Giải phương trình hàm mũ. Ví dụ.

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Chuyện gì đã xảy ra vậy phương trình hàm mũ? Đây là một phương trình trong đó các ẩn số (x) và các biểu thức chứa chúng nằm trong chỉ số một số độ. Và chỉ ở đó! Điều này rất quan trọng.

Đây nhé ví dụ về phương trình hàm mũ:

3 x 2 x = 8 x+3

Hãy chú ý! Trong các căn cứ của độ (bên dưới) - chỉ những con số. TRONG chỉ sốđộ (ở trên) - nhiều cách diễn đạt khác nhau với dấu X. Nếu đột nhiên, dấu X xuất hiện trong phương trình ở đâu đó không phải là chỉ báo, ví dụ:

đây sẽ là một phương trình có kiểu hỗn hợp. Những phương trình như vậy không có quy tắc rõ ràng để giải chúng. Chúng tôi sẽ không xem xét chúng bây giờ. Ở đây chúng ta sẽ giải quyết giải phương trình mũở dạng tinh khiết nhất của nó.

Trong thực tế, ngay cả các phương trình hàm mũ thuần túy không phải lúc nào cũng được giải một cách rõ ràng. Nhưng có một số loại phương trình mũ có thể và cần được giải. Đây là những loại chúng tôi sẽ xem xét.

Giải các phương trình hàm mũ đơn giản.

Đầu tiên, hãy giải quyết một cái gì đó rất cơ bản. Ví dụ:

Ngay cả khi không có bất kỳ lý thuyết nào, bằng cách chọn lọc đơn giản, rõ ràng x = 2. Không còn gì nữa phải không!? Không có giá trị nào khác của X hoạt động. Bây giờ chúng ta hãy xem cách giải phương trình hàm mũ phức tạp này:

Chúng ta đã làm gì? Trên thực tế, chúng tôi chỉ đơn giản là loại bỏ các căn cứ giống nhau (gấp ba). Hoàn toàn bị ném ra ngoài. Và tin tốt là chúng ta đã trúng đinh vào đầu!

Thật vậy, nếu trong một phương trình hàm mũ có trái và phải giống hệt nhau các số có lũy thừa bất kỳ thì những số này có thể bị loại bỏ và số mũ có thể được cân bằng. Toán học cho phép. Nó vẫn còn để giải một phương trình đơn giản hơn nhiều. Tuyệt vời phải không?)

Tuy nhiên, chúng ta hãy nhớ kỹ: Bạn chỉ có thể xóa các cơ số khi các số cơ sở ở bên trái và bên phải hoàn toàn tách biệt! Không có hàng xóm và hệ số. Hãy nói trong các phương trình:

2 x +2 x+1 = 2 3, hoặc

twos không thể được gỡ bỏ!

Chà, chúng ta đã nắm vững được điều quan trọng nhất. Làm thế nào để chuyển từ các biểu thức hàm mũ xấu xa sang các phương trình đơn giản hơn.

"Đó là thời đại!" - bạn nói. “Ai lại đưa ra một bài học thô sơ như vậy trong các bài kiểm tra và bài kiểm tra!?”

Tôi phải đồng ý. Không ai sẽ làm vậy. Nhưng bây giờ bạn đã biết cần nhắm đến đâu khi giải các ví dụ phức tạp. Cần phải đưa nó về dạng có cùng số cơ sở ở bên trái và bên phải. Sau đó mọi thứ sẽ dễ dàng hơn. Trên thực tế, đây là một tác phẩm kinh điển của toán học. Chúng tôi lấy ví dụ ban đầu và biến nó thành ví dụ mong muốn chúng ta tâm trí. Tất nhiên là theo các quy tắc toán học.

Hãy xem xét các ví dụ đòi hỏi nỗ lực bổ sung để giảm chúng xuống mức đơn giản nhất. Hãy gọi họ phương trình hàm mũ đơn giản.

Giải các phương trình hàm mũ đơn giản. Ví dụ.

Khi giải phương trình mũ, các quy tắc chính là hành động có mức độ. Không có kiến ​​thức về những hành động này sẽ không có gì hiệu quả.

Đối với những hành động có mức độ, người ta phải thêm vào sự quan sát cá nhân và sự khéo léo. Chúng ta có cần số cơ sở giống nhau không? Vì vậy, chúng tôi tìm kiếm chúng trong ví dụ ở dạng rõ ràng hoặc được mã hóa.

Hãy xem điều này được thực hiện như thế nào trong thực tế?

Chúng ta hãy lấy một ví dụ:

2 2x - 8 x+1 = 0

Cái nhìn sắc sảo đầu tiên là ở căn cứ. Họ... Họ khác nhau! Hai và tám. Nhưng còn quá sớm để nản lòng. Đã đến lúc phải nhớ điều đó

Hai và tám là họ hàng về mức độ.) Hoàn toàn có thể viết:

8 x+1 = (2 3) x+1

Nếu chúng ta nhớ lại công thức từ các phép toán có độ:

(a n) m = a nm ,

điều này hoạt động rất tốt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Ví dụ ban đầu bắt đầu trông như thế này:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Chúng tôi chuyển 2 3 (x+1)ở bên phải (không ai hủy bỏ các phép toán cơ bản!), chúng ta nhận được:

2 2x = 2 3(x+1)

Thực tế đó là tất cả. Loại bỏ các căn cứ:

Chúng tôi giải quyết con quái vật này và nhận được

Đây là câu trả lời đúng.

Trong ví dụ này, việc biết lũy thừa của hai đã giúp ích cho chúng ta. Chúng tôi xác định trong tám có một mã hóa hai. Kỹ thuật này (mã hóa các cơ số chung dưới các số khác nhau) là một kỹ thuật rất phổ biến trong các phương trình hàm mũ! Có, và cả logarit nữa. Bạn phải có khả năng nhận biết lũy thừa của các số khác trong số. Điều này cực kỳ quan trọng để giải các phương trình hàm mũ.

Thực tế là việc nâng bất kỳ số nào lên lũy thừa bất kỳ không phải là vấn đề. Nhân lên, ngay cả trên giấy, thế là xong. Ví dụ: bất kỳ ai cũng có thể nâng 3 lên lũy thừa thứ năm. 243 sẽ giải được nếu bạn biết bảng nhân.) Nhưng trong các phương trình hàm mũ, thông thường không cần thiết phải nâng lên lũy thừa mà ngược lại... Tìm hiểu số bao nhiêu đến mức độ nàoẩn đằng sau con số 243, hay nói cách khác là 343... Không có máy tính nào có thể giúp bạn ở đây.

Bạn cần biết lũy thừa của một số con số bằng mắt phải không... Hãy luyện tập nhé?

Xác định lũy thừa và số của các số đó là gì:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Câu trả lời (tất nhiên là lộn xộn!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Nếu nhìn kỹ, bạn có thể thấy một sự thật kỳ lạ. Có nhiều câu trả lời hơn đáng kể so với nhiệm vụ! Chà, điều đó xảy ra... Ví dụ: 2 6, 4 3, 8 2 - tất cả là 64.

Giả sử rằng bạn đã lưu ý đến thông tin về việc làm quen với các con số.) Tôi cũng xin nhắc bạn rằng để giải các phương trình hàm mũ chúng ta sử dụng tất cả kho kiến ​​thức toán học. Bao gồm cả những người thuộc tầng lớp cơ sở và trung cấp. Bạn không học thẳng vào trường trung học, phải không?)

Ví dụ, khi giải phương trình hàm mũ, việc đưa thừa số chung ra khỏi ngoặc thường có ích (xin chào lớp 7!). Hãy xem một ví dụ:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Và một lần nữa, cái nhìn đầu tiên là về nền móng! Căn cứ của các cấp độ là khác nhau... Ba và chín. Và chúng tôi muốn chúng giống nhau. Chà, trong trường hợp này mong muốn đã được đáp ứng hoàn toàn!) Bởi vì:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Sử dụng các quy tắc tương tự để xử lý độ:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Thật tuyệt vời, bạn có thể viết nó ra:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Chúng tôi đã đưa ra một ví dụ vì những lý do tương tự. Và tiếp theo là gì!? Bạn không thể ném ra ba... Ngõ cụt?

Không có gì. Hãy nhớ quy tắc quyết định phổ quát và mạnh mẽ nhất mọi người nhiệm vụ toán học:

Nếu bạn không biết mình cần gì, hãy làm những gì bạn có thể!

Hãy nhìn xem, mọi thứ sẽ ổn thôi).

Có gì trong phương trình hàm mũ này Có thể LÀM? Vâng, ở phía bên trái, nó chỉ yêu cầu được đưa ra khỏi dấu ngoặc! Hệ số nhân tổng thể của 3 x 2 gợi ý rõ ràng về điều này. Hãy thử và sau đó chúng ta sẽ thấy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Ví dụ ngày càng tốt hơn!

Chúng ta nhớ rằng để loại bỏ căn cứ, chúng ta cần một mức độ thuần túy, không có bất kỳ hệ số nào. Con số 70 làm phiền chúng tôi. Vì vậy, chúng tôi chia cả hai vế của phương trình cho 70, chúng tôi nhận được:

Ối! Mọi thứ đã tốt hơn!

Đây là câu trả lời cuối cùng.

Tuy nhiên, điều đó xảy ra là việc đánh thuế trên cùng một lý do có hiệu quả nhưng việc loại bỏ chúng thì không. Điều này xảy ra trong các loại phương trình hàm mũ khác. Hãy làm chủ loại này.

Thay thế một biến trong việc giải phương trình mũ. Ví dụ.

Hãy giải phương trình:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Đầu tiên - như thường lệ. Hãy chuyển sang một cơ sở. Đến một sự thất vọng.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Chúng ta nhận được phương trình:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Và đây là nơi chúng tôi treo. Các kỹ thuật trước đó sẽ không hiệu quả, bất kể bạn nhìn nó như thế nào. Chúng ta sẽ phải rút ra một phương pháp mạnh mẽ và phổ quát khác từ kho vũ khí của mình. Nó được gọi là thay thế thay đổi.

Bản chất của phương pháp này đơn giản đến mức đáng ngạc nhiên. Thay vì một biểu tượng phức tạp (trong trường hợp của chúng tôi - 2 x), chúng tôi viết một biểu tượng khác, đơn giản hơn (ví dụ - t). Sự thay thế dường như vô nghĩa như vậy lại dẫn đến kết quả đáng kinh ngạc!) Mọi thứ trở nên rõ ràng và dễ hiểu!

