Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu logarit. Trong bài viết này chúng ta sẽ nói về tính logarit, quá trình này được gọi là logarit. Đầu tiên chúng ta sẽ hiểu cách tính logarit theo định nghĩa. Tiếp theo, chúng ta hãy xem cách tìm thấy các giá trị logarit bằng cách sử dụng các thuộc tính của chúng. Sau này, chúng ta sẽ tập trung tính logarit thông qua các giá trị được chỉ định ban đầu của các logarit khác. Cuối cùng, hãy tìm hiểu cách sử dụng bảng logarit. Toàn bộ lý thuyết được cung cấp các ví dụ với các giải pháp chi tiết.
Điều hướng trang.
Tính logarit theo định nghĩa
Trong những trường hợp đơn giản nhất có thể thực hiện khá nhanh chóng và dễ dàng tìm logarit theo định nghĩa. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn quá trình này xảy ra như thế nào.
Bản chất của nó là biểu diễn số b dưới dạng a c, từ đó, theo định nghĩa logarit, số c là giá trị của logarit. Nghĩa là, theo định nghĩa, chuỗi đẳng thức sau đây tương ứng với việc tìm logarit: log a b=log a a c =c.
Vì vậy, việc tính logarit theo định nghĩa là tìm một số c sao cho a c = b và bản thân số c là giá trị mong muốn của logarit.
Có tính đến thông tin trong các đoạn trước, khi số dưới dấu logarit được cho bởi một lũy thừa nhất định của cơ số logarit, bạn có thể cho biết ngay logarit bằng bao nhiêu - nó bằng số mũ. Hãy chỉ ra giải pháp cho các ví dụ.
Ví dụ.
Tìm log 2 2 −3, đồng thời tính logarit tự nhiên của số e 5,3.
Giải pháp.
Định nghĩa của logarit cho phép chúng ta nói ngay rằng log 2 2 −3 =−3. Thật vậy, số dưới dấu logarit bằng cơ số 2 lũy thừa −3.
Tương tự, ta tìm logarit thứ hai: lne 5.3 =5.3.
Trả lời:
log 2 2 −3 =−3 và lne 5,3 =5,3.
Nếu số b dưới dấu logarit không được chỉ định là lũy thừa cơ số của logarit, thì bạn cần xem xét cẩn thận xem liệu có thể đưa ra cách biểu diễn số b dưới dạng a c hay không. Thường thì cách biểu diễn này khá rõ ràng, nhất là khi số dưới dấu logarit bằng cơ số lũy thừa 1, hoặc 2, hoặc 3,...
Ví dụ.
Tính logarit log 5 25 , và .
Giải pháp.
Dễ dàng thấy rằng 25=5 2, điều này cho phép bạn tính logarit đầu tiên: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Hãy chuyển sang tính logarit thứ hai. Số có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 7: 
(xem nếu cần thiết). Kể từ đây, 
.
Hãy viết lại logarit thứ ba dưới dạng sau. Bây giờ bạn có thể thấy điều đó 
, từ đó chúng ta kết luận rằng 
. Do đó, theo định nghĩa logarit 
.
Tóm lại, lời giải có thể được viết như sau: .
Trả lời:
log 5 25=2 , 
Và .
Khi có một số tự nhiên đủ lớn dưới dấu logarit, việc phân tích nó thành thừa số nguyên tố sẽ không có hại gì. Nó thường giúp biểu diễn một số như một số lũy thừa của cơ số logarit và do đó tính toán logarit này theo định nghĩa.
Ví dụ.
Tìm giá trị của logarit.
Giải pháp.
Một số thuộc tính của logarit cho phép bạn xác định ngay giá trị của logarit. Những tính chất này bao gồm tính chất logarit của một và tính chất logarit của một số bằng cơ số: log 1 1=log a a 0 =0 và log a a=log a a 1 =1. Nghĩa là, khi dưới dấu logarit có số 1 hoặc số a bằng cơ số của logarit, thì trong những trường hợp này, logarit lần lượt bằng 0 và 1.
Ví dụ.
Logarit và log10 bằng nhau là gì?
Giải pháp.
Vì , thì từ định nghĩa logarit nó suy ra 
.
Trong ví dụ thứ hai, số 10 dưới dấu logarit trùng với cơ số của nó, do đó logarit thập phân của mười bằng một, nghĩa là lg10=lg10 1 =1.
