Chuyên đề 2. HỆ THỐNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH.
Các khái niệm cơ bản.
Định nghĩa 1. Hệ thống tôi phương trình tuyến tính với Nẩn số là một hệ có dạng:
ở đâu và là những con số.
Định nghĩa 2. Nghiệm của hệ (I) là một tập ẩn trong đó mỗi phương trình của hệ này trở thành một đồng nhất thức.
Định nghĩa 3. Hệ (I) được gọi là chung, nếu nó có ít nhất một nghiệm và không khớp, nếu nó không có giải pháp. Hệ thống khớp được gọi là chắc chắn, nếu nó có nghiệm duy nhất và không chắc chắn nếu không thì.
Định nghĩa 4. Phương trình của dạng
gọi điện không, và phương trình có dạng
gọi điện không tương thích. Rõ ràng, một hệ phương trình chứa một phương trình không tương thích là không nhất quán.
Định nghĩa 5. Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương, nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ khác và ngược lại, mọi nghiệm của hệ thứ hai đều là nghiệm của hệ thứ nhất.
Biểu diễn ma trận của một hệ phương trình tuyến tính.
Chúng ta hãy xem xét hệ thống (I) (xem §1).
Hãy biểu thị:
Ma trận hệ số cho ẩn số
Ma trận - cột thuật ngữ miễn phí
Ma trận – cột ẩn số
.
Định nghĩa 1. Ma trận được gọi là ma trận chính của hệ thống(I), còn ma trận là ma trận mở rộng của hệ (I).
Theo định nghĩa đẳng thức của ma trận, hệ (I) tương ứng với đẳng thức của ma trận:
.
Vế phải của đẳng thức này theo định nghĩa của tích các ma trận ( xem định nghĩa 3 § 5 chương 1) có thể được phân tích thành nhân tử:
, tức là
Bình đẳng (2) gọi điện ký hiệu ma trận của hệ (I).
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer.
Hãy để trong hệ thống (I) (xem §1) m=n, tức là số phương trình bằng số ẩn số và ma trận chính của hệ thống không phải là số ít, tức là . Khi đó hệ (I) từ §1 có nghiệm duy nhất
ở đâu = det A gọi là chính yếu tố quyết định của hệ thống(Tôi), Δ Tôiđược lấy từ định thức Δ bằng cách thay thế Tôi cột thứ thành cột thành viên tự do của hệ thống (I).
Ví dụ: Giải hệ bằng phương pháp Cramer:
.
Bằng công thức (3)
.
Chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định của hệ thống:
,
,
.
Để thu được định thức, chúng ta đã thay thế cột đầu tiên trong định thức bằng cột chứa các số hạng tự do; thay cột thứ 2 trong định thức bằng cột chứa số hạng tự do, ta được ; theo cách tương tự, thay cột thứ 3 trong định thức bằng cột chứa các số hạng tự do, ta được . Giải pháp hệ thống:
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận nghịch đảo.
Hãy để trong hệ thống (I) (xem §1) m=n và ma trận chính của hệ thống là không số ít. Hãy viết hệ (I) dưới dạng ma trận ( xem §2):
bởi vì ma trận MỘT không số ít thì nó có ma trận nghịch đảo ( xem Định lý 1 §6 của Chương 1). Hãy nhân cả hai vế của đẳng thức (2) vào ma trận thì
Theo định nghĩa ma trận nghịch đảo. Từ sự bình đẳng (3) chúng tôi có
Giải hệ bằng ma trận nghịch đảo
.
Hãy biểu thị
Trong ví dụ (§ 3) chúng ta đã tính định thức, do đó, ma trận MỘT có ma trận nghịch đảo. Sau đó có hiệu lực (4) , tức là
. (5)
Hãy tìm ma trận ( xem §6 chương 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Phương pháp Gauss.
Cho hệ phương trình tuyến tính:
. (TÔI)
Cần phải tìm tất cả các nghiệm của hệ (I) hoặc đảm bảo rằng hệ thống không nhất quán.
Định nghĩa 1.Ta gọi phép biến đổi cơ bản của hệ(I) bất kỳ hành động nào trong ba hành động:
1) gạch bỏ phương trình 0;
2) cộng vào cả hai vế của phương trình những phần tương ứng của phương trình khác, nhân với số l;
3) hoán đổi các số hạng trong các phương trình của hệ sao cho các ẩn số có cùng số trong tất cả các phương trình đều chiếm cùng một vị trí, tức là Ví dụ, nếu trong phương trình thứ nhất, chúng ta thay đổi số hạng thứ 2 và thứ 3, thì tất cả các phương trình của hệ cũng phải làm như vậy.
