Điểm chuyển động theo đường thẳng. TÔI

Điểm chuyển động thẳng đều tuân theo định luật S = t 4 +2t (S - tính bằng mét, t- tính bằng giây). Tìm gia tốc trung bình của nó trong khoảng thời gian giữa các thời điểm t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, cũng như gia tốc thực sự của nó ở thời điểm hiện tại t 3 = 6 giây.

Giải pháp.

1. Tìm vận tốc của điểm là đạo hàm của đường đi S theo thời gian t, những thứ kia.

2. Thay t các giá trị của nó t 1 = 5 s và t 2 = 7 s, ta tìm được vận tốc:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Xác định khoảng tăng tốc ΔV trong thời gian Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Như vậy, gia tốc trung bình của điểm sẽ bằng

5. Để xác định giá trị thực của gia tốc của một điểm, ta lấy đạo hàm của vận tốc theo thời gian:

6. Thay thế thay thế t giá trị t 3 = 6 s, lúc này ta nhận được gia tốc

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Chuyển động đường cong. Tại chuyển động cong tốc độ của một điểm thay đổi về độ lớn và hướng.

Hãy tưởng tượng một điểm M, mà trong thời gian Δt, di chuyển dọc theo một số quỹ đạo cong, chuyển đến vị trí M 1(Hình 6).

Vectơ tăng (thay đổi) vận tốc ΔV sẽ

Vì để tìm vectơ ΔV, hãy di chuyển vectơ V 1 đến điểm M và xây dựng tam giác vận tốc. Hãy xác định vectơ gia tốc trung bình:

Vectơ thứ Tư song song với vectơ ΔV, vì chia vectơ cho đại lượng vô hướng hướng của vectơ không thay đổi. Vectơ gia tốc thực là giới hạn mà tại đó tỉ số của vectơ vận tốc với khoảng thời gian tương ứng Δt có xu hướng bằng 0, tức là.

Giới hạn này được gọi là đạo hàm vectơ.

Như vậy, gia tốc thực của một điểm trong chuyển động cong bằng đạo hàm vectơ đối với tốc độ.

Từ hình. 6 rõ ràng là thế vectơ gia tốc trong chuyển động cong luôn hướng về mặt lõm của quỹ đạo.

Để thuận tiện cho việc tính toán, gia tốc được tách thành hai thành phần theo quỹ đạo chuyển động: dọc theo một tiếp tuyến, gọi là gia tốc tiếp tuyến (tiếp tuyến) MỘT, và dọc theo pháp tuyến, gọi là gia tốc pháp tuyến a n (Hình 7).

Trong trường hợp này, tổng gia tốc sẽ bằng

Gia tốc tiếp tuyến trùng phương với vận tốc của điểm hoặc ngược chiều với vận tốc đó. Nó đặc trưng cho sự thay đổi tốc độ và được xác định theo công thức

Gia tốc bình thường vuông góc với hướng vận tốc của điểm và giá trị số nó được xác định bởi công thức

ở đâu r - bán kính cong của quỹ đạo tại điểm đang xét.

Vì gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến vuông góc với nhau nên giá trị của gia tốc toàn phần được xác định theo công thức

và hướng của nó

Nếu như , khi đó vectơ gia tốc tiếp tuyến và vận tốc hướng về một hướng và chuyển động sẽ được tăng tốc.

Nếu như , khi đó vectơ gia tốc tiếp tuyến hướng sang một bên, ngược lại với vectơ tốc độ và chuyển động sẽ chậm.

Vectơ gia tốc bình thường luôn hướng vào tâm cong nên gọi là hướng tâm.

Ý nghĩa vật lý phái sinh. Kỳ thi Thống nhất Toán học bao gồm một nhóm các bài toán đòi hỏi kiến thức và hiểu biết về ý nghĩa vật lý của đạo hàm. Đặc biệt, có những bài toán đưa ra quy luật chuyển động của một điểm (vật) nhất định, được biểu thị bằng phương trình và bạn cần tìm tốc độ của nó tại một thời điểm nhất định trong thời gian chuyển động, hoặc thời điểm sau đó vật thể sẽ đạt được một tốc độ nhất định nhất định.Các nhiệm vụ rất đơn giản, chúng có thể được giải quyết chỉ bằng một hành động. Vì thế:

Hãy để định luật chuyển động được đưa ra điểm vật chất x(t) cùng trục tọa độ, trong đó x là tọa độ của điểm chuyển động, t là thời gian.

