Trong ngôn ngữ toán học khô khan, phân số là một số được biểu diễn dưới dạng một phần của một. Phân số được sử dụng rộng rãi trong đời sống con người: chúng ta sử dụng phân số để biểu thị tỷ lệ trong công thức nấu ăn, cho điểm thập phân trong các cuộc thi hoặc sử dụng chúng để tính chiết khấu tại các cửa hàng.
Biểu diễn phân số
Có ít nhất hai dạng viết một số phân số: ở dạng thập phân hoặc ở dạng phân số thông thường. Ở dạng thập phân, các số trông giống như 0,5; 0,25 hoặc 1,375. Chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ giá trị nào dưới dạng phân số thông thường:
- 0,5 = 1/2;
- 0,25 = 1/4;
- 1,375 = 11/8.
Và nếu chúng ta dễ dàng chuyển đổi 0,5 và 0,25 từ một phân số thông thường sang số thập phân và ngược lại, thì trong trường hợp số 1,375, mọi thứ không rõ ràng. Làm thế nào để chuyển đổi nhanh chóng bất kỳ số thập phân nào thành phân số? Có ba cách đơn giản.
Thoát khỏi dấu phẩy
Thuật toán đơn giản nhất là nhân một số với 10 cho đến khi dấu phẩy biến mất khỏi tử số. Việc chuyển đổi này được thực hiện theo ba bước:
Bước 1: Để bắt đầu, chúng ta viết số thập phân dưới dạng phân số “số/1”, tức là chúng ta nhận được 0,5/1; 0,25/1 và 1,375/1.
Bước 2: Sau đó, nhân tử số và mẫu số của các phân số mới cho đến khi dấu phẩy biến mất khỏi tử số:
- 0,5/1 = 5/10;
- 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
- 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Bước 3: Chúng tôi giảm các phân số thu được thành dạng dễ tiêu hóa:
- 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
- 25/100 = 1 × 25/4 × 25 = 1/4;
- 1375/1000 = 11 × 125/8 × 125 = 11/8.
Số 1,375 phải nhân với 10 ba lần, điều này không còn tiện lợi nữa, nhưng nếu cần chuyển đổi số 0,000625 thì chúng ta phải làm gì? Trong tình huống này, chúng tôi sử dụng phương pháp chuyển đổi phân số sau đây.
Loại bỏ dấu phẩy thậm chí còn dễ dàng hơn
Phương pháp đầu tiên mô tả chi tiết thuật toán “xóa” dấu phẩy khỏi số thập phân, nhưng chúng ta có thể đơn giản hóa quy trình này. Một lần nữa, chúng tôi làm theo ba bước.
Bước 1: Ta đếm có bao nhiêu chữ số sau dấu thập phân. Ví dụ: số 1,375 có ba chữ số như vậy và 0,000625 có sáu chữ số. Chúng ta sẽ biểu thị đại lượng này bằng chữ n.
Bước 2: Bây giờ chúng ta chỉ cần biểu diễn phân số dưới dạng C/10 n, trong đó C là các chữ số có nghĩa của phân số (không có số 0, nếu có) và n là số chữ số sau dấu thập phân. Ví dụ:
- đối với số 1,375 C = 1375, n = 3 thì phân số cuối cùng theo công thức 1375/10 3 = 1375/1000;
- đối với số 0,000625 C = 625, n = 6, phân số cuối cùng theo công thức 625/10 6 = 625/1000000.
Về cơ bản, 10n là số 1 với n số không, vì vậy bạn không cần phải tăng lũy thừa số mười - chỉ 1 với n số không. Sau này, nên giảm một phần rất giàu số không.
Bước 3: Chúng tôi giảm số không và nhận được kết quả cuối cùng:
- 1375/1000 = 11 × 125/8 × 125 = 11/8;
- 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
Phân số 11/8 là một phân số không đúng vì tử số của nó lớn hơn mẫu số, nghĩa là chúng ta có thể cô lập toàn bộ phần. Trong tình huống này, chúng ta lấy 11/8 trừ toàn bộ phần của 8/8 và nhận được phần còn lại là 3/8, do đó phân số trông giống như 1 và 3/8.
Chuyển đổi bằng tai
Đối với những người có thể đọc chính xác số thập phân, cách dễ nhất để chuyển đổi chúng là bằng tai. Nếu bạn đọc 0,025 không phải là “không, không, hai mươi lăm” mà là “25 phần nghìn”, thì bạn sẽ không gặp vấn đề gì khi chuyển số thập phân thành phân số.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Do đó, việc đọc chính xác một số thập phân cho phép bạn viết ngay nó dưới dạng phân số và giảm nó nếu cần.
Ví dụ về sử dụng phân số trong đời sống hàng ngày
Thoạt nhìn, phân số thông thường thực tế không được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày hoặc tại nơi làm việc, và thật khó để tưởng tượng tình huống khi bạn cần chuyển một phân số thập phân thành phân số thông thường ngoài các nhiệm vụ ở trường. Hãy xem xét một vài ví dụ.
Công việc
Vì vậy, bạn làm việc trong một cửa hàng kẹo và bán halva theo cân. Để làm cho sản phẩm dễ bán hơn, bạn chia halva thành từng kg than bánh, nhưng rất ít người mua sẵn sàng mua cả kg. Vì vậy, mỗi lần bạn phải chia món ăn thành từng phần. Và nếu người mua tiếp theo yêu cầu bạn 0,4 kg halva, bạn sẽ bán cho anh ta phần cần thiết mà không gặp vấn đề gì.
