Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét chi tiết các quy tắc cơ bản của chủ đề quan trọng khóa học toán học, như mở ngoặc đơn. Bạn cần biết các quy tắc mở dấu ngoặc đơn để giải đúng các phương trình mà chúng được sử dụng.
Cách mở ngoặc đúng khi thêm
Mở rộng dấu ngoặc đứng trước dấu “+”
Đây là trường hợp đơn giản nhất, vì nếu có dấu cộng ở phía trước dấu ngoặc thì dấu bên trong dấu ngoặc đó không thay đổi khi mở dấu ngoặc. Ví dụ:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Cách mở rộng dấu ngoặc đơn đứng trước dấu "-"
TRONG trong trường hợp này bạn cần viết lại tất cả các thuật ngữ không có dấu ngoặc, nhưng đồng thời thay đổi tất cả các dấu hiệu bên trong chúng thành các thuật ngữ ngược lại. Các dấu hiệu chỉ thay đổi đối với các thuật ngữ trong ngoặc có dấu “-” trước. Ví dụ:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Cách mở ngoặc khi nhân
Trước dấu ngoặc có số nhân
Trong trường hợp này, bạn cần nhân mỗi số hạng với một thừa số và mở dấu ngoặc mà không thay đổi dấu. Nếu số nhân có dấu “-”, thì trong quá trình nhân, dấu của các số hạng sẽ bị đảo ngược. Ví dụ:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Cách mở hai dấu ngoặc đơn bằng dấu nhân giữa chúng
Trong trường hợp này, bạn cần nhân từng số hạng trong ngoặc đầu tiên với mỗi số hạng trong ngoặc thứ hai rồi cộng kết quả lại. Ví dụ:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Cách mở dấu ngoặc đơn trong hình vuông
Nếu tổng hoặc hiệu của hai số hạng là bình phương thì mở ngoặc theo công thức sau:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Trong trường hợp dấu trừ bên trong ngoặc, công thức không thay đổi. Ví dụ:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Cách mở rộng dấu ngoặc đơn sang một mức độ khác
Ví dụ: nếu tổng hoặc hiệu của các số hạng được nâng lên lũy thừa thứ 3 hoặc thứ 4, thì bạn chỉ cần chia lũy thừa của dấu ngoặc thành “hình vuông”. Các lũy thừa của các thừa số giống nhau được cộng lại và khi chia, lũy thừa của số chia sẽ bị trừ khỏi lũy thừa của số bị chia. Ví dụ:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Cách mở 3 dấu ngoặc
Có những phương trình trong đó nhân 3 dấu ngoặc cùng một lúc. Trong trường hợp này, trước tiên bạn phải nhân các số hạng của hai dấu ngoặc đầu tiên với nhau, sau đó nhân tổng của phép nhân này với các số hạng của dấu ngoặc thứ ba. Ví dụ:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Các quy tắc mở ngoặc này áp dụng như nhau cho việc giải cả phương trình tuyến tính và phương trình lượng giác.
Dấu ngoặc đơn mở rộng là một loại chuyển đổi biểu thức. Trong phần này chúng ta sẽ mô tả các quy tắc mở dấu ngoặc đơn, đồng thời xem xét các ví dụ vấn đề phổ biến nhất.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Dấu ngoặc đơn mở là gì?
Dấu ngoặc đơn được sử dụng để chỉ ra thứ tự thực hiện các hành động trong các biểu thức số, chữ và biến. Thật thuận tiện khi di chuyển từ một biểu thức có dấu ngoặc đến biểu thức giống hệt bằng với biểu thức không có dấu ngoặc đơn. Ví dụ: thay thế biểu thức 2 · (3 + 4) bằng biểu thức có dạng 2 3 + 2 4 không có dấu ngoặc đơn. Kỹ thuật này được gọi là mở ngoặc.
Định nghĩa 1
Dấu ngoặc đơn mở rộng đề cập đến các kỹ thuật loại bỏ dấu ngoặc đơn và thường được xem xét liên quan đến các biểu thức có thể chứa:
- ký hiệu “+” hoặc “-” trước dấu ngoặc đơn chứa tổng hoặc hiệu;
- tích của một số, một chữ cái hoặc nhiều chữ cái và một tổng hoặc hiệu, được đặt trong ngoặc.
