Sin x sin x bằng bao nhiêu. Giải các phương trình lượng giác đơn giản

– chắc chắn sẽ có nhiệm vụ về lượng giác. Lượng giác thường không được ưa thích vì phải nhồi nhét một số lượng lớn các công thức khó, chứa đầy các hàm sin, cosin, tiếp tuyến và cotang. Trang này đã từng đưa ra lời khuyên về cách ghi nhớ một công thức đã quên, sử dụng ví dụ về công thức Euler và Peel.

Và trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra rằng chỉ cần biết chắc năm công thức lượng giác đơn giản và biết về phần còn lại là đủ ý tưởng chung và mang chúng ra ngoài khi bạn đi. Nó giống như DNA: phân tử không lưu trữ bản thiết kế hoàn chỉnh của một sinh vật sống hoàn chỉnh. Đúng hơn, nó chứa các hướng dẫn để lắp ráp nó từ các axit amin có sẵn. Vậy trong lượng giác, biết một số nguyên tắc chung, chúng ta sẽ có được mọi thứ công thức cần thiết từ bộ nhỏ những điều cần phải ghi nhớ.

Chúng tôi sẽ dựa vào công thức sau:

Từ các công thức tính tổng sin và cos, biết về tính chẵn lẻ của hàm cosine và độ lẻ của hàm sin, thay -b thay cho b, chúng ta thu được công thức tính hiệu:

1. Sin của sự khác biệt: tội lỗi(a-b) = tội lỗiMộtvì(-b)+vìMộttội lỗi(-b) = tội lỗiMộtvìb-vìMộttội lỗib
2. Cosin của sự khác biệt: vì(a-b) = vìMộtvì(-b)-tội lỗiMộttội lỗi(-b) = vìMộtvìb+tội lỗiMộttội lỗib

Thay a = b vào cùng một công thức, ta thu được công thức tính sin và cosin của hai góc:

1. xoang góc đôi : tội lỗi2a = tội lỗi(a+a) = tội lỗiMộtvìMột+vìMộttội lỗiMột = 2tội lỗiMộtvìMột
2. Cosin của góc kép: vì2a = vì(a+a) = vìMộtvìMột-tội lỗiMộttội lỗiMột = vì2 một-tội lỗi2 một

Các công thức cho nhiều góc khác được lấy tương tự:

1. Sin của một góc ba: tội lỗi3a = tội lỗi(2a+a) = tội lỗi2avìMột+vì2atội lỗiMột = (2tội lỗiMộtvìMột)vìMột+(vì2 một-tội lỗi2 một)tội lỗiMột = 2tội lỗiMộtvì2 một+tội lỗiMộtvì2 một-tội lỗi 3 a = 3 tội lỗiMộtvì2 một-tội lỗi 3 a = 3 tội lỗiMột(1-tội lỗi2 một)-tội lỗi 3 a = 3 tội lỗiMột-4tội lỗi 3a
2. Cosin của góc ba: vì3a = vì(2a+a) = vì2avìMột-tội lỗi2atội lỗiMột = (vì2 một-tội lỗi2 một)vìMột-(2tội lỗiMộtvìMột)tội lỗiMột = vì 3 a- tội lỗi2 mộtvìMột-2tội lỗi2 mộtvìMột = vì 3 a-3 tội lỗi2 mộtvìMột = vì 3 a-3(1- vì2 một)vìMột = 4vì 3 a-3 vìMột

Trước khi tiếp tục, chúng ta hãy xem xét một vấn đề.
Cho: góc là góc nhọn.
Tìm cosin của nó nếu
Cách giải của một học sinh:
Bởi vì , Cái đó tội lỗiMột= 3,a vìMột = 4.
(Từ truyện cười toán học)

Vì vậy, định nghĩa tiếp tuyến liên hệ hàm số này với cả sin và cosin. Nhưng bạn có thể nhận được một công thức chỉ liên hệ tiếp tuyến với cosin. Để rút ra nó, chúng ta lấy đồng nhất thức lượng giác chính: tội lỗi 2 Một+vì 2 Một= 1 và chia cho vì 2 Một. Chúng tôi nhận được:

Vậy giải pháp cho vấn đề này sẽ là:

(Vì là góc nhọn nên khi lấy nghiệm lấy dấu +)

Công thức tang của một tổng cũng là một công thức khó nhớ. Hãy xuất nó như thế này:

Hiển thị ngay lập tức và

Từ công thức cosine cho một góc đôi, bạn có thể thu được công thức sin và cosine cho một nửa góc. Để làm điều này, ở phía bên trái của công thức cosin góc kép:
vì2 Một = vì 2 Một-tội lỗi 2 Một
chúng ta thêm một và ở bên phải - một đơn vị lượng giác, tức là tổng bình phương của sin và cosin.
vì2a+1 = vì2 một-tội lỗi2 một+vì2 một+tội lỗi2 một
2vì 2 Một = vì2 Một+1
Thể hiện vìMột bởi vì vì2 Một và thực hiện đổi biến, ta được:

Dấu hiệu được lấy tùy thuộc vào góc phần tư.

Tương tự, trừ một ở vế trái của đẳng thức và tổng bình phương của sin và cosin ở vế phải, chúng ta nhận được:
vì2a-1 = vì2 một-tội lỗi2 một-vì2 một-tội lỗi2 một
2tội lỗi 2 Một = 1-vì2 Một

Và cuối cùng, để chuyển tổng các hàm lượng giác thành tích, chúng ta sử dụng kỹ thuật sau. Giả sử chúng ta cần biểu diễn tổng các sin dưới dạng tích tội lỗiMột+tội lỗib. Hãy giới thiệu các biến x và y sao cho a = x+y, b+x-y. Sau đó
tội lỗiMột+tội lỗib = tội lỗi(x+y)+ tội lỗi(x-y) = tội lỗi x vì y+ vì x tội lỗi y+ tội lỗi x vì y- vì x tội lỗi y=2 tội lỗi x vì y. Bây giờ chúng ta biểu diễn x và y theo a và b.

Vì a = x+y, b = x-y nên . Đó là lý do tại sao

Bạn có thể rút tiền ngay lập tức

1. Công thức phân vùng tích của sin và cosin V. số lượng: tội lỗiMộtvìb = 0.5(tội lỗi(a+b)+tội lỗi(a-b))

Chúng tôi khuyên bạn nên tự mình thực hành và rút ra các công thức để chuyển đổi hiệu các hàm sin cũng như tổng và hiệu của các hàm cosin thành tích, cũng như để chia tích của các hàm sin và cos thành tổng. Hoàn thành các bài tập này, bạn sẽ nắm vững kỹ năng suy luận các công thức lượng giác và không bị lạc ngay cả trong các bài kiểm tra, Olympic hay kiểm tra khó nhất.

Hãy giải quyết khái niệm đơn giản: sin và cosin và tính toán cosin bình phương và sin bình phương.

Sin và cosine được nghiên cứu về lượng giác (nghiên cứu về tam giác vuông).

Do đó, trước tiên, chúng ta hãy nhớ lại các khái niệm cơ bản về tam giác vuông:

Cạnh huyền- phía luôn nằm đối diện góc vuông(góc 90 độ). Cạnh huyền là cạnh dài nhất của một tam giác vuông.

Hai cạnh còn lại của tam giác vuông gọi là chân.

Bạn cũng nên nhớ rằng ba góc trong một tam giác luôn có tổng bằng 180°.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang cosin và sin của góc alpha (∠α)(cái này có thể được gọi là bất kỳ góc gián tiếp nào trong một tam giác hoặc được dùng làm ký hiệu x - "x", không làm thay đổi bản chất).

