Trong ứng dụng thực tế của lý thuyết xác suất, người ta thường gặp phải các bài toán trong đó cùng một thí nghiệm hoặc các thí nghiệm tương tự được lặp đi lặp lại nhiều lần. Kết quả của mỗi trải nghiệm là một sự kiện có thể xuất hiện hoặc không MỘT và chúng tôi không quan tâm đến kết quả của từng thí nghiệm riêng lẻ, nhưng tổng số lần xuất hiện sự kiện MỘT là kết quả của một loạt các thí nghiệm. Ví dụ: nếu một nhóm phát bắn được bắn vào cùng một mục tiêu, chúng ta không quan tâm đến kết quả của mỗi lần bắn mà quan tâm đến tổng số lần bắn. Những vấn đề như vậy có thể được giải quyết khá đơn giản nếu các thí nghiệm được thực hiện độc lập.
Sự định nghĩa. Các thử nghiệm độc lập với sự kiện A là những thử nghiệm trong đó xác suất xảy ra sự kiện A trong mỗi thử nghiệm không phụ thuộc vào kết quả của các thử nghiệm khác.
Ví dụ. Một số lần liên tiếp loại bỏ một quân bài khỏi bộ bài tạo thành các thử nghiệm độc lập, với điều kiện là quân bài bị loại bỏ phải được trả lại bộ bài mỗi lần và các quân bài được xáo trộn; mặt khác, đây là những kinh nghiệm phụ thuộc.
Ví dụ. Một số cú đánh chỉ tạo thành các thử nghiệm độc lập nếu việc nhắm mục tiêu được thực hiện lại trước mỗi lần bắn; trong trường hợp việc ngắm bắn được thực hiện một lần trước toàn bộ lần bắn hoặc được thực hiện liên tục trong quá trình bắn (bắn một loạt, ném bom hàng loạt), các phát bắn thể hiện các thử nghiệm phụ thuộc.
Các thử nghiệm độc lập có thể được thực hiện trong cùng điều kiện hoặc khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, xác suất của một sự kiện MỘT trong tất cả các thí nghiệm đều giống nhau, trong trường hợp thứ hai xác suất của sự kiện MỘT thay đổi từ kinh nghiệm này sang kinh nghiệm khác. Trường hợp đầu tiên gắn liền với nhiều vấn đề về lý thuyết độ tin cậy, lý thuyết bắn súng và dẫn đến cái gọi là sơ đồ Bernoulli, như sau:
1) trình tự được thực hiện N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm đó sự kiện MỘT có thể xuất hiện hoặc không;
2) xác suất xảy ra sự kiện MỘT trong mỗi thử nghiệm là không đổi và bằng nhau, cũng như xác suất không xảy ra của nó 
.
Công thức Bernoulli, được sử dụng để tìm xác suất xảy ra một sự kiện A K mỗi lần một lần N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm đó sự kiện MỘT xuất hiện với xác suất P:
. (1)
Lưu ý 1. Với sự gia tăng N Và k việc áp dụng công thức Bernoulli gắn liền với những khó khăn về tính toán, do đó công thức (1) được áp dụng chủ yếu nếu k không vượt quá 5 và N không tuyệt vời.
Lưu ý 2. Do các xác suất ở dạng biểu diễn các số hạng của khai triển nhị thức nên phân bố xác suất của dạng (1) được gọi là nhị thức phân bổ.
Ví dụ. Xác suất bắn trúng mục tiêu trong một lần bắn là 0,8. Tìm xác suất để có 5 phát bắn trúng đích.
Giải pháp. Kể từ đó 
, hơn nữa và . Sử dụng công thức Bernoulli, chúng ta có:
Ví dụ. Bốn phát bắn độc lập được bắn vào cùng một mục tiêu từ các khoảng cách khác nhau. Xác suất trúng đích của những cú đánh này lần lượt bằng nhau:
Tìm xác suất để không có, một, hai, ba và bốn lần trúng đích:
Giải pháp. Chúng tôi soạn hàm tạo:
Ví dụ. Năm phát đạn độc lập được bắn vào một mục tiêu, xác suất bắn trúng là 0,2. Ba đòn là đủ để tiêu diệt mục tiêu. Tìm xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.
Giải pháp. Xác suất tiêu diệt mục tiêu được tính theo công thức:
Ví dụ. Mười phát đạn độc lập được bắn vào một mục tiêu, xác suất bắn trúng một mục tiêu là 0,1. Một đòn là đủ để bắn trúng mục tiêu. Tìm xác suất để bắn trúng mục tiêu.
Giải pháp. Xác suất có ít nhất một lần trúng được tính bằng công thức:
3. Định lý địa phương của Moivre-Laplace
Trong các ứng dụng, thường cần phải tính xác suất của các sự kiện khác nhau liên quan đến số lần xuất hiện của sự kiện đó trong N kiểm tra mạch Bernoulli ở giá trị lớn N. Trong trường hợp này, việc tính toán sử dụng công thức (1) trở nên khó khăn. Khó khăn càng tăng lên khi chúng ta phải cộng các xác suất này lại. Khó khăn trong tính toán cũng phát sinh ở những giá trị nhỏ P hoặc q.
