Chúng ta tiếp tục đi sâu vào chủ đề “giải bất phương trình bằng một biến”. Chúng ta đã quen thuộc với các bất đẳng thức tuyến tính và bất đẳng thức bậc hai. Đó là những trường hợp đặc biệt bất đẳng thức hợp lý, mà bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu. Hãy bắt đầu bằng việc tìm ra loại bất đẳng thức nào được gọi là hợp lý. Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét sự phân chia của chúng thành các bất đẳng thức hợp lý toàn bộ và phân số. Và sau đó chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải các bất phương trình hữu tỉ một biến, viết ra các thuật toán tương ứng và xem xét cách giải các ví dụ điển hình kèm theo lời giải chi tiết.
Điều hướng trang.
Bất bình đẳng hợp lý là gì?
Trong các lớp đại số ở trường, ngay khi bắt đầu cuộc trò chuyện về việc giải các bất phương trình, chúng ta ngay lập tức gặp phải các bất phương trình hữu tỉ. Tuy nhiên, lúc đầu chúng không được gọi bằng tên, vì ở giai đoạn này, các loại bất đẳng thức ít được quan tâm và mục tiêu chính là đạt được những kỹ năng ban đầu khi làm việc với các bất đẳng thức. Bản thân thuật ngữ “bất bình đẳng hợp lý” được giới thiệu sau ở lớp 9, khi bắt đầu nghiên cứu chi tiết về các bất đẳng thức thuộc loại cụ thể này.
Hãy cùng tìm hiểu xem bất đẳng thức hợp lý là gì. Đây là định nghĩa:
Định nghĩa đã nêu không nói bất cứ điều gì về số lượng biến, có nghĩa là cho phép bất kỳ số lượng nào trong số chúng. Tùy thuộc vào điều này, các bất đẳng thức hợp lý với một, hai, v.v. được phân biệt. các biến. Nhân tiện, sách giáo khoa đưa ra một định nghĩa tương tự, nhưng dành cho các bất đẳng thức hữu tỉ với một biến. Điều này cũng dễ hiểu, vì nhà trường tập trung vào việc giải các bất đẳng thức hữu tỉ bằng một biến (dưới đây chúng ta cũng sẽ chỉ nói về việc giải các bất phương trình hữu tỉ bằng một biến). Bất đẳng thức với hai biếnđược coi là ít, và các bất đẳng thức có ba biến trở lên thực tế không được chú ý.
Vì vậy, một bất đẳng thức hữu tỉ có thể được nhận ra bằng ký hiệu của nó; để làm điều này, chỉ cần nhìn vào các biểu thức ở bên trái và bên phải của nó và đảm bảo rằng chúng là các biểu thức hữu tỉ. Những cân nhắc này cho phép chúng ta đưa ra các ví dụ về sự bất bình đẳng hợp lý. Ví dụ: x>4 , x 3 +2 y<5 (y−1) (x 2 +1), là những bất đẳng thức hữu tỉ. Và sự bất bình đẳng 
không phải là hữu tỉ, vì vế trái của nó chứa một biến ở dưới dấu căn, và do đó, không phải là một biểu thức hữu tỉ. Bất bình đẳng cũng không hợp lý vì cả hai phần của nó đều không phải là biểu hiện hợp lý.
Để thuận tiện cho việc mô tả sâu hơn, chúng tôi giới thiệu cách chia các bất đẳng thức hữu tỉ thành số nguyên và phân số.
Sự định nghĩa.
Chúng ta sẽ gọi bất đẳng thức hữu tỉ trọn, nếu cả hai phần của nó đều là biểu thức hữu tỉ.
Sự định nghĩa.
Bất đẳng thức hợp lý phân số là một bất đẳng thức hữu tỉ, ít nhất một phần của nó là biểu thức phân số.
Vậy 0,5 x 3 (2−5 y) , 
là các bất đẳng thức số nguyên và 1:x+3>0 và 
- hợp lý một phần.
Bây giờ chúng ta đã hiểu rõ ràng về bất đẳng thức hữu tỉ là gì và chúng ta có thể bắt đầu hiểu một cách an toàn các nguyên tắc giải các bất đẳng thức hữu tỉ số nguyên và phân số bằng một biến.
