Dạng lượng giác của số phức
Kế hoạch
1. Biểu diễn hình học của số phức.
2. Ký hiệu lượng giác của số phức.
3. Thao tác trên số phức dưới dạng lượng giác.
Biểu diễn hình học của số phức.
a) Số phức được biểu diễn bằng các điểm trên mặt phẳng theo quy tắc sau: Một + bi = M ( Một ; b ) (Hình 1).
Bức tranh 1
b) Một số phức có thể được biểu diễn bằng một vectơ bắt đầu tại điểmVỀ và kết thúc tại một điểm nhất định (Hình 2).
Hình 2
Ví dụ 7. Xây dựng điểm biểu diễn số phức:1; - Tôi ; - 1 + Tôi ; 2 – 3 Tôi (Hình 3).
Hình 3
Ký hiệu lượng giác của số phức.
Số phứcz = Một + bi có thể được chỉ định bằng cách sử dụng vectơ bán kính có tọa độ( Một ; b ) (Hình 4).
hinh 4
Sự định nghĩa . Chiều dài vectơ , đại diện cho một số phứcz , được gọi là mô đun của số này và được ký hiệu hoặcr .
Với mọi số phứcz mô-đun của nór = | z | được xác định duy nhất bởi công thức .
Sự định nghĩa . Độ lớn của góc giữa hướng dương của trục thực và vectơ , đại diện cho một số phức, được gọi là đối số của số phức này và được ký hiệu làMỘT R G z hoặcφ .
Đối số số phứcz = 0 không xác định. Đối số số phứcz≠ 0 – đại lượng có nhiều giá trị và được xác định trong một số hạng2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = tranh luận z + 2πk , Ở đâutranh luận z – giá trị chính của đối số chứa trong khoảng(-π; π] , đó là-π < tranh luận z ≤ π (đôi khi một giá trị thuộc khoảng được lấy làm giá trị chính của đối số .
Công thức này khir =1 thường được gọi là công thức Moivre:
(cos φ + i sin φ) N = cos(nφ) + i sin(nφ), n N .
Ví dụ 11: Tính(1 + Tôi ) 100 .
Hãy viết số phức1 + Tôi ở dạng lượng giác.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , tội φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (vì + tôi phạm tội )] 100 = ( ) 100 (vì 100 + tôi phạm tội ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Trích căn bậc hai của số phức.
Khi lấy căn bậc hai của số phứcMột + bi chúng ta có hai trường hợp:
Nếu nhưb
> o
, Cái đó 
;
3.1. tọa độ cực
Thường được sử dụng trên máy bay hệ tọa độ cực . Nó được xác định nếu cho một điểm O, gọi là cây sào và tia phát ra từ cực (đối với chúng ta đây là trục Ox) – trục cực. Vị trí của điểm M được cố định bởi hai số: bán kính (hoặc vectơ bán kính) và góc φ giữa trục cực và vectơ. Góc φ được gọi là góc cực; được đo bằng radian và được tính ngược chiều kim đồng hồ tính từ trục cực.
Vị trí của một điểm trong hệ tọa độ cực được cho bởi một cặp số có thứ tự (r; φ). Ở cực r = 0, và φ không được xác định. Đối với tất cả các điểm khác r > 0, và φ được xác định theo số hạng là bội số của 2π. Trong trường hợp này, các cặp số (r; φ) và (r 1 ; φ 1) liên kết với cùng một điểm nếu .
Đối với hệ tọa độ chữ nhật xOy Tọa độ Descartes của một điểm có thể dễ dàng biểu diễn dưới dạng tọa độ cực của nó như sau:
3.2. Giải thích hình học của số phức
Chúng ta hãy xem xét một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes trên mặt phẳng xOy.
Bất kỳ số phức z=(a, b) nào cũng liên kết với một điểm trên mặt phẳng có tọa độ ( x, y), Ở đâu tọa độ x = a, tức là phần thực của số phức và tọa độ y = bi là phần ảo.
Mặt phẳng có các điểm là số phức là mặt phẳng phức.
Trong hình là số phức z = (a, b) tương ứng với một điểm M(x,y).
Bài tập.Vẽ số phức trên mặt phẳng tọa độ:
3.3. Dạng lượng giác của số phức
Số phức trên mặt phẳng có tọa độ của một điểm M(x;y). Trong đó:
Viết số phức 
- dạng lượng giác của số phức.
Số r được gọi là mô-đun
số phức z và được chỉ định. Môđun là số thực không âm. Vì 
.
Mô đun bằng 0 khi và chỉ khi z = 0, tức là a = b = 0.
