Việc sử dụng các phương trình rất phổ biến trong cuộc sống của chúng ta. Chúng được sử dụng trong nhiều tính toán, xây dựng công trình và thậm chí cả thể thao. Con người đã sử dụng các phương trình từ xa xưa và kể từ đó việc sử dụng chúng ngày càng tăng lên. Phương trình có 4 ẩn số có thể có nhiều nghiệm. Trong toán học, người ta thường gặp những phương trình kiểu này. Để giải chính xác các phương trình như vậy, cần sử dụng tất cả các đặc điểm của phương trình để đơn giản hóa và rút ngắn nghiệm của nó.
Hãy xem giải pháp cho ví dụ sau:
Bằng cách cộng từng phần của phương trình thứ nhất và thứ hai, bạn có thể có được một phương trình rất đơn giản:
\ hoặc \
Hãy thực hiện các thao tác tương tự với phương trình 2 và 3:
\ hoặc \
Chúng tôi giải các phương trình kết quả \ và \
Chúng tôi nhận được \ và \
Chúng tôi thay thế các số kết quả vào phương trình 1 và 3:
\ hoặc \
\ hoặc \
Thay thế các số này bằng số thứ hai và phương trình thứ tư sẽ đưa ra chính xác các phương trình tương tự.
Nhưng đó chưa phải là tất cả, vì còn 2 phương trình cần giải với 2 ẩn số. Giải pháp thuộc loại này Bạn có thể xem các phương trình trong các bài viết ở đây.
Tôi có thể giải phương trình có bốn ẩn số trực tuyến ở đâu?
Bạn có thể giải phương trình có ẩn số trực tuyến tại https://site. Bộ giải trực tuyến miễn phí sẽ cho phép bạn giải các phương trình trực tuyến có độ phức tạp bất kỳ chỉ trong vài giây. Tất cả những gì bạn cần làm chỉ đơn giản là nhập dữ liệu của bạn vào bộ giải. Bạn cũng có thể xem video hướng dẫn và tìm hiểu cách giải phương trình trên trang web của chúng tôi. Và nếu bạn vẫn còn thắc mắc, bạn có thể hỏi họ trong nhóm VKontakte của chúng tôi http://vk.com/pocketteacher. Hãy tham gia nhóm của chúng tôi, chúng tôi luôn sẵn lòng hỗ trợ bạn.
Hệ phương trình đã được sử dụng rộng rãi trong ngành kinh tế với mô hình toán học quá trình khác nhau. Ví dụ, khi giải quyết các vấn đề về quản lý và lập kế hoạch sản xuất, các tuyến đường hậu cần (bài toán vận chuyển) hoặc bố trí thiết bị.
Hệ phương trình không chỉ được sử dụng trong toán học mà còn trong vật lý, hóa học và sinh học khi giải các bài toán tìm quy mô dân số.
Hệ thống phương trình tuyến tínhđặt tên cho hai hoặc nhiều phương trình có nhiều biến mà cần tìm nghiệm chung. Một dãy số mà tất cả các phương trình trở thành đẳng thức thực sự hoặc chứng minh rằng chuỗi đó không tồn tại.
phương trình tuyến tính
Các phương trình có dạng ax+by=c được gọi là tuyến tính. Các ký hiệu x, y là các ẩn số phải tìm giá trị, b, a là hệ số của các biến, c là số hạng tự do của phương trình.
Giải một phương trình bằng cách vẽ đồ thị sẽ có dạng một đường thẳng, mọi điểm của nó đều là nghiệm của đa thức.
Các loại hệ phương trình tuyến tính
Các ví dụ đơn giản nhất được coi là hệ phương trình tuyến tính với hai biến X và Y.
F1(x, y) = 0 và F2(x, y) = 0, trong đó F1,2 là các hàm và (x, y) là các biến hàm.
Giải hệ phương trình - điều này có nghĩa là tìm các giá trị (x, y) mà tại đó hệ thống chuyển thành sự bình đẳng thực sự hoặc thiết lập điều đó giá trị phù hợp x và y không tồn tại.
Một cặp giá trị (x, y), được viết dưới dạng tọa độ của một điểm, được gọi là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
Nếu các hệ thống có một nghiệm chung hoặc không tồn tại nghiệm nào thì chúng được gọi là tương đương.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ có vế phải bằng 0. Nếu phần bên phải sau dấu bằng có giá trị hoặc được biểu thị bằng hàm thì hệ thống đó không đồng nhất.