Laplace thu được một công thức gần đúng quan trọng về xác suất xảy ra một sự kiện MỘT chính xác tôi lần, nếu là một con số đủ lớn, nghĩa là tại .
Định lý địa phương của Moivre–Laplace. Nếu xác suất p xảy ra sự kiện A trong mỗi lần thử là không đổi và khác 0 và 1, , giá trị được giới hạn thống nhất theo m và n thì xác suất xảy ra sự kiện A đúng m lần trong n phép thử độc lập xấp xỉ bằng
Khi giải các bài toán xác suất, người ta thường gặp phải tình huống trong đó cùng một bài kiểm tra được lặp lại nhiều lần và kết quả của mỗi bài kiểm tra không phụ thuộc vào kết quả của các bài kiểm tra khác. Thí nghiệm này còn được gọi là kế hoạch thử nghiệm độc lập lặp đi lặp lại hoặc sơ đồ Bernoulli.
Ví dụ về các thử nghiệm lặp lại:
1) liên tục lấy một quả bóng ra khỏi hộp, với điều kiện quả bóng đã lấy ra phải được đặt lại vào hộp sau khi đã xác định được màu sắc của nó;
2) việc một người bắn lặp lại các phát bắn vào cùng một mục tiêu, với điều kiện là xác suất bắn trúng thành công trong mỗi lần bắn được giả định là như nhau (không tính đến vai trò của zeroing).
Vì vậy, hãy để các bài kiểm tra có thể thực hiện được hai kết quả: một sự kiện sẽ xuất hiện MỘT, hoặc sự kiện ngược lại. Hãy thực hiện n phép thử Bernoulli. Điều này có nghĩa là tất cả n phép thử đều độc lập; xác suất xảy ra sự kiện $A$ trong mỗi lần thử riêng lẻ hoặc một lần thử là không đổi và không thay đổi giữa các lần thử (nghĩa là các lần thử được thực hiện trong cùng điều kiện). Chúng ta hãy biểu thị xác suất xảy ra sự kiện $A$ trong một lần thử duy nhất bằng chữ cái $p$, tức là. $p=P(A)$, và xác suất của sự kiện ngược lại (sự kiện $A$ không xảy ra) - bằng chữ cái $q=P(\overline(A))=1-p$.
Khi đó xác suất để biến cố đó MỘT sẽ xuất hiện trong những N kiểm tra chính xác k lần, bày tỏ Công thức Bernoulli
$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$
Việc phân phối số lần thành công (số lần xuất hiện của một sự kiện) được gọi là phân phối nhị thức.
Máy tính trực tuyến cho công thức Bernoulli
Một số loại bài toán phổ biến nhất sử dụng công thức Bernoulli đã được thảo luận trong các bài viết và được trang bị máy tính trực tuyến, bạn có thể theo các liên kết:
Ví dụ về lời giải của bài toán sử dụng công thức Bernoulli
Ví dụ. Có 20 quả bóng trắng và 10 quả bóng đen trong một chiếc bình. 4 quả bóng được lấy ra, mỗi quả bóng đã lấy ra sẽ được đưa trở lại bình trước khi quả bóng tiếp theo được lấy ra và các quả bóng trong bình được trộn lẫn. Tính xác suất để trong 4 bi rút ra có 2 bi trắng.
Giải pháp. Sự kiện MỘT- lấy ra một quả bóng màu trắng. Khi đó xác suất
, .
Theo công thức Bernoulli, xác suất cần thiết bằng 
.
Ví dụ. Tính xác suất để một gia đình có 5 người con sẽ có không quá 3 bé gái. Xác suất sinh con trai và con gái được cho là như nhau.
Giải pháp. Xác suất sinh con gái
, Sau đó .
Tìm xác suất để gia đình đó không có con gái, có một, hai hoặc ba con gái được sinh ra:
, 
,
, 
.
Vì vậy, xác suất yêu cầu
.
Ví dụ. Trong số các bộ phận do công nhân xử lý, trung bình có 4% là không đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để trong số 30 phần được lấy đi kiểm tra, có hai phần không đạt tiêu chuẩn.
Giải pháp.Ở đây, trải nghiệm bao gồm việc kiểm tra chất lượng của từng bộ phận trong số 30 bộ phận. Sự kiện A là “sự xuất hiện của một bộ phận không chuẩn”, khi đó xác suất của nó là . Từ đây, sử dụng công thức Bernoulli, chúng ta tìm thấy
.
Ví dụ. Với mỗi phát bắn riêng lẻ từ súng, xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,9. Tìm xác suất để trong số 20 lần bắn thì số lần bắn thành công ít nhất là 16 và không quá 19.
