Giải phương trình vi phân ngẫu nhiên. Phân tích các phương pháp số tường minh để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên

Nghệ thuật Ereshko. F.,

Trung tâm máy tính được đặt theo tên RAS,

Học viện Świętokrzyska ở Kielce, Ba Lan

PHÂN TÍCH CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ RÕ RÀNG

GIẢI PHÁP NGẪU NHIÊN

PHƯƠNG TIỆN KHÁC BIỆT

Các nguyên tắc cơ bản của việc xây dựng các phương pháp số để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDE) được xem xét. Vấn đề về tính cứng nhắc của hệ thống CDS được phân tích. Đối với Ito SDE một chiều, độ chính xác gần đúng của các phương pháp số rõ ràng hiện có được so sánh.

1. Giới thiệu

Việc phân tích và tổng hợp các hệ động lực ngẫu nhiên thường gắn liền với việc sử dụng giải pháp số của SDE. Đối với một số tác vụ như lọc, nhận dạng, dự báo và điều khiển tối ưu, việc tích hợp giải pháp số của SDE phải được thực hiện trong thời gian thực và hơn nữa là phải có độ chính xác và ổn định nhất định. Về vấn đề này, có một số vấn đề nảy sinh. Một mặt, rất ít SDE có lời giải phân tích (hầu hết là SDE tuyến tính có nhiễu cộng hoặc nhân hoặc SDE phi tuyến có thể quy giản thành tuyến tính), mặt khác, đặc điểm vật lý của hệ thống động thực dẫn đến biểu hiện của tính cứng nhắc. , có ảnh hưởng không thỏa đáng đến nghiệm số thu được. Do đó, một giai đoạn đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế hệ động lực ngẫu nhiên là lựa chọn sơ đồ cho nghiệm số của SDE.

2. Nguyên tắc xây dựng phương pháp giải số

phương trình vi phân ngẫu nhiên

Hiện nay, có một số cách tiếp cận để tạo ra các sơ đồ số để giải SDE. Một trong những khả năng là điều chỉnh các sơ đồ hiện có cho các mạch vi phân thông thường (ODC) có tính đến các tính chất của tích phân ngẫu nhiên, một khả năng khác là phát triển các phương pháp đặc biệt để giải ODE. Hầu hết các nhà nghiên cứu sử dụng cách tiếp cận đầu tiên, vì lý thuyết về nghiệm số của ODE đã được phát triển tốt và khá dễ dàng để đưa ra sự tương đồng giữa ODE và SDE.

Phương pháp đơn giản nhất để tính gần đúng nghiệm số của SDE (từ quan điểm tính toán) là phương pháp Euler, được phát triển bởi Maruyama vào năm 1955. Lược đồ này đáp ứng nhiều tính chất cần thiết của các phương pháp số (có bậc hội tụ), nhưng đồng thời cũng có một số hạn chế (không phải lúc nào cũng ổn định, sai số gần đúng khá cao, v.v.). Để loại bỏ những thiếu sót này, cũng như tăng mức độ hội tụ của các sơ đồ số để giải SDE, nghiên cứu đã và đang được thực hiện, các hướng đi có thể được trình bày dưới dạng sơ đồ (xem Hình 2). 1).

Bằng cách tương tự với việc phát triển các sơ đồ giải số của ODE, để tăng bậc hội tụ, độ chính xác và độ ổn định gần đúng, người ta có thể sử dụng khai triển chuỗi tại điểm gần đúng, tức là sử dụng đạo hàm của các bậc khác nhau, cả biến và bậc hệ số trôi và khuếch tán. Trong tài liệu, phương pháp này được gọi là phương pháp Taylor. Tuy nhiên, nhược điểm của sơ đồ Taylor là ở mỗi bước xấp xỉ cần phải tính tích phân ngẫu nhiên bội số liên kết với các đạo hàm trên. Để tránh những khó khăn trong tính toán, bạn có thể sử dụng nhiều phép chia của bước xấp xỉ (phương pháp Runge-Kutta) hoặc kết quả xấp xỉ của các bước trước đó (phương pháp nhiều bước).

Cả hệ phương trình vi phân thông thường và ngẫu nhiên mô tả nhiều hiện tượng vật lý, sinh học hoặc kinh tế, khi máy tính mô phỏng bằng cách sử dụng các sơ đồ số thông thường, đều thể hiện hành vi “không mong muốn” và có thể được phân loại là các vấn đề không được đặt ra. Trong hầu hết các trường hợp, hành vi “không mong muốn” đề cập đến tính không ổn định rất cao của nghiệm số, liên quan đến cái gọi là hiện tượng cứng nhắc. Có một số cách giải thích cho hiện tượng này.

Nguyên nhân đầu tiên liên quan đến khả năng kỹ thuật của máy tính. Vì vậy, để đạt được độ chính xác như mong muốn, bạn có thể áp dụng nhiều bước chia của bước tích phân. Một mặt, điều này dẫn đến sự tích tụ các lỗi làm tròn và kết quả là xảy ra tình trạng tràn các thanh ghi máy tính. Mặt khác, việc sử dụng các giá trị rất nhỏ của bước tích phân đòi hỏi nguồn thời gian rất lớn và cũng dẫn đến việc tích lũy các lỗi làm tròn. Lý do thứ hai liên quan đến khía cạnh vật lý của hệ thống đang được xem xét. Điều này có nghĩa là hệ thống mô tả các quá trình có tốc độ hoặc độ dốc khác nhau (điều này chủ yếu là điển hình cho các vấn đề không được đặt ra). Hiện tượng này thường xuất hiện trong các bài toán về lớp biên (thủy động lực học), hiệu ứng bề mặt (điện từ), các phản ứng động học hóa học,… Cuối cùng, độ cứng có thể do cả hai nguyên nhân gây ra. Vì vậy, khi phát triển các phương pháp số ổn định cần phải tính đến các tình huống trên.

