Phân tích nhân tử bằng phương pháp hệ số không xác định. Tích phân một hàm số hữu tỷ

Dịch vụ này được thiết kế để phân tách các phân số có dạng:

Về tổng các phân số đơn giản. Dịch vụ này sẽ hữu ích cho việc giải tích phân. xem ví dụ.

Hướng dẫn. Nhập tử số và mẫu số của phân số. Nhấp vào nút Giải quyết.

Khi thiết kế dưới dạng biến, hãy sử dụng x t z u p λ

Ghi chú: Ví dụ: x 2 được viết là x^2, (x-2) 3 được viết là (x-2)^3. Giữa các thừa số ta đặt dấu nhân (*).

Quy tắc nhập hàm

Trường này dùng để nhập tử số của biểu thức
Biến chung x trước tiên phải được đưa ra khỏi ngoặc. Ví dụ: x 3 + x = x(x 2 + 1) hoặc x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Quy tắc nhập hàm

Trường này dùng để nhập mẫu số của biểu thức. Ví dụ: x 2 được viết là x^2, (x-2) 3 được viết là (x-2)^3. Giữa các thừa số ta đặt dấu nhân (*).
Biến chung x trước tiên phải được đưa ra khỏi ngoặc. Ví dụ: x 3 + x = x(x 2 + 1) hoặc x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Thuật toán cho phương pháp hệ số bất định

1. Phân tích mẫu số.
2. Phân tích một phân số thành tổng của các phân số đơn giản có hệ số không xác định.
3. Nhóm tử số có cùng lũy ​​thừa của x.
4. Thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với các hệ số chưa xác định là ẩn số.
5. Giải SLAE: Phương pháp Cramer, phương pháp Gauss, phương pháp ma trận nghịch đảo hoặc phương pháp loại bỏ ẩn số.

Ví dụ. Chúng tôi sử dụng phương pháp phân rã thành những phương pháp đơn giản nhất. Hãy chia hàm thành các thuật ngữ đơn giản nhất:


Chúng ta hãy đánh đồng các tử số và lưu ý rằng các hệ số có cùng lũy ​​thừa X, đứng bên trái và bên phải phải phù hợp
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Giải quyết nó, chúng tôi tìm thấy:
A = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;

BỘ KHOA HỌC VÀ GIÁO DỤC CỘNG HÒA BASHKORTO STAN

Cao đẳng Kiến trúc và Xây dựng SAOU SPO Bashkir

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

giáo viên toán tại Bashkirsky

Trường Cao đẳng Kiến trúc và Xây dựng

UFA

2014

Giới thiệu ___________________________________________________3

chương TÔI. Khía cạnh lý thuyết của việc sử dụng phương pháp hệ số bất định______________________________________________4

chương II. Tìm lời giải của bài toán đa thức bằng phương pháp hệ số bất định________________________________7

2.1.Phân tích đa thức_____________________ 7

2.2. Thắc mắc về thông số________________________________ 10

2.3. Giải phương trình______________________________________14

2.4. Phương trình hàm______________________________19

Kết luận________________________________________________23

Danh sách tài liệu đã sử dụng__________________________________________24

Ứng dụng ________________________________________________25

Giới thiệu.

Công việc này được dành cho các khía cạnh lý thuyết và thực tiễn của việc đưa phương pháp hệ số bất định vào môn toán ở trường. Sự liên quan của chủ đề này được xác định bởi các trường hợp sau đây.

