Các khái niệm về tốc độ và gia tốc được khái quát một cách tự nhiên cho trường hợp một điểm vật chất chuyển động dọc theo quỹ đạo cong. Vị trí của điểm chuyển động trên quỹ đạo được xác định bằng vectơ bán kính r được kéo đến điểm này từ một điểm cố định nào đó VỀ, ví dụ: gốc tọa độ (Hình 1.2). Hãy để một lúc nào đó tđiểm vật chất đã ở vị trí M với vectơ bán kính r = r (t). Sau một thời gian ngắn D. t, nó sẽ di chuyển đến vị trí M 1 có bán kính - vector r 1 = r (t+ D t). Bán kính - vectơ của điểm vật chất sẽ nhận được mức tăng được xác định bởi chênh lệch hình học D r = r 1 - r . Tốc độ trung bình theo thời gian D tđược gọi là số lượng
Hướng tốc độ trung bình V. Thứ tư trận đấu với hướng vectơ D r .
Giới hạn tốc độ trung bình tại D t® 0, tức là đạo hàm của bán kính - vector r theo thời gian
(1.9)
gọi điện ĐÚNG VẬY hoặc lập tức tốc độ của một điểm vật chất. Vectơ V. chỉ đạo tiếp tuyến vào quỹ đạo của một điểm chuyển động.
Tăng tốc MỘT được gọi là vectơ bằng đạo hàm bậc nhất của vectơ vận tốc V. hoặc đạo hàm bậc hai của bán kính - vector r theo thời gian:
(1.10)
(1.11)
Chúng ta hãy lưu ý sự tương tự chính thức sau đây giữa tốc độ và gia tốc. Từ một điểm cố định tùy ý O 1 ta vẽ vectơ vận tốc V. điểm chuyển động vào mọi thời điểm có thể (Hình 1.3).
Kết thúc vectơ V. gọi điện điểm tốc độ. Quỹ tích hình học của các điểm vận tốc là một đường cong gọi là đồng hồ đo tốc độ. Khi một điểm vật chất mô tả một quỹ đạo, điểm vận tốc tương ứng sẽ di chuyển dọc theo biểu đồ.
Cơm. 1.2 khác với Hình 1. 1.3 chỉ bằng ký hiệu. Bán kính – vectơ r được thay thế bằng vectơ vận tốc V. , điểm vật chất - đến điểm vận tốc, quỹ đạo - đến hodograph. Các phép toán trên vectơ r khi tìm tốc độ và trên vector V. khi tìm thấy, gia tốc hoàn toàn giống nhau.
Tốc độ V. hướng theo một quỹ đạo tiếp tuyến. Đó là lý do tại sao gia tốcMột sẽ được hướng tiếp tuyến với hodograph tốc độ. Có thể nói rằng gia tốc là tốc độ chuyển động của điểm tốc độ dọc theo biểu đồ. Kể từ đây,
Xét chuyển động cong của một vật, chúng ta sẽ thấy tốc độ của nó khác nhau ở những thời điểm khác nhau. Ngay cả trong trường hợp độ lớn của vận tốc không thay đổi thì vẫn có sự thay đổi về hướng của vận tốc. Trong trường hợp tổng quát, cả độ lớn và hướng của vận tốc đều thay đổi.
Do đó, trong quá trình chuyển động cong, tốc độ liên tục thay đổi, do đó chuyển động này xảy ra cùng với gia tốc. Để xác định gia tốc này (về độ lớn và hướng), cần tìm sự thay đổi tốc độ dưới dạng vectơ, tức là tìm độ tăng của độ lớn của vận tốc và sự thay đổi hướng của nó.
Cơm. 49. Thay đổi tốc độ trong chuyển động cong
Ví dụ: giả sử một điểm chuyển động theo đường cong (Hình 49), tại một thời điểm nào đó có tốc độ và sau một khoảng thời gian ngắn - tốc độ. Sự gia tăng tốc độ là sự khác biệt giữa các vectơ và . Vì các vectơ này có hướng khác nhau nên bạn cần tính hiệu vectơ của chúng. Việc tăng tốc độ sẽ được biểu thị bằng vectơ biểu thị cạnh hình bình hành với đường chéo và cạnh kia. Gia tốc là tỷ lệ giữa sự gia tăng tốc độ và khoảng thời gian mà sự gia tăng này xảy ra. Điều này có nghĩa là gia tốc
Hướng trùng với vectơ.