Một phân tích của văn học hiện đại đã chỉ ra rằng việc tạo ra các phương pháp số để giải các hệ cứng nhắc trong hầu hết các trường hợp đều dựa trên các ý tưởng do Hairer và Wanner trình bày. Trong công trình của mình, họ đã công nhận rằng các hệ thống cứng nhắc không thể được giải quyết bằng các phương pháp rõ ràng và trình bày các phương pháp tiếp cận chỉ dựa trên việc sử dụng các phương pháp ngầm. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng việc áp dụng trực tiếp các phương pháp này luôn gắn liền với một quy trình cực kỳ phức tạp để xác định các tham số của mạch điện, chỉ dựa trên vùng ổn định được phân bổ trước cho hệ thống đang được xem xét. Hoàn cảnh này làm cho các phương pháp đề xuất không được chấp nhận đối với hầu hết các ứng dụng trên, nhưng cho phép chúng ta làm nổi bật hai tính chất toán học quan trọng của độ cứng. Đầu tiên, tất cả các hệ thống cứng đều có phổ rất rộng (hoặc sự hiện diện của số mũ Lyapunov rất khác nhau). Thứ hai, theo định lý về tính duy nhất và sự tồn tại của nghiệm, hệ cứng được đặc trưng bởi các giá trị lớn của hằng số Lipschitz.

Vì vậy, việc phân tích các nguyên tắc tạo ra các sơ đồ số để giải SDE đã cho thấy sự cần thiết phải nghiên cứu kỹ lưỡng về các phương pháp hiện có và có thể tìm kiếm các phương pháp mới khi giải các bài toán cụ thể.

3. Rõ ràng các sơ đồ số mạnh mẽ

Chúng ta hãy viết SDE trong biểu diễn Ito ở dạng tổng quát

ở đâu - https://pandia.ru/text/78/507/images/image006_22.gif" width="80 Height=28" Height="28">; -https://pandia.ru/text/78/ 507/images/image009_18.gif" width="79 Height=28" Height="28">.gif" width="79" Height="28 src="> - liên tục hai hàm vi phân của độ trôi và khuếch tán - vectơ chiều ; tham số

Việc thu được lời giải mạnh của SDE (3.1) là một điểm quan trọng trong nhiều bài toán thực tế; mục đích của công việc là phân tích so sánh các phương pháp số rõ ràng mạnh hiện có để giải SDE.

Hãy xem xét trường hợp phổ biến nhất trong tài liệu tài chính - trường hợp phương trình một chiều (3.1), sử dụng các sơ đồ sau: Euler, Milstein, Taylor, Runge-Kutta và hai bước. Trong trường hợp một chiều, sơ đồ Euler có dạng:

Ở đâu Và (https://pandia.ru/text/78/507/images/image019_9.gif" width="55" Height="24">, xuất hiện dưới dạng

Sơ đồ đặt hàng Taylor https://pandia.ru/text/78/507/images/image022_10.gif" width="484" Height="212"> (3.4)

và sơ đồ đặt hàng hai bước:

https://pandia.ru/text/78/507/images/image025_10.gif" width="509" Height="52 src=">

https://pandia.ru/text/78/507/images/image027_8.gif" width="355" Height="52 src=">

Sơ đồ Runge-Kutta, trong đó thứ tự hội tụ https://pandia.ru/text/78/507/images/image029_8.gif" width="384" Height="119 src="> (3.6)

https://pandia.ru/text/78/507/images/image031_6.gif" width="100" Height="28 src=">.gif" width="345" Height="68">,

https://pandia.ru/text/78/507/images/image035_5.gif" width="44" Height="28"> và giải pháp phân tích SDE (3.1) khi kết thúc khoảng tích hợp DIV_ADBLOCK220">

, (4.1)

toán tử kỳ vọng toán học ở đâu.

Chúng ta hãy thay thế giá trị lý thuyết của tiêu chí “sai số tuyệt đối” (4.1) bằng giá trị tương tự thống kê của nó, dựa trên mô phỏng Monte Carlo..gif" width="44" Height="28">..gif" width="29" Height="27 src =>>, thì giá trị thống kê tương tự của tiêu chí (4.1) là

(4.2)

Hãy so sánh các sơ đồ trên bằng tiêu chí sai số tuyệt đối. Như một ví dụ thử nghiệm đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu SDE tuyến tính với các hệ số đồng nhất không đổi

nghiệm giải tích của nó có dạng

Ví dụ thử nghiệm thứ hai là Ito SDE phi tuyến có dạng

với hàm vi phân và nghiệm tổng quát

https://pandia.ru/text/78/507/images/image049_5.gif" width="108" Height="57 src=">.

Đặc biệt, đối với phương trình

(4.4)

có một giải pháp phân tích

https://pandia.ru/text/78/507/images/image052_2.gif" width="17" Height="19">, số quỹ đạo và độ chính xác gần đúng (4.2). Kết quả tính toán được cho trong bảng 1 – 3, Chúng ta hãy phân tích chúng bằng tiêu chí trung bình (4.2).

Đối với các phương trình thử nghiệm thứ nhất và thứ hai (xem Bảng 1 và Bảng 2), khi độ dài bước tích phân giảm và bậc hội tụ của sơ đồ số tăng lên, thì độ chính xác gần đúng sẽ tăng lên đối với tất cả các sơ đồ số đang được nghiên cứu.

Tuy nhiên, điều này không thể được nêu trong trường hợp thứ ba, đại diện cho SDE cứng nhắc (xem Bảng 3). Có thể tính giá trị sai số tuyệt đối cho tất cả các kết hợp của độ dài bước tích phân và số quỹ đạo chỉ dành cho sơ đồ Euler và sơ đồ hai bước.