Sẽ không ai tranh luận rằng toán học với tư cách là một môn khoa học không đứng một chỗ, nó không ngừng phát triển, xuất hiện những nhiệm vụ mới với độ phức tạp ngày càng tăng, điều này thường gây ra những khó khăn nhất định, vì những nhiệm vụ này thường gắn liền với nghiên cứu. Trong những năm gần đây, những bài toán như vậy đã được đề xuất tại các kỳ thi Olympic toán cấp trường, cấp huyện và cấp cộng hòa, đồng thời chúng cũng có trong các phiên bản Kỳ thi Thống nhất cấp Bang. Do đó, cần phải có một phương pháp đặc biệt để có thể giải quyết được ít nhất một số vấn đề một cách nhanh chóng, hiệu quả và giá cả phải chăng nhất. Tác phẩm này trình bày rõ ràng nội dung của phương pháp hệ số bất định được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học, từ những câu hỏi nằm trong chương trình giáo dục phổ thông cho đến những phần nâng cao nhất của nó. Đặc biệt, việc ứng dụng phương pháp hệ số bất định trong giải các bài toán có tham số, phương trình hữu tỉ và phương trình hàm số đặc biệt thú vị và hiệu quả; chúng có thể dễ dàng thu hút sự quan tâm của bất kỳ ai quan tâm đến toán học. Mục đích chính của công việc đề xuất và lựa chọn các vấn đề là mang lại nhiều cơ hội để trau dồi và phát triển khả năng tìm ra các giải pháp ngắn và không chuẩn.

Công việc này bao gồm hai chương. Phần đầu tiên thảo luận về các khía cạnh lý thuyết của việc sử dụng

phương pháp các hệ số không chắc chắn, và thứ hai, các khía cạnh thực tiễn và phương pháp luận của việc sử dụng đó.

Phần phụ lục của công trình đưa ra các điều kiện cho các nhiệm vụ cụ thể để giải quyết độc lập.

chương TÔI . Các khía cạnh lý thuyết của việc sử dụng phương pháp hệ số bất định

“Con người... sinh ra để làm chủ,

người cai trị, vua của thiên nhiên, nhưng trí tuệ,

mà anh ta phải cai trị không được trao cho anh ta

từ khi sinh ra: nó có được nhờ học tập"

N.I.Lobachevsky

Có nhiều cách và phương pháp khác nhau để giải quyết vấn đề, nhưng một trong những cách thuận tiện nhất, hiệu quả nhất, nguyên bản, tinh tế và đồng thời rất đơn giản và dễ hiểu đối với mọi người là phương pháp hệ số không xác định. Phương pháp hệ số bất xác định là phương pháp được sử dụng trong toán học để tìm hệ số của biểu thức có dạng đã biết trước.

Trước khi xem xét việc áp dụng phương pháp hệ số bất định để giải các dạng bài toán khác nhau, chúng tôi trình bày một số thông tin lý thuyết.

Hãy để họ được trao

MỘT N (x) = Một 0 x N + Một 1 x n-1 + Một 2 x n-2 + ··· + Một n-1 x + Một N

B tôi (x ) = b 0 x tôi + b 1 x tôi -1 + b 2 x tôi -2 + ··· + b m-1 x + b tôi ,

đa thức tương đối X với bất kỳ tỷ lệ cược nào.

Định lý. Hai đa thức phụ thuộc vào một và cùng một đối số giống hệt nhau khi và chỉ khiN = tôi và các hệ số tương ứng của chúng bằng nhauMột 0 = b 0 , Một 1 = b 1 , Một 2 = b 2 ,··· , Một N -1 = b tôi -1 , Một N = b tôi Và T. d.

Rõ ràng, các đa thức bằng nhau sẽ nhận mọi giá trị X những giá trị giống nhau. Ngược lại, nếu giá trị của hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị X, thì các đa thức bằng nhau, nghĩa là các hệ số của chúng ở cùng mức độX cuộc thi đấu.

Vì vậy, ý tưởng áp dụng phương pháp hệ số bất định để giải bài toán như sau.

Hãy cho chúng tôi biết rằng do một số phép biến đổi, sẽ thu được một biểu thức thuộc một loại nhất định và chỉ các hệ số trong biểu thức này là không xác định. Khi đó các hệ số này được ký hiệu bằng chữ cái và được coi là ẩn số. Sau đó, một hệ phương trình được xây dựng để xác định những ẩn số này.

Ví dụ, trong trường hợp đa thức, các phương trình này được lập từ điều kiện các hệ số bằng nhau đối với cùng lũy ​​thừa X cho hai đa thức bằng nhau.