Phương pháp Gauss bao gồm thực tế là hệ thống (I) với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản được rút gọn thành một hệ thống tương đương, giải pháp của hệ thống này được tìm thấy trực tiếp hoặc tính không thể giải quyết được của nó được thiết lập.
Như được mô tả trong §2, hệ thống (I) được xác định duy nhất bởi ma trận mở rộng của nó và bất kỳ phép biến đổi cơ bản nào của hệ thống (I) đều tương ứng với một phép biến đổi cơ bản của ma trận mở rộng:
.
Phép biến đổi 1) tương ứng với việc xóa hàng 0 trong ma trận, phép biến đổi 2) tương đương với việc thêm một hàng khác vào hàng tương ứng của ma trận, nhân với số l, phép biến đổi 3) tương đương với việc sắp xếp lại các cột trong ma trận.
Dễ dàng thấy rằng, ngược lại, mỗi phép biến đổi cơ bản của ma trận tương ứng với một phép biến đổi cơ bản của hệ (I). Do đó, thay vì thao tác với hệ (I) ta sẽ làm việc với ma trận mở rộng của hệ này.
Trong ma trận, cột thứ 1 gồm các hệ số cho x 1, cột thứ 2 - từ các hệ số cho x 2 vân vân. Nếu các cột được sắp xếp lại, cần lưu ý rằng điều kiện này đã bị vi phạm. Ví dụ: nếu chúng ta đổi chỗ cột thứ 1 và cột thứ 2 thì bây giờ cột thứ 1 sẽ chứa các hệ số của x 2 và ở cột thứ 2 - các hệ số của x 1.
Chúng ta sẽ giải hệ (I) bằng phương pháp Gaussian.
1. Gạch bỏ tất cả các hàng 0 trong ma trận, nếu có (tức là gạch bỏ tất cả các phương trình 0 trong hệ (I).
2. Hãy kiểm tra xem trong số các hàng của ma trận có hàng nào trong đó tất cả các phần tử ngoại trừ phần tử cuối cùng đều bằng 0 hay không (hãy gọi một hàng như vậy là không nhất quán). Rõ ràng, đường thẳng như vậy tương ứng với một phương trình không nhất quán trong hệ (I), do đó, hệ (I) không có nghiệm và đây là lúc quá trình kết thúc.
3. Cho ma trận không chứa các hàng mâu thuẫn (hệ (I) không chứa các phương trình mâu thuẫn). Nếu như một 11 = 0, thì chúng ta tìm ở hàng đầu tiên một số phần tử (ngoại trừ phần tử cuối cùng) khác 0 và sắp xếp lại các cột sao cho ở hàng đầu tiên không có số 0 ở vị trí đầu tiên. Bây giờ chúng ta sẽ giả sử rằng (tức là chúng ta sẽ hoán đổi các số hạng tương ứng trong các phương trình của hệ (I)).
4. Nhân dòng đầu tiên với dòng thứ 2 rồi cộng kết quả với dòng thứ 2, sau đó nhân dòng thứ nhất với dòng thứ 3, v.v. Rõ ràng, quá trình này tương đương với việc loại bỏ những thông tin chưa biết. x 1 từ tất cả các phương trình của hệ (I), ngoại trừ phương trình thứ nhất. Trong ma trận mới, chúng ta nhận được các số 0 ở cột đầu tiên bên dưới phần tử số 11:
.
5. Hãy gạch bỏ tất cả các hàng 0 trong ma trận, nếu có và kiểm tra xem có hàng nào không nhất quán hay không (nếu có một hàng thì hệ thống không nhất quán và giải pháp kết thúc ở đó). Hãy kiểm tra xem liệu sẽ có a 22 / = 0, nếu có thì chúng ta tìm ở hàng thứ 2 một phần tử khác 0 và sắp xếp lại các cột sao cho . Tiếp theo, nhân các phần tử ở hàng thứ 2 với 
và cộng với các phần tử tương ứng của dòng thứ 3, sau đó - các phần tử của dòng thứ 2 và cộng với các phần tử tương ứng của dòng thứ 4, v.v., cho đến khi chúng ta nhận được số 0 bên dưới một ngày 22/
.
Các hành động được thực hiện tương đương với việc loại bỏ những điều chưa biết x 2 từ tất cả các phương trình của hệ (I), ngoại trừ phương trình thứ nhất và thứ hai. Vì số lượng hàng là hữu hạn, do đó, sau một số bước hữu hạn, chúng ta nhận được rằng hệ thống không nhất quán hoặc chúng ta kết thúc với một ma trận bước ( xem định nghĩa 2 §7 chương 1) :
,
Hãy viết hệ phương trình tương ứng với ma trận. Hệ này tương đương với hệ (I)
.