Sin của góc alpha (sin ∠α)- đây là một thái độ đối diện chân (cạnh đối diện với góc tương ứng) với cạnh huyền. Nếu nhìn vào hình thì sin ∠ABC = AC / BC

Cosin của góc alpha (cos ∠α)- thái độ liền kề theo góc của chân với cạnh huyền. Nhìn lại hình trên, cos ∠ABC = AB/BC

Và chỉ để nhắc nhở bạn: cosin và sin sẽ không bao giờ bằng nhau nhiều hơn một, vì bất kỳ cuộn nào đều ngắn hơn cạnh huyền (và cạnh huyền là cạnh dài nhất của bất kỳ tam giác nào, vì cạnh dài nhất nằm đối diện với góc lớn nhất trong tam giác).

Cosin bình phương, sin bình phương

Bây giờ hãy chuyển sang những cái chính công thức lượng giác: Tính cosin bình phương và sin bình phương.

Để tính chúng, bạn nên nhớ đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin 2 α + cos 2 α = 1(sin bình phương cộng cosin bình phương của một góc luôn bằng một).

Từ nhận dạng lượng giác chúng tôi rút ra kết luận về sin:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

sin vuông alpha bằng một trừ cosin của góc kép alpha và chia tất cả cho hai.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Từ đồng nhất thức lượng giác ta rút ra kết luận về cosin:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

hoặc hơn lựa chọn khó khăn công thức: cosin vuông alpha bằng một cộng với cosin của góc kép alpha và cũng chia mọi thứ cho hai.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Hai cái này nhiều hơn công thức phức tạp bình phương sin và bình phương cosin còn được gọi là “giảm bậc bình phương của hàm lượng giác”. Những thứ kia. có bậc thứ hai, họ hạ xuống bậc thứ nhất và việc tính toán trở nên thuận tiện hơn.

Giải pháp đơn giản nhất phương trình lượng giác.

Việc giải các phương trình lượng giác ở bất kỳ mức độ phức tạp nào cuối cùng đều dẫn đến việc giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Và trong này người trợ giúp tốt nhất một lần nữa nó lại trở thành một đường tròn lượng giác.

Hãy nhớ lại các định nghĩa về cosin và sin.

Cosin của một góc là hoành độ (nghĩa là tọa độ dọc theo trục) của một điểm trên vòng tròn đơn vị, tương ứng với phép quay qua một góc cho trước.

Sin của một góc là tọa độ (tức là tọa độ dọc theo trục) của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với một phép quay qua một góc cho trước.

Chiều chuyển động dương trên đường tròn lượng giác là ngược chiều kim đồng hồ. Một góc quay 0 độ (hoặc 0 radian) tương ứng với một điểm có tọa độ (1;0)

Chúng tôi sử dụng các định nghĩa này để giải các phương trình lượng giác đơn giản.

1. Giải phương trình

Phương trình này được thỏa mãn bởi mọi giá trị của góc quay tương ứng với các điểm trên đường tròn có tọa độ bằng .

Hãy đánh dấu một điểm bằng tọa độ trên trục tọa độ:

Hãy thực hiện đường ngang song song với trục x cho đến khi cắt đường tròn. Ta có hai điểm nằm trên đường tròn và có tọa độ. Những điểm này tương ứng với góc quay trong và radian:

Nếu chúng ta để lại điểm tương ứng với góc quay theo radian, hãy đi vòng quanh vòng tròn đầy đủ, thì chúng ta sẽ đến một điểm tương ứng với góc quay trên radian và có cùng tọa độ. Nghĩa là góc quay này cũng thỏa mãn phương trình của chúng ta. Chúng ta có thể thực hiện bao nhiêu vòng quay “nhàn rỗi” tùy thích, quay trở lại cùng một điểm và tất cả các giá trị góc này sẽ thỏa mãn phương trình của chúng ta. Số vòng quay “nhàn rỗi” sẽ được biểu thị bằng chữ cái (hoặc). Vì chúng ta có thể thực hiện các phép quay này theo cả chiều dương và chiều âm, nên (hoặc) có thể nhận bất kỳ giá trị nguyên nào.

