2. Cơ sở lý thuyết xác suất
Kỳ vọng
Hãy xem xét một biến ngẫu nhiên có giá trị số. Thường rất hữu ích khi liên kết một số với hàm này - “giá trị trung bình” của nó hoặc, như người ta nói, “giá trị trung bình”, “chỉ số của xu hướng trung tâm”. Vì một số lý do, một số lý do sẽ được làm rõ sau này, kỳ vọng toán học thường được sử dụng làm “giá trị trung bình”.
Định nghĩa 3. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X số được gọi
những thứ kia. kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là tổng có trọng số của các giá trị của một biến ngẫu nhiên có trọng số bằng xác suất của các sự kiện cơ bản tương ứng.
Ví dụ 6. Hãy tính kỳ vọng toán học của con số xuất hiện ở mặt trên của xúc xắc. Nó suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 3 rằng
Tuyên bố 2. Cho biến ngẫu nhiên X lấy giá trị x 1, x 2,…, xtôi. Khi đó đẳng thức đúng
(5)
những thứ kia. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là tổng có trọng số của các giá trị của biến ngẫu nhiên có trọng số bằng xác suất mà biến ngẫu nhiên đó nhận các giá trị nhất định.
Không giống như (4), trong đó phép tính tổng được thực hiện trực tiếp trên các sự kiện cơ bản, một sự kiện ngẫu nhiên có thể bao gồm một số sự kiện cơ bản.
Đôi khi mối quan hệ (5) được coi là định nghĩa của kỳ vọng toán học. Tuy nhiên, sử dụng Định nghĩa 3, như được trình bày dưới đây, sẽ dễ dàng thiết lập các thuộc tính của kỳ vọng toán học cần thiết để xây dựng các mô hình xác suất của hiện tượng thực hơn là sử dụng mối quan hệ (5).
Để chứng minh mối quan hệ (5), ta nhóm thành (4) số hạng có giá trị giống nhau của biến ngẫu nhiên:
Vì hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của tổng, nên
Bằng cách xác định xác suất của một sự kiện
Sử dụng hai mối quan hệ cuối cùng, chúng tôi có được yêu cầu:
Khái niệm kỳ vọng toán học trong lý thuyết xác suất thống kê tương ứng với khái niệm trọng tâm trong cơ học. Hãy đặt nó vào điểm x 1, x 2,…, xtôi trên trục số khối P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) tương ứng. Khi đó đẳng thức (5) chứng tỏ rằng trọng tâm của hệ điểm vật chất này trùng với kỳ vọng toán học, điều này thể hiện tính tự nhiên của Định nghĩa 3.
Tuyên bố 3. Cho phép X– biến ngẫu nhiên, M(X)– kỳ vọng toán học của nó, MỘT– một con số nhất định Sau đó
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3) M[(X- Một) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(Một- M(X)) 2 .
Để chứng minh điều này, trước tiên chúng ta hãy xem xét một biến ngẫu nhiên không đổi, tức là hàm ánh xạ không gian của các sự kiện cơ bản tới một điểm duy nhất MỘT. Vì hệ số không đổi có thể được đưa ra ngoài dấu của tổng, nên
Nếu mỗi phần tử của tổng được chia thành hai số hạng thì toàn bộ số đó được chia thành hai tổng, trong đó số thứ nhất được tạo thành từ các số hạng thứ nhất và số thứ hai được tạo thành từ số hạng thứ hai. Do đó, kỳ vọng toán học của tổng hai biến ngẫu nhiên X+Y, được xác định trên cùng một không gian các sự kiện cơ bản, bằng tổng các kỳ vọng toán học M(X) Và M(U) các biến ngẫu nhiên này:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Và do đó M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Như được hiển thị ở trên, M(M(X)) = M(X). Kể từ đây, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Từ (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - Một)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - Một) + (M(X) – Một) 2 , Cái đó M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - Một)} + M[(M(X) – Một) 2 ]. Hãy đơn giản hóa đẳng thức cuối cùng. Như đã trình bày ở phần đầu của chứng minh Mệnh đề 3, kỳ vọng toán học của một hằng số chính là hằng số đó, và do đó M[(M(X) – Một) 2 ] = (M(X) – Một) 2 . Vì số nhân không đổi có thể vượt quá dấu của tổng, nên M{2(X - M(X))(M(X) - Một)} = 2(M(X) - Một)M(X - M(X)). Vế phải của đẳng thức cuối cùng là 0 vì, như được hiển thị ở trên, M(X-M(X))=0. Kể từ đây, M[(X- Một) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(Một- M(X)) 2 , đó là điều cần chứng minh.
Từ trên suy ra rằng M[(X- Một) 2 ] đạt đến mức tối thiểu MỘT, bình đẳng M[(X- M(X)) 2 ], Tại a = M(X), vì số hạng thứ hai trong đẳng thức 3) luôn không âm và chỉ bằng 0 đối với giá trị đã chỉ định MỘT.