Giải pháp. Chúng tôi tính toán bằng công thức Bernoulli:
Ví dụ. Thử nghiệm độc lập tiếp tục cho đến khi sự kiện diễn ra MỘT sẽ không xảy ra k một lần. Tìm xác suất để nó được yêu cầu N các bài kiểm tra (n ³ k), nếu trong mỗi bài kiểm tra đó .
Giải pháp. Sự kiện TRONG- chính xác N kiểm tra trước k- sự xuất hiện của một sự kiện MỘT- là tích của hai sự kiện sau:
D – trong N-Bài kiểm tra thứ MỘTđã xảy ra;
C - đầu tiên (n–1)-th kiểm tra MỘT xuất hiện (k-1) một lần.
Trước khi trình bày câu hỏi thứ ba của bài giảng, giáo viên xác định một vấn đề cần xem xét định lý về sự lặp lại của thí nghiệm, lưu ý rằng trong học phần lý thuyết xác suất đang học chỉ có một định lý cụ thể liên quan đến sự lặp lại của thí nghiệm độc lập, trong mỗi sự kiện A xuất hiện với xác suất không đổi sẽ được xem xét.
Sau đó giáo viên đưa ra cách chứng minh định lý này (dẫn xuất công thức Bernoulli).
Để giải thích bản chất vật lý của định lý đang được xem xét, giáo viên sử dụng máy chiếu và các slide được chuẩn bị sẵn.
Cuối bài giảng, giáo viên giải thích tại sao phân bố xác suất xảy ra sự kiện A trong một chuỗi n phép thử, trong điều kiện chúng không nhất quán và tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh, được gọi là nhị thức và thu hút sự chú ý đến tầm quan trọng biết phân bố này để giải các bài toán ứng dụng.
Cho đến nay, chúng ta đã xem xét sự kết hợp của một số lượng tương đối nhỏ các sự kiện, khi việc áp dụng trực tiếp các quy tắc cộng và nhân xác suất không gây ra khó khăn lớn trong tính toán. Tuy nhiên, khi số lượng sự kiện hoặc số lần thử trong đó sự kiện quan tâm có thể xuất hiện tăng lên, phương pháp tính toán đã học trở nên rất cồng kềnh.
Hơn nữa, vấn đề chỉ được giải quyết khá đơn giản nếu các thí nghiệm độc lập.
Một số thí nghiệm được gọi là độc lập, nếu xác suất của kết quả này hay kết quả khác của mỗi thí nghiệm không phụ thuộc vào kết quả mà các thí nghiệm khác có được.
Trong thực tế, có những trường hợp xác suất xảy ra một sự kiện MỘT trong tất cả các thí nghiệm độc lập, nó có thể giống nhau hoặc khác nhau tùy theo từng thí nghiệm. Ví dụ: nếu bạn điều chỉnh hỏa lực sau mỗi lần bắn, xác suất bắn trúng mục tiêu sẽ thay đổi sau mỗi lần bắn.
Trong trường hợp khi trong các thí nghiệm độc lập, xác suất xảy ra sự kiện thay đổi từ thí nghiệm này sang thí nghiệm khác thì định lý tổng quát về sự lặp lại của thí nghiệm được sử dụng và khi trong các thí nghiệm độc lập, xác suất xảy ra sự kiện không thay đổi so với thí nghiệm. để thử nghiệm, một định lý cụ thể về sự lặp lại của thí nghiệm được sử dụng.
Trong khóa học lý thuyết xác suất mà chúng ta đang học, chúng ta sẽ chỉ xem xét chủ đề cụ thể về việc lặp lại các thí nghiệm khi cần xác định xác suất xảy ra một sự kiện. MỘT trong một loạt các thí nghiệm độc lập, trong đó mỗi sự kiện A xuất hiện với xác suất bằng nhau.
Ví dụ, cần tính xác suất để với năm phát bắn từ một khẩu súng ở cài đặt không đổi, sẽ thu được chính xác hai phát bắn trúng mục tiêu nếu các phát bắn độc lập và với mỗi phát bắn xác suất bắn trúng mục tiêu được biết và không thay đổi.
Nếu chúng ta tổng hợp các tổ hợp có thể xảy ra của sự kiện mà chúng ta quan tâm trong A 1, chúng ta sẽ nhận được:
Sẽ có 10 cách kết hợp có thể xảy ra trong đó sự kiện A=(ăn được 2 quả với 5 lần bắn).
Áp dụng định lý về tổng và tích của các biến cố độc lập, ta có:
Việc tăng số lượng sự kiện hoặc thử nghiệm mà chúng ta quan tâm sẽ dẫn đến khối lượng hoạt động tính toán thậm chí còn tăng nhiều hơn, do đó nhiệm vụ đặt ra là tìm ra các phương pháp tính toán ít tốn nhiều công sức hơn.
Tuyên bố vấn đề:
Giả sử, trong những điều kiện giống nhau, thực hiện n phép thử độc lập, kết quả của mỗi phép thử có thể là sự xuất hiện của một trong hai sự kiện. MỘT, hoặc ngược lại 
.