Hãy chứng minh những gì đã nói ở trên bằng các ví dụ cụ thể sau đây và hãy bắt đầu với cách đơn giản nhất.

Vì vậy, ví dụ, dựa trên những cân nhắc về mặt lý thuyết, phân số

có thể được biểu diễn dưới dạng tổng

, Ở đâu Một , b Và c - các hệ số cần xác định. Để tìm chúng, chúng ta đánh đồng biểu thức thứ hai với biểu thức thứ nhất:

=

và giải phóng bản thân khỏi mẫu số và thu thập các số hạng có cùng lũy ​​thừa ở bên trái X, chúng tôi nhận được:

(Một + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Vì đẳng thức cuối cùng phải đúng với mọi giá trị X, thì các hệ số có cùng lũy ​​thừaX phải và trái phải giống nhau. Do đó, thu được ba phương trình để xác định ba hệ số chưa biết:

a+b+c = 2

b - c = - 5

MỘT= 1, từ đó Một = 1 , b = - 2 , c = 3

Kể từ đây,

=
,

giá trị của đẳng thức này dễ dàng được xác minh một cách trực tiếp.

Giả sử bạn cũng cần biểu diễn một phân số

ở dạng Một + b
+ c
+ d
, Ở đâu Một , b , c Và d- hệ số hợp lý chưa biết. Chúng ta đánh đồng biểu thức thứ hai với biểu thức thứ nhất:

Một + b
+ c
+ d
=
hoặc, Giải phóng bản thân khỏi mẫu số, loại bỏ, nếu có thể, các yếu tố hợp lý từ dưới dấu của căn thức và đưa các số hạng tương tự vào vế trái, chúng ta thu được:

(Một- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Nhưng sự bình đẳng như vậy chỉ có thể thực hiện được trong trường hợp khi các số hạng hữu tỷ của cả hai phần và các hệ số của cùng một căn thức bằng nhau. Như vậy, thu được bốn phương trình để tìm các hệ số chưa biết Một , b , c Và d :

Một- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, từ đó Một = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , tức là
= -
+
.

Chương II. Tìm lời giải cho các bài toán với đa thức phương pháp hệ số không xác định.

“Không có gì góp phần vào việc nắm vững một môn học tốt hơn

cách ứng xử với anh ấy trong những tình huống khác nhau"

Viện sĩ B.V. Gnedenko

2. 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.

Các phương pháp phân tích đa thức:

1) đặt thừa số chung ra khỏi ngoặc; 2) phương pháp nhóm; 3) áp dụng các công thức nhân cơ bản; 4) giới thiệu các thuật ngữ phụ trợ; 5) phép biến đổi sơ bộ của một đa thức đã cho bằng cách sử dụng các công thức nhất định; 6) khai triển bằng cách tìm nghiệm của một đa thức đã cho; 7) phương pháp nhập tham số; 8) phương pháp hệ số không chắc chắn.

Bài 1. Phân tích đa thức thành thừa số thực X 4 + X 2 + 1 .

Giải pháp. Không có nghiệm nào trong số các ước của số hạng tự do của đa thức này. Chúng ta không thể tìm nghiệm của đa thức bằng các phương pháp cơ bản khác. Do đó, không thể thực hiện khai triển cần thiết bằng cách trước tiên tìm nghiệm của đa thức này. Vẫn còn phải tìm giải pháp cho vấn đề bằng cách đưa ra các số hạng phụ hoặc bằng phương pháp hệ số không xác định. Rõ ràng là X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Các tam thức bậc hai thu được không có nghiệm và do đó không thể phân tách thành các thừa số tuyến tính thực.

Phương pháp được mô tả là đơn giản về mặt kỹ thuật, nhưng khó khăn do tính nhân tạo của nó. Thật vậy, rất khó để đưa ra các thuật ngữ phụ trợ cần thiết. Chỉ một phỏng đoán đã giúp chúng tôi tìm ra sự phân hủy này. Nhưng

Có nhiều cách đáng tin cậy hơn để giải quyết những vấn đề như vậy.