Từ phương trình cuối cùng chúng ta biểu diễn; thay thế vào phương trình trước đó, tìm, v.v., cho đến khi chúng ta nhận được .
Lưu ý 1. Như vậy, khi giải hệ (I) bằng phương pháp Gaussian, ta gặp một trong các trường hợp sau.
1. Hệ thống (I) không nhất quán.
2. Hệ (I) có nghiệm duy nhất nếu số hàng trong ma trận bằng số ẩn ().
3. Hệ (I) có vô số nghiệm nếu số hàng trong ma trận nhỏ hơn số ẩn ().
Do đó định lý sau đây đúng.
Định lý. Một hệ phương trình tuyến tính không nhất quán, có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm.
Ví dụ. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss hoặc chứng minh tính không nhất quán của nó:
b) 
;
a) Viết lại hệ đã cho dưới dạng:
.
Chúng tôi đã hoán đổi phương trình thứ 1 và thứ 2 của hệ ban đầu để đơn giản hóa việc tính toán (thay vì phân số, chúng tôi sẽ chỉ thao tác với các số nguyên sử dụng cách sắp xếp lại này).
Hãy tạo một ma trận mở rộng:
.
Không có dòng null; không có dòng nào không tương thích, ; Hãy loại trừ ẩn số thứ nhất khỏi tất cả các phương trình của hệ ngoại trừ phương trình thứ nhất. Để làm điều này, nhân các phần tử của hàng thứ 1 của ma trận với “-2” và cộng chúng với các phần tử tương ứng của hàng thứ 2, tương đương với việc nhân phương trình thứ 1 với “-2” và cộng với phương trình thứ 2 phương trình. Sau đó, chúng ta nhân các phần tử của dòng thứ 1 với “-3” và cộng chúng với các phần tử tương ứng của dòng thứ ba, tức là. nhân phương trình thứ 2 của hệ đã cho với “-3” rồi cộng nó vào phương trình thứ 3. chúng tôi nhận được
.
Ma trận tương ứng với một hệ phương trình). - (xem định nghĩa 3§7 của Chương 1).
Các phương trình nói chung, phương trình đại số tuyến tính và hệ thống của chúng, cũng như các phương pháp giải chúng, chiếm một vị trí đặc biệt trong toán học, cả về lý thuyết và ứng dụng.
Điều này là do thực tế là phần lớn các vấn đề vật lý, kinh tế, kỹ thuật và thậm chí cả sư phạm có thể được mô tả và giải bằng nhiều phương trình và hệ thống của chúng. Gần đây, mô hình toán học đã trở nên phổ biến đặc biệt trong các nhà nghiên cứu, nhà khoa học và người thực hành ở hầu hết các lĩnh vực chủ đề, điều này được giải thích bởi những ưu điểm rõ ràng của nó so với các phương pháp nổi tiếng và đã được chứng minh khác để nghiên cứu các đối tượng có tính chất khác nhau, đặc biệt là cái gọi là phương pháp phức tạp. hệ thống. Có rất nhiều định nghĩa khác nhau về một mô hình toán học được các nhà khoa học đưa ra ở những thời điểm khác nhau, nhưng theo chúng tôi, thành công nhất là phát biểu sau đây. Một mô hình toán học là một ý tưởng được thể hiện bằng một phương trình. Vì vậy, khả năng soạn và giải các phương trình cũng như hệ thống của chúng là một đặc điểm không thể thiếu của một chuyên gia hiện đại.
Để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính, các phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là Cramer, Jordan-Gauss và phương pháp ma trận.
Phương pháp giải ma trận là phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính với định thức khác 0 bằng ma trận nghịch đảo.
Nếu chúng ta viết các hệ số của đại lượng chưa biết xi vào ma trận A, thu thập các đại lượng chưa biết vào cột vectơ X và các số hạng tự do vào cột vectơ B, thì hệ phương trình đại số tuyến tính có thể được viết dưới dạng sau phương trình ma trận A · X = B, phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận A không bằng 0. Trong trường hợp này, nghiệm của hệ phương trình có thể được tìm theo cách sau X = MỘT-1 · B, Ở đâu MỘT-1 là ma trận nghịch đảo.
Phương pháp giải ma trận như sau.