Hãy ký hiệu bằng MỘT 1 sự xuất hiện của một sự kiện MỘT trong lần thử nghiệm đầu tiên, MỘT 2 - trong bài kiểm tra thứ hai, MỘT N- ở bài kiểm tra cuối cùng.
Do tính không đổi của các điều kiện thử nghiệm:
P(A 1 ) = P(A 2 ) = … P(A N ) = p
Chúng ta quan tâm đến xác suất mà sự kiện A sẽ xảy ra chính xác m lần trong n lần thử, nhưng sẽ không xảy ra trong n-m lần thử còn lại (tức là sự kiện ngược lại với sự kiện A sẽ xảy ra - 
).
Giả sử rằng sự kiện mà chúng ta quan tâm MỘT xảy ra liên tiếp m lần, bắt đầu từ lần đầu tiên, tức là một sự kiện diễn ra - E.
E= A 1
MỘT 2
… MỘT tôi -1
MỘT tôi
(1)
tôi N- tôi
Theo điều kiện lặp lại các thử nghiệm, các sự kiện trong sự kết hợp này là độc lập, trong khi xác suất xảy ra các sự kiện A là 1, MỘT 2
,… MỘT tôi -1
, MỘT tôi giống nhau và bằng nhau p: P(A 1
) = P(A 2
) =…= P(A tôi ) = p, và xác suất của các sự kiện không xảy ra 
giống nhau và bằng nhau q=1-р:.
Áp dụng quy tắc nhân xác suất của các biến cố độc lập cho biểu thức 1, ta thu được:
P(E) = P(A 1
) P(A 2
) … P(A tôi -1
) P(A tôi ) P( 
= p tôi (1-r) N
-
tôi
= p tôi q N -
tôi
Do các điều kiện kiểm tra là không đổi, chúng tôi giả định rằng sự kiện mà chúng tôi quan tâm MỘT xảy ra liên tiếp m lần, bắt đầu từ hàng đầu tiên. Nhưng sự kiện MỘT V. N thử nghiệm có thể đến chính xác tôi lần theo trình tự hoặc sự kết hợp khác nhau. Trong trường hợp này, chúng ta không quan tâm đến trình tự chính xác trong đó sự kiện A xuất hiện chính xác. tôi một lần.
Số tổ hợp như vậy bằng số tổ hợp 
của n phần tử bởi tôi.
Vì các tổ hợp sự kiện này (tương tự như tổ hợp E) không tương thích và chúng ta không quan tâm đến trình tự xảy ra của sự kiện. MỘT trong bài kiểm tra chính xác tôi lần, sau đó biểu thị xác suất mà chúng ta quan tâm thông qua R tôi, chúng tôi nhận được:
R tôi
=
r tôi (1-r) N
-
tôi
=
=
Ở đâu 
- số lượng kết hợp của N các yếu tố bởi tôi.
Công thức này được gọi là công thức Bernoulli.
Công thức Bernoulli cho phép chúng ta có được câu trả lời cho câu hỏi: xác suất để khi n phép thử độc lập được lặp lại thì biến cố nào đó xảy ra MỘTđến chính xác tôi lần, nếu trong mỗi thử nghiệm này xác suất xảy ra sự kiện MỘT là hằng số và bằng nhau P(A) = p.
Công thức Bernoulli trên cực kỳ quan trọng trong lý thuyết xác suất vì nó liên quan đến việc lặp lại các phép thử trong cùng điều kiện, tức là. với những điều kiện trong đó các định luật của lý thuyết xác suất biểu hiện.
Kết luận của bài giảng:
Trong bài giảng, chúng tôi đã xem xét các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất liên quan đến các biến ngẫu nhiên, giới thiệu bộ máy khái niệm cơ bản cần thiết cho việc nghiên cứu sâu hơn về bộ môn: định nghĩa về biến ngẫu nhiên, phân loại của chúng; khái niệm về luật phân phối và dạng của nó đối với các loại biến ngẫu nhiên khác nhau.
Để chuẩn bị cho các bài giảng và bài tập thực hành tiếp theo, bạn phải độc lập bổ sung các ghi chú bài giảng của mình đồng thời nghiên cứu sâu các tài liệu được đề xuất và giải quyết các vấn đề đặt ra.
Ngoài ra, trong các bài học tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các định lý và sự phụ thuộc cho phép chúng ta xác định xác suất để một biến ngẫu nhiên xuất hiện với số lần cần thiết hoặc trong một khoảng thời gian nhất định, chẳng hạn như xác suất bắn trúng mục tiêu.