Vậy hãy để

Khi đó 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Trong phương trình của chúng ta, chúng ta thay thế tất cả các lũy thừa bằng x bằng t:

Chà, bạn có nhận ra điều đó không?) Bạn đã quên phương trình bậc hai chưa? Giải quyết thông qua phân biệt đối xử, chúng tôi nhận được:

Điều chính ở đây là không dừng lại, như đã xảy ra... Đây vẫn chưa phải là câu trả lời, chúng ta cần một x chứ không phải một t. Hãy quay trở lại chữ X, tức là. chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại. Đầu tiên cho t 1:

Vì thế,

Một gốc đã được tìm thấy. Chúng tôi đang tìm kiếm cái thứ hai từ t 2:

Hm... 2 x bên trái, 1 bên phải... Vấn đề à? Không có gì! Chỉ cần nhớ (từ các thao tác với quyền hạn, vâng...) là đủ để nhớ rằng một đơn vị bất kì số lũy thừa bằng không. Bất kì. Cần gì thì chúng tôi sẽ cài đặt. Chúng ta cần hai. Có nghĩa:

Bây giờ là thế đó. Chúng tôi có 2 gốc:

Đây là câu trả lời.

Tại giải phương trình mũở phần cuối đôi khi bạn có một biểu hiện khó xử nào đó. Kiểu:

Bảy không thể chuyển đổi thành hai thông qua một sức mạnh đơn giản. Họ không phải là họ hàng... Làm sao chúng ta có thể như vậy được? Ai đó có thể nhầm lẫn... Nhưng người đọc trên trang này chủ đề “Logarit là gì?” , chỉ mỉm cười nhẹ nhàng và dùng tay viết chắc chắn câu trả lời hoàn toàn chính xác:

Không thể có câu trả lời như vậy trong nhiệm vụ “B” trong Kỳ thi Thống nhất. Cần có một con số cụ thể. Nhưng trong nhiệm vụ “C” thì dễ.

Bài học này cung cấp các ví dụ về cách giải các phương trình hàm mũ phổ biến nhất. Hãy làm nổi bật những điểm chính.

Lời khuyên thiết thực:

1. Trước hết, chúng ta xem xét căn cứđộ. Chúng tôi đang tự hỏi liệu có thể làm được chúng giống hệt nhau. Hãy thử thực hiện điều này bằng cách tích cực sử dụng hành động có mức độ.Đừng quên rằng những số không có x cũng có thể được chuyển đổi thành lũy thừa!

2. Chúng ta cố gắng đưa phương trình hàm mũ về dạng khi ở bên trái và bên phải có giống hệt nhau số ở bất kỳ quyền hạn nào. Chúng tôi sử dụng hành động có mức độ Và nhân tố hóa. Cái gì đếm được bằng số, chúng tôi đếm.

3. Nếu mẹo thứ hai không hiệu quả, hãy thử sử dụng thay thế biến. Kết quả có thể là một phương trình có thể giải được dễ dàng. Thường xuyên nhất - hình vuông. Hoặc phân số, cũng quy về bình phương.

4. Để giải thành công phương trình hàm mũ, bạn cần biết lũy thừa của một số số bằng mắt.

Như thường lệ, cuối bài mời các bạn tự quyết định một chút.) Tự mình quyết định. Từ đơn giản đến phức tạp.

Giải phương trình mũ:

Khó khăn hơn:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Tìm tích của rễ:

2 3 + 2 x = 9

Nó có hoạt động không?

Chà, một ví dụ rất phức tạp (mặc dù nó có thể được giải quyết trong tâm trí...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Còn gì thú vị hơn? Vậy thì đây là một ví dụ tồi cho bạn. Khá hấp dẫn để tăng độ khó. Hãy để tôi gợi ý rằng trong ví dụ này, điều giúp bạn tiết kiệm chính là sự khéo léo và quy tắc phổ quát nhất để giải quyết mọi vấn đề toán học.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Một ví dụ đơn giản hơn, để thư giãn):

9 2 x - 4 3 x = 0

Và cho món tráng miệng. Tìm tổng các nghiệm của phương trình:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Vâng, vâng! Đây là một phương trình hỗn hợp! Điều mà chúng ta chưa xem xét trong bài học này. Tại sao phải xem xét chúng, chúng cần được giải!) Bài học này khá đủ để giải phương trình. Chà, bạn cần sự khéo léo... Và mong lớp bảy giúp bạn (đây là gợi ý!).

Câu trả lời (xáo trộn, cách nhau bằng dấu chấm phẩy):

1; 2; 3; 4; không có giải pháp; 2; -2; -5; 4; 0.

Mọi việc có thành công không? Tuyệt vời.

Có vấn đề gì không? Không có câu hỏi! Mục Đặc biệt 555 giải quyết tất cả các phương trình hàm mũ này với lời giải thích chi tiết. Cái gì, tại sao và tại sao. Và tất nhiên, còn có thêm thông tin có giá trị về cách làm việc với tất cả các loại phương trình mũ. Không chỉ những cái này.)

Một câu hỏi thú vị cuối cùng cần xem xét. Trong bài học này chúng ta đã làm việc với các phương trình hàm mũ. Tại sao tôi không nói một lời nào về ODZ ở đây? Nhân tiện, trong các phương trình, đây là một điều rất quan trọng...

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Hãy truy cập kênh youtube của trang web chúng tôi để cập nhật tất cả các video bài học mới.

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại các công thức cơ bản của lũy thừa và tính chất của chúng.

Sản phẩm của một số Một tự nó xảy ra n lần, chúng ta có thể viết biểu thức này dưới dạng a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Phương trình lũy thừa hoặc hàm mũ– đây là các phương trình trong đó các biến ở dạng lũy ​​thừa (hoặc số mũ) và cơ số là một số.

Ví dụ về phương trình hàm mũ:

Trong ví dụ này, số 6 là số cơ sở; nó luôn ở dưới cùng và là biến số. x mức độ hoặc chỉ số.

Hãy để chúng tôi đưa ra thêm ví dụ về phương trình hàm mũ.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Bây giờ chúng ta hãy xem phương trình hàm mũ được giải như thế nào?

Hãy lấy một phương trình đơn giản:

2 x = 2 3

Ví dụ này có thể được giải quyết ngay cả trong đầu bạn. Có thể thấy rằng x = 3. Rốt cuộc, để bên trái và bên phải bằng nhau, bạn cần đặt số 3 thay vì x.
Bây giờ hãy xem cách chính thức hóa quyết định này:

2 x = 2 3
x = 3

Để giải phương trình như vậy, chúng tôi đã loại bỏ căn cứ giống hệt nhau(tức là hai) và viết ra những gì còn lại, đây là độ. Chúng tôi đã nhận được câu trả lời mà chúng tôi đang tìm kiếm.

Bây giờ hãy tóm tắt quyết định của chúng tôi.

Thuật toán giải phương trình mũ:
1. Cần kiểm tra giống hệt nhau phương trình có cơ số bên phải và bên trái hay không. Nếu các lý do không giống nhau, chúng tôi đang tìm kiếm các phương án để giải quyết ví dụ này.
2. Sau khi các căn cứ trở nên giống nhau, đánh đồngđộ và giải phương trình mới thu được.

Bây giờ chúng ta hãy xem một vài ví dụ:

Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản.

Các căn cứ ở bên trái và bên phải đều bằng số 2, nghĩa là chúng ta có thể loại bỏ cơ số và đánh đồng lũy ​​thừa của chúng.

x+2=4 Ta thu được phương trình đơn giản nhất.
x=4 – 2
x=2
Đáp án: x=2

Trong ví dụ sau, bạn có thể thấy các cơ số khác nhau: 3 và 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Đầu tiên, di chuyển số chín sang bên phải, chúng ta có:

Bây giờ bạn cần phải làm các căn cứ tương tự. Chúng ta biết rằng 9=3 2. Hãy sử dụng công thức lũy thừa (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Chúng ta nhận được 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Bây giờ rõ ràng là ở bên trái và bên phải, các cơ số bằng nhau và bằng ba, có nghĩa là chúng ta có thể loại bỏ chúng và đánh đồng độ.

3x=2x+16 ta được phương trình đơn giản nhất
3x - 2x=16
x=16
Đáp án: x=16.

Hãy xem ví dụ sau:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Trước hết, chúng ta nhìn vào các căn cứ, căn cứ hai và bốn. Và chúng ta cần chúng giống nhau. Chúng ta biến đổi bốn bằng cách sử dụng công thức (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Và chúng ta cũng sử dụng một công thức a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Thêm vào phương trình:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Chúng tôi đã đưa ra một ví dụ vì những lý do tương tự. Nhưng những con số 10 và 24 khác làm phiền chúng ta. Phải làm gì với chúng? Nếu nhìn kỹ hơn, bạn có thể thấy rằng ở phía bên trái, chúng ta có 2 2x được lặp lại, đây là câu trả lời - chúng ta có thể đặt 2 2x ra khỏi ngoặc:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Hãy tính biểu thức trong ngoặc:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Chúng tôi chia toàn bộ phương trình cho 6:

Hãy tưởng tượng 4=2 2:

2 2x = 2 2 cơ số giống nhau, chúng ta loại bỏ chúng và đánh đồng độ.
2x = 2 là phương trình đơn giản nhất. Chia nó cho 2 và chúng ta nhận được
x = 1
Trả lời: x = 1.

Hãy giải phương trình:

9 x – 12*3 x +27= 0

Hãy biến đổi:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Chúng ta nhận được phương trình:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Cơ số của chúng ta giống nhau, bằng ba. Trong ví dụ này, bạn có thể thấy rằng ba số đầu tiên có bậc hai (2x) so với số thứ hai (chỉ x). Trong trường hợp này, bạn có thể giải quyết phương pháp thay thế. Ta thay số có bậc nhỏ nhất:

Khi đó 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Chúng ta thay thế tất cả lũy thừa x trong phương trình bằng t:

t 2 - 12t+27 = 0
Chúng ta nhận được một phương trình bậc hai. Giải quyết thông qua phân biệt đối xử, chúng tôi nhận được:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Trở lại biến x.

Lấy t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Vì thế,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Một gốc đã được tìm thấy. Chúng tôi đang tìm kiếm cái thứ hai từ t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Đáp án: x 1 = 2; x 2 = 1.

Trên trang web bạn có thể đặt những câu hỏi quan tâm trong phần GIÚP QUYẾT ĐỊNH, chúng tôi chắc chắn sẽ trả lời bạn.