Bảng 1.Độ chính xác của phép tính gần đúng nghiệm số của phương trình (4..gif" width="53" Height="20 src=">.gif" width="93" Height="28 src=">)

Cơ chế	Độ dài bước tích hợp,



Milshtein

hai bước
Runge-Kutta


Milshtein

hai bước
Runge-Kutta


Milshtein

hai bước
Runge-Kutta

Đối với các mạch Milstein, Taylor và Runge-Kutta tại , , https://pandia.ru/text/78/507/images/image068_3.gif" width="57" Height="23">, , , ) tràn thanh ghi xảy ra khiến cho việc tính toán tiếp theo không thể thực hiện được.

Do đó, có thể lưu ý rằng, không giống như ODE, khi tích phân số lượng giải pháp của SDE cứng, người ta nên sử dụng các phương pháp giải rõ ràng “đơn giản”, tức là tránh các phương pháp sử dụng nhiều phép chia của bước gần đúng hoặc đạo hàm của hàm trôi và hàm khuếch tán. . Nếu cần có giải pháp số SDE trong các tác vụ như lọc hoặc nhận dạng tham số SDE bằng quy trình Monte Carlo, thì độ dài bước ưu tiên là DIV_ADBLOCK222">

Bảng 2.Độ chính xác của phép gần đúng nghiệm số của phương trình (4.4) (https://pandia.ru/text/78/507/images/image070_4.gif" width="100" Height="25 src=">)

Cơ chế	Độ dài bước tích hợp,



Milshtein

hai bước
Runge-Kutta


Milshtein

hai bước
Runge-Kutta


Milshtein

hai bước
Runge-Kutta

Bảng 3.Độ chính xác của phép tính gần đúng của nghiệm số của phương trình

(4.3)(https://pandia.ru/text/78/507/images/image071_4.gif" width="55" Height="20 src=">.gif" width="100" Height="25 src="> )

cơ chế	độ dài bước tích hợp,



Milshtein

hai bước
Runge-Kutta
Milshtein

hai bước
Runge-Kutta
Milshtein

hai bước
Runge-Kutta Văn học 1. Oksendal B. Phương trình vi phân ngẫu nhiên. Berlin: Springer, 2000. 2. , Các phương pháp giải các bài toán đặt ra. M.: Nauka, 1986. 3. Kloden P. E., Platen E. Giải pháp số của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Berlin: Springer, 1999. 4. Burrage K., Thiên T. Các phương pháp Runge-Kutta có độ chính xác cao cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên cứng // Truyền thông Vật lý Máy tính. 2001. Câu 142. Trang 186 – 190. 5. Burrage K., Burrage P., Mitsui T. Giải pháp số của phương trình vi phân ngẫu nhiên – vấn đề thực hiện và ổn định // Tạp chí toán học tính toán và ứng dụng. 2000. Câu 125. Trang 171 – 182. 6. Kuznetsov D. F. Phương pháp số mạnh ba bước bậc chính xác 1,0 và 1,5 cho phương trình vi phân Ito Stochastic // Tạp chí Khoa học Tự động hóa và Thông tin. 2002. Câu 34. Số 12. Trang 22 – 35. 7. Đạt được JG., Lyons T. J.Điều khiển kích thước bước thay đổi trong nghiệm số của phương trình vi phân ngẫu nhiên // Tạp chí Toán ứng dụng SIAM. 1997. V. 57. Số 5. P. 1455 – 1484. 8. Thợ làm tóc E., Wanner G. Giải phương trình vi phân thông thường II: Các bài toán khó và vi phân-đại số. Berlin: Springer-Verlag, 1996. 9. Lamberton D., Lapeyre B. Giới thiệu về phép tính ngẫu nhiên áp dụng trong tài chính. Luân Đôn: Chapman và Hall. 2000. 10. Shiryaev A.N. Nguyên tắc cơ bản của toán tài chính ngẫu nhiên. M.: FAZIS, 1998. 11. Milstein G. N., Platen E., Schurz H. Các phương pháp ngầm cân bằng cho các hệ thống ngẫu nhiên cứng // Tạp chí Phân tích Số SIAM. 1998. Câu 35. Trang 1010 – 1019. 12. Filatova D., Grzywaczewski M., McDonald D. Ước tính các tham số của phương trình vi phân ngẫu nhiên bằng hàm tiêu chí dựa trên thống kê Kolmogorov-Smirnov // ACTA ET COMMENTATIONES UNIVERSITATIS TARTUENSIS DE MATHEMATICA. 2004. Câu 8. – Trang 93 – 99. 13. Nielsen J. N., Madsen H.Áp dụng EKF cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên có hiệu ứng cấp độ // Automata. 2001. Câu 37. Trang 107 – 112. 14. Nielsen J. N., Madsen H., Young P. C.Ước lượng tham số trong các phương trình vi phân ngẫu nhiên: tổng quan // Đánh giá hàng năm về Kiểm soát. 2000. Câu 24. Trang 83 – 94.

Chúng ta hãy quay lại phương trình động học bậc nhất (một hệ có 1/2 bậc tự do), một ví dụ là phương trình dao động biên độ nhỏ trong một bộ tự dao động [công thức thứ nhất (29.1)], tức là một phương trình về hình thức

Chúng ta giải phương trình tương tự trong các bài toán về tốc độ và chuyển động một chiều của một hạt khối lượng trong môi trường có ma sát nhớt, hoặc về độ dịch chuyển s của hạt này, nhưng không có khối lượng và buộc vào một lò xo có hệ số đàn hồi, hoặc về điện áp V trên mạch điện dung, hoặc về dòng điện I trong mạch, v.v.