Giải toàn bộ bất đẳng thức
Chúng ta hãy tự đặt ra cho mình một nhiệm vụ: chúng ta cần giải toàn bộ bất đẳng thức hữu tỉ với một biến x có dạng r(x)
Chúng ta hãy di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái, điều này sẽ dẫn chúng ta đến bất đẳng thức tương đương có dạng r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) với số 0 ở bên phải. Rõ ràng, biểu thức r(x)−s(x) được hình thành ở vế trái cũng là một số nguyên và người ta biết rằng bất kỳ . Sau khi chuyển đổi biểu thức r(x)−s(x) thành đa thức h(x) giống hệt nhau (ở đây chúng ta lưu ý rằng các biểu thức r(x)−s(x) và h(x) có cùng một biến x ), chúng ta chuyển sang bất đẳng thức tương đương h(x)<0 (≤, >, ≥).
Trong những trường hợp đơn giản nhất, các phép biến đổi được thực hiện sẽ đủ để thu được nghiệm mong muốn, vì chúng sẽ dẫn chúng ta từ toàn bộ bất đẳng thức hợp lý ban đầu đến bất đẳng thức mà chúng ta biết cách giải, chẳng hạn như tuyến tính hoặc bậc hai. Hãy xem xét các ví dụ.
Ví dụ.
Tìm nghiệm của toàn bộ bất đẳng thức hữu tỉ x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.
Giải pháp.
Đầu tiên chúng ta di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Sau khi hoàn thành mọi thứ ở vế trái, chúng ta thu được bất đẳng thức tuyến tính 3 x−2<0, tương đương với bất đẳng thức nguyên ban đầu. Giải pháp không khó:
3 x 2 ,
x 2/3.
Trả lời:
x 2/3.
Ví dụ.
Giải bất đẳng thức (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).
Giải pháp.
Chúng ta bắt đầu như thường lệ bằng cách chuyển biểu thức từ vế phải, sau đó thực hiện các phép biến đổi ở vế trái bằng cách sử dụng:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0
.
Do đó, bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương đương, chúng ta đã đạt đến bất đẳng thức 1>0, đúng với mọi giá trị của biến x. Điều này có nghĩa là nghiệm của bất đẳng thức số nguyên ban đầu là một số thực bất kỳ.
Trả lời:
x - bất kỳ.
Ví dụ.
Giải bất đẳng thức x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Giải pháp.
Có số 0 ở bên phải nên không cần phải di chuyển bất cứ thứ gì từ nó. Hãy biến đổi toàn bộ biểu thức ở vế trái thành đa thức:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .
Ta thu được bất đẳng thức bậc hai, tương đương với bất đẳng thức ban đầu. Chúng tôi giải quyết nó bằng bất kỳ phương pháp nào mà chúng tôi biết. Hãy giải bất đẳng thức bậc hai bằng đồ thị.
Tìm nghiệm của tam thức bậc hai −2 x 2 +11 x+6 : 
Chúng tôi tạo một bản vẽ sơ đồ trên đó chúng tôi đánh dấu các số 0 tìm thấy và tính đến việc các nhánh của parabol hướng xuống dưới, vì hệ số dẫn đầu là âm: 
Vì chúng ta đang giải bất đẳng thức bằng dấu > nên chúng ta quan tâm đến các khoảng mà parabol nằm phía trên trục x. Điều này xảy ra trong khoảng (−0,5, 6), đây là giải pháp mong muốn.
Trả lời:
(−0,5, 6) .
Trong những trường hợp phức tạp hơn, ở vế trái của bất đẳng thức thu được h(x)<0 (≤, >, ≥) sẽ là đa thức bậc ba trở lên. Để giải những bất đẳng thức như vậy, phương pháp khoảng là phù hợp, trong bước đầu tiên bạn sẽ cần tìm tất cả các nghiệm của đa thức h(x), thường được thực hiện thông qua .
Ví dụ.
Tìm nghiệm của toàn bộ bất đẳng thức hữu tỉ (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Giải pháp.
Hãy di chuyển mọi thứ sang bên trái, sau đó có:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0
,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0
.