Vận tốc tại một thời điểm nhất định là đạo hàm của tọa độ theo thời gian. Đây là cái gì ý nghĩa cơ học phái sinh.

Tương tự, gia tốc là đạo hàm của tốc độ theo thời gian:

Vì vậy, ý nghĩa vật lý của đạo hàm là tốc độ. Đây có thể là tốc độ di chuyển, tốc độ thay đổi của một quá trình (ví dụ, sự phát triển của vi khuẩn), tốc độ công việc được thực hiện (v.v., bài toán ứng dụng bộ).

Ngoài ra, bạn cần biết bảng đạo hàm (cần biết giống như bảng cửu chương) và quy tắc phân tích. Cụ thể, để giải các bài toán đã cho cần phải có kiến thức về 6 đạo hàm đầu tiên (xem bảng):

Hãy xem xét các nhiệm vụ:

x(t) = t2 – 7t – 20

trong đó x t là thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 5 s.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm là tốc độ (tốc độ chuyển động, tốc độ thay đổi của một quá trình, tốc độ làm việc, v.v.)

Hãy tìm định luật thay đổi tốc độ: v(t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Tại thời điểm t = 5 ta có:

Trả lời: 3

Hãy tự mình quyết định:

Điểm vật chất chuyển động thẳng theo định luật x(t) = 6t2 – 48t+17, trong đó x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 9 s.

Điểm vật chất chuyển động thẳng theo định luật x(t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, trong đó xt- thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 6 s.

Một chất điểm chuyển động thẳng đều tuân theo định luật

x(t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Ở đâu x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét,t- thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 3 s.

Một chất điểm chuyển động thẳng đều tuân theo định luật

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

trong đó x là khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t là thời gian tính bằng giây, được đo từ khi bắt đầu chuyển động. Tại thời điểm nào (tính bằng giây) tốc độ của nó bằng 6 m/s?

Hãy tìm định luật thay đổi vận tốc:

Để tìm được vào thời điểm nàottốc độ là 3 m/s, cần giải phương trình:

Trả lời: 3

Hãy tự mình quyết định:

Điểm vật chất chuyển động thẳng theo định luật x(t) = t2 – 13t+23, trong đó x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Tại thời điểm nào (tính bằng giây) tốc độ của nó bằng 3 m/s?

Một chất điểm chuyển động thẳng đều tuân theo định luật

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Ở đâu x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Tại thời điểm nào (tính bằng giây) tốc độ của nó bằng 2 m/s?

Tôi muốn lưu ý rằng bạn không nên chỉ tập trung vào loại nhiệm vụ này trong Kỳ thi Thống nhất. Họ có thể hoàn toàn bất ngờ đưa ra những vấn đề trái ngược với những vấn đề được trình bày. Khi định luật thay đổi tốc độ được đưa ra và câu hỏi sẽ là tìm định luật chuyển động.

Gợi ý: trong trường hợp này, bạn cần tìm tích phân của hàm tốc độ (đây cũng là nhiệm vụ một bước). Nếu bạn cần tìm quãng đường đã đi tại một thời điểm nhất định, bạn cần thay thời gian vào phương trình thu được và tính khoảng cách. Tuy nhiên, chúng tôi cũng sẽ phân tích những vấn đề như vậy, đừng bỏ lỡ!Chúc bạn may mắn!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh.

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.

− Thầy Dumbadze V.A.
từ trường 162 của quận Kirov của St. Petersburg.

Nhóm VKontakte của chúng tôi
Ứng dụng di động:

(Ở đâu x t- thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động). Tìm tốc độ của nó (tính bằng m/s) tại thời điểm đó t= 9 giây.

Tại t= 9 s ta có:

Tại sao chúng ta bỏ số 17 khỏi phương trình ban đầu?

tìm đạo hàm của hàm số ban đầu.

không có số 17 trong đạo hàm

Tại sao phải tìm đạo hàm?

Vận tốc là đạo hàm của tọa độ theo thời gian.