Chọn đủ nhỏ, chúng ta đi đến khái niệm gia tốc tức thời (xem § 16); khi tùy ý, vectơ sẽ biểu thị gia tốc trung bình trong một khoảng thời gian.
Hướng của gia tốc trong chuyển động cong không trùng với hướng của vận tốc, trong khi đối với chuyển động thẳng thì các hướng này trùng nhau (hoặc ngược chiều nhau). Để tìm hướng của gia tốc trong chuyển động cong, chỉ cần so sánh hướng của vận tốc tại hai điểm gần nhau của quỹ đạo là đủ. Vì vận tốc có hướng tiếp tuyến với quỹ đạo, nên từ hình dạng của quỹ đạo, người ta có thể kết luận gia tốc hướng theo hướng nào so với quỹ đạo. Thật vậy, vì sự khác biệt về tốc độ ở hai điểm gần nhau của quỹ đạo luôn hướng theo hướng mà quỹ đạo bị cong, điều đó có nghĩa là gia tốc luôn hướng về mặt lõm của quỹ đạo. Ví dụ, khi một quả bóng lăn dọc theo một máng cong (Hình 50), gia tốc của nó theo từng phần và được định hướng như minh họa bằng các mũi tên, và điều này không phụ thuộc vào việc quả bóng lăn theo hướng này hay hướng ngược lại.
Cơm. 50. Gia tốc trong chuyển động cong luôn hướng vào độ lõm của quỹ đạo
Cơm. 51. Rút ra công thức tính gia tốc hướng tâm
Chúng ta hãy xem xét chuyển động đều của một điểm dọc theo một quỹ đạo cong. Chúng tôi đã biết rằng đây là một phong trào tăng tốc. Hãy tìm gia tốc. Để làm được điều này, chỉ cần xét gia tốc trong trường hợp đặc biệt là chuyển động đều trong một đường tròn là đủ. Chúng ta hãy lấy hai vị trí gần nhau và một điểm chuyển động, cách nhau một khoảng thời gian ngắn (Hình 51, a). Vận tốc của một điểm chuyển động trong và có độ lớn bằng nhau nhưng khác nhau về hướng. Hãy tìm sự khác biệt giữa các tốc độ này bằng quy tắc tam giác (Hình 51, b). Các hình tam giác đều giống nhau, giống như các tam giác cân có các góc ở đỉnh bằng nhau. Độ dài của cạnh biểu thị sự tăng tốc độ trong một khoảng thời gian có thể được đặt bằng , trong đó là mô đun của gia tốc mong muốn. Bên tương tự với nó là dây cung; Do độ dài của cung nhỏ, độ dài dây cung của nó có thể xấp xỉ bằng độ dài của cung, tức là. . Kế tiếp, 
; , ở đâu là bán kính của quỹ đạo. Từ sự giống nhau của các hình tam giác, suy ra tỷ số các cạnh tương tự trong chúng bằng nhau:
từ đó chúng ta tìm được mô đun của gia tốc mong muốn:
Hướng gia tốc vuông góc với dây cung. Trong những khoảng thời gian đủ ngắn, chúng ta có thể giả sử rằng tiếp tuyến của cung gần như trùng với dây cung của nó. Điều này có nghĩa là gia tốc có thể được coi là hướng vuông góc (thông thường) với tiếp tuyến của quỹ đạo, nghĩa là dọc theo bán kính đến tâm của đường tròn. Do đó, gia tốc như vậy được gọi là gia tốc pháp tuyến hoặc gia tốc hướng tâm.