Theo những gì đã nói trong § 28, chúng tôi kỳ vọng rằng khi hệ động lực (35.1) bị tác động bởi các cú sốc đồng nhất đủ “dày đặc” (so với thời gian thiết lập), phản ứng sẽ liên tục đồng nhất

Quá trình Markov với xác suất chuyển tiếp thỏa mãn phương trình Einstein-Fokker

tức là phương trình (29.2), nhưng trong trường hợp một chiều, khi không có sự phụ thuộc của v vào biến thứ hai. Theo phương pháp nêu ở § 28, hệ số trong (35.2) bằng biểu thức của x, tức là vế phải của phương trình (35.1):

Ở điều kiện ban đầu

nghiệm của phương trình (35.2) được biểu diễn bằng định luật chuẩn tắc

[cm. (29.5) và (29.6)]. Trong giới hạn tại , tức là đối với t, công thức (35.3) chuyển thành phân bố dừng độc lập với . Trong bài toán vận tốc và hạt trong môi trường nhớt, khi phân bố phải là Maxwell:

do đó, từ đó các biểu thức tương tự cho B có thể được viết trong các bài toán khác được liệt kê ở trên - đơn giản là hệ quả của định lý về sự phân bố đều năng lượng theo bậc tự do: năng lượng trung bình của một hệ có 1/2 bậc tự do phải bằng nhau đến (trong trường hợp này

Theo những giả định ban đầu được đưa ra, đây là một sơ đồ xác suất thuần túy để giải bài toán dao động. Bây giờ chúng ta sẽ làm mọi việc khác đi. Chúng ta hãy đưa một lực ngẫu nhiên (hoặc dao động) vào phương trình (35.1):

Nếu vì mục đích cụ thể, chúng ta thảo luận về vấn đề chuyển động của một hạt trong môi trường nhớt vô hạn, thì chúng ta đang nói về phương trình chuyển động.

trong đó tác động của môi trường lên hạt được chia thành hai phần: lực ma sát hệ thống và lực ngẫu nhiên

Giả sử rằng lực ma sát hệ thống được biểu thị bằng định luật Stokes (đối với một hạt hình cầu có bán kính a, độ nhớt của chất lỏng ở đâu), chúng ta đưa ra hai giả định.

Đầu tiên, điều kiện của dòng chảy tầng xung quanh hạt phải được thỏa mãn, tức là số Reynolds nhỏ:

mật độ của chất lỏng ở đâu. Nếu với và chúng ta lấy giá trị căn bậc hai của vận tốc bình phương của chuyển động nhiệt [và là mật độ chất của hạt], tức là tính đến dao động nhanh nhất của hạt, thì

Khi đó, ngay cả đối với kích thước phân tử, a cũng cho giá trị. Do đó, điều kiện độ phân lớp được thỏa mãn.

Thứ hai, tổng lực hệ thống tác dụng lên một quả bóng chuyển động trong chất lỏng nhớt không nén được là bằng nhau, theo Bussinet,

ở đây là khối lượng tăng thêm, bằng một nửa khối lượng bị chiếm chỗ bởi hạt chất lỏng. Trong phương trình (35.6), chỉ có số hạng thứ nhất được giữ lại trong tổng lực F. Nhưng khi số hạng thứ hai và thứ ba có cùng thứ tự với . Trong mối liên hệ, điều này không đáng kể, vì vai trò của số hạng này chỉ giảm xuống sự thay đổi khối lượng hiệu dụng của hạt. Quan trọng hơn là số hạng thứ ba, biểu thị hậu quả thủy động lực nhớt (xem §§ 15 và 21), khi được tính đến, hệ thống thu được vô số bậc tự do.

Với sự có mặt của hậu quả nhớt (và do đó có tính xác suất), độ dịch chuyển bình phương trung bình của một hạt đã được V.V. Vladimirsky và Ya.P. Biểu thức thông thường hóa ra chỉ đúng trong những khoảng thời gian t đủ lớn so với thời gian hồi phục. Chúng ta sẽ giới hạn ở việc đơn giản hóa bài toán dựa trên phương trình (35.5).

Chúng ta sẽ coi phương trình ngẫu nhiên này như thể nó là một phương trình vi phân thông thường.

Tích phân nó theo điều kiện ban đầu ta được

Vì, theo giả định, lấy trung bình (35,7) trên một tập hợp các lực ngẫu nhiên sẽ cho

nghĩa là, đối với x, ta thu được cùng một định luật động học từ phương trình (35.1) và từ phương trình Einstein-Fokker (35.2). Bây giờ chúng ta hãy tìm phương sai. Theo (35.7) và (35.8)

và do đó, để có được cần phải thiết lập hàm tương quan cường độ ngẫu nhiên. Bạn có thể chỉ định bất kỳ hàm tương quan nào được cho phép bởi các hạn chế chung về dạng của nó, nhưng chúng tôi sẽ đưa ra một giả định đặc biệt, cụ thể là, chúng tôi sẽ giả định rằng một quá trình tương quan delta cố định:

trong đó C là hằng số. Lưu ý rằng do đó xung lực

là một hàm ngẫu nhiên liên tục với các gia số độc lập và do đó thường được phân phối cho mọi t (§ 34).

Thay (35.10) vào (35.9), ta tìm được

(35.11)

Nếu chúng ta đặt , thì biểu thức này sẽ trùng với biểu thức (35.4) thu được từ phương trình Einstein-Fokker (35.2).