Tuyên bố 4. Cho biến ngẫu nhiên X lấy giá trị x 1, x 2,…, xtôi và f là một hàm nào đó của đối số số. Sau đó
Để chứng minh điều này, hãy nhóm vào vế phải của đẳng thức (4), định nghĩa kỳ vọng toán học, các thuật ngữ có cùng giá trị:
Sử dụng thực tế là hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của tổng và định nghĩa xác suất của sự kiện ngẫu nhiên (2), chúng ta thu được
Q.E.D.
Tuyên bố 5. Cho phép X Và bạn– các biến ngẫu nhiên được xác định trên cùng một không gian của các sự kiện cơ bản, MỘT Và b- một số con số Sau đó M(aX+ qua)= là(X)+ bM(Y).
Sử dụng định nghĩa của kỳ vọng toán học và các tính chất của ký hiệu tổng, chúng ta thu được một chuỗi các đẳng thức:
Điều cần thiết đã được chứng minh.
Phần trên cho thấy kỳ vọng toán học phụ thuộc như thế nào vào sự chuyển đổi sang một điểm tham chiếu khác và sang một đơn vị đo lường khác (chuyển đổi Y=aX+b), cũng như hàm của các biến ngẫu nhiên. Các kết quả thu được thường xuyên được sử dụng trong phân tích kinh tế và kỹ thuật, đánh giá các hoạt động kinh tế và tài chính của doanh nghiệp, trong quá trình chuyển đổi từ loại tiền này sang loại tiền khác trong tính toán kinh tế nước ngoài, trong tài liệu quy định và kỹ thuật, v.v. sử dụng các công thức tính toán giống nhau cho các tham số tỷ lệ và độ dịch chuyển khác nhau.
| Trước |
Lý thuyết xác suất là một nhánh toán học đặc biệt chỉ được nghiên cứu bởi sinh viên của các cơ sở giáo dục đại học. Bạn có thích tính toán và công thức? Bạn có lo sợ về khả năng tìm hiểu phân bố chuẩn, entropy tổng thể, kỳ vọng toán học và độ phân tán của một biến ngẫu nhiên rời rạc không? Sau đó, chủ đề này sẽ rất thú vị với bạn. Chúng ta hãy làm quen với một số khái niệm cơ bản quan trọng nhất của ngành khoa học này.
Chúng ta hãy nhớ những điều cơ bản
Ngay cả khi bạn nhớ những khái niệm đơn giản nhất của lý thuyết xác suất, đừng bỏ qua những đoạn đầu tiên của bài viết. Vấn đề là nếu không hiểu rõ những điều cơ bản, bạn sẽ không thể làm việc với các công thức được thảo luận dưới đây.
Vì vậy, một số sự kiện ngẫu nhiên xảy ra, một số thử nghiệm. Kết quả của những hành động chúng ta thực hiện là chúng ta có thể nhận được một số kết quả - một số kết quả xảy ra thường xuyên hơn, số khác xảy ra ít thường xuyên hơn. Xác suất của một sự kiện là tỷ số giữa số kết quả thực tế thu được của một loại trên tổng số kết quả có thể xảy ra. Chỉ khi biết định nghĩa cổ điển của khái niệm này, bạn mới có thể bắt đầu nghiên cứu kỳ vọng toán học và độ phân tán của các biến ngẫu nhiên liên tục.
trung bình số học
Trở lại trường học, trong giờ học toán, bạn bắt đầu làm việc với giá trị trung bình số học. Khái niệm này được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết xác suất và do đó không thể bỏ qua. Điều quan trọng đối với chúng ta lúc này là chúng ta sẽ gặp nó trong các công thức tính kỳ vọng và phân tán toán học của một biến ngẫu nhiên.
Chúng ta có một dãy số và muốn tìm giá trị trung bình số học. Tất cả những gì chúng ta cần là tổng hợp mọi thứ có sẵn và chia cho số phần tử trong chuỗi. Cho các số từ 1 đến 9. Tổng các phần tử sẽ bằng 45 và chúng ta sẽ chia giá trị này cho 9. Trả lời: - 5.
phân tán
Theo thuật ngữ khoa học, độ phân tán là bình phương trung bình của độ lệch của các giá trị thu được của một đặc tính so với giá trị trung bình số học. Nó được biểu thị bằng một chữ cái Latinh viết hoa D. Để tính nó cần những gì? Đối với mỗi phần tử của chuỗi, chúng tôi tính toán sự khác biệt giữa số hiện có và giá trị trung bình số học và bình phương nó. Sẽ có chính xác bao nhiêu giá trị có thể có kết quả cho sự kiện mà chúng ta đang xem xét. Tiếp theo, chúng tôi tổng hợp mọi thứ nhận được và chia cho số phần tử trong chuỗi. Nếu chúng ta có năm kết quả có thể xảy ra thì chia cho năm.
Sự phân tán cũng có những đặc tính cần được ghi nhớ để sử dụng khi giải quyết vấn đề. Ví dụ: khi một biến ngẫu nhiên tăng X lần, phương sai sẽ tăng X bình phương lần (tức là X*X). Nó không bao giờ nhỏ hơn 0 và không phụ thuộc vào việc dịch chuyển các giá trị lên hoặc xuống một lượng bằng nhau. Ngoài ra, đối với các thử nghiệm độc lập, phương sai của tổng bằng tổng phương sai.