Nếu quỹ đạo không phải là đường tròn mà là một đường cong tùy ý thì trong công thức (27.1) người ta phải lấy bán kính của đường tròn gần đường cong nhất tại một điểm cho trước. Hướng của gia tốc pháp tuyến trong trường hợp này cũng sẽ vuông góc với tiếp tuyến của quỹ đạo tại một điểm cho trước. Nếu trong quá trình chuyển động cong, gia tốc không đổi về độ lớn và hướng, thì nó có thể được tìm thấy dưới dạng tỷ lệ giữa mức tăng tốc độ và khoảng thời gian trong đó mức tăng này xảy ra, bất kể khoảng thời gian này có thể là bao nhiêu. Điều này có nghĩa là trong trường hợp này gia tốc có thể được tìm bằng công thức
tương tự như công thức (17.1) đối với chuyển động thẳng có gia tốc không đổi. Đây là tốc độ của cơ thể tại thời điểm ban đầu, a là tốc độ tại thời điểm.
Động học của một điểm. Con đường. Di chuyển. Tốc độ và khả năng tăng tốc. Hình chiếu của chúng lên các trục tọa độ. Tính quãng đường đã đi. Giá trị trung bình.
Động học của một điểm- một nhánh của động học nghiên cứu mô tả toán học về chuyển động của các điểm vật chất. Nhiệm vụ chính của động học là mô tả chuyển động bằng bộ máy toán học mà không xác định được nguyên nhân gây ra chuyển động này.
Đường đi và chuyển động.Đường mà một điểm trên vật chuyển động được gọi là quỹ đạo chuyển động. Độ dài đường đi được gọi là con đường đã đi. Vectơ nối điểm đầu và điểm cuối của quỹ đạo được gọi là di chuyển. Tốc độ- một đại lượng vật lý vectơ đặc trưng cho tốc độ chuyển động của một vật thể, bằng số với tỷ lệ chuyển động trong một khoảng thời gian ngắn với giá trị của khoảng thời gian này. Một khoảng thời gian được coi là đủ nhỏ nếu tốc độ trong quá trình chuyển động không đều không thay đổi trong khoảng thời gian đó. Công thức xác định tốc độ là v = s/t. Đơn vị của tốc độ là m/s. Trong thực tế, đơn vị tốc độ được sử dụng là km/h (36 km/h = 10 m/s). Tốc độ được đo bằng đồng hồ tốc độ.
Tăng tốc- đại lượng vật lý vectơ đặc trưng cho tốc độ thay đổi tốc độ, bằng số với tỷ lệ giữa sự thay đổi tốc độ và khoảng thời gian mà sự thay đổi này xảy ra. Nếu tốc độ thay đổi như nhau trong toàn bộ thời gian chuyển động thì gia tốc có thể được tính bằng công thức a=Δv/Δt. Đơn vị gia tốc – m/s 2
Tốc độ và gia tốc trong chuyển động cong. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc bình thường.
Chuyển động đường cong– chuyển động có quỹ đạo không thẳng mà là đường cong.
Chuyển động đường cong– đây luôn là chuyển động có gia tốc, ngay cả khi tốc độ tuyệt đối không đổi. Chuyển động cong có gia tốc không đổi luôn xảy ra trong mặt phẳng chứa vectơ gia tốc và vận tốc ban đầu của điểm. Trong trường hợp chuyển động cong có gia tốc không đổi trong mặt phẳng xOy phép chiếu v x Và v y tốc độ của nó trên trục Con bò đực Và Ôi và tọa độ x Và yđiểm bất cứ lúc nào t xác định bằng công thức
v x =v 0 x +a x t, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y =v 0 y +a y t, y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2
Trường hợp đặc biệt của chuyển động cong là chuyển động tròn. Chuyển động tròn đều, đều luôn là chuyển động có gia tốc: mô đun vận tốc luôn hướng tiếp tuyến với quỹ đạo, luôn thay đổi hướng nên chuyển động tròn luôn xảy ra với gia tốc hướng tâm |a|=v 2 /r trong đó r- bán kính của đường tròn.
Vectơ gia tốc khi chuyển động tròn đều hướng vào tâm đường tròn và vuông góc với vectơ vận tốc.
Trong chuyển động cong, gia tốc có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến:
Gia tốc bình thường (hướng tâm) hướng vào tâm cong của quỹ đạo và đặc trưng cho sự thay đổi tốc độ theo hướng:
v – giá trị tốc độ tức thời, r- bán kính cong của quỹ đạo tại một điểm cho trước.