Cho ta một hệ phương trình tuyến tính với N chưa biết:
Nó có thể được viết lại dưới dạng ma trận: Rìu = B, Ở đâu MỘT- ma trận chính của hệ thống, B Và X- Các cột thuật ngữ tự do và giải pháp của hệ thống lần lượt là:
Hãy nhân phương trình ma trận này từ bên trái với MỘT-1 - ma trận nghịch đảo của ma trận MỘT: MỘT -1 (Rìu) = MỘT -1 B
Bởi vì MỘT -1 MỘT = E, chúng tôi nhận được X= A -1 B. Vế phải của phương trình này sẽ cho cột nghiệm của hệ ban đầu. Điều kiện để áp dụng được phương pháp này (cũng như sự tồn tại tổng quát của nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không đồng nhất với số phương trình bằng số ẩn số) là tính không suy biến của ma trận MỘT. Điều kiện cần và đủ cho việc này là định thức của ma trận không bằng 0 MỘT:det MỘT≠ 0.
Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nghĩa là khi vectơ B = 0 , thực ra quy luật ngược lại: hệ thống Rìu = 0 có nghiệm không tầm thường (nghĩa là khác 0) chỉ khi det MỘT= 0. Mối liên hệ như vậy giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính đồng nhất và không đồng nhất được gọi là phương án Fredholm.
Ví dụ nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính không đồng nhất.
Chúng ta hãy đảm bảo rằng định thức của ma trận, bao gồm các hệ số của ẩn số của hệ phương trình đại số tuyến tính, không bằng 0.
Bước tiếp theo là tính phần bù đại số cho các phần tử của ma trận gồm các hệ số của ẩn số. Chúng sẽ cần thiết để tìm ma trận nghịch đảo.
Phương pháp ma trận giải pháp SLAUáp dụng để giải các hệ phương trình trong đó số phương trình tương ứng với số ẩn. Phương pháp này được sử dụng tốt nhất để giải các hệ thống bậc thấp. Phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính dựa trên việc áp dụng tính chất của phép nhân ma trận.
Nói cách khác, phương pháp này phương pháp ma trận nghịch đảo, gọi như vậy vì nghiệm rút gọn thành một phương trình ma trận thông thường, để giải phương trình đó bạn cần tìm ma trận nghịch đảo.
Phương pháp giải ma trận SLAE có định thức lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0 như sau:
Giả sử có một SLE (hệ phương trình tuyến tính) với N không xác định (trên một trường tùy ý):
Điều này có nghĩa là nó có thể dễ dàng chuyển đổi thành dạng ma trận:
AX=B, Ở đâu MỘT- ma trận chính của hệ thống, B Và X- các cột thuật ngữ tự do và giải pháp của hệ thống, tương ứng:
Hãy nhân phương trình ma trận này từ bên trái với A−1— ma trận nghịch đảo với ma trận A: A −1 (AX)=A −1 B.
Bởi vì A −1 A=E, Có nghĩa, X=A −1 B. Vế phải của phương trình là cột nghiệm của hệ ban đầu. Điều kiện để áp dụng được phương pháp ma trận là tính không suy biến của ma trận MỘT. Điều kiện cần và đủ cho việc này là định thức của ma trận không bằng 0 MỘT:
detA≠0.
Vì hệ phương trình tuyến tính đồng nhất, tức là nếu vectơ B=0, quy luật ngược lại xảy ra: hệ thống AX=0 chỉ có một giải pháp không tầm thường (tức là không bằng 0) khi detA=0. Mối liên hệ giữa nghiệm của hệ đồng nhất và không đồng nhất của phương trình tuyến tính được gọi là Fredholm thay thế.
Như vậy, việc giải SLAE bằng phương pháp ma trận được thực hiện theo công thức 
. Hoặc, giải pháp cho SLAE được tìm thấy bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo A−1.
Đã biết rằng đối với ma trận vuông MỘTđặt hàng N TRÊN N có một ma trận nghịch đảo A−1 chỉ khi định thức của nó khác 0. Như vậy, hệ thống N phương trình đại số tuyến tính với N Chúng ta chỉ giải các ẩn số bằng phương pháp ma trận nếu định thức của ma trận chính của hệ không bằng 0.
Mặc dù thực tế là có những hạn chế về khả năng áp dụng phương pháp này và những khó khăn khi tính toán các giá trị lớn của các hệ số và hệ bậc cao, phương pháp này có thể được thực hiện dễ dàng trên máy tính.
Một ví dụ về giải SLAE không đồng nhất.
Trước tiên, hãy kiểm tra xem định thức của ma trận hệ số của các SLAE chưa biết có bằng 0 hay không.
Bây giờ chúng tôi tìm thấy ma trận hợp, hoán vị và thay thế vào công thức để xác định ma trận nghịch đảo.
