Để hiển thị chính xác các quy luật tự nhiên trong vật lý, cần có các công cụ toán học thích hợp.
Trong hình học và vật lý có các đại lượng được đặc trưng bởi cả giá trị số và hướng.
Nên mô tả chúng dưới dạng các phân đoạn được định hướng hoặc vectơ.
Những đại lượng như vậy có phần đầu (được hiển thị bằng dấu chấm) và phần cuối được biểu thị bằng một mũi tên. Độ dài của một đoạn được gọi là (length).
- tốc độ;
- tăng tốc;
- xung;
- sức mạnh;
- chốc lát;
- sức mạnh;
- di chuyển;
- cường độ trường, v.v.
Tọa độ mặt phẳng
Chúng ta hãy xác định một đoạn trên mặt phẳng hướng từ điểm A (x1,y1) đến điểm B (x2,y2). Tọa độ a(a1,a2) của nó là các số a1=x2-x1, a2=y2-y1.
Mô-đun được tính toán bằng định lý Pythagore: 
Điểm bắt đầu của vectơ 0 trùng với điểm cuối. Tọa độ và độ dài bằng 0.
Tổng vectơ
có Một số quy tắc tính số tiền
- quy tắc tam giác;
- quy tắc đa giác;
- quy tắc hình bình hành.
Quy tắc cộng vectơ có thể được giải thích bằng các bài toán động học và cơ học. Chúng ta hãy xem xét việc cộng các vectơ theo quy tắc tam giác bằng ví dụ về các lực tác dụng lên một vật thể điểm và các chuyển động liên tiếp của vật thể trong không gian.
Giả sử một vật chuyển động đầu tiên từ điểm A đến điểm B, sau đó từ điểm B đến điểm C. Chuyển vị cuối cùng là đoạn hướng từ điểm đầu A đến điểm cuối C.
Kết quả của hai chuyển động hoặc tổng của chúng s = s1+ s2. Phương pháp này được gọi là quy tắc tam giác.
Các mũi tên lần lượt được xếp thành chuỗi, thực hiện dịch chuyển song song nếu cần thiết. Tổng phân đoạn đóng chuỗi. Sự bắt đầu của nó trùng với sự bắt đầu của cái đầu tiên, sự kết thúc của nó trùng với sự kết thúc của cái cuối cùng. Trong sách giáo khoa nước ngoài phương pháp này được gọi là "đuôi sát đầu".
Tọa độ của kết quả c = a + b bằng tổng tọa độ tương ứng của các số hạng c (a1+ b1, a2+ b2).
Tổng các vectơ song song (tuyến thẳng) cũng được xác định theo quy tắc tam giác.
Nếu hai đoạn thẳng ban đầu vuông góc với nhau thì kết quả của phép cộng của chúng là cạnh huyền của tam giác vuông dựng trên chúng. Độ dài của tổng được tính bằng định lý Pythagore.
Ví dụ:
- Vận tốc của một vật ném theo phương ngang là vuông góc gia tốc rơi tự do.
- Với chuyển động quay đều, vận tốc tuyến tính của vật vuông góc với gia tốc hướng tâm.
Cộng ba hoặc nhiều vectơ sản xuất theo quy tắc đa giác, "đuôi sát đầu"
Giả sử rằng các lực F1 và F2 tác dụng lên một vật điểm.
Kinh nghiệm chứng minh rằng tác dụng tổng hợp của các lực này tương đương với tác dụng của một lực hướng dọc theo đường chéo của hình bình hành dựng trên chúng. Hợp lực này bằng tổng F = F1 + F 2 của chúng. Phương pháp cộng trên được gọi là quy tắc hình bình hành.
Độ dài trong trường hợp này được tính theo công thức
Trong đó θ là góc giữa các cạnh.
Các quy tắc của hình tam giác và hình bình hành có thể thay thế cho nhau. Trong vật lý, quy tắc hình bình hành thường được sử dụng nhiều hơn, vì độ lớn có hướng của lực, vận tốc và gia tốc thường được áp dụng cho một vật thể. Trong hệ tọa độ ba chiều, quy tắc song song được áp dụng.
Các yếu tố của đại số
- Phép cộng là một phép toán nhị phân: mỗi lần chỉ có thể thêm một cặp.
- Tính giao hoán: tổng từ việc sắp xếp lại các số hạng không thay đổi a + b = b + a. Điều này được thấy rõ từ quy tắc hình bình hành: đường chéo luôn bằng nhau.
- tính kết hợp: tổng của một số vectơ tùy ý không phụ thuộc vào thứ tự cộng của chúng (a + b) + c = a + (b + c).
- Tổng với vectơ 0 không thay đổi hướng hoặc độ dài: a +0= a .
- Với mỗi vectơ có đối diện. Tổng của chúng bằng 0 a +(-a)=0 và độ dài bằng nhau.
