Các tính chất cơ bản của logarit tự nhiên, đồ thị, miền định nghĩa, tập giá trị, công thức cơ bản, đạo hàm, tích phân, khai triển trong loạt điện và biểu diễn hàm ln x bằng số phức.
Sự định nghĩa
logarit tự nhiên là hàm y = ln x, nghịch đảo với hàm mũ, x = e y , và là logarit dựa trên số e: ln x = log e x.
Logarit tự nhiên được sử dụng rộng rãi trong toán học vì đạo hàm của nó có dạng đơn giản nhất: (ln x)′ = 1/ x.
Dựa trên định nghĩa, cơ số của logarit tự nhiên là số e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Đồ thị của hàm số y = ln x.
Đồ thị logarit tự nhiên (hàm số y = ln x) thu được từ đồ họa hàm mũ hình ảnh phản chiếu so với đường thẳng y = x.
Logarit tự nhiên được xác định tại giá trị tích cực biến x.
Nó tăng đơn điệu trong phạm vi định nghĩa của nó. 0 Tại x →
giới hạn của logarit tự nhiên là âm vô cực (-∞). Khi x → + ∞, giới hạn của logarit tự nhiên là cộng vô cùng (+ ∞). Đối với x lớn, logarit tăng khá chậm. Bất kì chức năng điện x a s chỉ số tích cực
độ a tăng nhanh hơn logarit.
Tính chất của logarit tự nhiên
Miền định nghĩa, tập giá trị, cực trị, tăng, giảm
Logarit tự nhiên là hàm tăng đơn điệu nên không có cực trị. Các tính chất chính của logarit tự nhiên được trình bày trong bảng.
giá trị ln x
ln 1 = 0
Các công thức cơ bản của logarit tự nhiên
Các công thức sau từ định nghĩa của hàm nghịch đảo:
Tính chất chính của logarit và hệ quả của nó
Công thức thay thế cơ sở Bất kỳ logarit nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng logarit tự nhiên
sử dụng công thức thay thế cơ sở: Chứng minh các công thức này được trình bày ở phần.
"Logarit"
Hàm nghịch đảo Nghịch đảo của logarit tự nhiên là.
số mũ
Nếu , thì
Nếu thì.
Đạo hàm ln x
.
Đạo hàm của logarit tự nhiên:
.
Đạo hàm logarit tự nhiên của mô đun x:
.
Đạo hàm bậc n:
Công thức dẫn xuất > > >
tích phân Tích phân được tính :
.
tích hợp từng phần
Vì thế,
Biểu thức sử dụng số phức
.
Xét hàm của biến phức z: Hãy biểu diễn biến phức z thông qua mô-đun r φ
:
.
và lập luận
.
Áp dụng tính chất của logarit, ta có:
.
Đối số φ không được xác định duy nhất. Nếu bạn đặt
, trong đó n là số nguyên,
nó sẽ là cùng một số cho n khác nhau.
Do đó, logarit tự nhiên, với tư cách là một hàm của một biến phức, không phải là hàm một giá trị.
Mở rộng dòng điện
Khi quá trình mở rộng diễn ra:
Văn học đã qua sử dụng:
TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay toán học dành cho kỹ sư và sinh viên đại học, “Lan”, 2009.
Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu logarit. Trong bài viết này chúng ta sẽ nói về tính logarit, quá trình này được gọi là logarit. Đầu tiên chúng ta sẽ hiểu cách tính logarit theo định nghĩa. Tiếp theo, chúng ta hãy xem cách tìm thấy các giá trị logarit bằng cách sử dụng các thuộc tính của chúng. Sau này, chúng ta sẽ tập trung vào việc tính logarit ban đầu đặt giá trị logarit khác. Cuối cùng, hãy tìm hiểu cách sử dụng bảng logarit. Toàn bộ lý thuyết được cung cấp các ví dụ với các giải pháp chi tiết.
Điều hướng trang.
Tính logarit theo định nghĩa
Trong những trường hợp đơn giản nhất có thể thực hiện khá nhanh chóng và dễ dàng tìm logarit theo định nghĩa. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn quá trình này xảy ra như thế nào.
Bản chất của nó là biểu diễn số b dưới dạng a c, từ đó, theo định nghĩa logarit, số c là giá trị của logarit. Nghĩa là, theo định nghĩa, chuỗi đẳng thức sau đây tương ứng với việc tìm logarit: log a b=log a a c =c.
Vì vậy, việc tính logarit theo định nghĩa là tìm một số c sao cho a c = b và bản thân số c là giá trị mong muốn của logarit.
Có tính đến thông tin trong các đoạn trước, khi số dưới dấu logarit được cho bởi một lũy thừa nhất định của cơ số logarit, bạn có thể chỉ ra ngay logarit bằng bao nhiêu - nó bằng chỉ sốđộ. Hãy chỉ ra giải pháp cho các ví dụ.
Ví dụ.
Tìm log 2 2 −3, đồng thời tính logarit tự nhiên của số e 5,3.
Giải pháp.
Định nghĩa của logarit cho phép chúng ta nói ngay rằng log 2 2 −3 =−3. Thật vậy, số dưới dấu logarit bằng cơ số 2 lũy thừa −3.
Tương tự, ta tìm logarit thứ hai: lne 5.3 =5.3.
Trả lời:
log 2 2 −3 =−3 và lne 5,3 =5,3.
Nếu số b dưới dấu logarit không được chỉ định là lũy thừa cơ số của logarit, thì bạn cần xem xét cẩn thận xem liệu có thể đưa ra cách biểu diễn số b dưới dạng a c hay không. Thường cách biểu diễn này khá rõ ràng, nhất là khi số dưới dấu logarit bằng cơ số lũy thừa 1, hoặc 2, hoặc 3,...
Ví dụ.
Tính logarit log 5 25 , và .
Giải pháp.
Dễ dàng thấy rằng 25=5 2, điều này cho phép bạn tính logarit đầu tiên: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Hãy chuyển sang tính logarit thứ hai. Số có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 7: 
(xem nếu cần thiết). Kể từ đây, 
.
Hãy viết lại logarit thứ ba trong mẫu sau. Bây giờ bạn có thể thấy điều đó 
, từ đó chúng ta kết luận rằng 
. Do đó, theo định nghĩa logarit 
.
Tóm lại, lời giải có thể được viết như sau: .
Trả lời:
log 5 25=2 , 
Và .
Khi dưới dấu logarit có một giá trị đủ lớn số tự nhiên, thì sẽ không có hại gì khi phân hủy nó thành thừa số nguyên tố. Nó thường giúp biểu diễn một số như một số lũy thừa của cơ số logarit và do đó tính toán logarit này theo định nghĩa.
Ví dụ.
Tìm giá trị của logarit.
Giải pháp.
Một số thuộc tính của logarit cho phép bạn xác định ngay giá trị của logarit. Những tính chất này bao gồm tính chất logarit của một đơn vị và tính chất logarit của một số, bằng với cơ sở: log 1 1=log a a 0 =0 và log a a=log a a 1 =1 . Nghĩa là, khi dưới dấu logarit có số 1 hoặc số a bằng cơ số của logarit, thì trong những trường hợp này, logarit lần lượt bằng 0 và 1.
Ví dụ.
Logarit và log10 bằng nhau là gì?
Giải pháp.
Vì , thì từ định nghĩa logarit nó suy ra 
.
Trong ví dụ thứ hai, số 10 dưới dấu logarit trùng với cơ số của nó, do đó logarit thập phân của 10 bằng một, nghĩa là log10=lg10 1 =1.
Trả lời:
VÀ lg10=1 .
Lưu ý rằng việc tính logarit theo định nghĩa (mà chúng ta đã thảo luận ở phần đoạn trước) ngụ ý việc sử dụng log đẳng thức a a p = p, đây là một trong những tính chất của logarit.
Trong thực tế, khi một số dưới dấu logarit và cơ số của logarit dễ dàng được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một số nhất định thì sẽ rất thuận tiện khi sử dụng công thức 
, tương ứng với một trong các tính chất của logarit. Hãy xem một ví dụ về tìm logarit minh họa việc sử dụng công thức này.
Ví dụ.
Tính logarit.
Giải pháp.
Trả lời:
.
Các thuộc tính của logarit không được đề cập ở trên cũng được sử dụng trong tính toán, nhưng chúng ta sẽ nói về điều này trong các đoạn văn sau.