Bài toán yêu cầu bạn tìm vận tốc

x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động). Tìm tốc độ của nó tính bằng (m/s) tại thời điểm đó t= 6 giây.

Hãy tìm định luật thay đổi vận tốc:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, không phải 20

nhớ thủ tục

Kể từ khi nào phép cộng thích hợp hơn phép trừ?

Phép nhân được ưu tiên hơn phép cộng và phép trừ. Nhớ về trẻ em ví dụ về trường học: 2 + 2 · 2. Để tôi nhắc bạn rằng ở đây hóa ra không phải là 8 như một số người nghĩ mà là 6.

Bạn không hiểu câu trả lời của khách.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Vì vậy, mọi thứ đều chính xác, hãy tự mình tính toán.

2) phép nhân/chia (phụ thuộc vào thứ tự trong phương trình; cái nào đến trước được giải trước);

3) phép cộng/trừ (tương tự phụ thuộc vào thứ tự trong ví dụ).

Nhân = chia, cộng = trừ =>

Không phải 54 - (36+2), mà là 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Đầu tiên, dành cho bạn - Sergei Batkovich. Thứ hai, bạn đã hiểu mình muốn nói gì và với ai chưa? Tôi đã không hiểu bạn.

Một điểm vật chất chuyển động thẳng theo quy luật (trong đó x là khoảng cách từ điểm quy chiếu tính bằng mét, t là thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động). Tìm tốc độ của nó tính bằng (m/s) tại thời điểm s.

Hãy tìm định luật thay đổi tốc độ: m/s. Khi chúng tôi có:

Bài học chủ đề: “Quy tắc phân biệt”, lớp 11

Phần: Toán học

Loại bài học: khái quát hóa, hệ thống hóa kiến thức.

Mục tiêu bài học:

giáo dục:
- khái quát hóa, hệ thống hóa tài liệu về chủ đề tìm đạo hàm;
- củng cố các quy tắc phân biệt;
- bộc lộ cho sinh viên ý nghĩa bách khoa và ứng dụng của đề tài;
đang phát triển:
- thực hiện kiểm soát việc tiếp thu kiến thức và kỹ năng;
- phát triển và nâng cao khả năng áp dụng kiến thức trong tình huống thay đổi;
- phát triển văn hóa ngôn luận và khả năng đưa ra kết luận và khái quát hóa;
giáo dục:
- phát triển quá trình nhận thức;
- Để giúp học sinh thấm nhuần tính chính xác trong thiết kế và quyết định.

Thiết bị:

máy chiếu, màn chiếu;
thẻ;
máy tính;
bàn;
nhiệm vụ khác biệt dưới dạng thuyết trình đa phương tiện.

I. Kiểm tra bài tập về nhà.

1. Nghe học sinh báo cáo về ví dụ về việc sử dụng công cụ phái sinh.

2. Xét ví dụ về việc sử dụng đạo hàm trong vật lý, hóa học, kỹ thuật và các lĩnh vực khác do học sinh đề xuất.

II. Đang cập nhật kiến thức.

Giáo viên:

Định nghĩa đạo hàm của hàm số.
Hoạt động nào được gọi là phân biệt?
Những quy tắc phân biệt nào được sử dụng khi tính đạo hàm? (Mời học sinh cần tuyển lên bảng).
- đạo hàm của tổng;
- phái sinh của tác phẩm;
- đạo hàm chứa hệ số không đổi;
- đạo hàm của thương;
- đạo hàm của hàm phức;
Cho ví dụ về các bài toán ứng dụng dẫn đến khái niệm đạo hàm.

Một số vấn đề cụ thể từ các lĩnh vực khoa học khác nhau.

Nhiệm vụ số 1. Vật chuyển động thẳng đều tuân theo định luật x(t). Viết công thức tính vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t.

Nhiệm vụ số 2. Bán kính của đường tròn R thay đổi theo định luật R = 4 + 2t 2. Xác định tốc độ thay đổi diện tích của nó V. thời điểm t = 2 s. Bán kính của một vòng tròn được đo bằng cm. Đáp số: 603cm2/s.

Nhiệm vụ số 3. Một chất điểm có khối lượng 5kg chuyển động thẳng đều theo định luật

S(t) = 2t+ , ở đâu S- khoảng cách tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây. Tìm lực tác dụng lên điểm lúc đó t = 4 giây.