Các thao tác được thực hiện dẫn chúng ta đến một bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức ban đầu. Ở phía bên trái của nó là một đa thức bậc ba. Nó có thể được giải quyết bằng phương pháp khoảng. Để làm điều này, trước hết, bạn cần tìm nghiệm của đa thức nằm trên x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Hãy cùng tìm hiểu xem nó có nghiệm hữu tỉ hay không, vốn chỉ có thể nằm trong số các ước của số hạng tự do, tức là trong số các số ±1, ±2, ±3, ±6. Lần lượt thay các số này thay cho biến x vào phương trình x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, ta thấy nghiệm của phương trình là các số 1, 2 và 3. Điều này cho phép chúng ta biểu diễn đa thức x 3 +4 x 2 +11 x−6 dưới dạng tích (x−1) (x−2) (x−3) và bất đẳng thức x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
Và sau đó, tất cả những gì còn lại là thực hiện các bước tiêu chuẩn của phương pháp khoảng: đánh dấu trên trục số các điểm có tọa độ 1, 2 và 3, chia đường này thành bốn khoảng, xác định và đặt các dấu hiệu, vẽ bóng trên các khoảng có dấu trừ (vì chúng ta đang giải bất đẳng thức bằng dấu trừ<) и записать ответ.
Từ đó chúng ta có (−∞, 1)∪(2, 3) .
Trả lời:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Cần lưu ý rằng đôi khi nó không phù hợp với bất đẳng thức r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) đi đến bất đẳng thức h(x)<0 (≤, >, ≥), trong đó h(x) là đa thức bậc lớn hơn hai. Điều này áp dụng cho các trường hợp trong đó việc phân tích đa thức h(x) thành nhân tử khó hơn việc biểu diễn biểu thức r(x)−s(x) dưới dạng tích của nhị thức tuyến tính và tam thức bậc hai, ví dụ, bằng cách phân tích nhân tử chung . Hãy giải thích điều này bằng một ví dụ.
Ví dụ.
Giải bất đẳng thức (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19) ≥2·x·(x 2 −2·x−1).
Giải pháp.
Đây là một sự bất bình đẳng hoàn toàn. Nếu chúng ta di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái, sau đó mở ngoặc và thêm các số hạng tương tự, chúng ta sẽ có bất đẳng thức x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19 ≥0. Việc giải nó rất khó vì nó liên quan đến việc tìm nghiệm của đa thức bậc bốn. Thật dễ dàng để xác minh rằng nó không có nghiệm hữu tỷ (chúng có thể là các số 1, −1, 19 hoặc −19), nhưng việc tìm kiếm các nghiệm khác của nó là một vấn đề. Vì thế con đường này là ngõ cụt.
Hãy tìm kiếm các giải pháp khả thi khác. Dễ dàng thấy rằng sau khi chuyển biểu thức từ vế phải của bất đẳng thức nguyên ban đầu sang vế trái, chúng ta có thể lấy thừa số chung x 2 −2 x−1 ra khỏi ngoặc:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1) ≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19) ≥0.
Phép biến đổi được thực hiện là tương đương nên nghiệm của bất đẳng thức thu được cũng sẽ là nghiệm của bất đẳng thức ban đầu.
Và bây giờ chúng ta có thể tìm thấy các số 0 của biểu thức nằm ở vế trái của bất đẳng thức thu được, để làm được điều này, chúng ta cần x 2 −2·x−1=0 và x 2 −2·x−19=0. Nguồn gốc của chúng là những con số 
. Điều này cho phép chúng ta đi đến bất đẳng thức tương đương và chúng ta có thể giải nó bằng phương pháp khoảng: 
Chúng tôi viết ra câu trả lời theo bản vẽ.
Trả lời:
Để kết luận điểm này, tôi chỉ muốn nói thêm rằng không phải lúc nào cũng có thể tìm được tất cả các nghiệm của đa thức h(x) và do đó, mở rộng nó thành tích của các nhị thức tuyến tính và tam thức vuông. Trong những trường hợp này không có cách giải bất đẳng thức h(x)<0 (≤, >, ≥), có nghĩa là không có cách nào tìm được nghiệm của phương trình hữu tỉ nguyên ban đầu.
Giải bất đẳng thức hữu tỉ phân số
Bây giờ hãy giải bài toán sau: giả sử chúng ta cần giải bất đẳng thức hữu tỉ phân số với một biến x có dạng r(x)
Thuật toán giải bất đẳng thức hữu tỉ phân số với một biến r(x)
- Đầu tiên bạn cần tìm khoảng giá trị chấp nhận được (APV) của biến x cho bất đẳng thức ban đầu.
