Cách giải các biến. Máy tính trực tuyến

Trong môn toán lớp 7, lần đầu tiên chúng ta gặp phương trình có hai biến, nhưng chúng chỉ được nghiên cứu trong bối cảnh hệ phương trình có hai ẩn số. Đó là lý do tại sao một loạt các bài toán trong đó các điều kiện nhất định được đưa vào các hệ số của phương trình để giới hạn chúng lại không được xem xét. Ngoài ra, các phương pháp giải các bài toán như “Giải phương trình bằng số tự nhiên hoặc số nguyên” cũng bị bỏ qua, mặc dù các bài toán loại này ngày càng được tìm thấy nhiều hơn trong tài liệu Kỳ thi Thống nhất và trong các kỳ thi tuyển sinh.

Phương trình nào sẽ được gọi là phương trình có hai biến?

Vì vậy, ví dụ, các phương trình 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, hoặc xy = 12 là các phương trình hai biến.

Xét phương trình 2x – y = 1. Nó trở thành đúng khi x = 2 và y = 3, vậy cặp giá trị biến này là nghiệm của phương trình đang xét.

Do đó, nghiệm của bất kỳ phương trình nào có hai biến là một tập hợp các cặp có thứ tự (x; y), giá trị của các biến biến phương trình này thành một đẳng thức số thực sự.

Một phương trình có hai ẩn số có thể:

MỘT) có một giải pháp. Ví dụ, phương trình x 2 + 5y 2 = 0 có nghiệm duy nhất (0; 0);

b) có nhiều giải pháp. Ví dụ: (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 có 4 nghiệm: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) không có giải pháp. Ví dụ: phương trình x 2 + y 2 + 1 = 0 không có nghiệm;

G) có vô số giải pháp. Ví dụ: x + y = 3. Nghiệm của phương trình này sẽ là các số có tổng bằng 3. Tập nghiệm của phương trình này có thể viết dưới dạng (k; 3 – k), trong đó k là số thực bất kỳ. con số.

Các phương pháp chính để giải phương trình hai biến là các phương pháp dựa trên biểu thức phân tích nhân tử, cô lập bình phương đầy đủ, sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai, biểu thức giới hạn và phương pháp ước lượng. Phương trình thường được chuyển đổi sang dạng mà từ đó có thể thu được hệ thống tìm các ẩn số.

Nhân tố hóa

Ví dụ 1.

Giải phương trình: xy – 2 = 2x – y.

Giải pháp.

Chúng tôi nhóm các thuật ngữ nhằm mục đích phân tích nhân tử:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Từ mỗi dấu ngoặc ta rút ra một thừa số chung:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Ta có:

y = 2, x – số thực bất kỳ hoặc x = -1, y – số thực bất kỳ.

Như vậy, câu trả lời là tất cả các cặp có dạng (x; 2), x € R và (-1; y), y € R.

Bình đẳng của các số không âm bằng 0

Ví dụ 2.

Giải phương trình: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Giải pháp.

Phân nhóm:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Bây giờ, mỗi dấu ngoặc có thể được gấp lại bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Tổng của hai biểu thức không âm chỉ bằng 0 nếu 3x – 2 = 0 và 2y – 3 = 0.

Điều này có nghĩa là x = 2/3 và y = 3/2.

Trả lời: (2/3; 3/2).

Phương pháp ước tính

Ví dụ 3.

Giải phương trình: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Giải pháp.

Trong mỗi khung, chúng tôi chọn một hình vuông hoàn chỉnh:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hãy ước tính nghĩa của các biểu thức trong ngoặc đơn.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 và (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 thì vế trái của phương trình luôn nhỏ nhất bằng 2. Có thể đẳng thức nếu:

(x + 1) 2 + 1 = 1 và (y – 2) 2 + 2 = 2, tức là x = -1, y = 2.

Trả lời: (-1; 2).

Chúng ta hãy làm quen với một phương pháp khác để giải phương trình với hai biến bậc hai. Phương pháp này bao gồm việc xử lý phương trình như bình phương đối với một biến nào đó.

Ví dụ 4.

Giải phương trình: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Giải pháp.