Bây giờ chúng ta chắc chắn cần xem xét các ví dụ về độ phân tán của một biến ngẫu nhiên rời rạc và kỳ vọng toán học.
Giả sử chúng tôi đã thực hiện 21 thử nghiệm và nhận được 7 kết quả khác nhau. Chúng tôi quan sát mỗi người trong số họ lần lượt 1, 2, 2, 3, 4, 4 và 5 lần. Phương sai sẽ bằng bao nhiêu?
Trước tiên, hãy tính trung bình số học: tổng của các phần tử tất nhiên là 21. Chia cho 7, nhận 3. Bây giờ trừ 3 cho mỗi số trong dãy ban đầu, bình phương mỗi giá trị và cộng các kết quả lại với nhau. Kết quả là 12. Bây giờ tất cả những gì chúng ta phải làm là chia số đó cho số phần tử, và có vẻ như chỉ vậy thôi. Nhưng có một nhược điểm! Hãy thảo luận về nó.
Sự phụ thuộc vào số lượng thí nghiệm
Hóa ra khi tính phương sai, mẫu số có thể chứa một trong hai số: N hoặc N-1. Ở đây N là số lượng thí nghiệm được thực hiện hoặc số phần tử trong chuỗi (về cơ bản là giống nhau). Điều này phụ thuộc vào điều gì?
Nếu số lượng bài kiểm tra được đo bằng hàng trăm thì chúng ta phải đặt N vào mẫu số. Nếu tính theo đơn vị thì N-1. Các nhà khoa học quyết định vẽ đường viền khá tượng trưng: ngày nay nó đi qua số 30. Nếu chúng ta tiến hành ít hơn 30 thí nghiệm thì chúng ta sẽ chia số tiền cho N-1, và nếu nhiều hơn thì cho N.
Nhiệm vụ
Hãy quay lại ví dụ của chúng ta về việc giải bài toán phương sai và kỳ vọng toán học. Chúng ta có số trung gian là 12, số này cần được chia cho N hoặc N-1. Vì chúng tôi đã tiến hành 21 thí nghiệm, ít hơn 30 thí nghiệm nên chúng tôi sẽ chọn phương án thứ hai. Vậy câu trả lời là: phương sai là 12/2 = 2.
Kỳ vọng
Hãy chuyển sang khái niệm thứ hai mà chúng ta phải xem xét trong bài viết này. Kỳ vọng toán học là kết quả của việc cộng tất cả các kết quả có thể xảy ra nhân với xác suất tương ứng. Điều quan trọng là phải hiểu rằng giá trị thu được, cũng như kết quả tính phương sai, chỉ thu được một lần cho toàn bộ bài toán, bất kể có bao nhiêu kết quả được xem xét trong đó.
Công thức tính kỳ vọng toán học khá đơn giản: chúng ta lấy kết quả, nhân với xác suất của nó, cộng kết quả tương tự cho kết quả thứ hai, thứ ba, v.v. Mọi thứ liên quan đến khái niệm này đều không khó tính toán. Ví dụ: tổng các giá trị kỳ vọng bằng giá trị kỳ vọng của tổng. Điều này cũng đúng với công việc. Không phải mọi đại lượng trong lý thuyết xác suất đều cho phép bạn thực hiện các phép tính đơn giản như vậy. Chúng ta hãy giải bài toán và tính toán ý nghĩa của hai khái niệm mà chúng ta đã nghiên cứu cùng một lúc. Ngoài ra, chúng tôi bị phân tâm bởi lý thuyết - đã đến lúc thực hành.
Một ví dụ khác
Chúng tôi đã tiến hành 50 thử nghiệm và nhận được 10 loại kết quả - các số từ 0 đến 9 - xuất hiện với tỷ lệ phần trăm khác nhau. Lần lượt là: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Hãy nhớ lại rằng để có được xác suất, bạn cần chia các giá trị phần trăm cho 100. Do đó, chúng ta nhận được 0,02; 0,1, v.v. Chúng ta hãy trình bày một ví dụ về giải bài toán phương sai của một biến ngẫu nhiên và kỳ vọng toán học.
Chúng tôi tính giá trị trung bình số học bằng công thức mà chúng tôi nhớ từ thời tiểu học: 50/10 = 5.
Bây giờ chúng ta hãy chuyển xác suất thành số kết quả “theo từng phần” để dễ đếm hơn. Chúng ta nhận được 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 và 9. Từ mỗi giá trị thu được, chúng ta trừ đi giá trị trung bình số học, sau đó chúng ta bình phương từng kết quả thu được. Xem cách thực hiện việc này bằng cách sử dụng phần tử đầu tiên làm ví dụ: 1 - 5 = (-4). Tiếp theo: (-4) * (-4) = 16. Đối với các giá trị khác, hãy tự thực hiện các thao tác này. Nếu bạn làm mọi thứ đúng, thì sau khi cộng tất cả lại, bạn sẽ nhận được 90.