Trả lời:
VÀ lg10=1 .
Lưu ý rằng việc tính logarit theo định nghĩa (mà chúng ta đã thảo luận ở đoạn trước) ngụ ý việc sử dụng log đẳng thức a a p = p, đây là một trong những tính chất của logarit.
Trong thực tế, khi một số dưới dấu logarit và cơ số của logarit dễ dàng được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một số nhất định thì sẽ rất thuận tiện khi sử dụng công thức 
, tương ứng với một trong các tính chất của logarit. Hãy xem xét một ví dụ về tìm logarit, minh họa việc sử dụng công thức này.
Ví dụ.
Tính logarit.
Giải pháp.
Trả lời:
.
Các thuộc tính của logarit không được đề cập ở trên cũng được sử dụng trong tính toán, nhưng chúng ta sẽ nói về điều này trong các đoạn văn sau.
Tìm logarit thông qua các logarit đã biết khác
Thông tin trong đoạn này tiếp tục chủ đề sử dụng các tính chất của logarit khi tính toán chúng. Nhưng điểm khác biệt chính ở đây là các tính chất của logarit được sử dụng để biểu thị logarit ban đầu theo một logarit khác, giá trị của nó đã biết. Hãy đưa ra một ví dụ để làm rõ. Giả sử chúng ta biết rằng log 2 3≈1.584963, sau đó chúng ta có thể tìm thấy, chẳng hạn như log 2 6 bằng cách thực hiện một phép biến đổi nhỏ bằng cách sử dụng các thuộc tính của logarit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Trong ví dụ trên, chúng ta chỉ cần sử dụng tính chất logarit của tích là đủ. Tuy nhiên, thường xuyên hơn, cần phải sử dụng kho tính chất logarit rộng hơn để tính logarit ban đầu thông qua các giá trị đã cho.
Ví dụ.
Tính logarit của 27 cơ số 60 nếu bạn biết log 60 2=a và log 60 5=b.
Giải pháp.
Vì vậy chúng ta cần tìm log 60 27 . Dễ dàng thấy rằng 27 = 3 3 , và logarit ban đầu, do tính chất logarit lũy thừa, có thể viết lại thành 3·log 60 3 .
Bây giờ chúng ta hãy xem cách biểu diễn log 60 3 theo logarit đã biết. Tính chất logarit của một số bằng cơ số cho phép chúng ta viết logarit đẳng thức 60 60=1. Mặt khác, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Như vậy, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Kể từ đây, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Cuối cùng, chúng ta tính logarit ban đầu: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Trả lời:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Riêng biệt, điều đáng nói là ý nghĩa của công thức chuyển sang cơ số mới của logarit dạng 
. Nó cho phép bạn chuyển từ logarit với bất kỳ cơ số nào sang logarit với một cơ số cụ thể, các giá trị đã biết hoặc có thể tìm thấy chúng. Thông thường, từ logarit ban đầu, sử dụng công thức chuyển tiếp, họ chuyển sang logarit ở một trong các cơ số 2, e hoặc 10, vì đối với các cơ số này có các bảng logarit cho phép tính giá trị của chúng với một mức độ nhất định sự chính xác. Trong đoạn tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ ra cách thực hiện điều này.
Bảng logarit và công dụng của chúng
Để tính toán gần đúng các giá trị logarit có thể được sử dụng bảng logarit. Bảng logarit cơ số 2, bảng logarit tự nhiên và bảng logarit thập phân được sử dụng phổ biến nhất. Khi làm việc trong hệ thống số thập phân, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng bảng logarit dựa trên cơ số mười. Với sự giúp đỡ của nó, chúng ta sẽ học cách tìm các giá trị của logarit.
Bảng được trình bày cho phép bạn tìm các giá trị logarit thập phân của các số từ 1.000 đến 9.999 (với ba chữ số thập phân) với độ chính xác đến một phần mười nghìn. Chúng ta sẽ phân tích nguyên tắc tìm giá trị của logarit bằng bảng logarit thập phân bằng một ví dụ cụ thể - cách này rõ ràng hơn. Hãy tìm log1.256.