Chúng tôi chỉ tìm thấy những khoảnh khắc, nhưng có thể nói nhiều hơn thế. Vì độ tăng động lượng được phân phối chuẩn đối với bất kỳ giá trị cho trước nào, nên hiệu hiệu, theo (35.7), là tổng (hay chính xác hơn là giới hạn của tổng) của các đại lượng được phân bố chuẩn. Do đó, phân bố cũng được đưa ra bởi định luật Gaussian có độ phân tán (35.11). Phân bố có điều kiện này (với điều kiện là ) trùng khớp với (35.3). Hơn nữa, thật dễ dàng để xác minh bằng cách thay thế trực tiếp rằng các xác suất có điều kiện thuộc loại này thỏa mãn phương trình Smoluchowski (chúng là các xác suất chuyển tiếp), tức là quá trình hóa ra là Markovian. Do đó, nếu trong phương trình vi phân ngẫu nhiên (35.5), lực ngẫu nhiên ) là dừng và tương quan delta [xem. (35.10)] thì đáp ứng là quá trình Markov khuếch tán có xác suất chuyển tiếp thỏa mãn phương trình Einstein-Fokker với

Cả hai cách tiếp cận - dựa trên phương trình Einstein-Fokker và dựa trên phương trình vi phân ngẫu nhiên cho hàm ngẫu nhiên - hóa ra là tương đương trong bài toán đang xem xét. Tất nhiên, điều này không có nghĩa là chúng giống hệt nhau ngoài nhiệm vụ này. Ví dụ, phương trình Einstein-Fokker có một lợi thế chắc chắn trong trường hợp áp đặt một số hạn chế nhất định đối với tập hợp các giá trị có thể có của hàm ngẫu nhiên (sự hiện diện của các bức tường phản xạ hoặc hấp thụ, v.v.), được tính đến đơn giản bằng cách các điều kiện biên tương ứng. Trong cách phát biểu của bài toán Langevin, việc đưa ra các ràng buộc như vậy là khá khó khăn. Mặt khác, như đã được nhấn mạnh, phương pháp Langevin không yêu cầu lực phải có tương quan delta.

Có lẽ cần lưu ý rằng chính trong trường hợp lực tương quan delta, hoạt động với phương trình vi phân (35.5), theo một nghĩa nào đó, có một đặc tính có điều kiện. Phương trình này không được viết cho x mà cho giá trị tức thời . Nhưng với những cú sốc có tần suất vô hạn, phản ứng không phải là một hàm khả vi, nghĩa là nó không tồn tại (theo bất kỳ ý nghĩa xác suất nào của khái niệm đạo hàm). Như vậy, toàn bộ “phương trình vi phân” chỉ có một ý nghĩa biểu tượng nhất định. Điều này phải được hiểu như sau.

Tích phân hình thức của phương trình (35.5) dẫn đến nghiệm (35.7) cho , không còn gặp rắc rối nữa vì nó chỉ chứa một dila tương quan delta dưới tích phân. Nói cách khác, phương trình (35.5) là

điều này (trong trường hợp lực tương quan delta đang được xem xét) là một ký hiệu không chính xác về mặt toán học cho nghiệm tiếp theo - vốn đã khá có ý nghĩa và cuối cùng là ký hiệu duy nhất mà chúng ta quan tâm - nghiệm của phương trình này. Sự biện minh cho cách tiếp cận này là những ưu điểm nổi tiếng của việc vận hành các phương trình vi phân khi xây dựng một bài toán - khả năng tiến hành từ các định luật động tổng quát, khả năng sử dụng toàn bộ kho công cụ toán học hiện có để thu được lời giải, v.v. thậm chí không nói về thực tế rằng với việc không có tương quan delta, mọi việc đặt trước đều trở nên không cần thiết: các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho chính các hàm ngẫu nhiên khi đó có được nội dung toán học hoàn toàn xác định và hơn nữa, cho phép người ta vượt ra ngoài lớp các quy trình Markov.

Hằng số C trong hàm tương quan (35.10) rõ ràng đặc trưng cho cường độ của các cú sốc ngẫu nhiên. Hãy quay trở lại các biến trong đó lực và phản ứng của hệ liên hợp về mặt năng lượng, nghĩa là tích của lực và đạo hàm của phản ứng biểu thị công suất được truyền cho hệ. Điều này đúng, chẳng hạn, đối với lực trong phương trình (35.6), vì công suất truyền cho hạt bằng . Phương trình (35.6) trở thành (35.5), chia cho khối lượng của hạt m. Do đó, hàm tương quan của lực hiện tại theo (35.10) bằng

Chúng ta đã thiết lập ở trên cái gì và cái gì trong bài toán vận tốc của hạt Brown. Do đó, hằng số C trong hàm tương quan lực bằng

tức là nó chỉ liên quan đến hệ số ma sát hệ thống h. Trong bài toán dòng điện trong mạch, chúng ta phải hiểu nhiệt ngẫu nhiên (§ 28) và h điện trở tác dụng của mạch R nên hằng số tương quan của sẽ là

Phương trình vi phân ngẫu nhiên(SDE) - một phương trình vi phân trong đó một hoặc nhiều thuật ngữ có tính chất ngẫu nhiên, nghĩa là chúng đại diện cho một quá trình ngẫu nhiên (tên gọi khác là một quá trình ngẫu nhiên). Do đó, nghiệm của phương trình cũng là các quá trình ngẫu nhiên. Ví dụ nổi tiếng nhất và được sử dụng thường xuyên nhất của SDE là một phương trình có thuật ngữ mô tả nhiễu trắng (có thể được coi là một ví dụ về đạo hàm của quy trình Wiener). Tuy nhiên, có những loại dao động ngẫu nhiên khác, chẳng hạn như quá trình nhảy (để biết thêm chi tiết, xem).