Hãy tiếp tục tính phương sai và giá trị kỳ vọng bằng cách chia 90 cho N. Tại sao chúng ta chọn N thay vì N-1? Đúng, vì số lượng thí nghiệm được thực hiện vượt quá 30. Vậy: 90/10 = 9. Chúng ta có phương sai. Nếu bạn nhận được một số khác, đừng tuyệt vọng. Rất có thể, bạn đã mắc một lỗi đơn giản trong tính toán. Hãy kiểm tra kỹ những gì bạn đã viết và mọi thứ có thể sẽ đâu vào đấy.
Cuối cùng, hãy nhớ công thức tính kỳ vọng toán học. Chúng tôi sẽ không đưa ra tất cả các phép tính, chúng tôi sẽ chỉ viết câu trả lời mà bạn có thể kiểm tra sau khi hoàn thành tất cả các thủ tục cần thiết. Giá trị kỳ vọng sẽ là 5,48. Chúng ta chỉ nhớ lại cách thực hiện các thao tác, sử dụng các phần tử đầu tiên làm ví dụ: 0*0,02 + 1*0,1..., v.v. Như bạn có thể thấy, chúng tôi chỉ cần nhân giá trị kết quả với xác suất của nó.
Độ lệch
Một khái niệm khác liên quan chặt chẽ đến độ phân tán và kỳ vọng toán học là độ lệch chuẩn. Nó được biểu thị bằng chữ cái Latinh sd hoặc bằng chữ thường Hy Lạp “sigma”. Khái niệm này cho thấy mức độ trung bình của các giá trị lệch khỏi tính năng trung tâm. Để tìm giá trị của nó, bạn cần tính căn bậc hai của phương sai.
Nếu bạn vẽ biểu đồ phân phối chuẩn và muốn xem độ lệch bình phương trực tiếp trên đó, việc này có thể được thực hiện theo nhiều giai đoạn. Chụp một nửa ảnh sang trái hoặc phải chế độ (giá trị trung tâm), vẽ một đường vuông góc với trục hoành sao cho diện tích các hình thu được bằng nhau. Kích thước của đoạn giữa phần giữa của phân bố và hình chiếu thu được lên trục hoành sẽ biểu thị độ lệch chuẩn.
Phần mềm
Như có thể thấy từ phần mô tả các công thức và các ví dụ được trình bày, tính toán phương sai và kỳ vọng toán học không phải là thủ tục đơn giản nhất theo quan điểm số học. Để không lãng phí thời gian, nên sử dụng chương trình được sử dụng trong các cơ sở giáo dục đại học - nó có tên là “R”. Nó có các chức năng cho phép bạn tính toán các giá trị cho nhiều khái niệm từ thống kê và lý thuyết xác suất.
Ví dụ: bạn chỉ định một vectơ giá trị. Việc này được thực hiện như sau: vectơ<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Tóm lại
Sự phân tán và kỳ vọng toán học là những thứ mà nếu không có thì khó có thể tính toán bất cứ điều gì trong tương lai. Trong khóa học chính của các bài giảng tại các trường đại học, chúng đã được thảo luận trong những tháng đầu tiên học môn học này. Chính vì thiếu hiểu biết về những khái niệm đơn giản này và không có khả năng tính toán mà nhiều sinh viên ngay lập tức bị tụt lại phía sau trong chương trình và sau đó bị điểm kém vào cuối buổi học, khiến họ bị tước học bổng.
Luyện tập ít nhất một tuần, nửa giờ mỗi ngày, giải các bài toán tương tự như bài viết này. Sau đó, trong bất kỳ bài kiểm tra nào về lý thuyết xác suất, bạn sẽ có thể giải quyết các ví dụ mà không cần các mẹo và bảng ghi chú không liên quan.
Đặc tính đầy đủ nhất của một biến ngẫu nhiên là quy luật phân phối của nó. Tuy nhiên, nó không phải lúc nào cũng được biết đến và trong những trường hợp này người ta phải hài lòng với ít thông tin hơn. Những thông tin đó có thể bao gồm: phạm vi thay đổi của một biến ngẫu nhiên, giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của nó, một số đặc điểm khác mô tả biến ngẫu nhiên theo một cách tóm tắt nào đó. Tất cả những đại lượng này được gọi là đặc điểm số biến ngẫu nhiên. Thông thường đây là một số không ngẫu nhiên những con số bằng cách nào đó đặc trưng cho một biến ngẫu nhiên. Mục đích chính của các đặc tính số là thể hiện dưới dạng ngắn gọn những đặc điểm quan trọng nhất của một phân bố cụ thể.
Đặc tính số đơn giản nhất của một biến ngẫu nhiên Xđã gọi cho cô ấy kỳ vọng toán học:
M(X)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n. (1.3.1)
Đây x 1, x 2, …, xn– các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X, MỘT trang 1, trang 2, …, р n– xác suất của chúng.
