Với dịch vụ này bạn có thể tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến f(x) với lời giải được định dạng trong Word. Do đó, nếu cho hàm f(x,y) thì cần tìm cực trị của hàm hai biến. Bạn cũng có thể tìm thấy khoảng thời gian của các hàm tăng và giảm.
Quy tắc nhập hàm:
Điều kiện cần để đạt cực trị của hàm một biến
Phương trình f" 0 (x *) = 0 là điều kiện cần thiết cực trị của hàm một biến, tức là tại điểm x * đạo hàm bậc nhất của hàm số phải triệt tiêu. Nó xác định các điểm dừng x c mà tại đó hàm số không tăng hoặc giảm.Điều kiện đủ để tìm cực trị của hàm số một biến
Cho f 0 (x) khả vi hai lần đối với x thuộc tập D. Nếu tại điểm x* thỏa mãn điều kiện:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Khi đó điểm x * là điểm cực tiểu cục bộ (toàn cục) của hàm.
Nếu tại điểm x* thỏa mãn điều kiện:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Khi đó điểm x * là mức tối đa cục bộ (toàn cầu).
Ví dụ số 1. Tìm số lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chức năng: trên phân khúc.
Giải pháp. 
Điểm tới hạn là một x 1 = 2 (f’(x)=0). Điểm này thuộc về phân khúc. (Điểm x=0 không tới hạn vì 0∉).
Chúng tôi tính toán các giá trị của hàm ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Trả lời: f min = 5/2 tại x=2; f max =9 tại x=1
Ví dụ số 2. Sử dụng đạo hàm bậc cao hơn, tìm cực trị của hàm số y=x-2sin(x) .
Giải pháp.
Tìm đạo hàm của hàm số: y’=1-2cos(x) . Hãy tìm các điểm tới hạn: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Ta tìm y’’=2sin(x), tính , tức là x= π / 3 +2πk, k∈Z là điểm cực tiểu của hàm số; 
, có nghĩa là x=- π / 3 +2πk, k∈Z là điểm cực đại của hàm số.
Ví dụ số 3. Khảo sát hàm cực trị trong vùng lân cận điểm x=0.
Giải pháp. Ở đây cần tìm cực trị của hàm số. Nếu cực trị x=0 thì tìm ra loại của nó (tối thiểu hoặc tối đa). Nếu trong số các điểm tìm thấy không có x = 0 thì hãy tính giá trị của hàm f(x=0).
Cần lưu ý rằng khi đạo hàm ở mỗi vế của một điểm cho trước không đổi dấu thì các tình huống có thể xảy ra không hết ngay cả đối với các hàm khả vi: có thể xảy ra điều đó đối với một lân cận nhỏ tùy ý ở một phía của điểm x 0 hoặc ở cả hai bên dấu hiệu đạo hàm thay đổi. Tại những điểm này cần phải sử dụng các phương pháp khác để nghiên cứu hàm số ở mức cực trị.
Chúng ta hãy xem cách kiểm tra một hàm bằng biểu đồ. Hóa ra bằng cách nhìn vào biểu đồ, chúng ta có thể tìm ra mọi thứ mà chúng ta quan tâm, cụ thể là:
- miền của hàm
- phạm vi chức năng
- hàm số không
- khoảng tăng giảm
- điểm tối đa và tối thiểu
- giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn.
Hãy làm rõ thuật ngữ:
cơ hoành là tọa độ ngang của điểm.
xuất gia- tọa độ dọc.
trục hoành- trục hoành, thường được gọi là trục.
Trục Y - trục tung, hoặc trục.
Lý lẽ- một biến độc lập mà các giá trị hàm phụ thuộc vào. Thường được chỉ định nhất.
Nói cách khác, chúng ta chọn , thay thế các hàm vào công thức và nhận được .
Miền định nghĩa hàm - tập hợp các giá trị đối số (và chỉ những) mà hàm tồn tại.
Được chỉ định bởi: hoặc .