Đây là cách chúng ta quen xem xét quá trình mở ngoặc trong khóa học chương trình giảng dạy ở trường. Tuy nhiên, không ai ngăn cản chúng ta xem xét hành động này một cách rộng rãi hơn. Chúng ta có thể gọi dấu ngoặc đơn mở đầu quá trình chuyển đổi từ biểu thức chứa số âm trong ngoặc đơn sang biểu thức không có dấu ngoặc đơn. Ví dụ: chúng ta có thể đi từ 5 + (- 3) − (- 7) đến 5 − 3 + 7. Thực ra đây cũng là cách mở ngoặc đơn.
Theo cách tương tự, chúng ta có thể thay thế tích của các biểu thức trong ngoặc có dạng (a + b) · (c + d) bằng tổng a · c + a · d + b · c + b · d. Kỹ thuật này cũng không mâu thuẫn với ý nghĩa của việc mở dấu ngoặc đơn.
Đây là một ví dụ khác. Chúng ta có thể giả sử rằng bất kỳ biểu thức nào cũng có thể được sử dụng trong biểu thức thay vì số và biến. Ví dụ: biểu thức x 2 · 1 a - x + sin (b) sẽ tương ứng với biểu thức không có dấu ngoặc có dạng x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Một điểm nữa đáng được quan tâm đặc biệt, liên quan đến đặc thù của việc ghi lại các quyết định khi mở ngoặc. Chúng ta có thể viết biểu thức ban đầu bằng dấu ngoặc và kết quả thu được sau khi mở dấu ngoặc là một đẳng thức. Ví dụ: sau khi mở rộng dấu ngoặc đơn thay vì biểu thức 3 − (5 − 7) chúng tôi nhận được biểu thức 3 − 5 + 7 . Chúng ta có thể viết cả hai biểu thức này dưới dạng đẳng thức 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.
Thực hiện các hành động với biểu thức phức tạp có thể yêu cầu ghi lại kết quả trung gian. Khi đó nghiệm sẽ có dạng một chuỗi đẳng thức. Ví dụ, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 hoặc 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Quy tắc mở ngoặc, ví dụ
Hãy bắt đầu xem xét các quy tắc mở dấu ngoặc đơn.
Đối với các số đơn trong ngoặc
Số âm trong ngoặc đơn thường được tìm thấy trong biểu thức. Ví dụ: (− 4) và 3 + (− 4) . Những số dương trong ngoặc cũng có chỗ đứng.
Chúng ta hãy xây dựng quy tắc mở ngoặc đơn chứa các số dương đơn lẻ. Giả sử a là số dương bất kỳ. Khi đó chúng ta có thể thay thế (a) bằng a, + (a) bằng + a, - (a) bằng – a. Nếu thay vì a chúng ta lấy con số cụ thể, thì theo quy tắc: số (5) sẽ được viết là 5 , biểu thức 3 + (5) không có ngoặc sẽ có dạng 3 + 5 , vì + (5) được thay thế bằng + 5 , và biểu thức 3 + (- 5) tương đương với biểu thức 3 − 5 , bởi vì + (− 5) được thay thế bởi − 5 .
Số dương thường được viết mà không sử dụng dấu ngoặc đơn vì dấu ngoặc đơn là không cần thiết trong trường hợp này.
Bây giờ hãy xem xét quy tắc mở dấu ngoặc đơn có chứa một số âm. + (- a) chúng tôi thay thế bằng − một, − (- a) được thay thế bằng + a. Nếu biểu thức bắt đầu bằng số âm (−a), được viết trong ngoặc thì dấu ngoặc được bỏ qua và thay vào đó (−a) còn lại − một.
Dưới đây là một số ví dụ: (- 5) có thể viết là − 5, (- 3) + 0, 5 trở thành − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) trở thành 4 − 3 , và − (− 4) − (− 3) sau khi mở ngoặc có dạng 4 + 3, vì − (− 4) và − (− 3) được thay thế bằng + 4 và + 3 .
Cần hiểu rằng biểu thức 3 · (- 5) không thể viết là 3 · − 5. Về điều này chúng ta sẽ nói chuyện trong các đoạn văn sau.
Chúng ta hãy xem các quy tắc mở dấu ngoặc đơn dựa trên những gì.
Theo quy luật, hiệu a − b bằng a + (− b) . Dựa vào tính chất của các hành động với số, chúng ta có thể tạo ra một chuỗi đẳng thức (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = ađiều đó sẽ công bằng. Chuỗi đẳng thức này, nhờ ý nghĩa của phép trừ, chứng tỏ biểu thức a + (- b) là hiệu a−b.
Dựa trên thuộc tính số đối diện và các quy tắc trừ số âm, chúng ta có thể phát biểu rằng − (- a) = a, a − (- b) = a + b.