Trả lời: N.

Nhiệm vụ số 4. Bánh đà do phanh giữ sẽ quay về phía sau t sở góc 3t - 0,1t 2 (rad). Tìm thấy:

a) tốc độ góc quay của bánh đà tại thời điểm t = 7 Với;
b) Bánh đà dừng lại vào thời điểm nào?

Trả lời: a) 2,86; b) 150 giây.

Ví dụ về việc sử dụng đạo hàm cũng có thể bao gồm các vấn đề về tìm kiếm: nhiệt dung riêng chất cơ thể nhất định, mật độ tuyến tính và động năng của cơ thể, v.v.

III. Thực hiện các nhiệm vụ khác biệt.

Những người muốn hoàn thành các nhiệm vụ ở cấp độ “A” sẽ ngồi xuống máy tính và hoàn thành bài kiểm tra với câu trả lời được lập trình sẵn. ( Ứng dụng. )

1. Tìm giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 = 3.

2. Tìm giá trị đạo hàm của hàm số y = xe x tại điểm x 0 = 1.

1) 2e;
2) đ;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Giải phương trình f / (x) = 0 nếu f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Tính f/(1) nếu f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Tìm giá trị đạo hàm của hàm số f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) tại điểm t0 = 1.

6. Điểm chuyển động thẳng theo định luật: S(t) = t 3 – 3t 2. Chọn công thức xác định tốc độ chuyển động của điểm này tại thời điểm t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Ứng dụng đạo hàm trong vật lý, công nghệ, sinh học, đời sống

Trình bày cho bài học

Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm công việc này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Loại bài học: tích hợp.

Mục tiêu của bài học: nghiên cứu một số khía cạnh của việc ứng dụng đạo hàm trong khu vực khác nhau vật lý, hóa học, sinh học.

Nhiệm vụ: mở rộng tầm nhìn của một người và hoạt động nhận thức sinh viên, phát triển tư duy logic và khả năng áp dụng kiến thức của mình.

Hỗ trợ kỹ thuật: bảng trắng tương tác; máy tính và đĩa.

TÔI. Thời điểm tổ chức

II. Thiết lập mục tiêu bài học

– Tôi xin tiến hành bài học theo phương châm của Alexei Nikolaevich Krylov, một nhà toán học và thợ đóng tàu Liên Xô: “Lý thuyết mà không có thực hành thì vô dụng, thực hành mà không có lý thuyết thì không thể hoặc có hại”.

– Ôn lại các khái niệm cơ bản và trả lời các câu hỏi:

– Hãy cho biết định nghĩa cơ bản của đạo hàm?
– Em biết gì về đạo hàm (tính chất, định lý)?
– Bạn có biết ví dụ nào về bài toán sử dụng đạo hàm trong vật lý, toán học và sinh học không?

Xem xét định nghĩa cơ bản của đạo hàm và cơ sở lý luận của nó (trả lời câu hỏi đầu tiên):

phái sinh - một trong những khái niệm cơ bản của toán học. Khả năng giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng đạo hàm đòi hỏi kiến thức tốt tài liệu lý thuyết, khả năng tiến hành nghiên cứu trong các tình huống khác nhau.

Vì vậy, hôm nay trong bài học chúng ta sẽ củng cố, hệ thống hóa những kiến thức đã thu được, xem xét, đánh giá bài làm của từng nhóm và lấy ví dụ về một số bài toán, chúng ta sẽ chỉ ra cách giải các bài toán khác bằng cách sử dụng đạo hàm và nhiệm vụ không chuẩn sử dụng các dẫn xuất.

III. Giải thích vật liệu mới

1. Công suất tức thời là đạo hàm của công theo thời gian:

W = lim ΔA/Δt ΔA – thay đổi công việc.

2. Nếu một vật quay quanh một trục thì góc quay là một hàm số theo thời gian t
Sau đó vận tốc góc bằng:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Cường độ dòng điện là đạo hàm Ι = lim Δg/Δt = g′,Ở đâu g- Điện tích dương truyền qua tiết diện dây dẫn trong thời gian Δt.