0,4 = 4/10 = 2/5
Mạng sống
Ví dụ: bạn cần tạo dung dịch 12% để vẽ mô hình theo màu bạn muốn. Để làm điều này, bạn cần trộn sơn và dung môi, nhưng làm thế nào để làm điều đó một cách chính xác? 12% là phân số thập phân của 0,12. Chuyển số đó thành phân số chung và nhận được:
0,12 = 12/100 = 3/25
Biết phân số sẽ giúp bạn trộn nguyên liệu chính xác và có được màu sắc như ý muốn.
Phần kết luận
Phân số thường được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày, vì vậy nếu bạn thường xuyên cần chuyển đổi số thập phân thành phân số, bạn sẽ muốn sử dụng máy tính trực tuyến có thể nhận ngay kết quả dưới dạng phân số rút gọn.
Chúng ta đã nói rằng có các phân số bình thường Và số thập phân. Đến đây, chúng ta đã học được một chút về phân số. Chúng tôi đã học được rằng có những phân số đều đặn và không chính xác. Chúng ta cũng đã học được rằng các phân số thông thường có thể được giảm, cộng, trừ, nhân và chia. Và chúng ta cũng đã biết rằng có cái gọi là hỗn số, bao gồm một số nguyên và một phần phân số.
Chúng ta vẫn chưa khám phá đầy đủ các phân số phổ biến. Có nhiều điều tinh tế và chi tiết cần được thảo luận, nhưng hôm nay chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu số thập phân phân số, vì phân số thông thường và phân số thập phân thường phải được kết hợp. Nghĩa là khi giải bài toán bạn phải sử dụng cả hai loại phân số.
Bài học này có vẻ phức tạp và khó hiểu. Điều này là khá bình thường. Những bài học kiểu này đòi hỏi chúng phải được nghiên cứu chứ không phải chỉ lướt qua một cách hời hợt.
Nội dung bài họcBiểu diễn đại lượng dưới dạng phân số
Đôi khi việc biểu diễn một cái gì đó ở dạng phân số sẽ thuận tiện hơn. Ví dụ: một phần mười decimet được viết như thế này:
Biểu thức này có nghĩa là một decimet được chia thành mười phần và từ mười phần này, một phần được lấy:
Như bạn có thể thấy trong hình, một phần mười decimet là một centimet.
Hãy xem xét ví dụ sau. Hiển thị 6 cm và 3 mm khác tính bằng cm ở dạng phân số.
Vì vậy, bạn cần biểu thị 6 cm và 3 mm bằng cm, nhưng ở dạng phân số. Chúng ta đã có 6 cm:
nhưng vẫn còn 3 mm. Làm thế nào để hiển thị 3 milimet này và tính bằng centimet? Phân số đến giải cứu. 3 milimet là phần thứ ba của centimet. Và phần thứ ba của centimet được viết là cm
Một phân số có nghĩa là một centimet được chia thành mười phần bằng nhau và từ mười phần này được lấy ba phần (ba trên mười).
Kết quả là, chúng ta có sáu centimet và ba phần mười centimet:
Trong trường hợp này, 6 hiển thị số centimet nguyên và phân số hiển thị số centimet phân số. Phân số này được đọc là "sáu phẩy ba centimet".
Các phân số có mẫu số chứa các số 10, 100, 1000 có thể viết không có mẫu số. Đầu tiên viết toàn bộ phần, sau đó viết tử số của phần phân số. Phần nguyên được phân cách với tử số của phần phân số bằng dấu phẩy.
Ví dụ, hãy viết nó mà không có mẫu số. Để làm điều này, trước tiên chúng ta hãy viết ra toàn bộ phần. Phần nguyên là số 6. Đầu tiên chúng ta viết số này:
Toàn bộ phần được ghi lại. Ngay sau khi viết toàn bộ phần chúng tôi đặt dấu phẩy:
Và bây giờ chúng ta viết tử số của phần phân số. Trong một hỗn số, tử số của phần phân số là số 3. Ta viết số ba sau dấu thập phân:
Bất kỳ số nào được biểu diễn dưới dạng này được gọi là số thập phân.
Do đó, bạn có thể hiển thị 6 cm và 3 mm khác tính bằng centimet bằng phân số thập phân:
6,3 cm
Nó sẽ trông như thế này:
Trên thực tế, số thập phân cũng giống như phân số thông thường và hỗn số. Điểm đặc biệt của các phân số như vậy là mẫu số của phần phân số của chúng chứa các số 10, 100, 1000 hoặc 10000.
Giống như hỗn số, phân số thập phân có phần nguyên và phần phân số. Ví dụ, trong một hỗn số, phần nguyên là 6 và phần phân số là .
Trong phân số thập phân 6.3, phần nguyên là số 6, phần phân số là tử số của phân số, tức là số 3.
Điều cũng xảy ra là các phân số thông thường có mẫu số 10, 100, 1000 không có phần nguyên. Ví dụ, một phân số được đưa ra mà không có phần nguyên. Để viết một phân số như vậy dưới dạng số thập phân, trước tiên hãy viết 0, sau đó đặt dấu phẩy và viết tử số của phân số đó. Phân số không có mẫu số sẽ được viết như sau:
Đọc như "không điểm năm".