Nhân với một số vô hướng
Kết quả của phép nhân với số vô hướng là một vectơ.
Tọa độ của tích có được bằng cách nhân với tọa độ tương ứng của tọa độ ban đầu với vô hướng.
Đại lượng vô hướng là một giá trị số có dấu cộng hoặc dấu trừ, lớn hơn hoặc nhỏ hơn một.
Ví dụ về đại lượng vô hướng trong vật lý:
- cân nặng;
- thời gian;
- thù lao;
- chiều dài;
- quảng trường;
- âm lượng;
- Tỉ trọng;
- nhiệt độ;
- năng lượng.
Ví dụ:
Công là tích vô hướng của lực và độ dịch chuyển A = Fs.
Ma trận kích thước m x n.
Ma trận size m by n là tập hợp mn số thực hoặc phần tử của một cấu trúc khác (đa thức, hàm, v.v.), được viết dưới dạng bảng hình chữ nhật, gồm m hàng và n cột và được lấy ở dạng tròn hoặc hình chữ nhật hoặc đôi dấu ngoặc thẳng. Trong trường hợp này, bản thân các số được gọi là phần tử ma trận và mỗi phần tử được liên kết với hai số - số hàng và số cột. Một ma trận có kích thước n x n được gọi. quảng trường ma trận bậc n, tức là số hàng bằng số cột. tam giác - ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử nằm dưới hoặc trên đường chéo chính đều bằng 0. Ma trận vuông được gọi là ma trận vuông. đường chéo , nếu tất cả các phần tử ngoài đường chéo của nó bằng 0. vô hướng ma trận - ma trận đường chéo có các phần tử đường chéo chính bằng nhau. Trường hợp đặc biệt của ma trận vô hướng là ma trận đẳng thức. Đường chéo một ma trận trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo đều bằng 1 được gọi là đơn ma trận và được ký hiệu là I hoặc E. Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là vô giá trị ma trận và được ký hiệu là O.
Nhân ma trận A với một số λ (ký hiệu: λ MỘT) bao gồm việc xây dựng một ma trận B, các phần tử của nó thu được bằng cách nhân từng phần tử của ma trận MỘT bằng con số này, tức là mỗi phần tử của ma trận B bằng
Tính chất của phép nhân ma trận với một số
1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA
4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB
Phép cộng ma trận MỘT + B là phép toán tìm ma trận C, tất cả các phần tử của chúng bằng tổng từng cặp của tất cả các phần tử ma trận tương ứng MỘT Và B, tức là mỗi phần tử của ma trận C bằng
Tính chất của phép cộng ma trận
5. tính giao hoán) a+b=b+a
6. tính kết hợp.
7. phép cộng với ma trận bằng 0;
8. sự tồn tại của một ma trận đối diện (điều tương tự nhưng có những điểm trừ ở mọi nơi trước mỗi số)
Phép nhân ma trận - có phép tính ma trận C, các phần tử của chúng bằng tổng các tích của các phần tử ở hàng tương ứng của thừa số thứ nhất và cột của thừa số thứ hai.
Số cột trong ma trận MỘT phải khớp với số hàng trong ma trận B. Nếu ma trận MỘT có kích thước, B- , thì kích thước của sản phẩm của họ AB = C Có.
Tính chất của phép nhân ma trận
1. tính kết hợp (xem ở trên)
2. tích không có tính giao hoán;
3. tích số có tính giao hoán trong trường hợp nhân với ma trận nhận dạng;
4.sự công bằng của luật phân phối; A*(B+C)=A*B+A*C.
5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);
2. Định thức của ma trận vuông bậc một và bậc n
Định thức của ma trận là đa thức của các phần tử của ma trận vuông (nghĩa là ma trận có số hàng và số cột bằng
Xác định thông qua khai triển ở hàng đầu tiên
Đối với ma trận bậc một yếu tố quyết định là phần tử duy nhất của chính ma trận này:
Đối với một ma trận các định thức được định nghĩa là
Đối với ma trận, định thức được xác định theo cách đệ quy:
, đâu là một phần phụ bổ sung cho phần tử Một 1j. Công thức này được gọi là mở rộng dòng.
Cụ thể, công thức tính định thức của ma trận là:
= Một 11 Một 22 Một 33 − Một 11 Một 23 Một 32 − Một 12 Một 21 Một 33 + Một 12 Một 23 Một 31 + Một 13 Một 21 Một 32 − Một 13 Một 22 Một 31
Tính chất của định thức
Khi thêm tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác vào bất kỳ hàng (cột) nào, định thức sẽ không thay đổi.
§ Nếu hai hàng (cột) của ma trận trùng nhau thì định thức của nó bằng 0.
§ Nếu hai (hoặc một số) hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính thì định thức của nó bằng 0.