Thay các biến vào công thức:
Bây giờ chúng ta tìm ẩn số bằng cách nhân ma trận nghịch đảo và cột số hạng tự do.
Vì thế, x=2; y=1; z=4.
Khi chuyển từ dạng SLAE thông thường sang dạng ma trận, hãy cẩn thận với thứ tự của các biến chưa biết trong các phương trình của hệ. Ví dụ:
KHÔNG THỂ viết là:
Trước tiên, cần sắp xếp thứ tự các biến chưa biết trong mỗi phương trình của hệ và chỉ sau đó mới tiến hành ký hiệu ma trận:
Ngoài ra, bạn cần cẩn thận với việc chỉ định các biến chưa biết, thay vào đó x 1, x 2 , …, xn có thể có những chữ cái khác. Ví dụ:
ở dạng ma trận chúng ta viết nó như thế này:
Phương pháp ma trận tốt hơn cho việc giải các hệ phương trình tuyến tính trong đó số phương trình trùng với số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ không bằng 0. Khi có nhiều hơn 3 phương trình trong một hệ, việc tìm ma trận nghịch đảo sẽ đòi hỏi nhiều nỗ lực tính toán hơn, do đó, trong trường hợp này nên sử dụng phương pháp Gaussian để giải.
Trong phần đầu tiên, chúng ta đã xem xét một số tài liệu lý thuyết, phương pháp thay thế, cũng như phương pháp cộng từng số hạng của các phương trình hệ. Tôi khuyên mọi người đã truy cập trang web thông qua trang này nên đọc phần đầu tiên. Có lẽ một số du khách sẽ thấy tài liệu quá đơn giản nhưng trong quá trình giải hệ phương trình tuyến tính, tôi đã đưa ra một số nhận xét và kết luận rất quan trọng liên quan đến việc giải các bài toán nói chung.
Bây giờ chúng ta sẽ phân tích quy tắc Cramer, cũng như giải hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận nghịch đảo (phương pháp ma trận). Tất cả các tài liệu được trình bày đơn giản, chi tiết và rõ ràng, hầu hết người đọc sẽ có thể học cách giải hệ thống bằng các phương pháp trên.
Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét kỹ hơn quy tắc Cramer cho hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn. Để làm gì? – Suy cho cùng, hệ đơn giản nhất có thể được giải bằng phương pháp trường học, phương pháp cộng từng số hạng!
Thực tế là, mặc dù đôi khi, một nhiệm vụ như vậy vẫn xảy ra - giải một hệ gồm hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số bằng cách sử dụng các công thức của Cramer. Thứ hai, một ví dụ đơn giản hơn sẽ giúp bạn hiểu cách sử dụng quy tắc Cramer cho trường hợp phức tạp hơn - một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số.
Ngoài ra, còn có các hệ phương trình tuyến tính hai biến, nên giải bằng quy tắc Cramer!
Xét hệ phương trình
Bước đầu tiên, chúng ta tính định thức, nó được gọi là yếu tố quyết định chính của hệ thống.
Phương pháp Gauss.
Nếu , thì hệ có nghiệm duy nhất và để tìm nghiệm ta phải tính thêm hai định thức:
Và
Trong thực tế, các từ hạn định trên cũng có thể được biểu thị bằng chữ cái Latinh.
Chúng ta tìm nghiệm nguyên của phương trình bằng cách sử dụng các công thức:
,
Ví dụ 7
Giải hệ phương trình tuyến tính 
Giải pháp: Ta thấy các hệ số của phương trình khá lớn; vế phải có các phân số thập phân có dấu phẩy. Dấu phẩy là một vị khách khá hiếm hoi trong các bài toán thực tế; tôi lấy hệ thống này từ một bài toán kinh tế lượng.
Làm thế nào để giải quyết một hệ thống như vậy? Bạn có thể thử biểu diễn một biến theo một biến khác, nhưng trong trường hợp này, bạn có thể sẽ nhận được những phân số lạ mắt khủng khiếp, cực kỳ bất tiện khi làm việc và thiết kế của giải pháp sẽ trông đơn giản là khủng khiếp. Bạn có thể nhân phương trình thứ hai với 6 và trừ từng số hạng, nhưng các phân số tương tự cũng sẽ xuất hiện ở đây.
Phải làm gì? Trong những trường hợp như vậy, công thức của Cramer sẽ có ích.
;
;
Trả lời: ,
Cả hai nghiệm đều có đuôi vô hạn và được tìm thấy gần đúng, điều này hoàn toàn có thể chấp nhận được (và thậm chí là phổ biến) đối với các bài toán kinh tế lượng.