Có những biểu thức được tạo thành từ một số, dấu trừ và một vài cặp dấu ngoặc đơn. Sử dụng các quy tắc trên cho phép bạn loại bỏ các dấu ngoặc một cách tuần tự, chuyển từ dấu ngoặc trong sang dấu ngoặc ngoài hoặc trong hướng ngược lại. Một ví dụ về biểu thức như vậy sẽ là − (- ((- (5)))) . Hãy mở ngoặc, di chuyển từ trong ra ngoài: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Ví dụ này cũng có thể được phân tích theo hướng ngược lại: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Dưới Một và b có thể được hiểu không chỉ là số mà còn là số hoặc số tùy ý. biểu thức nghĩa đen có dấu "+" ở phía trước, không phải là tổng hoặc hiệu. Trong tất cả các trường hợp này, bạn có thể áp dụng các quy tắc giống như cách chúng tôi đã làm cho các số đơn trong ngoặc đơn.
Ví dụ, sau khi mở dấu ngoặc đơn biểu thức − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) sẽ có dạng 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Chúng tôi đã làm điều đó như thế nào? Chúng ta biết rằng − (- 2 x) là + 2 x, và vì biểu thức này đứng đầu nên + 2 x có thể được viết là 2 x, − (x 2) = − x 2, + (- 1 x) = − 1 x và − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
Trong tích của hai số
Hãy bắt đầu với quy tắc mở ngoặc trong tích hai số.
Hãy giả sử rằng Một và b là hai số dương. Trong trường hợp này, tích của hai số âm − một và − b có dạng (- a) · (- b) chúng ta có thể thay thế bằng (a · b) , và tích của hai số bằng dấu hiệu trái ngược có dạng (- a) · b và a · (- b) thay thế bằng (- ab). Nhân một dấu trừ với một dấu trừ sẽ là một dấu cộng, và nhân một dấu trừ với một dấu cộng, giống như nhân một dấu cộng với một dấu trừ sẽ là một dấu trừ.
Tính đúng đắn của phần đầu tiên của quy tắc viết được xác nhận bằng quy tắc nhân số âm. Để xác nhận phần thứ hai của quy tắc, chúng ta có thể sử dụng quy tắc nhân số với dấu hiệu khác nhau.
Hãy xem xét một vài ví dụ.
Ví dụ 1
Hãy xem xét thuật toán mở dấu ngoặc đơn trong tích của hai số âm - 4 3 5 và - 2, có dạng (- 2) · - 4 3 5. Để thực hiện việc này, hãy thay thế biểu thức ban đầu bằng 2 · 4 3 5 . Hãy mở ngoặc và nhận 2 · 4 3 5 .
Và nếu chúng ta lấy thương số âm (- 4) : (- 2), thì mục sau khi mở ngoặc sẽ có dạng 4: 2
Thay cho số âm − một và − b có thể là bất kỳ biểu thức nào có dấu trừ ở phía trước mà không phải là tổng hoặc hiệu. Ví dụ: đây có thể là tích, thương, phân số, lũy thừa, căn bậc, logarit, hàm lượng giác vân vân.
Hãy mở dấu ngoặc trong biểu thức - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Theo quy tắc, chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi sau: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Sự biểu lộ (- 3) 2 có thể được chuyển đổi thành biểu thức (- 3 2) . Sau này, bạn có thể mở rộng dấu ngoặc: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Chia số có dấu khác nhau cũng có thể yêu cầu mở rộng dấu ngoặc đơn sơ bộ: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 và 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Quy tắc này có thể được sử dụng để thực hiện phép nhân và chia các biểu thức có dấu khác nhau. Hãy đưa ra hai ví dụ.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin(x) (- x 2) = (- sin(x) x 2) = - sin(x) x 2
Trong các sản phẩm có ba số trở lên
Hãy chuyển sang các sản phẩm và thương số có chứa hơn những con số. Để mở rộng dấu ngoặc đơn sẽ hoạt động ở đây quy tắc tiếp theo. Nếu có số âm chẵn, bạn có thể bỏ dấu ngoặc đơn và thay thế các số bằng số đối của chúng. Sau đó, bạn cần đặt biểu thức kết quả vào dấu ngoặc mới. Nếu có số âm lẻ, hãy bỏ dấu ngoặc đơn và thay thế các số bằng số đối của chúng. Sau đó, biểu thức thu được phải được đặt trong dấu ngoặc mới và dấu trừ phải được đặt trước biểu thức đó.