Ở cột bên trái của bảng logarit thập phân, chúng ta tìm thấy hai chữ số đầu tiên của số 1.256, tức là chúng ta tìm thấy 1,2 (số này được khoanh tròn màu xanh lam cho rõ ràng). Chữ số thứ ba của số 1.256 (chữ số 5) nằm ở dòng đầu tiên hoặc dòng cuối cùng bên trái của dòng kép (số này được khoanh tròn màu đỏ). Chữ số thứ tư của số ban đầu 1.256 (chữ số 6) nằm ở dòng đầu tiên hoặc dòng cuối cùng bên phải của dòng kép (số này được khoanh tròn bằng đường màu xanh lá cây). Bây giờ chúng ta tìm các số trong các ô của bảng logarit tại giao điểm của hàng được đánh dấu và các cột được đánh dấu (những số này được đánh dấu bằng màu cam). Tổng các số được đánh dấu sẽ cho giá trị mong muốn của logarit thập phân chính xác đến chữ số thập phân thứ tư, nghĩa là: log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Có thể sử dụng bảng trên để tìm giá trị logarit thập phân của các số có nhiều hơn ba chữ số sau dấu thập phân, cũng như các giá trị vượt quá phạm vi từ 1 đến 9,999? Vâng, bạn có thể. Hãy cho thấy cách thực hiện điều này bằng một ví dụ.
Hãy tính lg102.76332. Đầu tiên bạn cần viết ra số ở dạng chuẩn: 102,76332=1,0276332·10 2. Sau đó, phần định trị sẽ được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, chúng ta có 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, trong khi logarit thập phân ban đầu xấp xỉ bằng logarit của số kết quả, tức là ta lấy log102.76332≈lg1.028·10 2. Bây giờ chúng ta áp dụng các tính chất của logarit: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Cuối cùng, chúng ta tìm thấy giá trị của logarit lg1.028 từ bảng logarit thập phân lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kết quả là toàn bộ quá trình tính logarit trông như thế này: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Tóm lại, điều đáng chú ý là bằng cách sử dụng bảng logarit thập phân, bạn có thể tính giá trị gần đúng của bất kỳ logarit nào. Để làm điều này, chỉ cần sử dụng công thức chuyển đổi để chuyển sang logarit thập phân, tìm giá trị của chúng trong bảng và thực hiện các phép tính còn lại.
Ví dụ: hãy tính log 2 3 . Theo công thức chuyển logarit sang cơ số mới, ta có . Từ bảng logarit thập phân, chúng ta tìm thấy log3≈0,4771 và log2≈0,3010. Như vậy, 
.
Tài liệu tham khảo.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các môn khác Đại số và khởi đầu của giải tích: Sách giáo khoa lớp 10 - 11 cơ sở giáo dục phổ thông.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán (sổ tay dành cho học sinh vào các trường kỹ thuật).
Họ làm theo định nghĩa của nó. Và logarit của số b dựa trên MỘTđược định nghĩa là số mũ mà một số phải được nâng lên Mộtđể có được số b(logarit chỉ tồn tại với số dương).
Từ công thức này suy ra rằng việc tính toán x=log a b, tương đương với việc giải phương trình a x = b. Ví dụ, log 2 8 = 3 bởi vì 8 = 2 3 . Công thức logarit có thể chứng minh rằng nếu b=a c, thì logarit của số b dựa trên Một bằng Với. Cũng rõ ràng là chủ đề logarit có liên quan chặt chẽ đến chủ đề lũy thừa của một số.
Với logarit, cũng như với bất kỳ số nào, bạn có thể làm các phép tính cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách có thể. Nhưng do logarit không hoàn toàn là những con số thông thường nên các quy tắc đặc biệt riêng của chúng được áp dụng ở đây, được gọi là thuộc tính chính.
Cộng và trừ logarit.
Hãy lấy hai logarit có cùng cơ số: ghi lại x Và đăng nhập một y. Sau đó có thể thực hiện các phép tính cộng và trừ:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
đăng nhập một(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = ghi lại x 1 + ghi lại x 2 + ghi lại x 3 + ... + log a x k.
Từ định lý logarit thương có thể thu được thêm một tính chất của logarit. Người ta biết rằng nhật ký Một 1= 0, do đó
nhật ký Một 1 /b= nhật ký Một 1 - nhật ký một b= -log một b.
Điều này có nghĩa là có sự bình đẳng:
log a 1 / b = - log a b.