Tham gia nhóm

Thiết bị:

• máy tính,
• máy chiếu đa phương tiện,
• màn hình,
• Phụ lục 1(Trình bày slide PowerPoint) “Các phương pháp giải phương trình mũ”
• Phụ lục 2(Giải phương trình dạng “Ba cơ số lũy thừa” trong Word)
• Phụ lục 3(các tài liệu Word dành cho bài tập thực hành).
• Phụ lục 4(Bài tập về nhà bằng Word).

Tiến độ bài học

1. Giai đoạn tổ chức

• thông điệp về chủ đề bài học (viết trên bảng),
• sự cần thiết của bài học tổng quát lớp 10-11:

Giai đoạn chuẩn bị cho học sinh học tập tích cực

Sự lặp lại

Sự định nghĩa.

Phương trình hàm mũ là phương trình chứa một biến có số mũ (câu trả lời của học sinh).

Ghi chú của giáo viên. Phương trình hàm mũ thuộc lớp phương trình siêu việt. Cái tên khó phát âm này gợi ý rằng những phương trình như vậy, nói chung, không thể giải được dưới dạng công thức.

Chúng chỉ có thể được giải gần đúng bằng phương pháp số trên máy tính. Nhưng còn nhiệm vụ thi thì sao? Bí quyết là người kiểm tra sẽ trình bày vấn đề theo cách có thể đưa ra giải pháp mang tính phân tích. Nói cách khác, bạn có thể (và nên!) thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau để rút gọn phương trình hàm mũ này thành phương trình hàm mũ đơn giản nhất. Phương trình đơn giản nhất này được gọi là: phương trình hàm mũ đơn giản nhất. Nó đang được giải quyết bằng logarit.

Tình huống giải phương trình hàm mũ gợi nhớ đến việc du hành qua một mê cung, được tác giả bài toán đặc biệt phát minh ra. Từ những lập luận rất chung chung này, hãy tuân theo những khuyến nghị rất cụ thể.

Để giải thành công các phương trình hàm mũ bạn phải:

1. Không chỉ chủ động biết tất cả các danh tính hàm mũ mà còn tìm ra các tập hợp giá trị biến mà các danh tính này được xác định, để khi sử dụng các danh tính này, bạn không thu được các gốc không cần thiết và hơn thế nữa, không bị mất giải pháp đến phương trình.

2. Chủ động biết tất cả các đồng dạng số mũ.

3. Thực hiện các phép biến đổi toán học của phương trình một cách rõ ràng, chi tiết và không mắc lỗi (chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình, không quên đổi dấu, đưa phân số về mẫu số chung, v.v.). Đây được gọi là văn hóa toán học. Đồng thời, bản thân các phép tính phải được thực hiện tự động bằng tay và người đứng đầu phải suy nghĩ về đường hướng chung của giải pháp. Việc chuyển đổi phải được thực hiện cẩn thận và chi tiết nhất có thể. Chỉ điều này mới đảm bảo một quyết định đúng đắn, không có sai sót. Và hãy nhớ: một lỗi số học nhỏ có thể đơn giản tạo ra một phương trình siêu nghiệm mà về nguyên tắc không thể giải được bằng phương pháp giải tích. Hóa ra bạn đã lạc đường và tông vào bức tường của mê cung.

4. Biết các phương pháp giải bài toán (nghĩa là biết tất cả các đường đi qua mê cung lời giải). Để điều hướng chính xác ở từng giai đoạn, bạn sẽ phải (có ý thức hoặc trực giác!):

• định nghĩa loại phương trình;
• nhớ loại tương ứng phương pháp giải nhiệm vụ.

Giai đoạn khái quát hóa, hệ thống hóa tài liệu nghiên cứu.

Giáo viên cùng với học sinh sử dụng máy tính ôn lại các loại phương trình hàm mũ và cách giải và vẽ sơ đồ tổng quát. (Chương trình máy tính giáo dục của L.Ya. Borevsky “Khóa Toán – 2000” được sử dụng, tác giả bài thuyết trình PowerPoint là T.N. Kuptsova.)

Cơm. 1. Hình này cho thấy một sơ đồ chung của tất cả các loại phương trình hàm mũ.

Như có thể thấy từ sơ đồ này, chiến lược giải phương trình hàm mũ là rút gọn phương trình hàm mũ đã cho thành phương trình, trước hết, với cùng cơ sở bằng cấp , và sau đó - và với các chỉ số mức độ tương tự.

Sau khi nhận được một phương trình có cùng cơ số và số mũ, bạn thay số mũ này bằng một biến mới và nhận được một phương trình đại số đơn giản (thường là phân số hữu tỷ hoặc bậc hai) đối với biến mới này.

Sau khi giải phương trình này và thực hiện thay thế ngược, bạn thu được một tập hợp các phương trình hàm mũ đơn giản có thể giải ở dạng tổng quát bằng cách sử dụng logarit.

Các phương trình trong đó chỉ có tích lũy thừa (một phần) là nổi bật. Bằng cách sử dụng đồng nhất thức hàm mũ, có thể quy các phương trình này ngay lập tức về một cơ sở, cụ thể là thành phương trình hàm mũ đơn giản nhất.

Chúng ta hãy xem cách giải một phương trình hàm mũ với ba cơ số khác nhau.

(Nếu giáo viên có chương trình máy tính giáo dục của L.Ya. Borevsky “Khóa học Toán - 2000”, thì đương nhiên chúng ta làm việc với đĩa, nếu không, bạn có thể in ra loại phương trình này từ đó cho mỗi bàn, trình bày dưới đây.)

Cơm. 2. Lập kế hoạch giải phương trình.

Cơm. 3. Bắt đầu giải phương trình

Cơm. 4. Giải quyết xong phương trình.

Làm công việc thực tế

Xác định loại phương trình và giải nó.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Tóm tắt bài học

Chấm điểm cho bài học.

Kết thúc bài học

Đối với giáo viên

Luyện tập sơ đồ trả lời.

Bài tập: từ danh sách các phương trình, chọn phương trình thuộc loại đã chỉ định (nhập số đáp án vào bảng):

1. Ba cơ sở bằng cấp khác nhau
2. Hai cơ số khác nhau - số mũ khác nhau
3. Cơ sở của lũy thừa - lũy thừa của một số
4. Cùng cơ số – số mũ khác nhau
5. Căn cứ mức độ giống nhau - chỉ số mức độ giống nhau
6. Sản phẩm của quyền lực
7. Hai cơ sở bằng cấp khác nhau - cùng chỉ số
8. Các phương trình hàm mũ đơn giản nhất

1. (sản phẩm của sức mạnh)

2. (cùng cơ số – khác số mũ)

Bài học này dành cho những người mới bắt đầu học phương trình hàm mũ. Như mọi khi, hãy bắt đầu với định nghĩa và ví dụ đơn giản.

Nếu bạn đang đọc bài học này thì tôi nghi ngờ rằng ít nhất bạn đã có hiểu biết tối thiểu về các phương trình đơn giản nhất - tuyến tính và bậc hai: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, v.v. Việc giải được các cách xây dựng như vậy là hoàn toàn cần thiết để không bị “mắc kẹt” trong chủ đề sẽ bàn tới.

Vì vậy, phương trình hàm mũ. Hãy để tôi cho bạn một vài ví dụ:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Một số trong số chúng có vẻ phức tạp hơn đối với bạn, trong khi những cái khác thì ngược lại, lại quá đơn giản. Nhưng tất cả chúng đều có một đặc điểm chung quan trọng: ký hiệu của chúng chứa hàm mũ $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Vì vậy, hãy giới thiệu định nghĩa:

Phương trình hàm mũ là bất kỳ phương trình nào chứa hàm mũ, tức là biểu thức có dạng $((a)^(x))$. Ngoài hàm đã chỉ định, các phương trình như vậy có thể chứa bất kỳ cấu trúc đại số nào khác - đa thức, nghiệm, lượng giác, logarit, v.v.

Được rồi. Chúng tôi đã sắp xếp định nghĩa. Bây giờ câu hỏi là: làm thế nào để giải quyết tất cả những chuyện tào lao này? Câu trả lời vừa đơn giản vừa phức tạp.

Hãy bắt đầu với tin tốt: từ kinh nghiệm dạy nhiều học sinh của tôi, tôi có thể nói rằng hầu hết họ tìm thấy các phương trình hàm mũ dễ dàng hơn nhiều so với các phương trình logarit tương tự, và thậm chí còn hơn cả lượng giác.

Nhưng có một tin xấu: đôi khi những người viết bài cho đủ loại sách giáo khoa và bài kiểm tra bị “cảm hứng” tấn công, và bộ não bị nhiễm ma túy của họ bắt đầu tạo ra những phương trình tàn bạo đến mức việc giải chúng trở thành vấn đề không chỉ đối với học sinh - thậm chí nhiều giáo viên. bị mắc kẹt trong những vấn đề như vậy.

Tuy nhiên, đừng nói về những điều buồn. Và chúng ta hãy quay lại ba phương trình đã được đưa ra ở đầu câu chuyện. Chúng ta hãy cố gắng giải quyết từng người trong số họ.