Ở đây không cần bình luận vì nhiệm vụ được giải quyết bằng cách sử dụng các công thức làm sẵn, tuy nhiên, có một lưu ý. Khi sử dụng phương pháp này, bắt buộc Một đoạn của thiết kế nhiệm vụ là đoạn sau: “Điều này có nghĩa là hệ thống có một giải pháp duy nhất”. Nếu không, người đánh giá có thể trừng phạt bạn vì không tôn trọng định lý Cramer.
Sẽ không thừa khi kiểm tra, việc này có thể được thực hiện thuận tiện trên máy tính: chúng tôi thay thế các giá trị gần đúng vào vế trái của mỗi phương trình của hệ thống. Kết quả là, với một lỗi nhỏ, bạn sẽ nhận được các số ở bên phải.
Ví dụ 8
Trình bày câu trả lời dưới dạng phân số không chính xác thông thường. Hãy kiểm tra.
Đây là ví dụ để các bạn tự giải quyết (ví dụ về thiết kế cuối cùng và đáp án ở cuối bài).
Chúng ta hãy chuyển sang xét quy tắc Cramer cho hệ ba phương trình với ba ẩn số: 
Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định chính của hệ thống: 
Nếu , thì hệ có vô số nghiệm hoặc mâu thuẫn (không có nghiệm). Trong trường hợp này, quy tắc Cramer sẽ không giúp ích được gì; bạn cần sử dụng phương pháp Gauss.
Nếu , thì hệ có nghiệm duy nhất và để tìm nghiệm ta phải tính thêm ba định thức: 
, 
, 
Và cuối cùng, câu trả lời được tính bằng công thức: 
Như bạn có thể thấy, trường hợp “ba nhân ba” về cơ bản không khác biệt với trường hợp “hai nhân hai”; cột các thuật ngữ tự do tuần tự “đi” từ trái sang phải dọc theo các cột của định thức chính.
Ví dụ 9
Giải hệ bằng công thức Cramer. 
Giải pháp: Hãy giải hệ bằng công thức Cramer. 
, nghĩa là hệ có nghiệm duy nhất.
Trả lời: 
.
Trên thực tế, ở đây một lần nữa không có gì đặc biệt để bình luận, do giải pháp tuân theo các công thức làm sẵn. Nhưng có một vài ý kiến.
Điều đó xảy ra là do kết quả của các phép tính, người ta thu được các phân số "xấu" không thể tối giản, ví dụ: .
Tôi đề xuất thuật toán “điều trị” sau đây. Nếu bạn không có máy tính trong tay, hãy làm điều này:
1) Có thể có sai sót trong tính toán. Ngay khi gặp phân số “xấu”, bạn cần kiểm tra ngay Điều kiện có được viết lại chính xác không?. Nếu điều kiện được viết lại mà không có lỗi thì bạn cần tính toán lại các định thức bằng cách khai triển ở một hàng (cột) khác.
2) Nếu không phát hiện được lỗi nào trong quá trình kiểm tra thì rất có thể đã có lỗi đánh máy trong các điều kiện của tác vụ. Trong trường hợp này, hãy bình tĩnh và CẨN THẬN hoàn thành công việc đến cùng, sau đó hãy chắc chắn kiểm tra và chúng tôi viết nó lên một tờ giấy sạch sau quyết định. Tất nhiên, kiểm tra một câu trả lời dạng phân số là một công việc khó chịu, nhưng nó sẽ là một lập luận gây khó chịu cho giáo viên, người thực sự thích cho điểm trừ đối với bất kỳ câu nói nhảm nhí nào như . Cách xử lý phân số được mô tả chi tiết trong đáp án Ví dụ 8.
Nếu bạn có sẵn máy tính thì hãy sử dụng chương trình tự động để kiểm tra, chương trình này có thể tải xuống miễn phí ngay đầu bài học. Nhân tiện, sẽ có lợi nhất nếu sử dụng chương trình ngay lập tức (ngay cả trước khi bắt đầu giải pháp); bạn sẽ thấy ngay bước trung gian mà bạn đã mắc lỗi! Máy tính tương tự sẽ tự động tính toán giải pháp của hệ thống bằng phương pháp ma trận.
Nhận xét thứ hai. Đôi khi có những hệ phương trình bị thiếu một số biến, ví dụ: 
Ở đây trong phương trình đầu tiên không có biến, trong phương trình thứ hai không có biến. Trong những trường hợp như vậy, điều rất quan trọng là phải viết ra một cách chính xác và CẨN THẬN yếu tố quyết định chính: 
– số 0 được đặt ở vị trí của các biến bị thiếu.