Gia tốc tiếp tuyến (tiếp tuyến) có hướng tiếp tuyến với quỹ đạo và đặc trưng cho sự thay đổi mô đun tốc độ.
Tổng gia tốc mà một điểm vật chất chuyển động bằng:
Gia tốc tiếp tuyếnđặc trưng cho tốc độ thay đổi tốc độ chuyển động bằng giá trị số và hướng tiếp tuyến với quỹ đạo.
Kể từ đây
Tăng tốc bình thườngđặc trưng cho tốc độ thay đổi tốc độ theo hướng. Hãy tính vectơ:
4. Động học của vật rắn. Chuyển động quay quanh một trục cố định. Vận tốc góc và gia tốc. Mối quan hệ giữa vận tốc góc và vận tốc tuyến tính và gia tốc.
Động học của chuyển động quay.
Chuyển động của cơ thể có thể là chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển động quay. Trong trường hợp này, cơ thể được biểu diễn dưới dạng một hệ thống các điểm vật chất được kết nối chặt chẽ với nhau.
Trong quá trình chuyển động tịnh tiến, bất kỳ đường thẳng nào vẽ trong cơ thể đều chuyển động song song với chính nó. Theo hình dạng của quỹ đạo, chuyển động tịnh tiến có thể là đường thẳng hoặc đường cong. Trong quá trình chuyển động tịnh tiến, tất cả các điểm của vật rắn trong cùng một khoảng thời gian đều tạo ra các chuyển động có độ lớn và hướng bằng nhau. Do đó, vận tốc và gia tốc của mọi điểm của vật tại bất kỳ thời điểm nào cũng như nhau. Để mô tả chuyển động tịnh tiến, chỉ cần xác định chuyển động của một điểm là đủ.
Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố địnhđược gọi là một chuyển động trong đó tất cả các điểm của vật chuyển động theo đường tròn, tâm của chúng nằm trên cùng một đường thẳng (trục quay).
Trục quay có thể đi qua vật thể hoặc nằm bên ngoài vật thể. Nếu trục quay đi qua vật thì các điểm nằm trên trục sẽ đứng yên khi vật quay. Các điểm của một vật rắn nằm cách trục quay những khoảng cách khác nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau sẽ di chuyển những quãng đường khác nhau và do đó có vận tốc tuyến tính khác nhau.
Khi một vật quay quanh một trục cố định thì các điểm của vật đó sẽ chuyển động một góc như nhau trong cùng một khoảng thời gian. Mô đun bằng góc quay của vật quanh trục theo thời gian, hướng của vectơ dịch chuyển góc với chiều quay của vật được nối với nhau bằng quy tắc vít: nếu kết hợp các chiều quay của vít với hướng quay của vật thì vectơ sẽ trùng với chuyển động tịnh tiến của vít. Vectơ hướng dọc theo trục quay.
Tốc độ thay đổi chuyển vị góc được xác định bởi vận tốc góc - ω. Bằng cách tương tự với tốc độ tuyến tính, các khái niệm vận tốc góc trung bình và tức thời:
Vận tốc góc- đại lượng vectơ.
Tốc độ thay đổi vận tốc góc được đặc trưng bởi trung bình và tức thời
gia tốc góc.
Vectơ và có thể trùng với vectơ và đối diện với vectơ đó
Trong chuyển động cong đều có hướng của vectơ vận tốc thay đổi. Đồng thời, mô-đun của nó, tức là độ dài, cũng có thể thay đổi. Trong trường hợp này, vectơ gia tốc bị phân tách thành hai thành phần: tiếp tuyến với quỹ đạo và vuông góc với quỹ đạo (Hình 10). Thành phần đó được gọi là tiếp tuyến(tiếp tuyến) gia tốc, thành phần – Bình thường gia tốc (hướng tâm).
Gia tốc trong chuyển động cong
Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho tốc độ thay đổi vận tốc tuyến tính và gia tốc bình thường đặc trưng cho tốc độ thay đổi hướng chuyển động.
Gia tốc toàn phần bằng tổng vectơ của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến:
(15)
Tổng mô-đun gia tốc bằng:
.