Nghĩa là, dãy nghiệm đầu tiên của phương trình ban đầu có dạng:

, , - tập hợp số nguyên (1)

Tương tự, dãy nghiệm thứ hai có dạng:

, Ở đâu , . (2)

Như bạn có thể đoán, chuỗi nghiệm này dựa trên điểm trên đường tròn tương ứng với góc quay bằng .

Hai loạt giải pháp này có thể được kết hợp thành một mục:

Nếu chúng ta ở trong này hãy ghi chép(tức là chẵn), thì ta có dãy nghiệm đầu tiên.

Nếu chúng ta lấy (nghĩa là số lẻ) trong mục này, thì chúng ta sẽ nhận được loạt nghiệm thứ hai.

2. Bây giờ hãy giải phương trình

Vì đây là hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách quay qua một góc, nên chúng ta đánh dấu điểm bằng hoành độ trên trục:

Hãy thực hiện đường thẳng đứng song song với trục cho đến khi cắt đường tròn. Chúng ta sẽ có hai điểm nằm trên đường tròn và có trục hoành. Những điểm này tương ứng với góc quay tính bằng và radian. Hãy nhớ lại rằng khi di chuyển theo chiều kim đồng hồ, chúng ta có góc quay âm:

Chúng ta hãy viết ra hai loạt giải pháp:

,

,

(Tức là chúng ta đi đến điểm mong muốn bằng cách đi từ vòng tròn chính đầy đủ.

Hãy kết hợp hai chuỗi này thành một mục:

3. Giải phương trình

Tiếp tuyến đi qua điểm có tọa độ (1,0) của đường tròn đơn vị song song với trục OY

Hãy đánh dấu một điểm trên đó bằng tọa độ bằng 1 (chúng ta đang tìm tiếp tuyến của các góc bằng 1):

Hãy nối điểm này với gốc tọa độ bằng một đường thẳng và đánh dấu các điểm giao nhau của đường thẳng với đường tròn đơn vị. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn ứng với các góc quay trên và:

Vì các điểm tương ứng với các góc quay thỏa mãn phương trình của chúng ta nằm cách nhau một khoảng radian nên chúng ta có thể viết nghiệm như sau:

4. Giải phương trình

Đường cotang đi qua điểm có tọa độ đường tròn đơn vị song song với trục.

Hãy đánh dấu một điểm bằng hoành độ -1 trên đường cotang:

Hãy nối điểm này với gốc của đường thẳng và tiếp tục cho đến khi nó giao với đường tròn. Đường thẳng này sẽ cắt đường tròn tại các điểm tương ứng với các góc quay tính bằng và radian:

Vì các điểm này cách nhau một khoảng bằng , nên ta có thể viết nghiệm tổng quát của phương trình này như sau:

Trong các ví dụ đã cho minh họa cách giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất, các giá trị dạng bảng của hàm lượng giác đã được sử dụng.

Tuy nhiên, nếu vế phải của phương trình chứa một giá trị không phải dạng bảng thì chúng ta thay giá trị đó vào nghiệm tổng quát của phương trình:

GIẢI PHÁP ĐẶC BIỆT:

Chúng ta hãy đánh dấu các điểm trên đường tròn có tọa độ là 0:

Chúng ta hãy đánh dấu một điểm trên đường tròn có tọa độ là 1:

Chúng ta hãy đánh dấu một điểm trên đường tròn có tọa độ bằng -1:

Vì thông thường chỉ ra các giá trị gần nhất với 0 nên chúng tôi viết lời giải như sau:

Chúng ta hãy đánh dấu các điểm trên đường tròn có hoành độ bằng 0:

5.
Chúng ta hãy đánh dấu một điểm trên đường tròn có hoành độ bằng 1:

Chúng ta hãy đánh dấu một điểm trên đường tròn có hoành độ bằng -1:

Và các ví dụ phức tạp hơn một chút:

1.

Sin bằng 1 nếu đối số bằng

Đối số của sin của chúng ta bằng nhau, vì vậy chúng ta nhận được:

Hãy chia cả hai vế của đẳng thức cho 3:

Trả lời:

2.