Tìm logarit thông qua các logarit đã biết khác
Thông tin trong đoạn này tiếp tục chủ đề sử dụng các tính chất của logarit khi tính toán chúng. Nhưng điểm khác biệt chính ở đây là các tính chất của logarit được sử dụng để biểu thị logarit ban đầu theo một logarit khác, giá trị của nó đã biết. Hãy đưa ra một ví dụ để làm rõ. Giả sử chúng ta biết rằng log 2 3≈1.584963, sau đó chúng ta có thể tìm thấy, chẳng hạn như log 2 6 bằng cách thực hiện một phép biến đổi nhỏ bằng cách sử dụng các thuộc tính của logarit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Trong ví dụ trên, chúng ta chỉ cần sử dụng tính chất logarit của tích là đủ. Tuy nhiên, thường xuyên hơn, cần phải sử dụng kho tính chất logarit rộng hơn để tính logarit ban đầu thông qua các giá trị đã cho.
Ví dụ.
Tính logarit của 27 cơ số 60 nếu bạn biết log 60 2=a và log 60 5=b.
Giải pháp.
Vì vậy chúng ta cần tìm log 60 27 . Dễ dàng thấy rằng 27 = 3 3 , và logarit ban đầu, do tính chất logarit lũy thừa, có thể viết lại thành 3·log 60 3 .
Bây giờ chúng ta hãy xem cách biểu diễn log 60 3 theo logarit đã biết. Tính chất logarit của một số bằng cơ số cho phép chúng ta viết logarit đẳng thức 60 60=1. Mặt khác, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Như vậy, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Kể từ đây, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Cuối cùng, chúng ta tính logarit ban đầu: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Trả lời:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Riêng biệt, điều đáng nói là ý nghĩa của công thức chuyển sang cơ số mới của logarit dạng 
. Nó cho phép bạn chuyển từ logarit với bất kỳ cơ số nào sang logarit với một cơ số cụ thể, các giá trị đã biết hoặc có thể tìm thấy chúng. Thông thường, từ logarit ban đầu, sử dụng công thức chuyển tiếp, họ chuyển sang logarit ở một trong các cơ số 2, e hoặc 10, vì đối với các cơ số này có các bảng logarit cho phép tính giá trị của chúng với một mức độ nhất định sự chính xác. TRONG điểm tiếp theo chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách thực hiện.
Bảng logarit và công dụng của chúng
Để tính toán gần đúng các giá trị logarit có thể được sử dụng bảng logarit. Bảng logarit cơ số 2, bảng logarit tự nhiên và bảng logarit tự nhiên được sử dụng phổ biến nhất logarit thập phân. Khi làm việc ở hệ thập phânĐối với phép tính, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng bảng logarit dựa trên cơ số mười. Với sự giúp đỡ của nó, chúng ta sẽ học cách tìm các giá trị của logarit.
Bảng được trình bày cho phép bạn tìm các giá trị logarit thập phân của các số từ 1.000 đến 9.999 (với ba chữ số thập phân) với độ chính xác đến một phần mười nghìn. Chúng ta sẽ phân tích nguyên tắc tìm giá trị logarit bằng bảng logarit thập phân thành ví dụ cụ thể- thế thì rõ ràng hơn. Hãy tìm log1.256.
Ở cột bên trái của bảng logarit thập phân, chúng ta tìm thấy hai chữ số đầu tiên của số 1.256, tức là chúng ta tìm thấy 1,2 (số này được khoanh tròn màu xanh lam cho rõ ràng). Chúng ta tìm chữ số thứ ba của 1,256 (chữ số 5) ở chữ số đầu tiên hoặc dòng cuối cùngở bên trái của dòng đôi (số này được khoanh tròn màu đỏ). Chữ số thứ tư của số ban đầu 1.256 (chữ số 6) nằm ở dòng đầu tiên hoặc dòng cuối cùng bên phải của dòng kép (số này được khoanh tròn bằng đường màu xanh lá cây). Bây giờ chúng ta tìm các số trong các ô của bảng logarit tại giao điểm của hàng được đánh dấu và các cột được đánh dấu (các số này được đánh dấu quả cam). Tổng các số được đánh dấu sẽ cho giá trị mong muốn của logarit thập phân chính xác đến chữ số thập phân thứ tư, nghĩa là: log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Có thể sử dụng bảng trên để tìm giá trị logarit thập phân của các số có nhiều hơn ba chữ số sau dấu thập phân, cũng như các giá trị vượt quá phạm vi từ 1 đến 9,999? Có, bạn có thể. Hãy cho thấy cách thực hiện điều này bằng một ví dụ.
Hãy tính lg102.76332. Đầu tiên bạn cần viết ra số trong mẫu chuẩn : 102.76332=1.0276332·10 2. Sau đó, phần định trị sẽ được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, chúng ta có 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, trong khi logarit thập phân ban đầu xấp xỉ bằng logarit số kết quả, tức là chúng ta lấy log102.76332≈lg1.028·10 2. Bây giờ chúng ta áp dụng các tính chất của logarit: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Cuối cùng, chúng ta tìm thấy giá trị của logarit lg1.028 từ bảng logarit thập phân lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kết quả là toàn bộ quá trình tính logarit trông như thế này: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Tóm lại, điều đáng chú ý là bằng cách sử dụng bảng logarit thập phân, bạn có thể tính giá trị gần đúng của bất kỳ logarit nào. Để làm điều này, chỉ cần sử dụng công thức chuyển đổi để chuyển sang logarit thập phân, tìm giá trị của chúng trong bảng và thực hiện các phép tính còn lại.
Ví dụ: hãy tính log 2 3 . Theo công thức chuyển logarit sang cơ số mới, ta có . Từ bảng logarit thập phân, chúng ta tìm thấy log3≈0,4771 và log2≈0,3010. Như vậy, 
.
Tài liệu tham khảo.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các môn khác Đại số và khởi đầu của giải tích: Sách giáo khoa lớp 10 - 11 cơ sở giáo dục phổ thông.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán (sổ tay dành cho học sinh vào các trường kỹ thuật).
Hướng dẫn
Viết ra những điều đã cho biểu thức logarit. Nếu biểu thức sử dụng logarit của 10 thì ký hiệu của nó được rút ngắn và trông như sau: lg b là logarit thập phân. Nếu logarit có cơ số là e thì viết biểu thức: ln b – logarit tự nhiên. Người ta hiểu rằng kết quả của bất kỳ là lũy thừa mà số cơ sở phải được nâng lên để có được số b.
Khi tìm tổng của hai hàm số, bạn chỉ cần phân tích từng hàm số một rồi cộng kết quả: (u+v)" = u"+v";
Khi tìm đạo hàm của tích hai hàm số, cần nhân đạo hàm của hàm số thứ nhất với hàm số thứ hai rồi cộng đạo hàm của hàm số thứ hai nhân với hàm số thứ nhất: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Để tìm đạo hàm của thương của hai hàm số, cần trừ tích đạo hàm của số bị chia nhân với hàm số chia bằng tích của đạo hàm của số chia nhân với hàm số bị chia và chia tất cả điều này bằng hàm chia bình phương. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Nếu được hàm phức tạp, thì cần phải nhân đạo hàm của chức năng nội bộ và đạo hàm của cái bên ngoài. Đặt y=u(v(x)), sau đó y"(x)=y"(u)*v"(x).
Sử dụng các kết quả thu được ở trên, bạn có thể phân biệt hầu hết mọi chức năng. Vì vậy, hãy xem xét một vài ví dụ:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ngoài ra còn có các vấn đề liên quan đến việc tính đạo hàm tại một điểm. Cho hàm y=e^(x^2+6x+5), bạn cần tìm giá trị của hàm tại điểm x=1.
1) Tìm đạo hàm của hàm số: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Tính giá trị của hàm trong điểm nhất định y"(1)=8*e^0=8
Video về chủ đề
Tìm hiểu bảng đạo hàm cơ bản. Điều này sẽ tiết kiệm đáng kể thời gian.
Nguồn:
- đạo hàm của một hằng số
Vì vậy, sự khác biệt giữa phương trình hữu tỉ từ lý trí? Nếu biến chưa biết nằm dưới dấu căn bậc hai, thì phương trình được coi là vô tỉ.