Giải phương trình dưới dạng phương trình bậc hai của x. Hãy tìm phân biệt:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Phương trình chỉ có nghiệm khi D = 0, tức là nếu y = 4. Ta thay giá trị của y vào phương trình ban đầu và tìm được x = 3.

Trả lời: (3; 4).

Thông thường trong các phương trình có hai ẩn số chúng chỉ ra hạn chế về các biến.

Ví dụ 5.

Giải phương trình ở dạng số nguyên: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Giải pháp.

Viết lại phương trình dưới dạng x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Vế phải của phương trình khi chia cho 5 dư 2. Do đó, x 2 không chia hết cho 5. Nhưng bình phương của a số không chia hết cho 5 thì dư 1 hoặc 4. Như vậy, đẳng thức là không thể và không có nghiệm.

Trả lời: không có rễ.

Ví dụ 6.

Giải phương trình: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Giải pháp.

Hãy đánh dấu các ô vuông hoàn chỉnh trong mỗi dấu ngoặc:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Vế trái của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng 3. Có thể đảm bảo đẳng thức |x| – 2 = 0 và y + 3 = 0. Vậy x = ± 2, y = -3.

Trả lời: (2; -3) và (-2; -3).

Ví dụ 7.

Với mọi cặp số nguyên âm (x;y) thỏa mãn phương trình
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, tính tổng (x + y). Vui lòng cho biết số tiền nhỏ nhất trong câu trả lời của bạn.

Giải pháp.

Hãy chọn các ô vuông hoàn chỉnh:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Vì x và y là số nguyên nên bình phương của chúng cũng là số nguyên. Chúng ta nhận được tổng bình phương của hai số nguyên bằng 37 nếu chúng ta cộng 1 + 36. Do đó:

(x – y) 2 = 36 và (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 và (y + 2) 2 = 36.

Giải các hệ này và xét x và y âm, ta tìm được nghiệm: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Trả lời: -17.

Đừng tuyệt vọng nếu bạn gặp khó khăn khi giải phương trình có hai ẩn số. Với một chút luyện tập, bạn có thể xử lý bất kỳ phương trình nào.

Vẫn còn thắc mắc? Bạn chưa biết cách giải phương trình hai biến?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư, hãy đăng ký.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.

Chủ thể:hàm tuyến tính

Bài học:Phương trình tuyến tính hai biến và đồ thị của nó

Chúng ta đã làm quen với các khái niệm về trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ. Chúng ta biết rằng mỗi điểm trên mặt phẳng xác định duy nhất một cặp số (x; y), với số đầu tiên là hoành độ của điểm và số thứ hai là tọa độ.

Chúng ta sẽ rất thường xuyên gặp một phương trình tuyến tính hai biến, nghiệm của phương trình này là một cặp số có thể biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Phương trình có dạng:

Trong đó a, b, c là các số và

Nó được gọi là phương trình tuyến tính với hai biến x và y. Nghiệm của phương trình như vậy sẽ là bất kỳ cặp số x và y nào, thay số đó vào phương trình, chúng ta sẽ thu được đẳng thức số chính xác.

Một cặp số sẽ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ dưới dạng một điểm.

Đối với các phương trình như vậy chúng ta sẽ thấy có nhiều nghiệm, tức là có nhiều cặp số và tất cả các điểm tương ứng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

Hãy xem một ví dụ:

Để tìm nghiệm của phương trình này cần chọn các cặp số x và y tương ứng:

Đặt , khi đó phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa ẩn số:

Tức là cặp số đầu tiên là nghiệm của một phương trình đã cho (0; 3). Chúng tôi có điểm A(0; 3)

Cho phép . Chúng ta nhận được phương trình ban đầu với một biến: , từ đây ta có điểm B(3; 0)

Hãy xếp các cặp số vào bảng:

Hãy vẽ các điểm trên đồ thị và vẽ một đường thẳng:

Lưu ý rằng bất kỳ điểm nào trên một đường thẳng nhất định sẽ là nghiệm của phương trình đã cho. Hãy kiểm tra - lấy một điểm có tọa độ và sử dụng biểu đồ để tìm tọa độ thứ hai của nó. Rõ ràng là vào thời điểm này. Hãy thay cặp số này vào phương trình. Chúng ta nhận được 0=0 - một đẳng thức số đúng, có nghĩa là một điểm nằm trên một đường thẳng là nghiệm.