Phương trình đầu tiên: $((2)^(x))=4$. Chà, bạn phải tăng số 2 lên bao nhiêu để có được số 4? Có lẽ là thứ hai? Rốt cuộc, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - và chúng ta đã có được đẳng thức số chính xác, tức là. thực sự là $x=2$. Chà, cảm ơn Cap, nhưng phương trình này đơn giản đến mức ngay cả con mèo của tôi cũng có thể giải được :)

Chúng ta hãy xem phương trình sau:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Nhưng ở đây nó phức tạp hơn một chút. Nhiều học sinh biết rằng $((5)^(2))=25$ là bảng cửu chương. Một số người cũng nghi ngờ rằng $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ về cơ bản là định nghĩa của lũy thừa âm (tương tự như công thức $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Cuối cùng, chỉ một số ít người được chọn nhận ra rằng những sự thật này có thể được kết hợp và mang lại kết quả sau:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Do đó, phương trình ban đầu của chúng ta sẽ được viết lại như sau:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Nhưng điều này đã hoàn toàn có thể giải quyết được! Ở bên trái trong phương trình có hàm số mũ, bên phải trong phương trình có hàm số mũ, không có gì khác ngoại trừ chúng. Vì vậy, chúng ta có thể “loại bỏ” các căn cứ và đánh đồng các chỉ số một cách ngu ngốc:

Chúng ta đã thu được phương trình tuyến tính đơn giản nhất mà bất kỳ học sinh nào cũng có thể giải được chỉ trong vài dòng. Được rồi, trong bốn dòng:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Nếu bạn không hiểu điều gì đã xảy ra ở bốn dòng cuối cùng, hãy nhớ quay lại chủ đề “phương trình tuyến tính” và lặp lại. Bởi vì nếu không hiểu rõ về chủ đề này thì còn quá sớm để bạn tiếp thu các phương trình hàm mũ.

\[((9)^(x))=-3\]

Vậy làm thế nào chúng ta có thể giải quyết điều này? Suy nghĩ đầu tiên: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, do đó phương trình ban đầu có thể được viết lại như sau:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Sau đó, chúng ta nhớ rằng khi nâng lũy ​​thừa lên lũy thừa, số mũ sẽ được nhân lên:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Và đối với một quyết định như vậy, chúng ta sẽ nhận được hai điều xứng đáng một cách trung thực. Vì, với sự bình tĩnh của một Pokemon, chúng tôi đã gửi dấu trừ trước số ba lũy thừa của chính ba số này. Nhưng bạn không thể làm điều đó. Và đây là lý do tại sao. Hãy nhìn vào sức mạnh khác nhau của ba:

\[\begin(ma trận) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Khi biên soạn tấm bảng này, tôi không làm sai lệch bất cứ điều gì: Tôi đã xem xét lũy thừa dương, lũy thừa âm và thậm chí cả phân số... à, ít nhất một số âm ở đâu? Anh ấy đi rồi! Và điều đó là không thể, bởi vì hàm mũ $y=((a)^(x))$ trước hết luôn chỉ nhận các giá trị dương (dù một nhân hay chia cho hai bao nhiêu thì nó vẫn sẽ là một số dương), và thứ hai, cơ số của một hàm như vậy - số $a$ - theo định nghĩa là một số dương!

Vậy làm thế nào để giải phương trình $((9)^(x))=-3$? Nhưng không thể nào: không có gốc rễ. Và theo nghĩa này, phương trình hàm mũ rất giống với phương trình bậc hai - cũng có thể không có nghiệm. Nhưng nếu trong phương trình bậc hai, số nghiệm được xác định bởi phân biệt dương (phân biệt dương - 2 nghiệm, âm - không có nghiệm), thì trong phương trình hàm mũ, mọi thứ phụ thuộc vào những gì ở bên phải dấu bằng.

Vì vậy, chúng ta hãy đưa ra kết luận chính: phương trình hàm mũ đơn giản nhất có dạng $((a)^(x))=b$ có nghiệm khi và chỉ khi $b>0$. Biết thực tế đơn giản này, bạn có thể dễ dàng xác định liệu phương trình được đề xuất cho bạn có nghiệm hay không. Những thứ kia. Có đáng để giải quyết nó hay viết ngay rằng không có gốc rễ.

Những kiến ​​thức này sẽ giúp ích cho chúng ta rất nhiều khi phải giải những bài toán phức tạp hơn. Bây giờ, lời bài hát đã đủ rồi - đã đến lúc nghiên cứu thuật toán cơ bản để giải phương trình hàm mũ.

Cách giải phương trình mũ

Vì vậy, hãy hình thành vấn đề. Cần giải phương trình hàm mũ:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Theo thuật toán “ngây thơ” mà chúng ta đã sử dụng trước đó, cần phải biểu diễn số $b$ dưới dạng lũy ​​thừa của số $a$:

Ngoài ra, nếu thay vì biến $x$ có bất kỳ biểu thức nào, chúng ta sẽ nhận được một phương trình mới có thể giải được. Ví dụ:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(căn chỉnh)\]

Và thật kỳ lạ, kế hoạch này hoạt động trong khoảng 90% trường hợp. Thế còn 10% còn lại thì sao? 10% còn lại là các phương trình hàm mũ hơi “tâm thần phân liệt” có dạng:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Chà, bạn cần nâng 2 lên bao nhiêu để được 3? Đầu tiên? Nhưng không: $((2)^(1))=2$ là không đủ. Thứ hai? Không: $((2)^(2))=4$ là quá nhiều. Vậy thì cái nào?

Những học sinh thông thái có lẽ đã đoán được: trong những trường hợp như vậy, khi không thể giải “đẹp” thì “pháo hạng nặng” - logarit - sẽ phát huy tác dụng. Hãy để tôi nhắc bạn rằng bằng cách sử dụng logarit, bất kỳ số dương nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa của bất kỳ số dương nào khác (ngoại trừ một số):

Bạn có nhớ công thức này không? Khi nói với học sinh của mình về logarit, tôi luôn cảnh báo: công thức này (cũng là công thức logarit cơ bản hoặc, nếu bạn thích, định nghĩa của logarit) sẽ ám ảnh bạn rất lâu và “bật lên” nhiều nhất. những nơi không ngờ tới. Chà, cô ấy đã nổi lên. Hãy nhìn vào phương trình của chúng tôi và công thức này:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Nếu chúng ta giả sử rằng $a=3$ là số ban đầu của chúng ta ở bên phải, và $b=2$ chính là cơ số của hàm số mũ mà chúng ta muốn rút gọn vế phải, thì chúng ta sẽ nhận được như sau:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(căn chỉnh)\]

Chúng tôi đã nhận được một câu trả lời hơi lạ: $x=((\log )_(2))3$. Trong một số nhiệm vụ khác, nhiều người sẽ nghi ngờ với câu trả lời như vậy và sẽ bắt đầu kiểm tra lại giải pháp của mình: điều gì sẽ xảy ra nếu một lỗi đã len lỏi vào đâu đó? Tôi vội làm hài lòng bạn: không có lỗi nào ở đây và logarit trong nghiệm của phương trình mũ là một tình huống hoàn toàn điển hình. Vì vậy hãy làm quen với nó :)

Bây giờ hãy giải hai phương trình còn lại bằng cách tương tự:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(căn chỉnh)\]

Thế thôi! Nhân tiện, câu trả lời cuối cùng có thể được viết khác:

Chúng tôi đã đưa một hệ số vào đối số của logarit. Nhưng không ai ngăn cản chúng tôi thêm yếu tố này vào cơ sở:

Hơn nữa, cả ba lựa chọn đều đúng - chúng chỉ là những dạng viết khác nhau của cùng một số. Chọn cái nào và ghi vào giải pháp này là do bạn quyết định.

Vì vậy, chúng ta đã học cách giải bất kỳ phương trình hàm mũ nào có dạng $((a)^(x))=b$, trong đó các số $a$ và $b$ hoàn toàn dương. Tuy nhiên, thực tế phũ phàng của thế giới chúng ta là những công việc đơn giản như vậy sẽ rất hiếm khi gặp phải. Thường xuyên hơn không, bạn sẽ gặp một cái gì đó như thế này:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0,09. \\\end(căn chỉnh)\]

Vậy làm thế nào chúng ta có thể giải quyết điều này? Liệu điều này có thể giải quyết được không? Và nếu vậy thì làm thế nào?

Không hoảng loạn. Tất cả các phương trình này được rút gọn một cách nhanh chóng và dễ dàng thành các công thức đơn giản mà chúng ta đã xem xét. Bạn chỉ cần nhớ một vài thủ thuật trong khóa học đại số. Và tất nhiên, không có quy tắc nào khi làm việc với bằng cấp. Tôi sẽ kể cho bạn nghe về tất cả điều này ngay bây giờ :)

Chuyển đổi phương trình mũ

Điều đầu tiên cần nhớ: bất kỳ phương trình hàm mũ nào, dù phức tạp đến đâu, bằng cách này hay cách khác đều phải được rút gọn thành các phương trình đơn giản nhất - những phương trình mà chúng ta đã xem xét và chúng ta biết cách giải. Nói cách khác, sơ đồ giải bất kỳ phương trình hàm mũ nào trông như thế này:

1. Viết phương trình ban đầu. Ví dụ: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Làm vài điều kỳ quặc đi. Hoặc thậm chí một số thứ vớ vẩn gọi là "chuyển đổi một phương trình";
3. Ở đầu ra, hãy lấy các biểu thức đơn giản nhất có dạng $((4)^(x))=4$ hoặc một cái gì đó tương tự. Hơn nữa, một phương trình ban đầu có thể đưa ra nhiều biểu thức như vậy cùng một lúc.

Mọi thứ đều rõ ràng ở điểm đầu tiên - ngay cả con mèo của tôi cũng có thể viết phương trình trên một tờ giấy. Điểm thứ ba dường như cũng ít nhiều rõ ràng - chúng ta đã giải được cả đống phương trình như vậy ở trên.

Nhưng còn điểm thứ hai thì sao? Những loại biến đổi? Chuyển cái gì thành cái gì? Và bằng cách nào?

Vâng, chúng ta hãy tìm hiểu. Trước hết tôi xin lưu ý những điều sau. Tất cả các phương trình hàm mũ được chia thành hai loại:

1. Phương trình bao gồm các hàm số mũ có cùng cơ số. Ví dụ: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Công thức chứa các hàm số mũ với các cơ số khác nhau. Ví dụ: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ và $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Hãy bắt đầu với các phương trình loại đầu tiên - chúng dễ giải nhất. Và khi giải quyết chúng, chúng ta sẽ được trợ giúp bởi một kỹ thuật như làm nổi bật các biểu thức ổn định.

Cô lập một biểu thức ổn định

Chúng ta hãy nhìn lại phương trình này một lần nữa:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Chúng ta thấy gì? Bốn điều này được nâng lên ở những mức độ khác nhau. Nhưng tất cả các lũy thừa này đều là tổng đơn giản của biến $x$ với các số khác. Vì vậy, cần nhớ các quy tắc làm việc với độ:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(căn chỉnh)\]

Nói một cách đơn giản, phép cộng có thể được chuyển đổi thành tích lũy thừa và phép trừ có thể dễ dàng được chuyển đổi thành phép chia. Hãy thử áp dụng các công thức này theo độ của phương trình của chúng ta:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(căn chỉnh)\]

Hãy viết lại phương trình ban đầu có tính đến thực tế này và sau đó thu thập tất cả các số hạng ở bên trái:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Bốn số hạng đầu tiên chứa phần tử $((4)^(x))$ - hãy đưa nó ra khỏi ngoặc:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(căn chỉnh)\]

Vẫn còn phải chia cả hai vế của phương trình cho phân số $-\frac(11)(4)$, tức là về cơ bản nhân với phân số nghịch đảo - $-\frac(4)(11)$. Chúng tôi nhận được:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(căn chỉnh)\]

Thế thôi! Chúng tôi đã rút gọn phương trình ban đầu về dạng đơn giản nhất và thu được câu trả lời cuối cùng.

