Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn e-mail vân vân.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục xét xử, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.
Bất kỳ máy bay nào trong Hệ thống Descartes tọa độ có thể được cho theo phương trình `Ax + By + Cz + D = 0`, trong đó ít nhất một trong các số `A`, `B`, `C` khác 0. Cho một điểm `M (x_0;y_0;z_0)`, hãy tìm khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng `Ax + By + Cz + D = 0`.
Cho đường thẳng đi qua điểm `M` vuông góc với mặt phẳng `alpha`, cắt nó tại điểm `K` với tọa độ `(x; y; z)`. Vectơ `vec(MK)` vuông góc với mặt phẳng `alpha`, cũng như vectơ `vecn` `(A;B;C)`, tức là các vectơ `vec(MK)` và `vecn` thẳng hàng, `vec(MK)= λvecn`.
Vì `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` và `vecn(A,B,C)`, sau đó là `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.
Điểm `K` nằm trong mặt phẳng `alpha` (Hình 6), tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của mặt phẳng. Thay thế `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` vào phương trình `Ax+By+Cz+D=0`, chúng ta nhận được
`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,
từ đó `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.
Tìm độ dài của vectơ `vec(MK)`, bằng khoảng cách từ điểm `M(x_0;y_0;z_0)` lên mặt phẳng `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.
Vậy khoảng cách `h` từ điểm `M(x_0;y_0;z_0)` đến mặt phẳng `Ax + By + Cz + D = 0` như sau
`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.
Dùng phương pháp hình học tìm khoảng cách từ điểm `A` đến mặt phẳng `alpha`, tìm đáy của đường vuông góc `A A^"` hạ từ điểm `A` đến mặt phẳng `alpha`. Nếu điểm `A^ "` nằm ngoài phần mặt phẳng `alpha` đã xác định trong bài toán thì qua điểm `A` vẽ đường thẳng `c`, song song với mặt phẳng`alpha` và chọn điểm `C` thuận tiện hơn trên đó, phép chiếu chính tả mà `C^"` thuộc về phần này của mặt phẳng `alpha`. Độ dài của đoạn `C C^"`sẽ bằng khoảng cách cần thiết từ điểm `A`tới mặt phẳng `alpha`.
Ở bên phải lăng kính lục giác`A...F_1`, tất cả các cạnh đều bằng `1`, tìm khoảng cách từ điểm `B` đến mặt phẳng `AF F_1`.
Đặt `O` là tâm của đáy dưới của lăng kính (Hình 7). Đường thẳng `BO` song song với đường thẳng `AF` nên khoảng cách từ điểm `B` đến mặt phẳng `AF F_1` bằng khoảng cách `OH` từ điểm `O` đến mặt phẳng `AF F_1`. Trong tam giác `AOF` chúng ta có `AO=OF=AF=1`. Chiều cao `OH` của tam giác này là `(sqrt3)/2`. Do đó, khoảng cách được yêu cầu là `(sqrt3)/2`.
Hãy chỉ ra một cách khác (phương pháp khối lượng phụ trợ) tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Được biết, thể tích của hình chóp `V` , diện tích đáy của nó `S`và chiều dài chiều cao `h`có liên quan với nhau bằng công thức `h=(3V)/S`. Nhưng chiều dài chiều cao của một kim tự tháp không gì khác hơn là khoảng cách từ đỉnh của nó đến mặt phẳng của đáy. Do đó, để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chỉ cần tìm thể tích và diện tích đáy của một số hình chóp có đỉnh tại điểm này và đáy nằm trong mặt phẳng này là đủ.
Dana lăng kính đúng`A...D_1`, trong đó `AB=a`, `A A_1=2a`. Tìm khoảng cách từ giao điểm các đường chéo của đáy `A_1B_1C_1D_1` đến mặt phẳng `BDC_1`.