Khám phá:
Ventzel E.S. Lý thuyết xác suất. Sách giáo khoa. Phiên bản thứ tám, khuôn mẫu. – M.: Trường Cao Đẳng, 2002 - 575 tr. – trang 67-78, 80-84
Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. Lý thuyết xác suất và các ứng dụng kỹ thuật của nó. Hướng dẫn học tập. Tái bản lần thứ ba, có sửa đổi và mở rộng. – M.: “Học viện”, 2003 – 464 tr. – trang 73-93
Gmurman V.E. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Hướng dẫn học tập. Tái bản lần thứ mười, khuôn mẫu - M.: Higher School", 2004 - 480 tr. Trang 64-73
Định nghĩa các bài kiểm tra độc lập lặp đi lặp lại. Công thức Bernoulli để tính xác suất và số có xác suất lớn nhất. Công thức tiệm cận của công thức Bernoulli (định lý cục bộ và tích phân, Laplace). Sử dụng định lý tích phân. Công thức Poisson cho các sự kiện ngẫu nhiên khó xảy ra.
Các thử nghiệm độc lập lặp đi lặp lại
Trong thực tế, chúng ta phải giải quyết các nhiệm vụ có thể được biểu diễn dưới dạng các thử nghiệm lặp đi lặp lại, do đó mỗi sự kiện A có thể xuất hiện hoặc không xuất hiện. Trong trường hợp này, điều đáng quan tâm không phải là kết quả của từng lần thử riêng lẻ mà là tổng số lần xuất hiện của sự kiện A là kết quả của một số lần thử nhất định, trong những vấn đề như vậy, bạn cần có khả năng xác định xác suất của sự kiện A. bất kỳ số m lần xuất hiện nào của sự kiện A là kết quả của n phép thử. Hãy xem xét trường hợp khi các phép thử là độc lập và xác suất xảy ra sự kiện A trong mỗi phép thử là không đổi. lặp đi lặp lại độc lập.
Một ví dụ về thử nghiệm độc lập là kiểm tra tính phù hợp của các sản phẩm được lấy từ một số lô. Nếu tỷ lệ phần trăm lỗi trong các lô này là như nhau thì xác suất sản phẩm được chọn sẽ bị lỗi là một hằng số trong mỗi trường hợp.
Công thức Bernoulli
Hãy sử dụng khái niệm sự kiện phức tạp, có nghĩa là sự kết hợp của một số sự kiện cơ bản bao gồm sự xuất hiện hoặc không xảy ra của sự kiện A trong lần thử thứ i. Cho n phép thử độc lập được thực hiện, trong mỗi biến cố A có thể xuất hiện với xác suất p hoặc không xuất hiện với xác suất q=1-p. Hãy xem xét sự kiện B_m, đó là sự kiện A sẽ xảy ra chính xác m lần trong n lần thử này và do đó sẽ không xảy ra chính xác (n-m) lần. Hãy biểu thị A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) sự kiện A xảy ra, a \overline(A)_i - sự kiện A không xảy ra trong lần thử thứ i. Do các điều kiện thử nghiệm không đổi, chúng ta có
Sự kiện A có thể xuất hiện m lần theo trình tự hoặc sự kết hợp khác nhau, xen kẽ với sự kiện ngược lại \overline(A) . Số lượng kết hợp có thể có của loại này bằng số lượng kết hợp của n phần tử của m, tức là C_n^m. Do đó, sự kiện B_m có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các sự kiện phức tạp không nhất quán với nhau và số lượng số hạng bằng C_n^m:
B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),
trong đó mỗi sản phẩm chứa sự kiện A m lần và \overline(A) - (n-m) lần.
Xác suất của từng sự kiện phức tạp có trong công thức (3.1), theo định lý nhân xác suất của các sự kiện độc lập, bằng p^(m)q^(n-m) . Vì tổng số sự kiện như vậy bằng C_n^m nên sử dụng định lý cộng xác suất cho các sự kiện không tương thích, chúng ta thu được xác suất của sự kiện B_m (chúng ta ký hiệu là P_(m,n))
P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}
Công thức (3.2) được gọi là Công thức Bernoulli, và các phép thử lặp lại thỏa mãn điều kiện độc lập và tính không đổi của xác suất xảy ra sự kiện A trong mỗi chúng được gọi là phép thử Bernoulli, hoặc sơ đồ Bernoulli.
Ví dụ 1. Xác suất vượt quá vùng dung sai khi gia công các chi tiết trên máy tiện là 0,07. Xác định xác suất để trong số năm bộ phận được chọn ngẫu nhiên trong một ca, có một bộ phận có kích thước đường kính không tương ứng với dung sai quy định.
Giải pháp. Điều kiện của bài toán thỏa mãn yêu cầu của sơ đồ Bernoulli. Vì vậy, giả sử n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, sử dụng công thức (3.2) ta thu được
P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\approx0,\!262.
Ví dụ 2. Quan sát cho thấy ở một khu vực nhất định có 12 ngày mưa trong tháng 9. Xác suất để trong số 8 ngày được chọn ngẫu nhiên trong tháng này có 3 ngày trời mưa?
Giải pháp.