Hướng dẫn
Phương pháp chính để giải các phương trình như vậy là phương pháp xây dựng cả hai vế phương trình thành một hình vuông. Tuy nhiên. Điều này là đương nhiên, điều đầu tiên bạn cần làm là loại bỏ biển báo. Phương pháp này không khó về mặt kỹ thuật nhưng đôi khi có thể dẫn đến rắc rối. Ví dụ: phương trình là v(2x-5)=v(4x-7). Bằng cách bình phương cả hai vế, bạn nhận được 2x-5=4x-7. Giải phương trình như vậy không khó; x=1. Nhưng số 1 sẽ không được trao phương trình. Tại sao? Thay thế một vào phương trình thay vì giá trị của x. Và vế phải và trái sẽ chứa các biểu thức vô nghĩa. Giá trị này không hợp lệ cho căn bậc hai. Do đó 1 là một nghiệm ngoại lai, và do đó phương trình đã cho không có rễ.
Vì thế, phương trình vô tỉđược giải bằng phương pháp bình phương cả hai phần của nó. Và sau khi giải phương trình, cần phải cắt bỏ các rễ ngoại lai. Để làm điều này, thay thế các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu.
Hãy xem xét một cái khác.
2х+vх-3=0
Tất nhiên, phương trình này có thể được giải bằng phương trình tương tự như phương trình trước. Di chuyển hợp chất phương trình, không có căn bậc hai, sang vế phải rồi sử dụng phương pháp bình phương. giải phương trình hữu tỉ và nghiệm. Nhưng cũng có một cái khác, thanh lịch hơn. Nhập một biến mới; vх=y. Theo đó, bạn sẽ nhận được phương trình có dạng 2y2+y-3=0. Tức là thông thường phương trình bậc hai. Tìm nguồn gốc của nó; y1=1 và y2=-3/2. Tiếp theo, giải hai phương trình vх=1; vх=-3/2. Phương trình thứ hai không có nghiệm; từ phương trình đầu tiên chúng ta tìm thấy x=1. Đừng quên kiểm tra rễ.
Giải quyết danh tính khá đơn giản. Để làm điều này bạn cần phải làm chuyển đổi danh tính cho đến khi đạt được mục tiêu. Vì vậy, với sự trợ giúp đơn giản nhất các phép tính số học nhiệm vụ trước mắt sẽ được giải quyết.
Bạn sẽ cần
- - giấy;
- - cái bút.
Hướng dẫn
Các phép biến đổi đơn giản nhất như vậy là các phép nhân viết tắt đại số (chẳng hạn như bình phương của tổng (chênh lệch), hiệu của bình phương, tổng (chênh lệch), lập phương của tổng (chênh lệch)). Ngoài ra còn có rất nhiều công thức lượng giác, về cơ bản là giống nhau.
Thật vậy, bình phương của tổng hai số hạng bằng hình vuông số thứ nhất cộng gấp đôi tích của số thứ nhất với số thứ hai và cộng với bình phương của số thứ hai, tức là (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Đơn giản hóa cả hai
Nguyên tắc chung của giải pháp
Lặp lại theo sách giáo khoa phân tích toán học hoặc toán cao hơn, là tích phân xác định. Như đã biết, giải pháp tích phân xác định có một hàm mà đạo hàm của nó cho ra một tích phân. Chức năng nàyđược gọi là phản đạo hàm. Qua nguyên tắc này và xây dựng các tích phân chính.Xác định bằng dạng tích phân mà tích phân trong bảng phù hợp trong trường hợp này. Không phải lúc nào cũng có thể xác định được điều này ngay lập tức. Thông thường, dạng bảng chỉ trở nên đáng chú ý sau một vài phép biến đổi để đơn giản hóa tích phân.
Phương pháp thay thế biến
Nếu hàm tích phân là hàm lượng giác, đối số của nó chứa một số đa thức, thì hãy thử sử dụng phương pháp thay thế biến. Để làm điều này, hãy thay thế đa thức trong đối số của số nguyên bằng một biến mới nào đó. Dựa vào mối quan hệ giữa biến mới và biến cũ, xác định giới hạn tích phân mới. Bằng cách lấy vi phân biểu thức này, hãy tìm vi phân mới trong . Vì vậy bạn sẽ nhận được diện mạo mới của tích phân trước, gần hoặc thậm chí tương ứng với bất kỳ tích phân nào trong bảng.Giải tích phân loại hai
Nếu tích phân là tích phân loại hai, dạng vectơ của tích phân, thì bạn sẽ cần sử dụng các quy tắc để chuyển từ tích phân này sang tích phân vô hướng. Một quy tắc như vậy là mối quan hệ Ostrogradsky-Gauss. Luật này cho phép bạn đi từ thông lượng rôto của một số hàm vectơ đến tích phân bội ba trên sự phân kỳ của một trường vectơ nhất định.Thay thế giới hạn tích hợp
Sau khi tìm được nguyên hàm cần thay các giới hạn tích phân. Đầu tiên thay thế giá trị giới hạn trên thành biểu thức của nguyên hàm. Bạn sẽ nhận được một số số. Tiếp theo, trừ từ số kết quả một số khác thu được từ giới hạn dưới vào nguyên hàm. Nếu một trong các giới hạn của tích phân là vô cùng thì khi thay nó vào hàm phản đạo hàm cần phải đi đến giới hạn và tìm ra điều mà biểu thức phấn đấu.Nếu tích phân là hai chiều hoặc ba chiều, thì bạn sẽ phải biểu diễn các giới hạn của tích phân về mặt hình học để hiểu cách tính tích phân. Thật vậy, trong trường hợp tích phân ba chiều, giới hạn của tích phân có thể là toàn bộ mặt phẳng giới hạn thể tích tích phân.
274. Nhận xét.
MỘT) Nếu biểu thức bạn muốn đánh giá có chứa tổng hợp hoặc sự khác biệt các số thì chúng phải được tìm thấy mà không cần sự trợ giúp của bảng phép cộng thông thường hoặc bằng phép trừ. Ví dụ:
log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.
b) Biết cách tính logarit biểu thức, chúng ta có thể làm ngược lại bằng cách kết quả này sử dụng logarit để tìm biểu thức từ đó thu được kết quả này; vậy nếu
nhật ký X= nhật ký Một+nhật ký b- 3 nhật ký Với,
thì điều đó thật dễ hiểu
V) Trước khi chuyển sang xem xét cấu trúc của bảng logarit, chúng ta sẽ chỉ ra một số tính chất của logarit thập phân, tức là: những số trong đó số 10 được lấy làm cơ sở (chỉ những logarit như vậy mới được sử dụng để tính toán).
Chương hai.
Tính chất của logarit thập phân.
275 . MỘT) Vì 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, v.v., thì log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, v.v.
Có nghĩa, logarit của một số nguyên được biểu thị bằng số 1 theo sau là số 0 là một số nguyên số dương, chứa nhiều số 1 như số 0 trong ảnh số.
Như vậy: log 100.000 = 5, nhật ký 1000 000 = 6 , vân vân.
b) Bởi vì
log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; nhật ký 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, vân vân.
Có nghĩa, logarit số thập phân, được biểu thị bằng một đơn vị có các số 0 đứng trước, là số nguyên âm chứa số số âm bằng số số 0 trong biểu diễn phân số, bao gồm cả 0 số nguyên.
Như vậy: nhật ký 0,00001= - 5, nhật ký 0,000001 = -6, vân vân.
V) Ví dụ: hãy lấy một số nguyên không được biểu thị bằng một và số không. Ví dụ: 35 hoặc số nguyên có phân số. 10.7. Logarit của một số như vậy không thể là số nguyên, vì khi nâng 10 lên lũy thừa với số mũ nguyên (dương hoặc âm), chúng ta nhận được 1 với các số 0 (theo sau 1 hoặc trước nó). Bây giờ chúng ta giả sử rằng logarit của một số như vậy là một phân số nào đó Một / b . Khi đó chúng ta sẽ có sự bình đẳng
Nhưng những sự bình đẳng này là không thể, vì 10MỘT có số 1 với số không, trong khi độ 35b Và 10,7b bằng bất kỳ biện pháp nào b không thể cho 1 theo sau là số không. Điều này có nghĩa là chúng ta không thể cho phép nhật ký 35 Và nhật ký 10.7đã bằng các phân số. Nhưng từ những tính chất hàm logarit chúng ta biết () rằng mọi số dương đều có logarit; do đó, mỗi số 35 và 10.7 đều có logarit riêng và vì nó không thể là số nguyên hoặc số phân số nên nó là số vô tỷ và do đó, không thể biểu thị chính xác bằng số. Logarit vô tỷ thường được biểu thị gần đúng dưới dạng phân số thập phân với một vài chữ số thập phân. Số nguyên của phân số này (ngay cả khi nó là “0 số nguyên”) được gọi là đặc trưng, MỘT phần phân số- mantissa của logarit. Ví dụ, nếu có logarit 1,5441 , thì đặc điểm của nó bằng 1 , và lớp phủ là 0,5441 .