Số lượng biến có thể nhiều hơn hai, khi đó chúng ta nên nói về một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính có ba biến trở lên.
Khi đối mặt với các hệ thống, học sinh cho rằng số lượng phương trình nhất thiết phải trùng với số lượng ẩn số, nhưng thực tế không phải vậy. Số lượng phương trình trong hệ thống không phụ thuộc vào các biến; có thể có nhiều phương trình như mong muốn.
Các phương pháp đơn giản và phức tạp để giải hệ phương trình
Không có điểm chung phương pháp phân tích giải pháp cho các hệ thống như vậy, tất cả các phương pháp đều dựa trên lời giải số. TRONG khóa học toán học, các phương pháp như hoán vị, cộng đại số, thay thế, cũng như đồ họa và phương pháp ma trận, giải bằng phương pháp Gaussian.
Nhiệm vụ chính khi dạy phương pháp giải là dạy cách phân tích chính xác hệ thống và tìm ra thuật toán giải tối ưu cho từng ví dụ. Điều chính không phải là ghi nhớ hệ thống các quy tắc và hành động cho từng phương pháp, mà là hiểu các nguyên tắc sử dụng một phương pháp cụ thể
Giải các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính chương trình lớp 7 trường trung học khá đơn giản và được giải thích rất chi tiết. Trong bất kỳ sách giáo khoa toán học nào, phần này đều được quan tâm đầy đủ. Việc giải các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss và Cramer được nghiên cứu chi tiết hơn trong những năm đầu học đại học.
Giải hệ bằng phương pháp thay thế
Các hành động của phương pháp thay thế nhằm mục đích biểu thị giá trị của một biến theo biến thứ hai. Biểu thức được thay thế vào phương trình còn lại, sau đó nó được rút gọn về dạng có một biến. Hành động được lặp lại tùy thuộc vào số lượng ẩn số trong hệ thống
Chúng ta hãy đưa ra lời giải cho một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính lớp 7 bằng phương pháp thay thế:
Như có thể thấy từ ví dụ, biến x được biểu thị thông qua F(X) = 7 + Y. Biểu thức thu được, được thế vào phương trình thứ 2 của hệ thay cho X, giúp thu được một biến Y trong phương trình thứ 2 . Giải pháp ví dụ này không gây khó khăn và cho phép bạn lấy giá trị Y. Bước cuối cùng là kiểm tra các giá trị thu được.
Không phải lúc nào cũng có thể giải một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng cách thay thế. Các phương trình có thể phức tạp và việc biểu diễn biến theo ẩn số thứ hai sẽ quá phức tạp để tính toán thêm. Khi có nhiều hơn 3 ẩn số trong hệ thống, việc giải bằng thay thế cũng không phù hợp.
Giải một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính không đồng nhất:
Giải bằng phép cộng đại số
Khi tìm nghiệm của hệ thống bằng phương pháp cộng, họ thực hiện phép cộng và nhân từng số hạng của phương trình bằng cách số khác nhau. Mục tiêu cuối cùng phép toán là phương trình một biến.
Dành cho ứng dụng phương pháp này cần thực hành và quan sát. Việc giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp cộng khi có 3 biến trở lên là điều không hề dễ dàng. Phép cộng đại số rất thuận tiện khi sử dụng khi phương trình chứa phân số và số thập phân.
Thuật toán giải:
- Nhân cả hai vế của phương trình với một số nhất định. Kết quả là hành động số học một trong các hệ số của biến phải bằng 1.
- Thêm thuật ngữ biểu thức kết quả theo thuật ngữ và tìm một trong những ẩn số.
- Thay giá trị kết quả vào phương trình thứ 2 của hệ thống để tìm biến còn lại.
Phương pháp giải bằng cách đưa ra một biến mới
Một biến mới có thể được đưa vào nếu hệ thống yêu cầu tìm nghiệm cho không quá hai phương trình; số ẩn số cũng không quá hai.
Phương pháp này được sử dụng để đơn giản hóa một trong các phương trình bằng cách đưa vào một biến mới. Phương trình mới được giải cho ẩn số được đưa vào và giá trị kết quả được sử dụng để xác định biến ban đầu.
Ví dụ cho thấy rằng bằng cách đưa vào một biến t mới, có thể rút gọn phương trình 1 của hệ về phương trình chuẩn tam thức bậc hai. Bạn có thể giải một đa thức bằng cách tìm phân biệt.
