âm và số 0 không có logarit. Có thể chứng minh rằng bất kỳ số nào có cơ số cho trước đều có logarit được xác định rõ ràng. Do đó đòi hỏi phải có sự bình đẳng. Lưu ý rằng điều kiện thiết yếu ở đây là nếu không thì kết luận sẽ không hợp lý vì đẳng thức đúng với mọi giá trị của x và y.

Ví dụ 1. Tìm

Giải pháp. Để có được một số, bạn phải nâng cơ số 2 lên lũy thừa Do đó.

Bạn có thể ghi chú khi giải các ví dụ đó theo mẫu sau:

Ví dụ 2. Tìm .

Giải pháp. Chúng tôi có

Trong ví dụ 1 và 2, chúng ta dễ dàng tìm được logarit mong muốn bằng cách biểu diễn số logarit dưới dạng lũy ​​thừa cơ số với số mũ hữu tỉ. TRONG trường hợp chung, ví dụ, v.v., điều này không thể thực hiện được vì logarit có ý nghĩa phi lý. Chúng ta hãy chú ý đến một vấn đề liên quan đến tuyên bố này. Trong đoạn 12 chúng tôi đã đưa ra khái niệm về khả năng xác định bất kỳ bằng cấp thậtđược cho số dương. Điều này là cần thiết cho việc giới thiệu logarit, nói chung, có thể là số vô tỷ.

Hãy xem xét một số tính chất của logarit.

Tính chất 1. Nếu số và cơ số bằng nhau thì logarit bằng một, và ngược lại, nếu logarit bằng 1 thì số và cơ số bằng nhau.

Bằng chứng. Hãy để Theo định nghĩa của logarit chúng ta có và từ đó

Ngược lại, đặt Then theo định nghĩa

Tính chất 2. Logarit của một cơ số bất kỳ đều bằng 0.

Bằng chứng. Theo định nghĩa logarit ( không độ mọi cơ số dương đều bằng một, xem (10.1)). Từ đây

Q.E.D.

Mệnh đề ngược lại cũng đúng: nếu , thì N = 1. Thật vậy, ta có .

Trước khi xây dựng tính chất tiếp theo của logarit, chúng ta hãy đồng ý rằng hai số a và b nằm cùng một phía của số thứ ba c nếu cả hai đều lớn hơn c hoặc nhỏ hơn c. Nếu một trong các số này lớn hơn c và số kia nhỏ hơn c thì chúng ta nói rằng chúng nằm dọc các mặt khác nhau từ làng

Tính chất 3. Nếu số và cơ số nằm cùng một phía thì logarit là dương; Nếu số và cơ số nằm đối diện nhau thì logarit âm.

Chứng minh tính chất 3 dựa trên thực tế là lũy thừa của a lớn hơn một nếu cơ số lớn hơn một và số mũ dương hoặc cơ số nhỏ hơn một và số mũ âm. Một lũy thừa nhỏ hơn một nếu cơ số lớn hơn một và số mũ âm hoặc cơ số nhỏ hơn một và số mũ dương.

Có bốn trường hợp cần xem xét:

Chúng tôi sẽ giới hạn ở việc phân tích phần đầu tiên; người đọc sẽ tự mình xem xét phần còn lại.

Giả sử trong đẳng thức số mũ có thể không âm cũng không thể bằng 0, do đó, nó dương, tức là, như yêu cầu phải chứng minh.

Ví dụ 3. Tìm logarit nào dưới đây dương, logarit nào âm:

Giải: a) Vì số 15 và cơ số 12 nằm cùng một phía;

b) vì 1000 và 2 nằm ở một bên của đơn vị; trong trường hợp này, việc cơ số lớn hơn số logarit không quan trọng;

c) vì 3.1 và 0.8 nằm ở hai phía đối diện của sự thống nhất;

G); Tại sao?

d) ; Tại sao?

Các thuộc tính sau 4-6 thường được gọi là quy tắc logarit: chúng cho phép, khi biết logarit của một số số, tìm logarit của tích, thương, bậc của từng số.

Thuộc tính 4 (quy tắc logarit tích số). Logarit của tích một số số dương bằng cơ sở này bằng tổng logarit của các số này về cùng một cơ số.

Bằng chứng. Giả sử các số đã cho là số dương.

Đối với logarit của tích của chúng, chúng ta viết đẳng thức (26.1) xác định logarit:

Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy

So sánh số mũ thứ nhất và số mũ biểu thức cuối cùng, chúng ta thu được đẳng thức cần thiết:

Lưu ý rằng điều kiện là cần thiết; logarit của tích hai số âm có ý nghĩa, nhưng trong trường hợp này chúng tôi nhận được

Nói chung, nếu tích của một số thừa số là dương thì logarit của nó bằng tổng logarit của các giá trị tuyệt đối của các thừa số này.

Tính chất 5 (quy tắc lấy logarit của thương). Logarit của thương số dương bằng hiệu giữa logarit của số bị chia và số chia, lấy về cùng một cơ số. Bằng chứng. Chúng tôi liên tục tìm thấy

Q.E.D.

Thuộc tính 6 (quy tắc logarit lũy thừa). Logarit lũy thừa của một số dương bằng logarit số này nhân với số mũ.