Chúng ta xét chuyển động đều của một điểm dọc theo một đường tròn. Đồng thời 
Và 
. Giả sử tại thời điểm đang xét t điểm ở vị trí 1 (Hình 11). Sau thời gian Δt, điểm sẽ ở vị trí thứ 2, đã đi qua đường đi Δs, bằng cung 1-2. Trong trường hợp này, tốc độ của điểm v tăng Δv, do đó vectơ vận tốc không đổi về độ lớn và quay một góc Δφ
, có kích thước trùng với góc ở tâm tính theo cung có độ dài Δs:
(16)
trong đó R là bán kính của đường tròn mà điểm di chuyển. Hãy tìm số gia của vectơ vận tốc. Để làm điều này, hãy di chuyển vectơ. 
sao cho điểm bắt đầu của nó trùng với điểm bắt đầu của vectơ. Khi đó vectơ sẽ được biểu diễn bằng một đoạn vẽ từ đầu vectơ đến cuối vectơ . Đoạn này đóng vai trò là đáy của một tam giác cân có các cạnh và và góc Δφ ở đỉnh. Nếu góc Δφ nhỏ (điều này đúng với Δt nhỏ), thì đối với các cạnh của tam giác này chúng ta có thể viết gần đúng:
.
Thay thế Δφ từ (16) ở đây, chúng ta thu được biểu thức cho mô đun của vectơ:
.
Chia cả hai vế của phương trình cho Δt và chuyển đến giới hạn, ta thu được giá trị gia tốc hướng tâm:
Ở đây số lượng v Và R là hằng số nên có thể vượt quá dấu giới hạn. Giới hạn tỷ lệ là mô đun tốc độ 
Nó còn được gọi là tốc độ tuyến tính.
Bán kính cong
Bán kính của đường tròn R được gọi là bán kính cong quỹ đạo. Nghịch đảo của R được gọi là độ cong của quỹ đạo:
.
trong đó R là bán kính của đường tròn đang xét. Nếu α là góc ở tâm tương ứng với cung của đường tròn s, thì như đã biết, mối quan hệ giữa R, α và s có giá trị:
s = Rα. (18)
Khái niệm bán kính cong không chỉ áp dụng cho đường tròn mà còn cho bất kỳ đường cong nào. Bán kính cong (hoặc giá trị nghịch đảo của nó - độ cong) đặc trưng cho mức độ cong của đường thẳng. Bán kính cong càng nhỏ (tương ứng, độ cong càng lớn) thì đường cong càng mạnh. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về khái niệm này.
Đường tròn cong của một đường thẳng tại một điểm A nhất định là vị trí giới hạn của một đường tròn đi qua điểm A và hai điểm B 1 và B 2 khác khi chúng tiếp cận vô hạn điểm A (trong Hình 12, đường cong được vẽ bởi một đường liền nét và đường tròn cong bằng đường chấm chấm). Bán kính của đường tròn cong cho biết bán kính cong của đường cong đang xét tại điểm A, và tâm của đường tròn này cho biết tâm cong của đường cong tại cùng một điểm A.
Tại các điểm B 1 và B 2 kẻ các tiếp tuyến B 1 D và B 2 E của đường tròn đi qua các điểm B 1, A và B 2. Các pháp tuyến của các tiếp tuyến B 1 C và B 2 C này sẽ đại diện cho bán kính R của đường tròn và sẽ cắt nhau tại tâm C của nó. Chúng ta hãy giới thiệu góc Δα giữa các pháp tuyến B1 C và B 2 C; rõ ràng, nó bằng góc giữa các tiếp tuyến B 1 D và B 2 E. Hãy ký hiệu phần đường cong giữa các điểm B 1 và B 2 là Δs. Khi đó theo công thức (18):
.
Đường cong của đường cong phẳng
Xác định độ cong của đường cong phẳng tại các điểm khác nhau
Trong hình. Hình 13 cho thấy các vòng tròn có độ cong của một đường thẳng tại các điểm khác nhau. Tại điểm A 1, nơi đường cong phẳng hơn, bán kính cong lần lượt lớn hơn điểm A 2, độ cong của đường thẳng tại điểm A 1 sẽ nhỏ hơn tại điểm A 2. Tại điểm A 3 đường cong thậm chí còn phẳng hơn tại các điểm A 1 và A 2 nên bán kính cong tại điểm này sẽ lớn hơn và độ cong nhỏ hơn. Ngoài ra, đường tròn cong tại điểm A 3 nằm ở phía bên kia của đường cong. Do đó, giá trị độ cong tại điểm này được gán dấu ngược với dấu độ cong tại các điểm A 1 và A 2: nếu độ cong tại các điểm A 1 và A 2 được coi là dương thì độ cong tại điểm A 3 sẽ là tiêu cực.