Ví dụ 2
Ví dụ: lấy biểu thức 5 · (- 3) · (- 2) , là tích của ba số. Có hai số âm nên ta có thể viết biểu thức dưới dạng (5 · 3 · 2) rồi cuối cùng mở ngoặc, thu được biểu thức 5 · 3 · 2.
Trong tích (- 2, 5) · (- 3) : (- 2) · 4: (- 1, 25) : (- 1) năm số âm. do đó (- 2, 5) · (- 3) : (- 2) · 4: (- 1, 25) : (- 1) = (- 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Cuối cùng đã mở ngoặc, chúng tôi nhận được −2,5 3:2 4:1,25:1.
Quy luật trên có thể giải thích được như sau. Đầu tiên, chúng ta có thể viết lại các biểu thức đó dưới dạng tích, thay thế chúng bằng phép nhân với số nghịch đảo phân công. Chúng ta biểu thị mỗi số âm là tích của một số nhân và - 1 hoặc - 1 được thay thế bằng (- 1) một.
Sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân, ta hoán đổi các thừa số và chuyển tất cả các thừa số bằng − 1 , đến đầu biểu thức. Tích của một số chẵn trừ một bằng 1, tích của một số lẻ bằng − 1 , cho phép chúng ta sử dụng dấu trừ.
Nếu chúng ta không sử dụng quy tắc, thì chuỗi hành động để mở dấu ngoặc đơn trong biểu thức - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 sẽ như thế này:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Quy tắc trên có thể được sử dụng khi mở dấu ngoặc đơn trong biểu thức biểu thị tích và thương bằng dấu trừ không phải là tổng hoặc hiệu. Hãy lấy ví dụ biểu thức
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Nó có thể được rút gọn thành biểu thức không có dấu ngoặc đơn x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Dấu ngoặc đơn mở rộng đứng trước dấu +
Hãy xem xét một quy tắc có thể được áp dụng để mở rộng các dấu ngoặc đơn đứng trước dấu cộng và “nội dung” của các dấu ngoặc đơn đó không được nhân hoặc chia cho bất kỳ số hoặc biểu thức nào.
Theo quy tắc, các dấu ngoặc cùng với dấu ở phía trước được bỏ qua, còn dấu của tất cả các thuật ngữ trong ngoặc được giữ nguyên. Nếu không có dấu trước số hạng đầu tiên trong ngoặc thì bạn cần đặt dấu cộng.
Ví dụ 3
Ví dụ, chúng tôi đưa ra biểu thức (12 − 3 , 5) − 7 . Bằng cách bỏ dấu ngoặc đơn, chúng ta giữ dấu của các số hạng trong ngoặc đơn và đặt dấu cộng trước số hạng đầu tiên. Mục nhập sẽ có dạng (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Trong ví dụ đã cho, không cần thiết phải đặt dấu trước số hạng đầu tiên, vì + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.
Ví dụ 4
Hãy xem một ví dụ khác. Hãy lấy biểu thức x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x và thực hiện các hành động với nó x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Đây là một ví dụ khác về việc mở rộng dấu ngoặc đơn:
Ví dụ 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Dấu ngoặc đơn đứng trước dấu trừ được mở rộng như thế nào?
Hãy xem xét các trường hợp có dấu trừ ở phía trước dấu ngoặc đơn và không được nhân (hoặc chia) cho bất kỳ số hoặc biểu thức nào. Theo quy tắc mở ngoặc có dấu “-” đứng trước, dấu ngoặc có dấu “-” bị bỏ qua và dấu của tất cả các thuật ngữ bên trong ngoặc bị đảo ngược.
Ví dụ 6
Ví dụ:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Các biểu thức có biến có thể được chuyển đổi bằng quy tắc tương tự:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
ta được x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Mở ngoặc khi nhân một số với dấu ngoặc đơn, biểu thức bằng dấu ngoặc đơn
Ở đây chúng ta sẽ xem xét các trường hợp bạn cần mở rộng dấu ngoặc đơn được nhân hoặc chia cho một số hoặc biểu thức. Công thức dạng (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) hoặc b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Ở đâu a 1 , a 2 , … , a n và b là một số số hoặc biểu thức.
Ví dụ 7
Ví dụ: hãy mở rộng dấu ngoặc đơn trong biểu thức (3 − 7) 2. Theo quy tắc, chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi sau: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Chúng ta nhận được 3 · 2 − 7 · 2 .
Mở ngoặc trong biểu thức 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, ta được 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Nhân dấu ngoặc đơn với dấu ngoặc đơn
Xét tích của hai dấu ngoặc có dạng (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Điều này sẽ giúp chúng ta có được quy tắc mở ngoặc khi thực hiện phép nhân theo từng ngoặc.