Số φ được gọi là đối số z và được chỉ định. Đối số z được định nghĩa một cách mơ hồ, giống như góc cực trong hệ tọa độ cực, cụ thể là một số hạng là bội số của 2π.
Khi đó chúng ta chấp nhận: , trong đó φ là giá trị nhỏ nhất của đối số. Hiển nhiên là
.
Khi nghiên cứu chủ đề sâu hơn, một lập luận phụ trợ φ* được đưa ra, sao cho
ví dụ 1. Tìm dạng lượng giác của một số phức.
Giải pháp. 1) xem xét mô-đun: ;
2) tìm kiếm φ: 
;
3) dạng lượng giác: 
Ví dụ 2. Tìm dạng đại số của số phức 
.
Ở đây chỉ cần thay thế các giá trị của hàm lượng giác và biến đổi biểu thức là đủ:
Ví dụ 3. Tìm môđun và đối số của một số phức;
1) 
;
2); φ – trong 4 quý:
3.4. Các phép toán với số phức ở dạng lượng giác
· Cộng và trừ Sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện với các số phức ở dạng đại số:
· Phép nhân- Bằng cách sử dụng các phép biến đổi lượng giác đơn giản, có thể chứng minh được rằng Khi nhân, các mô-đun số được nhân lên và các đối số được thêm vào: ;
2.3. Dạng lượng giác của số phức
Gọi vectơ trên mặt phẳng phức bằng số .
Chúng ta hãy biểu thị bằng φ góc giữa bán trục dương Ox và vectơ (góc φ được coi là dương nếu nó được đo ngược chiều kim đồng hồ và âm nếu ngược lại).
Chúng ta hãy biểu thị độ dài của vectơ bằng r. Sau đó . Chúng tôi cũng ký hiệu
Viết số phức z khác 0 dưới dạng
được gọi là dạng lượng giác của số phức z. Số r được gọi là mô đun của số phức z và số φ được gọi là đối số của số phức này và được ký hiệu là Arg z.
Dạng lượng giác viết số phức - (công thức Euler) - dạng viết số phức hàm mũ:
Số phức z có vô số đối số: nếu φ0 là bất kỳ đối số nào của số z thì tất cả các đối số khác có thể được tìm thấy bằng công thức
Đối với số phức, đối số và dạng lượng giác không được xác định.
Do đó, đối số của số phức khác 0 là nghiệm bất kỳ của hệ phương trình:
(3)
Giá trị φ của đối số của số phức z, thỏa mãn các bất đẳng thức, được gọi là giá trị chính và được ký hiệu là arg z.
Các đối số Arg z và arg z có liên quan bởi
, (4)
Công thức (5) là hệ quả của hệ (3), do đó mọi đối số của số phức đều thỏa mãn đẳng thức (5), nhưng không phải mọi nghiệm φ của phương trình (5) đều là đối số của số z.
Giá trị chính của đối số của số phức khác 0 được tìm thấy theo các công thức:
Công thức nhân, chia số phức ở dạng lượng giác như sau:
. (7)
Khi nâng số phức lên lũy thừa tự nhiên, công thức Moivre được sử dụng:
Khi trích xuất căn nguyên của một số phức, công thức được sử dụng:
, (9)
trong đó k=0, 1, 2, …, n-1.
Bài toán 54. Tính ở đâu .
Chúng ta hãy trình bày lời giải của biểu thức này dưới dạng hàm mũ bằng cách viết một số phức: .
Nếu thì.
Sau đó , 
. Vì vậy, sau đó 
Và 
, Ở đâu .
Trả lời: , Tại .
Bài 55. Viết số phức dưới dạng lượng giác:
MỘT) ; b) ; V) ; G); d) ; đ) 
; Và) .
Vì dạng lượng giác của số phức là , nên:
a) Trong số phức: .
,
Đó là lý do tại sao 
b) 
, Ở đâu ,
G) 
, Ở đâu ,
đ) 
.
Và) 
, MỘT 
, Cái đó .
Đó là lý do tại sao 
Trả lời: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
Bài 56. Tìm dạng lượng giác của số phức
.
Cho phép , 
.
Sau đó , 
, .
Kể từ và 
, , thì , và
Vì vậy, , do đó
Trả lời: 
, Ở đâu .
Bài 57. Sử dụng dạng lượng giác của số phức, thực hiện các thao tác sau: .
Hãy tưởng tượng những con số và 
ở dạng lượng giác.