4. Hãy để ∆Q- Lượng nhiệt cần thiết để làm thay đổi nhiệt độ Δt thời gian rồi lim ΔQ/Δt = Q′ = C – nhiệt dung riêng.

5. Bài toán về tốc độ phản ứng hóa học

m(t) – m(t0) – lượng chất phản ứng theo thời gian t0ĐẾN t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Cho m là khối lượng chất phóng xạ. Tốc độ phân rã phóng xạ: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

Ở dạng vi phân, định luật phân rã phóng xạ có dạng: dN/dt = – λN,Ở đâu N- số hạt nhân không bị phân hủy theo thời gian t.

Tích hợp biểu thức này, chúng ta nhận được: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const Tại t = 0 số hạt nhân phóng xạ N = N0, từ đây ta có: ln N0 = const, kể từ đây

n N = – λt + ln N0.

Tiềm năng biểu thức này, chúng tôi nhận được:

- định luật phân rã phóng xạ, trong đó N0– số lượng lõi tại một thời điểm t0 = 0, N- số hạt nhân không bị phân hủy theo thời gian t.

7. Theo phương trình truyền nhiệt của Newton, tốc độ dòng nhiệt dQ/dt tỷ lệ thuận với diện tích cửa sổ S và chênh lệch nhiệt độ ΔT giữa kính trong và kính ngoài và tỷ lệ nghịch với độ dày d của nó:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Hiện tượng Khuếch tán là quá trình thiết lập sự phân bố cân bằng

Trong các giai đoạn tập trung. Khuếch tán đi sang một bên, san bằng nồng độ.

m = D Δc/Δx c – sự tập trung
m = D c׳x x –điều phối, D – hệ số khuếch tán

9. Người ta biết rằng điện trường cũng kích thích điện tích hoặc từ trường có một nguồn duy nhất - dòng điện. James Clark Maxwell đã đưa ra một sửa đổi đối với các định luật điện từ được phát hiện trước ông: từ trường cũng xuất hiện khi có một sự thay đổi điện trường. Một sự sửa đổi dường như nhỏ đã có những hậu quả to lớn: một sự thay đổi hoàn toàn mới vật thể – sóng điện từ. Maxwell một cách tài tình, không giống như Faraday, người nghĩ rằng nó có thể tồn tại, đã đưa ra phương trình cho điện trường:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = hằng số t

Sự thay đổi của điện trường gây ra sự xuất hiện từ trường nói cách khác, tại bất kỳ điểm nào trong không gian, tốc độ biến thiên của điện trường xác định độ lớn của từ trường. Dưới cái lớn điện giật- từ trường lớn hơn.

IV. Tổng hợp những gì đã học

– Bạn và tôi đã nghiên cứu đạo hàm và tính chất của nó. tôi muốn đọc tuyên bố triết học Gilbert: “Mỗi người đều có một quan điểm nhất định. Khi chân trời này thu hẹp đến mức vô cùng nhỏ, nó sẽ biến thành một điểm. Sau đó, người đó nói rằng đây là quan điểm của anh ta.”
Hãy thử đo lường quan điểm về ứng dụng đạo hàm nhé!

Cốt truyện của "Chiếc lá"(sử dụng đạo hàm trong sinh học, vật lý, đời sống)

Hãy coi sự rơi như chuyển động không đều phụ thuộc thời gian.

Vì thế: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Khảo sát lý thuyết: ý nghĩa cơ học của đạo hàm).

1. Giải quyết vấn đề

Tự mình giải quyết vấn đề.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Chúng ta hãy viết định luật Porton II và tính đến ý nghĩa cơ học của đạo hàm, chúng ta viết lại nó dưới dạng: F = mV′ F = mS″

Cốt truyện của "Sói, Gophers"

Hãy quay lại các phương trình: Xét các phương trình vi phân tăng và giảm theo hàm mũ: F = ma F = mV' F = mS"
Giải được nhiều bài toán vật lý sinh học kỹ thuật Và khoa học xã hộiđược rút gọn thành vấn đề tìm hàm f"(x) = kf(x), thỏa mãn phương trình vi phân, trong đó k = hằng .

Công thức con người

Một người lớn hơn một nguyên tử gấp nhiều lần và nhỏ hơn một ngôi sao:

Nó theo sau đó
Đây là công thức xác định vị trí của con người trong vũ trụ. Theo đó, kích thước của một người đại diện cho tỷ lệ trung bình của một ngôi sao và một nguyên tử.