§ Nếu bạn sắp xếp lại hai hàng (cột) của một ma trận thì định thức của nó được nhân với (-1).
§ Thừa số chung của các phần tử của bất kỳ dãy nào của định thức đều có thể được lấy ra khỏi dấu của định thức.
§ Nếu có ít nhất một hàng (cột) của ma trận bằng 0 thì định thức bằng 0.
§ Tổng các tích của tất cả các phần tử của một hàng bất kỳ bằng phần bù đại số của chúng bằng định thức.
§ Tổng tích của tất cả các phần tử của chuỗi bất kỳ bằng phần bù đại số của các phần tử tương ứng của chuỗi song song bằng 0.
§ Định thức của tích các ma trận vuông cùng cấp bằng tích các định thức của chúng (xem thêm công thức Binet-Cauchy).
§ Sử dụng ký hiệu chỉ số, định thức của ma trận 3x3 có thể được xác định bằng ký hiệu Levi-Civita từ hệ thức:
Ma trận nghịch đảo.
Ma trận nghịch đảo - một ma trận như vậy A−1, khi nhân với ma trận ban đầu MỘT kết quả trong ma trận nhận dạng E:
có điều kiện sự tồn tại:
Một ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi nó không số ít, nghĩa là định thức của nó không bằng 0. Đối với ma trận không vuông và ma trận số ít thì không có ma trận nghịch đảo.
Công thức tìm
Nếu ma trận khả nghịch thì để tìm ma trận nghịch đảo bạn có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
a) Sử dụng ma trận cộng đại số
C T- ma trận chuyển vị của phép cộng đại số;
Ma trận kết quả MỘT−1 và sẽ là nghịch đảo. Độ phức tạp của thuật toán phụ thuộc vào độ phức tạp của thuật toán tính định thức O det và bằng O(n²)·O det.
Nói cách khác, ma trận nghịch đảo bằng một chia cho định thức của ma trận gốc và nhân với ma trận chuyển vị của phép cộng đại số (số nhỏ nhân với (-1) lũy thừa khoảng trống mà nó chiếm) của các phần tử của ma trận ban đầu.
4. Hệ phương trình tuyến tính. Giải pháp hệ thống. Tính tương thích và không tương thích của hệ thống. phương pháp ma trận để giải hệ n phương trình tuyến tính với n biến. Định lý Krammer.
Hệ thống tôi phương trình tuyến tính với N không rõ(hoặc, hệ thống tuyến tính) trong đại số tuyến tính là một hệ phương trình có dạng
 | (1) |
Đây x 1 , x 2 , …, x n- ẩn số cần xác định. Một 11 , Một 12 , …, một phút- hệ số hệ thống - và b 1 , b 2 , … b m- thành viên miễn phí - được coi là được biết đến. chỉ số hệ số ( một ij) hệ biểu thị số phương trình ( Tôi) và chưa biết ( j), tại đó hệ số này tương ứng.
Hệ (1) được gọi là đồng nhất, nếu tất cả các số hạng tự do của nó bằng 0 ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), nếu không - không đồng nhất.
Hệ (1) được gọi là quảng trường, nếu số tôi phương trình bằng số N không rõ.
Giải pháp hệ thống (1) - bộ N con số c 1 , c 2 , …, c n, sao cho sự thay thế của mỗi tôi thay vì x tôi vào hệ thống (1) biến tất cả các phương trình của nó thành đồng nhất thức.
Hệ (1) được gọi là chung, nếu nó có ít nhất một nghiệm và không khớp, nếu cô ấy không có một giải pháp duy nhất.
Hệ thống liên hợp loại (1) có thể có một hoặc nhiều nghiệm.
Giải pháp c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) và c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) hệ thống khớp có dạng (1) được gọi là nhiều, nếu ít nhất một trong các đẳng thức bị vi phạm:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Dạng ma trận
Một hệ phương trình tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
MỘTx = B.
Nếu một cột các thuật ngữ tự do được thêm vào ma trận A ở bên phải thì ma trận thu được được gọi là ma trận mở rộng.
Phương pháp trực tiếp
Phương pháp Cramer (Quy tắc Cramer)- phương pháp giải hệ bậc hai của phương trình đại số tuyến tính với định thức khác 0 của ma trận chính (và đối với các phương trình như vậy có một nghiệm duy nhất). Được đặt theo tên của Gabriel Cramer (1704–1752), người đã phát minh ra phương pháp này.
Mô tả phương pháp
Đối với hệ thống N phương trình tuyến tính với N không xác định (trên một trường tùy ý)
với định thức của hệ ma trận Δ khác 0 thì nghiệm viết dưới dạng
(cột thứ i của ma trận hệ thống được thay thế bằng cột thuật ngữ tự do).