Động học nghiên cứu chuyển động mà không xác định được nguyên nhân gây ra chuyển động này. Động học là một nhánh của cơ học. Nhiệm vụ chính của động học là xác định toán học vị trí và đặc điểm chuyển động của các điểm hoặc vật thể theo thời gian.
Các đại lượng động học cơ bản:
- Di chuyển() - một vector nối điểm đầu và điểm cuối.
r – vectơ bán kính, xác định vị trí của MT trong không gian.
- Tốc độ- tỉ số đường đi và thời gian .
- Con đường- tập hợp các điểm mà vật đi qua.
- Gia tốc – tốc độ thay đổi của tốc độ, nghĩa là đạo hàm bậc nhất của tốc độ.
2. Gia tốc trong chuyển động cong: gia tốc pháp tuyến và gia tốc tiếp tuyến. Xoay phẳng. Vận tốc góc, gia tốc.
Chuyển động đường cong là một chuyển động có quỹ đạo là một đường cong. Một ví dụ về chuyển động cong là chuyển động của các hành tinh, đầu kim đồng hồ dọc theo mặt số, v.v.
Chuyển động đường cong– đây luôn là chuyển động có gia tốc. Nghĩa là, gia tốc trong chuyển động cong luôn tồn tại, ngay cả khi mô-đun vận tốc không thay đổi mà chỉ có hướng của vận tốc thay đổi.
- Tốc độ thay đổi trong một đơn vị thời gian đây là gia tốc tiếp tuyến:
Trong đó 𝛖 τ , 𝛖 0 lần lượt là các giá trị tốc độ tại thời điểm t 0 + Δt và t 0. Gia tốc tiếp tuyến tại một điểm nhất định của quỹ đạo, hướng trùng với hướng chuyển động của cơ thể hoặc ngược lại với hướng đó.
Tăng tốc bình thường là sự thay đổi hướng của vận tốc trong một đơn vị thời gian:
Tăng tốc bình thường hướng dọc theo bán kính cong của quỹ đạo (hướng về trục quay). Gia tốc bình thường vuông góc với phương của vận tốc.
Tăng tốc hoàn toàn với chuyển động cong biến thiên đều của vật thì nó bằng:
-vận tốc góc cho biết một điểm quay được một góc bao nhiêu trong quá trình chuyển động đều trong một vòng tròn trong một đơn vị thời gian. Đơn vị SI là rad/s.
Xoay phẳng là phép quay của tất cả các vectơ vận tốc của các điểm vật thể trong một mặt phẳng.
3. Mối quan hệ giữa vectơ vận tốc và vận tốc góc của một chất điểm. Tăng tốc bình thường, tiếp tuyến và đầy đủ.
Gia tốc tiếp tuyến (tiếp tuyến)– đây là thành phần của vectơ gia tốc hướng dọc theo tiếp tuyến với quỹ đạo tại một điểm nhất định của quỹ đạo chuyển động. Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi mô đun tốc độ trong chuyển động cong.
Gia tốc bình thường (hướng tâm) là thành phần của vectơ gia tốc hướng dọc theo đường pháp tuyến của chuyển động tại một điểm cho trước trên quỹ đạo của vật. Nghĩa là, vectơ gia tốc pháp tuyến vuông góc với tốc độ chuyển động tuyến tính (xem Hình 1.10). Gia tốc bình thường đặc trưng cho sự thay đổi tốc độ theo hướng và được ký hiệu bằng chữ n. Vectơ gia tốc pháp tuyến hướng dọc theo bán kính cong của quỹ đạo.
Tăng tốc hoàn toàn trong chuyển động cong nó gồm gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến theo quy luật cộng vectơ và được xác định theo công thức.