Ví dụ 1. Tìm kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên nếu biết luật phân phối của nó:
Giải pháp. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.
Ví dụ 2. Tìm kỳ vọng toán học về số lần xuất hiện của một sự kiện MỘT trong một lần thử, nếu xác suất của sự kiện này bằng nhau r.
Giải pháp. Nếu như X- số lần xuất hiện của sự kiện MỘT trong một thử nghiệm, thì rõ ràng là luật phân phối X có dạng:
Sau đó M(X)=0×(1–р)+1×р=р.
Vì vậy: kỳ vọng toán học về số lần xuất hiện của một sự kiện trong một lần thử bằng xác suất của nó.
Ý nghĩa xác suất của kỳ vọng toán học
Hãy để nó được sản xuất N kiểm tra trong đó biến ngẫu nhiên Xđược chấp nhận tôi 1 giá trị lần x 1, m 2 giá trị lần x 2, …, tôi k giá trị lần xk. Khi đó tổng tất cả các giá trị trong N các phép thử bằng:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Hãy tìm giá trị trung bình số học của tất cả các giá trị được lấy bởi biến ngẫu nhiên:
Giá trị – tần suất xuất hiện tương đối của các giá trị x tôi (i=1, …, k). Nếu như Nđủ lớn (n®¥), thì các tần số này xấp xỉ bằng xác suất: . Nhưng sau đó
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
Do đó, kỳ vọng toán học xấp xỉ bằng (càng chính xác, số lần kiểm tra càng nhiều) với giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên. Đây là ý nghĩa xác suất của kỳ vọng toán học.
Tính chất của kỳ vọng toán học
1. Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính hằng số đó.
M(C)=C×1=C.
2. Hệ số hằng số có thể được đưa ra khỏi dấu kỳ vọng toán học
M(CX)=C×M(X).
Bằng chứng. Hãy để luật phân phối X cho bởi bảng:
Khi đó biến ngẫu nhiên CX lấy giá trị Cx 1, Cx 2, …, Сх n với xác suất như nhau, tức là luật phân phối CX có dạng:
M(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =
=C(x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n)=CM(X).
3. Kỳ vọng toán học của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích kỳ vọng toán học của chúng:
M(XY)=M(X)×M(Y).
Tuyên bố này được đưa ra mà không cần chứng minh (chứng minh dựa trên định nghĩa của kỳ vọng toán học).
Kết quả. Kỳ vọng toán học của tích của một số biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng.
Cụ thể, đối với ba biến ngẫu nhiên độc lập
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
Ví dụ. Tìm kỳ vọng toán học của tích số điểm có thể xuất hiện khi ném hai viên xúc xắc.
Giải pháp. Cho phép Xi– số điểm mỗi Tôi xương thứ. Đó có thể là những con số 1 , 2 , …, 6 với xác suất. Sau đó
M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Cho phép X=X 1 ×X 2. Sau đó
M(X)=M(X 1)×M(X 2)= =12,25.
4. Kỳ vọng toán học của tổng hai biến ngẫu nhiên (độc lập hoặc phụ thuộc) bằng tổng kỳ vọng toán học của các số hạng:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Tính chất này được tổng quát hóa cho trường hợp số hạng tùy ý.
Ví dụ. Bắn 3 phát có xác suất trúng mục tiêu bằng p 1 = 0,4, p 2 = 0,3 Và p 3 = 0,6. Tìm kỳ vọng toán học của tổng số lần truy cập.
Giải pháp. Cho phép Xi– số lần truy cập tại Tôi- phát bắn thứ . Sau đó
М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
Như vậy,
M(X 1 +X 2 +X 3)= =0,4+0,3+0,6=1,3.
Đặc điểm của DSV và tính chất của chúng. Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn
Luật phân phối mô tả đầy đủ các biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên, khi không thể tìm ra luật phân phối hoặc điều này không bắt buộc, bạn có thể hạn chế tìm các giá trị gọi là đặc tính số của một biến ngẫu nhiên. Các giá trị này xác định một số giá trị trung bình xung quanh đó các giá trị của biến ngẫu nhiên được nhóm lại và mức độ chúng phân tán xung quanh giá trị trung bình này.
Kỳ vọng toán học Biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và xác suất của chúng.
Kỳ vọng toán học tồn tại nếu chuỗi ở vế phải của đẳng thức hội tụ tuyệt đối.
Từ quan điểm xác suất, chúng ta có thể nói rằng kỳ vọng toán học xấp xỉ bằng giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên.
Ví dụ. Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc đã được biết đến. Tìm kỳ vọng toán học.
| X | ||||
| P | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Giải pháp:
9.2 Tính chất của kỳ vọng toán học
1. Kỳ vọng toán học của một giá trị không đổi bằng chính hằng số đó.
2. Hệ số không đổi có thể được coi là dấu của kỳ vọng toán học.
3. Kỳ vọng toán học của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích kỳ vọng toán học của chúng.
Thuộc tính này đúng với số lượng biến ngẫu nhiên tùy ý.