Chuyển hỗn số thành số thập phân
Khi chúng ta viết các số hỗn hợp không có mẫu số, chúng ta sẽ chuyển chúng thành phân số thập phân. Khi chuyển phân số thành số thập phân, có một số điều bạn cần biết mà chúng ta sẽ nói đến ngay bây giờ.
Sau khi viết toàn bộ phần phân số, cần đếm số chữ số 0 trong mẫu số của phần phân số, vì số chữ số 0 của phần phân số và số chữ số sau dấu thập phân trong phân số thập phân phải là như nhau. Nó có nghĩa là gì? Hãy xem xét ví dụ sau:
Lúc đầu
Và bạn có thể viết ngay tử số của phần phân số và phần thập phân đã sẵn sàng, nhưng bạn chắc chắn cần phải đếm số 0 trong mẫu số của phần phân số.
Vì vậy, chúng ta đếm số số 0 trong phần phân số của một hỗn số. Mẫu số của phần phân số có một số 0. Điều này có nghĩa là trong một phân số thập phân sẽ có một chữ số sau dấu thập phân và chữ số này sẽ là tử số của phần phân số của hỗn số, tức là số 2
Do đó, khi chuyển sang phân số thập phân, hỗn số sẽ trở thành 3,2.
Phân số thập phân này đọc như thế này:
"Ba phẩy hai"
“Phần mười” vì số 10 là phần phân số của hỗn số.
Ví dụ 2. Chuyển hỗn số thành số thập phân.
Viết toàn bộ phần và đặt dấu phẩy:
Và bạn có thể viết ngay tử số của phần phân số và nhận được phân số thập phân là 5,3, nhưng quy tắc nói rằng sau dấu thập phân phải có số chữ số bằng số 0 trong mẫu số của phần phân số của hỗn số. Và chúng ta thấy rằng mẫu số của phần phân số có hai số 0. Điều này có nghĩa là phân số thập phân của chúng ta phải có hai chữ số sau dấu thập phân chứ không phải một chữ số.
Trong những trường hợp như vậy, tử số của phần phân số cần được sửa đổi một chút: thêm số 0 vào trước tử số, tức là trước số 3
Bây giờ bạn có thể chuyển hỗn số này thành phân số thập phân. Viết toàn bộ phần và đặt dấu phẩy:
Và viết tử số của phần phân số:
Phân số thập phân 5.03 được đọc như sau:
"Năm phẩy ba"
“Hàng trăm” vì mẫu số của phần phân số của hỗn số chứa số 100.
Ví dụ 3. Chuyển hỗn số thành số thập phân.
Từ các ví dụ trước, chúng ta đã biết rằng để chuyển đổi thành công một hỗn số thành số thập phân, số chữ số ở tử số của phân số và số chữ số 0 ở mẫu số của phân số phải giống nhau.
Trước khi chuyển một hỗn số thành phân số thập phân, phần phân số của nó cần được sửa đổi một chút, cụ thể là đảm bảo rằng số chữ số ở tử số của phần phân số và số chữ số 0 ở mẫu số của phần phân số là như nhau.
Trước hết, chúng ta xét số 0 trong mẫu số của phần phân số. Chúng ta thấy rằng có ba số không:
Nhiệm vụ của chúng ta là sắp xếp ba chữ số trong tử số của phần phân số. Chúng ta đã có một chữ số - đây là số 2. Vẫn còn phải thêm hai chữ số nữa. Chúng sẽ là hai số không. Thêm chúng vào trước số 2. Kết quả là số chữ số 0 ở mẫu số và số chữ số ở tử số sẽ bằng nhau:
Bây giờ bạn có thể bắt đầu chuyển hỗn số này thành phân số thập phân. Đầu tiên chúng ta viết ra toàn bộ phần và đặt dấu phẩy:
và viết ngay tử số của phần phân số
3,002
Ta thấy số chữ số sau dấu thập phân và số chữ số 0 ở mẫu số phần phân số của hỗn số là như nhau.
Phân số thập phân 3,002 được đọc như sau:
"Ba phẩy hai phần nghìn"
“Phần nghìn” vì mẫu số của phần phân số của hỗn số chứa số 1000.
Chuyển phân số thành số thập phân
Các phân số phổ biến có mẫu số 10, 100, 1000 hoặc 10000 cũng có thể được chuyển đổi thành số thập phân. Vì phân số thông thường không có phần nguyên nên trước tiên hãy viết số 0, sau đó đặt dấu phẩy và viết tử số của phần phân số.
Ở đây cũng vậy, số chữ số 0 ở mẫu số và số chữ số ở tử số phải bằng nhau. Vì vậy, bạn nên cẩn thận.
Ví dụ 1.
Thiếu toàn bộ phần nên đầu tiên chúng ta viết 0 và đặt dấu phẩy:
Bây giờ chúng ta xét số 0 trong mẫu số. Chúng ta thấy rằng có một số không. Và tử số có một chữ số. Điều này có nghĩa là bạn có thể tiếp tục phân số thập phân một cách an toàn bằng cách viết số 5 sau dấu thập phân
Trong phân số thập phân thu được 0,5, số chữ số sau dấu thập phân và số chữ số 0 ở mẫu số của phân số đó bằng nhau. Điều này có nghĩa là phân số được dịch chính xác.
Phân số thập phân 0,5 được đọc như sau:
"Không điểm năm"
Ví dụ 2. Chuyển một phân số thành số thập phân.