Trong hình của chúng ta, miền định nghĩa của hàm là đoạn. Chính trên đoạn này mà đồ thị của hàm được vẽ. Chỉ ở đây chức năng này tồn tại.
Phạm vi chức năng là tập hợp các giá trị mà một biến nhận. Trong hình của chúng tôi, đây là một phân đoạn - từ giá trị thấp nhất đến giá trị cao nhất.
Số không của hàm- nghĩa là những điểm mà giá trị của hàm bằng 0. Trong hình của chúng tôi đây là những điểm và .
Giá trị hàm là dươngỞ đâu . Trong hình của chúng tôi đây là những khoảng thời gian và .
Giá trị hàm là âmỞ đâu . Đối với chúng tôi, đây là khoảng (hoặc khoảng) từ đến .
Các khái niệm chính - hàm tăng giảm trên một số tập hợp. Dưới dạng một tập hợp, bạn có thể lấy một đoạn, một khoảng, một tập hợp các khoảng hoặc toàn bộ dãy số.
Chức năng tăng lên
Nói cách khác, càng nhiều, càng nhiều, tức là đồ thị đi về bên phải và hướng lên trên.
Chức năng giảm trên trường quay , nếu có và , thuộc về nhiều người, bất đẳng thức hàm ý bất đẳng thức .
Đối với hàm giảm giá trị cao hơn tương ứng với giá trị nhỏ hơn. Biểu đồ đi sang phải và xuống.
Trong hình của chúng tôi, hàm tăng theo khoảng và giảm theo khoảng và .
Hãy xác định nó là gì điểm cực đại và cực tiểu của hàm.
Điểm tối đa- đây là một điểm bên trong của miền định nghĩa, sao cho giá trị của hàm trong nó lớn hơn tất cả các điểm đủ gần nó.
Nói cách khác, điểm cực đại là điểm mà tại đó giá trị của hàm số hơn hơn ở những nước lân cận. Đây là một “ngọn đồi” địa phương trên biểu đồ.
Trong hình của chúng tôi có một điểm tối đa.
Điểm tối thiểu- một điểm bên trong của miền định nghĩa, sao cho giá trị của hàm trong nó nhỏ hơn tất cả các điểm đủ gần nó.
Nghĩa là, điểm tối thiểu sao cho giá trị của hàm trong nó nhỏ hơn giá trị của hàm lân cận. Đây là một “lỗ hổng” cục bộ trên biểu đồ.
Trong hình của chúng tôi có một điểm tối thiểu.
Điểm là ranh giới. Nó không phải là điểm bên trong của miền định nghĩa và do đó không phù hợp với định nghĩa về điểm cực đại. Rốt cuộc, cô ấy không có hàng xóm bên trái. Tương tự như vậy, trên biểu đồ của chúng ta không thể có điểm tối thiểu.
Điểm tối đa và điểm tối thiểu cùng nhau được gọi là điểm cực trị của hàm số. Trong trường hợp của chúng tôi đây là và .
Phải làm gì nếu bạn cần tìm, ví dụ: hàm tối thiểu trên phân khúc? TRONG trong trường hợp này trả lời: . Bởi vì hàm tối thiểu là giá trị của nó tại điểm tối thiểu.
Tương tự, mức tối đa của hàm của chúng tôi là . Nó đạt được tại điểm .
Chúng ta có thể nói rằng cực trị của hàm số bằng và .
Đôi khi vấn đề đòi hỏi phải tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm TRÊN đoạn đã cho. Chúng không nhất thiết phải trùng khớp với các thái cực.
Trong trường hợp của chúng tôi giá trị hàm nhỏ nhất trên đoạn đó bằng và trùng với điểm cực tiểu của hàm số. Nhưng giá trị lớn nhất của nó trên đoạn này bằng . Nó đạt được ở đầu bên trái của đoạn.
Trong mọi trường hợp, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hàm liên tục trên một đoạn đạt được ở các điểm cực trị hoặc ở các điểm cuối của đoạn đó.