Cô sin bằng 0, nếu đối số cosin bằng

Đối số của cosin của chúng tôi bằng , vì vậy chúng tôi nhận được:

Hãy biểu diễn , để làm điều này trước tiên chúng ta di chuyển sang phải với dấu ngược lại:

Hãy đơn giản hóa vế phải:

Chia cả hai vế cho -2:

Lưu ý rằng dấu ở phía trước số hạng không thay đổi, vì k có thể nhận bất kỳ giá trị nguyên nào.

Trả lời:

Và cuối cùng, hãy xem video hướng dẫn “Chọn nghiệm của phương trình lượng giác bằng vòng tròn lượng giác"

Điều này kết thúc cuộc trò chuyện của chúng ta về việc giải các phương trình lượng giác đơn giản. Lần tới chúng ta sẽ nói về cách quyết định.

Sin và cosin ban đầu nảy sinh từ nhu cầu tính các đại lượng trong tam giác vuông. Người ta nhận thấy rằng nếu số đo độ của các góc trong một tam giác vuông không thay đổi thì tỷ lệ khung hình, cho dù các cạnh này có thay đổi chiều dài bao nhiêu đi nữa, vẫn luôn giữ nguyên.

Đây là cách các khái niệm về sin và cosin được giới thiệu. xoang góc nhọn trong một tam giác vuông là tỉ số phía đối diện với cạnh huyền và cosin liền kề với cạnh huyền.

Định lý cosin và sin

Nhưng cos và sin có thể được sử dụng cho nhiều mục đích hơn là chỉ cho tam giác vuông. Để tìm giá trị của một góc hoặc cạnh tù hoặc nhọn của bất kỳ tam giác nào, chỉ cần áp dụng định lý cosin và sin là đủ.

Định lý cosine khá đơn giản: “Bình phương cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của hai cạnh này với cosin của góc giữa chúng.”

Có hai cách giải thích định lý sin: nhỏ và mở rộng. Theo nhỏ: “Trong một tam giác, các góc tỉ lệ các bên đối lập». Định lý này thường được mở rộng do tính chất của đường tròn ngoại tiếp một tam giác: “Trong một tam giác, các góc tỉ lệ với các cạnh đối diện và tỉ số của chúng bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp”.

Công cụ phái sinh

Đạo hàm là một công cụ toán học cho thấy một hàm thay đổi nhanh như thế nào so với sự thay đổi trong đối số của nó. Đạo hàm được sử dụng trong hình học và trong một số ngành kỹ thuật.

Khi giải bài toán, bạn cần biết giá trị bảng của đạo hàm của các hàm lượng giác: sin và cosin. Đạo hàm của sin là cos, và cosin là sin, nhưng có dấu trừ.

Ứng dụng trong toán học

Sin và cosin đặc biệt thường được sử dụng khi giải tam giác vuông và các nhiệm vụ liên quan đến chúng.

Sự tiện lợi của sin và cosin cũng được thể hiện ở công nghệ. Thật dễ dàng để đánh giá các góc và cạnh bằng cách sử dụng các định lý về cosin và sin, phá vỡ số liệu phức tạp và các vật thể thành các hình tam giác “đơn giản”. Các kỹ sư thường xử lý các tính toán tỷ lệ khung hình và thước đo mức độ, đã dành rất nhiều thời gian và công sức để tính cosin và sin của các góc không dạng bảng.

Sau đó, các bảng Bradis đã ra tay giải cứu, chứa hàng ngàn giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang góc độ khác nhau. TRONG thời Xô Viết một số giáo viên buộc học sinh của họ phải ghi nhớ các trang trong bảng Bradis.

radian - độ lớn góc cung, chiều dài bằng bán kính hoặc 57,295779513° độ.

Độ (trong hình học) - phần 1/360 của hình tròn hoặc phần 1/90 của góc vuông.

π = 3,141592653589793238462… ( giá trị gần đúng số Pi).

Bảng cosine cho các góc: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Góc x (tính bằng độ)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Góc x (tính bằng radian)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
vì x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1