Để giải ví dụ đã cho, chúng ta ký hiệu biểu thức (b 1 + b 2) như b. Điều này sẽ cho phép chúng ta sử dụng quy tắc nhân dấu ngoặc đơn với một biểu thức. Chúng ta nhận được (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Bằng cách thực hiện thay thế ngược lại b bởi (b 1 + b 2), lại áp dụng quy tắc nhân một biểu thức với ngoặc: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Nhờ một số kỹ thuật đơn giản, chúng ta có thể tính tổng các tích của từng số hạng trong ngoặc đầu tiên bằng mỗi số hạng trong ngoặc thứ hai. Quy tắc có thể được mở rộng cho bất kỳ số lượng thuật ngữ nào trong ngoặc.
Chúng ta hãy xây dựng quy tắc nhân dấu ngoặc với dấu ngoặc: để nhân hai tổng với nhau, bạn cần nhân từng số hạng của tổng thứ nhất với từng số hạng của tổng thứ hai và cộng kết quả lại.
Công thức sẽ trông như sau:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Hãy mở rộng dấu ngoặc trong biểu thức (1 + x) · (x 2 + x + 6) Nó là tích của hai tổng. Hãy viết đáp án: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Điều đáng nói riêng là những trường hợp có dấu trừ trong ngoặc đơn cùng với dấu cộng. Ví dụ: lấy biểu thức (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Đầu tiên, hãy trình bày các biểu thức trong ngoặc dưới dạng tổng: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Bây giờ chúng ta có thể áp dụng quy tắc: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (- x) · (- 2 · x · y 3))
Hãy mở dấu ngoặc: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Mở rộng dấu ngoặc đơn trong các tích của nhiều dấu ngoặc đơn và biểu thức
Nếu có ba biểu thức trở lên trong ngoặc đơn trong một biểu thức thì các dấu ngoặc đơn phải được mở tuần tự. Bạn cần bắt đầu chuyển đổi bằng cách đặt hai yếu tố đầu tiên vào ngoặc. Trong các dấu ngoặc này, chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi theo các quy tắc đã thảo luận ở trên. Ví dụ: dấu ngoặc đơn trong biểu thức (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Biểu thức chứa ba yếu tố cùng một lúc (2 + 4) , 3 và (5 + 7 8) . Chúng ta sẽ lần lượt mở các dấu ngoặc. Hãy đặt hai yếu tố đầu tiên vào một dấu ngoặc khác mà chúng tôi sẽ tô màu đỏ cho rõ ràng: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Theo quy tắc nhân dấu ngoặc với một số, chúng ta có thể thực hiện các thao tác sau: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Nhân dấu ngoặc với dấu ngoặc: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Giá đỡ bằng hiện vật
Độ có cơ sở là một số biểu thức được viết trong ngoặc, với bằng hiện vật có thể được coi là sản phẩm của một số dấu ngoặc. Hơn nữa, theo quy định của hai đoạn trước chúng có thể được viết mà không cần những dấu ngoặc đơn này.
Hãy xem xét quá trình chuyển đổi biểu thức (a + b + c) 2 . Nó có thể được viết dưới dạng tích của hai dấu ngoặc (a + b + c) · (a + b + c). Hãy nhân dấu ngoặc với dấu ngoặc và nhận được a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Hãy xem một ví dụ khác:
Ví dụ 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Chia dấu ngoặc đơn cho số và dấu ngoặc đơn cho dấu ngoặc đơn
Chia ngoặc cho một số yêu cầu tất cả các số hạng trong ngoặc phải chia cho số đó. Ví dụ: (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Phép chia trước tiên có thể được thay thế bằng phép nhân, sau đó bạn có thể sử dụng quy tắc thích hợp để mở dấu ngoặc đơn trong tích. Quy tắc tương tự được áp dụng khi chia dấu ngoặc đơn cho dấu ngoặc đơn.
Ví dụ: chúng ta cần mở dấu ngoặc đơn trong biểu thức (x + 2) : 2 3 . Để làm điều này, trước tiên hãy thay thế phép chia bằng cách nhân với số nghịch đảo (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Nhân dấu ngoặc với số (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Đây là một ví dụ khác về phép chia bằng dấu ngoặc đơn:
Ví dụ 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Hãy thay phép chia bằng phép nhân: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Hãy thực hiện phép nhân: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Thứ tự mở ngoặc
Bây giờ hãy xem xét thứ tự áp dụng các quy tắc được thảo luận ở trên trong các biểu thức cái nhìn tổng quát, tức là trong các biểu thức chứa tổng có hiệu, tích có thương, dấu ngoặc đơn ở mức độ tự nhiên.