Bằng chứng. Chúng ta hãy viết lại đẳng thức chính (26.1) cho số đó:

Q.E.D.

Kết quả. Logarit của căn của một số dương bằng logarit của căn chia cho số mũ của căn:

Tính giá trị của hệ quả này có thể được chứng minh bằng cách tưởng tượng cách thức và cách sử dụng tính chất 6.

Ví dụ 4. Lấy logarit cơ số a:

a) (giả sử tất cả các giá trị b, c, d, e đều dương);

b) (giả sử rằng ).

Giải pháp, a) Thật thuận tiện khi đi đến biểu thức này thành lũy thừa phân số:

Dựa trên các đẳng thức (26.5)-(26.7), bây giờ chúng ta có thể viết:

Chúng tôi nhận thấy rằng các phép tính đơn giản hơn được thực hiện trên logarit của các số so với chính các số: khi nhân các số, logarit của chúng được cộng, khi chia, chúng được trừ, v.v.

Đó là lý do tại sao logarit được sử dụng trong thực hành tính toán (xem đoạn 29).

Tác dụng nghịch đảo của logarit được gọi là thế năng, cụ thể là: thế năng là hành động mà chính số đó được tìm thấy từ logarit đã cho của một số. Về cơ bản, tăng cường sức mạnh không phải là bất kỳ hành động đặc biệt nào: nó liên quan đến việc nâng cơ sở lên thành quyền lực ( bằng logarit số). Thuật ngữ "thế năng" có thể được coi là đồng nghĩa với thuật ngữ "lũy thừa".

Khi nhân thế phải sử dụng các quy tắc nghịch đảo với quy tắc logarit: thay tổng logarit bằng logarit của tích, thay logarit bằng logarit của thương, v.v. Đặc biệt, nếu có thừa số đứng trước của dấu logarit thì trong quá trình thế năng nó phải được chuyển sang bậc mũ dưới dấu logarit.

Ví dụ 5. Tìm N nếu biết rằng

Giải pháp. Liên quan đến quy tắc điện thế vừa nêu, chúng ta sẽ chuyển các thừa số 2/3 và 1/3 đứng trước dấu logarit ở vế phải của đẳng thức này thành số mũ dưới dấu của các logarit này; chúng tôi nhận được

Bây giờ chúng ta thay hiệu logarit bằng logarit của thương:

để thu được phân số cuối cùng trong chuỗi đẳng thức này, chúng ta đã loại bỏ phân số trước khỏi tính vô tỉ trong mẫu số (phần 25).

Tính chất 7. Nếu cơ số lớn hơn một thì số lớn hơn có logarit lớn hơn (và số nhỏ hơn có số nhỏ hơn), nếu cơ số nhỏ hơn 1 thì số lớn hơn có logarit nhỏ hơn (và số nhỏ hơn có logarit lớn hơn).

Tính chất này cũng được xây dựng như một quy tắc để tính logarit của bất đẳng thức, cả hai vế của chúng đều dương:

Khi lấy logarit của bất đẳng thức về cơ số, lớn hơn một, dấu của bất đẳng thức được giữ nguyên và khi lấy logarit cơ số nhỏ hơn 1 thì dấu của bất đẳng thức thay đổi theo chiều ngược lại (xem thêm đoạn 80).

Chứng minh dựa trên tính chất 5 và 3. Xét trường hợp If , then và lấy logarit, ta thu được

(a và N/M nằm cùng một phía thống nhất). Từ đây

Trường hợp a sau, bạn đọc tự tìm hiểu.

Họ làm theo định nghĩa của nó. Và logarit của số b dựa trên MỘTđược định nghĩa là số mũ mà một số phải được nâng lên Mộtđể có được số b(logarit chỉ tồn tại với số dương).

Từ công thức này suy ra rằng việc tính toán x=log a b, tương đương với việc giải phương trình a x = b. Ví dụ, log 2 8 = 3 bởi vì 8 = 2 3 . Công thức logarit có thể chứng minh rằng nếu b=a c, thì logarit của số b dựa trên Một bằng Với. Cũng rõ ràng là chủ đề logarit có liên quan chặt chẽ đến chủ đề lũy thừa của một số.

Với logarit, cũng như với bất kỳ số nào, bạn có thể làm các phép tính cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách có thể. Nhưng do logarit không hoàn toàn là những con số thông thường nên các quy tắc đặc biệt riêng của chúng được áp dụng ở đây, được gọi là thuộc tính chính.

Cộng và trừ logarit.

Hãy lấy hai logarit với trên cùng một cơ sở: ghi lại x Và đăng nhập một y. Sau đó có thể thực hiện các phép tính cộng và trừ:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

đăng nhập một(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = ghi lại x 1 + ghi lại x 2 + ghi lại x 3 + ... + log a x k.

Từ định lý logarit thương có thể thu được thêm một tính chất của logarit. Người ta biết rằng nhật ký Một 1= 0, do đó

nhật ký Một 1 /b= nhật ký Một 1 - nhật ký một b= -log một b.

Điều này có nghĩa là có sự bình đẳng:

log a 1 / b = - log a b.

Logarit của hai số nghịch đảo vì lý do tương tự sẽ chỉ khác nhau ở dấu hiệu. Vì thế:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.