Bảng tích phân của các hàm lượng giác. Tích hợp các hàm lượng giác

Tích phân của các hàm lượng giác.
Ví dụ về giải pháp

Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét tích phân của các hàm lượng giác, tức là việc điền các tích phân sẽ là sin, cosin, tiếp tuyến và cotang trong các tổ hợp khác nhau. Tất cả các ví dụ sẽ được phân tích chi tiết, dễ tiếp cận và dễ hiểu ngay cả đối với một ấm trà.

Để nghiên cứu thành công tích phân của hàm lượng giác, bạn phải hiểu rõ về tích phân đơn giản nhất, cũng như nắm vững một số kỹ thuật tích phân. Bạn có thể làm quen với những tài liệu này trong các bài giảng Tích phân không xác định. Ví dụ về giải pháp Và .

Và bây giờ chúng ta cần: Bảng tích phân, Bảng phái sinh Và Thư mục các công thức lượng giác. Tất cả các dụng cụ giảng dạy có thể được tìm thấy trên trang Các công thức và bảng toán học. Tôi khuyên bạn nên in mọi thứ ra. Tôi đặc biệt tập trung vào các công thức lượng giác, chúng phải ở trước mắt bạn– không có điều này, hiệu quả công việc sẽ giảm đi rõ rệt.

Nhưng trước tiên, về tích phân là gì trong bài viết này KHÔNG. Không có tích phân nào có dạng , - cosin, sin, nhân với một số đa thức (ít gặp hơn là thứ có tiếp tuyến hoặc cotang). Những tích phân như vậy được tích phân từng phần và để tìm hiểu phương pháp, hãy xem bài học Tích phân từng phần. Ví dụ về nghiệm. Ngoài ra, ở đây không có tích phân nào với "vòm" - arctangent, arcsine, v.v., chúng cũng thường được tích phân theo từng phần.

Khi tìm tích phân của hàm lượng giác, một số phương pháp được sử dụng:

(4) Chúng tôi sử dụng công thức dạng bảng , điểm khác biệt duy nhất là thay vì “X” chúng ta có một biểu thức phức tạp.

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Tìm tích phân không xác định.

Một tác phẩm kinh điển thuộc thể loại dành cho những ai đang chìm đắm trong cuộc thi. Như bạn có thể nhận thấy, trong bảng tích phân không có tích phân của tiếp tuyến và côtang, tuy nhiên, có thể tìm thấy những tích phân như vậy.

(1) Chúng tôi sử dụng công thức lượng giác

(2) Ta đưa hàm số dưới dấu vi phân.

(3) Chúng ta sử dụng tích phân bảng .

Ví dụ 4

Tìm tích phân không xác định.

Đây là ví dụ về cách giải độc lập, lời giải và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Ví dụ 5

Tìm tích phân không xác định.

Bằng cấp của chúng ta sẽ tăng dần lên =))
Đầu tiên là giải pháp:

(1) Chúng tôi sử dụng công thức

(2) Chúng tôi sử dụng đồng nhất thức lượng giác chính , từ đó suy ra rằng .

(3) Chia tử số cho mẫu số theo số hạng.

(4) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân không xác định.

(5) Chúng tôi tích hợp bằng bảng.

Ví dụ 6

Tìm tích phân không xác định.

Đây là ví dụ về cách giải độc lập, lời giải và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Ngoài ra còn có tích phân của tiếp tuyến và côtang, có lũy thừa cao hơn. Tích phân của lập phương tiếp tuyến được thảo luận trong bài học Làm thế nào để tính diện tích của một hình phẳng? Tích phân của tiếp tuyến (cotangent) với lũy thừa bậc bốn và bậc năm có thể thu được trên trang này tích phân phức.

Giảm mức độ tích phân

Kỹ thuật này hoạt động khi các hàm tích phân chứa đầy các hàm sin và cosin trong thậm chíđộ. Để giảm độ thì dùng công thức lượng giác , và , và công thức cuối cùng thường được sử dụng theo hướng ngược lại: .

Ví dụ 7

Tìm tích phân không xác định.

Giải pháp:

Về nguyên tắc, không có gì mới ở đây ngoại trừ việc chúng ta áp dụng công thức (giảm mức độ của tích phân). Xin lưu ý rằng tôi đã rút ngắn giải pháp. Khi bạn tích lũy được kinh nghiệm, tích phân của có thể được tìm bằng miệng; điều này giúp tiết kiệm thời gian và hoàn toàn có thể chấp nhận được khi hoàn thành bài tập. Trong trường hợp này, không nên mô tả quy tắc , đầu tiên chúng ta lấy tích phân của 1 bằng lời nói, sau đó của .

Ví dụ 8

Tìm tích phân không xác định.

Đây là ví dụ về cách giải độc lập, lời giải và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Đây là mức tăng đã hứa:

Ví dụ 9

Tìm tích phân không xác định.