Logarit của hai số nghịch đảo vì lý do tương tự sẽ chỉ khác nhau ở dấu hiệu. Vì thế:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét việc chuyển đổi các biểu thức chứa logarit từ góc độ tổng quát. Ở đây chúng ta sẽ phân tích không chỉ việc biến đổi biểu thức bằng cách sử dụng các thuộc tính của logarit mà còn xem xét việc biến đổi biểu thức với logarit tổng quát, không chỉ chứa logarit mà còn chứa lũy thừa, phân số, căn bậc, v.v. Như thường lệ, chúng tôi sẽ cung cấp tất cả tài liệu với các ví dụ điển hình kèm theo mô tả chi tiết về giải pháp.
Điều hướng trang.
Biểu thức có logarit và biểu thức logarit
Làm mọi việc với phân số
Trong đoạn trước, chúng ta đã xem xét các phép biến đổi cơ bản được thực hiện với các phân số riêng lẻ có chứa logarit. Tất nhiên, những phép biến đổi này có thể được thực hiện với từng phân số riêng lẻ là một phần của biểu thức phức tạp hơn, ví dụ: biểu thị tổng, hiệu, tích và thương của các phân số tương tự. Nhưng ngoài việc làm việc với các phân số riêng lẻ, việc chuyển đổi các biểu thức thuộc loại này thường liên quan đến việc thực hiện các phép toán tương ứng với các phân số. Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét các quy tắc mà những hành động này được thực hiện.
Kể từ lớp 5-6, chúng tôi đã biết các quy tắc thực hiện chúng. Trong bài viết cái nhìn tổng quát về các phép toán với phân số Chúng tôi đã mở rộng các quy tắc này từ phân số thông thường sang phân số có dạng tổng quát A/B, trong đó A và B là một số biểu thức số, chữ hoặc biến và B không hoàn toàn bằng 0. Rõ ràng phân số có logarit là trường hợp đặc biệt của phân số tổng quát. Và về vấn đề này, rõ ràng là các phép tính với phân số có chứa logarit trong ký hiệu của chúng được thực hiện theo các quy tắc tương tự. Cụ thể là:
- Để cộng hoặc trừ hai phân số có cùng mẫu số, bạn phải cộng hoặc trừ các tử số tương ứng nhưng giữ nguyên mẫu số.
- Để cộng hoặc trừ hai phân số có mẫu số khác nhau, bạn cần đưa chúng về mẫu số chung và thực hiện các thao tác thích hợp theo quy tắc trước đó.
- Để nhân hai phân số, bạn cần viết một phân số có tử số là tích của các tử số của các phân số ban đầu và mẫu số là tích của các mẫu số.
- Để chia một phân số thành một phân số, bạn phải nhân phân số được chia với phân số nghịch đảo của ước số, nghĩa là với một phân số có tử số và mẫu số hoán đổi cho nhau.
Dưới đây là một số ví dụ về cách thực hiện các phép tính với phân số chứa logarit.
Ví dụ.
Thực hiện các phép tính với phân số chứa logarit: a) , b) 
, V) 
, G) 
.
Giải pháp.
a) Mẫu số của các phân số được thêm vào hiển nhiên giống nhau. Vì vậy, theo quy tắc cộng các phân số cùng mẫu số, ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số: 
.
b) Ở đây mẫu số khác nhau. Vì vậy, trước tiên bạn cần chuyển các phân số về cùng mẫu số. Trong trường hợp của chúng ta, các mẫu số đã được biểu diễn dưới dạng tích và tất cả những gì chúng ta phải làm là lấy mẫu số của phân số thứ nhất và thêm vào đó các thừa số còn thiếu từ mẫu số của phân số thứ hai. Bằng cách này chúng ta có được mẫu số chung có dạng 
. Trong trường hợp này, các phân số bị trừ được đưa về mẫu số chung bằng cách sử dụng các thừa số bổ sung ở dạng logarit và biểu thức x 2 ·(x+1), tương ứng. Sau đó, tất cả những gì còn lại là trừ các phân số có cùng mẫu số, việc này không khó.
Vì vậy, giải pháp là: 
c) Biết kết quả của phép nhân các phân số là một phân số có tử số bằng tích của các tử số, mẫu số bằng tích của các mẫu số nên 
Thật dễ dàng để thấy rằng bạn có thể giảm một phần bằng hai và bằng logarit thập phân, kết quả là chúng ta có 
.
d) Chúng ta chuyển từ phép chia phân số sang phép nhân, thay phân số chia bằng phân số nghịch đảo của nó. Vì thế 
Tử số của phân số kết quả có thể được biểu diễn dưới dạng 
, từ đó có thể thấy rõ thừa số chung của tử số và mẫu số - thừa số x, bạn có thể rút gọn phân số bằng nó: 
Trả lời:
a) , b) 
, V) 
, G) 
.