4. Kỳ vọng toán học của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của các số hạng.
Tính chất này cũng đúng với số lượng biến ngẫu nhiên tùy ý.
Cho n phép thử độc lập được thực hiện, xác suất xảy ra sự kiện A trong đó bằng p.
Định lý. Kỳ vọng toán học M(X) của số lần xuất hiện sự kiện A trong n phép thử độc lập bằng tích của số lần thử và xác suất xảy ra sự kiện trong mỗi phép thử.
Ví dụ. Tìm kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên Z nếu biết kỳ vọng toán học của X và Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Giải pháp:
9.3 Phân tán của biến ngẫu nhiên rời rạc
Tuy nhiên, kỳ vọng toán học không thể mô tả đầy đủ đặc điểm của quá trình ngẫu nhiên. Ngoài kỳ vọng toán học, cần nhập giá trị đặc trưng cho độ lệch của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học.
Độ lệch này bằng chênh lệch giữa biến ngẫu nhiên và kỳ vọng toán học của nó. Trong trường hợp này, kỳ vọng toán học của độ lệch bằng không. Điều này được giải thích bởi thực tế là một số sai lệch có thể là dương, một số khác là âm và do sự hủy bỏ lẫn nhau của chúng nên thu được số 0.
Sự phân tán (tán xạ) của một biến ngẫu nhiên rời rạc là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó.
Trong thực tế, phương pháp tính phương sai này không thuận tiện vì dẫn đến tính toán cồng kềnh cho một số lượng lớn các giá trị biến ngẫu nhiên.
Vì vậy, một phương pháp khác được sử dụng.
Định lý. Phương sai bằng hiệu giữa kỳ vọng toán học của bình phương biến ngẫu nhiên X và bình phương kỳ vọng toán học của nó.
Bằng chứng. Xét thực tế rằng kỳ vọng toán học M(X) và bình phương của kỳ vọng toán học M2(X) là các đại lượng không đổi, chúng ta có thể viết:
Ví dụ. Tìm phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc theo luật phân phối.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| r | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Giải pháp: .
9.4 Đặc tính phân tán
1. Phương sai của một giá trị không đổi bằng 0. .
2. Hệ số hằng số có thể được loại bỏ khỏi dấu phân tán bằng cách bình phương nó. .
3. Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng phương sai của các biến này. .
4. Phương sai của chênh lệch giữa hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng phương sai của các biến này. .
Định lý. Phương sai của số lần xuất hiện của sự kiện A trong n phép thử độc lập, trong đó mỗi phép thử có xác suất p xảy ra sự kiện là không đổi, bằng tích của số lần thử với xác suất xảy ra và không xảy ra. sự xuất hiện của sự kiện trong mỗi lần thử.
9.5 Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc
Độ lệch chuẩn Biến ngẫu nhiên X được gọi là căn bậc hai của phương sai.
Định lý. Độ lệch chuẩn của tổng một số hữu hạn các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau bằng căn bậc hai của tổng bình phương độ lệch chuẩn của các biến này.
Kích cỡ
Các đặc tính số cơ bản của ngẫu nhiên
Luật phân phối mật độ đặc trưng cho một biến ngẫu nhiên. Nhưng thường thì nó không được biết đến và người ta phải giới hạn bản thân ở mức ít thông tin hơn. Đôi khi, việc sử dụng các con số mô tả tổng thể một biến ngẫu nhiên thậm chí còn có lợi hơn. Những con số như vậy được gọi là đặc điểm số biến ngẫu nhiên. Chúng ta hãy nhìn vào những cái chính.
Sự định nghĩa:Kỳ vọng toán học M(X) của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của đại lượng này và xác suất của chúng:
Nếu một biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận vô số giá trị có thể đếm được, thì
Hơn nữa, kỳ vọng toán học tồn tại nếu chuỗi này hội tụ tuyệt đối.
Từ định nghĩa suy ra rằng M(X) một biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến không ngẫu nhiên (không đổi).
Ví dụ: Cho phép X- số lần xuất hiện của sự kiện MỘT trong một bài kiểm tra, P(A) = p. Chúng ta cần tìm kỳ vọng toán học X.
Giải pháp: Hãy tạo luật phân phối dạng bảng X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - p | P |
Hãy tìm kỳ vọng toán học:
Như vậy, kỳ vọng toán học về số lần xuất hiện của một sự kiện trong một lần thử bằng xác suất của sự kiện này.
Nguồn gốc của thuật ngữ kỳ vọng toán học gắn liền với thời kỳ đầu xuất hiện lý thuyết xác suất (thế kỷ XVI-XVII), khi phạm vi ứng dụng của nó chỉ giới hạn trong cờ bạc. Người chơi quan tâm đến giá trị trung bình của chiến thắng dự kiến, tức là. kỳ vọng toán học của chiến thắng.
Hãy xem xét ý nghĩa xác suất của kỳ vọng toán học.