Hiện tại, chúng tôi không thể chứng minh rằng bất kỳ điểm nào nằm trên đường dựng sẵn đều là nghiệm của phương trình, vì vậy chúng tôi chấp nhận điều này là đúng và sẽ chứng minh nó sau.

Ví dụ 2 - vẽ đồ thị phương trình:

Hãy lập một bảng; chúng ta chỉ cần hai điểm để dựng một đường thẳng, nhưng chúng ta sẽ lấy điểm thứ ba để kiểm soát:

Trong cột đầu tiên, chúng tôi lấy một cột thuận tiện, chúng tôi sẽ tìm thấy nó từ:

, ,

Trong cột thứ hai, chúng ta lấy một cột thuận tiện, hãy tìm x:

, , ,

Hãy kiểm tra và tìm thấy:

, ,

Hãy xây dựng một biểu đồ:

Hãy nhân phương trình đã cho với 2:

Từ phép biến đổi như vậy, tập nghiệm sẽ không thay đổi và đồ thị sẽ giữ nguyên.

Kết luận: chúng ta đã học cách giải phương trình hai biến và xây dựng đồ thị của chúng, chúng ta đã học được rằng đồ thị của phương trình đó là một đường thẳng và bất kỳ điểm nào trên đường thẳng này đều là nghiệm của phương trình

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. và những thứ khác. Đại số 7. Phiên bản thứ 6. M.: Sự giác ngộ. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Đại số 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. và những môn khác. Đại số 7.M.: Sự khai sáng. 2006

2. Cổng thông tin gia đình xem ().

Nhiệm vụ 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Đại số 7, số 960, Điều 210;

Nhiệm vụ 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Đại số 7, số 961, Điều 210;

Nhiệm vụ 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Đại số 7, số 962, Điều 210;

§ 1 Lựa chọn nghiệm phương trình trong các tình huống thực tế

Hãy xem xét tình huống thực tế này:

Người chủ và người học việc đã cùng nhau tạo ra 400 bộ phận tùy chỉnh. Hơn nữa, người thầy làm việc trong 3 ngày, còn người học trò trong 2 ngày. Mỗi người làm được bao nhiêu phần?

Hãy tạo một mô hình đại số cho tình huống này. Hãy để bậc thầy sản xuất các bộ phận trong 1 ngày. Và học sinh đang ở chi tiết. Sau đó thầy sẽ làm 3 phần trong 3 ngày, còn học trò sẽ làm 2 phần trong 2 ngày. Họ sẽ cùng nhau sản xuất 3 + 2 phần. Vì theo điều kiện, tổng cộng 400 bộ phận đã được sản xuất nên chúng ta thu được phương trình:

Phương trình kết quả được gọi là phương trình tuyến tính hai biến. Ở đây chúng ta cần tìm một cặp số x và y mà phương trình sẽ có dạng đẳng thức số thực. Lưu ý rằng nếu x = 90, y = 65 thì ta có đẳng thức:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Vì đã thu được đẳng thức số chính xác nên cặp số 90 và 65 sẽ là nghiệm của phương trình này. Nhưng giải pháp được tìm thấy không phải là giải pháp duy nhất. Nếu x = 96 và y = 56 thì ta thu được đẳng thức:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Đây cũng là một đẳng thức số thực sự, nghĩa là cặp số 96 và 56 cũng là nghiệm của phương trình này. Nhưng một cặp số x = 73 và y = 23 sẽ không phải là nghiệm của phương trình này. Trên thực tế, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 sẽ cho chúng ta đẳng thức số không chính xác 265 = 400. Cần lưu ý rằng nếu chúng ta xét phương trình trong tình huống thực tế này thì sẽ có các cặp số là nghiệm của phương trình này sẽ không phải là nghiệm của bài toán. Ví dụ: một vài con số:

x = 200 và y = -100

là một nghiệm của phương trình, nhưng học sinh không thể tạo ra -100 phần, và do đó một cặp số như vậy không thể là đáp án của câu hỏi của bài toán. Vì vậy, trong mỗi tình huống thực tế cụ thể cần có cách tiếp cận hợp lý để chọn nghiệm của phương trình.