Đầu tiên là giải pháp, sau đó là nhận xét:

(1) Chuẩn bị tích phân để áp dụng công thức .

(2) Thực tế chúng tôi áp dụng công thức.

(3) Chúng ta bình phương mẫu số và lấy hằng số ra khỏi dấu tích phân. Nó có thể được thực hiện khác đi một chút, nhưng theo tôi, nó thuận tiện hơn.

(4) Chúng tôi sử dụng công thức

(5) Trong số hạng thứ ba, chúng ta lại giảm bậc nhưng sử dụng công thức .

(6) Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự (ở đây tôi chia từng thuật ngữ và thực hiện phép cộng).

(7) Thật ra, ta lấy tích phân, quy tắc tuyến tính và phương pháp gộp hàm dưới dấu vi phân được thực hiện bằng miệng.

(8) Kết hợp câu trả lời.

! Trong tích phân không xác định, đáp án thường có thể được viết bằng nhiều cách

Trong ví dụ vừa xem xét, câu trả lời cuối cùng có thể được viết khác - mở ngoặc và thậm chí làm điều này trước khi lấy tích phân biểu thức, nghĩa là phần kết thúc sau đây của ví dụ là hoàn toàn có thể chấp nhận được:

Rất có thể phương án này còn tiện lợi hơn nữa, tôi chỉ giải thích theo cách tôi vẫn quen giải quyết). Đây là một ví dụ điển hình khác cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 10

Tìm tích phân không xác định.

Ví dụ này có thể được giải quyết theo hai cách và bạn có thể thành công hai câu trả lời hoàn toàn khác nhau(chính xác hơn, chúng trông hoàn toàn khác nhau, nhưng từ quan điểm toán học, chúng sẽ tương đương nhau). Rất có thể, bạn sẽ không thấy được phương pháp hợp lý nhất và sẽ gặp khó khăn khi mở ngoặc và sử dụng các công thức lượng giác khác. Giải pháp hiệu quả nhất được đưa ra ở cuối bài học.

Để tóm tắt đoạn văn, chúng ta kết luận: bất kỳ tích phân nào có dạng , ở đâu và – thậm chí số, được giải bằng cách giảm bậc của tích phân.
Trong thực tế, tôi đã gặp các tích phân có 8 và 10 độ, và tôi phải giải quyết tình trạng lộn xộn khủng khiếp của chúng bằng cách giảm độ vài lần, dẫn đến các câu trả lời dài, rất dài.

Phương pháp thay thế biến

Như đã đề cập trong bài viết Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định, điều kiện tiên quyết chính để sử dụng phương pháp thay thế là trong tích phân có một hàm nhất định và đạo hàm của nó:
(chức năng không nhất thiết phải có trong sản phẩm)

Ví dụ 11

Tìm tích phân không xác định.

Chúng ta nhìn vào bảng đạo hàm và nhận thấy các công thức, , nghĩa là, trong tích phân của chúng ta có một hàm và đạo hàm của nó. Tuy nhiên, chúng ta thấy rằng trong quá trình lấy vi phân, cosine và sin biến đổi lẫn nhau và câu hỏi đặt ra: làm thế nào để thực hiện một phép đổi biến và chúng ta hiểu sin hay cos là gì?! Câu hỏi có thể được giải quyết bằng cách chọc phá khoa học: nếu chúng ta thực hiện thay thế không chính xác thì sẽ chẳng có gì tốt đẹp cả.

Hướng dẫn chung: trong những trường hợp tương tự, bạn cần chỉ định hàm nằm trong mẫu số.

Chúng tôi làm gián đoạn giải pháp và thay thế

Mọi thứ đều ổn ở mẫu số, mọi thứ chỉ phụ thuộc vào , bây giờ việc còn lại là tìm xem nó sẽ biến thành cái gì.
Để làm điều này, chúng tôi tìm thấy sự khác biệt:

Hay nói tóm lại:
Từ đẳng thức thu được, sử dụng quy tắc tỷ lệ, chúng ta biểu diễn biểu thức mà chúng ta cần:

Vì thế:

Bây giờ toàn bộ tích phân của chúng ta chỉ phụ thuộc vào và chúng ta có thể tiếp tục giải

Sẵn sàng. Hãy để tôi nhắc bạn rằng mục đích của việc thay thế là để đơn giản hóa tích phân; trong trường hợp này, mọi thứ đều liên quan đến việc lấy tích phân hàm lũy thừa theo bảng.

Không phải ngẫu nhiên mà tôi mô tả ví dụ này một cách chi tiết như vậy; việc này được thực hiện nhằm mục đích lặp lại và củng cố tài liệu bài học; Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định.

Và bây giờ là hai ví dụ cho giải pháp của riêng bạn:

Ví dụ 12

Tìm tích phân không xác định.