Đồng thời, trong quá trình giải, chúng tôi đã phát hiện ra (và thậm chí đã bỏ nó ra khỏi ngoặc) nhân tử chung $((4)^(x))$ - đây là một biểu thức ổn định. Nó có thể được chỉ định là một biến mới hoặc bạn có thể chỉ cần diễn đạt nó một cách cẩn thận và nhận được câu trả lời. Trong mọi trường hợp, nguyên tắc chính của giải pháp là như sau:

Tìm trong phương trình ban đầu một biểu thức ổn định chứa một biến có thể dễ dàng phân biệt với tất cả các hàm số mũ.

Tin tốt là hầu hết mọi phương trình hàm mũ đều cho phép bạn tách biệt một biểu thức ổn định như vậy.

Nhưng tin xấu là những biểu thức này có thể khá phức tạp và khó xác định. Vì vậy, hãy xem xét một vấn đề nữa:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Có lẽ bây giờ ai đó sẽ có câu hỏi: “Pasha, bạn bị ném đá phải không? Có nhiều cơ sở khác nhau ở đây – 5 và 0,2.” Nhưng hãy thử chuyển đổi lũy thừa sang cơ số 0,2. Ví dụ: hãy loại bỏ phân số thập phân bằng cách giảm nó thành phân số thông thường:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Như bạn có thể thấy, số 5 vẫn xuất hiện, mặc dù ở mẫu số. Đồng thời, chỉ báo được viết lại thành âm. Bây giờ chúng ta hãy nhớ một trong những quy tắc quan trọng nhất khi làm việc với bằng cấp:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ở đây, tất nhiên, tôi đã nói dối một chút. Bởi vì để hiểu đầy đủ, công thức loại bỏ các chỉ số tiêu cực phải được viết như sau:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ đúng))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Mặt khác, không có gì ngăn cản chúng tôi làm việc chỉ với phân số:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ phải))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Nhưng trong trường hợp này, bạn cần có khả năng nâng sức mạnh lên sức mạnh khác (để tôi nhắc bạn: trong trường hợp này, các chỉ số được cộng lại với nhau). Nhưng tôi không cần phải "đảo ngược" các phân số - có lẽ điều này sẽ dễ dàng hơn đối với một số người :)

Trong mọi trường hợp, phương trình hàm mũ ban đầu sẽ được viết lại thành:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(căn chỉnh)\]

Vì vậy, hóa ra phương trình ban đầu có thể được giải thậm chí còn đơn giản hơn phương trình đã xem xét trước đó: ở đây bạn thậm chí không cần phải chọn một biểu thức ổn định - mọi thứ đã tự nó được rút gọn. Chỉ cần nhớ rằng $1=((5)^(0))$, từ đó chúng ta nhận được:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(căn chỉnh)\]

Đó là giải pháp! Chúng ta có đáp án cuối cùng: $x=-2$. Đồng thời, tôi muốn lưu ý một kỹ thuật giúp đơn giản hóa đáng kể mọi phép tính cho chúng ta:

Trong các phương trình hàm mũ, hãy đảm bảo loại bỏ các phân số thập phân và chuyển chúng thành phân số thông thường. Điều này sẽ cho phép bạn nhìn thấy các cơ sở độ giống nhau và đơn giản hóa giải pháp rất nhiều.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các phương trình phức tạp hơn trong đó có các cơ số khác nhau không thể quy giản lẫn nhau bằng cách sử dụng lũy ​​thừa.

Sử dụng thuộc tính độ

Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta có hai phương trình đặc biệt khắc nghiệt hơn:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0,09. \\\end(căn chỉnh)\]

Khó khăn chính ở đây là không rõ nên đưa ra cái gì và dựa trên cơ sở nào. Đâu là những biểu thức ổn định? Đâu là căn cứ giống nhau? Không có cái nào trong số này.

Nhưng chúng ta hãy thử đi một con đường khác. Nếu không có cơ sở giống hệt nhau làm sẵn, bạn có thể thử tìm chúng bằng cách phân tích các cơ sở hiện có.

Hãy bắt đầu với phương trình đầu tiên:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(căn chỉnh)\]

Nhưng bạn có thể làm ngược lại - tạo số 21 từ số 7 và 3. Điều này đặc biệt dễ thực hiện ở bên trái, vì chỉ số của cả hai độ đều giống nhau:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(căn chỉnh)\]

Thế thôi! Bạn lấy số mũ ra ngoài tích và ngay lập tức nhận được một phương trình đẹp có thể giải được trong vài dòng.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phương trình thứ hai. Mọi thứ phức tạp hơn nhiều ở đây:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Trong trường hợp này, các phân số hóa ra là không thể rút gọn được, nhưng nếu thứ gì đó có thể giảm được thì hãy nhớ giảm nó. Thông thường, những lý do thú vị mà bạn có thể làm được sẽ xuất hiện.

Thật không may, không có gì đặc biệt xuất hiện đối với chúng tôi. Nhưng chúng ta thấy rằng các số mũ ở bên trái trong tích số ngược nhau:

Hãy để tôi nhắc bạn: để loại bỏ dấu trừ trong chỉ báo, bạn chỉ cần “lật” phân số. Vâng, hãy viết lại phương trình ban đầu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(căn chỉnh)\]

Ở dòng thứ hai, chúng ta chỉ cần lấy tổng số mũ ra khỏi tích từ ngoặc theo quy tắc $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, và ở câu cuối cùng, họ chỉ cần nhân số 100 với một phân số.

Bây giờ hãy lưu ý rằng các số ở bên trái (ở đáy) và ở bên phải có phần giống nhau. Làm sao? Vâng, điều đó là hiển nhiên: chúng là lũy thừa của cùng một số! Chúng tôi có:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(căn chỉnh)\]

Do đó, phương trình của chúng ta sẽ được viết lại như sau:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Trong trường hợp này, ở bên phải, bạn cũng có thể nhận được bằng cấp có cùng cơ sở, chỉ cần "lật" phân số là đủ:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Phương trình của chúng ta cuối cùng sẽ có dạng:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(căn chỉnh)\]

Đó là giải pháp. Ý tưởng chính của anh ấy tóm tắt lại thực tế là ngay cả với các căn cứ khác nhau, chúng tôi cố gắng, bằng mọi cách hoặc bằng thủ đoạn, để biến những căn cứ này thành cùng một thứ. Các phép biến đổi cơ bản của phương trình và quy tắc làm việc với lũy thừa giúp chúng ta thực hiện điều này.

Nhưng những quy tắc nào và khi nào nên sử dụng? Làm thế nào để bạn hiểu rằng trong một phương trình, bạn cần chia cả hai vế cho một số nào đó, và trong một phương trình khác, bạn cần phân tích cơ số của hàm số mũ?

Câu trả lời cho câu hỏi này sẽ đến từ kinh nghiệm. Trước tiên, hãy thử sức với các phương trình đơn giản, sau đó dần dần phức tạp hóa các vấn đề - và chẳng bao lâu nữa, kỹ năng của bạn sẽ đủ để giải bất kỳ phương trình hàm mũ nào từ cùng một Kỳ thi Thống nhất hoặc bất kỳ bài kiểm tra/độc lập nào.

Và để giúp bạn thực hiện nhiệm vụ khó khăn này, tôi khuyên bạn nên tải xuống một bộ phương trình từ trang web của tôi để tự giải. Tất cả các phương trình đều có đáp án nên bạn luôn có thể tự kiểm tra.

Cấp độ đầu vào

Phương trình hàm mũ. Hướng dẫn cơ bản (2019)

Xin chào! Hôm nay chúng tôi sẽ thảo luận với bạn về cách giải các phương trình có thể là cơ bản (và tôi hy vọng rằng sau khi đọc bài viết này, hầu hết chúng sẽ phù hợp với bạn) và những phương trình thường được cho "để điền". Có vẻ như cuối cùng cũng chìm vào giấc ngủ. Nhưng tôi sẽ cố gắng làm mọi thứ có thể để bây giờ bạn không gặp rắc rối khi đối mặt với loại phương trình này. Tôi sẽ không vòng vo nữa mà nói ngay cho các bạn một bí mật nhỏ: hôm nay chúng ta sẽ học phương trình hàm mũ.

Trước khi chuyển sang phân tích cách giải quyết, tôi sẽ phác thảo ngay cho các bạn một loạt câu hỏi (khá nhỏ) mà các bạn nên nhắc lại trước khi lao vào tấn công chủ đề này. Vì vậy, để có kết quả tốt nhất, vui lòng lặp lại:

1. Thuộc tính và
2. Lời giải và phương trình

Lặp lại? Tuyệt vời! Khi đó sẽ không khó để bạn nhận ra rằng nghiệm của phương trình là một số. Bạn có hiểu chính xác tôi đã làm điều đó như thế nào không? Có đúng không? Sau đó chúng ta hãy tiếp tục. Bây giờ hãy trả lời câu hỏi của tôi, số nào bằng lũy ​​thừa thứ ba? Bạn hoàn toàn đúng: . Sức mạnh nào của hai là tám? Đúng vậy - cái thứ ba! Bởi vì. Bây giờ chúng ta thử giải bài toán sau: Thầy hãy nhân số đó với chính nó một lần và nhận được kết quả. Câu hỏi là, tôi đã nhân với chính mình bao nhiêu lần? Tất nhiên bạn có thể kiểm tra điều này trực tiếp:

\begin(căn chỉnh) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( căn chỉnh)

Sau đó, bạn có thể kết luận rằng tôi đã nhân với chính mình lần. Bạn có thể kiểm tra điều này bằng cách nào khác? Đây là cách thực hiện: trực tiếp theo định nghĩa về mức độ: . Tuy nhiên, bạn phải thừa nhận, nếu tôi hỏi hai lần cần được nhân với chính nó bao nhiêu lần thì bạn sẽ nói với tôi: Tôi sẽ không tự lừa mình và nhân với chính nó cho đến khi xanh mặt. Và anh ấy sẽ hoàn toàn đúng. Bởi vì làm sao bạn có thể viết ngắn gọn tất cả các bước(và sự ngắn gọn là em gái của tài năng)

ở đâu - đây là những cái giống nhau "lần", khi bạn nhân với chính nó.