Hãy tóm tắt các kết quả đầu tiên:

Phương trình có dạng ax + bу + c = 0, trong đó a, b, c là các số bất kỳ, được gọi là phương trình tuyến tính hai biến.

Nghiệm của phương trình tuyến tính hai biến là một cặp số tương ứng với x và y, mà phương trình trở thành một đẳng thức số thực sự.

§ 2 Đồ thị của phương trình tuyến tính

Chính việc ghi lại cặp (x;y) khiến chúng ta nghĩ đến khả năng mô tả nó như một điểm có tọa độ xy y trên một mặt phẳng. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể thu được mô hình hình học của một tình huống cụ thể. Ví dụ, hãy xem xét phương trình:

2x + y - 4 = 0

Hãy chọn một số cặp số sẽ là nghiệm của phương trình này và xây dựng các điểm có tọa độ tìm được. Gọi đây là điểm:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).

Lưu ý rằng tất cả các điểm nằm trên cùng một đường thẳng. Đường này được gọi là đồ thị của phương trình tuyến tính hai biến. Nó là một mô hình đồ họa (hoặc hình học) của một phương trình nhất định.

Nếu một cặp số (x;y) là nghiệm của phương trình

ax + vy + c = 0 thì điểm M(x;y) thuộc đồ thị của phương trình. Chúng ta có thể nói ngược lại: nếu điểm M(x;y) thuộc đồ thị của phương trình ax + y + c = 0 thì cặp số (x;y) là nghiệm của phương trình này.

Qua môn hình học chúng ta biết:

Để vẽ một đường thẳng, bạn cần 2 điểm, vì vậy để vẽ đồ thị của phương trình tuyến tính với hai biến, chỉ cần biết 2 cặp nghiệm là đủ. Nhưng việc đoán gốc rễ không phải lúc nào cũng là một thủ tục thuận tiện và hợp lý. Bạn có thể hành động theo một quy tắc khác. Vì hoành độ của một điểm (biến x) là một biến độc lập nên bạn có thể gán cho nó bất kỳ giá trị thuận tiện nào. Thay số này vào phương trình, ta tìm được giá trị của biến y.

Ví dụ, hãy cho phương trình:

Cho x = 0 thì ta được 0 - y + 1 = 0 hoặc y = 1. Điều này có nghĩa là nếu x = 0 thì y = 1. Một cặp số (0;1) là nghiệm của phương trình này. Đặt một giá trị khác cho biến x: x = 2. Khi đó ta được 2 - y + 1 = 0 hoặc y = 3. Cặp số (2;3) cũng là nghiệm của phương trình này. Sử dụng hai điểm tìm được, có thể xây dựng đồ thị của phương trình x - y + 1 = 0.

Bạn có thể làm điều này: đầu tiên gán một số giá trị cụ thể cho biến y, sau đó mới tính giá trị của x.

§ 3 Hệ phương trình

Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 11, hiệu bằng 1.

Để giải quyết vấn đề này, trước tiên chúng ta tạo một mô hình toán học (cụ thể là mô hình đại số). Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y. Khi đó tổng của các số x + y = 11 và hiệu của các số x - y = 1. Vì cả hai phương trình đều xử lý cùng một số nên các điều kiện này phải được đáp ứng đồng thời. Thông thường trong những trường hợp như vậy, một bản ghi đặc biệt sẽ được sử dụng. Các phương trình được viết bên dưới phương trình kia và kết hợp với dấu ngoặc nhọn.

Bản ghi như vậy được gọi là hệ phương trình.

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng các tập nghiệm cho từng phương trình, tức là đồ thị của mỗi phương trình. Hãy lấy phương trình đầu tiên:

Nếu x = 4 thì y = 7. Nếu x = 9 thì y = 2.

Hãy vẽ một đường thẳng đi qua các điểm (4;7) và (9;2).