Người ta có thể tiến hành như thế này: giả sử rằng đa thức đã cho phân tích thành tích

(X 2 + MỘT X + b )(X 2 + c X + d )

hai tam thức vuông có hệ số nguyên.

Như vậy chúng ta sẽ có điều đó

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + MỘT X + b )(X 2 + c X + d )

Việc còn lại là xác định các hệ sốMột , b , c Và d .

Nhân các đa thức ở vế phải của đẳng thức cuối cùng, ta được:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + MỘT c + d ) X 2 + (quảng cáo + bc ) x + bd .

Nhưng vì chúng ta cần vế phải của đẳng thức này biến thành cùng một đa thức ở vế trái nên chúng ta cần phải đáp ứng các điều kiện sau:

a + c = 0

b + MỘT c + d = 1

quảng cáo + bc = 0

bd = 1 .

Kết quả là hệ bốn phương trình với bốn ẩn sốMột , b , c Và d . Dễ dàng tìm được các hệ số từ hệ thống nàyMột = 1 , b = 1 , c = -1 Và d = 1.

Bây giờ vấn đề đã được giải quyết hoàn toàn. Chúng tôi đã nhận được:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Bài 2. Phân tích đa thức thành thừa số thực X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Giải pháp. Ta biểu diễn đa thức này dưới dạng

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + MỘT )(X 2 + bx + c) , Ở đâu Một , b Và Với - các hệ số chưa được xác định. Vì hai đa thức bằng nhau khi và chỉ khi các hệ số có cùng lũy ​​thừaX bằng nhau, sau đó, đánh đồng các hệ số tương ứng choX 2 , X và các số hạng tự do, chúng ta thu được hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số:

a+b= - 6

ab+c = 14

ac = - 15 .

Giải pháp cho hệ thống này sẽ được đơn giản hóa đáng kể nếu chúng ta tính đến số 3 (ước số của số hạng tự do) là nghiệm của phương trình này, và do đó,Một = - 3 ,

b = - 3 Và Với = 5 .

Sau đó X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Phương pháp áp dụng hệ số không xác định, so với phương pháp đưa thuật ngữ phụ trợ ở trên, không chứa đựng điều gì nhân tạo mà đòi hỏi phải áp dụng nhiều nguyên lý lý thuyết và kèm theo những phép tính khá lớn. Đối với các đa thức bậc cao hơn, phương pháp hệ số không xác định này dẫn đến hệ phương trình cồng kềnh.

2.2.Nhiệm vụ và với các tham số.

Trong những năm gần đây, các phiên bản của Kỳ thi Thống nhất đã đưa ra các nhiệm vụ có tham số. Giải pháp của họ thường gây ra những khó khăn nhất định. Khi giải các bài toán có tham số, cùng với các phương pháp khác, bạn có thể sử dụng khá hiệu quả phương pháp hệ số không xác định. Chính phương pháp này cho phép bạn đơn giản hóa rất nhiều giải pháp của họ và nhanh chóng nhận được câu trả lời.

Nhiệm vụ 3. Xác định giá trị nào của tham số MỘT phương trình 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + MỘT – 3 = 0 có đúng hai nghiệm.

Giải pháp. 1 chiều. Sử dụng đạo hàm.

Hãy biểu diễn phương trình này dưới dạng hai hàm

2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – MỘT .

f (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X– 3 và φ( X ) = – MỘT .

Hãy cùng khám phá chức năngf (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 sử dụng đạo hàm và xây dựng sơ đồ đồ thị của nó (Hình 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Hàm số không chẵn cũng không lẻ.

3. Tìm các điểm tới hạn của hàm số, các khoảng tăng giảm, cực trị của hàm số. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , do đó chúng ta sẽ tìm thấy tất cả các điểm tới hạn của hàm bằng cách giải phương trình f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 theo định lý nghịch đảo định lý Vieta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ tối đa - phút +

2 3 x

f / (x) > 0 với mọi X< – 2 và X > 3 và hàm số liên tục tại các điểmx =– 2 và X = 3, do đó, nó tăng theo từng khoảng thời gian (- ; - 2] và [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 lúc - 2 < X< 3 do đó giảm dần trong khoảng [- 2; 3 ].