1) , ở đâu 
Sau đó
Tìm giá trị của đối số chính:
Hãy thay các giá trị vào biểu thức, ta được 
2) , sau đó ở đâu 
Sau đó 
3) Hãy tìm thương
Giả sử k=0, 1, 2, chúng ta nhận được ba giá trị khác nhau của gốc mong muốn:
Nếu , thì 
nếu , thì 
nếu , thì 
.
Trả lời: :
:
: .
Bài 58. Cho , , , là các số phức khác nhau và 
. Chứng minh rằng
một số 
là số thực dương;
b) đẳng thức giữ:
a) Hãy biểu diễn các số phức này dưới dạng lượng giác:
Bởi vì .
Hãy giả vờ như vậy. Sau đó 
.
Biểu thức cuối cùng là một số dương, vì dấu sin chứa các số trong khoảng.
kể từ số thực tế và tích cực. Thật vậy, nếu a và b là số phức và là số thực và lớn hơn 0 thì .
Bên cạnh đó,
do đó, đẳng thức cần thiết đã được chứng minh.
Bài 59. Viết số dưới dạng đại số 
.
Hãy biểu diễn số ở dạng lượng giác và sau đó tìm dạng đại số của nó. Chúng ta có 
. Vì 
chúng tôi nhận được hệ thống:
Điều này ngụ ý sự bình đẳng: 
.
Áp dụng công thức Moivre: ,
chúng tôi nhận được
Dạng lượng giác của số đã cho được tìm thấy.
Bây giờ chúng ta viết số này dưới dạng đại số:
.
Trả lời: 
.
Bài 60. Tìm tổng , ,
Hãy xem xét số tiền
Áp dụng công thức Moivre, chúng ta tìm được
Tổng này là tổng của n số hạng của cấp số nhân với mẫu số 
và thành viên đầu tiên 
.
Áp dụng công thức tính tổng các số hạng của một cấp số như vậy, ta có
Cô lập phần ảo trong biểu thức cuối cùng, chúng tôi tìm thấy
Cô lập phần thực, ta cũng thu được công thức sau: , , .
Bài toán 61. Tìm tổng:
MỘT) 
; b) .
Theo công thức lũy thừa của Newton, ta có
Sử dụng công thức Moivre chúng ta thấy:
Đánh đồng phần thực và phần ảo của biểu thức thu được cho , chúng ta có:
Và 
.
Các công thức này có thể viết dưới dạng rút gọn như sau:
,
, đâu là phần nguyên của số a.
Bài toán 62. Tìm tất cả , sao cho .
Bởi vì 
, sau đó sử dụng công thức
, 
Để trích xuất rễ, chúng ta nhận được 
,
Kể từ đây, 
, 
,
, 
.
Các điểm tương ứng với các số nằm ở các đỉnh của hình vuông nội tiếp trong đường tròn bán kính 2 với tâm tại điểm (0;0) (Hình 30).
Trả lời: , ,
, .
Bài 63. Giải phương trình 
, .
Theo điều kiện; do đó, phương trình này không có nghiệm và do đó nó tương đương với phương trình.
Để số z là nghiệm của phương trình này thì số này phải là căn bậc n của số 1.
Từ đây ta kết luận rằng phương trình ban đầu có nghiệm được xác định từ các đẳng thức
, 
Như vậy, 
,
I E. 
,
Trả lời: 
.
Bài 64. Giải phương trình trong tập số phức.
Vì số không phải là nghiệm của phương trình này nên phương trình này tương đương với phương trình
Đó là, phương trình.
Tất cả các nghiệm của phương trình này đều thu được từ công thức (xem bài 62):
; 
; ; 
; 
.
Bài toán 65. Vẽ trên mặt phẳng phức tập hợp các điểm thỏa mãn bất đẳng thức: 
. (Cách 2 giải bài 45)
Cho phép 
.
Số phức có cùng môđun tương ứng với các điểm trong mặt phẳng nằm trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ nên bất đẳng thức 
thỏa mãn tất cả các điểm của một vòng mở được giới hạn bởi các đường tròn có tâm chung ở gốc tọa độ và bán kính và (Hình 31). Giả sử một số điểm trên mặt phẳng phức tương ứng với số w0. Con số 
, có một mô-đun nhỏ hơn nhiều lần so với mô-đun w0 và một đối số lớn hơn đối số w0. Từ quan điểm hình học, điểm tương ứng với w1 có thể thu được bằng cách sử dụng phép đồng nhất có tâm ở gốc và một hệ số, cũng như phép quay so với gốc một góc ngược chiều kim đồng hồ. Kết quả của việc áp dụng hai phép biến đổi này cho các điểm của vòng (Hình 31), điểm sau sẽ biến thành một vòng được giới hạn bởi các đường tròn có cùng tâm và bán kính 1 và 2 (Hình 32).
chuyển đổi 
được thực hiện bằng cách truyền song song tới một vectơ. Bằng cách chuyển vòng có tâm tại điểm sang vectơ đã chỉ định, chúng ta thu được một vòng có cùng kích thước với tâm tại điểm (Hình 22).