Toàn bộ một phần bị thiếu. Đầu tiên chúng ta viết 0 và đặt dấu phẩy:
Bây giờ chúng ta xét số 0 trong mẫu số. Chúng ta thấy rằng có hai số không. Và tử số chỉ có một chữ số. Để làm cho số chữ số và số số 0 giống nhau, hãy thêm một số 0 vào tử số trước số 2. Khi đó phân số sẽ có dạng . Bây giờ số chữ số 0 ở mẫu số và số chữ số ở tử số bằng nhau. Vì vậy, bạn có thể tiếp tục phần thập phân:
Trong phân số thập phân thu được 0,02, số chữ số sau dấu thập phân và số chữ số 0 ở mẫu số của phân số đó bằng nhau. Điều này có nghĩa là phân số được dịch chính xác.
Phân số thập phân 0,02 được đọc như sau:
“Không điểm hai.”
Ví dụ 3. Chuyển một phân số thành số thập phân.
Viết số 0 và đặt dấu phẩy:
Bây giờ chúng ta đếm số số 0 trong mẫu số của phân số. Ta thấy có năm số 0 và tử số chỉ có một chữ số. Để số 0 ở mẫu số và số chữ số ở tử số bằng nhau, bạn cần cộng 4 số 0 ở tử số trước số 5:
Bây giờ số chữ số 0 ở mẫu số và số chữ số ở tử số bằng nhau. Vì vậy chúng ta có thể tiếp tục với phần thập phân. Viết tử số của phân số sau dấu thập phân
Trong phân số thập phân thu được 0,00005, số chữ số sau dấu thập phân và số chữ số 0 ở mẫu số của phân số đó bằng nhau. Điều này có nghĩa là phân số được dịch chính xác.
Phân số thập phân 0,00005 được đọc như sau:
“Không điểm năm trăm nghìn.”
Chuyển đổi phân số không chính xác thành số thập phân
Phân số không đúng là phân số có tử số lớn hơn mẫu số. Có những phân số không chính xác trong đó mẫu số chứa các số 10, 100, 1000 hoặc 10000. Những phân số như vậy có thể được chuyển thành số thập phân. Nhưng trước khi chuyển sang phân số thập phân, các phân số đó phải được tách thành phần nguyên.
Ví dụ 1.
Phân số là một phân số không chính xác. Để chuyển một phân số như vậy thành số thập phân, trước tiên bạn phải chọn toàn bộ phần của nó. Chúng ta hãy nhớ cách tách toàn bộ phần phân số không chính xác. Nếu bạn quên, chúng tôi khuyên bạn nên quay lại và nghiên cứu nó.
Vì vậy, hãy đánh dấu toàn bộ phần trong phần không đúng. Hãy nhớ lại rằng một phân số có nghĩa là phép chia - trong trường hợp này, chia số 112 cho số 10
Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh này và tập hợp một hỗn số mới, giống như bộ xếp hình của trẻ em. Số 11 sẽ là phần nguyên, số 2 sẽ là tử số của phần phân số và số 10 sẽ là mẫu số của phần phân số.
Chúng tôi có một số hỗn hợp. Hãy chuyển nó thành phân số thập phân. Và chúng ta đã biết cách chuyển những số đó thành phân số thập phân. Đầu tiên, hãy viết ra toàn bộ phần và đặt dấu phẩy:
Bây giờ chúng ta đếm số lượng số 0 trong mẫu số của phần phân số. Chúng ta thấy rằng có một số không. Và tử số của phần phân số có một chữ số. Điều này có nghĩa là số chữ số 0 ở mẫu số của phần phân số và số chữ số ở tử số của phần phân số là như nhau. Điều này cho chúng ta cơ hội viết ngay tử số của phần phân số sau dấu thập phân:
Trong phân số thập phân 11.2 thu được, số chữ số sau dấu thập phân và số chữ số 0 ở mẫu số của phân số đó bằng nhau. Điều này có nghĩa là phân số được dịch chính xác.
Điều này có nghĩa là một phân số không chính xác sẽ trở thành 11,2 khi chuyển đổi thành số thập phân.
Phân số thập phân 11.2 được đọc như sau:
"Mười một phẩy hai."
Ví dụ 2. Chuyển đổi phân số không chính xác thành số thập phân.
Phân số đó không đúng vì tử số lớn hơn mẫu số. Nhưng nó có thể được chuyển thành phân số thập phân vì mẫu số chứa số 100.
Trước hết, chúng ta hãy chọn toàn bộ phần của phân số này. Để làm điều này, chia 450 cho 100 bằng một góc:
Hãy thu thập một hỗn số mới - chúng ta nhận được . Và chúng ta đã biết cách chuyển hỗn số thành phân số thập phân.
Viết toàn bộ phần và đặt dấu phẩy:
Bây giờ chúng ta đếm số số 0 trong mẫu số của phần phân số và số chữ số trong tử số của phần phân số. Ta thấy số chữ số 0 ở mẫu số và số chữ số ở tử số bằng nhau. Điều này cho chúng ta cơ hội viết ngay tử số của phần phân số sau dấu thập phân:
Trong phân số thập phân thu được 4,50, số chữ số sau dấu thập phân và số chữ số 0 ở mẫu số của phân số đó bằng nhau. Điều này có nghĩa là phân số được dịch chính xác.
Điều này có nghĩa là một phân số không chính xác sẽ trở thành 4,50 khi chuyển đổi thành số thập phân.