Nhân tiện, việc mở các định thức có số 0 theo hàng (cột) chứa số 0 là hợp lý, vì có ít phép tính hơn đáng kể.
Ví dụ 10
Giải hệ bằng công thức Cramer. 
Đây là ví dụ cho một giải pháp độc lập (mẫu thiết kế cuối cùng và đáp án ở cuối bài).
Đối với trường hợp hệ 4 phương trình có 4 ẩn, các công thức Cramer được viết theo nguyên tắc tương tự. Bạn có thể xem một ví dụ trực tiếp trong bài học Thuộc tính của Định thức. Giảm bậc của định thức - năm định thức bậc 4 khá dễ giải quyết. Mặc dù nhiệm vụ này đã rất gợi nhớ đến chiếc giày của giáo sư trên ngực một sinh viên may mắn.
Giải hệ bằng ma trận nghịch đảo
Phương pháp ma trận nghịch đảo thực chất là một trường hợp đặc biệt phương trình ma trận(Xem Ví dụ số 3 của bài đã nêu).
Để nghiên cứu phần này, bạn phải có khả năng khai triển định thức, tìm nghịch đảo của ma trận và thực hiện phép nhân ma trận. Các liên kết có liên quan sẽ được cung cấp khi quá trình giải thích diễn ra.
Ví dụ 11
Giải hệ bằng phương pháp ma trận 
Giải pháp: Viết hệ dưới dạng ma trận:
, Ở đâu 
Hãy nhìn vào hệ phương trình và ma trận. Tôi nghĩ mọi người đều hiểu nguyên tắc viết các phần tử vào ma trận. Nhận xét duy nhất: nếu thiếu một số biến trong phương trình, thì các số 0 sẽ phải được đặt vào các vị trí tương ứng trong ma trận.
Chúng tôi tìm thấy ma trận nghịch đảo bằng công thức:
, trong đó là ma trận chuyển vị của phần bù đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.
Đầu tiên chúng ta xét yếu tố quyết định:
Ở đây định thức được mở rộng ở dòng đầu tiên.
Chú ý! Nếu , thì ma trận nghịch đảo không tồn tại và không thể giải hệ bằng phương pháp ma trận. Trong trường hợp này, hệ thống được giải bằng phương pháp loại bỏ ẩn số (phương pháp Gauss).
Bây giờ chúng ta cần tính 9 số lẻ và viết chúng vào ma trận số trẻ 
Thẩm quyền giải quyết: Sẽ rất hữu ích khi biết ý nghĩa của chỉ số kép trong đại số tuyến tính. Chữ số đầu tiên là số dòng chứa phần tử đó. Chữ số thứ hai là số cột chứa phần tử: 
Nghĩa là, chỉ số dưới kép cho biết phần tử nằm ở hàng đầu tiên, cột thứ ba và ví dụ: phần tử nằm ở hàng 3, cột 2
Đây là một khái niệm khái quát hóa tất cả các phép toán có thể được thực hiện với ma trận. Ma trận toán học - bảng phần tử. Về một cái bàn nơi tôi dòng và N cột thì ma trận này được gọi là có chiều tôi TRÊN N.
Cái nhìn tổng quát về ma trận:
Vì giải pháp ma trận Cần phải hiểu ma trận là gì và biết các tham số chính của nó. Các phần tử chính của ma trận:
- Đường chéo chính, bao gồm các phần tử a 11, a 22…..a mn.
- Đường chéo bên bao gồm các phần tử a 1n , a 2n-1.....a m1.
Các loại ma trận chính:
- Hình vuông là ma trận có số hàng = số cột ( m=n).
- 0 - trong đó tất cả các phần tử ma trận = 0.
- Ma trận chuyển vị - ma trận TRONG, thu được từ ma trận ban đầu MỘT bằng cách thay hàng bằng cột.
- Unity - tất cả các phần tử của đường chéo chính = 1, tất cả các phần tử khác = 0.
- Ma trận nghịch đảo là ma trận mà khi nhân với ma trận gốc sẽ thu được ma trận đẳng thức.
Ma trận có thể đối xứng qua các đường chéo chính và phụ. Nghĩa là, nếu một 12 = một 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. một m-1n = một mn-1, khi đó ma trận đối xứng qua đường chéo chính. Chỉ có ma trận vuông mới có thể đối xứng.
Các phương pháp giải ma trận.
Hầu hết mọi thứ phương pháp giải ma trận bao gồm việc tìm ra yếu tố quyết định của nó N-thứ tự và hầu hết chúng đều khá cồng kềnh. Để tìm định thức của bậc 2 và bậc 3, có những phương pháp khác hợp lý hơn.