Tôi xin kết thúc bài học bằng câu nói của Lobachevsky: “Không có một lĩnh vực toán học nào, dù trừu tượng đến đâu, mà một ngày nào đó sẽ không thể áp dụng được cho các hiện tượng của thế giới thực”.

V.. Giải các số trong tập hợp:

Giải quyết vấn đề độc lập trên bảng, phân tích tập thể các giải pháp giải quyết vấn đề:

№ 1 Tìm tốc độ chuyển động của một điểm vật chất ở cuối giây thứ 3, nếu chuyển động của điểm đó theo phương trình s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Điểm chuyển động thẳng theo định luật s = 6t – t^2. Vận tốc của nó sẽ là bao nhiêu vào thời điểm nào? bằng 0?

№ 3 Hai vật chuyển động thẳng: một vật theo định luật s = t^3 – t^2 – 27t, vật kia theo định luật s = t^2 + 1. Xác định thời điểm vận tốc của hai vật này bằng nhau .

№ 4 Đối với ô tô đang chuyển động với vận tốc 30 m/s thì quãng đường phanh được xác định theo công thức s(t) = 30t-16t^2, trong đó s(t) là quãng đường tính bằng mét, t là thời gian phanh tính bằng giây . Sau bao lâu thì phanh cho đến khi ô tô dừng hẳn? Cái mà khoảng cách sẽ đi xe từ khi bắt đầu phanh cho đến khi dừng hẳn?

№5 Một vật nặng 8 kg chuyển động thẳng theo định luật s = 2t^2+ 3t – 1. Tìm động năng của vật (mv^2/2) sau 3 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động.

Giải pháp: Hãy tìm tốc độ chuyển động cơ thể bất cứ lúc nào:
V = ds / dt = 4t + 3
Hãy tính vận tốc của vật tại thời điểm t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Hãy xác định động năng của vật tại thời điểm t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Tìm động năng của vật sau 4 s kể từ khi bắt đầu chuyển động, nếu khối lượng của nó là 25 kg và định luật chuyển động có dạng s = 3t^2- 1.

№7 Một vật có khối lượng 30 kg chuyển động thẳng đều theo định luật s = 4t^2 + t. Chứng minh rằng chuyển động của vật xảy ra dưới tác dụng của lực không đổi.
Giải pháp: Ta có s’ = 8t + 1, s” = 8. Do đó a(t) = 8 (m/s^2), tức là với định luật chuyển động này thì vật chuyển động với gia tốc không đổi 8 m/s^2. Hơn nữa, vì khối lượng của vật không đổi (30 kg), nên theo định luật thứ hai của Newton, lực tác dụng lên nó F = ma = 30 * 8 = 240 (H) cũng là một giá trị không đổi.

№8 Một vật có khối lượng 3kg chuyển động thẳng theo định luật s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Tìm lực tác dụng lên vật tại thời điểm t = 4s.

№9 Một điểm vật chất chuyển động tuân theo quy luật s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Tìm gia tốc của nó ở cuối giây thứ 3.

VI. Ứng dụng đạo hàm trong toán học:

Đạo hàm trong toán học cho thấy biểu thức số mức độ thay đổi của một đại lượng tại cùng một điểm dưới tác động của các điều kiện khác nhau.

Công thức phái sinh có từ thế kỷ 15. Nhà toán học vĩ đại người Ý Tartagli, khi xem xét và phát triển câu hỏi tầm bay của một viên đạn phụ thuộc vào độ nghiêng của súng bao nhiêu, đã áp dụng nó vào các tác phẩm của mình.

Công thức đạo hàm thường thấy trong các tác phẩm nhà toán học nổi tiếng Thế kỷ 17. Nó được Newton và Leibniz sử dụng.

Nhà khoa học nổi tiếng Galileo Galilei đã dành cả một chuyên luận về vai trò của đạo hàm trong toán học. Sau đó, đạo hàm và các cách trình bày khác nhau với ứng dụng của nó bắt đầu được tìm thấy trong các tác phẩm của Descartes, nhà toán học người Pháp Roberval và người Anh Gregory. Những đóng góp to lớn cho việc nghiên cứu đạo hàm được thực hiện bởi những bộ óc như L'Hopital, Bernoulli, Langrange và những người khác.