Ở một dạng khác, quy tắc Cramer được phát biểu như sau: với mọi hệ số c 1, c 2, ..., c n đẳng thức sau đây có giá trị:
Ở dạng này, công thức của Cramer có giá trị mà không cần giả định rằng Δ khác 0; thậm chí không nhất thiết các hệ số của hệ phải là các phần tử của một vành nguyên (định thức của hệ thậm chí có thể là ước số của 0 trong vòng hệ số). Chúng ta cũng có thể giả sử rằng hoặc các tập hợp b 1 ,b 2 ,...,b n Và x 1 ,x 2 ,...,x n, hoặc một bộ c 1 ,c 2 ,...,c n không bao gồm các phần tử của vòng hệ số của hệ thống mà bao gồm một số mô-đun phía trên vòng này.
5. Thứ tự nhỏ thứ k. Xếp hạng ma trận. Các phép biến đổi cơ bản của ma trận. Định lý Kronecker-Capelli về điều kiện tương thích của hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp khử biến (Gaussian) cho hệ phương trình tuyến tính.
Người vị thành niên ma trận MỘT là định thức của ma trận vuông bậc k(còn gọi là thứ tự thứ này), có các phần tử xuất hiện trong ma trận MỘT tại giao điểm của hàng có số và cột có số.
Thứ hạng hệ thống ma trận hàng (cột) MỘT Với tôi dòng và N cột là số hàng (cột) khác 0 tối đa.
Một số hàng (cột) được gọi là độc lập tuyến tính nếu không có hàng nào trong số chúng có thể được biểu diễn tuyến tính theo các hàng khác. Thứ hạng của hệ thống hàng luôn bằng thứ hạng của hệ thống cột và số này được gọi là thứ hạng của ma trận.
Định lý Kronecker - Capelli (tiêu chí nhất quán cho hệ phương trình đại số tuyến tính) -
một hệ phương trình đại số tuyến tính là nhất quán khi và chỉ nếu hạng của ma trận chính của nó bằng hạng của ma trận mở rộng của nó (với các số hạng tự do) và hệ có một nghiệm duy nhất nếu hạng đó bằng số của những ẩn số, và vô số lời giải nếu hạng nhỏ hơn số ẩn số.
Phương pháp Gauss - một phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE). Đây là một phương pháp loại bỏ tuần tự các biến, khi sử dụng các phép biến đổi cơ bản, một hệ phương trình được rút gọn thành một hệ tương đương có dạng từng bước (hoặc hình tam giác), từ đó tất cả các biến khác được tìm thấy một cách tuần tự, bắt đầu từ biến cuối cùng (bằng số) biến.
6. Đoạn và vectơ có hướng. Các khái niệm cơ bản của đại số vectơ. Tổng các vectơ và tích của một vectơ và một số. Điều kiện phối hợp của các vectơ. Tính chất của các phép toán tuyến tính trên vectơ.
Các phép toán trên vectơ
Phép cộng
Hoạt động cộng vectơ hình học có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, tùy thuộc vào tình huống và loại vectơ đang được xem xét:
Hai vectơ bạn, v và vectơ tổng của chúng
Quy tắc tam giác. Để cộng hai vectơ và theo quy tắc tam giác, cả hai vectơ này được truyền song song với nhau sao cho điểm đầu của một trong chúng trùng với điểm cuối của vectơ kia. Khi đó vectơ tổng được cho bởi cạnh thứ ba của tam giác thu được và phần đầu của nó trùng với phần đầu của vectơ thứ nhất và phần cuối của nó trùng với phần cuối của vectơ thứ hai.
Quy tắc hình bình hành. Để cộng hai vectơ và theo quy tắc hình bình hành, cả hai vectơ này được truyền song song với nhau sao cho gốc của chúng trùng nhau. Khi đó vectơ tổng được cho bởi đường chéo của hình bình hành dựng trên chúng, bắt đầu từ gốc chung của chúng.
Và mô đun (độ dài) của vectơ tổng 
được xác định theo định lý cosin trong đó góc giữa các vectơ khi điểm đầu của một vectơ trùng với điểm cuối của vectơ kia. Công thức này hiện cũng được sử dụng - góc giữa các vectơ xuất hiện từ một điểm.
tác phẩm nghệ thuật vector
tác phẩm nghệ thuật vector vectơ theo vectơ là vectơ thỏa mãn các yêu cầu sau:
Tính chất của vectơ C
§ độ dài của vectơ bằng tích độ dài của vectơ và sin của góc φ giữa chúng
§ vectơ trực giao với mỗi vectơ và
§ hướng của vectơ C được xác định theo quy tắc Buravchik
Thuộc tính của tích vectơ:
1. Khi sắp xếp lại các thừa số, tích vectơ đổi dấu (tính phản giao hoán), tức là 
2. Tích vectơ có tính chất kết hợp theo hệ số vô hướng, đó là
3. Tích vectơ có tính chất phân phối:
Hệ cơ sở và tọa độ trên mặt phẳng và trong không gian. Phân tích một vectơ theo cơ sở. Cơ sở trực chuẩn và hệ tọa độ Descartes chữ nhật trên mặt phẳng và trong không gian. Tọa độ của một vectơ và một điểm trên mặt phẳng và trong không gian. Hình chiếu của vectơ trên trục tọa độ.
cơ sở (tiếng Hy Lạp cổ βασις, cơ sở) - một tập hợp các vectơ trong không gian vectơ sao cho bất kỳ vectơ nào trong không gian này có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ từ tập hợp này - vectơ cơ sở.