X = - điểm tối đa thứ 2, vì tại thời điểm này dấu của đạo hàm thay đổi từ"+" đến "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 điểm tối thiểu, vì tại thời điểm này dấu của đạo hàm thay đổi"-" đến "+".

f (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

Đồ thị của hàm số φ(X ) = – MỘT là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có tọa độ (0; – MỘT ). - Đồ thị có hai điểm chung làMỘT= 41, tức là một =– 41 và – MỘT= – 84, tức là MỘT = 84 .

Tại

41φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3

Phương pháp 2. Phương pháp hệ số không xác định.

Vì theo điều kiện của bài toán, phương trình này chỉ có hai nghiệm nên đẳng thức hiển nhiên:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + MỘT – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + MỘT – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Bây giờ đánh đồng các hệ số ở cùng mức độ X, ta thu được hệ phương trình

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = Một – 3 .

Từ hai phương trình đầu tiên của hệ ta tìm đượcb 2 + b – 6 = 0, từ đó b 1 = - 3 hoặc b 2 = 2 . Giá trị tương ứngVới 1 và Với 2 dễ dàng tìm thấy từ phương trình đầu tiên của hệ thống:Với 1 = 9 hoặc Với 2 = - 11 . Cuối cùng, giá trị mong muốn của tham số có thể được xác định từ phương trình cuối cùng của hệ thống:

MỘT = b 2 c + 3 , Một 1 = - 41 hoặc Một 2 = 84.

Trả lời: phương trình này có đúng hai điểm khác nhau

gốc tại MỘT= - 41 và MỘT= 84 .

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của tham sốMỘT , trong đó phương trìnhX 3 + 5 X 2 + Ồ + b = 0

với các hệ số nguyên có ba nghiệm khác nhau, một trong số đó bằng –2.

Giải pháp. 1 chiều. Thay thế X= - 2 về vế trái của phương trình, ta được

8 + 20 – 2 MỘT + b= 0, có nghĩa là b = 2 Một – 12 .

Vì số - 2 là nghiệm nên ta có thể rút ra thừa số chung X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Ồ + (2 Một – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Ồ + (2 Một – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (Một – 6)(x +2) - 2(Một – 6)+ (2 Một - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (Một – 6) ) .

Theo điều kiện, có thêm hai nghiệm của phương trình. Điều này có nghĩa là phân biệt của yếu tố thứ hai là dương.

D =3 2 - 4 (Một – 6) = 33 – 4 Một > 0, tức là MỘT < 8,25 .

Có vẻ như câu trả lời sẽ là một = 8. Nhưng khi thay số 8 vào phương trình ban đầu, chúng ta nhận được:

X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

nghĩa là phương trình chỉ có hai nghiệm khác nhau. Nhưng khi một = 7 thực sự tạo ra ba gốc khác nhau.

Phương pháp 2. Phương pháp hệ số không xác định.

Nếu phương trình X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = 0 có nghiệm X = - 2 thì bạn luôn có thể lấy sốc Và d để trước mặt mọi ngườiX sự bình đẳng là đúng

X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = (X + 2)(X 2 + Với x + d ).

Để tìm sốc Và d Hãy mở dấu ngoặc ở bên phải, thêm các thuật ngữ tương tự và nhận được

X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = X 3 + (2 + Với ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Cân bằng các hệ số ở lũy thừa tương ứng X chúng tôi có một hệ thống

2 + Với = 5

2 Với + d = Một

2 d = b , Ở đâu c = 3 .

Kể từ đây, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 hoặc

d < 2,25, vậy d (- ; 2 ].

Các điều kiện của bài toán được thỏa mãn bởi giá trị d = 1. Giá trị mong muốn cuối cùng của tham sốMỘT = 7.

ĐÁP: khi một = 7 phương trình này có ba nghiệm khác nhau.