G) Hãy lấy một số nguyên hoặc hỗn số làm ví dụ. 623 hoặc 623,57 . Logarit của một số như vậy bao gồm một đặc tính và một phần định trị. Hóa ra logarit thập phân có sự tiện lợi mà chúng ta luôn có thể tìm thấy đặc điểm của chúng bằng một loại số . Để làm điều này, chúng ta đếm có bao nhiêu chữ số trong một số nguyên nhất định hoặc trong một phần nguyên hỗn số, Trong ví dụ của chúng tôi về những con số này 3 . Vì vậy, mỗi số 623 Và 623,57 hơn 100 nhưng nhỏ hơn 1000; điều này có nghĩa là logarit của mỗi số đó lớn hơn nhật ký 100, tức là nhiều hơn 2 , nhưng ít hơn đăng nhập 1000, tức là ít hơn 3 (hãy nhớ rằng số lớn hơn cũng có logarit lớn hơn). Kể từ đây, log 623 = 2,..., Và log 623,57 = 2,... (dấu chấm thay thế phần định trị không xác định).
Như thế này chúng ta tìm thấy:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 log 8634 = 3,... |
Nói chung, giả sử một số nguyên cho trước hoặc một phần nguyên của một hỗn số cho trước chứa tôi con số Vì số nguyên nhỏ nhất chứa tôi những con số, vâng 1 Với tôi - 1 thì số 0 ở cuối (biểu thị số này N) ta có thể viết các bất đẳng thức:
và do đó,
tôi - 1 < log N < tôi ,
log N = ( tôi - 1) + phần dương .
Vì vậy đặc điểm logN = tôi - 1 .
Chúng ta thấy theo cách này rằng đặc tính logarit của một số nguyên hoặc hỗn số chứa số đơn vị dương bằng số chữ số trong phần nguyên của số trừ một.
Nhận thấy điều này, chúng ta có thể viết trực tiếp:
log 7.205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720.4 = 2,... vân vân.
d) Hãy lấy một vài phân số thập phân nhỏ hơn 1 (tức là có 0 trọn): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, vân vân.
Do đó, mỗi logarit này được chứa giữa hai số nguyên âm cách nhau một đơn vị; do đó mỗi số trong số chúng bằng số nhỏ hơn trong số các số âm này tăng thêm một số phần dương. Ví dụ, log0,0056= -3 + phân số dương. Giả sử rằng phân số này là 0,7482. Thế thì nó có nghĩa là:
log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
Những khoản như - 3 + 0,7482 , bao gồm một số nguyên âm và một phần thập phân dương, đã được thống nhất phép tính logarit viết tắt như sau: 3 ,7482 (Con số này là: 3 trừ, 7482 phần mười nghìn.), tức là họ đặt dấu trừ trên đặc tính để chỉ ra rằng nó chỉ liên quan đến đặc tính này chứ không liên quan đến lớp phủ, vẫn dương. Như vậy, từ bảng trên có thể thấy rõ rằng
nhật ký 0,35 == 1,....; log 0,07 = 2,....; log 0,0008 = 4,....
Hãy để tất cả 
. có một phân số thập phân có phần đầu tiên con số đáng kể α
chi phí tôi
số không, trong đó có số nguyên 0. Thế thì rõ ràng là
- tôi < log A < - (tôi- 1).
Vì từ hai số nguyên: - tôi Và - (tôi- 1) có ít hơn - tôi , Cái đó
log A = - tôi+ phân số dương,
và do đó đặc điểm log A = - tôi (với một mantissa tích cực).
Như vậy, đặc tính logarit của phân số thập phân nhỏ hơn 1 chứa số số âm bằng số số 0 trong ảnh của phân số thập phân trước chữ số có nghĩa đầu tiên, kể cả số nguyên 0; Phần định trị của logarit như vậy là dương.
đ) Hãy nhân một số số N(số nguyên hoặc phân số - không thành vấn đề) nhân 10, nhân 100 nhân 1000..., nói chung là bằng 1 với các số 0. Hãy xem điều này thay đổi như thế nào log N. Vì logarit của sản phẩm bằng tổng logarit của các thừa số thì
log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;
log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;
log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; vân vân.
Khi nào log N chúng ta thêm một số số nguyên, sau đó chúng ta luôn có thể thêm số này vào đặc tính chứ không phải vào phần định trị.
Vì vậy, nếu log N = 2,7804 thì 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, v.v.;
hoặc nếu log N = 3,5649 thì 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, v.v.
Khi một số được nhân với 10, 100, 1000,..., thường là với 1 với các số 0, phần trị số của logarit không thay đổi và đặc tính tăng theo số đơn vị khi có số 0 trong thừa số .
Tương tự, xét logarit của thương bằng logarit của số bị chia không có logarit của số chia, ta có:
log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;
log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;
log N/1000 = log N- log 1000 = log N -3; vân vân.
Nếu chúng ta đồng ý, khi trừ một số nguyên từ logarit, luôn trừ số nguyên này khỏi đặc số và giữ nguyên phần định trị, thì chúng ta có thể nói:
Chia một số cho 1 với các số 0 không làm thay đổi phần lớn của logarit, nhưng đặc tính giảm đi bao nhiêu đơn vị khi có số 0 trong số chia.
276. Hậu quả. Từ tài sản ( e) có thể suy ra hai hệ quả sau:
MỘT) Giá trị logarit của số thập phân không thay đổi khi di chuyển đến dấu thập phân , vì di chuyển một dấu thập phân tương đương với việc nhân hoặc chia cho 10, 100, 1000, v.v. Như vậy, logarit của các số:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
chỉ khác nhau về đặc điểm chứ không khác nhau ở mantissas (với điều kiện là tất cả các mantissa đều dương tính).
b) Mantissas của các số có cùng phần quan trọng, nhưng chỉ khác nhau ở số 0 ở cuối, đều giống nhau: Như vậy, logarit của các số: 23, 230, 2300, 23.000 chỉ khác nhau về đặc điểm.
Bình luận. Từ thuộc tính được chỉ định logarit thập phân, rõ ràng là chúng ta có thể tìm thấy các đặc điểm của logarit của một số nguyên và một phân số thập phân mà không cần sự trợ giúp của bảng (đây là sự tiện lợi lớn của logarit thập phân); kết quả là chỉ có một phần định trị được đặt trong bảng logarit; Ngoài ra, vì việc tìm logarit của các phân số được rút gọn thành việc tìm logarit của các số nguyên (logarit của một phân số = logarit của tử số không có logarit của mẫu số), nên mantissa của logarit của chỉ các số nguyên được đặt trong các bảng.
Chương ba.
Thiết kế và sử dụng bảng bốn chữ số.
277. Hệ logarit. Hệ logarit là tập hợp các logarit được tính cho một số số nguyên liên tiếp sử dụng cùng một cơ số. Hai hệ thống được sử dụng: hệ thống logarit thông thường hoặc thập phân, trong đó số được lấy làm cơ số 10 , và một hệ thống được gọi là logarit tự nhiên, trong đó một số vô tỷ được lấy làm cơ sở (vì một số lý do rõ ràng trong các ngành toán học khác) 2,7182818 ... Để tính toán, logarit thập phân được sử dụng, do sự tiện lợi mà chúng tôi đã chỉ ra khi liệt kê các thuộc tính của logarit đó.
Logarit tự nhiên còn được gọi là Neperov, được đặt theo tên người phát minh ra logarit, một nhà toán học người Scotland Nepera(1550-1617), và logarit thập phân - Briggs được đặt theo tên của giáo sư Brigga(một người cùng thời và là bạn của Napier), người đầu tiên biên soạn các bảng logarit này.
278. Chuyển đổi logarit âm thành logarit có giá trị dương và phép biến đổi nghịch đảo. Chúng ta đã thấy rằng logarit của các số nhỏ hơn 1 là số âm. Điều này có nghĩa là chúng bao gồm một đặc tính tiêu cực và một lớp phủ tiêu cực. Các logarit như vậy luôn có thể được biến đổi sao cho phần định trị của chúng là dương, nhưng đặc tính vẫn âm. Để làm điều này, chỉ cần thêm một giá trị dương vào phần định trị và một giá trị âm vào đặc tính (tất nhiên, điều này không làm thay đổi giá trị của logarit).