Lấy phương trình thứ hai x - y = 1. Nếu x = 5 thì y = 4. Nếu x = 7 thì y = 6. Ta cũng kẻ một đường thẳng đi qua các điểm (5;4) và (7;6) ). Chúng tôi đã thu được một mô hình hình học của vấn đề. Cặp số chúng ta quan tâm (x;y) phải là nghiệm của cả hai phương trình. Trong hình, chúng ta thấy một điểm nằm trên cả hai đường thẳng; đây là điểm giao nhau của các đường thẳng.

Tọa độ của nó là (6;5). Do đó, lời giải của bài toán sẽ là: số cần tìm thứ nhất là 6, số thứ hai là 5.

Danh sách tài liệu được sử dụng:

Mordkovich A.G., Đại số lớp 7 gồm 2 phần, Phần 1, Sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông / A.G. Mordkovic. – tái bản lần thứ 10, sửa đổi – Moscow, “Mnemosyne”, 2007
Mordkovich A.G., Đại số lớp 7 gồm 2 phần, Phần 2, Sách giải cho các cơ sở giáo dục / [A.G. Mordkovich và những người khác]; được chỉnh sửa bởi A.G. Mordkovich - tái bản lần thứ 10, có sửa đổi - Moscow, “Mnemosyne”, 2007
CÔ ẤY. Tulchinskaya, Đại số lớp 7. Khảo sát chớp nhoáng: sổ tay dành cho sinh viên các cơ sở giáo dục phổ thông, tái bản lần thứ 4, sửa đổi và mở rộng, Moscow, “Mnemosyne”, 2008
Alexandrova L.A., Đại số lớp 7. Đề thi chuyên đề dạng mới dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông, do A.G. Mordkovich, Mátxcơva, “Mnemosyne”, 2011
Alexandrova L.A. Đại số lớp 7. Tác phẩm độc lập dành cho sinh viên các cơ sở giáo dục phổ thông, do A.G. Mordkovich - tái bản lần thứ 6, khuôn mẫu, Moscow, “Mnemosyne”, 2010

Phương trình tuyến tính hai biến là bất kỳ phương trình nào có dạng sau: a*x + b*y =с.Ở đây x và y là hai biến, a,b,c là một số số.

Dưới đây là một số ví dụ về phương trình tuyến tính.

1. 10*x + 25*y = 150;

Giống như phương trình có một ẩn số, phương trình tuyến tính có hai biến (ẩn số) cũng có nghiệm. Ví dụ, phương trình tuyến tính x-y=5, với x=8 và y=3, trở thành đẳng thức đúng 8-3=5. Trong trường hợp này, cặp số x=8 và y=3 được gọi là nghiệm của phương trình tuyến tính x-y=5. Bạn cũng có thể nói rằng một cặp số x=8 và y=3 thỏa mãn phương trình tuyến tính x-y=5.

Giải phương trình tuyến tính

Do đó, nghiệm của phương trình tuyến tính a*x + b*y = c là cặp số (x,y) bất kỳ thỏa mãn phương trình này, nghĩa là biến phương trình với các biến x và y thành một đẳng thức số đúng. Hãy chú ý cách viết cặp số x và y ở đây. Mục này ngắn hơn và thuận tiện hơn. Bạn chỉ cần nhớ rằng vị trí đầu tiên trong bản ghi như vậy là giá trị của biến x và vị trí thứ hai là giá trị của biến y.

Xin lưu ý rằng các số x=11 và y=8, x=205 và y=200 x= 4,5 và y= -0,5 cũng thỏa mãn phương trình tuyến tính x-y=5, và do đó là nghiệm của phương trình tuyến tính này.

Giải phương trình tuyến tính với hai ẩn số không phải là duy nhất Mọi phương trình tuyến tính với hai ẩn số đều có vô số nghiệm khác nhau. Tức là có vô số khác nhau hai số x và y chuyển đổi một phương trình tuyến tính thành một đẳng thức thực sự.

Nếu một số phương trình hai biến có nghiệm giống nhau thì những phương trình đó được gọi là phương trình tương đương. Cần lưu ý rằng nếu phương trình có hai ẩn số không có nghiệm thì chúng cũng được coi là tương đương.