Xét khối tứ diện `O_1DBC_1` (Hình 8). Khoảng cách cần tìm `h` là độ dài chiều cao của khối tứ diện này, hạ xuống từ điểm `O_1` đến mặt phẳng mặt `BDC_1` . Muốn tìm nó chỉ cần biết âm lượng `V` là đủtứ diện `O_1DBC_1` và diện tích tam giác `DBC_1`. Hãy tính toán chúng. Lưu ý rằng đường thẳng `O_1C_1` vuông góc với mặt phẳng `O_1DB`, vì nó vuông góc với `BD` và `B B_1` . Điều này có nghĩa là thể tích của khối tứ diện là `O_1DBC_1` bằng
Trở lại Tiến lên
Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm công việc này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.
Mục tiêu:
- khái quát hóa, hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng của học sinh;
- phát triển kỹ năng phân tích, so sánh, rút ra kết luận.
Thiết bị:
- máy chiếu đa phương tiện;
- máy tính;
- tờ có văn bản vấn đề
TIẾN BỘ CỦA LỚP HỌC
TÔI. Thời điểm tổ chức
II. Giai đoạn cập nhật kiến thức(trang 2)
Chúng tôi nhắc lại cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
III. bài giảng(trang 3-15)
Trong lớp chúng ta sẽ xem xét nhiều cách khác nhau tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Phương pháp đầu tiên: tính toán từng bước
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng α:
– bằng khoảng cách tới mặt phẳng α từ một điểm P tùy ý nằm trên đường thẳng a đi qua điểm M và song song với mặt phẳng α;
– bằng khoảng cách tới mặt phẳng α từ một điểm P tùy ý nằm trên mặt phẳng β đi qua điểm M và song song với mặt phẳng α.
Chúng ta sẽ giải quyết các vấn đề sau:
№1. Trong hình lập phương A...D 1, tìm khoảng cách từ điểm C 1 đến mặt phẳng AB 1 C.
Vẫn còn phải tính giá trị độ dài của đoạn O 1 N.
№2. Trong một lăng trụ lục giác đều A...F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng DEA 1.
Phương pháp tiếp theo: phương pháp khối lượng.
Nếu thể tích của hình chóp ABCM bằng V thì khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng α chứa ∆ABC được tính theo công thức ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Khi giải bài toán, chúng ta sử dụng đẳng thức thể tích của một hình, thể hiện bằng hai cách khác nhau.
Hãy giải quyết vấn đề sau:
№3. Cạnh AD của hình chóp DABC vuông góc với mặt phẳng đáy ABC. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh AB, AC, AD nếu.
Khi giải quyết các vấn đề phương pháp tọa độ khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng α có thể được tính bằng công thức ρ(M; α) = 
, trong đó M(x 0; y 0; z 0), và mặt phẳng được cho bởi phương trình ax + by + cz + d = 0
Hãy giải quyết vấn đề sau:
№4. Trong khối lập phương đơn vị A...D 1, tìm khoảng cách từ điểm A 1 đến mặt phẳng BDC 1.
Hãy giới thiệu hệ tọa độ có gốc tọa độ tại điểm A, trục y chạy dọc cạnh AB, trục x chạy dọc cạnh AD và trục z chạy dọc cạnh AA 1. Khi đó tọa độ các điểm B(0;1;0)D(1;0;0;)C1(1;1;1)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm B, D, C 1.
Khi đó – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Do đó, ρ = 
Phương pháp sau đây có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề thuộc loại này – phương pháp nhiệm vụ hỗ trợ.
Ứng dụng phương pháp này bao gồm việc áp dụng các bài toán quy chiếu đã biết, được xây dựng dưới dạng các định lý.
Hãy giải quyết vấn đề sau:
№5. Trong khối lập phương đơn vị A...D 1, tính khoảng cách từ điểm D 1 đến mặt phẳng AB 1 C.
Hãy xem xét ứng dụng phương pháp vectơ.
№6. Trong khối lập phương đơn vị A...D 1, tìm khoảng cách từ điểm A 1 đến mặt phẳng BDC 1.