Ví dụ: nếu chúng ta có logarit - 2,0873 , thì bạn có thể viết:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
hoặc viết tắt:
Ngược lại, bất kỳ logarit nào có đặc tính âm và giá trị dương đều có thể chuyển thành giá trị âm. Để làm điều này, chỉ cần thêm một giá trị âm vào phần định trị dương và một giá trị dương vào đặc tính âm là đủ: vì vậy, bạn có thể viết:
279. Mô tả bảng bốn chữ số.Để có quyết định theo đa số vấn đề thực tế Bảng bốn chữ số là khá đủ, việc xử lý rất đơn giản. Các bảng này (với dòng chữ “logarit” ở trên cùng) được đặt ở cuối cuốn sách này chứ không phải hầu hết chúng (để giải thích vị trí) được in trên trang này. Chúng chứa bọ ngựa
Logarit.
logarit của tất cả các số nguyên từ 1 ĐẾN 9999 bao gồm, được tính đến bốn chữ số thập phân, với chữ số cuối cùng tăng thêm 1 trong tất cả các trường hợp mà chữ số thập phân thứ 5 sẽ là 5 hoặc lớn hơn 5; do đó, các bảng 4 chữ số cho giá trị gần đúng lên đến 1 / 2 phần mười nghìn (thiếu hoặc thừa).
Vì chúng ta có thể mô tả trực tiếp logarit của một số nguyên hoặc một phân số thập phân, dựa trên các đặc tính của logarit thập phân, nên chúng ta chỉ phải lấy phần định trị từ các bảng; Đồng thời, chúng ta phải nhớ rằng vị trí của dấu phẩy trong số thập phân, cũng như số số 0 ở cuối số, không ảnh hưởng đến giá trị của phần định trị. Vì vậy, khi tìm mantissa bằng số đã cho chúng tôi loại bỏ dấu phẩy trong số này, cũng như các số 0 ở cuối nó, nếu có, và tìm phần định trị của số nguyên được hình thành sau số này. Các trường hợp sau đây có thể phát sinh.
1) Một số nguyên gồm có 3 chữ số. Ví dụ: giả sử chúng ta cần tìm phần tích của logarit của số 536. Hai chữ số đầu tiên của số này, tức là 53, được tìm thấy trong các bảng ở cột dọc đầu tiên bên trái (xem bảng). Tìm được số 53, chúng ta di chuyển từ số đó dọc theo một đường ngang sang bên phải cho đến khi đường này giao với một cột dọc đi qua một trong các số 0, 1, 2, 3,... 9, đặt ở trên cùng (và dưới cùng) của bảng, là chữ số thứ 3 của một số cho trước, tức là trong ví dụ của chúng ta, số 6. Tại giao điểm, chúng ta nhận được phần lớn 7292 (tức là 0,7292), thuộc về logarit của số 536. Tương tự , đối với số 508, chúng tôi tìm thấy phần định trị 0,7059, đối với số 500, chúng tôi tìm thấy 0,6990, v.v.
2) Một số nguyên bao gồm 2 hoặc 1 chữ số. Sau đó, chúng ta gán nhẩm một hoặc hai số 0 cho số này và tìm phần định trị cho số có ba chữ số được hình thành như vậy. Ví dụ: chúng tôi thêm một số 0 vào số 51, từ đó chúng tôi nhận được 510 và tìm mantissa 7070; đối với số 5, chúng ta gán 2 số 0 và tìm mantissa 6990, v.v.
3) Một số nguyên được thể hiện bằng 4 chữ số. Ví dụ: bạn cần tìm phần định trị của log 5436. Sau đó, trước tiên, chúng ta tìm thấy trong các bảng, như vừa chỉ ra, phần định trị cho số được biểu thị bằng 3 chữ số đầu tiên của số này, tức là cho 543 (phần định trị này sẽ là 7348) ; sau đó chúng ta di chuyển từ lớp phủ tìm thấy dọc theo đường ngang sang bên phải (sang bên phải của bảng, nằm phía sau đường thẳng đứng dày) cho đến khi nó giao với cột dọc đi qua một trong các số: 1, 2 3,. .. 9, nằm ở trên cùng (và ở dưới cùng ) của phần này của bảng, đại diện cho chữ số thứ 4 của một số nhất định, tức là, trong ví dụ của chúng tôi, số 6. Tại giao điểm, chúng tôi tìm thấy số hiệu chỉnh (số 5), điều này phải được áp dụng trong đầu vào phần định trị của số 7348 để có được phần định trị của số 5436; Bằng cách này, chúng ta có được mantissa 0,7353.
4) Một số nguyên được biểu thị bằng 5 chữ số trở lên. Sau đó, chúng tôi loại bỏ tất cả các chữ số ngoại trừ 4 chữ số đầu tiên và lấy một số gần đúng có bốn chữ số và tăng chữ số cuối cùng của số này lên 1 trong số đó. trường hợp chữ số thứ 5 bị loại bỏ của số là 5 hoặc lớn hơn 5. Vì vậy, thay vì 57842, chúng ta lấy 5784, thay vì 30257, chúng ta lấy 3026, thay vì 583263, chúng ta lấy 5833, v.v. Đối với số có bốn chữ số được làm tròn này, chúng ta tìm thấy phần định trị như vừa giải thích.
Được hướng dẫn bởi những hướng dẫn này, chúng ta hãy tìm logarit làm ví dụ những con số sau đây:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Trước hết, bây giờ không cần lật lại các bảng, chúng ta sẽ chỉ ghi lại các đặc điểm, chừa chỗ cho các phần định trị, chúng ta sẽ viết ra sau:
log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....
nhật ký 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....
log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....
log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;
nhật ký 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;
log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.
280. Lưu ý. Trong một số bảng có bốn chữ số (ví dụ: trong bảng V. Lorchenko và N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) việc sửa chữ số thứ 4 của số này không được đặt. Khi xử lý các bảng như vậy, bạn phải tìm những hiệu chỉnh này bằng cách sử dụng phép tính đơn giản, có thể được thực hiện dựa trên sự thật sau: nếu các số vượt quá 100 và chênh lệch giữa chúng nhỏ hơn 1 thì có thể chấp nhận rằng không có lỗi nhạy cảm sự khác biệt giữa các logarit tỷ lệ thuận với sự khác biệt giữa các số tương ứng . Ví dụ, chúng ta cần tìm mantissa tương ứng với số 5367. Tất nhiên, mantissa này giống với số 536,7. Chúng tôi tìm thấy trong bảng về số 536 là mantissa 7292. So sánh mantissa này với mantissa 7300 ở bên phải, tương ứng với số 537, chúng ta nhận thấy rằng nếu số 536 tăng thêm 1 thì mantissa của nó sẽ tăng thêm 8 phần mười nghìn (8 là cái gọi là bảng khác biệt giữa hai lớp phủ liền kề); nếu số 536 tăng thêm 0,7 thì lớp phủ của nó sẽ tăng không phải thêm 8 phần mười nghìn mà là một số số nhỏ hơnX mười phần nghìn, theo tỷ lệ giả định phải thỏa mãn các tỷ lệ:
X :8 = 0,7:1; Ở đâu X = 8 07 = 5,6,
được làm tròn đến 6 phần mười nghìn. Điều này có nghĩa là phần định trị của số 536,7 (và do đó cho số 5367) sẽ là: 7292 + 6 = 7298.
Lưu ý rằng việc tìm một số trung gian bằng cách sử dụng hai số liền kề trong bảng được gọi là nội suy. Phép nội suy được mô tả ở đây được gọi là tỷ lệ thuận, vì nó dựa trên giả định rằng sự thay đổi logarit tỷ lệ thuận với sự thay đổi của số. Nó còn được gọi là tuyến tính, vì nó giả định rằng về mặt đồ họa, sự thay đổi của hàm logarit được biểu thị bằng một đường thẳng.