Các tính chất cơ bản của phương trình tuyến tính với hai ẩn số

1. Bất kỳ số hạng nào trong phương trình đều có thể được chuyển từ phần này sang phần khác, nhưng cần phải đổi dấu của nó sang phần ngược lại. Phương trình thu được sẽ tương đương với phương trình ban đầu.

2. Cả hai vế của phương trình có thể chia cho bất kỳ số nào khác 0. Kết quả là chúng ta thu được một phương trình tương đương với phương trình ban đầu.

Phương trình nào sẽ được gọi là phương trình có hai biến?

Vì vậy, ví dụ, các phương trình 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, hoặc xy = 12 là các phương trình hai biến.

Xét phương trình 2x – y = 1. Nó trở thành đúng khi x = 2 và y = 3, vậy cặp giá trị biến này là nghiệm của phương trình đang xét.

Một phương trình có hai ẩn số có thể:

MỘT) có một giải pháp. Ví dụ, phương trình x 2 + 5y 2 = 0 có nghiệm duy nhất (0; 0);

b) có nhiều giải pháp. Ví dụ: (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 có 4 nghiệm: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) không có giải pháp. Ví dụ: phương trình x 2 + y 2 + 1 = 0 không có nghiệm;

Nhân tố hóa

Ví dụ 1.

Giải phương trình: xy – 2 = 2x – y.

Giải pháp.

Chúng tôi nhóm các thuật ngữ nhằm mục đích phân tích nhân tử:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Từ mỗi dấu ngoặc ta rút ra một thừa số chung:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Ta có:

y = 2, x – số thực bất kỳ hoặc x = -1, y – số thực bất kỳ.

Như vậy, câu trả lời là tất cả các cặp có dạng (x; 2), x € R và (-1; y), y € R.

Bình đẳng của các số không âm bằng 0

Ví dụ 2.

Giải phương trình: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Giải pháp.

Phân nhóm:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Bây giờ, mỗi dấu ngoặc có thể được gấp lại bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Tổng của hai biểu thức không âm chỉ bằng 0 nếu 3x – 2 = 0 và 2y – 3 = 0.

Điều này có nghĩa là x = 2/3 và y = 3/2.

Trả lời: (2/3; 3/2).

Phương pháp ước tính

Ví dụ 3.

Giải phương trình: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Giải pháp.

Trong mỗi khung, chúng tôi chọn một hình vuông hoàn chỉnh:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hãy ước tính nghĩa của các biểu thức trong ngoặc đơn.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 và (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 thì vế trái của phương trình luôn nhỏ nhất bằng 2. Có thể đẳng thức nếu:

(x + 1) 2 + 1 = 1 và (y – 2) 2 + 2 = 2, tức là x = -1, y = 2.

Trả lời: (-1; 2).

Ví dụ 4.

Giải phương trình: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Giải pháp.

Giải phương trình dưới dạng phương trình bậc hai của x. Hãy tìm phân biệt:

Trả lời: (3; 4).

Thông thường trong các phương trình có hai ẩn số chúng chỉ ra hạn chế về các biến.

Ví dụ 5.

Giải phương trình ở dạng số nguyên: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Giải pháp.

Trả lời: không có rễ.

Ví dụ 6.

Giải phương trình: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Giải pháp.

Hãy đánh dấu các ô vuông hoàn chỉnh trong mỗi dấu ngoặc:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Vế trái của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng 3. Có thể đảm bảo đẳng thức |x| – 2 = 0 và y + 3 = 0. Vậy x = ± 2, y = -3.

Trả lời: (2; -3) và (-2; -3).

Ví dụ 7.

Giải pháp.

Hãy chọn các ô vuông hoàn chỉnh:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 = 36 và (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 và (y + 2) 2 = 36.

Giải các hệ này và xét x và y âm, ta tìm được nghiệm: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Trả lời: -17.

Đừng tuyệt vọng nếu bạn gặp khó khăn khi giải phương trình có hai ẩn số. Với một chút luyện tập, bạn có thể xử lý bất kỳ phương trình nào.

Vẫn còn thắc mắc? Bạn chưa biết cách giải phương trình hai biến?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.