Tôi nghĩ rằng bạn biết (và nếu bạn không biết, hãy khẩn trương, rất khẩn trương nhắc lại các độ!) rằng bài toán của tôi sẽ được viết dưới dạng:

Làm thế nào bạn có thể kết luận một cách hợp lý rằng:

Vì vậy, không để ý, tôi đã viết ra cách đơn giản nhất phương trình hàm mũ:

Và tôi thậm chí còn tìm thấy anh ấy gốc. Bạn không nghĩ rằng mọi thứ đều hoàn toàn tầm thường sao? Tôi nghĩ chính xác như vậy. Đây là một ví dụ khác cho bạn:

Nhưng phải làm gì? Rốt cuộc, nó không thể được viết dưới dạng lũy ​​thừa của một số (hợp lý). Đừng tuyệt vọng và hãy lưu ý rằng cả hai con số này đều được thể hiện một cách hoàn hảo nhờ lũy thừa của cùng một con số. Cái nào? Phải: . Khi đó phương trình ban đầu được chuyển về dạng:

Ở đâu, như bạn đã hiểu, . Chúng ta đừng trì hoãn nữa và hãy viết nó ra sự định nghĩa:

Trong trường hợp của chúng tôi: .

Các phương trình này được giải bằng cách rút gọn chúng về dạng:

tiếp theo là giải phương trình

Trên thực tế, trong ví dụ trước, chúng tôi đã làm đúng điều đó: chúng tôi nhận được kết quả sau: Và chúng tôi đã giải được phương trình đơn giản nhất.

Có vẻ như không có gì phức tạp phải không? Trước tiên hãy thực hành những cái đơn giản nhất ví dụ:

Một lần nữa chúng ta thấy rằng vế phải và vế trái của phương trình cần được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa của một số. Đúng, điều này đã được thực hiện ở bên trái, nhưng có một con số ở bên phải. Nhưng không sao cả, vì phương trình của tôi sẽ biến đổi một cách kỳ diệu thành thế này:

Tôi đã phải sử dụng cái gì ở đây? Quy tắc gì? Quy tắc "độ trong độ" có nội dung:

Điều gì sẽ xảy ra nếu:

Trước khi trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy điền vào bảng sau:

Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng giá trị càng nhỏ thì giá trị càng nhỏ, tuy nhiên tất cả các giá trị này đều lớn hơn 0. VÀ SẼ LUÔN NHƯ VẬY!!! Tính chất tương tự cũng đúng CHO MỌI CƠ SỞ CÓ BẤT KỲ CHỈ SỐ NÀO!! (với bất kỳ và). Vậy thì chúng ta có thể kết luận gì về phương trình? Đây là những gì nó là: nó không có rễ! Giống như bất kỳ phương trình nào cũng không có gốc. Bây giờ chúng ta hãy luyện tập và Hãy giải các ví dụ đơn giản:

Hãy kiểm tra:

1. Ở đây bạn không cần gì ngoại trừ kiến ​​​​thức về các tính chất của độ (nhân tiện, tôi yêu cầu bạn nhắc lại!) Theo quy luật, mọi thứ đều dẫn đến cơ số nhỏ nhất: , . Khi đó phương trình ban đầu sẽ tương đương như sau: Tất cả những gì tôi cần là sử dụng các tính chất của lũy thừa: Khi nhân các số có cùng cơ số thì lũy thừa được cộng, khi chia thì bị trừ. Sau đó tôi sẽ nhận được: Chà, bây giờ với lương tâm trong sáng, tôi sẽ chuyển từ phương trình hàm mũ sang phương trình tuyến tính: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(căn chỉnh)

2. Trong ví dụ thứ hai, chúng ta cần cẩn thận hơn: vấn đề là ở vế bên trái, chúng ta không thể biểu thị cùng một số với lũy thừa. Trong trường hợp này đôi khi nó hữu ích biểu diễn các số dưới dạng tích của lũy thừa với các cơ số khác nhau nhưng có cùng số mũ:

Vế trái của phương trình sẽ có dạng: Điều này đã mang lại cho chúng ta điều gì? Đây là những gì: Các số có cơ số khác nhau nhưng có cùng số mũ có thể nhân được.Trong trường hợp này, các cơ số được nhân lên, nhưng chỉ số không thay đổi:

Trong tình huống của tôi, điều này sẽ cung cấp:

\bắt đầu(căn chỉnh)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(căn chỉnh)

Không tệ, phải không?

3. Tôi không thích khi, một cách không cần thiết, tôi có hai số hạng ở một bên của phương trình và không có số hạng nào ở bên kia (tất nhiên, đôi khi điều này là hợp lý, nhưng bây giờ không phải vậy). Tôi sẽ chuyển số hạng trừ sang bên phải:

Bây giờ, như trước đây, tôi sẽ viết mọi thứ dưới dạng lũy ​​thừa ba:

Tôi thêm độ ở bên trái và nhận được một phương trình tương đương

Bạn có thể dễ dàng tìm thấy gốc của nó:

4. Như trong ví dụ thứ ba, số hạng trừ có một vị trí ở vế phải!

Ở bên trái của tôi, hầu hết mọi thứ đều ổn, ngoại trừ cái gì? Vâng, “mức độ sai” của cả hai đang làm tôi khó chịu. Nhưng tôi có thể dễ dàng khắc phục điều này bằng cách viết: . Eureka - ở bên trái tất cả các cơ sở đều khác nhau, nhưng tất cả các cấp độ đều giống nhau! Hãy nhân lên ngay lập tức!

Ở đây một lần nữa, mọi thứ đều rõ ràng: (nếu bạn không hiểu làm thế nào tôi có được đẳng thức cuối cùng một cách kỳ diệu, hãy nghỉ một phút, hít một hơi và đọc lại các thuộc tính của cấp độ thật cẩn thận. Ai nói rằng bạn có thể bỏ qua một độ với số mũ âm? Chà, ở đây tôi cũng giống như không ai cả). Bây giờ tôi sẽ nhận được:

\bắt đầu(căn chỉnh)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(căn chỉnh)

Sau đây là một số bài toán để các bạn luyện tập, tôi sẽ chỉ đưa ra đáp án (nhưng ở dạng “hỗn hợp”). Hãy giải quyết chúng, kiểm tra chúng, rồi bạn và tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu của mình!

Sẵn sàng? Câu trả lời như thế này:

1. bất kỳ số nào

Được rồi, được rồi, tôi nói đùa đấy! Dưới đây là một số bản phác thảo giải pháp (một số rất ngắn gọn!)

Bạn có nghĩ rằng không phải ngẫu nhiên mà một phân số bên trái lại là phân số còn lại bị "đảo ngược"? Sẽ là tội lỗi nếu không tận dụng điều này:

Quy tắc này rất hay được sử dụng khi giải phương trình mũ, hãy nhớ kỹ nhé!

Khi đó phương trình ban đầu sẽ có dạng như sau:

Bằng cách giải phương trình bậc hai này, bạn sẽ có được các nghiệm sau:

2. Một giải pháp khác: chia cả hai vế của phương trình cho biểu thức bên trái (hoặc bên phải). Chia cho những gì ở bên phải, sau đó tôi nhận được:

Ở đâu (tại sao?!)

3. Tôi thậm chí không muốn lặp lại chính mình, mọi thứ đã bị “nhai” quá nhiều rồi.

4. tương đương với phương trình bậc hai, nghiệm

5. Bạn cần áp dụng công thức ở bài toán đầu tiên thì sẽ được:

Phương trình đã trở thành một đẳng thức tầm thường đúng với bất kỳ ai. Khi đó câu trả lời là bất kỳ số thực nào.

Chà, bây giờ bạn đã thực hành giải quyết phương trình hàm mũ đơn giản. Bây giờ tôi muốn cung cấp cho bạn một vài ví dụ thực tế sẽ giúp bạn hiểu tại sao về nguyên tắc chúng lại cần thiết. Ở đây tôi sẽ đưa ra hai ví dụ. Một trong số chúng khá phổ biến hàng ngày, nhưng cái còn lại có nhiều khả năng mang tính khoa học hơn là thực tế.

Ví dụ 1 (thương mại) Hãy để bạn có rúp, nhưng bạn muốn biến nó thành rúp. Ngân hàng đề nghị bạn nhận số tiền này theo lãi suất hàng năm với lãi suất vốn hóa hàng tháng (tích lũy hàng tháng). Câu hỏi đặt ra là bạn cần mở khoản tiền gửi trong bao nhiêu tháng để đạt được số tiền cuối cùng cần thiết? Một công việc khá nhàm chán phải không? Tuy nhiên, lời giải của nó gắn liền với việc xây dựng phương trình hàm mũ tương ứng: Let - số tiền ban đầu, - số tiền cuối cùng, - lãi suất trong kỳ, - số kỳ. Sau đó:

Trong trường hợp của chúng tôi (nếu lãi suất là hàng năm thì nó được tính mỗi tháng). Tại sao nó được chia cho? Nếu bạn không biết câu trả lời cho câu hỏi này, hãy nhớ chủ đề “”! Sau đó chúng ta nhận được phương trình này:

Phương trình hàm mũ này chỉ có thể được giải với sự trợ giúp của máy tính (sự xuất hiện của nó gợi ý điều này và điều này đòi hỏi kiến ​​​​thức về logarit, mà chúng ta sẽ làm quen sau), đó là điều tôi sẽ làm: ... Vì vậy , để có được một triệu, chúng ta sẽ phải đóng góp trong một tháng (không nhanh lắm phải không?).