281. Giới hạn lỗi của logarit gần đúng. Nếu số có logarit đang được tìm kiếm là một số chính xác thì giới hạn sai số logarit của nó được tìm thấy trong bảng 4 chữ số có thể được lấy, như chúng tôi đã nói ở trên. 1 / 2 phần mười nghìn. Nếu con số này không chính xác thì với giới hạn lỗi này, chúng ta cũng phải thêm giới hạn của một lỗi khác do chính con số đó gây ra. Người ta đã chứng minh (chúng ta bỏ qua chứng minh này) rằng giới hạn đó có thể được coi là tích
Một(d +1) mười phần nghìn.,
trong đó MỘT là sai số của số không chính xác nhất, giả sử rằng phần nguyên của nó chứa 3 chữ số, Một d sự khác biệt trong bảng của các phần định trị tương ứng với hai số có ba chữ số liên tiếp mà giữa đó có một số không chính xác đã cho. Như vậy, giới hạn sai số cuối cùng của logarit sẽ được biểu thị bằng công thức:
1 / 2 + Một(d +1) mười phần nghìn
Ví dụ. Tìm nhật ký π , lấy cho π con số gần đúng là 3,14, chính xác là 1 / 2 thứ trăm.
Di chuyển dấu phẩy sau chữ số thứ 3 của số 3.14, tính từ trái sang, ta được số có ba chữ số 314, chính xác là 1 / 2 đơn vị; Điều này có nghĩa là biên độ sai số của một số không chính xác, tức là số mà chúng ta biểu thị bằng chữ cái MỘT , có 1 / 2 Từ các bảng chúng tôi tìm thấy:
log 3,14 = 0,4969.
Bảng chênh lệch d giữa phần định trị của các số 314 và 315 bằng 14 nên sai số của logarit tìm được sẽ ít hơn
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 mười phần nghìn.
Vì chúng ta không biết logarit 0,4969 là thiếu hay thừa nên chúng ta chỉ có thể đảm bảo rằng logarit chính xác π nằm trong khoảng 0,4969 - 0,0008 và 0,4969 + 0,0008, tức là 0,4961< log π < 0,4977.
282. Tìm một số bằng logarit cho trước. Để tìm một số bằng cách sử dụng logarit cho trước, có thể sử dụng các bảng tương tự để tìm phần định trị của các số đã cho; nhưng sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng các bảng khác có chứa cái gọi là phản logarit, tức là các số tương ứng với các giá trị này. Các bảng này, được biểu thị bằng dòng chữ ở đầu “các phản logarit”, được đặt ở cuối cuốn sách này sau các bảng logarit; một phần nhỏ trong số chúng được đặt trên trang này (để giải thích).
Giả sử bạn được cấp một mantissa gồm 4 chữ số 2863 (chúng tôi không chú ý đến đặc tính) và bạn cần tìm số nguyên tương ứng. Sau đó, khi có các bảng phản logarit, bạn cần sử dụng chúng theo cách tương tự như đã được giải thích trước đó để tìm phần định trị cho một số cho trước, cụ thể là: chúng ta tìm 2 chữ số đầu tiên của phần định trị ở cột đầu tiên bên trái. Sau đó, chúng ta di chuyển từ các số này dọc theo đường ngang sang bên phải cho đến khi nó giao với cột dọc xuất phát từ chữ số thứ 3 của phần định trị, cột này phải được tìm ở dòng trên cùng (hoặc dưới cùng). Tại giao lộ, chúng ta tìm thấy số có bốn chữ số 1932, tương ứng với số 286. Sau đó, từ số này, chúng ta di chuyển xa hơn dọc theo đường ngang sang phải cho đến khi giao nhau với cột dọc xuất phát từ chữ số thứ 4 của số mantissa, phải được tìm thấy ở trên cùng (hoặc dưới cùng) trong số các số 1, 2 được đặt ở đó , 3,... 9. Tại giao điểm chúng ta tìm thấy số hiệu chỉnh 1, số này phải được áp dụng (trong tâm trí) cho số 1032 được tìm thấy trước đó theo thứ tự để có được số tương ứng với mantissa 2863.
Như vậy, số sẽ là 1933. Sau đó, chú ý đến đặc điểm, bạn cần đặt số chiếm giữ vào đúng vị trí trong số 1933. Ví dụ:
Nếu như nhật ký x = 3,2863 thì X = 1933,
„ nhật ký x = 1,2863, „ X = 19,33,
, nhật ký x = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ nhật ký x = 2 ,2863, „ X = 0,01933
Dưới đây là nhiều ví dụ hơn:
nhật ký x = 0,2287, X = 1,693,
nhật ký x = 1 ,7635, X = 0,5801,
nhật ký x = 3,5029, X = 3184,
nhật ký x = 2 ,0436, X = 0,01106.
Nếu phần định trị chứa 5 chữ số trở lên thì chúng ta chỉ lấy 4 chữ số đầu tiên, loại bỏ phần còn lại (và tăng chữ số thứ 4 lên 1 nếu chữ số thứ 5 có từ 5 chữ số trở lên). Ví dụ: thay vì mantissa 35478, chúng tôi lấy 3548, thay vì 47562, chúng tôi lấy 4756.
283. Lưu ý. Việc hiệu chỉnh cho chữ số thứ 4 và các chữ số tiếp theo của phần định trị cũng có thể được tìm thấy thông qua phép nội suy. Vì vậy, nếu phần định trị là 84357, thì khi tìm thấy số 6966, tương ứng với phần định trị là 843, chúng ta có thể lý giải thêm như sau: nếu phần định trị tăng thêm 1 (phần nghìn), tức là nó tạo thành 844, thì con số đó, như có thể được nhìn thấy từ các bảng, sẽ tăng thêm 16 đơn vị; nếu lớp phủ tăng không phải bằng 1 (phần nghìn) mà bằng 0,57 (phần nghìn), thì số lượng sẽ tăng thêm X đơn vị và X phải thỏa mãn các tỉ lệ:
X : 16 = 0,57: 1, từ đâu x = 16 0,57 = 9,12.
Điều này có nghĩa là số được yêu cầu sẽ là 6966+ 9,12 = 6975,12 hoặc (chỉ giới hạn ở bốn chữ số) 6975.
284. Giới hạn lỗi của số tìm được. Người ta đã chứng minh rằng trong trường hợp khi trong số tìm thấy, dấu phẩy nằm sau chữ số thứ 3 từ bên trái, tức là khi đặc tính của logarit là 2 thì tổng có thể được lấy làm giới hạn sai số
Ở đâu MỘT là giới hạn sai số của logarit (tính bằng phần mười nghìn) mà số đó được tìm thấy, và d - sự khác biệt giữa lớp phủ của hai số có ba chữ số liên tiếp mà số tìm thấy nằm giữa (có dấu phẩy sau chữ số thứ 3 từ bên trái). Khi đặc tính không phải là 2 mà là một số khác, thì trong số tìm thấy, dấu phẩy sẽ phải được chuyển sang trái hoặc sang phải, tức là chia hoặc nhân số đó với lũy thừa 10. Trong trường hợp này, lỗi của kết quả cũng sẽ được chia hoặc nhân với cùng lũy thừa 10.
Ví dụ: giả sử chúng ta đang tìm kiếm một số bằng logarit 1,5950 , được biết là chính xác đến 3 phần mười nghìn; điều đó có nghĩa là sau đó MỘT = 3 . Số tương ứng với logarit này, được tìm thấy từ bảng phản logarit, là 39,36 . Di chuyển dấu phẩy sau chữ số thứ 3 từ trái sang, ta có số 393,6 , gồm giữa 393 Và 394 . Từ bảng logarit, chúng ta thấy rằng sự khác biệt giữa mantissas tương ứng với hai số này là 11 mười phần nghìn; Có nghĩa d = 11 . Lỗi của số 393.6 sẽ ít hơn
Điều này có nghĩa là lỗi về số 39,36 sẽ có ít hơn 0,05 .
285. Các phép tính logarit mang tính chất âm. Việc cộng và trừ logarit không gặp bất kỳ khó khăn nào, như có thể thấy từ các ví dụ sau:
Cũng không có khó khăn gì khi nhân logarit với một số dương, ví dụ:
TRONG ví dụ cuối cùng nhân riêng phần định trị dương với 34, sau đó đặc tính tiêu cựcở tuổi 34.