2.3. Giải phương trình.

“Hãy nhớ rằng bằng cách giải quyết những vấn đề nhỏ bạn

chuẩn bị tinh thần để giải quyết vấn đề lớn và khó khăn

nhiệm vụ mới.”

Viện sĩ S.L.

Khi giải một số phương trình, bạn có thể và nên thể hiện sự tháo vát, hóm hỉnh, đồng thời sử dụng các kỹ thuật đặc biệt. Việc nắm vững nhiều kỹ thuật biến đổi và khả năng thực hiện suy luận logic có tầm quan trọng rất lớn trong toán học. Một trong những thủ thuật này là cộng và trừ một số biểu thức hoặc số được chọn kỹ. Tất nhiên, bản thân thực tế đã nêu đều được mọi người biết đến - khó khăn chính là nhìn thấy trong một cấu hình cụ thể những phép biến đổi phương trình sao cho thuận tiện và phù hợp khi áp dụng nó.

Sử dụng một phương trình đại số đơn giản, chúng tôi sẽ minh họa một kỹ thuật không chuẩn để giải phương trình.

Bài 5. Giải phương trình

=
.

Giải pháp. Hãy nhân cả hai vế của phương trình này với 5 và viết lại như sau

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 hoặc
= 0

Chúng ta hãy giải phương trình kết quả bằng phương pháp hệ số không xác định

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + à + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + MỘT c + d ) X 2 + (quảng cáo + bc ) x+ + bd

Cân bằng các hệ số tại X 3 , X 2 , X và các điều khoản miễn phí, chúng tôi có được hệ thống

a + c = -1

b + MỘT c + d = 0

quảng cáo + bc = -7

bd = -3, từ đó chúng tôi tìm thấy:MỘT = -2 ; b = - 1 ;

Với = 1 ; d = 3 .

Vì thế X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 hoặc X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
không có rễ.

Tương tự chúng ta có

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

Ở đâu X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Trả lời: X 1,2 =

Bài 6. Giải phương trình

= 10.

Giải pháp. Để giải phương trình này bạn cần chọn sốMỘT Và b sao cho tử số của hai phân số bằng nhau. Do đó, ta có hệ:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Vì vậy nhiệm vụ là tìm các sốMỘT Và b , mà sự bình đẳng giữ vững

(một + 6) X 2 + à – 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Bây giờ, theo định lý về đẳng thức của đa thức, điều cần thiết là vế phải của đẳng thức này phải biến thành cùng một đa thức ở vế trái.

Nói cách khác, mối quan hệ phải được thỏa mãn

một + 6 = 1

MỘT = 5 + 2 b

– 5 = b , từ đó chúng tôi tìm thấy các giá trịMỘT = - 5 ;

b = - 5 .

Tại các giá trị nàyMỘT Và b bình đẳng MỘT + b = - 10 cũng công bằng.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 hoặc X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Trả lời: X 1,2 =
, X 3,4 =

Bài 7. Giải phương trình

= 4

Giải pháp. Phương trình này phức tạp hơn các phương trình trước và do đó chúng ta sẽ nhóm nó theo cách này: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Từ điều kiện đẳng thức của hai đa thức

Ồ 2 + (một + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

chúng ta thu được và giải hệ phương trình cho các hệ số chưa biếtMỘT Và b :

MỘT = 1

một + 6 = b + 11

12 = – 3 b , Ở đâu một = 1 , b = - 4 .

Đa thức - 3 – 6X + cx 2 + 8 cx Và X 2 + 21 + 12 d – dx chỉ bằng nhau khi

Với = 1

8 Với - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Với = 1 , d = - 2 .

Với các giá trịmột = 1 , b = - 4 , Với = 1 , d = - 2

bình đẳng
= - 4 đúng.

Kết quả là phương trình này có dạng sau:

= 0 hoặc
= 0 hoặc
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Từ các ví dụ được xem xét, có thể thấy rõ việc sử dụng khéo léo phương pháp hệ số không xác định như thế nào,

giúp đơn giản hóa việc giải một phương trình khá phức tạp, bất thường.