Câu chuyện

Trong tài liệu, việc sử dụng SDE đầu tiên theo truyền thống gắn liền với công trình mô tả chuyển động Brown, được thực hiện độc lập bởi Marian Smoluchowski (g.) và Albert Einstein (g.). Tuy nhiên, SDE đã được nhà toán học người Pháp Louis Bouchelier sử dụng sớm hơn một chút (năm) trong luận án tiến sĩ “Lý thuyết về các giả định”. Dựa trên ý tưởng của công trình này, nhà vật lý người Pháp Paul Langevin bắt đầu sử dụng SDE trong các công trình vật lý. Sau đó, ông và nhà vật lý người Nga Ruslan Stratonovich đã phát triển một cách chứng minh toán học chặt chẽ hơn cho SDE.

Thuật ngữ

Trong vật lý, SDE thường được viết dưới dạng phương trình Langevin. Và thông thường, không hoàn toàn chính xác, họ gọi nó là phương trình Langevin, mặc dù SDE có thể được viết theo nhiều cách khác. SDE ở dạng phương trình Langevin bao gồm một phương trình vi phân không ngẫu nhiên thông thường và một phần bổ sung mô tả nhiễu trắng. Dạng phổ biến thứ hai là phương trình Fokker–Planck, là một phương trình vi phân từng phần và mô tả sự tiến triển của mật độ xác suất theo thời gian. Dạng thứ ba của SDE thường được sử dụng nhiều hơn trong toán học và toán tài chính, nó giống với các phương trình Langevin, nhưng được viết bằng vi phân ngẫu nhiên (xem chi tiết bên dưới).

Phép tính ngẫu nhiên

Hãy để nó, và để nó

Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên cho các điều kiện ban đầu đã cho

Vì

có một giải pháp duy nhất (theo nghĩa “gần như chắc chắn”) và -liên tục sao cho - một quy trình thích ứng để lọc, được tạo bởi và , , và

Ứng dụng của phương trình ngẫu nhiên

Vật lý

Trong vật lý, SDE thường được viết dưới dạng phương trình Langevin. Ví dụ: hệ thống SDE bậc nhất có thể được viết là:

ở đâu là một tập hợp các ẩn số, là các hàm tùy ý và là các hàm ngẫu nhiên của thời gian, thường được gọi là các thuật ngữ nhiễu. Dạng ký hiệu này được sử dụng vì có một kỹ thuật tiêu chuẩn để chuyển đổi một phương trình có đạo hàm cao hơn thành một hệ phương trình bậc nhất bằng cách đưa vào các ẩn số mới. Nếu là hằng số thì hệ thống được cho là chịu nhiễu phụ. Các hệ thống có nhiễu nhân cũng được xem xét khi . Trong hai trường hợp được xem xét này, nhiễu phụ gia đơn giản hơn. Giải pháp cho một hệ thống có nhiễu cộng thường có thể được tìm thấy chỉ bằng các phương pháp phân tích toán học tiêu chuẩn. Đặc biệt, có thể sử dụng phương pháp tổng hợp thông thường của các hàm chưa biết. Tuy nhiên, trong trường hợp nhiễu nhân, phương trình Langevin được xác định kém theo nghĩa phân tích toán học thông thường và phải được giải thích theo phép tính của Ito hoặc phép tính của Stratonovich.

Trong vật lý, phương pháp chính để giải SDE là tìm nghiệm dưới dạng mật độ xác suất và biến đổi phương trình ban đầu thành phương trình Fokker-Planck. Phương trình Fokker-Planck là một phương trình vi phân từng phần không có số hạng ngẫu nhiên. Nó xác định sự tiến triển theo thời gian của mật độ xác suất, giống như phương trình Schrödinger xác định sự phụ thuộc thời gian của hàm sóng của một hệ trong cơ học lượng tử hay phương trình khuếch tán xác định sự tiến triển theo thời gian của nồng độ hóa học. Lời giải cũng có thể được tìm kiếm bằng số, ví dụ như sử dụng phương pháp Monte Carlo. Các kỹ thuật giải khác sử dụng tích phân đường, kỹ thuật này dựa trên sự tương tự giữa vật lý thống kê và cơ học lượng tử (ví dụ, phương trình Fokker-Planck có thể được chuyển đổi thành phương trình Schrödinger bằng cách sử dụng một số phép biến đổi biến), hoặc giải các phương trình vi phân thông thường cho các khoảnh khắc của mật độ xác suất.

Lý thuyết xác suất và toán tài chính

Sinh vật học

Hoá học

Liên kết

Thế giới ngẫu nhiên - Giới thiệu đơn giản về phương trình vi phân ngẫu nhiên

Văn học

Adomian George Hệ thống ngẫu nhiên. - Orlando, FL: Nhà xuất bản Học thuật, 1983.
Adomian George Phương trình toán tử ngẫu nhiên phi tuyến. - Orlando, FL: Nhà xuất bản Học thuật, 1986.
Adomian George Lý thuyết hệ thống ngẫu nhiên phi tuyến và ứng dụng vào vật lý. - Dordrecht: Nhóm Nhà xuất bản Học thuật Kluwer, 1989.
Øksendal Bernt K. Phương trình vi phân ngẫu nhiên: Giới thiệu các ứng dụng. - Berlin: Springer, 2003. - ISBN ISBN 3-540-04758-1
Teugels, J. và Sund B. (eds.) Bách khoa toàn thư về khoa học Actuarial. - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523–527.
C. W. Gardiner Sổ tay phương pháp ngẫu nhiên: dành cho Vật lý, Hóa học và Khoa học Tự nhiên. - Springer, 2004. - P. 415.
Thomas Mikosch Phép tính ngẫu nhiên cơ bản: với Tài chính trong tầm nhìn. - Singapore: Nhà xuất bản Khoa học Thế giới, 1998. - P. 212. - ISBN ISBN 981-02-3543-7
Bachelier, L. Théorie de la suy đoán (bằng tiếng Pháp), Luận án tiến sĩ. - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900. - ISBN Bằng tiếng Anh năm 1971 cuốn sách "Đặc tính ngẫu nhiên của thị trường chứng khoán" Eds. P.H. Cootner