Cần nhớ rằng các phép toán với phân số được thực hiện có tính đến thứ tự thực hiện các hành động: đầu tiên là nhân và chia, sau đó là cộng và trừ, và nếu có dấu ngoặc đơn thì các hành động trong ngoặc đơn sẽ được thực hiện trước.
Ví dụ.
Làm mọi việc với phân số 
.
Giải pháp.
Đầu tiên, chúng ta cộng các phân số trong ngoặc, sau đó chúng ta sẽ nhân: 
Trả lời:
Tại thời điểm này, vẫn cần phải nói to ba điểm khá rõ ràng nhưng đồng thời cũng quan trọng:
Chuyển đổi biểu thức bằng cách sử dụng thuộc tính của logarit
Thông thường, việc chuyển đổi các biểu thức bằng logarit liên quan đến việc sử dụng các đặc tính thể hiện định nghĩa của logarit và
Nhiệm vụ có giải pháp là chuyển đổi biểu thức logarit, khá phổ biến trong Kỳ thi Thống nhất.
Để đối phó thành công với thời gian tối thiểu, ngoài các đặc tính logarit cơ bản, bạn cần biết và sử dụng chính xác một số công thức nữa.
Đây là: a log a b = b, trong đó a, b > 0, a ≠ 1 (Nó suy ra trực tiếp từ định nghĩa logarit).
log a b = log c b / log c a hoặc log a b = 1/log b a
trong đó a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
trong đó a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
trong đó a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1
Để chứng minh tính đúng đắn của đẳng thức thứ tư, hãy lấy logarit của vế trái và vế phải về cơ số a. Chúng ta nhận được log a (a log với b) = log a (b log với a) hoặc log với b = log với a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); đăng nhập với b = đăng nhập với b.
Ta đã chứng minh được tính đẳng thức của logarit, nghĩa là các biểu thức dưới logarit cũng bằng nhau. Công thức 4 đã được chứng minh.
Ví dụ 1.
Tính 81 log 27 5 log 5 4 .
Giải pháp.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Do đó,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Khi đó 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Bạn có thể tự mình hoàn thành nhiệm vụ sau.
Tính (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Như một gợi ý, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.
Trả lời: 5.
Ví dụ 2.
Tính toán (√11) nhật ký √3 9- log 121 81 .
Giải pháp.
Hãy thay đổi các biểu thức: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (công thức 3 đã được sử dụng).
Khi đó (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Ví dụ 3.
Tính log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
Giải pháp.
Chúng ta thay logarit có trong ví dụ bằng logarit cơ số 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Khi đó log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Sau khi mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự, ta được số 3. (Khi rút gọn biểu thức, ta có thể ký hiệu log 2 3 bằng n và rút gọn biểu thức
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Trả lời: 3.
Bạn có thể tự mình hoàn thành nhiệm vụ sau:
Tính toán (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Ở đây cần thực hiện chuyển đổi sang logarit cơ số 3 và phân tích các số lớn thành thừa số nguyên tố.
Đáp án: 1/2
Ví dụ 4.
Cho ba số A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần.
Giải pháp.
Hãy biến đổi các số A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Hãy so sánh chúng
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 và log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Hoặc -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Trả lời. Vì vậy thứ tự đặt các số là: C; MỘT; TRONG.
Ví dụ 5.
Có bao nhiêu số nguyên trong khoảng (log 3 1/16 ; log 2 6 48).
Giải pháp.
Chúng ta hãy xác định giữa lũy thừa nào của số 3 mà số 1/16 nằm. Chúng tôi nhận được 27/1< 1 / 16 < 1 / 9 .
Vì hàm số y = log 3 x tăng dần nên log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Hãy so sánh log 6 (4/3) và 1/5. Và để làm điều này, chúng ta so sánh các số 4/3 và 6 1/5. Hãy nâng cả hai số lên lũy thừa thứ 5. Chúng ta nhận được (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,
nhật ký 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Do đó, khoảng (log 3 1/16; log 6 48) bao gồm khoảng [-2; 4] và các số nguyên -2 được đặt trên đó; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Đáp số: 7 số nguyên.