Nếu logarit của một đặc tính âm và một giá trị dương được nhân với một số âm thì tiến hành theo hai cách: hoặc logarit đã cho trước tiên chuyển thành âm, hoặc giá trị và đặc tính được nhân riêng biệt và kết quả được kết hợp với nhau, chẳng hạn :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Khi chia có thể xảy ra hai trường hợp: 1) đặc tính tiêu cực được chia và 2) không chia hết cho số chia. Trong trường hợp đầu tiên, đặc tính và phần định trị được tách riêng:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
Trong trường hợp thứ hai, nhiều đơn vị âm được thêm vào đặc tính sao cho số kết quả được chia cho số chia; cùng số lượng đơn vị tích cực được thêm vào phần định trị:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
Sự chuyển đổi này phải được thực hiện trong tâm trí, nên hành động diễn ra như sau:
286. Thay logarit bị trừ bằng số hạng. Khi tính toán một số biểu hiện phức tạp sử dụng logarit bạn phải cộng một số logarit, trừ các logarit khác; trong trường hợp này, theo cách thực hiện các hành động thông thường, họ tìm riêng tổng của các logarit được thêm vào, sau đó là tổng của các logarit bị trừ và trừ đi thứ hai từ tổng đầu tiên. Ví dụ: nếu chúng ta có:
nhật ký X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
thì việc thực hiện các hành động thông thường sẽ như thế này:
Tuy nhiên, có thể thay thế phép trừ bằng phép cộng. Vì thế:
Bây giờ bạn có thể sắp xếp phép tính như thế này:
287. Ví dụ về tính toán.
Ví dụ 1. Đánh giá biểu thức:
Nếu như A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Và D = 7,246.
Hãy lấy logarit biểu hiện này:
nhật ký X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Bây giờ, để tránh mất thời gian không cần thiết và giảm khả năng xảy ra sai sót, trước hết chúng ta sẽ sắp xếp tất cả các phép tính mà không thực hiện chúng ngay bây giờ và do đó, không tham khảo các bảng:
Sau đó, chúng tôi lấy các bảng và đặt logarit cho phần còn lại địa điểm miễn phí:
Giới hạn lỗi.Đầu tiên chúng ta hãy tìm giới hạn sai số của số x 1 = 194,5 , bằng:
Vì vậy trước hết bạn cần tìm MỘT , tức là giới hạn sai số của logarit gần đúng, được biểu thị bằng phần mười nghìn. Chúng ta hãy giả sử rằng những con số này A, B, C Và D tất cả đều chính xác. Khi đó, các lỗi trong logarit riêng lẻ sẽ như sau (tính bằng phần mười nghìn):
V. logA.......... 1 / 2
V. 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 được thêm vào vì khi chia cho 3 logarit của 1,9146, chúng tôi đã làm tròn thương bằng cách loại bỏ chữ số thứ 5 của nó và do đó đã tạo ra một lỗi thậm chí còn nhỏ hơn 1 / 2 phần mười nghìn).
Bây giờ chúng ta tìm giới hạn lỗi của logarit:
MỘT = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (mười phần nghìn).
Hãy xác định rõ hơn d . Bởi vì x 1 = 194,5 , thì 2 số nguyên số liên tiếp, nằm giữa đó x 1 sẽ 194 Và 195 . Bảng chênh lệch d giữa các lớp phủ tương ứng với những con số này bằng 22 . Điều này có nghĩa là giới hạn sai số của số đó là x 1 Có:
Bởi vì x = x 1 : 10 thì giới hạn lỗi ở số x bằng 0,3:10 = 0,03 . Như vậy số ta tìm được 19,45 khác với con số chính xác ít hơn 0,03 . Vì chúng ta không biết liệu phép tính gần đúng của chúng ta được tìm thấy với phần thiếu hay phần thừa, nên chúng ta chỉ có thể đảm bảo rằng
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , tức là
19,48 > X > 19,42 ,
và do đó, nếu chúng ta chấp nhận X =19,4 , thì chúng ta sẽ có một phép tính gần đúng có nhược điểm với độ chính xác lên tới 0,1.
Ví dụ 2. Tính toán:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Bởi vì số âm không có logarit thì trước tiên ta tìm:
X" = (2,31) 3 5 √72
bằng cách phân hủy:
nhật ký X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.
Sau khi tính toán thì ra:
X" = 28,99 ;
kể từ đây,
x = - 28,99 .
Ví dụ 3. Tính toán:
Ở đây không thể sử dụng logarit liên tục vì dấu của nghiệm là c u m a. Trong những trường hợp như vậy, hãy tính công thức theo từng phần.
Đầu tiên chúng tôi tìm thấy N = 5 √8 , Sau đó N 1 = 4 √3 ; thì bằng cách cộng đơn giản chúng ta xác định được N+ N 1 , và cuối cùng chúng tôi tính toán 3 √N+ N 1 ; hóa ra:
N=1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .
nhật ký x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2.830 = 0,1506 ;
x = 1,415 .
Chương Bốn.
Phương trình hàm mũ và logarit.
288. Các phương trình hàm mũ là những phương trình trong đó ẩn số được đưa vào số mũ và logarit- những cái mà ẩn số đi vào dưới dấu hiệu nhật ký. Những phương trình như vậy chỉ có thể giải được trong những trường hợp đặc biệt và người ta phải dựa vào tính chất của logarit và theo nguyên tắc nếu các số bằng nhau thì logarit của chúng bằng nhau, và ngược lại, nếu logarit bằng nhau thì phương trình tương ứng số đều bằng nhau.
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 x = 1024 .
Hãy logarit cả hai vế của phương trình:
Ví dụ 2. Giải phương trình: Một 2x - Một x = 1 . Đặt Một x = Tại , ta được phương trình bậc hai:
y 2 - Tại - 1 = 0 ,
Bởi vì 1-√5 < 0 , thì phương trình cuối cùng không thể thực hiện được (hàm Một x luôn có số dương) và số đầu tiên cho:
Ví dụ 3. Giải phương trình:
nhật ký( một + x) + nhật ký ( b + x) = nhật ký ( c + x) .
Phương trình có thể được viết như thế này:
nhật ký [( một + x) (b + x)] = nhật ký ( c + x) .
Từ đẳng thức logarit, chúng ta kết luận rằng các số bằng nhau:
(một + x) (b + x) = c + x .
Đây là một phương trình bậc hai, việc giải nó không khó.
Chương năm.
Lãi kép, thanh toán có kỳ hạn và thanh toán có kỳ hạn.
289. Bài toán cơ bản về lãi kép. Vốn sẽ biến thành bao nhiêu? MỘT rúp, được tính theo mức tăng trưởng ở r lãi kép, sau đó t năm ( t - số nguyên)?
Họ nói rằng vốn được trả theo lãi suất kép nếu tính đến cái gọi là "lãi lãi", nghĩa là nếu tiền lãi đến hạn trên vốn được thêm vào vốn vào cuối mỗi năm để tăng lên. nó với sự quan tâm trong những năm tiếp theo.
Mỗi đồng rúp vốn được cho đi r %, sẽ mang lại lợi nhuận trong vòng một năm P / 100 đồng rúp, và do đó, mỗi rúp vốn trong 1 năm sẽ biến thành 1 + P / 100 đồng rúp (ví dụ: nếu vốn được cấp ở mức 5 %, thì mỗi đồng rúp trong một năm sẽ biến thành 1 + 5 / 100 , tức là trong 1,05 đồng rúp).
Để cho ngắn gọn, hãy ký hiệu phân số P / 100 với một chữ cái chẳng hạn thông qua mô-đun , chúng ta có thể nói rằng mỗi rúp vốn trong một năm sẽ biến thành 1 + thông qua mô-đun rúp; kể từ đây, MỘT rúp sẽ được trả lại sau 1 năm MỘT (1 + thông qua mô-đun ) chà xát. Sau một năm nữa, tức là 2 năm kể từ khi bắt đầu tăng trưởng, mỗi đồng rúp trong số này MỘT (1 + thông qua mô-đun ) chà xát. sẽ liên hệ lại 1 + thông qua mô-đun chà.; Điều này có nghĩa là toàn bộ vốn sẽ chuyển thành MỘT (1 + thông qua mô-đun ) 2 chà xát. Theo cách tương tự, chúng ta thấy rằng sau ba năm vốn sẽ MỘT (1 + thông qua mô-đun ) 3 , trong bốn năm nữa nó sẽ là MỘT (1 + thông qua mô-đun ) 4 ,... nói chung là thông qua t năm nếu t là một số nguyên, nó sẽ chuyển thành MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t chà xát. Như vậy, biểu thị bằng MỘT vốn cuối cùng, chúng ta sẽ có công thức sau lãi kép:
MỘT = MỘT (1 + thông qua mô-đun ) tỞ đâu thông qua mô-đun = P / 100 .