Ví dụ 13

Tìm tích phân không xác định.

Hoàn thiện đáp án và đáp án ở cuối bài.

Ví dụ 14

Tìm tích phân không xác định.

Ở đây một lần nữa, trong tích phân, có sin và cosin (một hàm có đạo hàm), nhưng trong một tích, và một vấn đề nan giải nảy sinh - chúng ta hiểu sin hay cos là gì?

Bạn có thể thử thực hiện thay thế bằng cách chọc khoa học và nếu không có tác dụng thì chỉ định nó là một chức năng khác, nhưng có:

Hướng dẫn chung: bạn cần chỉ định chức năng đó, nói theo nghĩa bóng, là ở “vị trí không thoải mái”.

Chúng ta thấy rằng trong ví dụ này, cosin sinh viên “chịu đựng” mức độ và sin tự nó nằm yên.

Vì vậy, hãy thực hiện thay thế:

Nếu ai còn gặp khó khăn với thuật toán thay biến và tìm vi phân thì nên quay lại bài học Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định.

Ví dụ 15

Tìm tích phân không xác định.

Hãy phân tích tích phân, ký hiệu là gì?
Hãy nhớ nguyên tắc của chúng tôi:
1) Hàm số có nhiều khả năng nằm ở mẫu số;
2) Chức năng ở “vị trí không thuận tiện”.

Nhân tiện, những hướng dẫn này không chỉ có giá trị đối với các hàm lượng giác.

Sin phù hợp với cả hai tiêu chí (đặc biệt là tiêu chí thứ hai), do đó, một sự thay thế sẽ tự gợi ý. Về nguyên tắc, việc thay thế đã có thể được thực hiện, nhưng trước tiên, bạn nên tìm hiểu xem phải làm gì với nó? Đầu tiên, chúng ta “chọn” một cosin:

Chúng tôi dự trữ cho sự khác biệt “tương lai” của chúng tôi

Và chúng ta biểu diễn nó thông qua sin bằng cách sử dụng đồng nhất thức lượng giác cơ bản:

Bây giờ đây là sự thay thế:

Quy tắc chung: Nếu trong tích phân một trong các hàm lượng giác (sin hoặc cos) nằm trong số lẻđộ, thì bạn cần phải “cắt bỏ” một chức năng ở mức độ lẻ và chỉ định một chức năng khác đằng sau nó. Chúng ta chỉ đang nói về tích phân trong đó có cosin và sin.

Trong ví dụ đã xem xét, chúng ta có cosin có lũy thừa lẻ, vì vậy chúng ta lấy một cosin khỏi lũy thừa và gọi nó là sin.

Ví dụ 16

Tìm tích phân không xác định.

Bằng cấp đang cất cánh =).
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Thay thế lượng giác phổ quát

Thay thế lượng giác phổ quát là trường hợp phổ biến của phương pháp thay thế biến. Bạn có thể thử sử dụng nó khi bạn “không biết phải làm gì”. Nhưng trên thực tế có một số hướng dẫn cho việc áp dụng nó. Các tích phân điển hình cần áp dụng phép thay thế lượng giác phổ quát là các tích phân sau: , , , vân vân.

Ví dụ 17

Tìm tích phân không xác định.

Phép thay thế lượng giác phổ quát trong trường hợp này được thực hiện theo cách sau. Hãy thay thế: . Tôi không sử dụng chữ cái, nhưng chữ cái, đây không phải là một loại quy tắc nào đó, chỉ là, một lần nữa, tôi đã quen giải quyết mọi việc theo cách này.

Ở đây sẽ thuận tiện hơn khi tìm ra sự khác biệt cho điều này, từ đẳng thức, tôi bày tỏ:
Tôi gắn một arctang vào cả hai phần:

Arctang và tiếp tuyến triệt tiêu lẫn nhau:

Như vậy:

Trong thực tế, bạn không cần phải mô tả chi tiết như vậy mà chỉ cần sử dụng kết quả đã hoàn thành:

! Biểu thức chỉ hợp lệ nếu dưới sin và cosin, chúng ta chỉ có “X”, cho tích phân (mà chúng ta sẽ nói sau) mọi thứ sẽ khác một chút!

Khi thay thế, sin và cosin biến thành các phân số sau:
, , những đẳng thức này dựa trên các công thức lượng giác nổi tiếng: ,

Vì vậy, thiết kế cuối cùng có thể trông như thế này:

Hãy thực hiện một phép thay thế lượng giác phổ quát:

Các công thức lượng giác cơ bản và các phép thế cơ bản được trình bày. Các phương pháp tích phân các hàm lượng giác được trình bày - tích phân các hàm hữu tỉ, tích các hàm lũy thừa của sin x và cos x, tích của đa thức, hàm mũ và sin hoặc cos, tích phân các hàm lượng giác nghịch đảo. Các phương pháp không chuẩn bị ảnh hưởng.