Vì vậy, chúng tôi đã xem xét các phương pháp khác nhau có thể được sử dụng để giải quyết loại vấn đề này. Việc lựa chọn phương pháp này hay phương pháp khác tùy thuộc vào nhiệm vụ cụ thể và sở thích của bạn.
IV. Làm việc nhóm
Hãy thử giải quyết vấn đề theo những cách khác nhau.
№1. Cạnh của hình lập phương A...D 1 bằng . Tìm khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng BDC 1.
№2. TRONG tứ diện đều ABCD có cạnh, tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BDC
№3. Cho tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1 có các cạnh bằng 1, tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCA 1.
№4. Cho tứ giác đều SABCD có các cạnh bằng 1, tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD.
V. Tóm tắt bài học, bài tập về nhà, sự phản xạ
Bài viết này nói về việc xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Hãy phân tích phương pháp tọa độ, phương pháp này sẽ cho phép chúng ta tìm khoảng cách từ điểm nhất định không gian ba chiều. Để củng cố điều này, chúng ta hãy xem ví dụ về một số nhiệm vụ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được xác định bằng khoảng cách đã biết từ điểm này sang điểm khác, trong đó một trong số chúng được cho trước và điểm còn lại là hình chiếu lên một mặt phẳng nhất định.
Khi điểm M 1 với mặt phẳng χ được xác định trong không gian thì qua điểm đó vẽ được vuông góc với mặt phẳng trực tiếp. H 1 là điểm chung giao điểm của chúng. Từ đó chúng ta thu được đoạn M 1 H 1 là đoạn vuông góc vẽ từ điểm M 1 đến mặt phẳng χ, trong đó điểm H 1 là đáy của đường vuông góc.
Định nghĩa 1
Gọi khoảng cách từ một điểm cho trước đến đáy của đường vuông góc vẽ từ một điểm cho trước tới mặt phẳng đã cho.
Định nghĩa có thể được viết bằng các công thức khác nhau.
Định nghĩa 2
Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng là độ dài đường vuông góc kẻ từ một điểm cho trước đến một mặt phẳng cho trước.
Khoảng cách từ điểm M 1 đến mặt phẳng χ được xác định như sau: khoảng cách từ điểm M 1 đến mặt phẳng χ sẽ là nhỏ nhất từ một điểm cho trước đến một điểm bất kỳ trên mặt phẳng. Nếu điểm H 2 nằm trong mặt phẳng χ và không bằng điểm H 2 thì ta có tam giác vuông loại M 2 H 1 H 2 , là hình chữ nhật, có chân M 2 H 1, M 2 H 2 - cạnh huyền. Điều này có nghĩa là nó tuân theo M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 được coi là nghiêng, được vẽ từ điểm M 1 đến mặt phẳng χ. Ta có đường vuông góc vẽ từ một điểm cho trước lên mặt phẳng nhỏ hơn đường vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng đã cho. Chúng ta hãy xem trường hợp này trong hình dưới đây.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng - lý thuyết, ví dụ, lời giải
Có một số bài toán hình học, nghiệm của hàm đó phải chứa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Có thể có nhiều cách khác nhau để xác định điều này. Để giải quyết, hãy sử dụng định lý Pythagore hoặc sự tương tự của các tam giác. Khi theo điều kiện cần tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng xác định ở hệ thống hình chữ nhật tọa độ của không gian ba chiều được giải bằng phương pháp tọa độ. Đoạn này thảo luận về phương pháp này.
Theo điều kiện của bài toán, ta có một điểm trong không gian ba chiều có tọa độ M 1 (x 1, y 1, z 1) với mặt phẳng χ cần xác định khoảng cách từ M 1 đến M 1; mặt phẳng χ. Một số phương pháp giải được sử dụng để giải quyết vấn đề này.
Cách đầu tiên
Phương pháp này dựa trên việc tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng sử dụng tọa độ của điểm H 1, là cơ sở của đường vuông góc từ điểm M 1 đến mặt phẳng χ. Tiếp theo, bạn cần tính khoảng cách giữa M 1 và H 1.