2.4. Phương trình hàm.

“Mục đích cao nhất của toán học... là

là tìm thứ tự ẩn trong

sự hỗn loạn xung quanh chúng ta"

N. Viner

Phương trình hàm là một lớp phương trình rất tổng quát trong đó hàm chưa biết là một hàm nhất định. Phương trình hàm số theo nghĩa hẹp được hiểu là phương trình trong đó hàm số mong muốn có liên hệ với hàm số đã biết của một hoặc nhiều biến bằng cách sử dụng phép toán hình thành hàm số phức. Một phương trình hàm cũng có thể được coi là một biểu thức của một tính chất đặc trưng cho một lớp hàm cụ thể

[ví dụ, phương trình hàm f ( x ) = f (- x ) đặc trưng cho lớp hàm chẵn, phương trình hàmf (x + 1) = f (x ) – lớp hàm có chu kỳ 1, v.v.].

Một trong những phương trình hàm đơn giản nhất là phương trìnhf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Nghiệm liên tục của phương trình hàm này có dạng

f (x ) = Cx . Tuy nhiên, trong lớp hàm số không liên tục, phương trình hàm này có nghiệm khác. Liên kết với phương trình chức năng được xem xét là

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

các nghiệm liên tục tương ứng có dạng

e cx , VỚIlnx , x α (x > 0).

Do đó, các phương trình hàm này có thể được sử dụng để xác định hàm mũ, hàm logarit và hàm lũy thừa.

Các phương trình được sử dụng rộng rãi nhất là các phương trình trong các hàm phức trong đó các hàm cần tìm là các hàm ngoài. Ứng dụng lý thuyết và thực tiễn

Chính những phương trình này đã thôi thúc các nhà toán học xuất sắc nghiên cứu chúng.

Vì vậy, ví dụ, Tại căn chỉnh

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N.I.Lobachevskyđược sử dụng khi xác định góc song song trong hình học của tôi.

Trong những năm gần đây, các bài toán liên quan đến giải phương trình hàm số thường được đưa ra tại các kỳ Olympic toán học. Giải pháp của họ không đòi hỏi những kiến ​​thức nằm ngoài phạm vi chương trình toán ở trường trung học. Tuy nhiên, việc giải phương trình hàm thường gây ra những khó khăn nhất định.

Một trong những cách giải phương trình hàm là phương pháp hệ số bất định. Nó có thể được sử dụng khi dạng tổng quát của hàm mong muốn có thể được xác định bằng sự xuất hiện của phương trình. Trước hết, điều này áp dụng cho những trường hợp khi cần tìm nghiệm của các phương trình giữa các hàm hữu tỉ số nguyên hoặc phân số.

Chúng ta hãy phác thảo bản chất của kỹ thuật này bằng cách giải quyết các vấn đề sau.

Nhiệm vụ 8. Chức năngf (x ) được xác định với mọi x thực và thỏa mãn mọiX R tình trạng

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Tìm thấyf (x ).

Giải pháp. Vì ở vế trái của phương trình này trên biến độc lập x và các giá trị của hàmf Chỉ các phép toán tuyến tính được thực hiện và vế phải của phương trình là hàm bậc hai, khi đó, điều tự nhiên là giả sử rằng hàm mong muốn cũng là hàm bậc hai:

f (X) = rìu 2 + bx + c , Ở đâuMột, b, c – các hệ số cần xác định, nghĩa là các hệ số không chắc chắn.

Thay thế hàm vào phương trình, chúng ta đi đến đẳng thức:

3(rìu 2 + bx+ c) – 2(Một(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

rìu 2 + (5 b + 4 Một) x + (c – 2 Một – 2 b) = x 2 .

Hai đa thức sẽ bằng nhau nếu chúng bằng nhau

các hệ số cho cùng lũy ​​thừa của biến:

Một = 1

5b + 4Một = 0

c– 2 Một – 2 b = 0.