Khi giải bài toán, nếu có số 0 ở cuối phần thập phân thì có thể bỏ đi. Hãy bỏ số 0 vào câu trả lời của chúng ta. Sau đó chúng tôi nhận được 4,5
Đây là một trong những điều thú vị về số thập phân. Thực tế là các số 0 xuất hiện ở cuối một phân số không mang lại trọng số nào cho phân số này. Nói cách khác, số thập phân 4,50 và 4,5 bằng nhau. Hãy đặt một dấu bằng giữa chúng:
4,50 = 4,5
Câu hỏi đặt ra: tại sao điều này lại xảy ra? Xét cho cùng, 4,50 và 4,5 trông giống như những phân số khác nhau. Toàn bộ bí mật nằm ở tính chất cơ bản của phân số mà chúng ta đã nghiên cứu trước đó. Chúng ta sẽ cố gắng chứng minh tại sao phân số thập phân 4,50 và 4,5 lại bằng nhau, nhưng sau khi nghiên cứu chủ đề tiếp theo, chủ đề này có tên là “chuyển phân số thập phân thành hỗn số”.
Chuyển số thập phân thành hỗn số
Bất kỳ phân số thập phân nào cũng có thể được chuyển đổi trở lại thành số hỗn hợp. Để làm được điều này, chỉ cần có khả năng đọc phân số thập phân là đủ. Ví dụ: hãy chuyển 6,3 thành hỗn số. 6,3 là sáu phẩy ba. Đầu tiên chúng ta viết ra sáu số nguyên:
và bên cạnh ba phần mười:
Ví dụ 2. Chuyển số thập phân 3,002 thành hỗn số
3,002 là ba số nguyên và hai phần nghìn. Đầu tiên chúng ta viết ra ba số nguyên
và bên cạnh nó chúng tôi viết hai phần nghìn:
Ví dụ 3. Chuyển số thập phân 4,50 thành hỗn số
4,50 là bốn phẩy năm mươi. Viết bốn số nguyên
và năm mươi phần trăm tiếp theo:
Nhân tiện, chúng ta hãy nhớ lại ví dụ cuối cùng của chủ đề trước. Chúng ta đã nói rằng số thập phân 4,50 và 4,5 bằng nhau. Chúng tôi cũng đã nói rằng số 0 có thể bị loại bỏ. Hãy thử chứng minh rằng số thập phân 4,50 và 4,5 bằng nhau. Để làm điều này, chúng tôi chuyển đổi cả hai phân số thập phân thành hỗn số.
Khi chuyển đổi thành hỗn số, số thập phân 4,50 trở thành , và số thập phân 4,5 trở thành
Ta có hai hỗn số và . Hãy chuyển đổi các số hỗn hợp này thành các phân số không chính xác:
Bây giờ chúng ta có hai phân số và . Đã đến lúc nhớ lại tính chất cơ bản của một phân số, đó là khi bạn nhân (hoặc chia) tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số, giá trị của phân số đó không thay đổi.
Hãy chia phân số đầu tiên cho 10
Chúng ta có , và đây là phân số thứ hai. Điều này có nghĩa là cả hai đều bằng nhau và có cùng giá trị:
Hãy thử dùng máy tính để chia 450 cho 100, sau đó là 45 cho 10. Đó sẽ là một điều buồn cười.
Chuyển một phân số thập phân thành một phân số
Bất kỳ phân số thập phân nào cũng có thể được chuyển đổi trở lại thành phân số. Để làm điều này, một lần nữa, chỉ cần có khả năng đọc phân số thập phân là đủ. Ví dụ: hãy chuyển 0,3 thành phân số chung. 0,3 là 0,3. Đầu tiên chúng ta viết ra số nguyên 0:
và bên cạnh ba phần mười là 0. Số 0 theo truyền thống không được viết ra nên đáp án cuối cùng sẽ không phải là 0 mà chỉ đơn giản là .
Ví dụ 2. Chuyển phân số thập phân 0,02 thành phân số.
0,02 là số 0 điểm hai. Chúng ta không viết số 0 nên chúng ta viết ngay hai phần trăm
Ví dụ 3. Chuyển đổi 0,00005 thành phân số
0,00005 là 0,5. Chúng ta không viết số 0 nên viết ngay năm trăm nghìn
Bạn có thích bài học không?