Nội dung

Các phương pháp tiêu chuẩn để tích hợp hàm lượng giác

Cách tiếp cận chung

Đầu tiên, nếu cần, tích phân phải được biến đổi sao cho các hàm lượng giác phụ thuộc vào một đối số duy nhất, giống như biến tích phân.

Ví dụ, nếu tích phân phụ thuộc vào tội lỗi(x+a) Và cos(x+b), thì bạn nên thực hiện chuyển đổi:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + tội lỗi ( x+a ) tội lỗi (b-a).
Sau đó thực hiện thay thế z = x+a.

Kết quả là các hàm lượng giác sẽ chỉ phụ thuộc vào biến tích phân z. Khi các hàm lượng giác phụ thuộc vào một đối số trùng với biến tích phân (giả sử là z ), nghĩa là tích phân chỉ bao gồm các hàm như, tội lỗi z, vì z, tgz ctg z
.
, thì bạn cần phải thay thế

Sự thay thế như vậy dẫn đến sự tích hợp của các hàm hữu tỷ hoặc vô tỷ (nếu có nghiệm) và cho phép tính tích phân nếu nó được tích hợp trong các hàm cơ bản.

Tuy nhiên, bạn thường có thể tìm các phương pháp khác cho phép bạn tính tích phân theo cách ngắn hơn, dựa trên các đặc trưng của tích phân. Dưới đây là tóm tắt các phương pháp chính như vậy.

Phương pháp tích phân hàm số sin x và cos x Các hàm hữu tỉ từ Và tội lỗi x vì x Các hàm hữu tỉ từ, tội lỗi x là các hàm được hình thành từ và bất kỳ hằng số nào sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên lũy thừa số nguyên. Chúng được chỉ định như sau: R(sin x, cos x)
Tích phân của hàm số hữu tỉ có dạng:
.

Các phương pháp tích phân các hàm lượng giác hữu tỉ như sau.
1) Phép thay thế luôn dẫn đến tích phân của một phân số hữu tỷ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, có những sự thay thế (được trình bày dưới đây) dẫn đến việc tính toán ngắn hơn.
2) Nếu R và bất kỳ hằng số nào sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên lũy thừa số nguyên. Chúng được chỉ định như sau: R cos x → - cos x Các hàm hữu tỉ từ.
3) Nếu R và bất kỳ hằng số nào sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên lũy thừa số nguyên. Chúng được chỉ định như sau: R nhân với -1 khi thay thế tội lỗi x → - tội lỗi x, thì sự thay thế t = tội lỗi x.
4) Nếu R và bất kỳ hằng số nào sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên lũy thừa số nguyên. Chúng được chỉ định như sau: R không thay đổi khi thay thế đồng thời cos x → - cos x, Và tội lỗi x → - tội lỗi x, thì sự thay thế t = tg x hoặc t = ctg x.

Ví dụ:
, , .

Tích các hàm lũy thừa của cos x và sin x

Tích phân có dạng

là tích phân của các hàm lượng giác hữu tỉ. Do đó, các phương pháp được nêu trong phần trước có thể được áp dụng cho chúng. Các phương pháp dựa trên đặc thù của tích phân như vậy sẽ được thảo luận dưới đây.

Nếu m và n là số hữu tỷ thì một trong các phép thay thế t = Các hàm hữu tỉ từ hoặc t = tội lỗi x tích phân được rút gọn thành tích phân của nhị thức vi phân.

Nếu m và n là số nguyên thì việc tích phân được thực hiện bằng công thức rút gọn:

;
;
;
.

Ví dụ:
.

Tích phân của tích đa thức và sin hoặc cosin

Tích phân có dạng:
, ,
trong đó P(x) là đa thức trong x, được tích phân từng phần. Điều này đưa ra các công thức sau:

;
.

Ví dụ:
, .

Tích phân của tích của đa thức, hàm mũ và sin hoặc cosin

Tích phân có dạng:
, ,
trong đó P(x) là đa thức trong x, được tích phân bằng công thức Euler
e iax = cos rìu + isin rìu(trong đó tôi 2 = - 1 ).
Để làm điều này, sử dụng phương pháp đã nêu ở đoạn trước, hãy tính tích phân
.
Bằng cách tách phần thực và phần ảo khỏi kết quả, ta thu được tích phân ban đầu.

Ví dụ:
.

Các phương pháp không chuẩn để tích hợp hàm lượng giác

Dưới đây là một số phương pháp không chuẩn cho phép bạn thực hiện hoặc đơn giản hóa việc tích hợp các hàm lượng giác.

Sự phụ thuộc vào (a sin x + b cos x)

Nếu tích phân chỉ phụ thuộc vào a sin x + b cos x, thì sẽ rất hữu ích khi áp dụng công thức:
,
Ở đâu .