Ví dụ 6.
Tính 3lglg 2/ lg 3 - lg20.
Giải pháp.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Khi đó 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Trả lời: -1.
Ví dụ 7.
Biết log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Tìm log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Giải pháp.
Các số (√3 + 1) và (√3 – 1); (√6 – 2) và (√6 + 2) là liên hợp.
Chúng ta hãy thực hiện phép biến đổi biểu thức sau
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Khi đó log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Đáp án: 2 – A.
Ví dụ 8.
Rút gọn và tìm giá trị gần đúng của biểu thức (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Giải pháp.
Chúng ta hãy quy đổi tất cả logarit về cơ số chung 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Có thể tìm thấy giá trị gần đúng của lg 2 bằng cách sử dụng bảng, thước trượt hoặc máy tính).
Đáp số: 0,3010.
Ví dụ 9.
Tính log a 2 b 3 √(a 11 b -3) nếu log √ a b 3 = 1. (Trong ví dụ này, a 2 b 3 là cơ số của logarit).
Giải pháp.
Nếu log √ a b 3 = 1, thì 3/(0,5 log a b = 1. Và log a b = 1/6.
Khi đó log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Xét rằng log a b = 1/ 6 ta được (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.
Trả lời: 2.1.
Bạn có thể tự mình hoàn thành nhiệm vụ sau:
Tính log √3 6 √2,1 nếu log 0,7 27 = a.
Đáp án: (3+a)/(3a).
Ví dụ 10.
Tính 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Giải pháp.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (công thức 4))
Chúng ta nhận được 9 + 6 = 15.
Trả lời: 15.
Vẫn còn thắc mắc? Bạn không chắc chắn cách tìm giá trị của biểu thức logarit?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!
blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.
Hôm nay chúng ta sẽ nói về công thức logarit và chúng tôi sẽ đưa ra chỉ dẫn ví dụ giải pháp.
Bản thân chúng bao hàm các mẫu lời giải theo các tính chất cơ bản của logarit. Trước khi áp dụng các công thức logarit để giải, chúng tôi xin nhắc bạn về tất cả các tính chất:
Bây giờ, dựa trên các công thức (tính chất) này, chúng tôi sẽ chỉ ra ví dụ về giải logarit.
Ví dụ về giải logarit dựa trên công thức.
logarit số dương b cơ số a (ký hiệu là log a b) là số mũ mà a phải được nâng lên để thu được b, với b > 0, a > 0 và 1.
Theo định nghĩa, log a b = x, tương đương với a x = b, do đó log a a x = x.
Logarit, ví dụ:
log 2 8 = 3, bởi vì 2 3 = 8
log 7 49 = 2, bởi vì 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, bởi vì 5 -1 = 1/5
Logarit thập phân- đây là logarit thông thường, cơ số là 10. Nó được ký hiệu là lg.
log 10 100 = 2, bởi vì 10 2 = 100
logarit tự nhiên- cũng là logarit thông thường, logarit, nhưng có cơ số e (e = 2,71828... - một số vô tỷ). Ký hiệu là ln.
Nên ghi nhớ các công thức hoặc tính chất của logarit, vì sau này chúng ta sẽ cần đến chúng khi giải logarit, phương trình logarit và bất đẳng thức. Hãy cùng giải lại từng công thức bằng các ví dụ.
- Nhận dạng logarit cơ bản
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logarit của tích bằng tổng các logarit
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Logarit của thương bằng hiệu của logarit
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Tính chất lũy thừa của số logarit và cơ số của logarit
Số mũ của số logarit log a b m = mlog a b
Số mũ cơ số của logarit log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
nếu m = n, chúng ta nhận được log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Chuyển sang nền tảng mới
log a b = log c b/log c a,nếu c = b, chúng ta nhận được log b b = 1
thì log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Như bạn có thể thấy, các công thức tính logarit không phức tạp như vẻ ngoài của chúng. Bây giờ, sau khi xem xét các ví dụ về giải logarit, chúng ta có thể chuyển sang phương trình logarit. Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về giải phương trình logarit chi tiết hơn trong bài viết: "". Đừng bỏ lỡ nó!
Nếu bạn vẫn còn thắc mắc về giải pháp, hãy viết chúng trong phần bình luận cho bài viết.
Lưu ý: chúng tôi quyết định chọn một lớp học khác và đi du học như một lựa chọn.