P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}
Số lần xuất hiện có thể xảy ra nhất của một sự kiện
Ngày có khả năng xảy ra nhất Biến cố A trong n phép thử độc lập được gọi là số m_0 sao cho xác suất tương ứng với số này vượt quá hoặc ít nhất không nhỏ hơn xác suất của từng số có thể xảy ra khác của biến cố A. Để xác định số có khả năng xảy ra cao nhất, không cần thiết phải tính xác suất của số lần xuất hiện có thể xảy ra của một sự kiện; chỉ cần biết số lần thử n và xác suất xảy ra sự kiện A trong một lần thử riêng biệt là đủ. Chúng ta hãy ký hiệu P_(m_0,n) xác suất tương ứng với số có xác suất lớn nhất m_0. Sử dụng công thức (3.2), chúng tôi viết
P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}
Theo định nghĩa về số có khả năng xảy ra cao nhất, xác suất xảy ra sự kiện A lần lượt là m_0+1 và m_0-1 lần, ít nhất không được vượt quá xác suất P_(m_0,n), tức là.
P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))
Thay thế giá trị P_(m_0,n) và các biểu thức xác suất P_(m_0+1,n) và P_(m_0-1,n) vào các bất đẳng thức, ta thu được
Giải các bất đẳng thức này cho m_0, ta thu được
M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)
Kết hợp các bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được bất đẳng thức kép, được sử dụng để xác định số có xác suất lớn nhất:
Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).
Vì độ dài của khoảng được xác định bởi bất đẳng thức (3.4) bằng một, tức là
(np+p)-(np-q)=p+q=1,
và sự kiện chỉ có thể xảy ra trong n lần thử với số nguyên lần, thì cần lưu ý rằng:
1) nếu np-q là số nguyên thì có hai giá trị của số có xác suất lớn nhất, đó là: m_0=np-q và m"_0=np-q+1=np+p ;
2) nếu np-q là một số phân số thì có một số có xác suất lớn nhất, đó là: số nguyên duy nhất nằm giữa các số phân số thu được từ bất đẳng thức (3.4);
3) nếu np là số nguyên thì có một số có khả năng xảy ra cao nhất, đó là: m_0=np.
Đối với các giá trị lớn của n, sẽ không thuận tiện khi sử dụng công thức (3.3) để tính xác suất tương ứng với số có xác suất lớn nhất. Nếu thay công thức Stirling vào đẳng thức (3.3)
N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),
hợp lệ với n đủ lớn và lấy số có xác suất lớn nhất m_0=np, khi đó ta thu được công thức tính gần đúng xác suất tương ứng với số có xác suất lớn nhất:
P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).
Ví dụ 2. Được biết, \frac(1)(15) một phần sản phẩm do nhà máy cung cấp cho cơ sở kinh doanh không đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của tiêu chuẩn. Một lô 250 sản phẩm đã được chuyển đến cơ sở. Tìm số lượng sản phẩm có khả năng nhất đáp ứng yêu cầu của tiêu chuẩn và tính xác suất để lô này có số lượng sản phẩm có khả năng nhất.
Giải pháp. Theo điều kiện n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Theo bất đẳng thức (3.4) ta có
250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)
Ở đâu 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Do đó, số lượng sản phẩm có khả năng đáp ứng yêu cầu tiêu chuẩn cao nhất trong lô 250 chiếc. bằng 234. Thay số liệu vào công thức (3.5), ta tính xác suất để có số sản phẩm có xác suất lớn nhất trong lô:
P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101
Định lý Laplace địa phương
Rất khó sử dụng công thức Bernoulli cho giá trị lớn của n. Ví dụ, nếu n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, thì để tìm xác suất P_(30,50) cần tính giá trị của biểu thức
P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}
Đương nhiên, câu hỏi được đặt ra: liệu có thể tính xác suất lãi suất mà không sử dụng công thức Bernoulli không? Hóa ra là có thể. Định lý địa phương của Laplace đưa ra một công thức tiệm cận cho phép chúng ta tìm gần đúng xác suất của các sự kiện xảy ra chính xác m lần trong n lần thử, nếu số lần thử đủ lớn.
Định lý 3.1.
Nếu xác suất p xảy ra sự kiện A trong mỗi lần thử là không đổi và khác 0 và một, thì xác suất P_(m,n) mà sự kiện A sẽ xuất hiện chính xác m lần trong n lần thử là xấp xỉ bằng nhau (chính xác hơn là n) càng lớn thì giá trị của hàm Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))
Tại . Có các bảng chứa các giá trị hàm\varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)) , tương ứng với các giá trị dương của đối số x. Đối với các giá trị âm của đối số, các bảng tương tự được sử dụng, vì hàm \varphi(x) là chẵn, tức là..
\varphi(-x)=\varphi(x)
Vì vậy, xác suất xấp xỉ để sự kiện A xuất hiện đúng m lần trong n lần thử là P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Ở đâu.
x=\frac(m-np)(\sqrt(npq))
Giải pháp. Theo điều kiện Ví dụ 3. Tìm xác suất để sự kiện A xảy ra đúng 80 lần trong 400 lần thử nếu xác suất để sự kiện A xảy ra trong mỗi lần thử là 0,2. n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8
. Chúng ta hãy sử dụng công thức Laplace tiệm cận:
P_(80,400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).