Phương pháp được đề xuất, sử dụng ý tưởng biến đổi hình học của mặt phẳng, có lẽ ít thuận tiện hơn để mô tả, nhưng rất tao nhã và hiệu quả.
Bài 66. Tìm nếu 
.
Đặt , sau đó và . Đẳng thức ban đầu sẽ có dạng 
. Từ điều kiện đẳng thức của hai số phức ta thu được , , từ đó , . Như vậy, .
Viết số z dưới dạng lượng giác:
, Ở đâu , . Theo công thức Moivre, ta tìm được .
Đáp án: – 64.
Bài 67. Với số phức, tìm tất cả các số phức sao cho , và 
.
Hãy biểu diễn số ở dạng lượng giác:
. Từ đây, . Đối với số chúng tôi nhận được , có thể bằng hoặc .
Trong trường hợp đầu tiên 
, trong giây phút thứ hai
.
Trả lời: , 
.
Bài toán 68. Tìm tổng các số sao cho . Hãy chỉ ra một trong những con số này.
Lưu ý rằng ngay từ khi xây dựng bài toán, có thể hiểu rằng tổng các nghiệm của phương trình có thể được tìm thấy mà không cần tự tính các nghiệm. Thật vậy, tổng các nghiệm của phương trình 
là hệ số của , lấy dấu ngược lại (định lý Vieta tổng quát), tức là
Học sinh, tài liệu của trường, rút ra kết luận về mức độ nắm vững khái niệm này. Tóm tắt nghiên cứu đặc điểm của tư duy toán học và quá trình hình thành khái niệm số phức. Mô tả các phương pháp. Chẩn đoán: Giai đoạn I. Cuộc trò chuyện được thực hiện với một giáo viên toán dạy đại số và hình học lớp 10. Cuộc trò chuyện diễn ra sau một thời gian trôi qua kể từ khi bắt đầu...
Cộng hưởng" (!)), cũng bao gồm việc đánh giá hành vi của chính mình. 4. Đánh giá quan trọng về sự hiểu biết của một người về tình huống (nghi ngờ). 5. Cuối cùng, việc sử dụng các khuyến nghị từ tâm lý pháp lý (luật sư có tính đến yếu tố tâm lý khía cạnh của các hành động nghề nghiệp được thực hiện - sự chuẩn bị tâm lý nghề nghiệp). Bây giờ chúng ta hãy xem xét phân tích tâm lý về các sự kiện pháp lý...
Toán học thay thế lượng giác và kiểm tra tính hiệu quả của phương pháp giảng dạy đã phát triển. Các giai đoạn công việc: 1. Xây dựng môn học tự chọn về chủ đề: “Ứng dụng phép thay thế lượng giác để giải các bài toán đại số” cho học sinh ở các lớp Toán cao cấp. 2. Tiến hành học phần tự chọn đã xây dựng. 3. Thực hiện xét nghiệm chẩn đoán...
Nhiệm vụ nhận thức chỉ nhằm mục đích bổ sung cho các phương tiện dạy học hiện có và phải kết hợp phù hợp với tất cả các phương tiện và yếu tố truyền thống của quá trình giáo dục. Sự khác biệt giữa các vấn đề giáo dục trong dạy học nhân văn và các vấn đề chính xác, so với các vấn đề toán học, chỉ là ở chỗ các vấn đề lịch sử không có công thức, thuật toán chặt chẽ, v.v., làm phức tạp việc giải chúng. ...
SỐ PHỨC XI
§ 256. Dạng lượng giác của số phức
Cho một số phức một + bi vectơ tương ứng O.A.> có tọa độ ( một, b ) (xem Hình 332).
Chúng ta hãy biểu thị độ dài của vectơ này bằng r , và góc tạo với trục X , bởi vì φ . Theo định nghĩa của sin và cosin:
Một / r = cos φ , b / r = tội lỗi φ .
Đó là lý do tại sao MỘT = r vì φ , b = r tội φ . Nhưng trong trường hợp này số phức một + bi có thể được viết như:
một + bi = r vì φ + tôi tội φ = r (vì φ + Tôi tội φ ).