Tham gia nhóm VKontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới
Chuyển một phân số thành số thập phân
Giả sử chúng ta muốn chuyển phân số 11/4 thành số thập phân. Cách dễ nhất để làm điều đó là thế này:
|
2∙2∙5∙5 |
Chúng tôi đã thành công vì trong trường hợp này việc phân tích mẫu số thành thừa số nguyên tố chỉ bao gồm hai số. Chúng tôi đã bổ sung phần mở rộng này bằng hai số năm nữa, lợi dụng thực tế là 10 = 2∙5 và nhận được phân số thập phân. Quy trình như vậy rõ ràng là có thể thực hiện được khi và chỉ khi việc phân tách mẫu số thành thừa số nguyên tố không chứa gì ngoài số hai và số năm. Nếu bất kỳ số nguyên tố nào khác có mặt trong mẫu số khai triển thì phân số đó không thể chuyển thành số thập phân. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ cố gắng thực hiện điều này, nhưng chỉ theo một cách khác, mà chúng tôi sẽ làm quen với việc sử dụng ví dụ về cùng một phân số 11/4. Hãy chia 11 cho 4 bằng cách sử dụng “góc”:
Trong dòng phản hồi, chúng tôi nhận được toàn bộ phần (2) và chúng tôi cũng có phần còn lại (3). Trước đây, chúng ta đã kết thúc phép chia ở đây, nhưng bây giờ chúng ta biết rằng chúng ta có thể thêm dấu phẩy và một số số 0 vào bên phải số bị chia (11), điều mà bây giờ chúng ta sẽ làm trong đầu. Sau dấu thập phân là chữ số phần mười. Chúng ta cộng số 0 xuất hiện ở số bị chia ở chữ số này với số dư thu được (3):
Bây giờ việc phân chia có thể tiếp tục như chưa có chuyện gì xảy ra. Bạn chỉ cần nhớ đặt dấu phẩy sau toàn bộ phần trong dòng trả lời:
Bây giờ chúng ta thêm số 0 vào phần còn lại (2), nằm ở vị trí thứ một trăm của số bị chia và hoàn thành phép chia:
Kết quả là, chúng tôi nhận được, như trước đây,
Bây giờ chúng ta hãy thử tính chính xác theo cách tương tự phân số 27/11 bằng:
Chúng ta nhận được số 2,45 ở dòng trả lời và số 5 ở dòng còn lại. Nhưng chúng tôi đã từng gặp phải tàn dư như vậy trước đây. Do đó, chúng ta có thể nói ngay rằng nếu chúng ta tiếp tục phép chia của mình với một “góc”, thì số tiếp theo trong dòng trả lời sẽ là 4, sau đó là số 5, rồi lại là 4 và lại là 5, v.v., ad infinitum :
27 / 11 = 2,454545454545...
Chúng tôi có cái gọi là định kỳ một phân số thập phân có chu kỳ là 45. Đối với những phân số như vậy, người ta sử dụng ký hiệu nhỏ gọn hơn, trong đó dấu chấm chỉ được viết một lần nhưng được đặt trong ngoặc đơn:
2,454545454545... = 2,(45).
Nói chung, nếu chúng ta chia một số tự nhiên cho một số khác bằng một “góc”, viết kết quả dưới dạng phân số thập phân thì chỉ có thể xảy ra hai kết quả: (1) sớm hay muộn chúng ta sẽ nhận được số 0 ở dòng còn lại , (2) hoặc sẽ có số dư như vậy ở đó mà chúng ta đã gặp trước đó (tập hợp các số dư có thể có là có hạn, vì tất cả chúng rõ ràng đều nhỏ hơn số chia). Trong trường hợp đầu tiên, kết quả của phép chia là một phân số thập phân hữu hạn, trong trường hợp thứ hai - một phân số tuần hoàn.
Chuyển đổi số thập phân định kỳ thành phân số
Ví dụ: Giả sử chúng ta được cung cấp một phân số thập phân tuần hoàn dương có phần nguyên bằng 0:
Một = 0,2(45).
Làm cách nào để chuyển phân số này trở lại phân số chung?
Hãy nhân nó với 10 k, Ở đâu k là số chữ số nằm giữa dấu thập phân và dấu ngoặc đơn mở đầu cho biết phần đầu của kỳ. Trong trường hợp này k= 1 và 10 k = 10:
Một∙ 10 k = 2,(45).
Nhân kết quả với 10 N, Ở đâu N- “độ dài” của dấu chấm, nghĩa là số chữ số nằm trong dấu ngoặc đơn. Trong trường hợp này N= 2 và 10 N = 100:
Một∙ 10 k ∙ 10 N = 245,(45).
Bây giờ hãy tính sự khác biệt
Một∙ 10 k ∙ 10 N − Một∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).
Vì phần phân số của số bị trừ và số bị trừ bằng nhau nên phần phân số của hiệu bằng 0 và chúng ta đi đến một phương trình đơn giản cho Một:
Một∙ 10 k ∙ (10 N − 1) = 245 − 2.
Phương trình này được giải bằng các phép biến đổi sau:
Một∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
Một∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.
|
245 − 2 |
||
|
10 ∙ 99 |
Chúng tôi cố tình chưa hoàn thành các phép tính để có thể thấy rõ kết quả này có thể được viết ra ngay lập tức như thế nào, bỏ qua các đối số trung gian. Số trừ ở tử số (245) là phần phân số của số
Một = 0,2(45)
nếu bạn xóa dấu ngoặc trong mục nhập của cô ấy. Số trừ ở tử số (2) là phần không tuần hoàn của số MỘT, nằm giữa dấu phẩy và dấu ngoặc đơn mở đầu. Thừa số đầu tiên trong mẫu số (10) là một đơn vị, trong đó số 0 được gán cho số chữ số trong phần không tuần hoàn ( k). Thừa số thứ hai trong mẫu số (99) có số chín bằng số chữ số trong dấu chấm ( N).
Bây giờ tính toán của chúng tôi có thể được hoàn thành:
Ở đây tử số chứa dấu chấm và mẫu số chứa số chín bằng số chữ số trong dấu chấm. Sau khi giảm đi 9 thì phân số thu được bằng
Theo cách tương tự,
Có vẻ như việc chuyển đổi một phân số thập phân thành một phân số thông thường là một chủ đề tiểu học nhưng nhiều học sinh lại không hiểu nó! Do đó, hôm nay chúng ta sẽ xem xét chi tiết một số thuật toán cùng một lúc, với sự trợ giúp của chúng, bạn sẽ hiểu bất kỳ phân số nào chỉ trong một giây.