1. Vẽ đồ thị và xét hàm số:

Giải pháp cho vấn đề này:

Một khoảnh khắc thư giãn

VII. Ứng dụng đạo hàm trong vật lý:

Khi nghiên cứu các quá trình, hiện tượng nhất định, nhiệm vụ xác định tốc độ của các quá trình này thường nảy sinh. Giải pháp của nó dẫn đến khái niệm đạo hàm, là khái niệm chính phép tính vi phân.

Phương pháp tính vi phân được tạo ra vào thế kỷ 17 và 18. Tên tuổi của hai nhà toán học vĩ đại – I. Newton và G.V. – gắn liền với sự xuất hiện của phương pháp này. Leibniz.

Newton đã khám phá ra phép tính vi phân khi giải các bài toán về tốc độ chuyển động của một chất điểm trong ngay bây giờ thời gian (tốc độ tức thời).

Trong vật lý, đạo hàm được sử dụng chủ yếu để tính giá trị lớn nhất hoặc giá trị thấp nhất bất kỳ số lượng nào.

№1 Năng lượng tiềm năng bạn trường của một hạt trong đó có một hạt khác, chính hạt đó có dạng: U = a/r 2 – b/r, Ở đâu Một Và b- hằng số dương, r- khoảng cách giữa các hạt. Tìm: a) giá trị r0 tương ứng với vị trí cân bằng của hạt; b) tìm hiểu xem tình trạng này có ổn định hay không; V) Fmax giá trị của lực hấp dẫn; d) miêu tả đồ thị mẫu sự phụ thuộc bạn (r) Và F(r).

Giải pháp cho vấn đề này: Xác định r0 tương ứng với vị trí cân bằng của hạt chúng ta nghiên cứu f = U(r)đến cùng cực.

Sử dụng kết nối giữa năng lượng tiềm năng lĩnh vực

bạn Và F, Sau đó F = – dU/dr, chúng tôi nhận được F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; cùng lúc r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Bền vững hoặc trạng thái cân bằng không ổn định chúng tôi xác định bằng dấu của đạo hàm thứ hai:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Hãy xem xét trường hợp cát tràn ra khỏi một bệ đã được lấp đầy.
Sự thay đổi động lượng trong thời gian ngắn:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ bạn) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Kỳ hạn Δ µtu là xung lực của lượng cát đổ ra khỏi giàn trong thời gian Δ t. Sau đó:
Δ p = MΔ bạn – µtΔ bạn – Δ µtΔ bạn = FΔ t
Chia cho ∆ t và tiến tới giới hạn Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Hoặc a1= du/dt= F/(M – µt)

Trả lời: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Làm việc độc lập:

Tìm đạo hàm của hàm số:

Đường thẳng y = 2x tiếp xúc với hàm số: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Tìm hoành độ của tiếp điểm.

IX. Tóm tắt bài học:

- Bài học dành cho những câu hỏi gì?
– Bạn đã học được gì trong bài học?
– Những nội dung lý thuyết nào đã được tóm tắt trong bài?
– Những nhiệm vụ nào được coi là khó khăn nhất? Tại sao?

Tài liệu tham khảo:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Mô hình toán học và các phương trình vi phân. – Minsk: trường sau đại học, 1982. – 272 tr.
Amelkin V.V. Phương trình vi phân trong ứng dụng. M.: Khoa học. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học, 1987. – 160 tr.
Erugin N.P. Sách để đọc khóa học tổng quát phương trình vi phân. – Minsk: Khoa học và Công nghệ, 1979. – 744 tr.
.Tạp chí “Tiềm năng” tháng 11 năm 2007 số 11
“Đại số và nguyên lý giải tích” lớp 11 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov và những người khác.
“Đại số và phân tích toán học” N.Ya. Vilenkin và cộng sự.
"Toán học" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm. Nhiệm vụ!