Ví dụ 2 (khá khoa học). Bất chấp sự “cô lập” nhất định của anh ấy, tôi khuyên bạn nên chú ý đến anh ấy: anh ấy thường xuyên “trượt vào Kỳ thi Thống nhất!! (bài toán được lấy từ phiên bản “thực”) Trong quá trình phân rã của một đồng vị phóng xạ, khối lượng của nó giảm theo định luật, trong đó (mg) là khối lượng ban đầu của đồng vị, (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi thời điểm ban đầu, (min.) là chu kỳ bán rã. Tại thời điểm ban đầu khối lượng của đồng vị là mg. Chu kỳ bán rã của nó là tối thiểu. Sau bao nhiêu phút thì khối lượng của đồng vị đó bằng mg? Không sao cả: chúng ta chỉ cần lấy và thay thế tất cả dữ liệu vào công thức được đề xuất cho chúng ta:

Hãy chia cả hai phần cho "với hy vọng" rằng ở bên trái chúng ta sẽ có được thứ gì đó dễ tiêu hóa:

Vâng, chúng tôi rất may mắn! Nó ở bên trái, sau đó hãy chuyển sang phương trình tương đương:

Min ở đâu

Như bạn có thể thấy, phương trình hàm mũ có ứng dụng rất thực tế trong thực tế. Bây giờ tôi muốn chỉ cho bạn một cách khác (đơn giản) để giải phương trình hàm mũ, dựa trên việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc và sau đó nhóm các số hạng lại. Đừng sợ hãi trước lời nói của tôi, bạn đã biết đến phương pháp này ở lớp 7 khi học đa thức. Ví dụ: nếu bạn cần phân tích biểu thức:

Hãy nhóm: thuật ngữ thứ nhất và thứ ba, cũng như thuật ngữ thứ hai và thứ tư. Rõ ràng là thứ nhất và thứ ba là sự khác biệt của hình vuông:

và thứ hai và thứ tư có ước chung là ba:

Khi đó biểu thức ban đầu tương đương với điều này:

Việc rút ra nhân tử chung ở đâu không còn khó khăn:

Kể từ đây,

Đây đại khái là những gì chúng ta sẽ làm khi giải phương trình mũ: tìm “điểm chung” giữa các số hạng và lấy nó ra khỏi ngoặc, sau đó - điều gì có thể xảy ra, tôi tin rằng chúng ta sẽ may mắn =)) Ví dụ:

Ở bên phải không phải là lũy thừa của bảy (tôi đã kiểm tra!) Và ở bên trái - tốt hơn một chút, tất nhiên, bạn có thể “cắt bỏ” hệ số a khỏi số hạng thứ hai của số hạng đầu tiên, rồi giải quyết với những gì bạn có, nhưng hãy thận trọng hơn với bạn. Tôi không muốn xử lý các phân số chắc chắn hình thành khi "chọn", vậy tôi có nên lấy nó ra không? Sau đó, tôi sẽ không có bất kỳ phân số nào: như người ta nói, sói được cho ăn và cừu được an toàn:

Tính biểu thức trong ngoặc. Thật kỳ diệu, thật kỳ diệu, hóa ra là vậy (thật đáng ngạc nhiên, mặc dù chúng ta còn mong đợi điều gì nữa?).

Sau đó chúng ta rút gọn cả hai vế của phương trình theo hệ số này. Chúng tôi nhận được: , từ.

Đây là một ví dụ phức tạp hơn (thực sự là khá nhiều):

Thật là một vấn đề! Chúng ta không có điểm chung ở đây! Nó không hoàn toàn rõ ràng phải làm gì bây giờ. Hãy làm những gì chúng ta có thể: đầu tiên, di chuyển số “bốn” sang một bên và số “năm” sang bên kia:

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ "chung" ở bên trái và bên phải:

Vậy bây giờ thì sao? Một nhóm ngu ngốc như vậy có ích lợi gì? Thoạt nhìn thì không thấy rõ lắm, nhưng hãy nhìn sâu hơn:

Chà, bây giờ chúng ta sẽ đảm bảo rằng ở bên trái chúng ta chỉ có biểu thức c và ở bên phải - mọi thứ khác. Chúng ta làm điều này như thế nào? Đây là cách thực hiện: Trước tiên chia cả hai vế của phương trình cho (vì vậy chúng ta loại bỏ số mũ ở bên phải), sau đó chia cả hai vế cho (vì vậy chúng ta loại bỏ thừa số ở bên trái). Cuối cùng chúng tôi nhận được:

Đáng kinh ngạc! Ở bên trái chúng ta có một biểu thức và ở bên phải chúng ta có một biểu thức đơn giản. Sau đó chúng ta kết luận ngay rằng

Đây là một ví dụ khác để bạn củng cố:

Tôi sẽ đưa ra giải pháp ngắn gọn của anh ấy (không cần bận tâm đến việc giải thích), cố gắng tự mình hiểu tất cả những “sự tinh tế” của giải pháp.

Bây giờ để hợp nhất cuối cùng của vật liệu được bảo hiểm. Hãy cố gắng tự mình giải quyết những vấn đề sau. Tôi sẽ chỉ đưa ra những khuyến nghị ngắn gọn và lời khuyên để giải quyết chúng:

1. Hãy lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc: Trong đó:
2. Hãy trình bày biểu thức đầu tiên dưới dạng: , chia cả hai vế và nhận được kết quả đó
3. , thì phương trình ban đầu được chuyển về dạng: Bây giờ có một gợi ý - hãy tìm xem bạn và tôi đã giải được phương trình này ở đâu!
4. Hãy tưởng tượng làm thế nào, à, rồi chia cả hai vế cho, để bạn có được phương trình hàm mũ đơn giản nhất.
5. Mang nó ra khỏi dấu ngoặc.
6. Mang nó ra khỏi dấu ngoặc.

PHƯƠNG TIỆN MỤC TIÊU. CẤP TRUNG CẤP

Tôi cho rằng sau khi đọc bài viết đầu tiên nói về phương trình hàm mũ là gì và cách giải chúng, bạn đã nắm vững những kiến ​​thức tối thiểu cần thiết để giải những ví dụ đơn giản nhất.

Bây giờ tôi sẽ xem xét một phương pháp khác để giải phương trình mũ, đây là

“phương pháp giới thiệu một biến mới” (hoặc thay thế). Nó giải quyết hầu hết các bài toán “khó” về chủ đề phương trình hàm mũ (và không chỉ phương trình). Phương pháp này là một trong những phương pháp được sử dụng thường xuyên nhất trong thực tế. Đầu tiên, tôi khuyên bạn nên làm quen với chủ đề này.

Như bạn đã hiểu ngay từ cái tên, bản chất của phương pháp này là đưa ra một sự thay đổi của biến sao cho phương trình hàm mũ của bạn sẽ biến đổi một cách kỳ diệu thành một phương trình mà bạn có thể dễ dàng giải được. Tất cả những gì còn lại cho bạn sau khi giải “phương trình đơn giản hóa” này là thực hiện một “sự thay thế ngược”: nghĩa là quay trở lại từ cái được thay thế sang cái được thay thế. Hãy minh họa điều chúng ta vừa nói bằng một ví dụ rất đơn giản:

Ví dụ 1:

Phương trình này được giải bằng cách sử dụng “sự thay thế đơn giản”, như cách các nhà toán học gọi nó một cách miệt thị. Thực ra, sự thay thế ở đây là rõ ràng nhất. Người ta chỉ phải thấy điều đó

Khi đó phương trình ban đầu sẽ trở thành:

Nếu chúng ta tưởng tượng thêm như thế nào thì hoàn toàn rõ ràng những gì cần phải thay thế: tất nhiên, . Điều gì sau đó trở thành phương trình ban đầu? Đây là những gì:

Bạn có thể dễ dàng tìm thấy nguồn gốc của nó: . Chúng ta nên làm gì bây giờ? Đã đến lúc quay lại biến ban đầu. Tôi đã quên đề cập đến điều gì? Cụ thể: khi thay một mức độ nào đó bằng một biến mới (tức là khi thay một loại) tôi sẽ quan tâm đến chỉ có rễ tích cực! Bản thân bạn có thể dễ dàng trả lời tại sao. Vì vậy, bạn và tôi không quan tâm, nhưng gốc thứ hai khá phù hợp với chúng tôi:

Thế thì từ đâu tới.

Trả lời:

Như bạn có thể thấy, trong ví dụ trước, người thay thế chỉ cần nhờ chúng tôi giúp đỡ. Thật không may, điều này không phải luôn luôn như vậy. Tuy nhiên, chúng ta đừng đi thẳng vào những điều đáng buồn mà hãy cùng thực hành với một ví dụ nữa với một phép thay thế khá đơn giản.

Ví dụ 2.

Rõ ràng là rất có thể chúng ta sẽ phải thực hiện một phép thay thế (đây là lũy thừa nhỏ nhất có trong phương trình của chúng ta), nhưng trước khi đưa ra một phép thay thế, phương trình của chúng ta cần phải được “chuẩn bị” cho nó, cụ thể là: , . Sau đó, bạn có thể thay thế, kết quả là tôi nhận được biểu thức sau:

Ôi kinh dị: một phương trình bậc ba với những công thức cực kỳ khủng khiếp để giải nó (à, nói một cách tổng quát). Nhưng chúng ta đừng tuyệt vọng ngay mà hãy suy nghĩ xem chúng ta nên làm gì. Tôi sẽ gợi ý bạn nên gian lận: chúng ta biết rằng để có được một câu trả lời “đẹp”, chúng ta cần phải có được nó dưới dạng lũy ​​thừa ba nào đó (tại sao lại như vậy, nhỉ?). Hãy thử đoán ít nhất một nghiệm của phương trình của chúng ta (tôi sẽ bắt đầu đoán với lũy thừa ba).

Đoán đầu tiên. Không phải là một gốc. Than ôi và à...

.
Bên trái bằng nhau.
Bên phải: !
Ăn! Đoán gốc đầu tiên. Bây giờ mọi thứ sẽ trở nên dễ dàng hơn!

Bạn có biết về sơ đồ chia “góc” không? Tất nhiên là có, bạn sử dụng nó khi chia số này cho số khác. Nhưng ít người biết rằng điều tương tự cũng có thể được thực hiện với đa thức. Có một định lý tuyệt vời:

Áp dụng vào trường hợp của tôi, điều này cho tôi biết rằng nó có thể chia hết mà không có số dư. Việc phân chia được thực hiện như thế nào? Đây là cách thực hiện:

Tôi xem tôi nên nhân đơn thức nào để có được Rõ ràng, sau đó:

Tôi trừ đi biểu thức kết quả, tôi nhận được:

Bây giờ, tôi cần nhân với bao nhiêu để có được? Rõ ràng là vào thì ta sẽ được:

và một lần nữa trừ biểu thức kết quả khỏi biểu thức còn lại:

Vâng, bước cuối cùng là nhân và trừ biểu thức còn lại:

Hoan hô, sự phân chia đã kết thúc! Chúng ta đã tích lũy được gì ở nơi riêng tư? Tất nhiên rồi: .

Khi đó ta có khai triển của đa thức ban đầu như sau:

Hãy giải phương trình thứ hai:

Nó có rễ:

Khi đó phương trình ban đầu:

có ba gốc:

Tất nhiên, chúng ta sẽ loại bỏ nghiệm cuối cùng vì nó nhỏ hơn 0. Và hai cái đầu tiên sau khi thay thế ngược lại sẽ cho chúng ta hai gốc:

Trả lời: ..