1. Trong số các quá trình Ito X = (Xt)t^o, có vi phân ngẫu nhiên
dXt = a(t,oj)dt + P(t,oj)dBt, (1)
một vai trò quan trọng được đóng bởi những yếu tố mà các hệ số a(t, a>) và (3(t, u) phụ thuộc vào a(t,u) = a(t,Xt(u>)), /3(t ,u> ) = b(t,Xt(si)), (2)
trong đó a = a(t, x) và b = b(t, x) là các hàm đo được trên M+ x K. Vì vậy, ví dụ, quá trình
St=S0eateaBt-4-\\ (3)
được gọi là chuyển động Brown hình học hay kinh tế (xem § For), có (theo công thức Ito) một vi phân ngẫu nhiên
dSt = aSt dt + aSt dBt. (4)
Quá trình
=f
Joe thứ 3
bạn (5)
có thể dễ dàng xác minh bằng cách sử dụng công thức Ito, một vi phân
dYt = (1 + aYt) dt + oYt dBt. (6)
(Quá trình Y = (Yt)t^o đóng vai trò quan trọng trong các bài toán phát hiện nhanh những thay đổi về độ lệch cục bộ của chuyển động Brown; xem.) Nếu
Г, Г* du Г* dBu1
(7)
zt = st
Zq + (сі - ас2) / -Х- + С2
Jo Jo.
với một số hằng số c\\ và c2, sau đó, lại sử dụng công thức Ito, người ta xác minh rằng
dZt = (сі + aZt) dt + (c2 + aZt) dBt. (8)
Trong các ví dụ đã cho, chúng ta bắt đầu từ dạng “rõ ràng” của các quá trình S = (St), У = (УІ), Z = (Zt) và sử dụng công thức Ito, chúng ta thu được vi phân ngẫu nhiên của chúng (4), (6) và (8).
Tuy nhiên, có thể thay đổi quan điểm, cụ thể là coi (4), (6) và (8) là các phương trình vi phân ngẫu nhiên đối với các quá trình chưa biết S = (St), Y = (Yt), Z = (Zt) và cố gắng chứng minh rằng các nghiệm tìm được (3), (5) và (7) là (theo một nghĩa nào đó) là nghiệm duy nhất của các phương trình này.
Đương nhiên, cần phải đưa ra một ý nghĩa chính xác cho chính khái niệm “phương trình vi phân ngẫu nhiên”, để xác định “nghiệm” của nó là gì và nên hiểu “tính duy nhất” của nghiệm đó theo nghĩa nào.
Khi xác định tất cả các khái niệm này, được thảo luận dưới đây, vai trò then chốt của khái niệm tích phân ngẫu nhiên được giới thiệu ở trên.
2. Chúng ta sẽ giả sử rằng không gian xác suất được lọc (cơ sở ngẫu nhiên) (ft, (^t)t^Oi P) được cho với các điều kiện thông thường (mục 2, §7a) và đặt B = (Bt,&t)f^ o là chuyển động Brown.
Cho a = a(t, x) và b = b(t, x) là các hàm đo được trên K+ x M.
Định nghĩa 1. Phương trình vi phân ngẫu nhiên được gọi là
dXt = a(t, Xt)dt + b(t,Xt) dBt (9)
với điều kiện ban đầu ^-đo được Xo có nghiệm mạnh liên tục (hoặc đơn giản là nghiệm) X = (Xt)t^o, nếu với mỗi t > O
Xt là ^-có thể đo được,
P(^J* \\a(s,Xa)\\ds p(^J* b2(s,Xa)ds (12)
Xt=Xo+ Ґ a(s,Xa) ds + Ґ b(s,Xa)dBa. Jo Jo
Định nghĩa 2. Hai quá trình ngẫu nhiên liên tục X = (Xt)t^o và Y = (Yt)t^0 được gọi là không thể phân biệt ngẫu nhiên nếu với mọi t > O
p(sup|Xs -Ys\\ >0) =0. (13)
Va và (R-p.n.)
Định nghĩa 3. Chúng ta sẽ nói rằng hàm đo được / ¦ f(t, x), được xác định trên R+ x K, thỏa mãn (đối với biến pha x) điều kiện Lipschitz cục bộ nếu với mọi n ^ 1 tồn tại một hằng số K (n) sao cho với mọi t > 0 và |x| \\a(t,x)-a(t,y)\\ + \\b(t,x)-b(t,y)\\ Định lý 1 (K. Ito, ; xem thêm, ví dụ, , ). Cho các hệ số a(t,x) ub(t,x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz cục bộ và điều kiện tăng trưởng tuyến tính:
la(t,x)\\ + \\b(t,x)\\ và đặt điều kiện ban đầu XQ là ^-có thể đo được.
Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên (9) có nghiệm liên tục duy nhất (đến mức không thể phân biệt được ngẫu nhiên) X = (Xt,&t), đó là một quá trình Markov.
Có những khái quát hóa kết quả này theo các hướng khác nhau: điều kiện Lipschitz cục bộ bị suy yếu, cho phép sự phụ thuộc (nhưng có tính chất đặc biệt) của các hệ số vào u>, các trường hợp phụ thuộc của các hệ số a - a(t,Xt) và b = b(t,Xt) được xem xét từ “quá khứ” (theo ký hiệu hơi lỏng lẻo: a = a(t; Xs, s). Ngoài ra còn có những khái quát hóa cho trường hợp đa chiều, khi X = (X1,..., Xd) là một quá trình vectơ, a = a(t,x) - vectơ, b = b(t,x) - ma trận và B = (B1,... ,Bd) - chuyển động Brownian d-chiều Xem về vấn đề này , Ví dụ, , , .
Từ những cách tổng quát hóa khác nhau, chúng tôi chỉ trình bày một kết quả hơi bất ngờ của A.K. Zvonkin, phát biểu rằng đối với sự tồn tại nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên.
dXt = a(t, Xt)dt + dBt (15)
Hoàn toàn không cần phải đáp ứng điều kiện Lipschitz cục bộ mà chỉ cần có khả năng đo được trong (?, x) và giới hạn đều của hệ số a(t, x) là đủ. (A. Yu. Veretennikov đã thu được sự khái quát hóa đa chiều của kết quả này, .)
Vì vậy, ví dụ, phương trình vi phân ngẫu nhiên
dXt = a(Xt) dt + dBt, X0 = 0, (16)
với hệ số "xấu"
G 1, x > O,
I. -1, x có, và hơn nữa, là một nghiệm mạnh, độc đáo.
Tuy nhiên, lưu ý rằng nếu thay vì phương trình (16) chúng ta xét phương trình
dXt=a(Xt)dBt, Xo = 0, (18)
với cùng một hàm ср(х), tình huống thay đổi đáng kể, vì, thứ nhất, có những không gian xác suất mà phương trình này rõ ràng có ít nhất hai nghiệm mạnh, và thứ hai, trên một số không gian xác suất, phương trình này có thể không có nghiệm mạnh không hề.
Để chứng tỏ tính đúng đắn của phát biểu đầu tiên, hãy xem xét không gian của các hàm liên tục u> = (u>t)t>o với độ đo Wiener một quá trình Wiener tọa độ cho trước W = (Wt)t^Oi, tức là sao cho Wt( w)=wt ,t>0.
Sau đó, theo định lý Levy (xem điểm 3 trong §3b), xử lý B = (Bt)t^o cho
Bt= С o(Ws)dWa Jo
cũng sẽ là quá trình Wiener (chuyển động Brown). Và thật dễ dàng để thấy rằng
[ o(Wa)dBa = [ o2(Wa)dWa=Wt, Jo Jo
vì cr2(x) = 1.
Do đó, quá trình W =¦ (Wt)t^o là (trong không gian xác suất đang được xem xét) là nghiệm của phương trình (18) với chuyển động Brown được chọn đặc biệt B¦ Nhưng, vì cr(-x) = -cr(x ), sau đó
[ o(Wa)dBa = -Wt, Jo
Г o(-Wa) dBa = - Jo
những thứ kia. cùng với W = (Wt)t^о thì quá trình -W = (-Wt)t>о cũng là nghiệm của phương trình (18).
Đối với tuyên bố thứ hai, chúng tôi giả sử rằng phương trình 1
Xt= [ o(Xa)dBs Jo
có một nghiệm mạnh (liên quan đến dòng của đại số a (được sinh ra bởi chuyển động Brown B). Từ định lý Levy suy ra rằng quá trình X = (Xt, o là chuyển động Brownian).
Theo công thức Taiak (xem thêm § 5c và so sánh với ví dụ ở § lb, Chương II):
\\Xt\\= Г a(Xa)dXa+Lt(0), Jo
ở đâu
Lt(0) = giới hạn- f I(\\Xa\\^e)da
ej.0 AZ Jo
- giờ địa phương (Lévy) của chuyển động Brown X, nó trôi qua ở mức 0 trong khoảng thời gian. Vì thế (R-p.n.)
Bt= Г o(Xa)dXa = \\Xt\\-Lt(0) Jo
và do đó, C
Giả định ở trên rằng X được điều chỉnh theo thông lượng = (&t)t^o ngụ ý bao gồm C\