Hãy tính giá trị x được xác định bởi dữ liệu tác vụ:
X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0. Theo bảng điều chỉnh 1 chúng ta tìm thấy\varphi(0)=0,\!3989
. Xác suất yêu cầu
P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.
Công thức Bernoulli dẫn đến kết quả gần giống nhau (các phép tính bị bỏ qua do tính phức tạp của chúng):
P_(80,100)=0,\!0498.
Định lý tích phân Laplace
Giả sử có n phép thử độc lập được thực hiện, trong đó mỗi phép thử có xác suất xảy ra sự kiện A là không đổi và bằng p. Cần tính xác suất P_((m_1,m_2),n) để sự kiện A xuất hiện trong n phép thử ít nhất là m_1 và nhiều nhất là m_2 lần (để ngắn gọn chúng ta sẽ nói “từ m_1 đến m_2 lần”). Điều này có thể được thực hiện bằng định lý tích phân Laplace.
P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,Ở đâu .
Khi giải các bài toán yêu cầu áp dụng định lý tích phân Laplace, người ta sử dụng các bảng đặc biệt, vì tích phân không xác định \int(e^(-x^2/2)\,dx) không được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản. Bảng tích phân \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzđược đưa ra trong phụ lục. 2, trong đó các giá trị của hàm \Phi(x) được cho đối với các giá trị dương của x, đối với x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 chúng ta có thể lấy \Phi(x)=0,\!5 .
Vì vậy, xác suất xấp xỉ để sự kiện A xuất hiện trong n phép thử độc lập từ m_1 đến m_2 lần là
P_((m_1,m_2),n)\approx\Phi(x"")-\Phi(x"), P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).
Ví dụ 4. Xác suất một bộ phận được sản xuất không đạt tiêu chuẩn là p=0,\!2. Tìm xác suất để trong số 400 phần được chọn ngẫu nhiên sẽ có từ 70 đến 100 phần không chuẩn.
Giải pháp. Theo điều kiện p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Hãy sử dụng định lý tích phân Laplace:
P_((70,100),400)\approx\Phi(x"")-\Phi(x").
Hãy tính giới hạn tích phân:
thấp hơn
X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,
phía trên
X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,
Như vậy
P_((70,100),400)\approx\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .
Theo bảng adj. 2 chúng tôi tìm thấy
\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.
Xác suất yêu cầu
P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.
Ứng dụng định lý tích phân Laplace
Nếu số m (số lần xuất hiện của sự kiện A trong n phép thử độc lập) thay đổi từ m_1 thành m_2 thì phân số \frac(m-np)(\sqrt(npq)) sẽ thay đổi từ \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"ĐẾN \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Do đó, định lý tích phân Laplace cũng có thể được viết như sau:
P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.
Chúng ta hãy đặt nhiệm vụ tìm xác suất để độ lệch của tần số tương đối \frac(m)(n) so với xác suất không đổi p trong giá trị tuyệt đối không vượt quá một số \varepsilon>0 đã cho. Nói cách khác, chúng ta tìm thấy xác suất của bất đẳng thức \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, giống nhau -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Chúng ta sẽ biểu thị xác suất này như sau: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Tính đến công thức (3.6) cho xác suất này ta thu được
P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\Phải).
Ví dụ 5. Xác suất bộ phận không đạt tiêu chuẩn là p=0,\!1. Tìm xác suất để trong số 400 phần được chọn ngẫu nhiên, tần suất xuất hiện tương đối của các phần không chuẩn sẽ sai lệch khỏi xác suất p=0,\!1 ở giá trị tuyệt đối không quá 0,03.
Giải pháp. Theo điều kiện n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Chúng ta cần tìm xác suất P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Sử dụng công thức (3.7), chúng ta thu được
P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)
Theo bảng adj. 2 chúng tôi tìm thấy \Phi(2)=0,\!4772 , do đó, 2\Phi(2)=0,\!9544 . Vì vậy, xác suất mong muốn là khoảng 0,9544. Ý nghĩa của kết quả như sau: nếu bạn lấy một số lượng mẫu đủ lớn, mỗi mẫu 400 phần, thì trong khoảng 95,44% trong số các mẫu này có độ lệch của tần số tương đối so với xác suất không đổi p=0.\!1 trong tuyệt đối giá trị không vượt quá 0,03.
Công thức Poisson cho các sự kiện khó xảy ra
Nếu xác suất p xảy ra một sự kiện trong một phép thử gần bằng 0, thì ngay cả với số lượng lớn các phép thử n, nhưng với giá trị nhỏ của tích np, các giá trị xác suất P_(m,n) thu được từ công thức Laplace không đủ chính xác và cần có một công thức gần đúng khác.
Định lý 3.3.