Thủ tục:
- bước đầu tiên là nâng dấu ngoặc lên một sức mạnh tự nhiên;
- ở giai đoạn thứ hai, tiến hành mở ngoặc trong tác phẩm và thương số;
- Bước cuối cùng là mở dấu ngoặc đơn trong tổng và hiệu.
Hãy xem xét thứ tự của các hành động bằng cách sử dụng ví dụ về biểu thức (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Chúng ta hãy biến đổi từ các biểu thức 3 · (− 2) : (− 4) và 6 · (− 7) , biểu thức này sẽ có dạng (3 2:4) và (− 6 · 7) . Khi thay kết quả thu được vào biểu thức ban đầu, ta thu được: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (- 6 · 7) . Mở ngoặc: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Khi xử lý các biểu thức chứa dấu ngoặc đơn bên trong dấu ngoặc đơn, sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện các phép biến đổi bằng cách thực hiện từ trong ra ngoài.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Trong bài học trước chúng ta đã giải quyết vấn đề nhân tử hóa. Chúng ta đã thành thạo hai phương pháp: lấy ra số nhân chung ngoài dấu ngoặc và nhóm. Trong bài học này - phương pháp mạnh mẽ sau đây: công thức nhân rút gọn. Tóm lại - FSU.
Các công thức nhân rút gọn (tổng và hiệu bình phương, tổng và hiệu lập phương, hiệu bình phương, tổng và hiệu lập phương) là vô cùng cần thiết trong tất cả các ngành toán học. Chúng được sử dụng trong việc đơn giản hóa biểu thức, giải phương trình, nhân đa thức, rút gọn phân số, giải tích phân, v.v. vân vân. Nói tóm lại, có mọi lý do để đối phó với chúng. Hiểu chúng đến từ đâu, tại sao chúng cần thiết, cách ghi nhớ chúng và cách áp dụng chúng.
Chúng ta có hiểu không?)
Công thức nhân viết tắt đến từ đâu?
Đẳng thức 6 và 7 không được viết theo cách quen thuộc. Nó hơi ngược lại. Đây là mục đích của bạn.) Bất kỳ sự bình đẳng nào cũng có tác dụng từ trái sang phải và từ phải sang trái. Mục này làm rõ hơn FSU đến từ đâu.
Chúng được lấy từ phép nhân.) Ví dụ:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Thế thôi, không có thủ thuật khoa học nào cả. Chúng tôi chỉ cần nhân các dấu ngoặc và đưa ra những cái tương tự. Hóa ra là thế này tất cả các công thức nhân viết tắt. Viết tắt phép nhân là do trong bản thân các công thức không có phép nhân dấu ngoặc và phép rút gọn các dấu ngoặc tương tự. Viết tắt.) Kết quả được đưa ra ngay lập tức.
FSU cần phải được biết đến bằng trái tim. Không có ba đầu tiên bạn không cần phải mơ về điểm C mà không có phần còn lại - về điểm B hoặc A.)
Tại sao chúng ta cần các công thức nhân viết tắt?
Có hai lý do để học, thậm chí ghi nhớ những công thức này. Đầu tiên là câu trả lời làm sẵn sẽ tự động giảm số lỗi. Nhưng đây không phải là nhất lý do chính. Nhưng cái thứ hai...
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.
Chức năng chính của dấu ngoặc đơn là thay đổi thứ tự hành động khi tính giá trị. Ví dụ, V về mặt số lượng\(5·3+7\) phép nhân sẽ được tính trước, sau đó là phép cộng: \(5·3+7 =15+7=22\). Nhưng trong biểu thức \(5·(3+7)\) phép cộng trong ngoặc sẽ được tính trước, sau đó mới tính phép nhân: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Ví dụ.
Mở rộng dấu ngoặc: \(-(4m+3)\).
Giải pháp
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Ví dụ.
Mở ngoặc và cho các số hạng tương tự \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Giải pháp
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ví dụ.
Mở rộng dấu ngoặc \(5(3-x)\).
Giải pháp
: Trong ngoặc chúng ta có \(3\) và \(-x\), và trước ngoặc có số năm. Điều này có nghĩa là mỗi thành viên trong ngoặc được nhân với \(5\) - Tôi xin nhắc bạn rằng Dấu nhân giữa một số và dấu ngoặc đơn không được viết bằng toán học để giảm kích thước mục.