Ví dụ

Giải các phân số từ sin và cos thành các phân số đơn giản hơn

Xét tích phân
.
Phương pháp tích phân đơn giản nhất là phân tích phân số thành phân số đơn giản hơn bằng cách sử dụng phép biến đổi:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Tích phân phân số bậc một

Khi tính tích phân
,
thuận tiện để tách phần nguyên của phân số và đạo hàm của mẫu số
Một 1 sin x + b 1 cos x = MỘT (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Các hằng số A và B được tìm thấy bằng cách so sánh bên trái và bên phải.

Văn học đã qua sử dụng:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Tuyển tập các bài toán cao cấp, “Lan”, 2003.

Xem thêm:

Ví dụ về nghiệm tích phân từng phần được xem xét chi tiết, tích phân của nó là tích của một đa thức với hàm mũ (e mũ x) hoặc sin (sin x) hoặc cosin (cos x).

Nội dung

Xem thêm: Phương pháp tích hợp từng phần
Bảng tích phân không xác định
Phương pháp tính tích phân không xác định
Các hàm cơ bản cơ bản và tính chất của chúng

Công thức tích phân từng phần

Khi giải các ví dụ trong phần này, công thức tích phân từng phần được sử dụng:
;
.

Ví dụ về tích phân chứa tích của một đa thức và sin x, cos x hoặc e x

Dưới đây là ví dụ về tích phân như vậy:
, , .

Để lấy tích phân như vậy, đa thức được ký hiệu là u và phần còn lại là v dx.

Tiếp theo, áp dụng công thức tích phân từng phần.

Dưới đây là giải pháp chi tiết cho những ví dụ này.

Ví dụ về giải tích phân

Ví dụ với số mũ, e lũy thừa của x
.

Xác định tích phân:
Hãy để chúng tôi giới thiệu số mũ dưới dấu vi phân:.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Hãy tích hợp từng phần.
.
Đây
.
.
.
Ta cũng lấy tích phân còn lại từng phần.
.

Cuối cùng chúng ta có:

Ví dụ về định nghĩa tích phân với sin
.

Tính tích phân:

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Hãy giới thiệu sin dưới dấu vi phân: ở đây u = x 2 , v = cos(2 x+3) ( , du = )′ x 2

dx

Ta cũng lấy tích phân còn lại từng phần. Để làm điều này, hãy đưa cosin vào dưới dấu vi phân. ở đây u = x, v = tội lỗi(2 x+3)

Ta cũng lấy tích phân còn lại từng phần.

, du = dx

Ví dụ về định nghĩa tích phân với sin
.

Ví dụ về tích của đa thức và cosine

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Hãy giới thiệu cosin dưới dấu vi phân: ở đây bạn = x 2 + 3 x + 5 , v = cos(2 x+3) ( tội lỗi 2 x )′ x 2

x 2 + 3 x + 5

Cũng sẽ có những nhiệm vụ để bạn tự giải quyết và bạn có thể xem câu trả lời.

Tích phân có thể được chuyển đổi từ tích của các hàm lượng giác thành tổng

Chúng ta hãy xem xét các tích phân trong đó tích phân là tích của sin và cosin bậc một của x nhân với các thừa số khác nhau, nghĩa là tích phân có dạng

(2)
(3)
(4)
Sử dụng các công thức lượng giác nổi tiếng

(5)

(6)

người ta có thể biến đổi từng tích phân của dạng (31) thành tổng đại số và lấy tích phân theo công thức Ví dụ 1.

Tìm thấy

Giải pháp. Theo công thức (2) tại Ví dụ 2. Tìm thấy

tích phân của hàm lượng giác

Giải pháp. Theo công thức (3) tại Ví dụ 2. Tìm thấy

Ví dụ 3. Giải pháp. Theo công thức (4) tại

chúng ta thu được phép biến đổi sau của tích phân:

Áp dụng công thức (6), ta thu được

Bây giờ chúng ta hãy xem xét tích phân của các hàm là tích của lũy thừa sin và cosin của cùng một đối số, tức là

(7)

Trong trường hợp đặc biệt, một trong các chỉ số ( tôi hoặc N) có thể bằng không.

Khi tích phân các hàm như vậy, người ta sử dụng rằng lũy thừa chẵn của cosin có thể được biểu thị thông qua sin và vi phân của sin bằng cos xdx(hoặc thậm chí lũy thừa của sin có thể được biểu diễn dưới dạng cosin, và vi phân của cosine bằng - sin xdx ) .

Cần phân biệt hai trường hợp: 1) ít nhất một trong các chỉ số tôi Và N số lẻ; 2) cả hai chỉ số đều chẵn.