Ví dụ. Cho phép Một =2.300 rúp., P = 4, t=20 năm; thì công thức cho:
thông qua mô-đun = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.
Để tính toán MỘT, chúng tôi sử dụng logarit:
nhật ký Một = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.
A = 5031đồng rúp.
Bình luận. Trong ví dụ này chúng ta phải nhật ký 1.04 nhân với 20 . Kể từ khi số 0,0170 có một giá trị gần đúng nhật ký 1.04 lên đến 1 / 2 phần mười nghìn thì tích của số này bằng 20 nó chắc chắn sẽ chỉ cho đến khi 1 / 2 20, tức là lên tới 10 phần mười nghìn = 1 phần nghìn. Do đó tổng cộng 3,7017 Chúng tôi không thể bảo đảm không chỉ cho con số mười phần nghìn, mà còn cho con số hàng nghìn. Vì vậy, trong những trường hợp như vậy có thể đạt được độ chính xác cao hơn, tốt hơn cho số 1 + thông qua mô-đun lấy logarit không phải 4 chữ số, nhưng với một số lượng lớn số, ví dụ. 7 chữ số. Với mục đích này, chúng tôi trình bày ở đây một bảng nhỏ trong đó logarit 7 chữ số được viết cho các giá trị phổ biến nhất r .
290. Nhiệm vụ chính là thanh toán khẩn cấp. Ai đó đã lấy MỘT rúp mỗi r % với điều kiện hoàn trả khoản nợ cùng với lãi suất đến hạn trong t năm, trả số tiền như nhau vào cuối mỗi năm. Số tiền này nên là bao nhiêu?
Tổng x , được trả hàng năm theo những điều kiện như vậy, được gọi là khoản thanh toán khẩn cấp. Chúng ta hãy biểu thị lại bằng chữ cái thông qua mô-đun tiền lãi hàng năm từ 1 rúp, tức là số P / 100 . Sau đó đến cuối năm đầu tiên khoản nợ MỘT tăng lên MỘT (1 + thông qua mô-đun ), thanh toán cơ bản X nó sẽ có giá rúp MỘT (1 + thông qua mô-đun )-X .
Đến cuối năm thứ hai, mỗi đồng rúp của số tiền này sẽ lại chuyển thành 1 + thông qua mô-đun rúp, và do đó khoản nợ sẽ là [ MỘT (1 + thông qua mô-đun )-X ](1 + thông qua mô-đun ) = MỘT (1 + thông qua mô-đun ) 2 - x (1 + thông qua mô-đun ) và để thanh toán x rúp sẽ là: MỘT (1 + thông qua mô-đun ) 2 - x (1 + thông qua mô-đun ) - X . Theo cách tương tự, chúng tôi sẽ đảm bảo rằng đến cuối năm thứ 3 khoản nợ sẽ được giải quyết.
MỘT (1 + thông qua mô-đun ) 3 - x (1 + thông qua mô-đun ) 2 - x (1 + thông qua mô-đun ) - x ,
và nói chung và kết thúc t năm đó sẽ là:
MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t - x (1 + thông qua mô-đun ) t -1 - x (1 + thông qua mô-đun ) t-2 ... - x (1 + thông qua mô-đun ) - x , hoặc
MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t - x [ 1 + (1 + thông qua mô-đun ) + (1 + thông qua mô-đun ) 2 + ...+ (1 + thông qua mô-đun ) t-2 + (1 + thông qua mô-đun ) t -1 ]
Đa thức bên trong dấu ngoặc đơn biểu thị tổng của các số hạng cấp số nhân; có thành viên đầu tiên 1 , cuối cùng ( 1 + thông qua mô-đun ) t -1, và mẫu số ( 1 + thông qua mô-đun ). Sử dụng công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân (Phần 10 Chương 3 § 249), chúng ta thấy:
và số nợ sau t - Khoản thanh toán thứ sẽ là:
Theo điều kiện của vấn đề, nợ ở cuối t -năm thứ phải bằng 0 ; Đó là lý do tại sao:
Ở đâu
Khi tính toán điều này công thức thanh toán khẩn cấp sử dụng logarit trước tiên chúng ta phải tìm số phụ N = (1 + thông qua mô-đun ) t bằng logarit: log N= t nhật ký(1+ thông qua mô-đun) ; đã tìm thấy N, trừ đi 1, khi đó chúng ta nhận được mẫu số của công thức cho X, sau đó chúng tôi tìm thấy bằng logarit thứ cấp:
nhật ký X= nhật ký Một+ log N + log r - log (N - 1).
291. Nhiệm vụ chính của việc đóng góp theo nhiệm kỳ. Ai đó gửi số tiền tương tự vào ngân hàng vào đầu mỗi năm. MỘT chà xát. Xác định nguồn vốn nào sẽ được hình thành từ những khoản đóng góp này sau khi t năm nếu ngân hàng thanh toán r lãi kép.
Được chỉ định bởi thông qua mô-đun tiền lãi hàng năm từ 1 rúp, tức là. P / 100 , chúng tôi lý luận như thế này: vào cuối năm đầu tiên vốn sẽ là MỘT (1 + thông qua mô-đun );
vào đầu năm thứ 2 sẽ được cộng thêm số tiền này MỘT rúp; điều này có nghĩa là tại thời điểm này vốn sẽ MỘT (1 + thông qua mô-đun ) + Một . Đến cuối năm thứ 2 anh ấy sẽ MỘT (1 + thông qua mô-đun ) 2 + một (1 + thông qua mô-đun );
vào đầu năm thứ 3 nó được nhập lại MỘT rúp; điều này có nghĩa là lúc này sẽ có vốn MỘT (1 + thông qua mô-đun ) 2 + một (1 + thông qua mô-đun ) + MỘT ; vào cuối ngày thứ 3 anh ấy sẽ MỘT (1 + thông qua mô-đun ) 3 + một (1 + thông qua mô-đun ) 2 + một (1 + thông qua mô-đun ) Tiếp tục những lập luận này hơn nữa, chúng ta thấy rằng cuối cùng t năm số vốn cần thiết MỘT sẽ:
Đây là công thức tính các khoản đóng góp có kỳ hạn được thực hiện vào đầu mỗi năm.
Công thức tương tự có thể thu được bằng cách lý luận sau: trả trước để MỘT rúp khi ở ngân hàng t năm, theo công thức tính lãi kép, sẽ chuyển thành MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t chà xát. Đợt thứ hai, ở ngân hàng ít hơn một năm, tức là. t - 1 tuổi, liên hệ MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t-1 chà xát. Tương tự như vậy, phần thứ ba sẽ cung cấp MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t-2 v.v., và cuối cùng là khoản trả góp cuối cùng, mới ở ngân hàng được 1 năm, sẽ chuyển đến MỘT (1 + thông qua mô-đun ) chà xát. Điều này có nghĩa là vốn cuối cùng MỘT chà xát. sẽ:
MỘT= MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t + MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t-1 + MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t-2 + . . . + MỘT (1 + thông qua mô-đun ),
mà sau khi đơn giản hóa sẽ đưa ra công thức tìm được ở trên.
Khi tính toán bằng logarit của công thức này, bạn phải tiến hành tương tự như khi tính công thức cho các khoản thanh toán khẩn cấp, tức là trước tiên hãy tìm số N = ( 1 + thông qua mô-đun ) t bằng logarit của nó: log N= t nhật ký(1 + thông qua mô-đun ), thì số N-1 rồi lấy logarit của công thức:
log A = log Một+log(1+ thông qua mô-đun) + log (N - 1) - 1ogthông qua mô-đun
Bình luận. Nếu đóng góp khẩn cấp cho MỘT chà xát. được thực hiện không phải vào đầu năm mà vào cuối mỗi năm (chẳng hạn như một khoản thanh toán khẩn cấp được thực hiện X để trả nợ), sau đó, lập luận tương tự như phần trước, chúng ta thấy rằng cuối cùng t năm số vốn cần thiết MỘT" chà xát. sẽ (bao gồm cả phần cuối cùng MỘT chà., không chịu lãi):
MỘT"= MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t-1 + MỘT (1 + thông qua mô-đun ) t-2 + . . . + MỘT (1 + thông qua mô-đun ) + MỘT
tương đương với:
tức là MỘT" kết thúc ở ( 1 + thông qua mô-đun ) ít hơn lần MỘT, điều này đã được mong đợi, vì mỗi rúp vốn MỘT" nằm trong ngân hàng ít hơn một năm so với số vốn tương ứng MỘT.