Cần tìm giá trị phân biệt bằng cách công thức nổi tiếng: D = b2 - 4*a*c, trong đó D là phân biệt mong muốn, b, a, c là các thừa số của đa thức. TRONG ví dụ đã cho a=1, b=16, c=39, do đó D=100. Nếu biệt thức lớn hơn 0 thì có hai nghiệm: t = -b±√D / 2*a, nếu biệt thức nhỏ hơn 0 thì có một nghiệm: x = -b / 2*a.
Lời giải của hệ thu được được tìm bằng phương pháp cộng.
Phương pháp trực quan để giải hệ thống
Thích hợp cho 3 hệ phương trình. Phương pháp này là xây dựng trên trục tọa độđồ thị của từng phương trình có trong hệ thống. Tọa độ các giao điểm của đường cong và sẽ là quyết định chung hệ thống.
Phương pháp đồ họa có một số sắc thái. Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính một cách trực quan.
Như có thể thấy từ ví dụ, đối với mỗi dòng, hai điểm được dựng lên, các giá trị của biến x được chọn tùy ý: 0 và 3. Dựa trên các giá trị của x, các giá trị của y đã được tìm thấy: 3 và 0. Các điểm có tọa độ (0, 3) và (3, 0) được đánh dấu trên biểu đồ và được nối bằng một đường thẳng.
Các bước phải được lặp lại cho phương trình thứ hai. Giao điểm của các đường thẳng là nghiệm của hệ.
Ví dụ sau yêu cầu tìm giải pháp đồ họa hệ phương trình tuyến tính: 0,5x-y+2=0 và 0,5x-y-1=0.
Như có thể thấy từ ví dụ, hệ thống không có nghiệm vì các đồ thị song song và không giao nhau dọc theo toàn bộ chiều dài của chúng.
Các hệ thống từ ví dụ 2 và 3 tương tự nhau, nhưng khi xây dựng thì rõ ràng là nghiệm của chúng khác nhau. Cần nhớ rằng không phải lúc nào cũng có thể nói được một hệ có nghiệm hay không; việc xây dựng đồ thị luôn là điều cần thiết.
Ma trận và các loại của nó
Ma trận được sử dụng để viết chính xác một hệ phương trình tuyến tính. Ma trận là một bảng loại đặc biệt chứa đầy những con số. n*m có n - hàng và m - cột.
Một ma trận là hình vuông khi số cột và số hàng bằng nhau. Vectơ ma trận là ma trận một cột có vô hạn số có thể dòng. Một ma trận có các ma trận dọc theo một trong các đường chéo và các phần tử bằng 0 khác được gọi là đồng nhất thức.
Ma trận nghịch đảo là ma trận, khi nhân với ma trận ban đầu sẽ biến thành ma trận đơn vị; ma trận như vậy chỉ tồn tại đối với ma trận vuông ban đầu.
Quy tắc chuyển hệ phương trình thành ma trận
Trong hệ phương trình, các hệ số và số hạng tự do của phương trình được viết dưới dạng số ma trận; một phương trình là một hàng của ma trận.
Một hàng của ma trận được gọi là khác 0 nếu có ít nhất một phần tử của hàng đó không phải là bằng 0. Do đó, nếu trong bất kỳ phương trình nào có số lượng biến khác nhau thì cần phải nhập số 0 thay cho ẩn số còn thiếu.
Các cột ma trận phải tương ứng chặt chẽ với các biến. Điều này có nghĩa là các hệ số của biến x chỉ có thể được viết trong một cột, ví dụ như cột đầu tiên, hệ số của ẩn số y - chỉ trong cột thứ hai.
Khi nhân một ma trận, tất cả các phần tử của ma trận đều được nhân tuần tự với một số.
Tùy chọn tìm ma trận nghịch đảo
Công thức tìm ma trận nghịch đảo khá đơn giản: K -1 = 1 / |K|, trong đó K -1 - ma trận nghịch đảo, và |K| là định thức của ma trận. |K| không bằng 0 thì hệ có nghiệm.
Định thức được tính dễ dàng cho ma trận hai nhân hai; bạn chỉ cần nhân các phần tử đường chéo với nhau. Đối với tùy chọn “ba nhân ba”, có một công thức |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Bạn có thể sử dụng công thức hoặc có thể nhớ là cần lấy một phần tử ở mỗi hàng, mỗi cột để số cột, số hàng của phần tử không bị lặp lại trong tác phẩm.