Hãy để trường hợp đầu tiên xảy ra, cụ thể là chỉ báo N = 2k+ 1 - lẻ. Sau đó, cho rằng

Tích phân được trình bày theo cách mà một phần của nó chỉ là hàm của sin, còn phần kia là vi phân của sin. Hiện đang sử dụng thay thế biến t= tội lỗi x lời giải rút gọn thành tích phân đa thức đối với t. Nếu chỉ bằng cấp tôi lẻ thì họ cũng làm tương tự, cô lập yếu tố sin x, biểu diễn phần còn lại của tích phân dưới dạng cos x và tin tưởng t= cos x. Kỹ thuật này cũng có thể được sử dụng khi tích phân lũy thừa của sin và cosin , Khi ít nhất một trong các chỉ số là số lẻ . Toàn bộ vấn đề là ở chỗ đó thương số lũy thừa của sin và cos là trường hợp đặc biệt của tích của chúng : Khi một hàm lượng giác nằm trong mẫu số của một số nguyên thì bậc của nó là âm. Nhưng cũng có những trường hợp hàm lượng giác riêng phần, khi lũy thừa của chúng chỉ chẵn. Về họ - trong đoạn tiếp theo.

Nếu cả hai chỉ số tôi Và N- thậm chí, khi đó, sử dụng các công thức lượng giác

giảm số mũ của sin và cos, sau đó thu được tích phân cùng loại như trên. Vì vậy, việc tích hợp nên được tiếp tục theo cùng một kế hoạch. Nếu một trong các số mũ chẵn là âm, nghĩa là thương số của lũy thừa chẵn của sin và cosine được xem xét, thì sơ đồ này không phù hợp. . Sau đó, việc thay đổi biến được sử dụng tùy thuộc vào cách chuyển đổi tích phân. Trường hợp như vậy sẽ được xem xét trong đoạn tiếp theo.

Ví dụ 4. Ví dụ 2. Tìm thấy

Giải pháp. Số mũ cosin là số lẻ. Vì vậy, hãy tưởng tượng

t= tội lỗi x(Sau đó dt= cos x dx ). Sau đó chúng tôi nhận được

Quay trở lại biến cũ, cuối cùng chúng ta cũng tìm thấy

Ví dụ 5. Ví dụ 2. Tìm thấy

Giải pháp. Số mũ cosin, như trong ví dụ trước, là số lẻ nhưng lớn hơn. Hãy tưởng tượng

và thực hiện thay đổi biến t= tội lỗi x(Sau đó dt= cos x dx ). Sau đó chúng tôi nhận được

Hãy mở dấu ngoặc

và chúng tôi nhận được

Quay lại biến cũ ta được lời giải

Ví dụ 6. Ví dụ 2. Tìm thấy

Giải pháp. Số mũ của sin và cosin là số chẵn. Do đó, chúng ta biến đổi hàm tích phân như sau:

Sau đó chúng tôi nhận được

Trong tích phân thứ hai, chúng ta thực hiện phép đổi biến, đặt t= tội lỗi2 x. Sau đó (1/2)dt= cos2 x dx . Kể từ đây,

Cuối cùng chúng tôi nhận được

Sử dụng phương pháp thay thế biến

Phương pháp thay thế biến khi tích phân các hàm lượng giác, nó có thể được sử dụng trong trường hợp số nguyên chỉ chứa sin hoặc chỉ cosine, tích của sin và cos, trong đó sin hoặc cos ở bậc một, tiếp tuyến hoặc cotang, cũng như thương của thậm chí lũy thừa của sin và cosin của cùng một lập luận. Trong trường hợp này, có thể thực hiện các hoán vị không chỉ sin x = t và tội lỗi x = t, nhưng cũng tg x = t và ctg x = t .

Ví dụ 8. Ví dụ 2. Tìm thấy

Giải pháp. Hãy thay đổi biến: , sau đó . Tích phân thu được có thể được tích hợp dễ dàng bằng cách sử dụng bảng tích phân:

Ví dụ 9. Ví dụ 2. Tìm thấy

Giải pháp. Hãy biến đổi tiếp tuyến thành tỉ số của sin và cosin:

Hãy thay đổi biến: , sau đó . Tích phân kết quả là bảng tích phân bằng dấu trừ:

Quay trở lại biến ban đầu, cuối cùng chúng ta nhận được:

Ví dụ 10. Ví dụ 2. Tìm thấy

Giải pháp. Hãy thay đổi biến: , sau đó .