Như bạn đã biết, bình phương chiều dài của bất kỳ vectơ nào đều bằng tổng bình phương tọa độ của nó. Đó là lý do tại sao r 2 = Một 2 + b 2, từ đâu r = √a 2 + b 2
Vì thế, bất kỳ số phức nào một + bi có thể được biểu diễn dưới dạng :
một + bi = r (vì φ + Tôi tội φ ), (1)
ở đâu r = √a 2 + b 2 và góc φ được xác định từ điều kiện:
Dạng viết số phức này được gọi là lượng giác.
Con số r trong công thức (1) được gọi là mô-đun, và góc φ - lý lẽ, số phức một + bi .
Nếu một số phức một + bi không bằng 0 thì mô đun của nó dương; nếu như một + bi = 0 thì a = b = 0 và sau đó r = 0.
Môđun của số phức bất kỳ được xác định duy nhất.
Nếu một số phức một + bi không bằng 0 thì đối số của nó được xác định bởi công thức (2) chắc chắn chính xác đến một góc chia hết cho 2 π . Nếu như một + bi = 0 thì a = b = 0. Trong trường hợp này r = 0. Từ công thức (1) dễ hiểu rằng đó là một đối số φ trong trường hợp này, bạn có thể chọn bất kỳ góc độ nào: xét cho cùng, đối với bất kỳ góc độ nào φ
0 (vì φ + Tôi tội φ ) = 0.
Do đó, đối số null không được xác định.
Môđun của số phức r đôi khi được ký hiệu | z | và đối số arg z . Chúng ta hãy xem một vài ví dụ về biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác.
Ví dụ. 1. 1 + Tôi .
Hãy tìm mô-đun r và lập luận φ con số này.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Vì vậy tội lỗi φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, từ đó φ = π / 4 + 2Nπ .
Như vậy,
1 + Tôi = √ 2 ,
Ở đâu P - bất kỳ số nguyên nào. Thông thường, từ tập hợp vô hạn các giá trị của đối số của số phức, một giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 2 được chọn π . Trong trường hợp này, giá trị này là π / 4 . Đó là lý do tại sao
1 + Tôi = √ 2 (vì π / 4 + Tôi tội π / 4)
Ví dụ 2. Viết số phức dưới dạng lượng giác √ 3 - Tôi . Chúng ta có:
r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, tội lỗi φ = - 1 / 2
Do đó, đến một góc chia hết cho 2 π , φ = 11 / 6 π ; kể từ đây,
√ 3 - Tôi = 2(cos 11/6 π + Tôi tội lỗi 6/11 π ).
Ví dụ 3 Viết số phức dưới dạng lượng giác Tôi.
Số phức Tôi vectơ tương ứng O.A.> , kết thúc tại điểm A của trục Tại với tọa độ 1 (Hình 333). Độ dài của vectơ như vậy là 1 và góc tạo với trục x bằng π / 2. Đó là lý do tại sao
Tôi = cos π / 2 + Tôi tội π / 2 .
Ví dụ 4. Viết số phức 3 dưới dạng lượng giác.
Số phức 3 tương ứng với vectơ O.A. > X cơ hoành 3 (Hình 334).
Độ dài của vectơ như vậy là 3 và góc tạo với trục x là 0. Do đó
3 = 3 (cos 0 + Tôi tội lỗi 0),
Ví dụ 5. Viết số phức -5 dưới dạng lượng giác.
Số phức -5 ứng với một vectơ O.A.> kết thúc tại một điểm trục X với cơ hoành -5 (Hình 335). Độ dài của vectơ như vậy là 5 và góc nó tạo với trục x bằng π . Đó là lý do tại sao
5 = 5(cos π + Tôi tội π ).
Bài tập
2047. Viết các số phức này dưới dạng lượng giác, xác định môđun và đối số của chúng:
1) 2 + 2√3 Tôi , 4) 12Tôi - 5; 7).3Tôi ;
2) √3 + Tôi ; 5) 25; 8) -2Tôi ;
3) 6 - 6Tôi ; 6) - 4; 9) 3Tôi - 4.
2048. Chỉ ra trên mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức có môđun r và đối số φ thỏa mãn điều kiện:
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Các số có thể đồng thời là mô đun của số phức không? r Và - r ?
2050. Đối số của một số phức có thể đồng thời là các góc được không? φ Và - φ ?
Trình bày các số phức này dưới dạng lượng giác, xác định môđun và đối số của chúng:
2051*. 1 + cos α + Tôi tội α . 2054*. 2(cos 20° - Tôi tội lỗi 20°).
2052*. tội φ + Tôi vì φ . 2055*. 3(- cos 15° - Tôi tội lỗi 15°).