Giải ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận
Phương pháp ma trận tìm lời giải cho phép bạn giảm bớt các mục nhập rườm rà khi giải các hệ thống có một số lượng lớn các biến và phương trình.
Trong ví dụ, nm là các hệ số của phương trình, ma trận là vectơ x n là các biến và b n là các số hạng tự do.
Giải hệ phương trình Gaussian
TRONG toán cao hơn Phương pháp Gaussian được nghiên cứu cùng với phương pháp Cramer và quá trình tìm nghiệm của hệ thống được gọi là phương pháp giải Gauss-Cramer. Các phương pháp này được sử dụng để tìm hệ thống biến với một số lượng lớn các phương trình tuyến tính.
Phương pháp của Gauss rất giống với các giải pháp sử dụng phép thay thế và phép cộng đại số nhưng có tính hệ thống hơn. Trong môn học, việc giải bằng phương pháp Gaussian được sử dụng cho hệ phương trình 3 và 4. Mục đích của phương pháp này là đưa hệ về dạng hình thang ngược. Qua các phép biến đổi đại số và thay thế, giá trị của một biến được tìm thấy trong một trong các phương trình của hệ thống. Phương trình thứ hai là một biểu thức có 2 ẩn số, trong khi 3 và 4 lần lượt có 3 và 4 biến.
Sau khi đưa hệ thống về dạng mô tả, giải pháp tiếp theo được rút gọn thành việc thay thế tuần tự các biến đã biết vào các phương trình của hệ thống.
TRONG sách giáo khoa trường họcđối với lớp 7, một ví dụ về giải theo phương pháp Gaussian được mô tả như sau:
Như có thể thấy từ ví dụ, ở bước (3) có hai phương trình thu được: 3x 3 -2x 4 =11 và 3x 3 +2x 4 =7. Việc giải bất kỳ phương trình nào sẽ cho phép bạn tìm ra một trong các biến x n.
Định lý 5, được đề cập trong văn bản, phát biểu rằng nếu một trong các phương trình của hệ được thay thế bằng một phương trình tương đương thì hệ thu được cũng sẽ tương đương với hệ ban đầu.
Phương pháp Gaussian khó hiểu đối với học sinh trường trung học, nhưng là một trong những những cách thú vị phát triển sự khéo léo của trẻ học theo chương trình nghiên cứu chuyên sâu trong các giờ học toán và vật lý.
Để dễ ghi chép, việc tính toán thường được thực hiện như sau:
Các hệ số của phương trình và số hạng tự do được viết dưới dạng ma trận, trong đó mỗi hàng của ma trận tương ứng với một trong các phương trình của hệ. tách ra bên trái các phương trình từ bên phải. Chữ số La Mã biểu thị số lượng phương trình trong hệ thống.
Đầu tiên, viết ra ma trận cần làm việc, sau đó tất cả các hành động được thực hiện với một trong các hàng. Ma trận kết quả được viết sau dấu “mũi tên” và tiếp tục thực hiện các phép tính cần thiết phép toán đại số cho đến khi đạt được kết quả.
Kết quả phải là một ma trận trong đó một trong các đường chéo bằng 1 và tất cả các hệ số khác bằng 0, nghĩa là ma trận được rút gọn về dạng đơn vị. Chúng ta không được quên thực hiện các phép tính với các số ở cả hai vế của phương trình.
Phương pháp ghi này ít rườm rà hơn và cho phép bạn không bị phân tâm khi liệt kê nhiều ẩn số.
Việc sử dụng miễn phí bất kỳ phương pháp giải pháp nào cũng cần có sự cẩn thận và một số kinh nghiệm. Không phải tất cả các phương pháp đều có tính chất ứng dụng. Một số phương pháp tìm giải pháp được ưa chuộng hơn trong một lĩnh vực hoạt động cụ thể của con người, trong khi những phương pháp khác tồn tại vì mục đích giáo dục.
Trường hợp số phương trình tôi nhiều biến hơn N, bằng cách loại bỏ tuần tự các ẩn số khỏi phương trình dẫn đến trường hợp tôi= N hoặc tôi N.