Ví dụ.
Mở rộng dấu ngoặc \(-2(-3x+5)\).
Giải pháp
: Như trong ví dụ trước, \(-3x\) và \(5\) trong ngoặc đơn được nhân với \(-2\).
Ví dụ.
Rút gọn biểu thức: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Giải pháp
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Nó vẫn còn để xem xét tình huống cuối cùng.
Khi nhân dấu ngoặc với dấu ngoặc, mỗi số hạng của dấu ngoặc đầu tiên được nhân với mỗi số hạng của dấu ngoặc thứ hai:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Ví dụ.
Mở rộng dấu ngoặc \((2-x)(3x-1)\).
Giải pháp
: Chúng ta có tích của dấu ngoặc và có thể khai triển ngay bằng công thức trên. Nhưng để không bị nhầm lẫn, chúng ta hãy làm mọi thứ từng bước một.
Bước 1. Bỏ dấu ngoặc đầu tiên - nhân từng số hạng của nó với dấu ngoặc thứ hai:
Bước 2. Khai triển tích của dấu ngoặc và hệ số như mô tả ở trên:
- Việc đầu tiên trước tiên...
Sau đó là thứ hai.
Bước 3. Bây giờ chúng ta nhân và trình bày các số hạng tương tự:
Không cần thiết phải mô tả chi tiết tất cả các phép biến đổi; bạn có thể nhân chúng ngay lập tức. Nhưng nếu bạn chỉ mới học cách mở ngoặc, viết chi tiết thì sẽ ít có khả năng mắc lỗi.
Lưu ý cho toàn bộ phần. Trên thực tế, bạn không cần phải nhớ cả bốn quy tắc, bạn chỉ cần nhớ một quy tắc, quy tắc này: \(c(a-b)=ca-cb\) . Tại sao? Bởi vì nếu bạn thay thế một thay vì c, bạn sẽ nhận được quy tắc \((a-b)=a-b\) . Và nếu chúng ta thay thế trừ một, chúng ta sẽ có quy tắc \(-(a-b)=-a+b\) . Chà, nếu bạn thay thế dấu ngoặc khác thay vì c, bạn có thể nhận được quy tắc cuối cùng.
Dấu ngoặc đơn trong dấu ngoặc đơn
Đôi khi trong thực tế có vấn đề với các dấu ngoặc được lồng bên trong các dấu ngoặc khác. Đây là một ví dụ về nhiệm vụ như vậy: đơn giản hóa biểu thức \(7x+2(5-(3x+y))\).
Để giải quyết thành công nhiệm vụ tương tự, cần phải:
- hiểu cẩn thận cách lồng các dấu ngoặc - cái nào nằm trong cái nào;
- mở các dấu ngoặc một cách tuần tự, ví dụ, bắt đầu từ dấu ngoặc trong cùng.
Điều quan trọng khi mở một trong các dấu ngoặc đừng chạm vào phần còn lại của biểu thức, chỉ cần viết lại nó như cũ.
Hãy xem nhiệm vụ được viết ở trên làm ví dụ.
Ví dụ.
Mở ngoặc và cho các số hạng tương tự \(7x+2(5-(3x+y))\).
Giải pháp:
Ví dụ.
Mở ngoặc và đưa ra các thuật ngữ tương tự \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Giải pháp
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Có ba dấu ngoặc đơn lồng nhau ở đây. Hãy bắt đầu với cái trong cùng (được đánh dấu bằng màu xanh lá cây). Có một điểm cộng ở phía trước giá đỡ nên nó chỉ bung ra. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Bây giờ bạn cần mở khung thứ hai, khung trung gian. Nhưng trước đó chúng ta sẽ đơn giản hóa biểu thức ghost điều khoản tương tự trong khung thứ hai đó. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Bây giờ chúng ta mở khung thứ hai (được đánh dấu màu xanh lam). Trước dấu ngoặc là một thừa số - vì vậy mỗi số hạng trong ngoặc được nhân với nó. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Và mở dấu ngoặc cuối cùng. Phía trước dấu ngoặc có dấu trừ nên mọi dấu đều bị đảo ngược. |
||
Khai triển dấu ngoặc đơn là một kỹ năng cơ bản trong toán học. Nếu không có kỹ năng này thì không thể đạt điểm trên C ở lớp 8 và lớp 9. Vì vậy, tôi khuyên bạn nên hiểu rõ chủ đề này.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét bình phương của một nhị thức và áp dụng quan điểm số học, chúng ta sẽ nói về bình phương của tổng, tức là (a + b) 2 và bình phương của hiệu của hai số, tức là (a - b )2.