Thông tin thêm về chủ đề § Ze. Phương trình vi phân ngẫu nhiên:

Chương 9. Các yếu tố của lý thuyết phương trình vi phân thường
Vào đầu những năm 70, F. Black và M. Scholes đã phát triển một mô hình ước tính phí quyền chọn mua kiểu Châu Âu đối với những cổ phiếu không trả cổ tức. Công thức thu được là kết quả của việc giải phương trình vi phân Black-Schole của họ. Chúng tôi xem xét phương trình này trong đoạn tiếp theo.
Phần II Phân tích toán học và phương trình vi phân
6. Phương trình liên hệ giá của chứng khoán phái sinh với giá thị trường của rủi ro. Mô hình ngẫu nhiên thời gian liên tục cho lãi suất ngắn hạn và định giá trái phiếu
PHỤ LỤC 2. 2.1. Phương trình vi phân cho một tài sản phái sinh trên mỗi cổ phiếu trả cổ tức gộp liên tục
Hệ phương trình phụ thuộc lẫn nhau (hệ phương trình đồng thời khớp)
Chi phí gia tăng (tăng thêm hoặc chênh lệch)

- Bản quyền - Vận động chính sách - Luật hành chính - Thủ tục hành chính - Luật chống độc quyền và cạnh tranh - Quy trình trọng tài (kinh tế) - Kiểm toán - Hệ thống ngân hàng - Luật ngân hàng - Kinh doanh - Kế toán - Luật tài sản - Luật và hành chính nhà nước - Luật và quy trình dân sự - Lưu thông luật tiền tệ , tài chính, tín dụng - Tiền tệ - Luật ngoại giao và lãnh sự - Luật hợp đồng - Luật nhà ở - Luật đất đai - Luật bầu cử - Luật đầu tư - Luật thông tin - Thủ tục thi hành án - Lịch sử nhà nước và pháp luật - Lịch sử học thuyết chính trị và pháp luật -