Hãy để tôi nhắc bạn rằng có ít nhất hai dạng viết cùng một phân số: chung và thập phân. Phân số thập phân là tất cả các loại công trình có dạng 0,75; 1,33; và thậm chí −7,41. Dưới đây là ví dụ về các phân số thông thường biểu thị cùng một số:
Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu: làm thế nào để chuyển từ ký hiệu thập phân sang ký hiệu thông thường? Và quan trọng nhất: làm thế nào để thực hiện việc này nhanh nhất có thể?
Thuật toán cơ bản
Trong thực tế, có ít nhất hai thuật toán. Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét cả hai. Hãy bắt đầu với cái đầu tiên - đơn giản và dễ hiểu nhất.
Để chuyển đổi một số thập phân thành một phân số, bạn cần làm theo ba bước:
Một lưu ý quan trọng về số âm. Nếu trong ví dụ ban đầu có dấu trừ ở phía trước phân số thập phân, thì trong kết quả đầu ra cũng phải có dấu trừ ở phía trước phân số thông thường. Dưới đây là một số ví dụ khác:
Ví dụ về chuyển đổi từ ký hiệu thập phân của phân số sang ký hiệu thông thường Tôi muốn đặc biệt chú ý đến ví dụ cuối cùng. Như bạn có thể thấy, phân số 0,0025 chứa nhiều số 0 sau dấu thập phân. Vì điều này, bạn phải nhân tử số và mẫu số với 10 tới bốn lần. Có thể bằng cách nào đó đơn giản hóa thuật toán trong trường hợp này không?
Tất nhiên là bạn có thể. Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét một thuật toán thay thế - nó khó hiểu hơn một chút, nhưng sau khi thực hành một chút, nó hoạt động nhanh hơn nhiều so với thuật toán tiêu chuẩn.
Cách nhanh hơn
Thuật toán này cũng có 3 bước. Để lấy một phân số từ số thập phân, hãy làm như sau:
- Đếm xem có bao nhiêu chữ số sau dấu thập phân. Ví dụ: phân số 1,75 có hai chữ số như vậy và 0,0025 có bốn chữ số. Hãy biểu thị số lượng này bằng chữ $n$.
- Viết lại số ban đầu dưới dạng một phân số có dạng $\frac(a)(((10)^(n)))$, trong đó $a$ là tất cả các chữ số của phân số ban đầu (không có số 0 “bắt đầu” trên trái, nếu có) và $n$ là cùng số chữ số sau dấu thập phân mà chúng ta đã tính ở bước đầu tiên. Nói cách khác, bạn cần chia các chữ số của phân số ban đầu cho một, theo sau là $n$ số 0.
- Nếu có thể, hãy giảm phần kết quả.
Thế thôi! Thoạt nhìn, sơ đồ này phức tạp hơn sơ đồ trước. Nhưng trên thực tế nó vừa đơn giản vừa nhanh hơn. Thẩm phán cho chính mình:
Như bạn có thể thấy, trong phân số 0,64 có hai chữ số sau dấu thập phân - 6 và 4. Do đó $n=2$. Nếu chúng ta loại bỏ dấu phẩy và số 0 ở bên trái (trong trường hợp này, chỉ một số 0), chúng ta sẽ có số 64. Hãy chuyển sang bước thứ hai: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Do đó, mẫu số chính xác là một trăm. Chà, tất cả những gì còn lại là giảm tử số và mẫu số :)
Một ví dụ khác:
Ở đây mọi thứ phức tạp hơn một chút. Thứ nhất, đã có 3 số sau dấu thập phân, tức là. $n=3$, vì vậy bạn phải chia cho $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Thứ hai, nếu chúng ta loại bỏ dấu phẩy khỏi ký hiệu thập phân, chúng ta sẽ nhận được: 0,004 → 0004. Hãy nhớ rằng các số 0 ở bên trái phải được loại bỏ, vì vậy trên thực tế chúng ta có số 4. Khi đó mọi thứ rất đơn giản: chia, giảm và nhận câu trả lời.
Cuối cùng, ví dụ cuối cùng:
Điểm đặc biệt của phần này là sự hiện diện của toàn bộ phần. Do đó, kết quả chúng ta nhận được là một phần không chính xác của 47/25. Tất nhiên, bạn có thể thử chia 47 cho 25 với số dư và do đó một lần nữa cô lập toàn bộ phần đó. Nhưng tại sao lại làm phức tạp cuộc sống của bạn nếu điều này có thể được thực hiện ở giai đoạn chuyển đổi? Vâng, hãy tìm ra nó.
Phải làm gì với toàn bộ phần
Trên thực tế, mọi thứ rất đơn giản: nếu chúng ta muốn có được một phân số thích hợp, thì chúng ta cần loại bỏ toàn bộ phần đó khỏi nó trong quá trình chuyển đổi, và sau đó, khi nhận được kết quả, hãy cộng lại vào bên phải trước dòng phân số. .