Thông thường, sẽ thuận tiện hơn khi chọn độ dài (chuẩn) của mỗi vectơ cơ sở làm đơn vị, cơ sở đó được gọi là bình thường hóa.
Ví dụ, biểu diễn một vectơ không gian (bất kỳ) cụ thể dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở (tổng các vectơ cơ sở theo hệ số số), ví dụ
hoặc, sử dụng dấu tổng Σ:
gọi điện khai triển vectơ này trên cơ sở này.
Tọa độ của một vectơ và một điểm trên mặt phẳng và trong không gian.
Tọa độ trục x của điểm A là một số có giá trị tuyệt đối bằng độ dài đoạn OAX: dương nếu điểm A nằm trên trục x dương và âm nếu nó nằm trên nửa trục âm.
Vectơ đơn vị hoặc vectơ đơn vị là vectơ có chiều dài bằng 1 và hướng dọc theo bất kỳ trục tọa độ nào.
Sau đó phép chiếu vector AB trên trục l là hiệu x1 – x2 giữa tọa độ các hình chiếu của điểm đầu và điểm cuối của vectơ lên trục này.
8.Cosin chiều và cosin hướng của một vectơ, mối quan hệ giữa cosin chỉ hướng. Vectơ trực giao. Tọa độ là tổng của vectơ, tích của vectơ và một số.
Độ dài vectơ được xác định theo công thức
Hướng của vectơ được xác định bởi các góc α, β, γ tạo bởi nó với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Cosin của các góc này (gọi là vector hướng cosin
) được tính bằng công thức: 
Vectơ đơn vị hoặc ort (vectơ đơn vị của không gian vectơ chuẩn hóa) là một vectơ có chuẩn (độ dài) bằng một.
Vectơ đơn vị thẳng hàng với một vectơ đã cho (vectơ chuẩn hóa), được xác định bởi công thức
Các vectơ đơn vị thường được chọn làm vectơ cơ sở vì điều này giúp đơn giản hóa các phép tính. Những căn cứ như vậy được gọi là bình thường hóa. Nếu các vectơ này cũng trực giao thì cơ sở đó được gọi là cơ sở trực chuẩn.
tọa độ thẳng hàng
tọa độ bình đẳng
tọa độ vectơ tổng hai vectơ thỏa mãn các quan hệ:
tọa độ thẳng hàng vectơ thỏa mãn mối quan hệ:
tọa độ bình đẳng vectơ thỏa mãn các quan hệ:
vectơ tổng hai vectơ:
Tổng của một số vectơ:
Tích của một vectơ và một số:
Tích chéo của vectơ. Ứng dụng hình học của tích chéo. Điều kiện cộng tuyến của các vectơ. Tính chất đại số của một sản phẩm hỗn hợp. Biểu diễn tích vectơ thông qua tọa độ của các thừa số.
Tích chéo của một vectơ và vectơ b được gọi là vectơ c, trong đó:
1. Vuông góc với vectơ a và b, tức là c^a và c^b;
2. Có chiều dài bằng diện tích của hình bình hành được dựng trên các vectơ a và b là các cạnh (xem Hình 17), tức là.
3. Các vectơ a, b và c tạo thành bộ ba thuận tay phải.
Ứng dụng hình học:
Thiết lập sự cộng tuyến của các vectơ
Tìm diện tích hình bình hành và hình tam giác
Theo định nghĩa tích vectơ của vectơ MỘT và b |a xb | =|a| * |b |sing, tức là S cặp = |a x b |. Và do đó, DS =1/2|a x b |.
Xác định mô men lực đối với một điểm
Người ta biết từ vật lý rằng mômen lực F so với điểm VỀ gọi là vectơ M,đi qua điểm VỀ Và:
1) vuông góc với mặt phẳng đi qua các điểm O, A, B;
2) về số lượng bằng tích của lực trên mỗi cánh tay
3) tạo thành bộ ba bên phải với các vectơ OA và A B.
Do đó, M = OA x F.
Tìm tốc độ quay tuyến tính
Tốc độ v của điểm M của một vật rắn quay với vận tốc góc w quanh một trục cố định được xác định theo công thức Euler v =w xr, trong đó r =OM, trong đó O là một điểm cố định nào đó của trục (xem hình 2). 21).