Tìm định thức bậc 2.
Để tính định thức của ma trận MỘT Bậc 2, cần trừ tích các phần tử của đường chéo phụ với tích các phần tử của đường chéo chính:
Các phương pháp tìm định thức cấp 3.
Dưới đây là quy tắc tìm định thức bậc 3.
Quy tắc đơn giản hóa tam giác là một trong phương pháp giải ma trận, có thể được mô tả theo cách này:
Nói cách khác, tích các phần tử trong định thức thứ nhất nối nhau bằng đường thẳng được lấy dấu “+”; Ngoài ra, đối với định thức thứ 2, các tích tương ứng được lấy bằng dấu “-”, nghĩa là theo sơ đồ sau:
Tại giải ma trận bằng quy tắc Sarrus, bên phải định thức cộng 2 cột đầu tiên và tích của các phần tử tương ứng trên đường chéo chính và các đường chéo song song với nó lấy dấu “+”; và tích các phần tử tương ứng của đường chéo phụ và các đường chéo song song với nó, có dấu “-”:
Phân tách định thức thành hàng hoặc cột khi giải ma trận.
Định thức bằng tổng các tích của các phần tử trong hàng của định thức và phần bù đại số của chúng. Thông thường hàng/cột chứa số 0 sẽ được chọn. Hàng hoặc cột mà quá trình phân tách được thực hiện sẽ được biểu thị bằng một mũi tên.
Chuyển định thức về dạng tam giác khi giải ma trận.
Tại giải ma trận Phương pháp quy giản định thức về dạng tam giác, chúng hoạt động như sau: sử dụng các phép biến đổi đơn giản nhất trên hàng hoặc cột, định thức trở thành dạng tam giác và khi đó giá trị của nó, theo tính chất của định thức, sẽ bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Định lý Laplace để giải ma trận.
Khi giải ma trận bằng định lý Laplace, bạn cần phải biết chính định lý đó. Định lý Laplace: Giả sử Δ - đây là yếu tố quyết định N-thứ tự. Chúng tôi chọn bất kỳ k hàng (hoặc cột), được cung cấp k≤ n - 1. Trong trường hợp này, tổng tích của tất cả các phần tử phụ k-thứ tự chứa trong lựa chọn k các hàng (cột), bởi phần bù đại số của chúng sẽ bằng định thức.
Giải ma trận nghịch đảo.
Chuỗi hành động cho giải pháp ma trận nghịch đảo:
- Xác định xem một ma trận đã cho có phải là ma trận vuông hay không. Nếu câu trả lời là phủ định thì rõ ràng là không thể có ma trận nghịch đảo cho câu trả lời đó.
- Chúng tôi tính toán bổ sung đại số.
- Chúng tôi soạn một ma trận hợp (tương hỗ, liền kề) C.
- Chúng ta soạn ma trận nghịch đảo từ phép cộng đại số: tất cả các phần tử của ma trận liên hợp C chia cho định thức của ma trận ban đầu. Ma trận cuối cùng sẽ là ma trận nghịch đảo bắt buộc so với ma trận đã cho.
- Chúng tôi kiểm tra công việc đã hoàn thành: nhân ma trận ban đầu và ma trận kết quả, kết quả sẽ là ma trận nhận dạng.
Giải hệ ma trận.
Vì giải pháp của hệ thống ma trận Phương pháp Gaussian được sử dụng phổ biến nhất.
Phương pháp Gauss là một phương pháp tiêu chuẩn để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE) và nó bao gồm thực tế là các biến được loại bỏ một cách tuần tự, tức là với sự trợ giúp của các thay đổi cơ bản, hệ phương trình được đưa về một hệ tam giác tương đương và từ đó, tuần tự, bắt đầu từ phần sau (theo số), tìm từng phần tử của hệ thống.
Phương pháp Gauss là công cụ linh hoạt nhất và tốt nhất để tìm nghiệm ma trận. Nếu một hệ có vô số nghiệm hoặc hệ không tương thích thì không thể giải được bằng quy tắc Cramer và phương pháp ma trận.
Phương pháp Gauss cũng bao hàm các chuyển động trực tiếp (rút gọn ma trận mở rộng thành dạng từng bước, tức là thu được các số 0 dưới đường chéo chính) và chuyển động ngược lại (thu được các số 0 phía trên đường chéo chính của ma trận mở rộng). Bước tiến là phương pháp Gauss, bước lùi là phương pháp Gauss-Jordan. Phương pháp Gauss-Jordan khác với phương pháp Gauss chỉ ở trình tự loại bỏ các biến.