Từ hệ thống này, chúng tôi tìm thấy các hệ số

Một = 1 , b = - , c = , Cũngthỏa mãnbình đẳng

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 trên tập hợp tất cả các số thực. Đồng thời, có như vậyx 0 Nhiệm vụ 9. Chức năngy =f(x) với mọi x được xác định, liên tục và thỏa mãn điều kiệnf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Tìm hai hàm số như vậy.

Giải pháp. Hai hành động được thực hiện trên hàm mong muốn - thao tác soạn một hàm phức tạp và

phép trừ. Xét rằng vế phải của phương trình là một hàm tuyến tính, điều tự nhiên là giả định rằng hàm mong muốn cũng là tuyến tính:f(x) = à +b , Ở đâuMỘT Vàb – các hệ số không chắc chắn. Thay chức năng này vàof (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , là nghiệm của phương trình hàmf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Phần kết luận.

Tóm lại, cần lưu ý rằng công việc này chắc chắn sẽ góp phần nghiên cứu sâu hơn về một phương pháp độc đáo và hiệu quả để giải nhiều loại bài toán khác nhau, là những bài toán có độ khó tăng dần và đòi hỏi kiến ​​thức sâu về môn toán ở trường cũng như tính logic cao. văn hóa. Bất kỳ ai muốn độc lập đào sâu kiến ​​thức về toán học cũng sẽ nhận thấy Tác phẩm này chứa đựng tài liệu để suy ngẫm và các nhiệm vụ thú vị, việc giải quyết chúng sẽ mang lại lợi ích và sự hài lòng.

Công trình, trong khuôn khổ chương trình giảng dạy hiện có ở trường và ở dạng dễ tiếp cận để nhận thức hiệu quả, đưa ra phương pháp về các hệ số không xác định, giúp đào sâu môn toán ở trường.

Tất nhiên, tất cả các khả năng của phương pháp hệ số không xác định không thể được chứng minh trong một tác phẩm. Trên thực tế, phương pháp này vẫn cần được nghiên cứu và nghiên cứu thêm.

Danh sách tài liệu được sử dụng

Glazer G.I..Lịch sử toán học ở trường.-M.: Giáo dục, 1983.

Gomonov S.A. Phương trình hàm số trong môn toán ở trường // Toán ở trường. – 2000. –№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. Cẩm nang toán học - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Phương trình đại số bậc tùy ý - M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Giới thiệu cơ bản về phương trình hàm. – St.Petersburg. : Lân, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Từ điển giải thích các thuật ngữ toán học - M.: Education, 1971.

Modenov V.P.. Cẩm nang toán học. Phần 1.-M.: Đại học quốc gia Moscow, 1977.

Modenov V.P.. Các vấn đề về tham số - M.: Exam, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Đại số và phân tích các hàm cơ bản - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Bạn có thể giải dễ dàng hơn // Toán ở trường. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Khai triển đa thức 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 đối với số nhân có hệ số nguyên.

5. Ở giá trị nào MỘT X 3 + 6X 2 + Ồ+ 12 mỗi X+ 4 ?

6. Ở giá trị nào của tham sốMỘT phương trìnhX 3 +5 X 2 + + Ồ + b = 0 với hệ số nguyên có hai nghiệm khác nhau, một trong số đó là 1 ?

7. Giữa các nghiệm của đa thức X 4 + X 3 – 18X 2 + Ồ + b với hệ số nguyên thì có ba số nguyên bằng nhau. Tìm giá trị b .

8. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số MỘT, tại đó phương trình X 3 – 8X 2 + à +b = 0 với hệ số nguyên có ba nghiệm khác nhau, một trong số đó bằng 2.

9. Ở giá trị nào MỘT Và b phép chia được thực hiện không có số dư X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Ồ + b TRÊN X 2 – 3X + 2 ?

10. Đa thức thừa số:

MỘT)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 d)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 đ)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Giải các phương trình:

MỘT)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Tìm thấy f (X) .

13. Chức năng Tại= f (X) trước mặt mọi người X xác định, liên tục và thỏa mãn điều kiện f ( f (X)) = f (X) + X. Tìm hai hàm số như vậy.