Hãy để nó được sản xuất N kiểm tra trong đó biến ngẫu nhiên Xđược chấp nhận tôi 1 giá trị lần x 1, m 2 giá trị lần x 2, vân vân, và cuối cùng cô ấy đã chấp nhận tôi k giá trị lần xk, Và m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Khi đó tổng tất cả các giá trị được lấy bởi biến ngẫu nhiên X, bằng nhau x 1 m 1 + x 2 m 2 +…+x k tôi k.
Giá trị trung bình số học của tất cả các giá trị được lấy bởi một biến ngẫu nhiên X, bằng:
vì là tần số tương đối của một giá trị đối với bất kỳ giá trị nào tôi = 1, …, k.
Như đã biết, nếu số lượng bài kiểm tra Nđủ lớn thì tần số tương đối xấp xỉ bằng xác suất xảy ra sự kiện, do đó,
Như vậy, .
Phần kết luận:Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc xấp xỉ bằng (càng chính xác, số lần kiểm tra càng lớn) với giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên.
Hãy xem xét các tính chất cơ bản của kỳ vọng toán học.
Thuộc tính 1:Kỳ vọng toán học của một giá trị không đổi bằng chính giá trị không đổi đó:
M(C) = C.
Bằng chứng: Không thay đổi VỚI có thể được xem xét , có thể có một ý nghĩa VỚI và chấp nhận nó với xác suất p = 1. Kể từ đây, M(C) = C 1=S.
Hãy xác định Tích của biến không đổi C và biến ngẫu nhiên rời rạc X như một biến ngẫu nhiên rời rạc CX, các giá trị có thể có của nó bằng tích của hằng số VỚIđến các giá trị có thể X CX bằng xác suất của các giá trị có thể tương ứng X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Thuộc tính 2:Hệ số không đổi có thể được đưa ra khỏi dấu kỳ vọng toán học:
M(CX) = CM(X).
Bằng chứng: Cho biến ngẫu nhiên Xđược đưa ra bởi định luật phân bố xác suất:
| X | … | |||
| P | … |
Hãy viết định luật phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Sự định nghĩa:Hai biến ngẫu nhiên được gọi là độc lập nếu luật phân phối của một trong số chúng không phụ thuộc vào giá trị có thể có của biến kia. Ngược lại, các biến ngẫu nhiên là phụ thuộc.
Sự định nghĩa:Một số biến ngẫu nhiên được cho là độc lập lẫn nhau nếu luật phân phối của bất kỳ số nào trong số chúng không phụ thuộc vào giá trị có thể có của các biến còn lại.
Hãy xác định tích của các biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập X và Y như một biến ngẫu nhiên rời rạc XY, các giá trị có thể có của chúng bằng tích của từng giá trị có thể có X với mọi giá trị có thể Y. Xác suất của các giá trị có thể XY bằng tích của xác suất các giá trị có thể có của các thừa số.
Hãy để phân phối của các biến ngẫu nhiên được đưa ra X Và Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên XY có dạng:
| XY | … | |||
| P | … |
Một số tác phẩm có thể bằng nhau. Trong trường hợp này, xác suất của một giá trị có thể có của sản phẩm bằng tổng các xác suất tương ứng. Ví dụ: nếu = , thì xác suất của giá trị là
Thuộc tính 3:Kỳ vọng toán học của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích kỳ vọng toán học của chúng:
M(XY) = M(X) CỦA TÔI).
Bằng chứng: Cho các biến ngẫu nhiên độc lập X Và Yđược quy định bởi luật phân phối xác suất riêng của họ:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Để đơn giản hóa việc tính toán, chúng ta sẽ giới hạn ở một số lượng nhỏ các giá trị có thể có. Trong trường hợp tổng quát chứng minh tương tự.
Hãy tạo luật phân phối của một biến ngẫu nhiên XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) CỦA TÔI).
Kết quả:Kỳ vọng toán học của tích của một số biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng.
Bằng chứng: Hãy chứng minh ba biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau X,Y,Z. Biến ngẫu nhiên XY Và Zđộc lập thì ta có:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) CỦA TÔI) M(Z).
Đối với số lượng tùy ý các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau, việc chứng minh được thực hiện bằng phương pháp quy nạp toán học.
Ví dụ: Biến ngẫu nhiên độc lập X Và Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Cần tìm M(XY).
Giải pháp: Vì các biến ngẫu nhiên X Và Y thì độc lập M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Hãy xác định tổng các biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y như một biến ngẫu nhiên rời rạc X+Y, các giá trị có thể có của chúng bằng tổng của từng giá trị có thể có X với mọi giá trị có thể Y. Xác suất của các giá trị có thể X+Y cho các biến ngẫu nhiên độc lập X Và Y bằng tích của xác suất của các số hạng và đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc - bằng tích của xác suất của một số hạng và xác suất có điều kiện của số hạng thứ hai.
Nếu = và xác suất của các giá trị này tương ứng bằng nhau thì xác suất (giống như ) bằng .