- Tiếp theo, bạn cần di chuyển biểu thức từ vế phải của bất đẳng thức sang trái và chuyển biểu thức r(x)−s(x) được tạo thành ở đó thành dạng phân số p(x)/q(x) , trong đó p(x) và q(x) là các biểu thức số nguyên là tích của các nhị thức tuyến tính, các tam thức bậc hai không thể phân tích được và lũy thừa của chúng với số mũ tự nhiên.
- Tiếp theo, chúng ta cần giải bất đẳng thức thu được bằng phương pháp khoảng.
- Cuối cùng, từ lời giải thu được ở bước trước, cần loại trừ các điểm không nằm trong ODZ của biến x đối với bất đẳng thức ban đầu tìm được ở bước đầu tiên.
Bằng cách này, sẽ thu được nghiệm mong muốn cho bất đẳng thức hữu tỉ phân số.
Bước thứ hai của thuật toán yêu cầu giải thích. Chuyển biểu thức từ vế phải của bất đẳng thức sang trái sẽ thu được bất đẳng thức r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), tương đương với bản gốc. Mọi thứ đều rõ ràng ở đây. Nhưng các câu hỏi được đặt ra bởi sự biến đổi sâu hơn của nó sang dạng p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Câu hỏi đầu tiên là: “Có phải lúc nào cũng thực hiện được”? Về mặt lý thuyết, có. Chúng tôi biết rằng bất cứ điều gì có thể. Tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ chứa các đa thức. Và từ định lý cơ bản của đại số và định lý Bezout, suy ra rằng bất kỳ đa thức bậc n nào với một biến đều có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các nhị thức tuyến tính. Điều này giải thích khả năng thực hiện sự chuyển đổi này.
Trong thực tế, việc phân tích các đa thức là khá khó khăn và nếu bậc của chúng cao hơn 4 thì không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được. Nếu không thể nhân tử hóa thì sẽ không có cách nào tìm ra nghiệm của bất đẳng thức ban đầu, nhưng những trường hợp như vậy thường không xảy ra ở trường học.
Câu hỏi thứ hai: “Liệu bất đẳng thức p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) tương đương với bất đẳng thức r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥), và do đó thành bản gốc”? Nó có thể tương đương hoặc không bằng nhau. Nó tương đương khi ODZ của biểu thức p(x)/q(x) trùng với ODZ của biểu thức r(x)−s(x) . Trong trường hợp này, bước cuối cùng của thuật toán sẽ dư thừa. Nhưng ODZ cho biểu thức p(x)/q(x) có thể rộng hơn ODZ cho biểu thức r(x)−s(x) . Việc mở rộng ODZ có thể xảy ra khi các phân số được giảm bớt, chẳng hạn như khi chuyển từ 
ĐẾN . Ngoài ra, việc mở rộng ODZ có thể được tạo điều kiện thuận lợi bằng cách đưa ra các điều khoản tương tự, chẳng hạn như khi chuyển từ 
ĐẾN . Bước cuối cùng của thuật toán dành cho trường hợp này, trong đó các quyết định không liên quan phát sinh do việc mở rộng ODZ sẽ bị loại trừ. Hãy theo dõi điều này khi chúng ta xem xét giải pháp cho các ví dụ bên dưới.
Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ ở Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.
Ví dụ:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)
\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)
\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .
Khi giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số, phương pháp khoảng được sử dụng. Vì vậy, nếu thuật toán đưa ra dưới đây gây khó khăn cho bạn, hãy xem bài viết trên .
Cách giải bất đẳng thức hữu tỉ phân số:
Thuật toán giải bất đẳng thức hữu tỉ phân số.
Ví dụ:
Đặt các dấu hiệu trên các khoảng dòng số. Hãy để tôi nhắc bạn về các quy tắc đặt biển báo:
Chúng tôi xác định dấu trong khoảng ngoài cùng bên phải - lấy một số từ khoảng này và thay thế nó vào bất đẳng thức thay vì X. Sau đó, chúng ta xác định các dấu trong ngoặc và kết quả nhân các dấu này;
Ví dụ:
Chọn khoảng thời gian cần thiết. Nếu có gốc riêng thì đánh dấu bằng hộp kiểm để không quên đưa nó vào câu trả lời (xem ví dụ bên dưới).
Ví dụ:
Viết ra những khoảng trống được đánh dấu và những gốc được gắn cờ (nếu có) trong câu trả lời của bạn.
Ví dụ:
Trả lời: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)