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm. Kỳ thi Thống nhất Toán học bao gồm một nhóm các bài toán đòi hỏi kiến thức và hiểu biết về ý nghĩa vật lý của đạo hàm. Đặc biệt, có những bài toán trong đó định luật chuyển động của một điểm (vật) nhất định được đưa ra, biểu thị bằng phương trình và yêu cầu tìm tốc độ của nó tại một thời điểm nhất định trong thời gian chuyển động hoặc thời gian sau đó vật đó chuyển động. sẽ đạt được một tốc độ nhất định. Các nhiệm vụ rất đơn giản, chúng có thể được giải quyết chỉ bằng một hành động. Vì thế:

Cho định luật chuyển động của một điểm vật chất x(t) dọc theo trục tọa độ, trong đó x là tọa độ của điểm chuyển động, t là thời gian.

Vận tốc tại một thời điểm nhất định là đạo hàm của tọa độ theo thời gian. Đây là ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

Tương tự, gia tốc là đạo hàm của tốc độ theo thời gian:

Vì vậy, ý nghĩa vật lý của đạo hàm là tốc độ. Đây có thể là tốc độ chuyển động, tốc độ thay đổi của một quá trình (ví dụ như sự phát triển của vi khuẩn), tốc độ làm việc (v.v., có rất nhiều bài toán ứng dụng).

x(t) = t2 – 7t – 20

trong đó x là khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t là thời gian tính bằng giây, được đo từ khi bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 5 s.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm là tốc độ (tốc độ chuyển động, tốc độ thay đổi của một quá trình, tốc độ làm việc, v.v.)

Hãy tìm định luật thay đổi tốc độ: v(t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Điểm vật chất chuyển động thẳng theo định luật x(t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, trong đó x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 6 s.

Một chất điểm chuyển động thẳng đều tuân theo định luật

x(t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Ở đâu x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 3 s.

Một chất điểm chuyển động thẳng đều tuân theo định luật

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

Hãy tìm định luật thay đổi vận tốc:

Để tìm được vào thời điểm nào t tốc độ là 3 m/s, cần giải phương trình:

Một chất điểm chuyển động thẳng đều tuân theo định luật

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

matematikalegko.ru

Đại số và sự khởi đầu phân tích toán học, lớp 11 (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Trang số 094.

Sách giáo khoa:

Phiên bản OCR của trang từ sách giáo khoa (văn bản của trang nằm ở trên):

Như sau từ các vấn đề được xem xét ở đầu đoạn này, các tuyên bố sau đây là đúng:

1. Nếu tại chuyển động thẳngđường đi s mà một điểm đi qua là hàm số của thời gian t, tức là s = f(t), khi đó tốc độ của điểm là đạo hàm của đường đi theo thời gian, tức là v(t) =

Thực tế này thể hiện ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

2. Nếu tại điểm x 0 vẽ một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(jc) thì số f"(xo) là tiếp tuyến của góc a giữa tiếp tuyến này và chiều dương của trục Ox , tức là /"(x 0) =

Tga. Góc này được gọi là góc tiếp tuyến.

Thực tế này thể hiện ý nghĩa hình học phái sinh.

VÍ DỤ 3. Tìm tang của góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = 0,5jc 2 - 2x + 4 tại điểm hoành độ x = 0.

Hãy tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 tại điểm x bất kỳ, sử dụng đẳng thức (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Hãy tính giá trị đạo hàm này tại điểm x = 0:

Do đó tga = -2. Đồ thị x của hàm y = /(jc) và tiếp tuyến với đồ thị của nó tại điểm có hoành độ jc = 0 được thể hiện trên Hình 95.

4.1 Cho điểm chuyển động thẳng theo định luật s = t 2. Tìm thấy:

a) khoảng tăng thời gian D £ trong khoảng thời gian từ t x = 1 đến £ 2 - 2;

b) sự gia tăng của đường dẫn As trong khoảng thời gian từ t x = 1 đến t 2 = 2;

V) tốc độ trung bình trong khoảng thời gian từ t x = 1 đến t 2 = 2.

4.2 Trong nhiệm vụ 4.1 hãy tìm:

b) tốc độ trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + At;

V) tốc độ tức thời tại thời điểm t;

d) tốc độ tức thời tại thời điểm t = 1.

4.3 Cho điểm chuyển động thẳng theo định luật:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) Độ tăng của đường dẫn As trong khoảng thời gian từ t đến t + At;

Sách giáo khoa:Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học. Lớp 11: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức: cơ bản và hồ sơ. cấp độ / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - tái bản lần thứ 8. - M.: Education, 2009. - 464 p.: ill.