Nếu xác suất p xảy ra sự kiện A trong mỗi phép thử không đổi nhưng nhỏ thì số phép thử độc lập n đủ lớn nhưng giá trị của tích np=\lambda vẫn nhỏ (không quá 10) thì xác suất đó là biến cố A sẽ xảy ra m lần trong những phép thử này là\,e^{-\lambda}. !}
P_(m,n)\approx\frac(\lambda^m)(m Để đơn giản hóa các phép tính bằng công thức Poisson, một bảng giá trị hàm Poisson đã được biên soạn\,e^{-\lambda} !}\frac(\lambda^m)(m
(xem phụ lục 3).
Ví dụ 6. Đặt xác suất để tạo ra một bộ phận không đạt tiêu chuẩn là 0,004. Tìm xác suất để trong số 1000 phần có 5 phần không chuẩn. Giải pháp. Đây n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4 . Cả ba số đều thỏa mãn yêu cầu của Định lý 3.3, do đó, để tìm xác suất của biến cố mong muốn P_(5,1000), chúng ta sử dụng công thức Poisson. Từ bảng giá trị của hàm Poisson (Phụ lục 3) với \lambda=4;m=5 ta thu được.
Hãy tìm xác suất của cùng một sự kiện bằng công thức Laplace. Để làm điều này, trước tiên chúng ta tính giá trị của x tương ứng với m=5:
X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.
Do đó, theo công thức Laplace, xác suất mong muốn
P_(5,1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763
và theo công thức Bernoulli, giá trị chính xác của nó là
P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552.
Do đó, sai số tương đối khi tính xác suất P_(5,1000) sử dụng công thức Laplace gần đúng là
\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196, hoặc 13.\!6\%
và theo công thức Poisson -
\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!007, hoặc 0.\!7\%
Tức là ít hơn nhiều lần.
Đi tới phần tiếp theo
Biến ngẫu nhiên một chiều Javascript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.
Để thực hiện tính toán, bạn phải kích hoạt điều khiển ActiveX!
Công thức Bernoulli- một công thức trong lý thuyết xác suất cho phép bạn tìm xác suất xảy ra sự kiện A (\displaystyle A) trong các thử nghiệm độc lập. Công thức của Bernoulli cho phép bạn loại bỏ một số lượng lớn các phép tính - cộng và nhân xác suất - với số lượng thử nghiệm đủ lớn. Được đặt theo tên của nhà toán học xuất sắc người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli, người đã nghĩ ra công thức này.
YouTube bách khoa toàn thư
1 / 3
✪ Lý thuyết xác suất. 22. Công thức Bernoulli. Giải quyết vấn đề
✪ Công thức Bernoulli
✪ 20 Lặp lại phép thử Công thức Bernoulli
phụ đề
công thức
Định lý. Nếu xác suất p (\displaystyle p) sự xuất hiện của một sự kiện A (\displaystyle A) là không đổi trong mỗi lần thử thì xác suất P k , n (\displaystyle P_(k,n)) sự kiện đó A (\displaystyle A) sẽ đến chính xác k (\displaystyle k) mỗi lần một lần n (\displaystyle n) các phép thử độc lập, bằng: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), Ở đâu q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).
Bằng chứng
Hãy để nó được thực hiện n (\displaystyle n) các thử nghiệm độc lập và được biết rằng kết quả của mỗi thử nghiệm là sự kiện A (\displaystyle A) xảy ra với xác suất P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p) và do đó không xảy ra với xác suất P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Ngoài ra, hãy để trong quá trình kiểm tra xác suất p (\displaystyle p) Và q (\displaystyle q) vẫn không thay đổi. Kết quả là xác suất xảy ra là bao nhiêu n (\displaystyle n) kiểm tra độc lập, sự kiện A (\displaystyle A) sẽ đến chính xác k (\displaystyle k) một lần?
Hóa ra là có thể tính toán chính xác số lượng kết hợp kết quả thử nghiệm “thành công” mà sự kiện A (\displaystyle A)đến k (\displaystyle k) mỗi lần một lần n (\displaystyle n) các thử nghiệm độc lập - đây chính xác là số lượng kết hợp của n (\displaystyle n) Qua k (\displaystyle k) :
Cn(k) = n !{k!\left(n-k\right)!}}} !}.
k! A (\displaystyle A)(n-k) !
(\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n n (\displaystyle n)Đồng thời, vì tất cả các thử nghiệm đều độc lập và kết quả của chúng không tương thích (sự kiện A (\displaystyle A) sẽ đến chính xác k (\displaystyle k) xảy ra hay không), thì xác suất có được sự kết hợp “thành công” chính xác bằng: . Cuối cùng, để tìm xác suất sự kiện thử nghiệm độc lập Một lần nữa, bạn cần cộng các xác suất để có được tất cả các kết hợp “thành công”. Xác suất để có được tất cả các kết hợp “thành công” là như nhau và bằng nhau p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k))
, số lần kết hợp “thành công” bằng.
C n (k) (\displaystyle C_(n)(k))
, vì vậy cuối cùng chúng tôi nhận được:.