Hãy để chức năng y =f(X) liên tục trên khoảng [ một, b]. Như đã biết, hàm như vậy đạt giá trị tối đa và tối thiểu trên phân đoạn này. Hàm có thể lấy các giá trị này điểm nội bộđoạn [ một, b], hoặc trên ranh giới của đoạn.
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên đoạn [ một, b] cần thiết:
1) tìm các điểm tới hạn của hàm trong khoảng ( một, b);
2) tính các giá trị của hàm tại các điểm tới hạn tìm được;
3) tính các giá trị của hàm ở cuối đoạn, nghĩa là khi x=MỘT và x = b;
4) từ tất cả các giá trị được tính toán của hàm, chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
trên phân khúc.
Tìm điểm quan trọng:
Những điểm này nằm bên trong đoạn thẳng; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
tại điểm x= 3 và tại điểm x= 0.
Nghiên cứu hàm lồi và điểm uốn.
Chức năng y = f (x) gọi điện lồi lênở giữa (Một, b) , nếu đồ thị của nó nằm dưới tiếp tuyến vẽ tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này, và được gọi là lồi xuống (lõm), nếu đồ thị của nó nằm phía trên tiếp tuyến.
Điểm mà qua đó độ lồi được thay thế bằng độ lõm hoặc ngược lại được gọi là điểm uốn.
Thuật toán kiểm tra độ lồi và điểm uốn:
1. Tìm các điểm tới hạn loại hai, tức là các điểm tại đó đạo hàm bậc hai bằng 0 hoặc không tồn tại.
2. Vẽ các điểm tới hạn trên trục số, chia thành các khoảng. Tìm dấu của đạo hàm bậc hai trên mỗi khoảng; if thì hàm lồi hướng lên, nếu thì hàm lồi hướng xuống.
3. Nếu khi đi qua điểm tới hạn loại hai mà dấu thay đổi và lúc này đạo hàm bậc hai bằng 0 thì điểm này là hoành độ của điểm uốn. Tìm tọa độ của nó.
Các tiệm cận của đồ thị hàm số. Nghiên cứu hàm số tiệm cận.
Sự định nghĩa. tiệm cận của đồ thị hàm số được gọi là thẳng, có đặc tính là khoảng cách từ bất kỳ điểm nào trên đồ thị đến đường này có xu hướng bằng 0 khi điểm trên đồ thị di chuyển vô thời hạn từ gốc tọa độ.
Có ba loại tiệm cận: dọc, ngang và nghiêng.
Sự định nghĩa.Đường thẳng được gọi là tiệm cận đứngđồ họa chức năng y = f(x), nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía của hàm số tại điểm này bằng vô cùng, thì đó là
đâu là điểm gián đoạn của hàm số, nghĩa là nó không thuộc miền định nghĩa.
Ví dụ.
Đ ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 – điểm ngắt.
Sự định nghĩa. Thẳng y =MỘT gọi điện tiệm cận ngangđồ họa chức năng y = f(x) tại , nếu
Ví dụ.
|
x | |||
|
y |
Sự định nghĩa. Thẳng y =kx +b (k≠ 0) được gọi là tiệm cận xiênđồ họa chức năng y = f(x) tại , ở đâu
Sơ đồ chung nghiên cứu hàm số và xây dựng đồ thị.
Thuật toán nghiên cứu hàmy = f(x) :
1. Tìm miền xác định của hàm số D (y).
2. Tìm (nếu có thể) giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu x= 0 và tại y = 0).
3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( y (‒ x) = y (x) ‒ tính chẵn lẻ; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ số lẻ).
4. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.
5. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
6. Tìm cực trị của hàm số.
7. Tìm các khoảng lồi (concavity) và điểm uốn của đồ thị hàm số.
8. Dựa trên nghiên cứu đã thực hiện, hãy xây dựng đồ thị của hàm số.
Ví dụ. Khám phá hàm số và xây dựng đồ thị của nó.
1) D (y) =
x= 4 – điểm ngắt.
2) Khi nào x = 0,
(0; - 5) – điểm giao nhau với Ồ.
Tại y = 0,
3)
y(‒
x)=
chức năng cái nhìn tổng quát(không chẵn cũng không lẻ).
4) Chúng tôi kiểm tra các tiệm cận.
a) theo chiều dọc
b) ngang
c) tìm các tiệm cận xiên ở đó
‒phương trình tiệm cận xiên
5) B phương trình đã cho không cần phải tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
6)
Các điểm tới hạn này chia toàn bộ miền định nghĩa của hàm thành khoảng (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) và (10; +∞). Thật thuận tiện để trình bày kết quả thu được dưới dạng bảng sau.
Quá trình tìm kiếm các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một hàm trên một đoạn gợi nhớ đến một chuyến bay hấp dẫn xung quanh một vật thể (đồ thị của hàm) trên trực thăng, bắn vào một số điểm nhất định từ một khẩu pháo tầm xa và chọn rất điểm đặc biệt từ những điểm này cho các cú đánh kiểm soát. Điểm được chọn theo một cách nhất định và theo quy tắc nhất định. Theo quy luật nào? Chúng ta sẽ nói về điều này hơn nữa.
Nếu chức năng y = f(x) liên tục trên khoảng [ Một, b] , thì nó sẽ đến đoạn này ít nhất Và giá trị cao nhất . Điều này có thể xảy ra ở điểm cực trị, hoặc ở cuối đoạn. Vì vậy, để tìm ít nhất Và giá trị lớn nhất của hàm , liên tục trên khoảng [ Một, b] , bạn cần tính các giá trị của nó trong tất cả điểm quan trọng và ở cuối đoạn, sau đó chọn phần nhỏ nhất và lớn nhất từ chúng.
Ví dụ, bạn cần xác định giá trị cao nhất chức năng f(x) trên đoạn [ Một, b] . Để làm điều này, bạn cần tìm tất cả các điểm tới hạn của nó nằm trên [ Một, b] .
Điểm tới hạn được gọi là điểm mà tại đó hàm được xác định, và cô ấy phái sinh bằng 0 hoặc không tồn tại. Sau đó, các giá trị của hàm tại các điểm tới hạn sẽ được tính toán. Và cuối cùng, người ta nên so sánh các giá trị của hàm tại các điểm tới hạn và ở cuối đoạn ( f(Một) Và f(b)). Số lớn nhất trong số này sẽ là giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn [Một, b] .
Các vấn đề về tìm giá trị hàm nhỏ nhất .
Chúng ta cùng nhau tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm 
trên phân khúc [-1, 2]
.
Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm này. Hãy đánh đồng đạo hàm với 0 () và nhận được hai điểm tới hạn: và . Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, việc tính giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm là đủ, vì điểm không thuộc đoạn [-1, 2]. Các giá trị hàm này là: , , . Từ đó suy ra rằng giá trị hàm nhỏ nhất(được biểu thị bằng màu đỏ trên biểu đồ bên dưới), bằng -7, đạt được ở đầu bên phải của đoạn - tại điểm , và vĩ đại nhất(cũng có màu đỏ trên biểu đồ), bằng 9, - tại điểm tới hạn.
Nếu một hàm liên tục trong một khoảng nhất định và khoảng này không phải là một đoạn (chẳng hạn, là một khoảng; sự khác biệt giữa một khoảng và một đoạn: các điểm biên của khoảng không được bao gồm trong khoảng, nhưng các điểm biên của đoạn được bao gồm trong đoạn đó), thì trong số các giá trị của hàm có thể không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Vì vậy, ví dụ, hàm hiển thị trong hình bên dưới là liên tục trên ]-∞, +∞[ và không có giá trị lớn nhất.
Tuy nhiên, với bất kỳ khoảng nào (đóng, mở hoặc vô hạn), tính chất sau đây của hàm liên tục đều đúng.
Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc [-1, 3] .
Giải pháp. Chúng ta tìm thấy đạo hàm của hàm này là đạo hàm của thương:
.
Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0, điều này mang lại cho chúng ta một điểm tới hạn: . Nó thuộc đoạn [-1, 3] . Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, chúng ta tìm giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn tìm được:
Hãy so sánh các giá trị này. Kết luận: bằng -5/13, tại điểm và giá trị cao nhất bằng 1 tại điểm .
Chúng ta tiếp tục cùng nhau tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
Có những giáo viên khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số không đưa ra cho học sinh những ví dụ giải phức tạp hơn những ví dụ vừa trình bày, tức là những ví dụ trong đó hàm số là đa thức hoặc a. phân số có tử số và mẫu số là đa thức. Nhưng chúng ta sẽ không giới hạn mình trong những ví dụ như vậy, vì trong số các giáo viên có những người thích ép học sinh suy nghĩ đầy đủ (bảng đạo hàm). Do đó, hàm logarit và hàm lượng giác sẽ được sử dụng.
Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc .
Giải pháp. Chúng tôi tìm thấy đạo hàm của hàm này là phái sinh của sản phẩm :
Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0, điều này cho một điểm tới hạn: . Nó thuộc về phân khúc. Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, chúng ta tìm giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn tìm được:
Kết quả của mọi hành động: hàm đạt giá trị tối thiểu, bằng 0, tại điểm và tại điểm và giá trị cao nhất, bình đẳng e², tại điểm.
Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm 
trên phân khúc .
Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm này:
Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0:
Điểm quan trọng duy nhất thuộc về phân khúc. Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, chúng ta tìm giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn tìm được:
Phần kết luận: hàm đạt giá trị tối thiểu, bằng , tại điểm và giá trị cao nhất, bằng , tại điểm .
Trong các bài toán cực trị được áp dụng, việc tìm các giá trị nhỏ nhất (tối đa) của hàm, theo quy luật, sẽ dẫn đến việc tìm giá trị tối thiểu (tối đa). Nhưng bản thân mức tối thiểu hoặc mức tối đa không phải là điều được quan tâm thực tế hơn mà là những giá trị của đối số mà chúng đạt được. Khi giải các bài toán ứng dụng sẽ nảy sinh thêm khó khăn- tổng hợp các chức năng mô tả hiện tượng hoặc quá trình đang được xem xét.
Ví dụ 8. Một bể chứa có sức chứa 4 người, có hình song song với đế vuông và mở ở trên cùng, bạn cần câu cá bằng thiếc. Kích thước của bể phải là bao nhiêu để nó có thể che được nó? số tiền ít nhất vật liệu?
Giải pháp. Cho phép x- mặt đế, h- chiều cao bể, S- diện tích bề mặt của nó không có lớp phủ, V.- khối lượng của nó. Diện tích bề mặt của bể được biểu thị bằng công thức, tức là là hàm hai biến. Để thể hiện S là một hàm của một biến, chúng ta sử dụng thực tế là , từ đâu . Thay thế biểu thức tìm thấy h vào công thức tính S:
Chúng ta hãy xem xét chức năng này đến cực trị của nó. Nó được xác định và khả vi ở mọi nơi trong ]0, +∞[ và
.
Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0 () và tìm điểm tới hạn. Ngoài ra, khi đạo hàm không tồn tại nhưng giá trị này không nằm trong miền định nghĩa và do đó không thể là điểm cực trị. Vì vậy, đây là điểm quan trọng duy nhất. Hãy kiểm tra sự tồn tại của cực trị bằng cách sử dụng dấu đủ thứ hai. Hãy tìm đạo hàm thứ hai. Khi đạo hàm bậc hai lớn hơn 0 (). Điều này có nghĩa là khi hàm đạt cực tiểu 
. Vì điều này cực tiểu là cực trị duy nhất của hàm này, nó là giá trị nhỏ nhất của nó. Vậy cạnh đáy của bể phải là 2 m và chiều cao của nó là .
Ví dụ 9. Từ điểm MỘT nằm trên tuyến đường sắt, đến điểm VỚI, nằm cách nó một khoảng tôi, hàng hóa phải được vận chuyển. Chi phí vận chuyển một đơn vị trọng lượng trên một đơn vị khoảng cách bằng đường sắt bằng , và bằng đường cao tốc bằng . Đến điểm nào M dòng đường sắt nên xây dựng đường cao tốc để vận chuyển hàng hóa từ MỘT V. VỚI là tiết kiệm nhất (phần ABđường sắt được coi là thẳng)?
Nghiên cứu về một đối tượng như vậy phân tích toán học như một chức năng có tuyệt vời nghĩa và trong các lĩnh vực khoa học khác. Ví dụ, trong phân tích kinh tế hành vi luôn cần được đánh giá chức năng lợi nhuận, cụ thể là để xác định mức lớn nhất của nó nghĩa và phát triển chiến lược để đạt được nó.
Hướng dẫn
Việc nghiên cứu bất kỳ hành vi nào cũng phải luôn bắt đầu bằng việc tìm kiếm phạm vi định nghĩa. Thông thường theo điều kiện nhiệm vụ cụ thể cần xác định giá trị lớn nhất nghĩa chức năng trên toàn bộ khu vực này hoặc trên một khoảng cụ thể của nó với đường viền mở hoặc đóng.
Dựa vào , lớn nhất là nghĩa chức năng y(x0), trong đó với bất kỳ điểm nào trong miền định nghĩa, bất đẳng thức y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) đúng. Về mặt đồ họa, điểm này sẽ cao nhất nếu các giá trị đối số được đặt dọc theo trục abscissa và chính hàm dọc theo trục tọa độ.
Để xác định lớn nhất nghĩa chức năng, hãy làm theo thuật toán ba bước. Xin lưu ý rằng bạn phải có khả năng làm việc với một phía và cũng như tính đạo hàm. Vì vậy, hãy cho một số hàm y(x) và bạn cần tìm giá trị lớn nhất của nó nghĩa trên một khoảng nhất định với các giá trị biên A và B.
Tìm hiểu xem khoảng này có nằm trong phạm vi định nghĩa không chức năng. Để làm điều này, bạn cần tìm nó bằng cách xem xét tất cả các hạn chế có thể có: sự hiện diện của một phân số trong biểu thức, căn bậc hai vân vân. Miền định nghĩa là tập hợp các giá trị đối số mà hàm có ý nghĩa. Xác định xem khoảng nhất định tập con của nó. Nếu có thì đi đến giai đoạn tiếp theo.
Tìm đạo hàm chức năng và giải phương trình thu được bằng cách cho đạo hàm bằng 0. Bằng cách này, bạn sẽ nhận được các giá trị của cái gọi là điểm cố định. Đánh giá xem ít nhất một trong số chúng có thuộc khoảng A, B hay không.
Ở giai đoạn thứ ba, hãy xem xét các điểm này và thay thế giá trị của chúng vào hàm. Tùy thuộc vào loại khoảng thời gian, hãy thực hiện các bước bổ sung sau. Nếu có một đoạn có dạng [A, B] thì các điểm biên được bao gồm trong khoảng; điều này được biểu thị bằng dấu ngoặc đơn. Tính giá trị chức năng với x = A và x = B. Nếu khoảng mở(A, B), các giá trị biên bị thủng, tức là không được bao gồm trong đó. Giải giới hạn một phía cho x→A và x→B. Một khoảng kết hợp có dạng [A, B) hoặc (A, B), một trong các ranh giới của nó thuộc về nó, ranh giới còn lại không thuộc về nó. Tìm giới hạn một phía khi x tiến tới giá trị bị thủng và thay thế ranh giới kia vào. khoảng vô hạn hai phía (-∞, +∞) hoặc khoảng vô hạn một phía có dạng: , (-∞, B). Đối với các giới hạn thực A và B, hãy tiến hành theo các nguyên tắc đã được mô tả và đối với vô hạn, hãy tìm giới hạn lần lượt cho x→-∞ và x→+∞.
Nhiệm vụ ở giai đoạn này