Hãy biến đổi tích phân để áp dụng đồng nhất thức lượng giác :

Chúng ta thay đổi biến, không quên đặt dấu trừ trước tích phân (xem ở trên, cái gì bằng dt). Tiếp theo, chúng ta tính tích phân và tích phân bằng bảng:

Quay trở lại biến ban đầu, cuối cùng chúng ta nhận được:

Tự tìm tích phân của hàm lượng giác rồi xem cách giải

Thay thế lượng giác phổ quát

Thay thế lượng giác phổ quát có thể được sử dụng trong trường hợp số nguyên không thuộc các trường hợp được thảo luận trong các đoạn trước. Về cơ bản, khi sin hoặc cos (hoặc cả hai) nằm ở mẫu số của một phân số. Người ta đã chứng minh rằng sin và cosin có thể được thay thế bằng một biểu thức khác chứa tang của một nửa góc ban đầu như sau:

Nhưng lưu ý rằng sự thay thế lượng giác phổ quát thường đòi hỏi các phép biến đổi đại số khá phức tạp, vì vậy nó được sử dụng tốt nhất khi không có phương pháp nào khác hoạt động được. Chúng ta hãy xem xét các ví dụ trong đó, cùng với phép thay thế lượng giác phổ quát, phép thay thế dưới dấu vi phân và phương pháp hệ số không xác định được sử dụng.

Ví dụ 12. Ví dụ 2. Tìm thấy

Giải pháp. Giải pháp. Hãy tận dụng thay thế lượng giác phổ quát. Sau đó
.

Chúng ta nhân các phân số ở tử số và mẫu số với , rồi lấy hai phân số đó ra và đặt trước dấu tích phân. Sau đó

Bảng nguyên hàm ("tích phân"). Bảng tích phân. Tích phân không xác định dạng bảng. (Các tích phân và tích phân đơn giản nhất có tham số). Công thức tích phân từng phần. Công thức Newton-Leibniz.

Bảng nguyên hàm ("tích phân").
Tích phân không xác định dạng bảng.	Tích phân không xác định dạng bảng.
(Các tích phân và tích phân đơn giản nhất có tham số).

	Tích phân của hàm năng lượng.
Tích phân rút gọn thành tích phân của hàm lũy thừa nếu x được điều khiển dưới dấu vi phân.	Tích phân của một số mũ, trong đó a là một số không đổi.

Tích phân của hàm số mũ phức tạp.	Tích phân của hàm số mũ.
	Tích phân của hàm số mũ.
Tích phân bằng logarit tự nhiên.	Tích phân: "Logarit dài".
Tích phân bằng logarit tự nhiên.

Tích phân: "Logarit cao".	Một tích phân, trong đó x ở tử số được đặt dưới dấu vi phân (hằng số dưới dấu có thể được cộng hoặc trừ), cuối cùng tương tự như tích phân bằng logarit tự nhiên.
Tích phân cosin.	Tích phân sin.

Tích phân bằng tiếp tuyến.
Tích phân bằng cotang.	Tích phân bằng cả arcsine và arccosine

Tích phân bằng cả arcsine và arccosine.	Tích phân bằng cả arctang và arctang.
Tích phân bằng cosecant.	Tích phân bằng sec.
Tích phân bằng cosecant.	Tích phân bằng cosecant.

Tích phân bằng arcsec.	Tích phân bằng arccosecant.

Tích phân bằng sin hyperbol.	Tích phân bằng cosin hyperbol.
Tích phân bằng sin hyperbol, trong đó sinhx là sin hyperbol trong phiên bản tiếng Anh.	Tích phân bằng cos hyperbol, trong đó sinhx là sin hyperbol trong phiên bản tiếng Anh.
Tích phân bằng tang hyperbol.	Tích phân bằng cotang hyperbol.

Tích phân bằng sec hyperbol.

Tích phân bằng cosec hyperbol.
Công thức tích phân từng phần. Quy luật hội nhập.
Công thức tích phân từng phần. Công thức Newton-Leibniz.
Tích phân một sản phẩm (hàm) theo một hằng số:
Tích phân tổng các hàm: tích phân không xác định:
Công thức tích phân từng phần tích phân không xác định:	tích phân xác định:

Công thức Newton-Leibniz

Trong đó F(a),F(b) lần lượt là giá trị của nguyên hàm tại các điểm b và a.

Bảng dẫn xuất. Đạo hàm dạng bảng."dẫn xuất bảng" - vâng, thật không may, đây chính xác là cách chúng được tìm kiếm trên Internet
	Đạo hàm của hàm lũy thừa

	Đạo hàm của số mũ
Đạo hàm của hàm số mũ phức tạp	Đạo hàm của hàm số mũ

Đạo hàm của hàm logarit	Đạo hàm của logarit tự nhiên
	Đạo hàm logarit tự nhiên của hàm số

Đạo hàm của sin	Đạo hàm của cosin
Đạo hàm của cosecant	Đạo hàm của secant
Dẫn xuất của arcsine	Đạo hàm của cung cosin
Dẫn xuất của arcsine	Đạo hàm của cung cosin
Đạo hàm tiếp tuyến	Đạo hàm của cotang
Đạo hàm của arctang	Đạo hàm của cung cotang
Đạo hàm của arctang	Đạo hàm của cung cotang
Đạo hàm của arcsecant	Dẫn xuất của arccosecant
Đạo hàm của arcsecant	Dẫn xuất của arccosecant