Để giải quyết vấn đề theo cách thứ hai, sử dụng phương trình bình thường mặt phẳng đã cho.
Cách thứ hai
Theo điều kiện, ta có H 1 là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm M 1 xuống mặt phẳng χ. Khi đó ta xác định tọa độ (x 2, y 2, z 2) của điểm H 1. Khoảng cách cần thiết từ M 1 đến mặt phẳng χ được tìm theo công thức M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, trong đó M 1 (x 1, y 1, z 1) và H 1 (x 2, y 2, z 2). Để giải, bạn cần biết tọa độ điểm H 1.
Ta có H 1 là giao điểm của mặt phẳng χ với đường thẳng a đi qua điểm M 1 nằm vuông góc với mặt phẳng χ. Do đó cần phải lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Khi đó ta xác định được tọa độ điểm H 1. Cần tính tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Thuật toán tìm khoảng cách từ một điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1, z 1) đến mặt phẳng χ:
Định nghĩa 3
- lập phương trình đường thẳng a đi qua điểm M 1 và đồng thời
- vuông góc với mặt phẳng χ;
- tìm và tính tọa độ (x 2 , y 2 , z 2) của điểm H 1 là các điểm
- giao điểm của đường thẳng a với mặt phẳng χ;
- tính khoảng cách từ M 1 đến χ bằng công thức M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.
Cách thứ ba
Trong hệ tọa độ chữ nhật cho trước O x y z tồn tại một mặt phẳng χ thì ta thu được phương trình chuẩn tắc của mặt phẳng gõ cosα · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Từ đây ta thu được khoảng cách M 1 H 1 với điểm M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vẽ trên mặt phẳng χ, tính theo công thức M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Công thức này đúng vì nó được thiết lập nhờ định lý.
Định lý
Nếu điểm M 1 (x 1 , y 1 , z 1) cho vào không gian ba chiều, có phương trình bình thường của mặt phẳng χ có dạng cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 thì khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng M 1 H 1 được tính từ công thức M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, vì x = x 1, y = y 1, z = z 1.
Bằng chứng
Việc chứng minh định lý bắt nguồn từ việc tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Từ đây ta thu được khoảng cách từ M 1 đến mặt phẳng χ là mô đun chênh lệch giữa hình chiếu số của vectơ bán kính M 1 với khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng χ. Khi đó ta thu được biểu thức M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng χ có dạng n → = cos α, cos β, cos γ và có độ dài bằng 1, n p n → O M → là hình chiếu số của vectơ O M → = (x 1, y 1 , z 1) theo hướng xác định bởi vectơ n → .
Hãy áp dụng công thức tính vectơ vô hướng. Sau đó, chúng ta thu được biểu thức tìm vectơ có dạng n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , vì n → = cos α , cos β , cos γ · z và OM → = (x 1 , y 1 , z 1) . Dạng tọa độ của bản ghi sẽ có dạng n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , khi đó M 1 H 1 = n p n → OM → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Định lý đã được chứng minh.
Từ đây ta được khoảng cách từ điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) đến mặt phẳng χ được tính bằng cách thay vào bên trái phương trình bình thường của mặt phẳng cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 thay cho tọa độ x, y, z x 1, y 1 và z 1, liên quan đến điểm M 1, lấy giá trị tuyệt đối giá trị thu được.
Hãy xem các ví dụ về cách tìm khoảng cách từ một điểm có tọa độ đến một mặt phẳng nhất định.
Ví dụ 1
Tính khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1(5, - 3, 10) đến mặt phẳng 2 x - y + 5 z - 3 = 0.
Giải pháp
Hãy giải quyết vấn đề theo hai cách.
Phương pháp đầu tiên bắt đầu bằng việc tính vectơ chỉ phương của đường thẳng a. Theo điều kiện, ta có phương trình đã cho 2 x - y + 5 z - 3 = 0 là phương trình của mặt phẳng cái nhìn tổng quát, và n → = (2, - 1, 5) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho. Nó được dùng làm vectơ chỉ phương của đường thẳng a, vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Nên viết ra phương trình chính tắc một đường thẳng trong không gian đi qua M 1(5, - 3, 10) có vectơ chỉ phương có tọa độ 2, - 1, 5.