Điều kiện cộng tuyến của vectơ - Điều kiện cần và đủ để một vectơ khác 0 và một vectơ thẳng hàng là sự tồn tại số thỏa mãn đẳng thức.
Tính chất đại số của một sản phẩm hỗn hợp
Tích hỗn hợp của các vectơ không thay đổi khi các thừa số được sắp xếp lại theo vòng tròn và đổi dấu ngược chiều khi hai thừa số đổi chỗ cho nhau mà vẫn giữ nguyên mô đun của nó.
Dấu nhân vectơ " " bên trong một tích hỗn hợp có thể được đặt giữa bất kỳ thừa số nào của nó.
Một sản phẩm hỗn hợp có tính phân phối đối với bất kỳ yếu tố nào của nó: (ví dụ) nếu , thì
Biểu diễn tích chéo theo tọa độ
hệ tọa độ phải
hệ tọa độ trái
12.Tích hỗn hợp của các vectơ. Ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp, điều kiện đồng phẳng của các vectơ. Tính chất đại số của một sản phẩm hỗn hợp. Thể hiện một sản phẩm hỗn hợp thông qua tọa độ của các yếu tố.
Hỗn hợp Tích của bộ ba vectơ có thứ tự (a,b,c) là tích vô hướng của vectơ thứ nhất và tích vectơ của vectơ thứ hai và vectơ thứ ba.
Tính chất đại số của tích vectơ
Tính phản giao hoán
Tính kết hợp đối với phép nhân với số vô hướng
Phân phối bằng phép cộng
Danh tính Jacobi. Chạy trong R3 và ngắt trong R7
Tích vectơ của các vectơ cơ sở được tìm theo định nghĩa
Phần kết luận
ở đâu là tọa độ của cả vectơ chỉ phương của đường thẳng và tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng. Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một vectơ cho trước. Phương trình tổng quát của đường thẳng. Phương trình đường thẳng có hệ số góc. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trên mặt phẳng
Bình thường vectơ của một đường thẳng là bất kỳ vectơ nào khác 0 vuông góc với đường thẳng này.
- phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một vectơ cho trước
Rìu + Wu + C = 0- phương trình tổng quát của đường thẳng.
Phương trình đường thẳng có dạng y=kx+b
gọi điện phương trình đường thẳng có độ dốc, và hệ số k được gọi là độ dốc của đường này.
Định lý. Trong phương trình đường thẳng có độ dốc y=kx+b
hệ số góc k bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng với trục hoành:
Vị trí lẫn nhau:
– phương trình tổng quát của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Sau đó
1) nếu , thì các đường thẳng trùng nhau;
2) nếu , thì thẳng và song song;
3) nếu , thì các đường thẳng cắt nhau.
Bằng chứng . Điều kiện này tương đương với sự cộng tuyến của các vectơ pháp tuyến của các đường thẳng đã cho:
Do đó, nếu , thì các đường thẳng giao nhau.
Nếu như 
, thì , , và phương trình của đường thẳng có dạng:
Hoặc 
, tức là thẳng cuộc thi đấu. Lưu ý rằng hệ số tỷ lệ là , nếu không thì tất cả các hệ số của phương trình tổng quát sẽ bằng 0, điều này là không thể.
Nếu các đường không trùng nhau và không giao nhau thì trường hợp vẫn giữ nguyên, tức là. thẳng song song.
Phương trình của một đường trong đoạn
Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ах + Ву + С = 0 С≠0, thì chia cho –С, ta được: hoặc , trong đó
Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số MỘT là tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Ox và b- tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Oy.
Phương trình chuẩn của đường thẳng
Nếu cả hai vế của phương trình Ax + By + C = 0 đều chia cho một số gọi là yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
phương trình bình thường của một đường thẳng.
Dấu ± của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho μ ? VỚI< 0.
p là độ dài đường vuông góc hạ từ gốc tọa độ đến đường thẳng và φ là góc tạo bởi đường vuông góc này với hướng dương của trục Ox.
C Cần lưu ý rằng không phải mọi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bằng phương trình thành các đoạn, ví dụ đường thẳng song song với trục hoặc đi qua gốc tọa độ.
17. Hình elip. Phương trình chính tắc của một hình elip. Tính chất hình học và cách dựng hình elip. Điều khoản đặc biệt.
hình elip - quỹ tích điểm M Mặt phẳng Euclide, trong đó tổng khoảng cách đến hai điểm đã cho F 1 và F 2 (gọi là tiêu điểm) không đổi và lớn hơn khoảng cách giữa các tiêu điểm, tức là | F 1 M | + | F 2 M | = 2Một, và | F 1 F 2 | < 2Một.
phương trình chính tắc
Đối với bất kỳ hình elip nào, bạn có thể tìm hệ tọa độ Cartesian sao cho hình elip sẽ được mô tả bằng phương trình (phương trình chính tắc của hình elip):
Nó mô tả một hình elip có tâm ở gốc tọa độ, có trục trùng với trục tọa độ.
Sự thi công: 1)Sử dụng la bàn
2) Hai mánh khóe và một sợi dây căng
3) Ellipsograph (Ellipsograph bao gồm hai thanh trượt có thể di chuyển dọc theo hai rãnh hoặc hướng vuông góc. Các thanh trượt được gắn vào thanh bằng bản lề và được đặt ở một khoảng cách cố định với nhau dọc theo thanh. Các thanh trượt di chuyển về phía trước và lùi - mỗi rãnh dọc theo rãnh riêng của nó - và phần cuối của thanh mô tả một hình elip trên mặt phẳng. Các bán trục của hình elip a và b biểu thị khoảng cách từ đầu thanh đến bản lề trên các thanh trượt. , khoảng cách a và b có thể thay đổi và do đó thay đổi hình dạng và kích thước của hình elip được mô tả)
Độ lệch tâm đặc trưng cho độ giãn dài của hình elip. Độ lệch tâm càng gần 0 thì hình elip càng giống hình tròn và ngược lại, độ lệch tâm càng gần đơn vị thì càng dài.
Tham số tiêu cự
phương trình chính tắc
18.Hyperbol. Phương trình chính tắc của hyperbol. Tính chất hình học và cách xây dựng một hyperbol. Điều khoản đặc biệt
Hyperbol(tiếng Hy Lạp cổ ὑπερβολή, từ tiếng Hy Lạp cổ βαλειν - “ném”, ὑπερ - “trên”) - quỹ tích điểm M Mặt phẳng Euclide, trong đó giá trị tuyệt đối của chênh lệch khoảng cách từ M tối đa hai điểm được chọn F 1 và F 2 (được gọi là tiêu điểm) liên tục. Chính xác hơn,
Hơn nữa | F 1 F 2 | > 2Một > 0.
Tỷ lệ
Đối với các đặc điểm của hyperbol được xác định ở trên, chúng tuân theo các mối quan hệ sau
2. Các đường chuẩn của hyperbol được biểu thị bằng các đường có độ dày gấp đôi và được biểu thị D 1 và D 2. Độ lệch tâm ε bằng tỉ số giữa khoảng cách điểm P trên đường cường điệu tới tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng (hiển thị bằng màu xanh lá cây). Các đỉnh của hyperbol được ký hiệu là ± Một. Các tham số hyperbol có nghĩa như sau:
Một- khoảng cách từ trung tâm C tới mỗi đỉnh
b- độ dài đường vuông góc hạ từ mỗi đỉnh tới các đường tiệm cận
c- khoảng cách từ trung tâm Cđến bất kỳ trọng tâm nào, F 1 và F 2 ,
θ là góc tạo bởi mỗi tiệm cận và trục vẽ giữa các đỉnh.
Của cải
§ Đối với bất kỳ điểm nào nằm trên hyperbola, tỷ lệ khoảng cách từ điểm này đến tiêu điểm và khoảng cách từ cùng một điểm đến đường chuẩn là một giá trị không đổi.
§ Một hyperbol có sự đối xứng gương qua trục thực và trục ảo, cũng như sự đối xứng quay khi quay một góc 180° quanh tâm của hyperbol.
§ Mỗi hyperbol có hyperbol liên hợp, trong đó trục thực và trục ảo thay đổi vị trí, nhưng các tiệm cận vẫn giữ nguyên. Điều này tương ứng với việc thay thế Một Và b chồng lên nhau trong một công thức mô tả một hyperbol. Hyperbol liên hợp không phải là kết quả của việc quay hyperbol ban đầu một góc 90°; cả hai hyperbol đều có hình dạng khác nhau.
19. Parabol. Phương trình chính tắc của một parabol. Tính chất hình học và cách xây dựng parabol. Điều khoản đặc biệt.
Parabol - quỹ tích hình học của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước (gọi là đường chuẩn của parabol) và một điểm cho trước (gọi là tiêu điểm của parabol).
Phương trình chính tắc của parabol trong hệ tọa độ chữ nhật:
(hoặc nếu bạn trao đổi các trục).
Của cải
§ 1 Parabol là đường cong bậc hai.
§ 2Nó có một trục đối xứng gọi là trục parabol. Trục đi qua tiêu điểm và vuông góc với đường chuẩn.
§ 3 Thuộc tính quang học Một chùm tia song song với trục của parabol, phản xạ trong parabol, được hội tụ tại tiêu điểm của nó. Và ngược lại, ánh sáng từ một nguồn nằm trong tiêu điểm bị phản xạ bởi một parabol thành chùm tia song song với trục của nó.
§ 4Đối với parabol, tiêu điểm nằm ở điểm (0,25; 0).
Đối với một parabol, tiêu điểm nằm ở điểm (0; f).
§ 5 Nếu tiêu điểm của một parabol bị phản xạ so với tiếp tuyến thì ảnh của nó sẽ nằm trên đường chuẩn.
§ 6 Parabol là đối số của một đường thẳng.
§ Tất cả các parabol đều giống nhau. Khoảng cách giữa tiêu điểm và đường chuẩn xác định tỷ lệ.
§ 7 Khi một parabol quay quanh trục đối xứng, thu được một parabol hình elip.
Đường chuẩn của một parabol
Bán kính tiêu cự
20.Vectơ mặt phẳng chuẩn. Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước thì vuông góc với một vectơ cho trước. Phương trình mặt phẳng tổng quát, trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng tổng quát. Phương trình vectơ của mặt phẳng. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Máy bay- một trong những khái niệm cơ bản của hình học. Trong cách trình bày hình học một cách có hệ thống, khái niệm mặt phẳng thường được coi là một trong những khái niệm ban đầu, chỉ được xác định gián tiếp bởi các tiên đề của hình học.
Phương trình mặt phẳng theo điểm và vectơ pháp tuyến
Ở dạng vectơ
Trong tọa độ
Góc giữa các mặt phẳng
Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng tổng quát.
Khi nghiên cứu các ngành vật lý, cơ học và khoa học kỹ thuật khác nhau, người ta gặp phải những đại lượng hoàn toàn được xác định bằng cách chỉ định các giá trị số của chúng. Những đại lượng như vậy gọi là vô hướng hay nói tóm lại là vô hướng.
Đại lượng vô hướng là chiều dài, diện tích, thể tích, khối lượng, nhiệt độ cơ thể, v.v. Ngoài đại lượng vô hướng, trong các bài toán khác nhau còn có những đại lượng mà ngoài giá trị bằng số còn cần phải biết hướng của chúng. Những đại lượng như vậy gọi là vectơ. Ví dụ vật lý của đại lượng vectơ có thể là độ dịch chuyển của một điểm vật chất đang chuyển động trong không gian, tốc độ và gia tốc của điểm này cũng như lực tác dụng lên nó.
Số lượng vectơ được biểu diễn bằng vectơ.
Định nghĩa vectơ. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng có độ dài nhất định.
Một vectơ được đặc trưng bởi hai điểm. Một điểm là điểm đầu của vectơ, điểm còn lại là điểm cuối của vectơ. Nếu chúng ta biểu thị phần đầu của vectơ bằng dấu chấm MỘT , và điểm cuối của vectơ là một điểm TRONG , thì chính vectơ đó được ký hiệu là . Một vectơ cũng có thể được biểu thị bằng một chữ cái Latinh nhỏ có gạch ngang ở trên (ví dụ: ).
Về mặt đồ họa, một vectơ được biểu thị bằng một đoạn có mũi tên ở cuối.
Điểm bắt đầu của vectơ được gọi là điểm ứng dụng của nó. Nếu điểm MỘT là điểm bắt đầu của vectơ , thì chúng ta sẽ nói rằng vectơ được áp dụng tại điểm MỘT.
Một vectơ được đặc trưng bởi hai đại lượng: chiều dài và hướng.
Chiều dài vectơ – khoảng cách giữa điểm đầu A và điểm cuối B. Tên gọi khác của độ dài vectơ là mô đun của vectơ và được biểu thị bằng ký hiệu . Độ lớn của vectơ được ký hiệu Vectơ , có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. Tức là điều kiện của vectơ đơn vị
Một vectơ có độ dài bằng 0 được gọi là vectơ 0 (ký hiệu là ). Rõ ràng, vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối giống nhau. Vector số 0 không có hướng cụ thể.
Định nghĩa các vectơ thẳng hàng. Các vectơ cùng nằm trên một đường thẳng hoặc song song gọi là các vectơ thẳng hàng .
Lưu ý rằng các vectơ thẳng hàng có thể có độ dài khác nhau và hướng khác nhau.
Xác định các vectơ bằng nhau. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, có cùng độ dài và cùng hướng.
Trong trường hợp này họ viết:
Bình luận. Từ định nghĩa về sự bằng nhau của các vectơ, ta suy ra rằng một vectơ có thể được truyền song song bằng cách đặt gốc tọa độ của nó tại bất kỳ điểm nào trong không gian (đặc biệt là mặt phẳng).
Tất cả các vectơ 0 đều được coi là bằng nhau.
Xác định các vectơ đối diện. Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng thẳng hàng, có cùng độ dài nhưng ngược hướng.
Trong trường hợp này họ viết:
Nói cách khác, vectơ đối diện với vectơ được ký hiệu là .