Ví dụ, hãy xem xét cùng một số: 1,88. Hãy chấm điểm một (toàn bộ phần) và xem phân số 0,88. Nó có thể được chuyển đổi dễ dàng:
Sau đó, chúng ta nhớ về đơn vị “bị mất” và thêm nó vào phía trước:
\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]
Thế thôi! Câu trả lời hóa ra giống như sau khi chọn toàn bộ phần lần trước. Một vài ví dụ nữa:
\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\to 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(căn chỉnh)\]
Đây là vẻ đẹp của toán học: cho dù bạn đi theo hướng nào, nếu tất cả các phép tính được thực hiện chính xác thì câu trả lời sẽ luôn giống nhau :)
Để kết luận, tôi muốn xem xét thêm một kỹ thuật có thể giúp ích cho nhiều người.
Những biến đổi "bằng tai"
Chúng ta hãy nghĩ xem số thập phân chẵn là gì. Chính xác hơn là cách chúng ta đọc nó. Ví dụ: số 0,64 - chúng ta đọc nó là "điểm 0 64 phần trăm", phải không? Chà, hay chỉ là “64 phần trăm”. Từ khóa ở đây là “phần trăm”, tức là số 100.
Còn 0,004 thì sao? Đây là “không điểm 4 phần nghìn” hay đơn giản là “bốn phần nghìn”. Bằng cách này hay cách khác, từ khóa là “hàng nghìn”, tức là. 1000.
Vậy vấn đề lớn là gì? Và thực tế là những con số này cuối cùng sẽ “xuất hiện” trong mẫu số ở giai đoạn thứ hai của thuật toán. Những thứ kia. 0,004 là “bốn phần nghìn” hoặc “4 chia cho 1000”:
Hãy cố gắng tự luyện tập - nó rất đơn giản. Điều chính là đọc chính xác phần gốc. Ví dụ: 2,5 là “2 nguyên, 5 phần mười”, vậy
Và một số 1,125 là “1 số nguyên, 125 phần nghìn”, vậy
Tất nhiên, trong ví dụ cuối cùng, sẽ có người phản đối rằng không phải học sinh nào cũng thấy rõ rằng 1000 chia hết cho 125. Nhưng ở đây bạn cần nhớ rằng 1000 = 10 3 và 10 = 2 ∙ 5, do đó
\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(căn chỉnh)\]
Do đó, bất kỳ lũy thừa nào của mười chỉ bị phân hủy thành thừa số 2 và 5 - chính những thừa số này cần được tìm trong tử số, để cuối cùng mọi thứ đều giảm đi.
Điều này kết thúc bài học. Hãy chuyển sang thao tác đảo ngược phức tạp hơn - xem "
Phân số là một số được tạo thành từ một hoặc nhiều đơn vị. Có ba loại phân số trong toán học: phổ biến, hỗn hợp và thập phân.
Phân số chung
Một phân số thông thường được viết dưới dạng tỷ lệ trong đó tử số phản ánh số phần được lấy từ số đó và mẫu số cho biết đơn vị đó được chia thành bao nhiêu phần. Nếu tử số nhỏ hơn mẫu số thì ta có một phân số đúng, ví dụ: ½, 3/5, 8/9.
Nếu tử số bằng hoặc lớn hơn mẫu số thì chúng ta đang xử lý một phân số không đúng. Ví dụ: 5/5, 9/4, 5/2 Chia tử số có thể dẫn đến một số hữu hạn. Ví dụ: 40/8 = 5. Do đó, bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được viết dưới dạng phân số không chính xác thông thường hoặc một chuỗi các phân số như vậy. Hãy coi các bản ghi có cùng số là một chuỗi các số khác nhau.
- Phân số hỗn hợp
Nói chung, một phần hỗn hợp có thể được biểu diễn bằng công thức: 
Do đó, một phân số hỗn hợp được viết dưới dạng số nguyên và phân số thực thông thường, và ký hiệu như vậy được hiểu là tổng của toàn bộ và phần phân số của nó.
- Số thập phân
Số thập phân là một loại phân số đặc biệt trong đó mẫu số có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10. Có số thập phân vô hạn và hữu hạn. Khi viết loại phân số này, phần nguyên được ghi trước, sau đó phần phân số được ghi bằng dấu phân cách (dấu chấm hoặc dấu phẩy).
Ký hiệu của phần phân số luôn được xác định bởi kích thước của nó. Ký hiệu thập phân trông như thế này: 
Quy tắc chuyển đổi giữa các loại phân số khác nhau
- Chuyển phân số hỗn hợp thành phân số chung
Một phân số hỗn hợp chỉ có thể được chuyển đổi thành một phân số không chính xác. Để dịch, cần đưa phần nguyên về cùng mẫu số với phần phân số. Nói chung nó sẽ trông như thế này: 
Hãy xem xét việc sử dụng quy tắc này bằng các ví dụ cụ thể:
- Chuyển phân số chung thành hỗn số
Một phân số không chính xác có thể được chuyển đổi thành một phân số hỗn hợp bằng phép chia đơn giản, thu được phần nguyên và phần còn lại (phần phân số).
Ví dụ: hãy chuyển phân số 439/31 thành hỗn hợp: 
- Chuyển đổi phân số
Trong một số trường hợp, việc chuyển một phân số thành số thập phân khá đơn giản. Trong trường hợp này, tính chất cơ bản của phân số được áp dụng: tử số và mẫu số được nhân với cùng một số để đưa ước số lên lũy thừa 10.
Ví dụ:
Trong một số trường hợp, bạn có thể cần tìm thương bằng cách chia cho các góc hoặc sử dụng máy tính. Và một số phân số không thể rút gọn thành số thập phân cuối cùng. Ví dụ, phân số 1/3 khi chia sẽ không bao giờ cho kết quả cuối cùng.