Với ví dụ này, tôi không hề muốn làm bạn sợ, mà mục tiêu của tôi là chỉ ra rằng mặc dù chúng ta có một phép thay thế khá đơn giản nhưng nó vẫn dẫn đến một phương trình khá phức tạp, việc giải phương trình này đòi hỏi chúng ta phải có một số kỹ năng đặc biệt. Vâng, không ai miễn nhiễm với điều này. Nhưng sự thay thế trong trường hợp này là khá rõ ràng.

Đây là một ví dụ với sự thay thế ít rõ ràng hơn một chút:

Không rõ chúng ta nên làm gì: vấn đề là trong phương trình của chúng ta có hai cơ số khác nhau và một cơ số không thể lấy được từ cơ số kia bằng cách nâng nó lên bất kỳ lũy thừa nào (hợp lý, tự nhiên). Tuy nhiên, chúng ta thấy gì? Cả hai cơ số chỉ khác nhau về dấu và tích của chúng là hiệu của các bình phương bằng một:

Sự định nghĩa:

Vì vậy, các số làm cơ sở trong ví dụ của chúng ta là liên hợp.

Trong trường hợp này, bước đi thông minh sẽ là nhân cả hai vế của phương trình với số liên hợp.

Ví dụ: trên, thì vế trái của phương trình sẽ bằng và vế phải. Nếu chúng ta thay thế thì phương trình ban đầu của chúng ta sẽ trở thành như thế này:

vậy thì gốc rễ của nó, và nhớ lại điều đó, chúng ta hiểu được điều đó.

Trả lời: , .

Về nguyên tắc, phương pháp thay thế là đủ để giải hầu hết các phương trình hàm mũ “trường học”. Các nhiệm vụ sau được lấy từ Kỳ thi Thống nhất C1 (mức độ khó tăng dần). Bạn đã đủ trình độ để tự mình giải quyết những ví dụ này. Tôi sẽ chỉ cung cấp sự thay thế cần thiết.

1. Giải phương trình:
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
3. Giải phương trình: . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình này thuộc về đoạn:

Và bây giờ là một số giải thích và câu trả lời ngắn gọn:

1. Ở đây đủ để chúng ta lưu ý rằng... Khi đó phương trình ban đầu sẽ tương đương với phương trình này: Phương trình này có thể được giải bằng cách thay thế Hãy tự mình thực hiện các phép tính tiếp theo. Cuối cùng, nhiệm vụ của bạn sẽ giảm xuống còn giải các bài toán lượng giác đơn giản (tùy thuộc vào sin hoặc cos). Chúng ta sẽ xem xét giải pháp cho các ví dụ tương tự trong các phần khác.
2. Ở đây bạn thậm chí có thể thực hiện mà không cần thay thế: chỉ cần di chuyển dấu trừ sang bên phải và biểu diễn cả hai cơ số thông qua lũy thừa của hai: , rồi đi thẳng đến phương trình bậc hai.
3. Phương trình thứ ba cũng được giải khá chuẩn: hãy tưởng tượng xem. Sau đó, thay thế, chúng ta nhận được phương trình bậc hai: khi đó,

   Bạn đã biết logarit là gì rồi phải không? KHÔNG? Sau đó đọc chủ đề khẩn trương!

   Gốc thứ nhất rõ ràng không thuộc đoạn này, nhưng gốc thứ hai thì không rõ ràng! Nhưng chúng ta sẽ sớm biết thôi! Vì vậy (đây là tính chất của logarit!) Hãy so sánh:

   Trừ cả hai vế, ta được:

   Vế trái có thể được biểu diễn dưới dạng:

   nhân cả hai vế với:

   thì có thể nhân với

   Sau đó so sánh:

   kể từ đó:

   Khi đó căn bậc hai thuộc khoảng cần thiết

   Trả lời:

Như bạn có thể thấy, Việc lựa chọn nghiệm của phương trình hàm mũ đòi hỏi kiến ​​thức khá sâu về tính chất của logarit, vì vậy tôi khuyên bạn nên cẩn thận nhất có thể khi giải phương trình hàm mũ. Như bạn đã hiểu, trong toán học mọi thứ đều có mối liên hệ với nhau! Như giáo viên dạy toán của tôi đã nói: “Toán học, giống như lịch sử, không thể đọc được trong một sớm một chiều”.

Theo quy định, tất cả Khó khăn khi giải bài toán C1 chính là việc chọn nghiệm của phương trình. Hãy thực hành với một ví dụ nữa:

Rõ ràng là bản thân phương trình được giải khá đơn giản. Bằng cách thay thế, chúng ta rút gọn phương trình ban đầu thành như sau:

Đầu tiên chúng ta hãy nhìn vào gốc đầu tiên. Hãy so sánh và: kể từ đó. (thuộc tính của hàm logarit, at). Khi đó rõ ràng là nghiệm đầu tiên không thuộc về khoảng của chúng ta. Bây giờ là gốc thứ hai: . Rõ ràng là (vì hàm số at đang tăng). Việc còn lại là so sánh và...

kể từ đó, cùng một lúc. Bằng cách này, tôi có thể “đóng chốt” giữa và. Cái chốt này là một con số. Biểu thức đầu tiên nhỏ hơn và biểu thức thứ hai lớn hơn. Khi đó biểu thức thứ hai lớn hơn biểu thức thứ nhất và nghiệm thuộc về khoảng.

Trả lời: .

Cuối cùng, chúng ta hãy xem một ví dụ khác về phương trình trong đó phép thay thế hoàn toàn không chuẩn:

Hãy bắt đầu ngay với những gì có thể làm được và những gì - về nguyên tắc, có thể làm được, nhưng tốt hơn hết là không nên làm. Bạn có thể tưởng tượng mọi thứ thông qua sức mạnh của ba, hai và sáu. Điều này sẽ dẫn đến điều gì? Nó sẽ không dẫn đến bất cứ điều gì: một mớ bòng bong các cấp độ, một số trong đó sẽ khá khó để loại bỏ. Vậy thì cần những gì? Hãy lưu ý rằng a Và điều này mang lại cho chúng ta điều gì? Và thực tế là chúng ta có thể quy giản nghiệm của ví dụ này thành nghiệm của một phương trình hàm mũ khá đơn giản! Đầu tiên, hãy viết lại phương trình của chúng ta thành:

Bây giờ hãy chia cả hai vế của phương trình kết quả cho:

Eureka! Bây giờ chúng ta có thể thay thế, chúng ta nhận được:

Chà, bây giờ đến lượt bạn giải quyết các vấn đề trình diễn và tôi sẽ chỉ đưa ra những nhận xét ngắn gọn về chúng để bạn không đi chệch hướng! Chúc may mắn!

1. Khó nhất! Thật khó để tìm thấy một sự thay thế ở đây! Tuy nhiên, ví dụ này có thể được giải quyết hoàn toàn bằng cách sử dụng làm nổi bật một hình vuông hoàn chỉnh. Để giải quyết nó, chỉ cần lưu ý rằng:

Sau đó, đây là sự thay thế của bạn:

(Xin lưu ý rằng ở đây trong quá trình thay thế, chúng tôi không thể loại bỏ nghiệm âm!!! Bạn nghĩ tại sao?)

Bây giờ để giải ví dụ bạn chỉ cần giải hai phương trình:

Cả hai đều có thể được giải quyết bằng một “sự thay thế tiêu chuẩn” (nhưng cái thứ hai trong một ví dụ!)

2. Hãy chú ý điều đó và thay thế.

3. Phân tách số thành thừa số nguyên tố cùng nhau và rút gọn biểu thức thu được.

4. Chia tử số và mẫu số của phân số cho (hoặc, nếu bạn thích) và thay thế or.

5. Lưu ý rằng các số và là liên hợp.

PHƯƠNG TIỆN MỤC TIÊU. CẤP ĐỘ NÂNG CAO

Ngoài ra, hãy xem xét một cách khác - giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit. Tôi không thể nói rằng việc giải phương trình hàm mũ bằng phương pháp này là rất phổ biến, nhưng trong một số trường hợp, chỉ nó mới có thể đưa chúng ta đến nghiệm chính xác của phương trình. Nó đặc biệt thường được sử dụng để giải quyết cái gọi là “ phương trình hỗn hợp": nghĩa là những nơi diễn ra các chức năng thuộc các loại khác nhau.

Ví dụ: một phương trình có dạng:

trong trường hợp tổng quát chỉ có thể giải bằng cách lấy logarit hai vế (ví dụ về cơ số), trong đó phương trình ban đầu sẽ có dạng sau:

Hãy xem ví dụ sau:

Rõ ràng là theo ODZ của hàm logarit, chúng ta chỉ quan tâm. Tuy nhiên, điều này không chỉ xuất phát từ ODZ của logarit mà còn vì một lý do nữa. Tôi nghĩ sẽ không khó để bạn đoán đó là cái nào.

Hãy lấy logarit của cả hai vế của phương trình của chúng ta về cơ số:

Như bạn có thể thấy, việc lấy logarit của phương trình ban đầu đã nhanh chóng đưa chúng ta đến câu trả lời đúng (và hay!). Hãy thực hành với một ví dụ nữa:

Không có gì sai ở đây cả: hãy lấy logarit của cả hai vế của phương trình về cơ số, sau đó chúng ta nhận được:

Hãy thực hiện thay thế:

Tuy nhiên, chúng tôi đã bỏ lỡ điều gì đó! Bạn có nhận thấy tôi đã mắc sai lầm ở đâu không? Rốt cuộc thì:

không đáp ứng được yêu cầu (nghĩ xem nó đến từ đâu!)

Trả lời:

Hãy thử viết nghiệm của các phương trình hàm mũ dưới đây:

Bây giờ hãy so sánh quyết định của bạn với điều này:

1. Hãy logarit cả hai vế cơ số, lưu ý rằng:

(gốc thứ hai không phù hợp với chúng tôi do phải thay thế)

2. Logarit cơ số:

Chúng ta hãy chuyển đổi biểu thức kết quả sang dạng sau:

PHƯƠNG TIỆN MỤC TIÊU. MÔ TẢ TÓM TẮT VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

phương trình hàm mũ

Phương trình có dạng:

gọi điện phương trình hàm mũ đơn giản nhất.

Thuộc tính của độ

Các cách tiếp cận giải pháp

• Giảm về cùng một cơ sở
• Giảm về cùng số mũ
• Thay thế biến
• Rút gọn biểu thức và áp dụng một trong các mệnh đề trên.