Trường hợp đầu tiên đã được thảo luận trước đó. tôi N Trong trường hợp thứ hai, khi số phương trình nhỏ hơn số ẩn số tôi và các phương trình độc lập, nổi bật biến chính N- tôi)Và ( . Các biến chính là những biến thỏa mãn điều kiện: định thức, được tạo thành từ các hệ số của các biến này, không bằng 0. Những cái chính có thể là các nhóm biến khác nhau. Tổng số nhóm như vậy N bằng số cách kết hợp của N các yếu tố bởi tôi:
Nếu một hệ thống có ít nhất một nhóm biến cơ bản thì hệ thống này là không chắc chắn , tức là nó có nhiều nghiệm.
Nếu hệ thống không có một nhóm biến cơ bản thì hệ thống không khớp , tức là nó không có một nghiệm duy nhất.
Trong trường hợp hệ có nhiều nghiệm thì trong đó có một nghiệm cơ bản.
Giải pháp cơ bản
là nghiệm trong đó các biến phụ bằng 0. Hệ thống không có nhiều hơn 
các giải pháp cơ bản.
Giải pháp hệ thống được chia thành chấp nhận được Và không thể chấp nhận được .
Có thể chấp nhận được Đây là những giải pháp trong đó giá trị của tất cả các biến đều không âm.
Nếu có ít nhất một giá trị của biến âm thì nghiệm được gọi là không thể chấp nhận được .
Ví dụ 4.5
Tìm nghiệm cơ bản của hệ phương trình
Hãy tìm số nghiệm cơ bản
.
Vì vậy, trong số rất nhiều giải pháp của hệ thống, không có nhiều hơn ba giải pháp cơ bản. Chúng ta hãy nêu bật hai biến chính trong số ba biến đó. Hãy giả sử nó là X 1 và X 2. Hãy kiểm tra định thức từ các hệ số của chúng
.
Vì định thức này không bằng 0 nên các biến X 1 ,X 2 là những cái chính.
Bây giờ hãy giả sử rằng X 3 = 0. Khi đó ta thu được hệ có dạng
Hãy giải quyết nó bằng công thức Cramer:
,
.
Vậy nghiệm cơ bản thứ nhất có dạng
X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0 .
Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra xem các biến có thuộc về biến chính hay không X 1 và X 3 .
.
Chúng tôi hiểu điều đó X 1 và X 3 - nhóm biến chính thứ hai. Hãy đặt X 2 = 0 và giải hệ
,
.
Giải pháp cơ bản thứ hai có dạng
X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0.
Bây giờ hãy kiểm tra xem các biến có thuộc về biến chính không X 2 và X 3 .
tức là các biến X 2 và X 3 trẻ vị thành niên. Vì vậy, hệ thống này có tổng cộng hai giải pháp cơ bản. Cả hai giải pháp này đều được chấp nhận.
Điều kiện tương thích của hệ gồm m phương trình tuyến tính với n biến được đưa ra bằng cách sử dụng khái niệm hạng ma trận.
Xếp hạng ma trận – đây là số bằng cấp cao nhất của số thứ khác 0.
Đối với ma trận A
người vị thành niên k -thứ tự đóng vai trò là yếu tố quyết định bao gồm các phần tử của bất kỳ k dòng và k cột.
Ví dụ,
Ví dụ 2
Tìm hạng của ma trận
Hãy tính định thức của ma trận
Để làm điều này, nhân dòng đầu tiên với (-4) và cộng với dòng thứ hai, sau đó nhân dòng đầu tiên với (-7) và cộng với dòng thứ ba, được kết quả là định thức
Bởi vì các hàng của định thức thu được tỷ lệ thuận với nhau, khi đó 
.
Từ đó chúng ta có thể thấy rằng bậc 3 nhỏ bằng 0 và bậc 2 nhỏ không bằng 0.
Do đó, hạng của ma trận là r=2.
Ma trận mở rộng hệ thống có dạng
Định lý Kronecker-Capelli
Để hệ thống tuyến tính nhất quán thì hạng của ma trận mở rộng phải bằng hạng của ma trận chính 
.
Nếu như 
,
thì hệ thống không nhất quán.
Đối với một hệ phương trình tuyến tính đồng thời, có thể xảy ra ba trường hợp:
1) Nếu 
, thì hệ LU có (m-r) phương trình phụ thuộc tuyến tính nên có thể loại chúng ra khỏi hệ;
2) Nếu 
, thì hệ LU có nghiệm duy nhất;
3) Nếu 
, thì hệ LU có nhiều giải pháp