Đạo hàm của sin hyperbol Đạo hàm của sin hyperbol trong phiên bản tiếng Anh	Đạo hàm của cosin hyperbol Đạo hàm của cosin hyperbol trong phiên bản tiếng Anh
Đạo hàm của tang hyperbol	Đạo hàm của cotang hyperbol
Đạo hàm của sec hyperbol	Đạo hàm của cosec hyperbol

Quy luật phân biệt. Dẫn xuất của sản phẩm. Đạo hàm của thương số.
Đạo hàm của hàm phức.
Đạo hàm của một tích (hàm) theo một hằng số:
Đạo hàm của tổng (hàm):
Dẫn xuất của sản phẩm (chức năng):
Đạo hàm của thương (của hàm số):

Đạo hàm của hàm phức:

Tính chất của logarit. Các công thức cơ bản của logarit. Thập phân (lg) và logarit tự nhiên (ln).
Nhận dạng logarit cơ bản
Hãy chỉ ra cách bất kỳ hàm số nào có dạng a b đều có thể biến thành hàm mũ. Vì hàm số có dạng e x được gọi là hàm mũ nên

Bất kỳ hàm số nào có dạng a b đều có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của mười

Logarit tự nhiên ln (logarit cơ số e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; log(1)=0

Chuỗi Taylor. Khai triển chuỗi Taylor của hàm số. Hóa ra là phần lớn thực tế gặp phải

Các hàm toán học có thể được biểu diễn với bất kỳ độ chính xác nào trong vùng lân cận của một điểm nhất định dưới dạng chuỗi lũy thừa chứa lũy thừa của một biến theo thứ tự tăng dần. Ví dụ: trong vùng lân cận của điểm x=1: Khi sử dụng chuỗi có tên Hàng của Taylor,

các hàm hỗn hợp chứa các hàm đại số, lượng giác và hàm mũ có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm đại số thuần túy. Bằng cách sử dụng chuỗi, bạn thường có thể nhanh chóng thực hiện phép tính vi phân và tích phân.

1) , trong đó f(x) là hàm có đạo hàm mọi bậc tại x = a. R n - số hạng còn lại trong chuỗi Taylor được xác định bởi biểu thức

Hệ số thứ k (tại x k) của dãy được xác định theo công thức

3) Trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor là chuỗi Maclaurin (=McLaren) (sự mở rộng xảy ra xung quanh điểm a=0)

tại a=0

các phần tử của dãy được xác định theo công thức

Điều kiện sử dụng chuỗi Taylor.

1. Để hàm f(x) được mở rộng thành chuỗi Taylor trên khoảng (-R;R), điều cần thiết và đủ là số hạng còn lại trong công thức Taylor (Maclaurin (=McLaren)) cho hàm này hàm có xu hướng về 0 khi k →∞ trên khoảng xác định (-R;R).

2. Điều cần thiết là phải có đạo hàm của một hàm số cho trước tại điểm gần đó mà chúng ta sẽ xây dựng chuỗi Taylor.

Tính chất của chuỗi Taylor.

Nếu f là một hàm giải tích thì chuỗi Taylor của nó tại bất kỳ điểm a nào trong miền định nghĩa của f đều hội tụ về f trong một lân cận nào đó của a.

Có các hàm khả vi vô hạn mà chuỗi Taylor hội tụ, nhưng đồng thời khác với hàm trong bất kỳ lân cận nào của a. Ví dụ:

Chuỗi Taylor được sử dụng để tính gần đúng (xấp xỉ là một phương pháp khoa học bao gồm việc thay thế một số đối tượng bằng các đối tượng khác, theo nghĩa này hay nghĩa khác gần với đối tượng ban đầu, nhưng đơn giản hơn) của một hàm bằng đa thức. Cụ thể, tuyến tính hóa ((từ tuyến tính - tuyến tính), một trong những phương pháp biểu diễn gần đúng của các hệ phi tuyến khép kín, trong đó việc nghiên cứu hệ phi tuyến được thay thế bằng phân tích hệ tuyến tính, theo một nghĩa nào đó tương đương với hệ ban đầu .) phương trình xảy ra bằng cách khai triển thành chuỗi Taylor và cắt bỏ tất cả các số hạng ở trên bậc một.

Do đó, hầu hết mọi hàm đều có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức với độ chính xác nhất định.

Ví dụ về một số khai triển phổ biến của hàm lũy thừa trong chuỗi Maclaurin (=McLaren, Taylor ở lân cận điểm 0) và Taylor ở lân cận điểm 1. Các số hạng đầu tiên của khai triển các hàm chính trong chuỗi Taylor và McLaren.

Ví dụ về một số khai triển phổ biến của hàm lũy thừa trong chuỗi Maclaurin (=McLaren, Taylor ở lân cận điểm 0)