Vì (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),
thì ta tìm được: (a + b) ∙ (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2, tức là
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ kết quả này dưới dạng đẳng thức mô tả ở trên và bằng chữ: bình phương của tổng hai số bằng hình vuông số thứ nhất cộng với tích của 2 với số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.
Biết kết quả này ta có thể viết ngay, ví dụ:
(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
(3ab + 1) 2 = 9a 2 b 2 + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Hãy xem ví dụ thứ hai trong số này. Chúng ta cần bình phương tổng của hai số: số thứ nhất là 3ab, số thứ hai là 1. Kết quả phải là: 1) bình phương của số thứ nhất, tức là (3ab) 2, bằng 9a 2b 2; 2) tích của hai với số thứ nhất và số thứ hai, tức là 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) bình phương của số thứ 2, tức là 1² = 1 - tất cả ba số hạng này phải được cộng lại với nhau.
Chúng ta cũng thu được công thức tính bình phương hiệu của hai số, tức là cho (a – b)²:
(a – b) 2 = (a – b) (a – b) = a 2 – ab – ab + b 2 = a 2 – 2ab + b 2.
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2,
tức là bình phương của hiệu của hai số bằng bình phương của số thứ nhất, trừ tích của hai với số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.
Biết được kết quả này, chúng ta có thể thực hiện ngay việc bình phương các nhị thức, theo quan điểm số học, biểu thị hiệu của hai số.
(m – n) 2 = m 2 – 2mn + n 2
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, v.v.
Hãy giải thích ví dụ thứ 2. Ở đây ta viết trong ngoặc sự khác biệt của hai số: số thứ nhất là 5ab 3 và số thứ hai là 3a 2 b. Kết quả phải là: 1) bình phương của số thứ nhất, tức là (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) tích của hai với số thứ nhất và số thứ hai, tức là 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 và 3) bình phương của số thứ hai, tức là (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Số hạng thứ nhất và thứ ba phải được tính bằng dấu cộng, và số hạng thứ 2 có dấu trừ, chúng ta được 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Để giải thích ví dụ thứ 4, chúng ta chỉ lưu ý rằng 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... số mũ phải nhân với 2 và 2) tích của 2 với số thứ nhất và số thứ 2 = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .
Nếu chúng ta theo quan điểm của đại số, thì cả hai đẳng thức: 1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 và 2) (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 đều biểu thị cùng một điều, cụ thể là: bình phương của nhị thức bằng bình phương của số hạng thứ nhất, cộng với tích của số (+2) với số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai, cộng với bình phương của số hạng thứ hai. Điều này rõ ràng vì đẳng thức của chúng ta có thể được viết lại thành:
1) (a + b) 2 = (+a) 2 + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b) 2
2) (a – b) 2 = (+a) 2 + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b) 2
Trong một số trường hợp, sẽ thuận tiện hơn khi diễn giải các đẳng thức thu được theo cách này:
(–4a – 3b)2 = (–4a) 2 + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b) 2
Ở đây chúng ta bình phương một nhị thức có số hạng đầu tiên = –4a và số hạng thứ hai = –3b. Tiếp theo chúng ta nhận được (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² và cuối cùng:
(–4a – 3b) 2 = 6a 2 + 24ab + 9b 2
Cũng có thể thu thập và ghi nhớ công thức bình phương của một tam thức, tứ thức hoặc bất kỳ đa thức nào nói chung. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không làm điều này, vì chúng ta hiếm khi cần sử dụng các công thức này và nếu cần bình phương bất kỳ đa thức nào (trừ nhị thức), chúng ta sẽ quy vấn đề về phép nhân. Ví dụ:
31. Chúng ta hãy áp dụng 3 đẳng thức thu được, đó là:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
đến số học.
Giả sử nó là 41 ∙ 39. Sau đó, chúng ta có thể biểu diễn giá trị này dưới dạng (40 + 1) (40 – 1) và rút gọn vấn đề về đẳng thức đầu tiên - chúng ta nhận được 40² – 1 hoặc 1600 – 1 = 1599. Nhờ điều này, thật dễ dàng để thực hiện các phép nhân như 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69, v.v.
Đặt nó là 41 ∙ 41; nó giống như 41² hoặc (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Ngoài ra, 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Nếu bạn cần 37 ∙ 37, thì kết quả này bằng (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Các phép nhân (hoặc bình phương) tương tự số có hai chữ số) rất dễ thực hiện, với một số kỹ năng, trong tâm trí.