Thuộc tính 4:Kỳ vọng toán học của tổng hai biến ngẫu nhiên (phụ thuộc hoặc độc lập) bằng tổng kỳ vọng toán học của các số hạng:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Bằng chứng: Cho hai biến ngẫu nhiên X Và Yđược cho bởi các luật phân phối sau:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Để đơn giản hóa kết luận, chúng tôi sẽ giới hạn ở hai giá trị có thể có của mỗi đại lượng. Trong trường hợp tổng quát chứng minh tương tự.
Hãy soạn tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên X+Y(để đơn giản, giả sử rằng các giá trị này khác nhau; nếu không thì chứng minh tương tự):
| X+Y | ||||
| P |
Hãy tìm kỳ vọng toán học của giá trị này.
M(X+Y) = + + + +
Hãy chứng minh rằng + = .
Sự kiện X = ( xác suất của nó P(X = ) kéo theo sự kiện là biến ngẫu nhiên X+Y sẽ lấy giá trị hoặc (xác suất của sự kiện này, theo định lý cộng, bằng ) và ngược lại. Sau đó = .
Các đẳng thức = = = được chứng minh tương tự
Thay thế vế phải của các đẳng thức này vào công thức kết quả cho kỳ vọng toán học, chúng ta thu được:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Kết quả:Kỳ vọng toán học của tổng của một số biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của các số hạng.
Bằng chứng: Hãy chứng minh cho ba biến ngẫu nhiên X,Y,Z. Hãy tìm kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên X+Y Và Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Đối với số biến ngẫu nhiên tùy ý, việc chứng minh được thực hiện bằng phương pháp quy nạp toán học.
Ví dụ: Tìm giá trị trung bình của tổng số điểm có thể đạt được khi ném hai viên xúc xắc.
Giải pháp: Cho phép X– số điểm có thể xuất hiện ở lần xúc xắc đầu tiên, Y- vào ngày thứ hai. Rõ ràng là các biến ngẫu nhiên X Và Y có sự phân bố giống nhau. Hãy ghi lại dữ liệu phân phối X Và Y vào một bảng:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Vậy giá trị trung bình của tổng số điểm có thể xuất hiện khi tung hai viên xúc xắc là 7 .
Định lý:Kỳ vọng toán học M(X) của số lần xuất hiện sự kiện A trong n phép thử độc lập bằng tích của số lần thử và xác suất xảy ra sự kiện trong mỗi phép thử: M(X) = np.
Bằng chứng: Cho phép X- số lần xuất hiện của sự kiện MỘT V. N các bài kiểm tra độc lập. Rõ ràng tổng số X sự kiện xảy ra MỘT trong các thử nghiệm này là tổng số lần xuất hiện của sự kiện trong các thử nghiệm riêng lẻ. Sau đó, nếu số lần xuất hiện của một sự kiện trong lần thử đầu tiên, trong lần thử thứ hai, v.v., cuối cùng, là số lần xuất hiện của sự kiện trong N-th thử nghiệm thì tổng số lần xuất hiện của sự kiện được tính theo công thức:
Qua tính chất 4 của kỳ vọng toán học chúng tôi có:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Vì kỳ vọng toán học về số lần xuất hiện của một sự kiện trong một phép thử bằng với xác suất của sự kiện đó, nên
M( ) = M( )= … = M( ) = p.
Kể từ đây, M(X) = np.
Ví dụ: Xác suất bắn trúng mục tiêu khi bắn từ súng là p = 0,6. Tìm số lần truy cập trung bình nếu được thực hiện 10 cú đánh.
Giải pháp: Cú đánh của mỗi lượt đánh không phụ thuộc vào kết quả của các lượt đánh khác, do đó, các sự kiện đang được xem xét là độc lập và do đó, kỳ vọng toán học bắt buộc bằng:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Vậy số lần truy cập trung bình là 6.
Bây giờ hãy xem xét kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên liên tục.
Sự định nghĩa:Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên liên tục X, các giá trị có thể có của nó thuộc khoảng,gọi là tích phân xác định:
trong đó f(x) là mật độ phân bố xác suất.
Nếu các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên liên tục X thuộc toàn bộ trục Ox thì
Người ta cho rằng tích phân suy rộng này hội tụ tuyệt đối, tức là tích phân hội tụ Nếu yêu cầu này không được đáp ứng thì giá trị của tích phân sẽ phụ thuộc vào tốc độ (riêng) giới hạn dưới có xu hướng -∞ và giới hạn trên có xu hướng +∞.
Có thể chứng minh rằng tất cả các tính chất của kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc được bảo toàn cho một biến ngẫu nhiên liên tục. Việc chứng minh dựa trên các tính chất của tích phân xác định và tích phân suy rộng.
Rõ ràng là kỳ vọng toán học M(X) lớn hơn giá trị nhỏ nhất và nhỏ hơn giá trị lớn nhất có thể có của biến ngẫu nhiên X. Những thứ kia. Trên trục số, các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên nằm ở bên trái và bên phải kỳ vọng toán học của nó. Theo nghĩa này, kỳ vọng toán học M(X)đặc trưng cho vị trí phân bố và do đó thường được gọi là trung tâm phân phối.