Phương trình sẽ trở thành x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.
Các điểm giao nhau phải được xác định. Để làm được điều này, hãy nhẹ nhàng kết hợp các phương trình thành một hệ thống để chuyển từ phương trình chính tắc sang phương trình của hai đường thẳng cắt nhau. Điểm này hãy lấy H 1. Chúng tôi hiểu điều đó
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Sau đó bạn cần kích hoạt hệ thống
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Chúng ta hãy chuyển sang quy tắc giải hệ thống Gaussian:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1
Chúng ta nhận được H 1 (1, - 1, 0).
Chúng tôi tính toán khoảng cách từ một điểm nhất định đến mặt phẳng. Ta lấy điểm M 1(5, - 3, 10) và H 1 (1, - 1, 0) được
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
Giải pháp thứ hai là trước tiên đưa phương trình đã cho 2 x - y + 5 z - 3 = 0 về dạng chuẩn. Chúng ta xác định hệ số chuẩn hóa và nhận được 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Từ đây ta suy ra phương trình mặt phẳng 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Vế trái của phương trình được tính bằng cách thay x = 5, y = - 3, z = 10 và bạn cần lấy khoảng cách từ M 1 (5, - 3, 10) đến 2 x - y + 5 z - 3 = 0 mô-đun. Chúng tôi nhận được biểu thức:
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Trả lời: 2 30.
Khi mặt phẳng χ được chỉ định bằng một trong các phương pháp trong phần về các phương pháp xác định mặt phẳng, thì trước tiên bạn cần lấy phương trình của mặt phẳng χ và tính khoảng cách cần thiết bằng bất kỳ phương pháp nào.
Ví dụ 2
Trong không gian ba chiều, các điểm có tọa độ M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) được xác định. Tính khoảng cách từ M1 đến mặt phẳng A B C.
Giải pháp
Đầu tiên các bạn cần viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước có tọa độ M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Theo đó, vấn đề có một giải pháp tương tự như vấn đề trước đó. Điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm M 1 đến mặt phẳng A B C có giá trị là 2 30.
Trả lời: 2 30.
Việc tìm khoảng cách từ một điểm cho trước trên mặt phẳng hoặc đến mặt phẳng mà chúng song song sẽ thuận tiện hơn bằng cách áp dụng công thức M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Từ đó, chúng ta thu được phương trình chuẩn của các mặt phẳng theo một số bước.
Ví dụ 3
Tìm khoảng cách từ một điểm có tọa độ M 1 (- 3 , 2 , - 7) đến mặt phẳng tọa độ O x y z và mặt phẳng, được cho bởi phương trình 2 y - 5 = 0 .
Giải pháp
Mặt phẳng tọa độ O y z tương ứng với phương trình có dạng x = 0. Đối với mặt phẳng O yz thì điều đó là bình thường. Vì vậy, cần thay các giá trị x = - 3 vào vế trái của biểu thức và lấy giá trị tuyệt đối khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 (- 3, 2, - 7) đến mặt phẳng. Chúng tôi nhận được một giá trị bằng - 3 = 3.
Sau khi biến đổi, phương trình chuẩn tắc của mặt phẳng 2 y - 5 = 0 sẽ có dạng y - 5 2 = 0. Khi đó bạn có thể tìm khoảng cách cần thiết từ điểm có tọa độ M 1 (- 3, 2, - 7) đến mặt phẳng 2 y - 5 = 0. Thay thế và tính toán, chúng ta nhận được 2 - 5 2 = 5 2 - 2.
Trả lời: Khoảng cách cần thiết từ M 1 (- 3, 2, - 7) đến O y z có giá trị là 3 và đến 2 y - 5 = 0 có giá trị là 5 2 - 2.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter